A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait.

Átírás

1 9 modul: A rugalmasságtan D feladatai 9 lecke: A D feladatok definíciója és egenletei A lecke célja: A tananag felhasnálója megismerje a rugalmasságtan D feladatainak elméleti alapjait Követelmének: Ön akkor sajátította el megfelelően a tananagot ha: Sík alakváltoás (SA) fel tudja sorolni a rugalmasságtani D feladatok köös jellemőit; fel tudja írni eg pont elmodulásvektorát és a elmodulásmeő koordinátáit síkalakváltoás esetén; meg tudja határoni a sík alakváltoásának a definícióját; fel tudja sorolni a sík-alakváltoás kialakulásának feltételeit; fel tudja írni a alakváltoási és a fesültségi tenort sík-alakváltoás esetén; fel tudja írni a egensúli egenleteket sík-alakváltoásra DDK-ben; meg tudja határoni a sík-alakváltoási állapotban lévő test (alkatrés) mechanikai modelljét; Általánosított sík fesültségi feladat (ÁSF) tárcsa feladat meg tudja határoni a általánosított sík fesültségi feladat definícióját; meg tudja határoni a leme mint test jellemőit; fel tudja írni a dinamikai peremfeltételeket ÁSF esetén; fel tudja írni a átlagos fesültségeket meghatároó matematikai össefüggéseket; fel tudja írni a átlagos alakváltoási tenor mátri alakját; fel tudja írni a átlagos elmodulásokat meghatároó matematikai össefüggéseket; fel tudja írni a egensúli egenleteket DDK-ben ÁSF esetén; Forgássimmetrikus feladatok (FSZ) meg tudja határoni a forgássimmetrikus feladat definícióját; meg tudja határoni a tengelsimmetria követkeménét; fel tudja írni a elmodulásmeőt megadó matematikai össefüggést FSZ esetén; fel tudja írni a alakváltoási állapot matematikai össefüggéseit FSZ esetén; fel tudja írni a alakváltoási tenor mátri alakját FSZ esetén; fel tudja írni a fesültségi állapotot meghatároó matematikai össefüggéseket FSZ esetén; fel tudja írni a fesültségi tenor mátri alakját FSZ esetén; Síkfeladatok megoldása fesültségfüggvénnel fel tudja sorolni a SA és ÁSF feladatok hasonlóságait és különbségeit; fel tudja írni a Air-féle fesültségfüggvént és a egensúli egenleteket; fel tudja sorolni a megoldás gondolatmenetének lépéseit; fel tudja írni DDK-ben a biharmonikus differenciálegenletet; Síkbeli forgássimmetrikus feladatok meg tudja határoni a síkbeli forgássimmetrikus feladatok előfeltételeéseit; fel tudja írni a fesültségfüggvént és a fesültségeket meghatároó össefüggéseket; fel tudja írni a fesültségi és alakváltoási tenor mátri alakját; fel tudja írni a Hooke-törvént SA és ÁSF esetében; fel tudja írni a Euler típusú differenciálegenlet megoldását; fel tudja írni a fesültségfüggvénből a fesültségeket

2 Idősükséglet: A tananag elsajátításáho körülbelül 55 percre les süksége Kulcsfogalmak: két dimeniós D elmodulásmeő elmoduláskoordináta sík alakváltoás SA kitüntetett sík elmodulásvektor alakváltoási állapot alakváltoási tenor fesültségi állapot Hooke törvén egensúli egenletek DDK mechanikai modell általánosított sík fesültségi feladat ÁSF tárcsa feladat leme köépsík dinamikai peremfeltétel átlagos fesültségek átlagos alakváltoások átlagos fesültségi tenor átlagos alakváltoási tenor átlagos elmodulások forgássimmetrikus feladat FSZ henger koordináta-rendser elmodulásmeő elmoduláskoordináták független alakváltoási- elmodulás- és fesültségi meő anagegenletek fesültség függvén biharmonikus függvén biharmonikus differenciál egenlet Laplace-féle differenciál operátor síkbeli forgássimmetrikus feladat forgássimmetrikus eset tengelsimmetrikus eset homogén köönséges negedrendű Euler típusú differenciálegenlet A D feladatok definíciója és egenletei Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Gűjtse ki majd tanulja meg a D feladatok köös jellemőit a sík alakváltoás definícióját a elmodulásvektort leíró össefüggést elmodulásmeő skaláris koordinátáit! Tanulja meg a SA alakváltoás feltételeit! A D ( két dimeniós ) feladatok köös jellemői: - két skalár elmodulásmeő különböik nullától - minden mechanikai menniség két helkoordinátától függ 9 Sík alakváltoás (SA) a) Definíció: Sík alakváltoásról besélünk ha a visgált testnek van eg kitüntetett síkja amellel párhuamos valamenni sík alakváltoása aonos és a síkok távolsága sem váltoik A P() pont elmodulásvektora: u ue ve b P P u u Kitüntetett sík: A elmodulásmeő skaláris koordinátái csak a helkoordináták függvénei: u u v v w Ilen alakváltoás a alábbi feltételek teljesülése esetén alakul ki:

