7.4. A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság
|
|
- Edit Pap
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 tj 68 7 PROGRAMKONSTRUKCIÓK 74 A programkonstrukciók és a kiszámíthatóság Ebben az alfejezetben kis kitérőt teszünk a kiszámíthatóság-elmélet felé, és megmutatjuk, hog az imént bevezetett három programkonstrukció segítségével minden elméletileg megoldható feladatot meg tudunk oldani Ehhez kapcsolatot létesítünk a kiszámítható függvének és a jól konstruált programok között 741 Parciális rekurzív függvének A Church tézis szerint a kiszámítható függvének halmaza megegezik a parciális rekurzív függvének halmazával A kiszámíthatóság ezen modelljében csak típusú függvének szerepelnek Először az alapfüggvéneket definiáljuk: : "$#%& '( *) +-, / / 1 2 -, / 3 / 1 4%3 '( %30:0 '; <>=?, / A1 / 1 0 A továbbiakban definiálunk néhán elemi függvén-operátort: D E F G Kompozíció Legen és H I G6J alábbi függvén: HLK M 2 N O J, PLQARTS 4U PVSXW Y PZQ&[ és PZQ\RTS : HLK ] H 1A0 : Az és H kompozíciója az Vegük észre, hog ez az operátor megegezik az alapfogalmaknál bevezetett relációk közötti kompozícióval (tulajdonképpen a szigorú kompozícióval, de függvének esetén ez a kettő azonos) Unió Legen _ N a b c E függvének 5 `79%30:0 rögzített, és uniója / deft Jg hi j &k2ldmmmnl 3o P, S ktp S1q psrsrsr p S / PVS c és P, S k p S q psrsrsr p S o : / TfeAd J " / AT J 1A0 ' v 6ḧ w Rekurzió Legen rögzített, és H x e w Az függvén H szerinti rekurziója 2 x / O, és H / 1 %z { / 1 A H / A1 # %z{ H / } H / A} 1A0 A függvénhez hasonlóan rekurzívan definiálhatnánk ennek a függvénnek az értelmezési tartománát, de ez kívül esik a jelenlegi vizsgálódásunk körén Ezért csak azt mondjuk, hog az értelmezési tartomán azon pontok halmaza, ahonnét kiindulva a fenti rekurzió elvégezhető :
2 [ 0 74 A PROGRAMKONSTRUKCIÓK ÉS A KISZÁMÍTHATÓSÁG 69 _ 4 3x / -operátor Legen A -operátort erre a függvénre alkalmazva azt a ] h függvént kapjuk, amelre P, S U / 1 W / A1 4% 5 79%30:0 %A; $ / 1 15 PVS [, és / } P, S : 2 ] / A1 5 ' U W / A} 4% A fenti alapfüggvének és a bevezetett operátorok segítségvel már definiálható a parciális rekurzív függvének halmaza 28 DEFINÍCIÓ: PARCIÁLIS REKURZÍV FÜGGVÉNY függvén akkor és csak akkor parciális rekurzív, ha az alábbiak egike teljesül: Az '6 6 az alapfüggvének valamelike kifejezhető a fenti operátorok parciális rekurzív függvénekre történő alkalmazásával 742 A parciális rekurzív függvének kiszámítása Ahhoz, hog a fenti függvéneket kiszámító programokat tudjunk adni, definiálnunk eg tetszőleges függvén ( 1' rögzített) Az által meghatározott feladat specifikációja: kell az ilen függvének által meghatározott feladatot Legen " l l l l l / / l l / > / / mmm g / 1 Y > / h / 1 Most megmutatjuk, hog minden parciális rekurzív függvén által meghatározott feladat megoldható jól konstruált programmal (jól konstruáltnak tekintünk eg programot, ha elemi programokból a fenti három konstrukcióval megkapható) A bizonításhoz csak annit kell feltételeznünk, hog az alapfüggvének kiszámíthatók (megengedett) elemi programokkal A fenti feltételezést felhasználva elegendő azt megmutatni, hog az elemi függvén-operátorok(kompozíció, unió, rekurzió, -operátor) kiszámíthatók jól konstruált programokkal } PVS Kompozíció E ( i Legen és H 6J specifikációja: l l l l l / / J l l / Ekkor az HZK által meghatározott feladat
