Analízis IV. gyakorlat, megoldások

Átírás

1 Analízis IV. akorlat, meoldások BSc matematikatanár szakirán /. tavaszi félév. Differenciáleenletek Határozzuk me az alábbi differenciáleenletek összes, valamint a meadott feltételeket kieléítő meoldásait!. = Meoldás: Olan intervallumokon keressük, ahol / I.. konstans meoldások: = I = I.. I = ln = ln + c = ec Összes meoldás: = c, c R, D =, + va D =,. ábra.. feladat. = Meoldás: I R intervallumokon keressük.. konstans meoldás: nincs, ui. = I =. = = + c Összes meoldás: = + c és = + c, D = c, c c R +. ábra.. feladat

2 3. =, = Meoldás: I R intervallumokon keressük.. konstans meoldások: = I = I, D = R. I = ln = Összes meoldás: = c e, c R, D = R + c = e e c 3. Kezdetiérték-feladat: = c e = c = e = e 3. ábra. 3. feladat 4. = 4 Meoldás: I R intervallumokon keressük.. konstans meoldások: = I = I, D = R. I = = + c Összes meoldás: = + c, D = R, ha c, és D = c, + va D =, c, ha c < 4. ábra. 4. feladat 5. = λ λ R, = Meoldás: I R intervallumokon keressük.. konstans meoldások: = I = I, D = R. I = λ ln = λ + c = eλ e c Összes meoldás: = e λ c, c R, D = R 3. Kezdetiérték-feladat: = c = = e λ, D = R

3 5. ábra. 5. feladat 6. + e = e Meoldás: I R intervallumokon keressük.. konstans meoldások: = I = I, D = R. I = e +e ln = ln + e + c = + e e c Összes meoldás: = + e c, c R, D = R 6. ábra. 6. feladat 7. = + Meoldás: I R intervallumokon keressük. Alkalmazzuk a z = + helettesítést! Ekkor z = z z +z = arctan z = + c, c R, + c π, π z = tan + c = tan + c, c R, D = π c, π c 7. ábra. 7. feladat 3

4 8. + = + e, = e Meoldás: Olan intervallumokon keressük, ahol / I.. homoén eenlet meoldása: = ln + c = e c = c, c R ha I = ln =. inhomoén eenlet meoldása = c alakban, behelettesítve: c c +c = + e c = + e, parciális interálással c = e +K, K R Összes meoldás: = e + K, K R, D =, + va D =, 3. Kezdetiérték-feladat: = e e + K = e K = = e, D =, + 9. π = sin, = 8. ábra. 8. feladat Meoldás: Olan intervallumokon keressük, ahol / I.. homoén eenlet meoldása: = ha I = ln + c = e c = c, c R. inhomoén eenlet meoldása = c alakban, behelettesítve: c + c c = sin c = sin c = cos + K, K R Összes meoldás: = cos + K, K R, D =, + va D =, 3. Kezdetiérték-feladat: π = K π = K = π = cos + π ln =, D =, + 9. ábra. 9. feladat 4

5 . + = 3, = 5 6 Meoldás: Olan intervallumokon keressük, ahol / I.. homoén eenlet meoldása: = ha I = ln = ln + c = e c = c, c R. inhomoén eenlet meoldása = c c c 3 + c 3 alakban, behelettesítve: = 3 c = 5 c = K, K R Összes meoldás: = K, K R, D =, + va D =, 3. Kezdetiérték-feladat: = K = 5 6 K = = 6 4, D =, +. ábra.. feladat. + = e sin, = Meoldás: I R intervallumokon keressük.. homoén eenlet meoldása: = ha I = ln = + c = e c e = c e, c R. inhomoén eenlet meoldása = c e alakban, behelettesítve: c e c e + c e = e sin c = sin, parciális interálással c = cos + sin + K, K R Összes meoldás: = cos + sin + K e, K R, D = R 3. Kezdetiérték-feladat: = K = = cos + sin + e, D = R. ábra.. feladat 5

6 . Parciális deriválás Számítsuk ki az alábbi füvének parciális deriváltfüvéneit!. f, = D f, =, D f, = 3. f, = D f, =, D f, = 4. f, = + + D f, =, 5. f, = D f, = + D f, = , D f, = f, = D f, = 7. f, = sin +, D f, = D f, = cos +, D f, = cos + 8. f, = e D f, = e D f, = e, D f, = e + D f, = D f, = e D f, = e 9. f, = cos D f, = cos 3 sin, D f, = cos 3 sin D f, = 6 3 sin cos, D f, = 6 3 sin cos D f, = D f, = cos sin. f, = ln + D f, = ln + + +,. f, = sin D f, =, D sin f, =. f, = D f, = ln cos sin D f, = ln, D f, = ln 3. f, = D f, = , D f, = f, = + D f, =, D f, = 5. f, = arctan D f, = +, D f, = + 6

