2.2. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK EGYETEMI MÉRNÖKHALLGATÓK SZÁMÁRA

Átírás

1 2.2. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ÉS VÁLSZK EGYETEMI MÉRNÖKHLLGTÓK SZÁMÁR (1) Mi a mechanika tága? nagi endseek (testek) heletváltotatással jáó mogásainak és a eeket létehoó hatásoknak (e knek) a visgálata. heletváltoást általánosan ételmeük: magában foglalja testek nugalmi állapotát és alakváltoását is. (2) dja meg általánosan a mechanikai modell denicióját! lan idealiált test, vag testekb l álló endse, amelnek a visgálat sempontjából léneges tulajdonságait megtatjuk, a többi tulajdonságát pedig elhanagoljuk. (3) Deniálja a meev test és a silád test fogalmát! Meev test: lan testmodell, amelben bámel két pont távolsága állandó. test pontjainak távolsága tehelés hatásáa sem váltoik meg. Silád test: lan testmodell, amel alakváltoásta képes. test pontjainak távolsága tehelés hatásáa megváltoik. (4) Deniálja anagi pont és anagi pontendse fogalmát! nagi pont: 1. deníció: nagi tulajdonságokkal endelke geometiai pont. 2. deníció: lan test modell (meev test), amelnek helete egetlen pontjának heletével egételm en megadható. nagi pontendse: nagi pontok halmaa (össessége). (5) Mi a e (koncentált e ) és a e endse? e eg testnek eg másik teste gakoolt hatása. koncentált e testek pontse éintkeése esetén jön léte. e endse valamel sempontból kapcsolatban álló pl. uganaa a teste ható e k halmaa (össessége). (6) Mi a nomaték? Deniálja koncentált e adott ponta sámított nomatékát! denícióho késítsen magaáó ábát! 13

2 nomaték a e fogató hatása. ponta sámított nomaték vekto menniség. e ponta sámított nomatéka: M =, ahol M a e ponta sámított nomatéka, a pontból a pontba mutató helvekto és a koncentált e támadáspontja. (7) Mi a nomaték? Ételmee koncentált e tengele sámított nomatékát! ételmeéshe késítsen magaáó ábát! a M M a a nomaték a e fogató hatása. tengele sámított nomaték skalá menniség. e a tengele sámított nomatéka: M a = M e a, ahol M a a e a tengele sámított nomatéka, e a = a/ a a a tengel ián egségvektoa, M a e nek a a tengel pontjáa sámított nomatéka: M = (8) dja meg a össefüggést eg e két ponta sámított nomatéka köött! ételmeéshe késítsen magaáó ábát! M B B B B M M B = M + B, vag M B = M + B, ahol és B a té két tets leges pontja. (9) Mel geometiai alakatoka nem ad a e nomatékot? Állításait igaolja! bionításokho késítsen magaáó ábát! 14

3 B B e a b e hatásvonalán lev pontoka. Bionítás: M = = 0, met. e hatásvonalát mets a tengele. Bionítás: M a = M e a = 0, met M = 0. e hatásvonalával páhuamos b tengele. Bionítás: M b = M B e b = 0, met M B me leges e b = b/ b -vel, a b tengel ián egségvektoával és e b páhuamos e -vel, a e ián egségvektoával. (10) Magaáó ábával veesse le a tengel egenletének lücke-vektoos alakját! dja meg a egenletben seepl menniségek jelentését! a ( 1 ), eét a a ( 1 ) = 0, ( ) 1 a a 1 = 0. 1 Jelölés: b = a 1 = 1 a 1 tengel egenlete: a + b = 0, ahol a a tengel iánvektoa és b a a iánvekto ponta sámított nomatéka. (11) Ételmee általános (sétsót) e endse edukált (eed ) vektokett sét! Eed e vekto: Eed nomatékvekto: M = () = n i i=1 n ( M i + i i ) i=1 ahol: n a e endse alkotó koncentált e k / koncentált nomatékok sáma, a té adott pontja, i a e endse i jel koncentált e vektoa, M i a e endse i jel koncentált nomatékvektoa, i a pontból a e támadáspontjába mutató helvekto. edukált vektokett s nomatéki té vonatkoásában egételm en jellemi a e endset. (12) dja meg e pá (koncentált nomaték) ételmeését, kisámítását és legfontosabb tulajdonságát! Késítsen magaáó ábát! 15

4 Ételmeés: lan speciális e endse, amel két, aonos nagságú, ellentétes iánú és páhuamos hatásvonalú e b l áll. Kisámítás: M = 1 2 = ( 1 2 ) 1 2 M = 21 = M B Tulajdonság: E pá nomatéka a té bámel pontjáa ugananni. E pá homogén nomatéki vektoteet ho léte. (13) Ételmee két e endse egenéték ségét! Két e endse egmással egenéték, ha aonos nomatéki vektoteet honak léte. Jelölés: (E ) M = (E ) M = jel aa utal, hog a egenl ség a nomatéki té vonatkoásában áll fenn. (14) dja meg két e endse egenéték ségének kitéiumait! 1. kitéium: 2. kitéium: 3. kitéium: =, M = M, M i = M M = M, M B = M B, M C = M C, ahol ahol ahol a té tets leges,, B, C háom, nem eg (i = 1, 2,..., 6) egmástól ögített pontja. egenese es pont. lineáisan független tengel. i, (15) dja meg a egensúli e endse ételmeését! Eg e endse akko egensúli, ha éus nomatéki vektoteet ho léte. Jelölés: (E) M = (0) M = jel aa utal, hog a egenl ség a nomatéki té vonatkoásában áll fenn. (16) dja meg eg e endse egensúlának kitéiumait! 16

5 1. kitéium: 2. kitéium: 3. kitéium: = 0, M = 0, M i = 0, M = 0, MB = 0, M C = 0, ahol ahol ahol a té tets leges,, B, C háom, nem eg i = 1, 2,..., 6 egmástól ögített pontja. egenese es pont. lineáisan független tengel. (17) dja meg eg e endse centális egenesének mindkét denícióját! 1. deníció: centális egenes aon pontok métani hele, amelekben a e endse eed e vektoa és eed nomatékvektoa egmással páhuamos. 2. deníció: centális egenes aon pontok métani hele, amelekben a e endse eed nomatékvektoának a eed e vektoa me leges össetev je éus. (18) Íja fel e endse centális egenesének egenletét lücke vektoos alakban! a + b = 0 ahol: a egenes futópontjának helvektoa, a egenes iánvektoa a =, a iánvekto oigóa sámított nomatéka b = M = 1 2 { ( M )}, a e endse eed e vektoa, a e endse ponta sámított eed nomatékvektoa M. (19) dja meg a centális egenes oigóho legköelebb es C pontjának helvektoáa vonatkoó össefüggést! C = M 2 ahol: a e endse eed e vektoa, M a e endse ponta sámított eed nomatékvektoa, a eed e vekto absolút étéke. (20) Mekkoa a e endsenek a centális egenes pontjaia sámított nomatékvektoa? M = M 17

6 centális egenes pontjaia sámított nomatékvekto a tets leges ponta sámított nomatékvekto centális egenes iánú össetev je. (21) stáloa a e endseeket eed vektokett sük alapján! 1.a. = 0 M = 0 Egensúli e endse. 1.b. = 0 M 0 E pá. 2.a. 0 M = 0 Egetlen e vel egenéték e endse. 2.b. 0 M 0 E csava. (22) Ételmee páhuamos e endse köéppontját és adja meg a K köéppontba mutató helvektot! áhuamos e endse K köéppontjában a e endse helettesíthet a eed e vektoal. köéppont helvektoa: n i i i=1 K = n, i i=1 ahol: i a i jel e támadáspontjának helvektoa, i a i jel e skalá koodinátája ( i = i e), n a e endset alkotó e k sáma. (23) dja meg a S súlpont ételmeését! súlpont a súle endsenek, mint páhuamos e endsenek a köéppontja. (24) Ételmee a ecipok vektohámast és adja meg jellem tulajdonságát! Ételmeés: a 1 = a 2 a 3 a o, a 2 = a 3 a 1 a o, a 3 = a 1 a 2 a o ahol: Tulajdonság: a 1, a 2, a 3, nem eg síkba es vektook és a o = ( a 1 a 2 ) a 3 0 a a 1, a 2, a 3, vektook veges soata. { 0 ha i j a i a j = 1 ha i = j (i, j = 1, 2, 3). 18

7 (25) dja meg tengelek lineáis függetlenségének feltételét! a i + b i = 0, i = 1, 2,..., 6 tengelek lineáisan függetlenek, ha a a i és b i lücke vektoaik koodinátáiból felít detemináns nem nulla: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 0. (26) Íja le háom e egensúlának feltételeit! Hatásvonalaik aonos síkba esnek és köös pontban mets dnek. E vektoaik át vektoháomsöget alkotnak. át vektoháomsögben a nílfolam foltonos. (27) Íja le két e egensúlának feltételeit! Hatásvonalaik aonosak. Nagságuk megege. Iánuk ellentétes. (28) dja meg a téfogaton megosló e endse eed vektokett sének kisámítási módját! Késítsen magaáó ábát és adja meg a össefüggésekben seepl menniségek jelentését! V dv eed e : ponta sámított q nomaték: d = q dv = q dv, M = q dv. Menniségek jelentése: q a téfogaton megosló e endse s ségvektoa, a pontból a elemi téfogatho mutató helvekto. (29) dja meg a felületen megosló e endse eed vektokett sének kisámítási módját! Késítsen magaáó ábát és adja meg a össefüggésekben seepl menniségek jelentését! 19

