7. Kétváltozós függvények

Átírás

1 Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és b B. Példa: Ha A={a, b, c} és B={, 4}, akkor A B={a, ),a, 4),b, ),b, 4),c, ),c, 4)} Megjegzés: Az, hog A B elemei rendezett párok, azt jelenti, hog léneges, hog melik elem van elöl, és melik a második. A fenti példában a, ) A B, de, a) A B. Példa: R R elemei a valós számokból álló rendezett párok. Olan rendezett párok, melek első és második eleme is valós szám.) Jelölés: AzR R halmazt szokás röveidenr -tel jelölni. Megjegzés: Ezt a halmazt az koordináta-síkkal szokás szemléltetni, mert R R minden, ) elemének megfeleltetjük a sík azon pontját, melnek első koordinátája, második koordinátája. Ez a megfeleltetés kölcsönösen egértelmű.) Példa: [, 4] [, ] elemei olan valós számokból álló rendezett párok, amelek első eleme és 4 közé, második eleme és közé esik. Megjegzések: Uganez a halmaz a következőképpen is felírható: {, ) 4, } A halmaz szemléltethető az síkban eg téglalappal. 3 4 Megjegzés: Können látható, hog [, 4] [, ] R. AzR részhalmazai az sík részhalmazaival szemléltethetők, melek esetenként az elemi geometriából jól ismert síkidomok. Készítette: Vajda István 87

2 Matematika segédanag Legen H R halmaz. Az f : H R függvéneket kétváltozós függvéneknek nevezzük. Példa: f : [, 4] [, ] R, Jelölés: Uganezt a függvént íg is megadhatjuk: Megjegzések:, ) f : [, 4] [, ] R, f, ) = A függvén értelmezési tartomána a korábban már megismert [, 4] [, ] halmaz. Az értelmezési tartomán eges pontjaihoz tartozó függvénértékeket az f, ) = képletbe való helettesítéssel határozhatjuk meg. Például a 4, ) ponthoz tartozó függvénérték f 4, )= 4 = 8. A függvén által felvett legkisebb függvénérték, melet a függvén a, ) pontban vesz fel, a legnagobb függvénérték pedig 6 és a 4, ) ponthoz tartozik. Bizonítható, hog a függvén értékkészlete a [, 6] intervallum. Az ábrán az értelmezési tartomán és annak néhán pontjához tartozó függvénérték látható: Eg másik lehetséges ábrázolás: Függvénértékek Készítette: Vajda István 88

3 Matematika segédanag Leggakrabban háromdimenziós koordinátarendszerben ábrázoljuk a kétváltozós függvéneket: z z = Megjegzés: Előfordul, hog a koordinátatengeleken nem uganolan hosszúságú szakaszokat választunk egségnek. Íg van ez a fenti ábrán is, ahol a z-tengelen rövidebb szakasz felel meg eg egségnek, mint az, illetve -tengelen Értelmezési tartomán A kétváltozós függvén definíciójában szereplő H halmazt a függvén értelmezési tartománának nevezzük. Az értelmezési tartomán gakran eplicit módon szerepel a függvén megadásában, mint pl. a fenti f : [, 4] [, ] R,, ) függvén esetén. Ha nem adjuk meg külön az értelmezési tartománt, akkorr azon legbővebb részhalmazát tekintjük értelmezési tartománnak, ahol a függvén értelmezhető és értékei valós számok. Példák: Ha f, ) = 9, akkor a függvénérték csak abban az esetben valós szám, ha 9, azaz +. A függvén értelmezési tartomána tehát D f = {, ) + 9 }. Ennek az értelmezési tartománnak a képe az síkban az origó középpontú, r=3sugarú zárt) körlap Megjegzés: A halmaz zárt, ha minden határpontját tartalmazza, nílt, ha egetlen határpontját sem tartalmazza. Készítette: Vajda István 89

