A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erő, a nyomaték és erőrendszerek jellemzőit.

Átírás

1 2 modul: Erőrendserek 21 lecke: Erő és nomték lecke célj: tnng felhsnálój megismerje erő, nomték és erőrendserek jellemőit Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően tnngot, h sját svivl meg tudj htároni erő, erővektor, koncentrált erő, eredő erő, támdáspont, helvektor, htásvonl, egségvektor, irán egségvektor, nomték, nomtékvektor, lücker vektorok, vektorkettős, vektortér, vektormeő, nomtéki vektortér, erőpár, koncentrált nomték, erőrendser, eredő vektorkettős foglmát; fel tudj sorolni erő megdásánk módjit; ábr lpján meg tud dni koncentrált erőt, kötött erővektort; ábr lpján fel tudj írni erő pontr és tengelre sámított nomtékát meghtároó össefüggést; ábr lpján fel tudj írni: o tengel lücker vektoros lkját; o erő két pontr sámított nomték köötti össefüggést; o bármel pontr erőpár nomtékát; o erőrendser eredő erővektorát és eredő nomtékvektorát; ki tudj sámítni: o erő pontr és tengelre sámított nomtékát; o eredő vektorkettőst; el tudj végeni nomtékátsámítást Idősükséglet: tnng elsjátításáho körülbelül 50 percre les süksége Kulcsfoglmk: erő, erővektor, koncentrált erő, eredő erő támdáspont, helvektor, htásvonl, egségvektor, irán egségvektor koordinát, koordinátrendser nomték, nomtékvektor, jobbké sbál, lücker vektorok, vektorkettős vektortér, vektormeő, nomtéki vektortér erőpár, koncentrált nomték, erőrendser, redukált vektorkettős 211 Koncentrált erő megdás Tevékenség: lvss el bekedést! Tnulj meg erő, koncentrált erő foglmát és erő mértékegségét! igelje meg koncentrált erő megdás bekedés ábráit! ábrák lpján írj fel önállón erővektort, erő koordinátákt, erő ngságát! igelje meg kötött erővektor ábráját! Írj fel helvektort! Tnulj meg kötött koncentrált erővektor megdásánk módját! H nem ért vlmit vektorokkl, vektor műveletekkel kpcsoltbn, kkor olvss el I1 függeléket (Vektorok és vektorműveletek)

2 Trtlom: Erő: eg testnek eg másik testre gkorolt htás Koncentrált erő: h eg test pontserű érintkeéssel gkorol htást másik testre koncentrált erő vektor menniség: ngság, irán, (előjel és mértékegség), támdáspont, htásvonl jellemi m értékegsége: N=kg - Newton (kiejtése: núton) s 2 m 1 N erő, mel 1 kg tömegű testre htv 1 gorsulást ho létre 2 s Koncentrált erő megdás: ) megdási lehetőség: e - koncentrált erő, e e - erő irán egségvektor, erő e iránú koordinátáj (előjeles sklár sám), e cos e cos e cos e, e 1 cos cos cos b) megdási lehetőség: e e e,,, erő koordinátái (sklár),,, erő össetevői (vektor), e, e, e koordinát-rendser (KR),, iránú egségvektori, erő ngság (bsolút értéke): Kötött erővektor: koncentrált erőt pontho kötjük - koncentrált, kötött erővektor, e - erővektor támdáspontj, r e e e, - helvektor - erővektor htásvonl, e r e - htásvonl irán egségvektor e e kötött koncentrált erővektor megdás támdáspontjánk r helvektorávl és erővektorrl történik

3 212 Erő nomték Tevékenség: lvss el bekedést! Tnulj meg nomték foglmát és mértékegségét! ábrák lpján írj fel önállón erő pontr és tengelre sámított nomtékát meghtároó össefüggést! Tnulj meg és próbálj ki jobbké sbált! Ábr lpján írj fel tengel egenletének lücker vektoros lkját! Ismert erő és nomték lpján htáro meg tér eg másik pontjár nomtékot! Önállón oldj meg gkorló feldtokt! H nem ért vlmit vektorokkl, vektor műveletekkel kpcsoltbn, kkor olvss el I1 függeléket (Vektorok és vektorműveletek) Trtlom: Nomték: erő forgtó htás értékegsége: Nm - Newton méter ) Erő pontr sámított nomték: pontr sámított nomték erő eg dott pont körüli forgtó htás r - pontr sámított nomték vektor menniség nomték ngság: r sin r nomtékvektor merőleges r és vektorok áltl meghtároott síkr úg, hog r,, és jobbsodrtú vektorhármst lkotnk (jobbké sbál) jobbké sbál értelmeése Gkorló feldt: Erő pontr sámított nomték