7 6. f, = arcsin arccos D f, = arcsin arccos + arccos, D f, = arccos arccos + arcsin 7. f, = D f, =, D f, = ln Számítsuk ki az alábbi füvének első- és másodrendű parciális deriváltfüvéneit! 8. f, = D f, = 3 6 +, D f, = D f, = 6 6, D f, = D f, = 6 +, D f, = f, = + D f, = +, D f, = + D f, = 4 +, D 3 f, = D f, = +, D 3 f, = f, = sin cos D f, = cos cos, D f, = sin sin D f, = D f, = sin cos, D f, = D f, = cos sin 3. f, = + D f, = +, D f, = + D f, = 6 +, D 3 f, = D f, = 8 +, D 3 f, = f, = ln + D f, =, D f, = D f, = D f, = 33. f, = e 4, D f, = D f, = + D f, = D f, = e D f, = D f, = D f, = D f, = e 3. Differenciálhatósá Ismétlés Számítsuk ki az alábbi határértékeket ha léteznek! 34. lim,, + Meoldás: Polárkoordinátás helettesítéssel lim r r cos ϕ sin ϕ =, tehát a határérték létezik és. 35. lim,, + Meoldás: = k helettesítéssel különböző k-kra más a határérték, 36. lim,, + k +k nem létezik. Meoldás: Polárkoordinátás helettesítéssel lim r r cos ϕ sin ϕ =, tehát a határérték létezik és. 37. lim,, + Meoldás: Polárkoordinátás helettesítéssel lim r r 3 cos ϕ sin ϕ =, tehát a határérték létezik és. 38. lim,, Meoldás: Polárkoordinátás helettesítéssel lim r r cos 4 ϕ + sin 4 ϕ =, tehát a határérték létezik és. 7

8 3 39. lim 3 + 3,, + Meoldás: = k helettesítéssel különböző k-kra más a határérték, Differenciálhatók-e a, -ban a következő füvének? 4. f, = 3 +k 3 +k Meoldás: f, =, D f, = =, D f, = =, nem létezik. f, f, D f, D f, lim = lim,, +,, + = a 34. feladat alapján f differenciálható a, -ban, f, =,. 4. f, = Meoldás: f, =, D f, = =, D f, = =, f, f, D f, D f, lim = lim,, +,, + a 35. feladat alapján f nem differenciálható a, -ban. 4. f, = Meoldás: f, =, D f, = =, D f, = =, f, f, D f, D f, lim = lim,, +,, + = a 36. feladat alapján f differenciálható a, -ban, f, =,. 43. f, = Meoldás: f, =, D f, = =, D f, = =, f, f, D f, D f, lim = lim,, +,, + = a 37. feladat alapján f differenciálható a, -ban, f, =,. 44. f, = + Meoldás: D f, = + = f nem differenciálható a, -ban. 45. f, = + Meoldás: f, =, D f, = + = =, D f, = + = =, f, f, D f, D f, + lim = lim,, +,, + = lim r = r polárkoordinátás helettesítéssel f differenciálható a, -ban, f, =,. 46. f, = Meoldás: f, =, D f, = = =, D f, = = =, 3 f, f, D f, D f, 3 + lim = lim 3,, +,, + = k helettesítéssel, ill. a 39. feladat alapján f nem differenciálható a, -ban. 8

9 47. f, = Meoldás: f, =, D f, = 6 + = 3 = 3 sn =, D f, = + 6 = 3 = 3 sn =, f, f, D f, D f, lim,, + = lim,, lim,, = lim r r cos 6 ϕ + sin 6 ϕ = polárkoordinátás helettesítéssel f differenciálható a, -ban, f, =,. Va: = lim =.,, 48. f, = Meoldás: f, =, D f, = 4 + = = =, D f, = + 4 = = =, f, f, D f, D f, 4 + lim = lim 4,, +,, + = a 38. feladat alapján f differenciálható a, -ban, f, =,. Differenciálhatók-e a következő füvének az értelmezési tartománukon? 49. f, = e cos + 3 Meoldás: D f, = e cos + 3 sin + 3, D f, = e cos + 3 sin foltonosak R -en f differenciálható R -en. 5. f, = ln + = ln + Meoldás: D f, = R \ {, }-n. 5. f, = + +, D f, = + foltonosak R \ {, }-n f differenciálható Meoldás: D f, = foltonosak R \ {, }-n f differenciálható R \ {, }-n. + 3, D f, = + 3 Határozzuk me az alábbi iránmenti deriváltakat! 5. f, =, v =, 3, D vf, =? Meoldás: Mivel f differenciálható, -ban, v =, D f, = =, D f, = =, ezért D v f, = + 3 =. 53. f, = +, v =, 3, D v f3, =? Meoldás: Mivel f differenciálható 3, -ben, v =, D f3, = + 3 = 6, D f3, = 9 + =, ezért D v f3, = =. 54. Mel irán mentén az f, = e füvén deriváltja a, pontban? Mel irán mentén maimális? Meoldás: Mivel f differenciálható, -ban, D f, = 3 + =, D f, = e = e = 5, ezért D v f, =, 5, v, v. Ez pontosan akkor, ha v irána merőlees a, 5 vektorra, tehát v = 5 3, 3, va v = 5 3,. 3 D v f, pontosan akkor maimális, ha v irána meeezik a, 5 vektor iránával, vais v = 3,