3 - A test kitüntetett síkra merőleges ( iránú) mérete lénegesen nagobb (tart -he) mint a másik kettő (A ábrán a test iránra merőleges egségni vastagságú selete látható e a mechanikai modell) - A terhelés párhuamos a kitüntetett síkkal és a legnagobb kiterjedés (a tengel ) iránában nem váltoik - A párhuamos síkok távolságának váltoatlanságát külső kénser bitosítja (et a ábrán sraffoott vonal jelöli) Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a alakváltoási és a fesültségi tenor mátri alakját a fesültségi állapotot leíró össefüggéseket! Írja fel/tanulja meg egensúli egenleteket síkalakváltoásra DDK-ben! b) A alakváltoási állapot: u A alakváltoási tenor: ( ) v A A ahol v u c) A fesültségi állapot (a Hooke törvén felhasnálásával): G G E G A fesültségi tenor: F F A Hooke törvén másik alakjából: G G G d) A egensúli egenletek sík-alakváltoásra DDK-ben: q q q e) A sík-alakváltoási állapotban lévő test (alkatrés) mechanikai modellje: - a testből kiragadjuk a kitüntetett síkot (vag más sóval kiragadunk eg a kitüntetett síkkal párhuamos egségni vastagságú síkseletet) - a kitüntetett sík (egségni vastagságú síkselet) alakváltoását visgáljuk

4 Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Tanulja meg a általánosított sík fesültségi feladat és a leme definícióját! Jegee meg a dinamikai peremfeltételt! Írja fel/tanulja meg a átlagos fesültségeket és alakváltoásokat meghatároó matematikai össefüggéseket! Jegee meg a átlagos fesültségi és a átlagos alakváltoási tenor mátri alakját! 9 Általánosított sík-fesültségi feladat (ÁSF) tárcsa feladat Definíció: A általánosított sík-fesültségi feladat a saját síkjukban terhelt lemeek feladata Leme: Olan test melnek egik mérete lénegesen kisebb mint a másik kettő és értelmehető köépsík Elneveés: általánosított sík-fesültség feladat = tárcsa feladat Feltételeés: a b felületek b terheletlenek Dinamikai peremfeltétel a b felületen: Mivel a b vastagság kicsi eért a test minden pontjában jó köelítéssel a) Átlagos fesültségek: d d d b b b b b b d d d b b b b b b A átlagos fesültségi tenor: F F b) Átlagos alakváltoások: ε = εd ε = εd γ = γ d b b b b b b A átlagos alakváltoási tenor: A A A átlagos alakváltoási tenor koordinátái átlagos elmodulásokból állíthatók elő: u v u v

5 Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Írja fel/tanulja meg a átlagos elmodulásokat meghatároó össefüggéseket és a egensúli egenleteket! Jegee meg a általánosított síkfesültségi állapotban lévő test (alkatrés) mechanikai modelljének jellemőit! c) Átlagos elmodulások: u u d v b vd w b b b d) Egensúli egenletek DDK-ben: q q q A általánosított síkfesültségi állapotban lévő test (alkatrés) mechanikai modellje: - a testet a köépsíkjávallal helettesítjük - a átlagos menniségeket a köépsíkho kötjük Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Tanulja meg a a forgássimmetrikus feladat definícióját! Jegee meg a tengelsimmetria követkeménét! Írja fel/tanulja meg a elmodulásmeőt a alakváltoási állapotot a fesültségi állapotot meghatároó matematikai össefüggéseket! Jegee meg a alakváltoási és a fesültségi tenor mátri alakját! 93 Forgássimmetrikus feladatok (FSZ) Definíció: a visgált test geometriája és terhelése is forgássimmetrikus (tengelsimmetrikus) p ( ) r u P u P p ( ) r A henger koordináta-rendserben dolgounk Tengelsimmetriából követkeően minden mechanikai menniség független a - től A elmodulásmeő: u ueve we u u v w A test pontjai a meridián síkban modulnak el a elmoduláskoordináták csak a és függvénei