4 Matematika segédanag Legen g, ) = ln + ). Mivel csak a pozitív számok logaritmusát értelmezzük, D g = {, ) +> }. Ezt a halmazt az síkban eg nílt félsíkkal szemléltethetjük: Értékkészlet Az f :R H R kétváltozós függvén értékkészletén azt az R f R halmazt értjük, amelnek minden z eleméhez létezik, ) H, amelre f, ) = z. Példák: A korábban megismert f : [, 4] [, ] R, R f = [, 6], ) függvén értékkészlete Az f, ) = 9 függvén értékkészlete az R f = [, 3] intervallum. A g, ) = ln + ) függvén értékkészlete a valós számok halmaza, azaz R g =R Korlátosság Az f :R H R kétváltozós függvén alulról korlátos, ha k R, amelre teljesül, hog, ) H esetén f, ) k. Magarázat: A k R jelölés azt jelenti, hog van olan k-val jelölt) valós szám, a, ) H pedig azt, hog minden H halmazbeli, ) pár. Tehát a definíció szerint alulról korlátosnak nevezzük azt a függvént, amelhez létezik olan k-val jelölt) valós szám, amel minden függvénértéknél kisebb vag egenlő. Készítette: Vajda István 9

5 Matematika segédanag Az f :R H R kétváltozós függvén felülről korlátos, ha K R, amelre teljesül, hog, ) H esetén f, ) K. Az f :R H R kétváltozós függvén korlátos, ha alulról is és felülről is korlátos. Megjegzés: Ha k R alsó korlátja eg függvénnek, akkor minden k-nál kisebb szám is alsó korlátja és hasonlóan, ha K R felső korlát, akkor minden K-nál nagobb szám is felső korlát. Példák: ) Az f : [, 4] [, ] R,, függvén korlátos, mert a alsó- a 6 pedig felső korlátja. Uganennek a függvénnek pl. a is alsó korlátja és pl. a is felső korlátja. A függvén legnagobb alsó korlátja a és a legkisebb felső korlátja a 6. Az f, ) = 9 függvén ugancsak korlátos, legnagobb alsó korlátja, legkisebb felső korlátja 3. A g, ) = ln + ) függvén nem korlátos, mert sem alsó, sem felső korlátja nincs. Pl. a nem felső korlátja ha van olan, ) pár, amelre g, ) = ln + ) >. Ennek feltétele, hog +>e teljesüljön. Ez können teljesíthető is, ha -et és -t elég nagnak választjuk. Uganilen gondolatmenettel bármilen valós számról bebizoníthatjuk, hog nem felső korlátja a függvénnek.) Az f, ) = + függvén sem korlátos. Igaz, hog van alsó korlátja a a legnagobb alsó korlát), felülről azonban nem korlátos. Készítette: Vajda István 9

6 Matematika segédanag Foltonosság ) Legen P {, R. A P pont R -beli)δ-sugarú körne-, ) ) + ) <δ,, ) } R zetén a G δ = halmazt értjük. Megjegzés: A fenti körnezetet az síkban a P, ) középpontúδ-sugarú nílt körlappal szemléltethetjük. Az f :R ) H R kétváltozós függvén a P, pontban foltonos, ha ε > számhoz megadható P eg olan G D f körnezete, amelre teljesül, hog, ) G esetén f, ) f ), <ε. Példa: Az f, ) = + függvén foltonos a, ) helen az origóban), mert haε tetszőleges pozitív szám, akkor létezikδamelre <δ< ε és ha, ) a, )δsugarú körnezetében van, azaz + <δ, akkor f, ) f, ) = + <δ <ε. Tétel: Ha az f és g kétváltozós függvének foltonosak, ) -ban, akkor ott összegük, különbségük és szorzatuk is foltonos. Ha g, ), akkor f g is foltonos, ) -ban. Megjegzés: A tételből következik, hog a fenti példában szereplő f, ) = + függvén nemcsak a, ) pontban, hanem mindenütt foltonos. Készítette: Vajda István 9

7 Matematika segédanag 7.. A kétváltozós függvének differenciálszámítása 7... Parciális derivált Legen az f, ) ) kétváltozós függvén értelmezve a P, pont eg körnezetében. Ha a f lim, ) f, ) határérték létezik és véges, akkor az f függvént az változó szerint parciálisan differenciálhatónak nevezzük az P pontban. A fenti határértéket az f függvén P -beli szerinti parciális deriváltjának nevezzük. is. Megjegzés: Hasonlóan értelmezhetjük az változó szerinti parciális differenciálhatóságot Jelölés: Az f, ) függvén ) ), pontbeli szerinti parciális deriváltját f, - nal, vag f ) f -lal, szerinti parciális deriváltját f, -nal, vag P=P -lal jelöljük. P=P Példák: Számítsuk ki az f, ) = + kétváltozós függvén P, ) pontbeli parciális deriváltjait! Megoldás: f f + ) 4+), )=lim ) 4+ 4+), )=lim = lim 4 = lim +)=4 = lim = lim ) + = Számítsuk ki az f, ) = kétváltozós függvén P, 3) pontbeli szerinti parciális deriváltját! Megoldás: f, 3)=lim ) 3 3 = lim 3 = lim + = 3 3 Készítette: Vajda István 93