10 55. f, = 5 + 3, v az + 3 = 5 eenes iránvektora, D v f, =? Meoldás: Mivel f differenciálható, -ben, D f, = 5 + = + = 4, D f, = 4+ = = 8, az eenes eik iránvektora v = 3,, másik u = 3,, ezért 3 D v f, = = 4, D u f, = = 4. 5 Írjuk fel az alábbi füvének érintősíkjának eenletét a meadott pontokban! 56. f, = , P =, Meoldás: f, = 9, D f, = =, D f, = = 8, az eenlet: z = = f, = + +, P = 3, 4 Meoldás: f3, 4 = 6, D f3, 4 = = 4, D f3, 4 = = 9, az eenlet: z = = f, = arctan, P =, Meoldás: f, = π 4, D f, = arctan = + =, D f, = arctan =, az eenlet: z = π 4 + = π f, = , P =, Meoldás: f, = 5, D f, = = 4, D f, = =, az eenlet: z = = Differenciálhatósá, foltatás Számítsuk ki a következő többszörös parciális deriváltakat! 6. f, = 3, D f,, D f, ; D f, = D f, = 3 6. f, = ln, D D f, ; D D f, = 6. f,, z = e z, D D D 3 f,, z; D D D 3 f,, z = e z z + 3z f, = e sin, D m D n f,. e sin, n 4; D m D n e cos, n 4; f, = e sin, n 4; e cos, n * Leen f : R n R, f :=,. Számítsuk ki a f = n n i= D i fértékét! f Laplace-át Beadható házi feladat március 3-i!

11 65. Iazoljuk, ho az alábbi füvénre nem teljesül a Youn-tétel a, pontban! f, = { +,,,,,, =,. Meoldás: D f, = { ,,,,,, =,. D f, = { ,,,,,, =,. Ebből látható, ho D f, =, tehát D f, =, másrészt D f, =, tehát D f, =. Írjuk fel az alábbi füvének érintősíkjának eenletét a meadott pontokban, továbbá véezzük el a meadott feladatokat! 66. f, = , P =, Adjunk az érintősík seítséével közelítést f, ;, -re! Meoldás: f, ;, = 9, 68, az 56. feladat alapján az érintősík eenlete: z = = + 8. Í a közelítés + 8, = 9, 6. Írjuk fel a füvén P körüli. Talor-polinomját is! Meoldás: D f, = 8 6 = 8, D f, = 8 =, D f, = + 6 =, T f,,, = = = meeezik az eredeti füvénnel, hiszen az e másodfokú polinom. Í T f,,, ;, = f, ;, = 9, 68 pontos értéket ad. 67. f, = + +, P = 3, 4 Adjunk az érintősík seítséével közelítést f3, 9; 3, 9-re! Meoldás: f3, 9; 3, 9 = 6, 63495, az 57. feladat alapján az érintősík eenlete: z = = Í a közelítés 6 + 4, 9 + 9, 8 = 6, 64. Írjuk fel a füvén P körüli. Talor-polinomját is! Meoldás: D f3, 4 = 8 3 = 8, D f3, 4 = + 3 = 6, D f3, 4 = + 4 =, T f,3,4, = A Talor polinom T f,3,4 3, 9; 3, 9 = 6, , 8 6, 7 +, 64 = 6, 6356 jobb közelítést ad. 68. f, = , P =, Írjuk fel a füvén P körüli. Talor-polinomját! Meoldás: D f, = = 3, D f, = = 36, D f, = = 8, az 59. feladat alapján T f,,, =