6 a) A alakváltoási állapot: u v u u v A alakváltoási tenor: A A b) A fesültségi állapot (a Hooke-törvén felhasnálásával): G AI G AI G AI G A fesültségi tenor: F F Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a SA és ÁSF aonosságait és különbségeit! Írja fel/tanulja meg a Air-féle fesültségfüggvént és a egensúli egenleteket! Jegee meg a feladat megoldás gondolatmenetének lépéseit! Írja fel/tanulja meg DDK-ben a biharmonikus differenciálegenletet! 94 Síkfeladatok megoldása fesültségfüggvénnel a) A SA és ÁSF össehasonlítása: - Aonosság: Minden menniség csak függvéne Független meők: két független elmodulásmeő három független alakváltoási meő három független fesültségi meő A geometriai és egensúli egenletek alakja - Különböőség: A anagegenletek alakja SA-nál pontbeli ÁSF-nél vastagság menti átlagos menniségek SA: nem független meők ÁSF:

7 b) A Air (kiejtése: éri)-féle fesültségfüggvén: q q SA és q q ÁSF Feltételeés: Jelölés: - fesültség függvén: U U ( ) - a továbbiakban a felülvonás jelölést elhagjuk U U ( ) A fesültségfüggvént úg vessük fel hog a belőle sámított fesültségek kielégítsék a egensúli egenleteket: U U U Eek a össefüggések a SA-ra és a ÁSF-re is érvénesek A megoldás gondolatmenete: Fesültségek Anagegenletek Alakváltoások Kompatibilitási egenlet U - biharmonikus differenciálegenlet U - biharmonikus függvén kielégíti a biharmonikus differenciál egenletet A Laplace-féle (kiejtése: laplas) differenciál operátor kétváltoós (síkbeli) esetben Et behelettesítve a biharmonikus differenciálegenlet DDK-ben: U U U 4 4

8 Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a síkbeli forgássimmetrikus feladatok előfeltételeését! Írja fel/tanulja meg a fesültségfüggvént és a fesültségeket meghatároó össefüggéseket! Jegee meg a fesültségi és alakváltoási tenor mátri alakját! Írja fel/tanulja meg a Hooke-törvént SA és ÁSF esetében! Tanulja meg a Euler típusú differenciálegenlet megoldását! Írja fel és tanulja meg a fesültségfüggvénből a fesültségek sármatatását! 95 Síkbeli forgássimmetrikus feladatok b furatos tárcsa vastagfalú cső A síkbeli forgássimmetrikus feladatokat henger koordináta-rendserben (HK) oldjuk meg U U U (A forgássimmetria miatt) Fesültségfüggvén: SA esetén du du Fesültségek: d d ÁSF A fesültségi tenor: F Alakváltoások (a Hooke-törvénből): A du u ahol d A Hooke-törvén forgássimmetrikus esetben: SA ÁSF G E G E E A biharmonikusdifferenciál egenlet: U d d d du Tengelsimmetrikus esetben: d d d d E eg homogén köönséges negedrendű Euler (kiejtése: ojler) típusú differenciálegenlet

9 A Euler típusú differenciálegenlet matematikából ismert formája: d 3 d d d 4 3 d d d d A Euler típusú differenciálegenlet megoldását a követkeő alakban sokás keresni: n h Ebben a esetben a biharmonikus differenciálegenlet megoldása: U A Bln C D ln A D ln -es tag nem ad egértékű elmodulásmeőt kör és körgűrű tartománban eért a megoldás utolsó tagját elhagjuk Íg a megoldás: A U Bln C A fesültségfüggvénből a fesültségek: du A B d d U B A d ÁSF A A és B állandók a dinamikai peremfeltételekből határoható meg SA esetén