8 Matematika segédanag Megjegzés: A kétváltozós függvén parciális deriváltjának is van szemléletes jelentése. Akárcsak az egváltozós függvén deriváltjának.) Tegük fel, hog az f függvén P, ) pontjához tartozó parciális deriváltak léteznek. A P, ) ponton át végtelen sok olan síkot fektethetünk, amel a koordinátarendszer z tengelével párhuzamos, de ezek között csak eg olan van, amel az -tengellel is párhuzamos. Ez a függvént ábrázoló felületből eg z síkkal párhuzamos görbét metsz ki. Ehhez a görbéhez az,, f, ) ) pontban érintőt rajzolhatunk. Az ábrán pirossal rajzolt egenes.) Ennek az érintőnek a meredeksége a konkrét példában a b hánados) az szerinti parciális derivált a szemléletes jelentése. Az változó szerinti parciális derivált szemléletes jelentése hasonló, csak akkor a P ponton átmenő z síkkal párhuzamos sík metszi ki a felületből a megfelelő görbét. z z = + b a Készítette: Vajda István 94

9 Matematika segédanag Jelentse G azt a halmazt, amelnek pontjaiban az f :R H R kétváltozós függvénnek létezik az -szerinti parciális deriváltja. Nilván G H.) Ekkor azt a G R függvént, amel G minden pontjában az f függvén adott pontbeli -szerinti parciális deriváltját veszi fel értékül, az f függvén -szerinti parciális deriváltfüggvénének nevezzük. Jelölés: f, f Megjegzések:, ), illetve f. Hasonlóan értelmezhető az -szerinti parciális deriváltfüggvén is. A kétváltozós függvén parciális deriváltfüggvénei is kétváltozós függvének. G R ) A kétváltozós függvének parciális deriváltfüggvéneit hasonlóan határozhatjuk meg, mint az egváltozós függvének deriváltfüggvéneit, mindössze arra kell ügelni, hog a másik változót tehát amelik szerint éppen nem deriválunk) konstansként kell kezelni. Példák: Ha f, ) = , akkor f mert deriváltja és csak konstans szorzónak számít,... ) f f, = = +3+4, ) = f = + 3+, Ebben az esetben az eredeti függvén is és a parciális deriváltfüggvének is minden valós, ) számpárra értelmezettek, azaz D f = D f = D f =R. Ha f, ) = ) f 9, akkor f, = = 9 és ) f f, = = 9 Itt D f = H) az origó középpontú 3 egség sugarú zárt körlap, míg D f = D f = G) az origó középpontú 3 egség sugarú nílt körlap. Tehát az eredeti függvén értelmezett a körvonal pontjaiban, de ott parciálisan nem differenciálható egik változó szerint sem.) Megjegzés: A korábbiakban láttunk példát a parciális derivált kiszámítására a definíció alapján, azonban sokkal egszerűbb, ha előállítjuk a parciális deriváltfüggvéneke)t, és behelettesítünk. Készítette: Vajda István 95