12 4. Szélsőértékszámítás Állapítsuk me a következő füvénekről, ho van-e lokális szélsőértékük, és ha ien, hol, és ezek mekkorák! 69. f, = Meoldás: f, = 3, 3 és f, =. f zérushelei a, és az 3 6, pontok. A, pontban f, indefinit det f, = 9 <, í itt nerepontja van f-nek, az, pontban pedi f, pozitív definit det f, = 7 és a mátri bal felső eleme pozitív, í itt lokális minimuma van f-nek, f, =. 7. f, = Meoldás: f, = 4 3 4, 4+4 3, f 4, = 4. f zérushelei a,, ±, pontok. A, pontban f, indefinit det f, = 6 <, í itt f-nek nerepontja van. A ±, pontokban f ±, ± pozitív definit det f ±, ± > és a mátri bal felső eleme pozitív, tehát ezekben a pontokban f-nek lokális minimuma van, f, =, f, =. 7. f, = e Meoldás: f, = e , e f 6 6 zérushelei a, és 4,. Mivel f, = pozitív definit det f, = 6 > 6 6 és a mátri bal felső eleme pozitív, ezért, lokális minimumhel, f, =. f 4, = 4 9 e 3 indefinit det f 9 4, = e 6 <, ezért 4, nerepont. 7. f, = ln ln ; Meoldás: f, = + 4, +, f, = f zérushelei az, és, pontok, de f értelmezési tartomána miatt csak az, jöhet szóba. Mivel f, pozitív definit det f, = 6 > és a mátri bal felső eleme 6 pozitív, ezért, lokális minimumhel, f, = 7 ln. 73. f, = 6 4 Meoldás: f, = 6 4, 6 4, f zérushelei a,,, 4, 6,, 6, 4 és 3, pontok. f 4 6 4, = 6 4. Können látható, ho 6 det f, = det f, 4 = det f 6, = det f 6, 4 = 4 <, ezért ezeken a heleken nincs lokális szélsőértéke f-nek. Másrészt f 3, neatív definit det f 3, = 8 8 > és a mátri bal felső eleme 8 neatív, ezért 3, lokális maimumhel, f3, = f, = + Meoldás: f, =, 4, f, =. f zérushele az 4, pont. Mivel f, pozitív definit det f, = 8 > és a mátri bal felső eleme pozitív, ezért, lokális minimumhel, f, = f, = Meoldás: f, =, +, f, =. f zérushele az, pont. Mivel f, pozitív definit det f, = 4 > és a mátri bal felső eleme pozitív, ezért, lokális minimumhel, f, = 4.

13 76. f, = Meoldás: f, = 3 6 +, +, f, =. f zérushelei a,, 8 3, 8 3 pontok. A, pontban f, indefinit det f, = 6 <, í itt f-nek nerepontja van. A 8 3, 8 3 pontban f 8 3, 8 3 pozitív definit det f 8 3, 8 3 > és a mátri bal felső eleme >, tehát ebben a pontban f-nek lokális minimuma van, f 8 3, 8 3 = f, = Meoldás: f, = +, 3 8 +, f, =. f zérushelei a,, 6 8, pontok. A, pontban f, neatív definit det f, = > és a mátri bal felső eleme neatív, í itt f-nek lokális maimumhele van, f, =. A, pontban f, indefinit det f, = <, tehát ebben a pontban f-nek nerepontja van. 78. f, = Meoldás: f, = 3, 3+8 3, f, = 3 4. f zérushelei a,, 3 3, és, pontok. A, és 3, pontokban f indefinit det f, = det f 3, = 3 9 <, í itt f-nek nerepontja van. A, pontban f 3, pozitív definit det f 3, = 7 > és a mátri bal felső eleme >, tehát ebben a pontban f-nek 3 lokális minimuma van, f, = f, = Meoldás: f, = 3 3 +, 3 + 3, f, =. f zérushelei az, és, pontok. Mivel f, pozitív definit det f, = 7 > és a mátri bal felső eleme 6 >, ezért, lokális minimumhel, f, =. Másrészt, f, indefinit det f, = 9 <, ezért, nem lokális szélsőértékhel. 8. f, = ; Meoldás: f, =, 5, f, = 4 3. f zérushele a, 5 pont, itt 3 f, 5 pozitív definit det f, 5 = 3 > és a mátri bal felső eleme 5 >, tehát ebben a pontban f-nek lokális minimuma van, f, 5 = f, = , + 7, eetlen zérushele a 3, 3 pont. Mivel f 3, 3 = Meoldás: f, = 7 a pontban f-nek lokális minimuma van, f3, 3 =. 8. f, = e + pozitív definit det f 3, 3 = 3 7 > és a mátri bal felső eleme 7 >, tehát ebben Meoldás: f, = e + +, e + 4, aminek csak a, zérushele. Í f, = neatív definit det f, = 4 > és a mátri bal felső 4 eleme neatív, í itt f-nek lokális maimumhele van, f, =. 83. f, = e + + Meoldás: f, = e + + +, e + +, aminek csak az, zérushele. Í f, = neatív definit det f, = > és a mátri bal felső eleme neatív, í itt f-nek lokális maimumhele van, f, =. 3