4 dott: 0,4588e 1,376 e 1,376 e kn, r 12e m eldt: ) erő pontr sámított nomtékánk meghtároás Kidolgoás: ) erő pontr sámított nomtékánk meghtároás: r (12 e ) (0, 4588e 1,376e 1,376 e ) e e e ( 16,5e 5,51 e ) knm 0, ,376 1,376 ( vektoriális sorás kisámítását lásd I1 függelékben) Vege ésre: nomtékvektor merőleges r helvektor és erővektor áltl kifesített síkr Iránát jobbké sbál htáro meg Ellenőrie, hog r helvektor és nomtékvektor, vlmint erővektor és nomtékvektor merőleges-e egmásr! Htáro meg erővektor és nomtékvektor ngságát! ( megoldásokho információkt, eljárásokt tlál I1 függelékben) b) Erő tengelre sámított nomték: tengelre sámított nomték erő eg dott tengel körüli forgtó htás Tengel egenlete: Tengel: iránított egenes eg egenesen két tengel vehető fel 0 - tengel eg rögített pontj, 0 - tengel futópontj (tetsőleges pontj), r - tengel iránvektor ( 1) r 0 tengel egenlete: ( r r0 ) 0, r r 0 0 b tengel egenletének lücker (kiejtése: plükker) vektoros lkj: r b 0

5 b, lücker vektorok és b, b 0 b iránvektor nomték koordinát-rendser (KR) kedőpontjár e - tengelre sámított nomték (előjeles) skláris menniség e - tengel irán egségvektor r tengelre sámított nomték tengel bármel pontjár sámított nomtéknk tengelre eső (előjeles) vetülete KR tengeleire sámított nomtékok: e, e, e c) Össefüggés két pontr sámított nomték köött: r r r r r nomték értelmeéséből: r ( r r ) r r r, vg r, vektorkettős ismeretében bármel pontr sámított meghtárohtó nomték 1 Gkorló feldt: Erő pontr és tengelre sámított nomték dott: 40e 20e kn, r 4e e m 2 eldt: 1 ) erő pontr sámított r nomtékánk meghtároás b) erő ponton kerestülmenő, síkr merőleges (vg ) tengelre sámított nomtékánk meghtároás Kidolgoás: ) erő pontr sámított nomtékánk meghtároás: r 4e e 40e 20e 80e 40e 120e knm b) erő ponton kerestülmenő, síkr merőleges (vg ) tengelre sámított nomtékánk meghtároás: r r r e 120e e 120kNm

6 2 Gkorló feldt: Erő pontr és tengelre sámított nomték dott: (26 0) m, (30 0) m, (00 4) m, Kidolgoás: ) és pontr sámított és (4e 3e 2 e ) N eldt: ) és pontr sámított és nomték meghtároás b) tengelre sámított nomték meghtároás nomtékok meghtároás: ( ) r r r e e e e e e e e e (12e 2e 21 e ) Nm r ( ) r r r e e e e e e e e e (0e 20e 30 e ) ( 20e 30 e ) Nm r r r r b) tengelre sámított nomték meghtároás: ( 3e 4 e) m 5 m, e ( 0,6e 0,8 e) e 12e 2e 21e 0,6e 0,8e 24 Nm e 20e 30e 0,6e 0,8e 24 Nm

7 213 Erő nomtéki vektortere Tevékenség: lvss el bekedést! Tnulj meg vektortér, vektormeő és nomtéki vektortér foglmkt! Trtlom: Vektortér / vektormeő: geometrii tér, vg visgált test minden pontjáho hoárendelünk eg vektort Nomtéki vektortér: - erő nomtékát kisámítjuk tér minden eges pontjár - tér minden eges pontjáho hoákötjük dott r pontr sámított nomtékvektort r - Eek nomtékvektorok lkotják erő r nomtéki vektorterét 214 Koncentrált erőrendsere Tevékenség: lvss el bekedést! Tnulj meg erőpár, koncentrált nomték foglmát! Ábr lpján írj fel erőpár nomtékát eg kijelölt pontr! Ábr lpján írj fel erőrendser eredő erővektorát és eredő nomtékvektorát meghtároó össefüggést! Tnulj meg eredő vektorkettős elemeit és jelölését! Ábr lpján írj fel eredő vektorkettős kisámításáho sükséges össefüggést! Önállón oldj meg gkorló feldtokt! H nem ért vlmit vektorokkl, vektor műveletekkel kpcsoltbn, kkor olvss el I1 függeléket (Vektorok és vektorműveletek) Trtlom: ) Erőpár / koncentrált nomték: Erőpár: két onos ngságú ellentétes iránú, párhumos htásvonlú erő Speciális erőrendser: 1, 2 erőpár pontr sámított nomték: h r r 1 ( r ) 2 r r 21 r21 2 r r 1 r 2 21, h r sin 21 r 1 r r21 2 Erőpár nomték tér bármel pontjár ugnnni Erőpár homogén nomtéki vektorteret ho létre erőpár tér bármel pontjáho köthető, erőpár vektor nem váltoik

