az eredő átmegy a közös ponton.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "az eredő átmegy a közös ponton."

Gyöngyi Boros
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár g közös ponton támadó koncentrált erők (centrális erőrendszer) Két erő eredője: = +, Több erő eredője: = n, az eredő átmeg a közös ponton. az eredő átmeg a közös ponton. z eredő helettesíti az erőrendszert, ezért az erőrendszer redukáltjának tekinthetjük. z erőrendszer nomatéka a közös pontra nulla. g másik pontra az erőrendszer nomatékát az eredő nomatékával célszerű számolni. Síkbeli párhuzamos erőkből álló erőrendszer lemei: i párhuzamos erők az síkban és M j koncentrált nomatékvektorok a síkra merőlegesen. z eredő erő is síkbeli vektor, az erőrendszer nomatékvektora pedig bármel pontban merőleges a síkra. Ha az eredő nem nulla, akkor az erőrendszer a centrális egenesbe eső egetlen = S i erővel egenértékű, ez az erőrendszer legegszerűbb eredője. centrális egenes meghatározása számítással: redukáljuk a vektorrendszert eg tetszőleges pontba, a centrális egenes az ponthoz viszonítva úg helezkedik el a síkban, hog párhuzamos az eredővel, a centrális egenesbe eső nomatéka az pontra megegezik az M nomatékkal, ezért a centrális egenes merőleges távolsága az ponttól k=m /. centrális egenes meghatározása szerkesztéssel: szerkezeti ábrán a felvett távolságléptékkel megszerkesztjük az erők hatásvonalait, bejelöljük az erők iránait. különálló erőábrán a felvett erőlépték szerint felmért erőket összeadjuk, íg megkapjuk az eredő erőt. centrális egenes szerkesztéséhez a kötélsokszög szerkesztést alkalmazzuk. szerkesztés elvi alapja: az erőrendszert kibővítjük két, önmagában egensúli erővel ( 0 és - 0), az erők összegzését 0-al kezdjük. z első erő hatásvonalán eg tetszőleges pontban kezdjük a kötélsokszög szerkesztését. Minden lépésben eg részeredőt szerkesztünk. z erőábra bármel háromszögének oldalait alkotó vektorok a szerkezeti ábrán eg közös pontban metsződnek. Közel párhuzamos erők esetén is íg szerkeszthetünk eredőt. Térbeli erőrendszerek lemei: a térbeli i erők és a térbeli M j koncentrált nomatékvektorok. z erőrendszert redukálva eg tetszőleges pontba kapjuk a [;M ] redukált vektorkettőst (statikai vektorkettőst), amel statikai szempontból helettesíti az erőrendszert. 3. hét/ 1

2 M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár Két vektorrendszer statikailag egenértékű, ha eredőik megegeznek, és nomatékaik bármel pontra egenlőek. Öszefüggés eg erőrendszer két különböző pontra számított nomatékai között: Ha ismert az eredő erő és az -pontbeli M nomaték, akkor a pontra M = M + r = M + r g erőrendszer egensúli, ha az eredője nulla és ha a nomatéka bármel pontra nulla. koncentrált erőrendszerek osztálai a statikai vektorkettős alapján 1. Ha = 0 és M = 0, akkor az erőrendszer egensúli. 2. Ha = 0 és M 0, akkor az erőrendszer eg erőpárral egenértékű. 3. Ha 0 és M 0, de.m = 0, akkor az erőrendszer egetlen erővel egenértékű, amel a centrális egenesen van. centrális egenesnek az ponthoz legközelebb eső G pontjába mutató helvektor 1 rg = 2 ( M ) centrális egenes pontjaiban az erőrendszer nomatéka nulla! 4. Ha 0 és M 0 és.m 0, akkor az erőrendszer eg erőcsavarral egenértékű, amel a centrális egenesen (csavar-tengelen) helezkedik el. centrális egenesnek az ponthoz legközelebb eső G pontjába mutató helvektor 1 rg = 2 ( M ) z erőcsavar két vektorból áll: és M G, ezek egmással párhuzamosak. centrális egenes bármel pontjára az erőrendszer nomatéka M G állandó! centrális egenes pontjaiban számított [;M G] G vektorkettős az erőrendszer legegszerűbb eredője. 3. hét/ 2

3 M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár PÉLÁK P3.1 Redukáljuk a három síkbeli erőből álló erőrendszert az pontba! Számítsuk ki az erőrendszer nomatékát az pontra! Hol van az eredő vektor? datok: = 1000 N, = 400 N, = 800 N. Megoldás: z eredő erő = + + = 466 i j N. nomaték az pontra: M = M z k, 30 ahol M z a z tengelre számított nomaték: M z = 400 0, = 700 Nm. z -pontbeli redukált vektorkettős entrális egenes 466 i j N és 700 k Nm. T M z T z ponton átmenő, z-vel párhuzamos tengelre számított nomatéka a három erőnek: M z = 867 0, = Nm, M = k Nm. Másképpen, a redukált vektorkettőssel számolva: M = M + r = ( , ) k = k Nm. z erőrendszer eredője a centrális egenesen van, ami párhuzamos az al. z -engelt metsző pontja legen T, az T távolság pedig az egenértékűségből: T = M amiből z, T = 700/1300= 0,5385 m. P3.2 Redukáljuk a három síkbeli erőből és az nomatékú erőpárból álló erőrendszert a pontba! Határozzuk meg az eredő vektor helzetét! datok: = 2000 N, = 3000 N, = 1000 N, = 1500 Nm. Megoldás: / =2, és =3000, ezekből = 1341,6 N, =2683,3 N. z eredő erő = + + = 3341,6 i ,3 j N. nomaték a pontra: M = k Nm, mivel csak az ad nomatékot. 3. hét/ 3