3 70 7 PROGRAMKONSTRUKCIÓK > / / mmm g / 1 > / HZK ] / A1 } Jelöljük / / 1 és hasonlóan / A J H / -mel azt a programot, amel kiszámítja -et, -nel azt, amelik kiszámítja H -t Tegük fel, hog ez a két program vag elemi értékadás, vag jól konstruált program Ebben az esetben a két program szekvenciája kiszámítja H K -et, azaz megoldja a fent specifikált feladatot Legen a második program utófeltételhez tartozó leggengébb előfeltétele: > H / " HZK utófeltételhez tartozó leggengébb elő- Most vizsgáljuk meg az első program ezen feltételét: PZQ\RTS ] / } / Y / A v / 1 A H / } 1 " HLK ] / A} 2 / A} P Q / 1 P S Können látható, hog ez a leggengébb előfeltétel következik -ból, és íg a szekvencia levezetési szabála és a specifikáció tételének alkalmazásával beláttuk, hog a / A h / 1 / J H / A program megoldja a fent specifikált feladatot, azaz kiszámítja P Q és H kompozícióját Unió l l l / l l l / / / k l l l J / J l l / / / P, S k p S o / / / k J / J o / J / Legen 5V 79%30:0 O rögzített, és c uniója által meghatározott feladat specifikációja: 3o > / mmm g 1 psrsrsr > A A " Ad A1 Ekkor az e függvének Tegük fel, hog a komponens függvének kiszámíthatók jól konstruált / } 5 az -edik függvént % 5 kiszámító programot Ekkor ezeknek a programoknak a szek- rammal, vag elemi értékadással / venciája megoldja a fenti feladatot Legen J a -adik program utófeltételhez tartozó leggengébb előfeltételét: J > / / /?k J / / A J / o k d J / A} 1 / T J / } / 1 PVS o 1
4 74 A PROGRAMKONSTRUKCIÓK ÉS A KISZÁMÍTHATÓSÁG 71 Továbbá minden 5 v7 %&090 %; esetén az 5 -edik x / -hez tartozó leggengébb előfeltételét Können látható, hog az értékadás leggengébb előfeltételére vonatkozó szabált alkalmazva: / > / / 1 AT J / A1 } / d J / 1 / } Y PVS k mmm / } Y PVS o Ha most -t és / -et összehasonlítjuk, észrevehetjük, hog megegeznek A szekvencia levezetési szabála és a specifikáció tétele alapján a / / /?k v / / A1 J / J o h J / 1 program megoldása a fent specifikált feladatnak, azaz kiszámítja / d J -t Rekurzió Legen ' rögzített, 4 j és H x e Tegük fel, hog mindketten kiszámíthatók jól konstruált programokkal vag egszerű értékadásokkal Az függvén H szerinti rekurziója által meghatározott feladat specifikációja: l l l / 3x / l l / 3x / > / / mmm g x / x / / A} x / P, S p Q > H / 1 3x / } Jelölje az -et és a H -t kiszámító programot / 1 illetve H / 1 x ez lajdonsága: > 87 %&090 x / ; H / } 1 Oldjuk meg a feladatot eg olan ciklussal, amelnek invariáns tu- A ciklus levezetési szabálát vizsgálva azt találjuk, hog -ból nem következik Ezért adunk eg olan feltételt, amelből már következik, és adunk eg programot, amel -ból -be jut (íg a megoldóprogram eg szekvencia lesz, amelnek második része eg ciklus) Legen az alábbi: % h / 1 1 > F%3d / } Ez a szimultán értékadással elérhető Az értékadás leggengébb előfeltételére vonatkozó szabál felhasználásával können látható, hog az következik -ból A ciklus levezetési szabálának második pontja alapján a ciklusfeltétel 3x / lesz A harmadik pontnak megfelelően válasszuk a N x / D kifejezést termináló függvénnek Az ötödik pont azt írja le, hog az imént definiált termináló fügvén értékének a ciklusmagban csökkennie kell Ez elérhető a eggel való növelésével
