7. Kétváltozós függvények

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "7. Kétváltozós függvények"

Átírás

1 Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és b B. Példa: Ha A={a, b, c} és B={, 4}, akkor A B={a, ),a, 4),b, ),b, 4),c, ),c, 4)} Megjegzés: Az, hog A B elemei rendezett párok, azt jelenti, hog léneges, hog melik elem van elöl, és melik a második. A fenti példában a, ) A B, de, a) A B. Példa: R R elemei a valós számokból álló rendezett párok. Olan rendezett párok, melek első és második eleme is valós szám.) Jelölés: AzR R halmazt szokás röveidenr -tel jelölni. Megjegzés: Ezt a halmazt az koordináta-síkkal szokás szemléltetni, mert R R minden, ) elemének megfeleltetjük a sík azon pontját, melnek első koordinátája, második koordinátája. Ez a megfeleltetés kölcsönösen egértelmű.) Példa: [, 4] [, ] elemei olan valós számokból álló rendezett párok, amelek első eleme és 4 közé, második eleme és közé esik. Megjegzések: Uganez a halmaz a következőképpen is felírható: {, ) 4, } A halmaz szemléltethető az síkban eg téglalappal. 3 4 Megjegzés: Können látható, hog [, 4] [, ] R. AzR részhalmazai az sík részhalmazaival szemléltethetők, melek esetenként az elemi geometriából jól ismert síkidomok. Készítette: Vajda István 87

2 Matematika segédanag Legen H R halmaz. Az f : H R függvéneket kétváltozós függvéneknek nevezzük. Példa: f : [, 4] [, ] R, Jelölés: Uganezt a függvént íg is megadhatjuk: Megjegzések:, ) f : [, 4] [, ] R, f, ) = A függvén értelmezési tartomána a korábban már megismert [, 4] [, ] halmaz. Az értelmezési tartomán eges pontjaihoz tartozó függvénértékeket az f, ) = képletbe való helettesítéssel határozhatjuk meg. Például a 4, ) ponthoz tartozó függvénérték f 4, )= 4 = 8. A függvén által felvett legkisebb függvénérték, melet a függvén a, ) pontban vesz fel, a legnagobb függvénérték pedig 6 és a 4, ) ponthoz tartozik. Bizonítható, hog a függvén értékkészlete a [, 6] intervallum. Az ábrán az értelmezési tartomán és annak néhán pontjához tartozó függvénérték látható: Eg másik lehetséges ábrázolás: Függvénértékek Készítette: Vajda István 88

3 Matematika segédanag Leggakrabban háromdimenziós koordinátarendszerben ábrázoljuk a kétváltozós függvéneket: z z = Megjegzés: Előfordul, hog a koordinátatengeleken nem uganolan hosszúságú szakaszokat választunk egségnek. Íg van ez a fenti ábrán is, ahol a z-tengelen rövidebb szakasz felel meg eg egségnek, mint az, illetve -tengelen Értelmezési tartomán A kétváltozós függvén definíciójában szereplő H halmazt a függvén értelmezési tartománának nevezzük. Az értelmezési tartomán gakran eplicit módon szerepel a függvén megadásában, mint pl. a fenti f : [, 4] [, ] R,, ) függvén esetén. Ha nem adjuk meg külön az értelmezési tartománt, akkorr azon legbővebb részhalmazát tekintjük értelmezési tartománnak, ahol a függvén értelmezhető és értékei valós számok. Példák: Ha f, ) = 9, akkor a függvénérték csak abban az esetben valós szám, ha 9, azaz +. A függvén értelmezési tartomána tehát D f = {, ) + 9 }. Ennek az értelmezési tartománnak a képe az síkban az origó középpontú, r=3sugarú zárt) körlap Megjegzés: A halmaz zárt, ha minden határpontját tartalmazza, nílt, ha egetlen határpontját sem tartalmazza. Készítette: Vajda István 89