8 p eed e : ponta sámított d d = p d nomaték: = () p d, M = () p d. Menniségek jelentése: p a felületen megosló e endse s ségvektoa, a pontból a elemi felülethe mutató helvekto. (30) dja meg a vonal mentén megosló e endse eed vektokett sének kisámítási módját! Késítsen magaáó ábát és adja meg a össefüggésekben seepl menniségek jelentését! l d = f ds f ds eed e : ponta sámított nomaték: = (l) f ds, M = f ds. Menniségek jelentése: f a vonal mentén megosló e endse s ségvektoa, a pontból a elemi vonalsakasho mutató helvekto. (31) dja meg egenletesen megosló vonal menti tehelés eed jét és centális egenesének helét! L/2 C f eed e : = f L, L centális egenes hele: C = L/2 (32) dja meg háomsög alakú vonal menti tehelés eed jét és centális egenesének helét! f 2L/3 L C eed e : = f L/2, centális egenes hele: C = 2 L/3 20

9 (33) dja meg paabola alakú vonal menti tehelés eed jét és centális egenesének helét! paabola csúcspontjában a tehelés nulla és a csúcspont a sakas ked pontjában van. 3L/4 L C f eed e : = f L/3, centális egenes hele: C = 3 L/4 (34) dja meg paabola alakú vonal menti tehelés eed jét és centális egenesének helét! paabola csúcspontjában a tehelés maimális és a csúcspont a sakas ked pontjában van. f 3L/8 C L eed e : = 2 f L/3, centális egenes hele: C = 3 L/8 (35) Ételmee a test tömegét és a test ponta sámított statikai nomatékát! Késítsen magaáó ábát! V dv ρ dv = dm test tömege a test tehetetlenségének mé sáma: m = (m) dm = ρ dv. test ponta sámított statikai nomatéka: S = (m) dm = ρ dv. (36) Ételmee a test koodináta síkoka sámított statikai nomatékát! Késítsen magaáó ábát! 21

10 koodináta síkoka sámított statikai nomaté- V dv ρ dv = dm kok: S = (m) S = (m) dm = dm = ρ dv = S e, ρ dv = S e, S = (m) dm = ρ dv = S e, ahol: S a test ponta sámított statikai nomatéka, e, e, e a síkok nomális egségvektoai. (37) dja meg a össefüggést eg tömegpont endse, vag meev test két ponta sámított statikai nomatéka köött! S B = S m B, vag SB = S + m B, ahol és B a té két tets leges pontja, tömegpont endse esetén : m = n meev test esetén: m = (m) i=1 dm = m i, ρ dv. (38) Deniálja tömegpont endse, vag meev test T tömegköéppontját és adja meg a tömegköéppont helvektoának kisámítási módját! Milen esetben esik egbe a tömegköéppont a súlponttal? - tömegköéppont a a pont, amele sámított statikai nomaték éus. - tömegköéppont helvektoa: T = T = S m, ahol a koodináta-endse ked pontja, m a endse tömege és S a koodináta-endse ked pontjáa sámított statikai nomaték. - tömegköéppont akko aonos a súlponttal, ha a gavitációs gosulás állandó. (39) Általánosítsa a ponta sámított statikai nomatékot téfogata, felülete és vonala ábákon tötén semléltetéssel! 22

11 V dv ρ Általánosítás téfogata: S = dv. d Általánosítás felülete: S = () d. l ds Általánosítás vonala: S = ds. (l) (40) Ismetesse a homogén tömegeloslású, simmetikus testek tömegköéppontjának tulajdonságait! - Ha a testnek van simmetiasíkja, akko a test tömegköéppontja a simmetiasíkba esik. - Ha a testnek két simmetiasíkja van, akko a test tömegköéppontja a síkok metsésvonalába esik. - Ha a test tengelsimmetikus, akko a test tömegköéppontja a simmetiatengele esik. - Ha a test pontsimmetikus, akko a test tömegköéppontja egbeesik a simmetiaponttal. 23