10 Matematika segédanag Példák: Számítsuk ki az f, ) = + kétváltozós függvén P, ) pontbeli parciális deriváltjait! ) ) Megoldás: f, =, ezért f, )=4, f, =, ezért f, )=. Számítsuk ki az f, ) = kétváltozós függvén P, 3) pontbeli szerinti parciális deriváltját! Megoldás: f, ) =, ezért f, 3)= 3. Ha az f, ) kétváltozós függvén parciálisan differenciálható a P, ) pont eg körnezetében egik vag mindkét változója szerint és parciális deriváltfüggvénei) parciálisan differenciálhatók) P -ban, az egik vag minkét változó szerint), akkor f kétszer differenciálható parciálisan a P pontban és parciális deriváltfüggvénének parciális deriváltját másodrendű parciális deriváltnak nevezzük. Megjegzés: Összesen négféle másodrendű parciális derivált lehetséges, mert először is, másodszor is két-két változó szerint deriválhatunk parciálisan. Jelölések, elnevezések: Ha először is és másodszor is az változó szerint deriválunk parciálisan, akkor az f függvén -szerinti tiszta másodrendű parciális deriváltjához jutunk: f P )= f. P=P Hasonlóan értelmezhető az -szerinti tiszta másodrendű parciális derivált: f P )= f. P=P Ha az egik esetben az, a másik esetben pedig az változó szerint deriválunk parciálisan, akkor az f függvén veges másodrendű parciális deriváltjához jutunk, ami kétféle lehet aszerint, hog melik változó szerint deriváltunk először. Ha először deriválunk, másodszor szerint, akkor az f P )= f, P=P Készítette: Vajda István 96

11 Matematika segédanag ellenkező esetben az f P )= f, P=P veges másodrendű parciális derivált az eredmén. Figeljük meg, hog az első jelölésnél a deriválás sorrendjében balról jobbra, míg a második jelölésnél jobbról balra soroljuk fel a változókat! Megjegzések: Hasonlóan értelmezhetjük a harmad-, neged- és magasabbrendű parciális deriváltakat is. Az elsőrendű parciális deriváltfüggvénhez hasonlóan beszélhetünk magasabbrendű parciális deriváltfüggvénekről is. Példák: Ha f, ) = 3 + 3, akkor f ), = és f ), = f ), = 6+4, f ), = f ), = és f ), = 4 f, )=6, f, 3)= f, 3)=4 és f, )=4 Ha f, ) = ln 3+ ), akkor f, ) = ln 3+ ) f ) ) 3, = ln és f, ) = 3+ ) 3+ 9 ) = 3+ = ln 3+ ) ) f 66, )= ln 5+ 5 f ) 4, = 3+ 6 ) = ) f 3, )= 69 Tétel: Ha az f kétváltozós függvén veges másodrendű parciális deriváltfüggvénei értelmezettek a P pont eg körnezetében és P -ban foltonosak, akkor f P )= f P ). Készítette: Vajda István 97

12 Matematika segédanag 7... Totális differenciálhatóság ) Ha van a P, pontnak olan körnezete, amelben az f, ) kétváltozós függvén értelmezett, és amelnek minden P, ) pontjára f P) f P )=A )+B ) + a P) )+b P) ), ahol A és B valós számok, és az a P), b P) kétváltozós függvénekre teljesül, hog lim a P)= lim b P)=, akkor f P P P P differenciálható a P pontban. Megjegzés: Ha hangsúlozni kívánjuk, hog ez a differenciálhatóság más mint a parciális differenciálhatóság, akkor azt mondjuk, hog f a P pontban totálisan differenciálható. Totális teljes) differenciálhatóság.) Példa: Láttuk korábban, hog az f, ) = + függvén mindkét változója szerint parciálisan differenciálható a P, ) pontban. Megmutatjuk, hog uganitt totálisan is differenciálható: f, ) f P )= f, ) 5=4 )+ ) + ) + ), tehát A=4, B=, a P)= ), b P)= ) és lim P P )= lim P P ) =. Tétel: Ha az f kétváltozós függvén totálisan) differenciálható a P pontban, akkor ott foltonos is. Megjegzés: Ha az f kétváltozós függvénről csak annit tudunk, hog a P pontban parciálisan differenciálható esetleg mindkét változója szerint), akkor még nem biztos, hog f foltonos is P -ban. Tehát az egváltozós függvén differenciálhatóságának megfelelője a kétváltozós függvéneknél nem a parciális, hanem a totális differenciálhatóság. Készítette: Vajda István 98