4 Matematika segédanag Legen g, ) = ln + ). Mivel csak a pozitív számok logaritmusát értelmezzük, D g = {, ) +> }. Ezt a halmazt az síkban eg nílt félsíkkal szemléltethetjük: Értékkészlet Az f :R H R kétváltozós függvén értékkészletén azt az R f R halmazt értjük, amelnek minden z eleméhez létezik, ) H, amelre f, ) = z. Példák: A korábban megismert f : [, 4] [, ] R, R f = [, 6], ) függvén értékkészlete Az f, ) = 9 függvén értékkészlete az R f = [, 3] intervallum. A g, ) = ln + ) függvén értékkészlete a valós számok halmaza, azaz R g =R Korlátosság Az f :R H R kétváltozós függvén alulról korlátos, ha k R, amelre teljesül, hog, ) H esetén f, ) k. Magarázat: A k R jelölés azt jelenti, hog van olan k-val jelölt) valós szám, a, ) H pedig azt, hog minden H halmazbeli, ) pár. Tehát a definíció szerint alulról korlátosnak nevezzük azt a függvént, amelhez létezik olan k-val jelölt) valós szám, amel minden függvénértéknél kisebb vag egenlő. Készítette: Vajda István 9

5 Matematika segédanag Az f :R H R kétváltozós függvén felülről korlátos, ha K R, amelre teljesül, hog, ) H esetén f, ) K. Az f :R H R kétváltozós függvén korlátos, ha alulról is és felülről is korlátos. Megjegzés: Ha k R alsó korlátja eg függvénnek, akkor minden k-nál kisebb szám is alsó korlátja és hasonlóan, ha K R felső korlát, akkor minden K-nál nagobb szám is felső korlát. Példák: ) Az f : [, 4] [, ] R,, függvén korlátos, mert a alsó- a 6 pedig felső korlátja. Uganennek a függvénnek pl. a is alsó korlátja és pl. a is felső korlátja. A függvén legnagobb alsó korlátja a és a legkisebb felső korlátja a 6. Az f, ) = 9 függvén ugancsak korlátos, legnagobb alsó korlátja, legkisebb felső korlátja 3. A g, ) = ln + ) függvén nem korlátos, mert sem alsó, sem felső korlátja nincs. Pl. a nem felső korlátja ha van olan, ) pár, amelre g, ) = ln + ) >. Ennek feltétele, hog +>e teljesüljön. Ez können teljesíthető is, ha -et és -t elég nagnak választjuk. Uganilen gondolatmenettel bármilen valós számról bebizoníthatjuk, hog nem felső korlátja a függvénnek.) Az f, ) = + függvén sem korlátos. Igaz, hog van alsó korlátja a a legnagobb alsó korlát), felülről azonban nem korlátos. Készítette: Vajda István 9

6 Matematika segédanag Foltonosság ) Legen P {, R. A P pont R -beli)δ-sugarú körne-, ) ) + ) <δ,, ) } R zetén a G δ = halmazt értjük. Megjegzés: A fenti körnezetet az síkban a P, ) középpontúδ-sugarú nílt körlappal szemléltethetjük. Az f :R ) H R kétváltozós függvén a P, pontban foltonos, ha ε > számhoz megadható P eg olan G D f körnezete, amelre teljesül, hog, ) G esetén f, ) f ), <ε. Példa: Az f, ) = + függvén foltonos a, ) helen az origóban), mert haε tetszőleges pozitív szám, akkor létezikδamelre <δ< ε és ha, ) a, )δsugarú körnezetében van, azaz + <δ, akkor f, ) f, ) = + <δ <ε. Tétel: Ha az f és g kétváltozós függvének foltonosak, ) -ban, akkor ott összegük, különbségük és szorzatuk is foltonos. Ha g, ), akkor f g is foltonos, ) -ban. Megjegzés: A tételből következik, hog a fenti példában szereplő f, ) = + függvén nemcsak a, ) pontban, hanem mindenütt foltonos. Készítette: Vajda István 9

7 Matematika segédanag 7.. A kétváltozós függvének differenciálszámítása 7... Parciális derivált Legen az f, ) ) kétváltozós függvén értelmezve a P, pont eg körnezetében. Ha a f lim, ) f, ) határérték létezik és véges, akkor az f függvént az változó szerint parciálisan differenciálhatónak nevezzük az P pontban. A fenti határértéket az f függvén P -beli szerinti parciális deriváltjának nevezzük. is. Megjegzés: Hasonlóan értelmezhetjük az változó szerinti parciális differenciálhatóságot Jelölés: Az f, ) függvén ) ), pontbeli szerinti parciális deriváltját f, - nal, vag f ) f -lal, szerinti parciális deriváltját f, -nal, vag P=P -lal jelöljük. P=P Példák: Számítsuk ki az f, ) = + kétváltozós függvén P, ) pontbeli parciális deriváltjait! Megoldás: f f + ) 4+), )=lim ) 4+ 4+), )=lim = lim 4 = lim +)=4 = lim = lim ) + = Számítsuk ki az f, ) = kétváltozós függvén P, 3) pontbeli szerinti parciális deriváltját! Megoldás: f, 3)=lim ) 3 3 = lim 3 = lim + = 3 3 Készítette: Vajda István 93