8 b) Áltlános (sétsórt) erőrendser: erőrendser megdás: i ( i 1,2,, n), i ( i 1,2,, n) i erőrendser áltlános esetben erőkből és erőpárokból (koncentrált nomtékokból) állht i i r i erőrendser eredő erővektor: erőrendser eredő nomtékvektor: n i i1 n r i i i i1 i1 c) Erőrendser eredő / redukált vektorkettőse: eredő vektorkettős: - eredő erő, - megdott pontr sámított eredő nomték eredő vektorkettős jelölése:, eredő vektorkettős kisámítás: n, n i i r i i i1 i1 n egjegés: - eredő vektorkettős nomtéki tér vontkoásábn egértelműen jellemi erőrendsert - redukált vektorkettős beveetésével áltlános erőrendser problémáját eg erő feldtár veettük viss - erőrendser eredő erővektor tér bármel pontjáb redukálv ugnnni: - erőrendser pontr sámított nomték: r pontbeli redukált vektorkettős ismeretében erőrendsernek tér bármel pontjáb sámított nomték meghtárohtó 1 Gkorló feldt: Síkbeli erőrendser redukált vektorkettőse, nomték átsámítás dott: 2 1 8e 5e N, e N, 3 20e N, 2 12e Nm, r 4e 6e m, r 3e e m

9 eldt: ) ábrán láthtó erőrendser eredőjének meghtároás b) és pontokr sámított, illetve nomtékok meghtároás nomtéksámítás értelmeése lpján c) nomték meghtároás nomték átsámító képlettel Kidolgoás: ) ábrán láthtó erőrendser eredőjének meghtároás: 3 i1 = 8e 5e 12e 20e 20e 25e N i b) és pontokr sámított, illetve nomtéksámítás értelmeése lpján: 2 3 r r r i j j i2 j1 r 2 4e 6e 12e 72e Nm, r 3 3e e 20e 60e Nm, 12e 72e 60e r r r i j j i2 j1 nomtékok meghtároás r r e e e e e e e r 2 r r 2 r r Nm, ( (3 e e ) (4e 6 e )) ( 12 e ) ( e 7 e ) ( 12 e ) (84 e ) Nm, ( 12 e ) (23 e ) (84 e ) (95 e ) Nm c) nomték és pontr sámított nomték kisámítás: r 0 r 3e e 20e 25e (20 e ) (75 e ) (95 e ) Nm 2 Gkorló feldt: Síkbeli sétsórt erőrendser eredőjének és eredő htásvonlánk meghtároás dott: kn, kn, 60, 0 4 m, b 03 m, c 05 m c 1 eldt: ), eredő vektorkettős meghtároás b 4 b) eredő erő htásvonlánk 3 meghtároás

10 Kidolgoás: ), eredő vektorkettős meghtároás: 4 i, i i 1cos 2 3cos kn i1 2 2 e e 04 cos 08, sin i 1 sin 3 sin 4 sin kn, i e 30e kn e ( sin c sin 0) e e (5 4 3) e(1193 e) knm 2 2 b) eredő htásvonlánk meghtároás: Síkbeli erőrendserek esetén: eredő htásvonlánk pontjibn: 0 r htásvonl egenesének egenlete: r b 0 r 0 egenes egenletének mtemtikábn e etséspontok koordinát-tengelekkel: m, , 0398 m 4 D Ellenőrés: knm, D 0 298( 40) 1193 knm h e D D D e sokásos lkjánk előállítás: 40e 30e e e 11,93 e 0, 40 e 30e 1193 e 0 e ,

11 3 Gkorló feldt: Erőrendser pontr és tengelre sámított nomték dott: 6 m 1 4e 4ekN, b) erőrendser és tengelekre sámított és Kidolgoás: ) erőrendser és nomtékánk kisámítás: i (4e 3 e ) kn, i ( ) knm r e e e, i i i e e e r e0 16 = 16ekNm, ( 2 e ) kn, 3 (2e 3e 4 e ) kn, ( 2e 4e 4 e )m eldt: ) és pontokr sámított e e e r e e 0 12 = 8e 12e knm, e e e r e 24 0 e 32 0 e = (24e 32e 12 e ) knm, r (24e 24 e ) knm, r (4e 3 e ) 8e 24e knm b) erőrendser és nomtékánk kisámíts: e 24 knm, e 24 knm, ( 2e 4e 4 e ) e e e e , e (24e 24 e ) e e e knm m 4 m és nomték meghtároás nomtékánk meghtároás

12 4 Gkorló feldt: Erőrendser pontr és tengelre sámított nomték dott: N, Nm, D r (4e 8e 3 e ) m, 2 3 e 1 H E eldt: ) erőrendser és E pontokr sámított és E nomtékánk meghtároás b) erőrendser és tengelekre sámított és nomtékánk meghtároás Kidolgoás: ) erőrendser és E pontokr sámított és 1 2 (4e 3 e ) ( 5 e ) (4e 5e 3 e ) N, r r, 2 3 D 1 2 rd 1 (3 e ) (4e 3 e ) (12 e) Nm, r 2 (4e 8e 3 e ) ( 5 e) (15e 20 e ) Nm, E nomtékánk meghtároás: ( 20 e ) (20 e ) (12 e ) (15e 20 e ) (15e 32e 40 e ) Nm, E re, r (4e 5e 3 e ) (4 e ) (20e 12 e ), E (15e 20e 20 e ) Nm E 2 b) erőrendser és tengelekre sámított és G e 15 Nm, E e 20 Nm nomtékánk meghtároás: