2. Koordináta-transzformációk

Átírás

1 Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva, kcsnítve, nagítva aduk meg. Et koordnáta-, lletve pont-transformácónak neveük. Koordnáta-transformácóról akkor besélünk, ha a tárg eg ú koordnáta-rendserre vonatkoó koordnátát határouk meg a régek smeretében. Ilenkor a tárgat váltoatlannak tekntük, csak a né pont váltok. ont-transformácóról akkor besélünk, ha a koordnáta-rendsert nem váltotatuk, de a obektum pontaho ú koordnátákat rendelünk. Ilenkor a tárg váltok, a né pont váltoatlan. Matematkalag a kétféle transformácó aonos formában írható le. A koordnáta-rendsereket deréksög, obbsodrású, Descartes-féle koordnáta-rendsereknek tekntük. A transformácók egséges keelése érdekében a ún. homogén koordnátákat s beveetük. Eg -dmenós térbel pont (,, ) Descartes-koordnátát (nhomogén koordnáták) kegésítük eg negedk koordnátával, a -gel. Íg a pont homogén koordnátá (,,, ). Általában a (,,, 4 )-et s a homogén koordnátáának tekntük, ha 4 0, valamnt = 4, = 4 és = 4. éldául a (,, ) nhomogén koordnátákkal adott pont homogén koordnátá a (,,, ) és a (6,, 4, ) s. Eg (,,, 0) koordnátáú pontot végtelen távol (deáls) pontnak neveük. A transformácók során a pont (,, ), lletve a (,,, ) koordnátának smeretében a ú (,, ), lletve a (,,, ) koordnátákat keressük... Síkbel (D) transformácók... Egbevágóság transformácók Eltolás. (ont-transformácó.) Legen a eltolás vektora d = (d, d ) (. ábra). Ekkor a (, ) koordnátáú pont ú (, ) koordnátát a követke képpen határohatuk meg: = + d = + d. Mátros formában nhomogén alakban: ( ) ( ) ( 0 = 0 ) + ( d d ). Homogén alakban mátros formában: 0 d = 0 d 0 0

2 Sámítógép geometra Rövden ahol M = 0 d 0 d 0 0, = = M, és = d. ábra. Eltolás (Koordnáta-rendser transformácó.) Ha a eredet és vektorokkal megadott koordnáta rendsert eltoluk d vektorral, a pontot nem váltotatuk, akkor a ú koordnáta rendserben a koordnátá megegenek a el ekkel (. ábra). Láthatuk, hog a két eset hasonlóan írható le. Kés bb s csak a pont-transformácókat tárgaluk. d. ábra. Eltolás Forgatás. A orgó körül α söggel való potív elforgatás a követke képpen adható meg (. ábra): = cos α sn α = sn α + cos α. Homogén alakban mátros formában: cos α sn α 0 = sn α cos α Homogén alakban, mátrokkal felírva: = M,

3 Koordnáta-transformácók ahol M = cos α sn α 0 sn α cos α ábra. Orgó körül forgatás, = és = A síkbel transformácó általános homogén alakának mátros formáa a követke : ahol M = m m d m m d 0 0, = = M, () és = Tükröés. A továbbakban csak a transformácó M mátrát íruk fel. 0 0 A tengelre vonatkoó tükröés mátra: M = A tengelre vonatkoó tükröés mátra: M = A orgóra vonatkoó tükröés mátra: M = A = egenesre vonatkoó tükröés mátra: M = ábra. Tengelekre vonatkoó tükröés

4 4 Sámítógép geometra... An transformácók Skáláás vag nútás. Orgóból történ tengelek ment nútás. A s > 0 a tengel ránú nútás aránsáma, a s > 0 a tengel ránúé (5. ábra). Ha mndkét tengel ránában megegek a nútás mértéke, aa 0 < s = s = s, akkor a transformácót orgó köéppontú nagításnak ( < s), vag kcsnítésnek (0 < s < ) neveük, amel s 0 0 már hasonlóság transformácó. M = 0 s s s 5. ábra. Nútás, skáláás Nírás. Ha a sík pontat eg egenessel párhuamosan elcsústatuk úg, hog a csústatás mértéke egenesen arános a egenest l való el eles távolsággal, akkor a íg kapott transformácót neveük nírásnak. (Eg specáls tengeles antás, ún. elácó.) Ha a egenes a tengel és a nírás mértéke λ (6. ábra), akkor a transformácó λ 0 mátra: M = ábra. Nírás tengellel párhuamosan A tengellel párhuamos µ mérték nírás mátra: M = 0 0 µ A fent elem transformácók egmás után végrehatásával össetett transformácókat állíthatunk el. Eg tets leges mogás eltolásból és forgatásból; egbevágóság transformácó eltolásból, forgatásból és tükröésb l; eg általános hasonlóság transformácó eg egbevágóság transformácóból és eg orgó körül nagításból (kcsnítésb l); eg általános an transformácó pedg eg egbevágóság transformácóból és skáláásból,

5 Koordnáta-transformácók 5 lletve nírásból állítható el. A fent transformácókho tartoó mátr determnánsa nem nulla, egbevágóság esetén ± mogás esetén pedg +... élda. A elem transformácók egmás után alkalmaásával állítsunk el eg össetett transformácót. El sör alkalmaunk -tengellel párhuamos, λ = mérték nírást, mad a orgó körül, α = 0 -os söggel való potív elforgatást és végül eg d(, ) 0 vektorral való eltolást. Ekkor a eges transformácók mátra M = 0 0, 0 0 M = Íg adódk, hog és M = = M(M(M)) = (MMM) = M, ahol a össetett transformácó M mátrát a három transformácó mátrának a (fordított sorrendbel) sorata, a MMM ada. Aa M = MMM = Határouk meg a (, ) pont össetett transformácó után koordnátáát. A pont homogén koordnátáa (,, ), tehát = Tehát a pont ú nhomogén koordnátáa (, ).... d 7. ábra. Össetett transformácó.. Feladat.... Íra fel a C(, ) pont körül 45 -os forgatás mátrát! (A C pont orgóba való eltolása, orgó körül forgatás, C vssatolása.)

6 6 Sámítógép geometra... Bontsa fel a = egenesre vonatkoó tükröést orgó körül forgatások és - tengelre való tükröés soratára!... Bontsa fel a orgóra való tükröést tengeles tükröések soratára!.. Térbel (D) transformácók A -dmenós térben eg általános an transformácó homogén alakának mátros formáa a követke : Rövden ahol M = = m m m m 4 m m m m 4 m m m m m m m m 4 m m m m 4 m m m m = M, (), = és = A továbbakban a elem transformácók M mátrat aduk meg.... Egbevágóság transformácók Eltolás. A d = (d, d, d ) vektorral való eltolás. M = Forgatás. A koordnáta-tengelek körül. A tengel körül α söggel való potív elforgatás. M = A tengel körül α söggel való potív elforgatás. M = A tengel körül α söggel való potív elforgatás. M = 0 0 d 0 0 d 0 0 d cos α sn α 0 0 sn α cos α cos α 0 sn α sn α 0 cos α cos α sn α 0 0 sn α cos α

7 Koordnáta-transformácók 7 Tükröés. A koordnáta síkokra. A koordnátasíkra való tükröés. M = A koordnátasíkra való tükröés. M = A koordnátasíkra való tükröés. M = An transformácók Skáláás. Orgóból történ tengelek ment nútás. A eges tengelek ment nútás potív aránsáma s, s, lletve s. Ha 0 < s = s = s, akkor a transformácó orgó s köéppontú hasonlóság, amel hasonlóság transformácó. M = 0 s s Nírás. A síkkal párhuamos λ mérték tengel ránú és µ mérték tengel ránú 0 λ 0 nírás. M = 0 µ A több koordnátasíkkal párhuamos nírás mátra hasonlóan megadható.. Vetítések A -dmenós tér alakatat általában csak síkban tuduk megeleníten. Lehet e a sík a nomtató, plotter ralapa, vag akár a képern. Ehhe sükség van a tér pontanak eg képsíkra való egértelm vetítésére. A len vetítések dmenó vest, nem kölcsönösen egértelm, elfauló leképeések. A vetítésekhe tartoó () transformácó mátrának determnánsa nulla. Ilen leképeések a mer leges vetítés, párhuamos vetítés, a centráls vetítés. A egser ség matt a képsíknak a koordnáta síkot tekntük. A el ekhe hasonlóan a vetítéseket s a +() homogén alakban íruk le.