8 Matematika segédanag Megjegzés: A kétváltozós függvén parciális deriváltjának is van szemléletes jelentése. Akárcsak az egváltozós függvén deriváltjának.) Tegük fel, hog az f függvén P, ) pontjához tartozó parciális deriváltak léteznek. A P, ) ponton át végtelen sok olan síkot fektethetünk, amel a koordinátarendszer z tengelével párhuzamos, de ezek között csak eg olan van, amel az -tengellel is párhuzamos. Ez a függvént ábrázoló felületből eg z síkkal párhuzamos görbét metsz ki. Ehhez a görbéhez az,, f, ) ) pontban érintőt rajzolhatunk. Az ábrán pirossal rajzolt egenes.) Ennek az érintőnek a meredeksége a konkrét példában a b hánados) az szerinti parciális derivált a szemléletes jelentése. Az változó szerinti parciális derivált szemléletes jelentése hasonló, csak akkor a P ponton átmenő z síkkal párhuzamos sík metszi ki a felületből a megfelelő görbét. z z = + b a Készítette: Vajda István 94

9 Matematika segédanag Jelentse G azt a halmazt, amelnek pontjaiban az f :R H R kétváltozós függvénnek létezik az -szerinti parciális deriváltja. Nilván G H.) Ekkor azt a G R függvént, amel G minden pontjában az f függvén adott pontbeli -szerinti parciális deriváltját veszi fel értékül, az f függvén -szerinti parciális deriváltfüggvénének nevezzük. Jelölés: f, f Megjegzések:, ), illetve f. Hasonlóan értelmezhető az -szerinti parciális deriváltfüggvén is. A kétváltozós függvén parciális deriváltfüggvénei is kétváltozós függvének. G R ) A kétváltozós függvének parciális deriváltfüggvéneit hasonlóan határozhatjuk meg, mint az egváltozós függvének deriváltfüggvéneit, mindössze arra kell ügelni, hog a másik változót tehát amelik szerint éppen nem deriválunk) konstansként kell kezelni. Példák: Ha f, ) = , akkor f mert deriváltja és csak konstans szorzónak számít,... ) f f, = = +3+4, ) = f = + 3+, Ebben az esetben az eredeti függvén is és a parciális deriváltfüggvének is minden valós, ) számpárra értelmezettek, azaz D f = D f = D f =R. Ha f, ) = ) f 9, akkor f, = = 9 és ) f f, = = 9 Itt D f = H) az origó középpontú 3 egség sugarú zárt körlap, míg D f = D f = G) az origó középpontú 3 egség sugarú nílt körlap. Tehát az eredeti függvén értelmezett a körvonal pontjaiban, de ott parciálisan nem differenciálható egik változó szerint sem.) Megjegzés: A korábbiakban láttunk példát a parciális derivált kiszámítására a definíció alapján, azonban sokkal egszerűbb, ha előállítjuk a parciális deriváltfüggvéneke)t, és behelettesítünk. Készítette: Vajda István 95