14 84. f, = + e + Meoldás: f, = e + 3, e + 3, aminek zérushelei a, pont, és az összes olan, pont, melre + =. Í f, = pozitív definit det f, = 4 > és a mátri bal felső eleme pozitív, ezért itt f-nek lokális minimumhele van, f, =. Ha + =, akkor f, = 4 e, amiből det f, =, í itt a módszereinkkel nem tudjuk eldönteni a lokális szélsőérték létezését. 85. f, = 3 + e Meoldás: f, = e, e Látható, ho az első parciális derivált sehol sem, tehát a füvénnek nincs lokális szélsőértéke. Szövees feladatok szélsőértékszámításra tartomán alatt itt mindi zárt halmazt értünk. 86. Határozzuk me a z = 4 eenletű felület z része és az -sík által határolt térrészbe írható maimális térfoatú télatest oldalait, ha a télatest oldalai párhuzamosak a koordinátasíkokkal!. ábra. 86. feladat Meoldás: Ha a télatest meadott felületen fekvő P csúcsának koordinátái,, 4, >, akkor a télatest oldalai,, 4, í térfoata f, = 44 = Ennek maimumát keressük a T = {, :,, + 4 } tartománon. Mivel az f füvén értéke a határokon mindenütt, belül pozitív, ezért a maimumhel csak lokális szélsőértékhel lehet. f, = 44 3, 44 6, aminek zérushelei, fielembevételével, és, de ez utóbbi nilván nem maimumhel. Mivel f 8, = 8 4 neatív definit det f, = 5 > és a mátri bal felső eleme neatív, ezért, lokális maimumhel. Tehát a keresett télatest oldalai,,. 87. Határozzuk me az f, = füvén minimumát és maimumát az és tenelek, valamint az + = eenletű örbe által határolt tartomán. síkneedbe eső részén! Meoldás: f, =,. Mivel f, = indefinit minden, -ra, ezért f-nek nincs lokális szélsőértékhele. Az f értékei a meadott tartomán határain a következők: az tenelen f,, az tenelen f,, a köríven pedi f, =. Tehát f minimuma f, =, maimuma f, =. 88. Határozzuk me az f,, z = sin sin sin z füvén maimumát, ha,, z e háromszö szöei! Meoldás: A feltétel szerint z = π, í sin z = sinπ = sin +. Tehát az, = sin sin sin + füvén maimumát keressük a T := {, :,, + π} 4

15 3. ábra. 87. feladat tartománon. Mivel az füvén értéke a határokon mindenütt, belül pedi felvesz pozitív értéket, ezért a maimumhel lokális szélsőértékhel lesz., = cos sin sin + + sin sin cos+, sin cos sin++sin sin cos+ = sin sin+, sin sin+. Mivel maimumhelet keresünk, ezért sin sin, í az zérusheleinek metalálásához a sin + = és sin + = eenleteket kell meoldanunk. Ezekből + = kπ, k Z, de mivel háromszö szöeiről van szó, ezért csak k = lehet, tehát + = π. Hasonlóan, a másik eenletből + = π. Í = = π 3. Mivel π 3, π 3 = 3 neatív definit det π 3, π 3 = 9 4 > és a mátri bal felső eleme neatív, ezért π 3, π 3 lokális maimumhel. Ebből a keresett füvénmaimum π 3, π 3 = Határozzuk me az f, = 3 füvén minimumát és maimumát az -tenel, az = és az = örbék által határolt tartománon! 4. ábra. 89. feladat Meoldás: f, =, 3, í lokális szélsőértékhel csak a 3, pontban lehet, ami a tartomán határán van. Az f értékei a meadott tartomán határain a következők: az tenelen f, =, az = eenesen f, = 4, a örbén pedi f, = 3, [, ]. Ez utóbbi eváltozós füvén lokális szélsőértékhelei az =, = pontokban vannak, itt =, =, itt f, =, f, =. Az f füvén tehát lekisebb értéke f, =, lenaobb értéke f, 4 = Határozzuk me az f, = 6 4 füvén minimumát és maimumát a tenelek és az + = 6 eenletű eenes által határolt tartománon! Meoldás: A 73. feladat alapján f-nek e lokális szélsőértékhele van: a 3, pont lokális maimumhel, ami a meadott tartomán belsejébe esik, f3, = 36. Az f értékei a tartomán határain a következők: az tenelen f, =, az tenelen f, =, az eenesen pedi 5

16 5. ábra. 9. feladat f6, = 6 4, [, 6]. Ez utóbbi eváltozós füvén lokális szélsőértékhelei f = alapján a =, = és 3 = Í = 6 alapján = 6, = és 3 = Az f értékei pedi f6, =, f , , 43 és f , , 8. A füvén minimuma tehát f , , 43, maimuma pedi f3, = Összetett és implicit füvének differenciálása 9. Adjuk me az f : R 3 R, f,, z = e z, sin füvén deriváltját a P =,, 3 pontban! Meoldás: D e z = ze z, D e z = ze z, D 3 e z = e z, D sin = cos, D sin = D 3 sin = alapján 6e f 6 3e 6 e 6,, 3 = cos 9. Adjuk me az f : R R 3, f, =, e + 3, sin + tan füvén deriváltját a P =, pontban! Meoldás: D =, D =, D e + 3 = 3, D e + 3 = e +, D sin + tan = cos, D sin + tan = cos alapján f, = 3 cos 93. Az alábbi feladatokban leen f : R R differenciálható füvén. Határozzuk me az u : R R füvének deriváltjait! a u, = f + Meoldás: u, = f +, f + b u, = f Meoldás: u, = f, f c u, = f + Meoldás: u, = f +, f d u,, z = f + + z Meoldás: u,, z = f + + z, f + + z, zf + + z 94. Az alábbi feladatokban leen f : R R differenciálható füvén. Határozzuk me az u : R R illetve u : R 3 R füvének deriváltjait! 6