13 Matematika segédanag Tétel: Ha az f kétváltozós függvén totálisan) differenciálható a P pontban, akkor ott mindkét változója szerint parciálisan is differenciálható. Megjegzések: A tétel alapján tehát mondhatjuk, hog a totális) differenciálhatóság erősebb tulajdonság, mint a parciális differenciálhatóság. A teljes differenciálhatóságnak szükséges feltétele a mindkét változó szerinti) parciális differenciálhatóság.) A totális differenciálhatóság definíciójában szereplő A és B egütthatók éppen a függvén adott pontbeli parciális deriváltjai: A= f P ) és B= f P ). Ha az f, ) ) kétváltozós függvén a P, pontban totálisan differenciálható, akkor a d f=f, ) d+ f, ) d kifejezést az f függvén P -beli teljes totális) differenciáljának nevezzük. Példa: Az f, ) = 3 kétváltozós függvén teljes differenciálja a P, 3) pontban ) d f= 3d d, mert f ), = 3 = = 3 és f, = 3 = =. =3 =3 Készítette: Vajda István 99

14 Matematika segédanag 7.3. A kétváltozós függvének differenciálszámításának alkalmazásai Felület érintősíkja Tétel: Ha az f, ) ) kétváltozós függvén a P, pontban totálisan differenciálható, akkor a z = f, ) felületnek az,, f ), ) pontban létezik érintősíkja és annak n f P ), f P ), ) eg normálvektora. Példa: Láttuk, hog az f, ) = 3 kétváltozós függvén totálisan differenciálható a P, 3) pontban. Mivel f P )= 6, ezért az E, 3, 6) pont rajta van a kétváltozós függvént ábrázoló z= 3 felületen. Az E pontban a felülethez érintősík húzható, melnek normálvektora n 3,, ). Tehát a felület E ponthoz tartozó érintősíkjának egenlete 3 z= Hibaszámítás Tétel: Ha az f, ) ) kétváltozós függvén a P, pontban totálisan differenciálható, és az, illetve számokat és abszolút hibával tudjuk meghatározni, akkor a függvénérték hibáját az f P) f P ) = f f ), + f ), f ), + f ), összefüggés alapján tudjuk becsülni. Példa: Méréssel megállapítottuk, hog eg egenes körhenger alapkörének sugara r = 3±, cm), magassága m = 8±, 5cm). Határozzuk meg a henger térfogatát, valamint a számított térfogat abszolút és relatív hibáját! Megoldás: V= r mπ 7π 6, Készítette: Vajda István

15 Matematika segédanag A térfogatfüggvén parciális deriváltjai: V r r=3 = rmπ r=3 = 48π V m r=3 = r π r=3 = 9π m=8 m=8 m=8 m=8 A térfogat abszolút hibája: V =48π, +9π, 5=, 55π, 649 cm 3) A térfogat relatív hibája:δv= V V =, 55π 7π, 73 Készítette: Vajda István

16 Matematika segédanag 7.4. A kétváltozós függvének integrálszámítása A határozott integrál fogalma Legen adott az síkban eg téglalap, melnek oldalai a koordinátatengelekkel párhuzamosak. Ha a téglalapot oldalaival párhuzamos egenesek segítségével kisebb téglalapokra bontjuk, akkor az eredeti téglalap eg felosztását kapjuk. A felosztás finomságán a kis téglalapok átlóinak legnagobbikát értjük. Jelölés: Szokás a felosztást F-fel, a felosztás finomságát df-fel jelölni. df Készítette: Vajda István

17 Matematika segédanag Eg foltonos, zárt görbe által meghatározott tartomán felosztását eg a tartománt magában foglaló téglalap felosztásával kapjuk. Megjegzés: A tartomán felosztása olan síkidomokat határoz meg, melek csak a határvonaluk mentén érintkezhetnek és egüttesen lefedik a tartománt. Területük összege íg a tartomán területét adja. Készítette: Vajda István 3

18 Matematika segédanag Legen adott eg foltonos, zárt görbe által meghatározott T tartomán és ennek eg F felosztása, továbbá legen értelmezett T-n eg f kétváltozós függvén. Az f függvén eg F felosztáshoz tartozó Riemann-féle integrálközelítő összegén a n f i, i ) ti = f, ) t + f, ) t f n, n ) tn i= összeget értjük, ha az F felosztás a T tartománt n síkidomra bontja, melek területe t, t,...,t n, és az i, i ) pont a ti területű síkidom eg tetszőleges pontja. t, ) t, ) Megjegzés: Ha az f függvén a T tartománon csak pozitív értékeket vesz fel, akkor az integrálközelítő összeg a függvént ábrázoló felület T tartomán feletti része és a T tartomán közötti térrész térfogatának közelítése. A közelítés annál pontosabb, minél finomabb felosztást alkalmazunk. Készítette: Vajda István 4