10 Matematika segédanag Példák: Számítsuk ki az f, ) = + kétváltozós függvén P, ) pontbeli parciális deriváltjait! ) ) Megoldás: f, =, ezért f, )=4, f, =, ezért f, )=. Számítsuk ki az f, ) = kétváltozós függvén P, 3) pontbeli szerinti parciális deriváltját! Megoldás: f, ) =, ezért f, 3)= 3. Ha az f, ) kétváltozós függvén parciálisan differenciálható a P, ) pont eg körnezetében egik vag mindkét változója szerint és parciális deriváltfüggvénei) parciálisan differenciálhatók) P -ban, az egik vag minkét változó szerint), akkor f kétszer differenciálható parciálisan a P pontban és parciális deriváltfüggvénének parciális deriváltját másodrendű parciális deriváltnak nevezzük. Megjegzés: Összesen négféle másodrendű parciális derivált lehetséges, mert először is, másodszor is két-két változó szerint deriválhatunk parciálisan. Jelölések, elnevezések: Ha először is és másodszor is az változó szerint deriválunk parciálisan, akkor az f függvén -szerinti tiszta másodrendű parciális deriváltjához jutunk: f P )= f. P=P Hasonlóan értelmezhető az -szerinti tiszta másodrendű parciális derivált: f P )= f. P=P Ha az egik esetben az, a másik esetben pedig az változó szerint deriválunk parciálisan, akkor az f függvén veges másodrendű parciális deriváltjához jutunk, ami kétféle lehet aszerint, hog melik változó szerint deriváltunk először. Ha először deriválunk, másodszor szerint, akkor az f P )= f, P=P Készítette: Vajda István 96

11 Matematika segédanag ellenkező esetben az f P )= f, P=P veges másodrendű parciális derivált az eredmén. Figeljük meg, hog az első jelölésnél a deriválás sorrendjében balról jobbra, míg a második jelölésnél jobbról balra soroljuk fel a változókat! Megjegzések: Hasonlóan értelmezhetjük a harmad-, neged- és magasabbrendű parciális deriváltakat is. Az elsőrendű parciális deriváltfüggvénhez hasonlóan beszélhetünk magasabbrendű parciális deriváltfüggvénekről is. Példák: Ha f, ) = 3 + 3, akkor f ), = és f ), = f ), = 6+4, f ), = f ), = és f ), = 4 f, )=6, f, 3)= f, 3)=4 és f, )=4 Ha f, ) = ln 3+ ), akkor f, ) = ln 3+ ) f ) ) 3, = ln és f, ) = 3+ ) 3+ 9 ) = 3+ = ln 3+ ) ) f 66, )= ln 5+ 5 f ) 4, = 3+ 6 ) = ) f 3, )= 69 Tétel: Ha az f kétváltozós függvén veges másodrendű parciális deriváltfüggvénei értelmezettek a P pont eg körnezetében és P -ban foltonosak, akkor f P )= f P ). Készítette: Vajda István 97

12 Matematika segédanag 7... Totális differenciálhatóság ) Ha van a P, pontnak olan körnezete, amelben az f, ) kétváltozós függvén értelmezett, és amelnek minden P, ) pontjára f P) f P )=A )+B ) + a P) )+b P) ), ahol A és B valós számok, és az a P), b P) kétváltozós függvénekre teljesül, hog lim a P)= lim b P)=, akkor f P P P P differenciálható a P pontban. Megjegzés: Ha hangsúlozni kívánjuk, hog ez a differenciálhatóság más mint a parciális differenciálhatóság, akkor azt mondjuk, hog f a P pontban totálisan differenciálható. Totális teljes) differenciálhatóság.) Példa: Láttuk korábban, hog az f, ) = + függvén mindkét változója szerint parciálisan differenciálható a P, ) pontban. Megmutatjuk, hog uganitt totálisan is differenciálható: f, ) f P )= f, ) 5=4 )+ ) + ) + ), tehát A=4, B=, a P)= ), b P)= ) és lim P P )= lim P P ) =. Tétel: Ha az f kétváltozós függvén totálisan) differenciálható a P pontban, akkor ott foltonos is. Megjegzés: Ha az f kétváltozós függvénről csak annit tudunk, hog a P pontban parciálisan differenciálható esetleg mindkét változója szerint), akkor még nem biztos, hog f foltonos is P -ban. Tehát az egváltozós függvén differenciálhatóságának megfelelője a kétváltozós függvéneknél nem a parciális, hanem a totális differenciálhatóság. Készítette: Vajda István 98