5 72 7 PROGRAMKONSTRUKCIÓK A néges pont kielégítéséhez vizsgáljuk meg, hog mi lesz a leggengébb előfeltétele a -t növelő értékadásnak a -re vonatkozóan # %3 # %Z 79%30:0 x / ; H / 1 # %z1a0 h x / Most már a szekvencia levezetési szabála alapján csak eg olan programot kell találnunk, amelre Ez a program a rekurzió definíciójához illeszkedően épp H / A} lesz Íg a szekvencia és a ciklus levezetés szabála valamint a specifikáció tétele garantálja, hog a %&d / A1 x / H / } # % program megoldja a H által meghatározott feladatot, azaz kiszámítja H szerinti rekurzióját -operátor -et kiszámító programot Oldjuk meg a fela- _ x / Legen vag jól konstruált programmal Tekintsük a ] l l l / l l / > / / mmm g / A} x / P, S > ] / A1 1 Jelölje v / 1 1 x / az datot eg olan ciklussal, melnek invariánsa: > h / A} 5 87 %&090 %A; / } }5 b / } %- \%, és tegük fel, hog kiszámítható egszerű értékadással által meghatározott feladatot: Az invariáns a szimultán értékadással teljesíthető Können látható, hog ennek a programnak a -re vonatkozó leggengébb előfeltétele / A1 %- \% / } %z6v / A} %z 5 87 %&090:% %; / 1 15 %z 4% következik -ból A ciklus levezetési szabálának második pontja alapján a ciklusfeltétel lesz A feladat előfeltétele garantálja, hog van olan szám, amelre / } Ma% fennáll Legen eg ilen tulajdonságú, rögzített természetes szám Ennek az értéknek a segítségével definiálhatjuk a termináló függvént: Ez kielégíti a levezetés szabál harmadik pontját Az ötödik pont megkívánja, hog a termináló függvén a ciklusmag lefutása során csökkenjen Ezt elérhetjük eggel való növelésével %z
6 74 A PROGRAMKONSTRUKCIÓK ÉS A KISZÁMÍTHATÓSÁG 73 A negedik pont teljesítéséhez legen leggengébb előfeltétele: > h / A} # %z 5" 79%30:0 Most már csak találnunk kell eg programot a ennek a növelésnek a -re vonatkozó %; / 1 15 %- és h / 1 # %z értékadásra teljesül, hog %- $ v / 1 # %za \0 %z állítások közé A A specifikáció tétele, valamint a ciklus és a szekvencia levezetési szabála garantálja, hog a / } %- \% 4% program megoldja a ] 743 Következmén v / A1 #% #%- által meghatározott feladatot, azaz kiszámítja ] Az előzőekben megmutattuk, hog ha az alapfüggvének kiszámíthatók egszerű értékadással, akkor a belőlük a parciális rekurzív függvéneknél megengedett operátorokkal felépített függvének kiszámíthatók jól konstruált programokkal A Church tézis szerint a kiszámítható függvének halmaza megegezik a parciális rekurzív függvének halmazával Ezek alapján kimondhatjuk az alábbi tételt: 17 TÉTEL: STRUKTURÁLT PROGRAMOZÁS ÉS KISZÁMÍTHATÓSÁG Minden kiszámítható függvén kiszámítható eg jól konstruált programmal -et 744 Relációk Eljutván az előző tételhez, fordítsuk most figelmünket a relációk felé Ahhoz, hog a relációk kiszámíthatóságát megvizsgálhassuk, definiálnunk kell a kiszámítható reláció fogalmát 29 DEFINÍCIÓ: REKURZÍVAN 6J l 6J FELSOROLHATÓ RELÁCIÓ Legen tetszőleges ( e J reláció akkor és csak akkor rekurzívan felsorolható, ha van olan parciális rekurzív függvén, amelnek értelmezési tartománára: P S A kiszámíthatóság-elmélethez igazodva, a továbbiakban csak rekurzívan felsorolható relációkkal fogunk foglalkozni Ahhoz, hog megmutassuk, hog minden kiszámítható (rekurzívan felsorolható) feladat emlékezzünk, hog minden feladat eg reláció megoldható strukturált programmal, először megadjuk a rekurzívan felsorolható relációk eg másik jellemzését 18 TÉTEL: KLEENE[1936] Ha eg tetszőleges reláció, akkor az alábbi három állítás ekvivalens: (1) rekurzívan felsorolható