12 (41) Ismetesse a statika f tételét (meev testekb l álló endse tatós nugalomban maadásának sükséges feltételét)! Eg meev testekb l álló endse csak akko lehet tatós nugalomban, ha a á ható küls e endse egensúli. (42) Ismetesse a meev testekb l álló endse tatós nugalomban maadásának elégséges feltételét! Eg meev testekb l álló endse tatós nugalomban maadásának a a elégséges feltétele, hog a endse megtámastása ne teg lehet vé a endse meevtestse mogását. (43) Mi a statika feladata? statika feladata meev testekb l álló endseek esetén a támastóe k és a bels e k meghatáoása statikai egensúli egenletek felhasnálásával. (44) dja meg a statikailag hatáoott, és a statikailag hatáoatlan sekeet fogalmát! Statikailag hatáoott a sekeet, ha endelkeése álló statikai egenletek sáma megegeik a statikai ismeetlenek sámával. Statikailag hatáoatlan a sekeet, ha endelkeése álló statikai egenletek sáma kisebb, mint a statikai ismeetlenek sáma. (45) Milen feltételek esetén événes a Coulomb-féle súlódási tövén? - éintke testek meevnek tekinthet k. - éintkeés sík felületek mentén jön léte. - testek köött nincs ken anag (sáa súlódás). (46) Ismetesse a Coulomb-féle súlódási tövént ábákon tötén semléltetéssel! t 1 2 n t u t t kit t u t 24 n m iko csúsás mako csúsás Kísélet: éintke testeket össesoító n e állandó és a tanganciális (éintkeési síkba es ) t e t fokoatosan növeljük. Coulomb tövén: tapastalat seint a éintke testek köött nag u t elatív elmodulások jöhetnek léte, ha a t e elé eg kitikus étéket.

13 kitikus t e aános a testeket össesoító n e vel: tk = µ 0 n, ahol µ 0 a nugvásbeli súlódási téne. (47) dja meg a egse és össetett sekeet denícióját! egse sekeet eg meev testb l áll. össetett sekeet több meev testb l áll. (48) mechanikában milen testeket tekintünk údnak? Mi a úd mechanikai modellje? mechanikában údnak olan testet tekintünk, amelnek egik méete lénegesen nagobb, mint a másik kett. úd mechanikai modellje a úd köépvonala (súlponti sála). (49) dja meg a ácsos sekeet denícióját! ácsos sekeet olan údsekeet, amelben a eges udak végpontjai egmásho csuklóval kapcsolódnak és a sekeete csak a csuklópontokban hatnak küls (koncentált) e k. (50) dja meg a úd keestmetsetének és köépvonalának denícióját! Milen feltételek teljesülése esetén besélünk pimatikus údól? keestmetset a úd legnagobb méetée me leges metset. úd köépvonala a keestmetsetek súlpontjai által meghatáoott vonal. Eg úd akko pimatikus, ha keestmetsetei aonos alakúak és tébeli elhelekedés ek. (51) Ételmee úd igénbevételét! dja meg a úd + nomálisú keestmetsetében a S és M S eed vektokett st! igénbevételek a úd keestmetsetén megosló bels e endse súlpontba edukált eed vektokett sének skaláis koodinátái. s = T e T e + N e, M s = M h e M h e + M c e. (52) Semléltesse síkbeli ábákon a igénbevételek el jelének ételmeését! 25

14 N > 0 M c > 0 T, T > 0 M h, M h > 0 (53) Semléltesse tébeli ábákon a igénbevételek el jelének ételmeését! M h S S T N M c T M h (54) Íja fel a síkban tehelt egenes úd egensúli egenleteit dieenciális alakban! dt d = f (), ahol f () a megosló tehelés s sége, T () a níóe és M h () a hajlítónomaték. dm h d = T (), (55) Íja fel a síkban tehelt egenes úd egensúli egenleteit integál alakban! T () T 0 = 0 f (ζ) dζ, M h () M h0 = ahol f () a megosló tehelés s sége, T () és T 0 a níóe a, illetve a 0 pontban, M h () és M h0 a hajlítónomaték a, illetve a 0 pontban. 0 T (ζ) dζ, 26

15 (56) Íja le a ideális kötél tulajdonságait! ideális kötél tökéletesen hajlékon, nújthatatlan és csak húása vehet igénbe, nomóe vel semben nincs ellenállása. (57) dja meg a édes felületen csúsó súltalan kötél két végén fellép kötéle köötti kapcsolatot! N = N 0 e ±µ(ϕ ϕ 0), ahol ϕ és ϕ 0 a felfekvés kedetét és végét megadó sög. 27