17 a u, = fa, b Meoldás: u, = ad fa, b, bd fa, b b u, = f +, Meoldás: u, = D f+, +D f+,, D f+, D f+, c u, = f, Meoldás: u, = D f, + D f,, D f, D f, d u,, z = f +, z Meoldás: u,, z = D f +, z, D f +, z, D f +, z e u,, z = f + + z, + + z Meoldás: u,, z = D f + + z, + + z + D f + + z, + + z, D f + + z, + + z + D f + + z, + + z, D f + + z, + + z + zd f + + z, + + z f u,, z = f, z Meoldás: u,, z = D f, z, D f, z + z D f, z, z D f, z 95. Leen a [, ]-en értelmezett olan füvén, mel kieléíti az + = eenletet. Hán foltonos meoldás van? Hán foltonos meoldás van, ha kikötjük, ho =? És ha =? Meoldás: Foltonos meoldás kettő van: = és =. Az = feltétel mellett eetlen meoldás van: = az eértelműsé következik az implicitfüvéntételből: D + = a, e körnezetében, az = feltétel mellett az előbbi mindkét füvén meoldás az implicitfüvén-tétel feltétele nem teljesül, mert D + = eltűnik az, e körnezetében. 96. Fejezzük ki az alábbi eenletekkel mehatározott füvének deriváltjait és seítséével! a + = Meoldás: = Df, D f, = + b ln + = arctan Meoldás: = Df, D = f, c sin = Meoldás: = Df, D f, = cos d =, / + + / = + Meoldás: Érdemes az eenletet e ln e ln = alakba írni. = Df, D = ln f, ln e = arctan Meoldás: = Df, D f, = arctan + + / + / = + arctan 97. Leen f : R R, f, = e cos, e sin. Mel a, b R pontokban alkalmazható f-re az inverzfüvéntétel? Meoldás: D e cos = e cos, D e cos = e sin, D e sin = e sin, D e sin = e cos alapján det f, = e cos e sin e sin e cos = e cos + sin = e, R, tehát f-re a sík minden pontjában alkalmazható az inverzfüvéntétel. 7

18 6. Feltételes szélsőérték 98. Oldjuk me a 86. és 88. feladatokat feltételes szélsőérték-feladatokként! 86. Meoldása: Keressük az f,, z = 4z füvén maimumát a,, z = + +z 4 = feltétel mellett. A Larane-multiplikátor-elv szerint a szélsőérték létezésének szüksées feltétele, ho van olan λ R szám, amelre f,, z λ,, z = R 3, azaz 4z λ = 4z 4λ = 4 λ =. Az első eenletet -szel, a másodikat -al, a harmadikat z-vel szorozva kapjuk, ho 4z = λ = 4λ = λz. Mivel a maimumhelen nilván z, ezért z = = 4. A feltételből kapjuk, ho + + z 4 = z 4 =, tehát z =, amiből =, =. Ez mefelel a 86. feladat eredeti meoldásának. 88. Meoldása: Keressük az f,, z = sin sin sin z füvén maimumát a,, z = + + z π = feltétel mellett. Larane-multiplikátor-elv szerint szélsőértékheleken van olan λ R szám, amelre f,, z λ,, z = R 3, azaz cos sin sin z λ = sin cos sin z λ = sin sin cos z λ =. Ebből cos sin sin z = sin cos sin z = sin sin cos z = λ. Mivel a maimumhelen sin sin sin z, ezért átrendezéssel ct = ct = ct z. Tudjuk, ho,, z = ++z π =, ezért = = z = π 3, ami szintén meeezik az eredeti meoldással. 99. Határozzuk me az f, = + 3 szélsőértékeit az + = eenletű eenesen! Meoldás: Können látható, ho pontosan eetlen szélsőértékhel van, mépedi minmiumhel, hiszen e felfelé álló paraboloid szélsőértékeit keressük e eenes mentén, azaz az eenesen átmenő, síkra merőlees eenessel elmetsszük a paraboloidot és a metszet parabola lealsó pontját keressük. Leen, = +, ekkor a feladat az f füvénnek a -re vonatkozó feltételes szélsőértékeinek mekeresése. Tudjuk, ho szélsőértékheleken van olan λ R szám, amelre f, λ, = R, azaz λ = 6 λ =. A fenti rendszerből következik, ho = 3, melet az + = eenletbe helettesíve kapjuk, ho az eetlen lehetsées szélsőértékhel a 3 4, 4 pont. Korábban láttuk, ho ez valóban szélsőértékhel, méhozzá minimumhel, í f minimuma az eenesen 3, maimuma pedi nincs. Mejeezzük, ho a feladatot Larane-multiplikátorok nélkül is meoldhattuk volna, léneében uanenni erőfeszítéssel. Valóban, a sík eenletéből kifejezve -et va -t és behelettesítve f-be a kapott eváltozós füvént können minimalizálhatjuk.. Határozzuk me az alábbi füvének szélsőértékeit a meadott K halmazokon! Mindeik részben foltonos füvén szélsőértékeit keressük kompakt halmazon, í azok léteznek. Mé azt is érdemes mejeeznünk, ho az alábbi feladatok Larane-multiplikátorok nélkül is meoldhatók különböző közepek seítséével, illetve némi üeskedéssel. a f, = +, K = {, R : + 5 } Meoldás: Mivel f, =,, í K-n belül nincs lokális szélsőértékhel. A határon lévő szélsőértékek mekeresése pedi ekvivalens az f füvén, = + 5 füvénre 8