13 Matematika segédanag Tétel: Ha az f kétváltozós függvén totálisan) differenciálható a P pontban, akkor ott mindkét változója szerint parciálisan is differenciálható. Megjegzések: A tétel alapján tehát mondhatjuk, hog a totális) differenciálhatóság erősebb tulajdonság, mint a parciális differenciálhatóság. A teljes differenciálhatóságnak szükséges feltétele a mindkét változó szerinti) parciális differenciálhatóság.) A totális differenciálhatóság definíciójában szereplő A és B egütthatók éppen a függvén adott pontbeli parciális deriváltjai: A= f P ) és B= f P ). Ha az f, ) ) kétváltozós függvén a P, pontban totálisan differenciálható, akkor a d f=f, ) d+ f, ) d kifejezést az f függvén P -beli teljes totális) differenciáljának nevezzük. Példa: Az f, ) = 3 kétváltozós függvén teljes differenciálja a P, 3) pontban ) d f= 3d d, mert f ), = 3 = = 3 és f, = 3 = =. =3 =3 Készítette: Vajda István 99

14 Matematika segédanag 7.3. A kétváltozós függvének differenciálszámításának alkalmazásai Felület érintősíkja Tétel: Ha az f, ) ) kétváltozós függvén a P, pontban totálisan differenciálható, akkor a z = f, ) felületnek az,, f ), ) pontban létezik érintősíkja és annak n f P ), f P ), ) eg normálvektora. Példa: Láttuk, hog az f, ) = 3 kétváltozós függvén totálisan differenciálható a P, 3) pontban. Mivel f P )= 6, ezért az E, 3, 6) pont rajta van a kétváltozós függvént ábrázoló z= 3 felületen. Az E pontban a felülethez érintősík húzható, melnek normálvektora n 3,, ). Tehát a felület E ponthoz tartozó érintősíkjának egenlete 3 z= Hibaszámítás Tétel: Ha az f, ) ) kétváltozós függvén a P, pontban totálisan differenciálható, és az, illetve számokat és abszolút hibával tudjuk meghatározni, akkor a függvénérték hibáját az f P) f P ) = f f ), + f ), f ), + f ), összefüggés alapján tudjuk becsülni. Példa: Méréssel megállapítottuk, hog eg egenes körhenger alapkörének sugara r = 3±, cm), magassága m = 8±, 5cm). Határozzuk meg a henger térfogatát, valamint a számított térfogat abszolút és relatív hibáját! Megoldás: V= r mπ 7π 6, Készítette: Vajda István

15 Matematika segédanag A térfogatfüggvén parciális deriváltjai: V r r=3 = rmπ r=3 = 48π V m r=3 = r π r=3 = 9π m=8 m=8 m=8 m=8 A térfogat abszolút hibája: V =48π, +9π, 5=, 55π, 649 cm 3) A térfogat relatív hibája:δv= V V =, 55π 7π, 73 Készítette: Vajda István

16 Matematika segédanag 7.4. A kétváltozós függvének integrálszámítása A határozott integrál fogalma Legen adott az síkban eg téglalap, melnek oldalai a koordinátatengelekkel párhuzamosak. Ha a téglalapot oldalaival párhuzamos egenesek segítségével kisebb téglalapokra bontjuk, akkor az eredeti téglalap eg felosztását kapjuk. A felosztás finomságán a kis téglalapok átlóinak legnagobbikát értjük. Jelölés: Szokás a felosztást F-fel, a felosztás finomságát df-fel jelölni. df Készítette: Vajda István

17 Matematika segédanag Eg foltonos, zárt görbe által meghatározott tartomán felosztását eg a tartománt magában foglaló téglalap felosztásával kapjuk. Megjegzés: A tartomán felosztása olan síkidomokat határoz meg, melek csak a határvonaluk mentén érintkezhetnek és egüttesen lefedik a tartománt. Területük összege íg a tartomán területét adja. Készítette: Vajda István 3

18 Matematika segédanag Legen adott eg foltonos, zárt görbe által meghatározott T tartomán és ennek eg F felosztása, továbbá legen értelmezett T-n eg f kétváltozós függvén. Az f függvén eg F felosztáshoz tartozó Riemann-féle integrálközelítő összegén a n f i, i ) ti = f, ) t + f, ) t f n, n ) tn i= összeget értjük, ha az F felosztás a T tartománt n síkidomra bontja, melek területe t, t,...,t n, és az i, i ) pont a ti területű síkidom eg tetszőleges pontja. t, ) t, ) Megjegzés: Ha az f függvén a T tartománon csak pozitív értékeket vesz fel, akkor az integrálközelítő összeg a függvént ábrázoló felület T tartomán feletti része és a T tartomán közötti térrész térfogatának közelítése. A közelítés annál pontosabb, minél finomabb felosztást alkalmazunk. Készítette: Vajda István 4