7 74 7 PROGRAMKONSTRUKCIÓK (2) eg parciális rekurzív függvén értékkészlete (3) vag eg rekurzív függvén értékkészlete Ennek a tételnek a bizonítása lásd Ref??? konstruktív, azaz megadja mind, mind pedig felépítését Mi ezt a függvént fogjuk használni a kiszámítható feladatunk megoldóprogramjában 6J l 6J Legen eg rekurzívan felsorolható reláció, és jelölje az előző tétel konstrukciójával kapott (totális) rekurzív függvént Specifikáljuk a feladatot az alábbi módon: 6J l 6J `6J > 2C > n Y P > g5" Ez a feladat megoldható eg olan ciklussal, amelnek invariáns tulajdonsága: 6 5 } A ciklus levezetési szabálának felhasználásával können belátható, hog az alábbi program megoldása a fenti feladatnak: 5T %3 %z C 5 # %z 5 C5]#% A bizonításban a termináló függvén megadásánál uganazt a technikát alkalmazzuk, mint a -operátornál Ezzel az előzőleg függvénekre kimondott tételünket általánosíthatjuk relációkra: 19 TÉTEL: STRUKTURÁLT PROGRAMOZÁS ÉS KISZÁMÍTHATÓ RELÁCIÓK Minden kiszámítható reláció kiszámítható eg jól konstruált programmal Megjegzés Az egetlen feltevés, amit a fenti meggondolásokban használtunk az volt, hog az alapfüggvének kiszámíthatóak Íg aztán ezek az eredmének kiterjeszthet ők a relatíve kiszámítható függvének (uganezen operátorokkal eg tetszőleges alaphalmazból képzett függvének), vag a parciális rekurzív funkcionálok halmazára is (Ref[1, page 174])
ALAPFOGALMAK 1. A reláció az program programfüggvénye, ha. Azt mondjuk, hogy az feladat szigorúbb, mint az feladat, ha
ALAPFOGALMAK 1 Á l l a p o t t é r Legyen I egy véges halmaz és legyenek A i, i I tetszőleges véges vagy megszámlálható, nem üres halmazok Ekkor az A= A i halmazt állapottérnek, az A i halmazokat pedig
RészletesebbenProgramkonstrukciók A programkonstrukciók programfüggvényei Levezetési szabályok. 6. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 6.
Programkonstrukciók Definíció Legyen π feltétel és S program A-n. A DO A A relációt az S-ből a π feltétellel képezett ciklusnak nevezzük, és (π, S)-sel jelöljük, ha 1. a / [π] : DO (a) = { a }, 2. a [π]
RészletesebbenProgramozási Módszertan definíciók, stb.
Programozási Módszertan definíciók, stb. 1. Bevezetés Egy adat típusát az adat által felvehető lehetséges értékek halmaza (típusérték halmaz, TÉH), és az ezen értelmezett műveletek (típusműveletek) együttesen
Részletesebben5. előadás. Programozás-elmélet. Programozás-elmélet 5. előadás
Elemi programok Definíció Az S A A program elemi, ha a A : S(a) { a, a, a, a,..., a, b b a}. A definíció alapján könnyen látható, hogy egy elemi program tényleg program. Speciális elemi programok a kövekezők:
RészletesebbenMatematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola
O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg
RészletesebbenInverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
RészletesebbenMásodfokú függvények
Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú
RészletesebbenElőfeltétel: legalább elégséges jegy Diszkrét matematika II. (GEMAK122B) tárgyból
ÜTEMTERV Programozás-elmélet c. tárgyhoz (GEMAK233B, GEMAK233-B) BSc gazdaságinformatikus, programtervező informatikus alapszakok számára Óraszám: heti 2+0, (aláírás+kollokvium, 3 kredit) 2019/20-es tanév
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások
Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok
RészletesebbenElemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény
Elemi függvének Tétel: Ha az = ϕ() függvén az = f () függvén inverze, akkor = ϕ() függvén grafikonja az = f () függvén képéből az = egenesre való tükrözéssel nerhető. Tétel: Minden szigorúan monoton függvénnek
RészletesebbenBevezetés az informatikába
Bevezetés az informatikába 6. előadás Dr. Istenes Zoltán Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Programozáselmélet és Szoftvertechnológiai Tanszék Matematikus BSc - I. félév / 2008 / Budapest Dr.