19 vonatkozó feltételes szélsőértékeinek mehatározásával. Feltételes szélsőértékhelen létezik λ valós szám, ho λ = λ =. Innen =, ezt a, = eenletbe helettesítve, = ±, adódik. Können látható, ho, -ben maimum van, az értéke 5, a, pontban pedi minimum, melnek értéke 5. b f, =, K = {, R : + = } Meoldás: Leen, = +, és keressük az f füvén -re vonatkozó feltételes szélsőértékeit. Szélsőértékhelen létezik λ valós szám, melre f, λ, = R, azaz λ = λ =. Innen λ =, ahonnan =, és í a = eenlet felhasználásával, = ±, ±. Ezeket f-be helettesítve kapjuk, ho f maimuma melet a ±, pontokban vesz fel, és minimuma - melet a ±, pontokban vesz fel. c f, = + 8, K = {, R : = 7 } Meoldás: Leen, = és keressük az f füvén -re vonatkozó feltételes szélsőértékeit. Tudjuk, ho szélsőértékhelen létezik λ valós szám, melre f, λ, = R, azaz λ4 3 = 8 λ4 3 =. Ebből 4 3 = λ = 3, í 83 = 3, azaz =. Ezt a = eenletbe helettesítve kapjuk, ho, = ±,. Az, pontban f-nek maimuma van, az értéke 7, a, pontban pedi minimuma van, melnek értéke 7. d f, =, K = {, R : 4 + } Meoldás: Mivel f, =, 4, í K belsejében a, pontban lehet lokális szélsőérték. Mivel azonban f, = indefinit, ezért a, nem lokális szélsőértékhel. 4 Leen most, = 4 +, és keressük az f füvén -re vonatkozó feltételes szélsőértékeit. Tudjuk, ho szélsőértékhelen létezik λ valós szám ú, ho f, λ, = R, azaz λ8 = 4 λ =. Innen = va = különben λ = 4 és λ = teljesülne eszerre, és í a = eenlet felhasználásával, = ±, és, = ±, adódik. A kapott lehetsées 4 szélsőértékhelet f-be helettesítve können látható, ho f minimuma a K halmazon -, melet a ±, pontokban vesz fel, a maimuma pedi 4, melet a ±, pontokban vesz fel. e f,, z = + + z, K = {,, z R 3 : + + z = } Meoldás: Leen,, z = + + z. Az f füvén feltételes szélsőértékeit keressük a { = } halmazon. Az + +z = ömbfelület kompakt, í létezik mindkét szélsőérték. Tudjuk, ho a szélsőértékheleken van olan λ R szám, melre f,, z λ,, z = R 3, azaz λ = λ = λz =. 9

20 A fenti eenletrendszerből nilvánvalóan következik, ho = = z. Mivel + + z =, í = = z = 3 3 va = = z = 3 3. Ebből következően f feltételes maimuma 3, feltételes minimuma pedi 3. f f,, z = z 3, K = {,, z R 3 : + + z = } Meoldás: Az f füvén feltételes szélsőértékeit keressük az { + + z = } halmazon. Az + + z = ömbfelület kompakt, í a szélsőértékek léteznek. Tudjuk, ho szélsőértékheleken van olan λ R szám, melre f,, z λ + + z = R 3, azaz 3 λ = 3 λ = 3z λz =. Können látható, ho a fenti eenletrendszerből következik, ho = = z = { 3 λ va =, = z = 3 λ} va { = =, z = 3λ} valamint a szimmetria miatt az ezekből,, z permutálásával nert esetek. A rendszerhez hozzávéve az + + z = feltételt, azonnal adódik, ho az eenletrendszernek,, z-re nézve a meoldásai a ±,,, ±,,, ± 3, 3, 3 számhármasok, és az ezekből a koordináták permutálásával adódó számhármasok. Az z 3 kifejezésbe ezeket behelettesítve eszerű számolással adódik, ho a keresett maimum, a minimum pedi. 7. Ívhossz, vonalinterál. Határozzuk me a következő örbék ívhosszát! a : [, π] R, t = r cos t, r sin t r > körvonal Meoldás: Mivel t = r sin t, r cos t, í s = π t dt = π π r sin t + r cos t dt = r dt = πr. b : [, π] R, t = rt r sin t, r r cos t r > ciklois Meoldás: Mivel t = rt r sin t, r r cos t, í π π s = t dt = r cos t + r sin t dt = r = π r sin t π dt = r sin t [ dt = r cos t π ] π cos tdt = 4rcos π cos = 8r. c : [, π] R, t = r cos 3 t, r sin 3 t r > asztroid Meoldás: Mivel t = 3r cos t sin t, 3r sin t cos t, í π π π s = t dt = t dt = 9r cos t sin tcos t + sin t dt = π = 6r 3r cos t sin t dt = [ ] π cos t π = 4 3r = 6r. 3r sin t dt = 4 π 3r sin t dt d : [, h] R 3, t = t, r cos t, r sin t h, r > csavarvonal Meoldás: Mivel t =, r sin t, r cos t, í s = h t dt = h + r dt = h + r.. Leen f : [, 4] R, f = 3 3. Határozzuk me f rafikonjának ívhosszát! Meoldás: A rafikon lekézenfekvőbb paraméterezése : [, 4] R t = t, ft. Emiatt t =, f t, tehát 4 4 s = + f t dt = + 4 t [ ] 4 dt = t dt = t 3 =