4 M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár centrális egenes a T pontban metszi a egenest, a helzetét meghatározó távolság T L T M L T = M z / =1500/3683,3= 0,407 m. P3.3 Számítsuk ki az adott erőrendszer eredőjét, továbbá nomatékát az adott és H pontokra, valamint az és H pontokon átmenő tengelekre! Helettesíthető-e az erőrendszer egetlen erővel? datok: = 1 kn, = 3 kn, = - 2 i + 3 j k kn. Megoldás: z eredő erő = + + = - 5 i + 2 j k kn. nomaték az pontra: M = r O + r + r = - 9 i - 15 j + 7 k knm. z H G nomaték a H pontra: M H = r HO + r HG + r H = - 3 i + j + 9 k knm. 3 m z H irán egségvektora: a 0 = r H / r H = (- i + 3 k) / Ö10. nomaték az H tengelre: M H = M. a 0 = (9 + 21) / Ö10 = 9,49 knm. a 0 O Végül az nem 0, továbbá az és M skalárszorzata. M = = 8, tehát az erőrendszer nem helettesíthető eg erővel, hanem eg erőcsavarral egenértékű. Megjegzések: Teljesülnie kell az M H = M + r H összefüggésnek is, ellenőrizzük ezt! z H tengelre a nomatékot az M H = M H. a 0 összefüggéssel is számíthatjuk, ezt is végezzük el ellenőrzés és gakorlás céljából! 3. hét/ 4

5 M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár P3.4 Számítsuk ki az adott erőrendszer nomatékát az pontra és az ponton átmenő, z- vel párhuzamos tengelre! Állapítsuk meg hog helettesíthető-e az erőrendszer egetlen erővel! datok: = 4 kn, 4 = 2 kn, 5 = 3 kn, M 1 = 2 knm, M 2 = 1 knm. z 5 M 2 Megoldás: z eredő erő = = 3 i + 4 j + 2 k kn. nomaték az pontra: M = r 4 + r 5 + M 1 + M 2 = =- 4 i + 4 j + 4 k knm. tengel egségvektora k, nomaték a tengelre M = M. k = 4 knm. 4 O M 1 z erőrendszer nem helettesíthető egetlen erővel, mert bár nem 0, az eredő nem merőleges a nomatékra az pontban, mert. M = 12. LTOK 3.1 Redukálja az adott síkbeli erőrendszert a pontba! Keresse meg az eredő erő helét! datok: = 2000 N, = 1000 N, = 800 N, = 1,5 knm 3 m (eredmének: = i j N, M d = Nm, a centrális egenes a egenest a ponttól jobbra, 0,18 távolságra metszi) hét/ 5

6 M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár 3.2 Határozza meg az adott síkbeli erőrendszer centrális egenesének a helét! Írja fel a centrális egenes iránát kijelölő egségvektort! datok: = 400 N, = 600 N, = 700 N, = 1100 Nm. (eredmén: a centrális egenes az 3 m egenest az ponttól balra, távolságra metszi, egségvektora 0,2425 i + 0,9701 j) 3.3 vázolt hasábra két erőrendszer hat (külön-külön rajzoltuk meg). Állapítsa meg, hog egenértékű-e a két erőrendszer! (eredmén: nem) 300 N 100 N 150 N 150 N 1,5 m 1,5 m 1 sz. erőrendszer 100 N 2 sz. erőrendszer 3.4 Vizsgálja meg, hog a fenti 1 sz. erőrendszer egenértékű-e eg erőcsavarral! Redukálja az erőrendszert az pontba! (eredmének: nem, =0, M = 150 k Nm) 3. hét/ 6

7 M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár 3.5 Számítsa ki az adott erőrendszer nomatékát a és a pontra! Határozza meg a pontbeli eredő vektorkettőst! Helettesíthető-e az erőrendszer egetlen erővel? z Számítsa ki az erőrendszer nomatékát a és pontokon átmenő tengelre! datok: = 1 kn, = 2 i - 3 j - k kn, 1,5 m = - i + 3 j knm. O 2 (eredmének: M = - 5 i - 2 k knm, M = - i + 4 j - 2 k knm, nem helettesíthető eg erővel, M = - 3,883 knm) témakörök részletesebb bemutatását, valamint további kapcsolódó példákat és feladatokat az lterné: Statika Példatár, Műegetemi Kiadó (45040) című egetemi jegzet 2.2 és fejezeteiben találhatjuk meg. 3. hét/ 7

Hasonló dokumentumok

Statika gyakorló teszt I.

Statika gyakorló teszt I. Statika gakorló teszt I. Készítette: Gönczi Dávid Témakörök: (I) közös ponton támadó erőrendszerek síkbeli és térbeli feladatai (1.1-1.6) (II) merev testre ható síkbeli és térbeli erőrendszerek (1.7-1.13)