Részletesebben1.1. Halmazelméleti alapfogalmak
. Halmazok, relációk, függvének.. Halmazelméleti alapfogalmak... A halmaz fogalma A halmazt a halmazelmélet alapfogalmának tekintjük és ezért nem definiáljuk. Szokás azt mondani, hog a halmaz különböző
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
RészletesebbenKidolgozott feladatok a gyökvonás témakörhöz (10.A osztály)
1. Számítsuk ki a következő szorzatok értékét! (a) 3 3 3 (b) 7 3 7 3 1 9. Számítsuk ki a következő hánadosokat! (a) (b) 1 0 1 0 3. Döntsük el, melik szám a nagobb! (a) ( 3) vag ( ) 3 (b) Mivel tudjuk,
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
RészletesebbenKalkulus II., harmadik házi feladat
Név: Neptun: Web: http://mawell.sze.hu/~ungert Kalkulus II., harmadik házi feladat.,5 pont) Határozzuk meg a következ határértékeket: ahol a) A =, ), b) A =, ), c) A =, ).,) A Az egszer bb kezelhet ség
Részletesebbena.) b.) c.) d.) e.) össz. 4 pont 2 pont 4 pont 2 pont 3 pont 15 pont
1. Az alábbi feladatok egszerűek, akár fejben is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonban erre a papírra írja! a.) A 2x 2 5x 3 0 egenlet megoldása nélkül határozza
RészletesebbenA digitális számítás elmélete
A digitális számítás elmélete 8. előadás ápr. 16. Turing gépek és nyelvtanok A nyelvosztályok áttekintése Turing gépek és a természetes számokon értelmezett függvények Áttekintés Dominó Bizonyítások: L
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim
Függvének határértéke és oltonossága Deiníció: Az -hoz megadható olan üggvénnek az A. pontban van határértéke és ez A ha bármel küszöbszám hog ha A akkor. Jele: a) Függvén határértékének ogalma visszavezethető
Részletesebben9. előadás. Programozás-elmélet. Programozási tételek Elemi prog. Sorozatszámítás Eldöntés Kiválasztás Lin. keresés Megszámolás Maximum.
Programozási tételek Programozási feladatok megoldásakor a top-down (strukturált) programtervezés esetén három vezérlési szerkezetet használunk: - szekvencia - elágazás - ciklus Eddig megismertük az alábbi
Részletesebben= és a kínálati függvény pedig p = 60
GYAKORLÓ FELADATOK 1: PIACI MECHANIZMUS 1. Adja meg a keresleti és a kínálati függvének pontos definícióját! Mikor beszélhetünk piaci egensúlról?. Eg piacon a keresletet és a kínálatot a p = 140 0, 1q
RészletesebbenNEM-DETERMINISZTIKUS PROGRAMOK HELYESSÉGE. Szekvenciális programok kategóriái. Hoare-Dijkstra-Gries módszere
Szekvenciális programok kategóriái strukturálatlan strukturált NEM-DETERMINISZTIKUS PROGRAMOK HELYESSÉGE Hoare-Dijkstra-Gries módszere determinisztikus valódi korai nem-determinisztikus általános fejlett
RészletesebbenS0-01 Szintézis és verifikáció (Programozás elmélet)
S0-01 Szintézis és verifikáció (Programozás elmélet) Tartalom 1. Programozási alapfogalmak 2. Elemi programok és program konstrukciók definíciói 3. Nem-determinisztikus strukturált programok formális verifikációja
RészletesebbenAnalízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás
RészletesebbenBevezetés a programozáshoz I. Feladatok
Bevezetés a programozáshoz I. Feladatok 2006. szeptember 15. 1. Alapfogalmak 1.1. példa: Írjuk fel az A B, A C, (A B) C, és A B C halmazok elemeit, ha A = {0, 1}, B = {1, 2, 3}, C = {p, q}! 1.2. példa:
RészletesebbenA differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.
Differenciálegenletek Bevezetés Differenciálegenletnek olan egenletet nevezünk, amelben az ismeretlen eg függvén és az egenlet tartalmazza az ismeretlen függvén (valahánad rendű) deriváltját. Például:
Részletesebben18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK
18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,
Részletesebben7. Kétváltozós függvények
Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és
RészletesebbenBolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja
Bolai János Matematikai Társulat Rátz László Vándorgűlés 06. Baja Záródolgozat dr. Nag Piroska Mária, Dunakeszi Dunakeszi, 06.07.. A Vándorgűlésen Erdős Gábor az általános iskolai szekcióban tartott szemináriumot
Részletesebben3. Gráfok színezései
Diszkrét Matematika levelező MSc hallgatók számára 3. ráfok színezései Előadó: Hajnal Péter 2011 12. őszi félév 1. Síkgráfok és élszínezések A párosításoknál szereplő Petersen-tétel azt állította, hog
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.
HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak
RészletesebbenKétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által
Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az
Részletesebbenút hosszát. Ha a két várost nem köti össze út, akkor legyen c ij = W, ahol W már az előzőekben is alkalmazott megfelelően nagy szám.
1 Az utazó ügynök problémája Utazó ügynök feladat Adott n számú város és a városokat összekötő utak, amelyeknek ismert a hossza. Adott továbbá egy ügynök, akinek adott városból kiindulva, minden várost
Részletesebben10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
RészletesebbenMindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1
Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
RészletesebbenJava programozási nyelv
Java programozási nyelv 2. rész Vezérlő szerkezetek Nyugat-Magyarországi Egyetem Faipari Mérnöki Kar Informatikai Intézet Soós Sándor 2005. szeptember A Java programozási nyelv Soós Sándor 1/23 Tartalomjegyzék
RészletesebbenAlgoritmizálás, adatmodellezés tanítása 6. előadás
Algoritmizálás, adatmodellezés tanítása 6. előadás Tesztelési módszerek statikus tesztelés kódellenőrzés szintaktikus ellenőrzés szemantikus ellenőrzés dinamikus tesztelés fekete doboz módszerek fehér
RészletesebbenVI. Deriválható függvények tulajdonságai
1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenAz egydimenziós harmonikus oszcillátor
Az egydimenziós harmonikus oszcillátor tárgyalása az általános formalizmus keretében November 7, 006 Példaképpen itt megmutatjuk, hogyan lehet a kvantumos egydimenziós harmonikus oszcillátort tárgyalni
RészletesebbenInformációs rendszerek elméleti alapjai. Információelmélet
Információs rendszerek elméleti alapjai Információelmélet Kolmogorov bonyolultság kiszámítható függvények Bevezetés: A Shannon entrópia szerepe: Ami majd a jövőben bekövetkezhet (üzenet) azt hogyan tudjuk
RészletesebbenAutomaták mint elfogadók (akceptorok)
Automaták mint elfogadók (akceptorok) Ha egy iniciális Moore-automatában a kimenőjelek halmaza csupán kételemű: {elfogadom, nem fogadom el}, és az utolsó kimenőjel dönti el azt a kérdést, hogy elfogadható-e
Részletesebben1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!
Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 12. előadás
Algoritmuselmélet 12. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Április 9. ALGORITMUSELMÉLET 12. ELŐADÁS 1 Turing-gépek
RészletesebbenMAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
RészletesebbenBonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:28
Bonyolultságelmélet Monday 26 th September, 2016, 18:28 A kurzus teljesítési követelményei 2 Gyakorlat Három kisdolgozat 6 6 pontért kb. a 4., 7. és 10. gyakorlaton Egy nagydolgozat 28 pontért utolsó héten
RészletesebbenMatematika szintfelmérő szeptember
Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt
RészletesebbenXXVII. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Nagyvárad, február I. forduló - 9. osztály
Nagvárad, 07. február 3 6.. feladat: Két játékos a következő játékot játssza: Az,,3,...,07 véges számsorozatból váltakozva kiválasztanak eg-eg számot, és azt törlik a sorozatból. Bármelikük látja, hog
RészletesebbenFormális nyelvek - 9.
Formális nyelvek - 9. Csuhaj Varjú Erzsébet Algoritmusok és Alkalmazásaik Tanszék Informatikai Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem H-1117 Budapest Pázmány Péter sétány 1/c E-mail: csuhaj@inf.elte.hu 1 Véges
Részletesebben2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció
2. Logika gyakorlat Függvények és a teljes indukció Folláth János Debreceni Egyetem - Informatika Kar 2012/13. I. félév Áttekintés 1 Függvények Relációk Halmazok 2 Természetes számok Formulák Definíció
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
Részletesebbenl.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA
l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.
Részletesebben1. Lineáris transzformáció
Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenBonyolultságelmélet. Monday 26 th September, 2016, 18:27. Bonyolultságelmélet
Monday 26 th September, 2016, 18:27 A kurzus teljesítési követelményei Gyakorlat Három kisdolgozat 6 6 pontért kb. a 4., 7. és 10. gyakorlaton Egy nagydolgozat 28 pontért utolsó héten előadáson Pontszám:
Részletesebbendefiniálunk. Legyen egy konfiguráció, ahol és. A következő három esetet különböztetjük meg. 1. Ha, akkor 2. Ha, akkor, ahol, ha, és egyébként.
Számításelmélet Kiszámítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést, amire számítógéppel szeretnénk megadni a választ. (A matematika nyelvén precízen megfogalmazott
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS
A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja
RészletesebbenLogika és informatikai alkalmazásai kiskérdések február Mikor mondjuk, hogy az F formula a G-nek részformulája?
,,Alap kiskérdések Logika és informatikai alkalmazásai kiskérdések 2012. február 19. 1. Hogy hívjuk a 0 aritású függvényjeleket? 2. Definiálja a termek halmazát. 3. Definiálja a formulák halmazát. 4. Definiálja,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Részletesebben10. elıadás: Vállalati kínálat, iparági kínálat Piaci ár. A versenyzı vállalat kínálati döntése. A vállalat korlátai
(C) htt://kgt.bme.hu/ 1 /8.1. ábra. A versenzı vállalat keresleti görbéje. A iaci árnál a vállalati kereslet vízszintes. Magasabb árakon a vállalat semmit nem ad el, a iaci ár alatt edig a teljes keresleti
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen
Részletesebben2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
RészletesebbenAlgoritmusok, adatszerkezetek, objektumok
Algoritmusok, adatszerkezetek, objektumok 1. előadás Sergyán Szabolcs sergyan.szabolcs@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar 2011. szeptember 14. Sergyán (OE NIK) AAO 01 2011.
RészletesebbenDeníciók és tételek a beugró vizsgára
Deníciók és tételek a beugró vizsgára (a szóbeli viszgázás jogáért) Utolsó módosítás: 2008. december 2. 2 Bevezetés Számítási problémának nevezünk egy olyan, a matematika nyelvén megfogalmazott kérdést,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenAdatbázisok elmélete 12. előadás
Adatbázisok elmélete 12. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu http://www.cs.bme.hu/ kiskat 2005 ADATBÁZISOK ELMÉLETE
Részletesebben1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.
Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)
RészletesebbenFormális nyelvek és automaták vizsgához statisztikailag igazolt várható vizsgakérdések
1. Feladat Az első feladatban szereplő - kérdések 1 Minden környezet független nyelv felismerhető veremautomatával. Minden környezet független nyelv felismerhető 1 veremmel. Minden 3. típusú nyelv felismerhető
Részletesebben3. előadás. Programozás-elmélet. A változó fogalma Kiterjesztések A feladat kiterjesztése A program kiterjesztése Kiterjesztési tételek Példa
A változó fogalma Definíció Legyen A = A 1 A 2... A n állapottér. A pr Ai projekciós függvényeket változóknak nevezzük: : A A i pr Ai (a) = a i ( a = (a 1, a 2,..., a n ) A). A változók jelölése: v i =
RészletesebbenÁltalános algoritmustervezési módszerek
Általános algoritmustervezési módszerek Ebben a részben arra mutatunk példát, hogy miként használhatóak olyan általános algoritmustervezési módszerek mint a dinamikus programozás és a korlátozás és szétválasztás
Részletesebbenegyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenLogika és számításelmélet. 10. előadás
Logika és számításelmélet 10. előadás Rice tétel Rekurzíve felsorolható nyelvek tulajdonságai Tetszőleges P RE halmazt a rekurzívan felsorolható nyelvek egy tulajdonságának nevezzük. P triviális, ha P
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenLineáris programozás. A mese
Lineáris programozás A mese Célok Geometriai szemlélet (nem lesz matek ) Gakorlati kérdések Már megint a szendvics Kétfajta szendvicset szeretnénk készíteni, sonkásat és szalámisat. Lehetőleg minél többet.
RészletesebbenHadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.
Szimmetrikus kombinatorikus struktúrák MSc hallgatók számára Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter 2012. február 23. 1. Hadamard-mátrixok Ezen az előadáson látásra a blokkrendszerektől független kombinatorikus
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenOktatási segédlet 2014
Oktatási segédlet 2014 A kutatás a TÁMOP 4.2.4.A/2-11-1-2012- 0001 azonosító számú Nemzeti Kiválóság Program Hazai hallgatói, illetve kutatói személyi támogatást biztosító rendszer kidolgozása és működtetése
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenAz optimális megoldást adó algoritmusok
Az optimális megoldást adó algoritmusok shop ütemezés esetén Ebben a fejezetben olyan modellekkel foglalkozunk, amelyekben a munkák több műveletből állnak. Speciálisan shop ütemezési problémákat vizsgálunk.
RészletesebbenLeképezések. Leképezések tulajdonságai. Számosságok.
Leképezések Leképezések tulajdonságai. Számosságok. 1. Leképezések tulajdonságai A továbbiakban legyen A és B két tetszőleges halmaz. Idézzünk fel néhány definíciót. 1. Definíció (Emlékeztető). Relációknak
RészletesebbenAlapfogalmak. értelmetlen értelmes. Ez az egész persze nem kijelentő mondat (honnan tudjuk?!!, azt azonban tudjuk, hogy
lapfogalmak. Matematika: bizonos szerkezetű kijelentő mondatok. () Kijelentő mondatok Naívan azt gondolnánk, hog minden kijelentő mondat vag igaz, vag hamis. (zaz, ha kérdő mondattá fogalmazzuk át, akkor
RészletesebbenLíneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.
Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m
RészletesebbenAz f függvénynek van határértéke az x = 2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o lim f(x) = 3.
0-06, II. félév. FELADATLAP Eredmének. Van határértéke, illetve foltonos az f függvén az alábbi pontokban? (a) = Az f függvénnek van határértéke az = pontban és ez a határérték -mal egenl½o f() =.! Az
RészletesebbenA 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)
A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenFonyó Lajos: A végtelen leszállás módszerének alkalmazása. A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein
A végtelen leszállás módszerének alkalmazása a matematika különböző területein A végtelen leszállás (infinite descent) egy indirekt bizonyítási módszer, ami azon alapul, hogy a természetes számok minden
RészletesebbenNéhány érdekes függvényről és alkalmazásukról
Néhán érdekes függvénről és alkalmazásukról Bevezetés Meglehet, a középiskola óta nem kedveltük az abszolútérték - függvént; most itt az ideje, hog változtassunk ezen. Erre az adhat okot, hog belátjuk:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
Részletesebben