21 3. Számítsuk ki az f vonalinterált, ha f, = +, + és a : [, π] R, t = cos t, sin t Meoldás: Mivel sin t t = sin t, cos t és ft = cos + sin t, cos t = sin t, cos t, cos + sin t í π π π f = ft, t dt = sin t + cos t dt = dt = π. b : [, π] R, t = cos t, sin t Meoldás: Mivel sin t t = sin t, cos t és ft = cos + sin t, í π π f = ft, t dt = sin t cos t dt = cos t cos + sin t π = sin t, cos t, dt = π. 4. Leen a felső félsíkba eső, orió középpontú esé suarú félkörív pozitív iránítással, továbbá leen f, =,. Számítsuk ki az f vonalinterált! Meoldás: A örbe e paraméterezése : [, π] R, t = cos t, sin t. Ekkor ft = sin t, cos t és t = sin t, cos t, í π π π f = ft, t dt = sin t + cos t dt = dt = π. 5. Leen a,, pontokat összekötő esésuarú körív neatív iránítással, to- +,. Számítsuk ki az f vonalinterált! vábbá leen f, =, Meoldás: A örbe e paraméterezése : [ π 4, π 4 ] R, t = cos t, sin t. Ekkor ft =, t t és t = sin t, cos t, í f = π 4 π 4 ft, t dt = π 4 π 4 sin t + t t cos t dt = π 4 π 4 sin t + sin t dt =. 6. Leen a,,, pontokat összekötő szakasz a, pont felé iránítva, továbbá leen f, = cos, cos. Számítsuk ki az f vonalinterált! Meoldás: A örbe e paraméterezése : [, ] R, t =, + t, = t, t. Ekkor ft = cos t, cos t és t =,, í f = ft, t dt = cos t + cos t dt = [sin t + sin t] = sin + sin sin sin =. 7. Leen : [, π ] R, t = 3 cos t, sin t. Számítsuk ki az f vonalinterált, ha f a következő alakú: a f, = +, + Meoldás: Veük észre, ho f e primitív füvéne F, = ln +, í π f = F F = F, F 3, = ln 3 = ln 3. b f, =, + + Meoldás: Veük észre, ho f e primitív füvéne F, = +, í π f = F F = F, F 3, = 3 = 9 =, hiszen kezdőpontja a 3,, vépontja pedi a, pont.

22 c f, = +, + Meoldás: Veük észre, ho f e primitív füvéne F, = arct, í f = lim F t F = lim F, F 3, = π t π +,. 8. Leen az orió középpontú esé suarú körvonalnak az, pontból az, pontba haladó nolcada. Számítsuk ki az f vonalinterált, ha az f füvén a következő alakú: a f, =, + Meoldás: Können látható, ho f-nek nincs primitív füvéne hiszen D f = = D f, í az interált közvetlenül kell kiszámolnunk. A örbe e paraméterezése : [, π 4 ] R, t = cos t, sin t, í t = sin t, cos t és ft = cos t sin t, cos t + sin t, ezért f = π 4 b f, = = π 4 + π 4 cos t sin t, cos t + sin t sin t, cos t dt = sin t dt = π 4 + π 4 + +, + + cos t π 4 dt = π 4 + [ t sin t + cos t dt ] π 4 sin t 4 = π 4 + π 8 4 = 3π 8 4. Meoldás: Veük észre, ho f e primitív füvéne F, = + +. Ekkor f = F, F, = Leen : [, ] R, t = ln + t sin t, 5t + cos πt, továbbá leen f, = +, +. Számítsuk ki az f vonalinterált! Meoldás: Veük észre, ho f e primitív füvéne F, = +, í f = F F = F ln sin, F, = ln sin +.. Leen : [, π] R, t = cos t, sin t, továbbá leen f, = e +, e +. Számítsuk ki az f vonalinterált! Meoldás: Veük észre, ho f-nek van primitív füvéne, uanis D f = D f =. A primitív füvént nem tudjuk meadni, de ez nem baj, hiszen zárt örbén kell interálnunk, í az interál értéke biztosan.