19 Matematika segédanag Legen adott eg foltonos, zárt görbe által meghatározott T tartomán és legen az f kétváltozós függvén értelmezett T-n. Az f függvén Riemann-értelemben integrálható T-n, ha minden végtelenül finomodó felosztássorozat esetén az ehhez tartozó integrálközelítő összegek sorozata eg véges számhoz tart. n Azaz a lim f i, i ) ti határérték létezik és véges.) Ezt a n i= df n számot az f függvén T tartománon vett határozott integráljának nevezzük. Jelölés: T f vag T f, ) dt Megjegzések: Bizonítható, hogha az f függvén integrálható a T tartománon, akkor mindeg, hog T melik végtelenül finomodó felosztássorozatát vesszük, az ehhez tartozó integrálközelítő összegek sorozata mindig uganahhoz a számhoz tart, függetlenül attól, hog a résztartománok melik pontjában felvett függvénértéket használjuk fel az integrálközelítő összeg kiszámításához. Tehát nem számít, hog i, i ) a ti területű tartomán melik pontja.) Azt mondhatjuk, tehát, hog a Riemann-integrál, ha létezik, akkor egértelmű. Ha az f függvén a T tartománon csak pozitív értékeket vesz fel, akkor a függvént ábrázoló felület T feletti része és a T tartomán közé eső térrész térfogata éppen az f függvén T tartománon vett határozott integrálja, azaz V = f. Ez a kétváltozós T függvén Riemann-integráljának szemléletes jelentése. Készítette: Vajda István 5

20 Matematika segédanag A határozott integrál kiszámítása Tétel: Ha az f kétváltozós, valós függvén értelmezett és integrálható a T = { ), R a b, c d } téglalapon, akkor ezen téglalapon vett határozott integrálja: d b f= f, ) b d d d= f, ) d d T c a a c Megjegzés: Mint a tételből látszik kétféleképpen lehet az integrált kiszámítani: Először az majd az változó szerint integrálunk, vag éppen fordítva először az majd az változó szerint. Amikor az egik változó szerint integrálunk, akkor a másikat konstansként kell kezelni. Példák: Számítsuk ki az f, ) = + 4 függvén határozott integrálját a T= {, ) R 3, 5 } téglalapon! Megoldás: T f, ) dt= ) d d= = 5 5 [ Második megoldás: Fordított sorrendben integrálva:) T f, ) dt= ) d d= = ] 3 d= ) [ d= ] 5 3 = 94 [ + ] 5 d= ) d= [ 3 + ] 3 = 94 Készítette: Vajda István 6

21 Matematika segédanag Számítsuk ki az f, ) = + ln függvén határozott integrálját a T= {, ) R 3, } téglalapon! Megoldás: T f, ) dt= 3 + ln ) d d= = [ ln ] 3 d= ) [ ] ln d= 3 + ln = ln Tétel: Ha az f kétváltozós, valós függvén értelmezett és integrálható a T = { ), R a b,ϕ ) ϕ ) } tartománon, akkor ezen tartománon vett határozott integrálja: T f= b a ϕ ) ϕ ) f, ) d d Megjegzés: A tételben leírt tartománt tehát alulról és felülről eg-eg függvéngörbe, balról és jobbról pedig eg-eg egenesszakasz határolja. Az egenesszakaszok esetleg ponttá is fajulhatnak.) ϕ ) ϕ ) Készítette: Vajda István 7

22 Matematika segédanag Példák: Integráljuk az f, ) = függvént az A=, ), B4, ), C4, 4) pontok által meghatározott háromszögtartománon! Megoldás: 4 ϕ ) = ϕ ) = 4 T f, ) dt= 4 d d= = d= [ [ 4 8 ] ] 4 d= = 3 Integráljuk az f, ) {, ) = sin függvént a T= R π }, cos tartománon! Megoldás: ϕ ) = cos T f, ) dt= π cos sin d d= ϕ ) = π = π [ sin ] cos d= π cos sin d= = [ ] π 6 cos3 = 6 Készítette: Vajda István 8

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény Függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II. Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény. Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál

Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató A hármas és háromszoros integrál Definició A fizikai meggondolások előzményeként jutunk el a hármas integrál következő értelmezéséhez. Legyen értelmezve

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Kettős és többes integrálok

Kettős és többes integrálok Kettős és többes integrálok ) f,) + + kettős integrálja az, tartománon Megoldás: + + dd 6 + 6 + 8 + 9 + ] + + ] d 8 + 8 + ) f,) sin + ) integrálja a, tartománon Megoldás: ] d + 9 + d + + 68 8 7,5 + sin

Részletesebben

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása 5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)

A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

Az f függvénynek van határértéke az x = 2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o lim f(x) = 3.