8 8 Sámítógép geometra.. Mer leges vetítés A síkra való mer leges vetítés esetén a alakatnak csak a koordnátá lesnek 0-k (8. ábra). Tehát a (,,, ) pont vetülete a (,, 0, ) pont les, a mer leges vetítés mátra pedg M = O (,, ) K (,,0) 8. ábra. Mer leges vetítés.. Centráls vetítés Legen a centráls képsík a koordnátasík és a vetítés centruma a tengel C(0, 0, s) ponta, ahol 0 < s. Továbbá legen a (,, ) pont ( s) centráls vetülete a c ( c, c, 0) pont. Ha a, és c pontokat vetítük a síkra, akkor a 9. ábra alapán a kapott hasonló háromsögekb l felírhatuk a c = s s aránt. Ebb l c -t kfeeve kapuk, hog a c másodk koordnátáa c = s. Hasonlóan megkaphatuk a s centráls vetület els koordnátáát. Tehát ( c s koordnátá, s, 0), ahol s. s s Ha gelembe vessük, hog s = s, 0, ). Tehát a cent- c homogén koordnátát kaptuk. Aa (,, 0, ) = ( s s ráls vetítés mátra M = s s, s 0 s, láthatuk, hog

9 } } Koordnáta-transformácók 9 O C(0,0, s) s } s- C K c O } c.. árhuamos vetítés 9. ábra. Centráls vetítés A koordnátasíkra történ v(v, v, v ) (v 0) vektorral párhuamos vetítés mátra a el ekhe hasonlóan meghatároható (0. ábra) M = 0 v v 0 v v O v K O v - v 0. ábra. árhuamos vetítés Ha a párhuamos vetületre alkalmaunk eg síkbel hasonlóság transformácót, akkor a íg kapott kép eg aonometrkus vetület les. A CAD alkalmaások általában a párhuamos vetítést nem alkalmaák. A térbel pont-transformácókkal vag koordnáta-rendser transformácókkal a vetítend alakatot olan heletbe hoák, ahonnét a mer leges vetítés megfelel vetületet eredméne. E lehet akár felülnéet vag eg ortogonáls aonometrkus kép. Sok softver a centráls vetítést eg térbel (proektív) transformácóval és eg mer leges vetítéssel helettesít. El sör olan alakká transformála a obektumot, hog annak a mer leges vetülete eg centráls képet adon... Feladat.... Íra fel a orgóra való tükröést mátrát!

10 0 Sámítógép geometra... Ada meg a (,, ) térbel pont képének koordnátát eg tengel ment 5 egséggel való eltolás, eg orgóból való -seresére nagítás, -tengel körül 60 - os forgatás és eg síkra való tükröés után! (A megoldás menetét, alapmátrokat s kööle.) Eg tets leges alakattal végee el uganet ACAD-dal s! Ábráola a eredet és a tovább transformált alakatokat s! Mndegket elöle más sínnel!.4. CAD rendserek koordnáta-rendsere A CAD rendserek több koordnáta-rendsert hasnálnak egserre. A modelltérben van eg általános un. vlág koordnáta-rendser. A modelltérben mnden létrehoott obektumnak van eg lokáls koordnáta-rendsere. A eges obektumok adata a lokáls koordnáta rendserében vannak tárolva. A modelltérre, vag annak eg résletére ha ránéünk eg síkbel (mer leges vag perspektív) vetületet látunk. E a síkbel vetület eg un. ablakban van, amel a vetítéshe tartoó koordnáta rendser eg síka (a. ábra). Több vetületet, elrendeést s megeleníthetünk a montoron, a ralapon, akkor eeket a rendser a megelenít eskö eg úabb már síkbel koordnáta-rendserébe hele el. A CAD rendserek képesek a úabb koordnáta-rendsereket dnamkusan llesten a eges obektumok lapaho s, a aktuáls feladatoknak megfelel en. A modelle, felhasnálónak termésetesen lehet sége van a sámára megfelel úabb koordnáta-rendsereket denálására s. (Eg obektum esetén megegehet a vlág, a lokáls és vetítés koordnáta rendser s.) Láthatuk, hog a fent koordnáta-transformácóknak mlen nag serepe van a sámítógépes ábráolásban. Fontos, hog a rendser egser en, gorsan ksámola a alakatok megfelel koordnátát. A transformácók mátros megadása erre tökéletesen megfelel.. ábra. CAD rendserek koordnáta rendsere A alakatok m sak ábráolásakor általában több vetületet, néetet s késítünk. A európa vetítés rendser esetén a alakat köré eg kockát képelünk és erre a kockára

11 Koordnáta-transformácók vetítük mer legesen a alakatot. A. ábrának mndg a f vetületnek a elölnéetet tekntük, mad a felülnéetet és oldalnéeteket. A kapott vetületeket eg síkba forgatva ábráoluk (. ábra). Köépen a elölnéetet, alatta a balnéetet, obbra a balnéetet és balra a obbnéetet. A f néetek köül néhánat elhaghatunk (kvéve a elölnéet), vag úakkal kegésíthetük, mnt például a hátulnéet, a alulnéet, vag valamel ferde néet.. ábra. Europa vetítés rendser (térbel). ábra. Europa vetítés rendser.5. Láthatóság algortmusok???