19 Matematika segédanag Legen adott eg foltonos, zárt görbe által meghatározott T tartomán és legen az f kétváltozós függvén értelmezett T-n. Az f függvén Riemann-értelemben integrálható T-n, ha minden végtelenül finomodó felosztássorozat esetén az ehhez tartozó integrálközelítő összegek sorozata eg véges számhoz tart. n Azaz a lim f i, i ) ti határérték létezik és véges.) Ezt a n i= df n számot az f függvén T tartománon vett határozott integráljának nevezzük. Jelölés: T f vag T f, ) dt Megjegzések: Bizonítható, hogha az f függvén integrálható a T tartománon, akkor mindeg, hog T melik végtelenül finomodó felosztássorozatát vesszük, az ehhez tartozó integrálközelítő összegek sorozata mindig uganahhoz a számhoz tart, függetlenül attól, hog a résztartománok melik pontjában felvett függvénértéket használjuk fel az integrálközelítő összeg kiszámításához. Tehát nem számít, hog i, i ) a ti területű tartomán melik pontja.) Azt mondhatjuk, tehát, hog a Riemann-integrál, ha létezik, akkor egértelmű. Ha az f függvén a T tartománon csak pozitív értékeket vesz fel, akkor a függvént ábrázoló felület T feletti része és a T tartomán közé eső térrész térfogata éppen az f függvén T tartománon vett határozott integrálja, azaz V = f. Ez a kétváltozós T függvén Riemann-integráljának szemléletes jelentése. Készítette: Vajda István 5

20 Matematika segédanag A határozott integrál kiszámítása Tétel: Ha az f kétváltozós, valós függvén értelmezett és integrálható a T = { ), R a b, c d } téglalapon, akkor ezen téglalapon vett határozott integrálja: d b f= f, ) b d d d= f, ) d d T c a a c Megjegzés: Mint a tételből látszik kétféleképpen lehet az integrált kiszámítani: Először az majd az változó szerint integrálunk, vag éppen fordítva először az majd az változó szerint. Amikor az egik változó szerint integrálunk, akkor a másikat konstansként kell kezelni. Példák: Számítsuk ki az f, ) = + 4 függvén határozott integrálját a T= {, ) R 3, 5 } téglalapon! Megoldás: T f, ) dt= ) d d= = 5 5 [ Második megoldás: Fordított sorrendben integrálva:) T f, ) dt= ) d d= = ] 3 d= ) [ d= ] 5 3 = 94 [ + ] 5 d= ) d= [ 3 + ] 3 = 94 Készítette: Vajda István 6

21 Matematika segédanag Számítsuk ki az f, ) = + ln függvén határozott integrálját a T= {, ) R 3, } téglalapon! Megoldás: T f, ) dt= 3 + ln ) d d= = [ ln ] 3 d= ) [ ] ln d= 3 + ln = ln Tétel: Ha az f kétváltozós, valós függvén értelmezett és integrálható a T = { ), R a b,ϕ ) ϕ ) } tartománon, akkor ezen tartománon vett határozott integrálja: T f= b a ϕ ) ϕ ) f, ) d d Megjegzés: A tételben leírt tartománt tehát alulról és felülről eg-eg függvéngörbe, balról és jobbról pedig eg-eg egenesszakasz határolja. Az egenesszakaszok esetleg ponttá is fajulhatnak.) ϕ ) ϕ ) Készítette: Vajda István 7

22 Matematika segédanag Példák: Integráljuk az f, ) = függvént az A=, ), B4, ), C4, 4) pontok által meghatározott háromszögtartománon! Megoldás: 4 ϕ ) = ϕ ) = 4 T f, ) dt= 4 d d= = d= [ [ 4 8 ] ] 4 d= = 3 Integráljuk az f, ) {, ) = sin függvént a T= R π }, cos tartománon! Megoldás: ϕ ) = cos T f, ) dt= π cos sin d d= ϕ ) = π = π [ sin ] cos d= π cos sin d= = [ ] π 6 cos3 = 6 Készítette: Vajda István 8