Az f függvénynek van határértéke az x = 2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o lim f(x) = 3. 0-06, II. félév. FELADATLAP Eredmének. Van határértéke, illetve foltonos az f függvén az alábbi pontokban? (a) = Az f függvénnek van határértéke az = pontban és ez a határérték -mal egenl½o f() =.! Az

Részletesebben

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük. Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

7.4. A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság

7.4. A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság H @ tj 68 7 PROGRAMKONSTRUKCIÓK 74 A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság Ebben az alfejezetben kis kitérőt teszünk a kiszámíthatóság-elmélet felé, és megmutatjuk, hog az imént bevezetett három programkonstrukció

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Osztályozóvizsga követelményei

Osztályozóvizsga követelményei Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 12 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

Többváltozós függvények Riemann integrálja

Többváltozós függvények Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós

Részletesebben

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

1. Lineáris transzformáció

1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13. 2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

1. Sorozatok 2014.03.12.

1. Sorozatok 2014.03.12. 1. Sorozatok Azokat a függvényeket, amelyek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza ( jelölése N ), a képhalmaz a valós számok halmaza, sorozatnak nevezzük. Az a függvény n N helyen vett

Részletesebben

1. gyakorlat. Oktatási segédlet hallgatók számára

1. gyakorlat. Oktatási segédlet hallgatók számára másik termék mennisége. gakorlat Transzformációs görbe, mikroökonómiai optimumfeladatok megoldásának alapmódszere Oktatási segédlet hallgatók számára Eg fontos közgazdasági alapmodell TLH, alternatív költség,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Kétváltozós függvény szélsőértéke

Kétváltozós függvény szélsőértéke Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely,

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2014/2015. tanév I. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Matematikai alapok

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Matematika példatár 5.

Matematika példatár 5. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 5 MAT5 modul Integrálszámítás alkalmazása SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3. Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Mit jelent az optimalizálás?

Mit jelent az optimalizálás? Mikroökon konómiai optimumfeladatok megoldási módszereim Alapvetõ deriválási szabálok. Feltételes szélsõ érték feladatok megoldása. Mit jelent az optimalizálás? feltételes szélsõérték-feladat döntési helzet

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató Módszertani Intézeti Tanszék Gazdaságinformatikus szak nappali tagozat Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató 2015/16 tanév II. félév 1/5 Tantárgy megnevezése Matematikai alapok 1 Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Analízis előadás és gyakorlat vázlat Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1 MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozt: Szüle Veronik, eg ts) Mtemtiki összefoglló 11 Mátrilgeri összefoglló: ) Mátri értelmezése, jelölése: Mátri:

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA)

Határozatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA) Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ANTIDERIVÁLT FOGALMA). Definíció A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata az hogy

Részletesebben

10. elıadás: Vállalati kínálat, iparági kínálat Piaci ár. A versenyzı vállalat kínálati döntése. A vállalat korlátai

10. elıadás: Vállalati kínálat, iparági kínálat Piaci ár. A versenyzı vállalat kínálati döntése. A vállalat korlátai (C) htt://kgt.bme.hu/ 1 /8.1. ábra. A versenzı vállalat keresleti görbéje. A iaci árnál a vállalati kereslet vízszintes. Magasabb árakon a vállalat semmit nem ad el, a iaci ár alatt edig a teljes keresleti

Részletesebben

f (ξ i ) (x i x i 1 )

f (ξ i ) (x i x i 1 ) Villmosmérnök Szk, Távokttás Mtemtik segédnyg 4. Integrálszámítás 4.. A htározott integrál Definíció Az [, b] intervllum vlmely n részes felosztásán (n N) z F n ={,,..., n } hlmzt értjük, melyre = <

Részletesebben