A FÖLD NUTÁCIÓS MOZGÁSA

Átírás

1 FÖLD UTÁCIÓS MOZGÁS Völgesi Lajos BME Általános- és Felsőgeodéia Tansék Földünk tengel körüli forgása neheen átlátható, meglehetősen bonolult folamat. előő [1] cikkben áttekintettük a legfontosabb fiikai alapfogalmakat, a súlos és a erőmentes pörgettű precessiós és nutációs mogását és résletesen foglalkotunk a Föld precessiós mogásával. Ebben a cikkben a Föld nutációs mogásával (pólusmogás, pólusingadoás, pólusvándorlás, sabadnutáció, kénsernutáció jelenségeivel) foglalkounk. Euler-egenletek Ha forgó merev testre külső erők hatnak, akkor a impulusnomaték megváltoása a külső erők M forgatónomatékával egenlő, íg a sögsebességgel forgó merev test kinetikai egensúlának feltétele külső (a testtel nem egüttforgó) K '( ', ', ' ) inercia-rendserből semlélve: d' = M. (1) Térjünk át a 1. ábrán látható K (,, ) inercia-rendserről a merev testtel egütt forgó K(,, ) koordinátarendserre. Ha a forgó K koordináta-rendseren belül a vektor nem váltona, akkor a K inercia-rendserből semlélve a vektor váltoása csak a forgásból állna: d' =. () Ha a K rendserből semlélve is váltoik, akkor: d' d = +. (3) (3) vektor-transformációból a (1) felhasnálásával: d + = M, (4) ami a merev testtel egütt forgó megfigelő sámára a forgási egensúl feltétele (a Euler-féle egenlet vektoralakban). 3. ábra. Koordináták merev testek forgásának leírásáho. Kifejtve a (4) össefüggésben sereplő vektoriális soratot a,, koordináta iránokban a alábbi skalár-egenletekre jutunk: d + = M d + = M. (5) d + = M Ha a K koordináta-rendsert a test tömegköéppontjában úg vessük fel, hog a,, tengele egbeessen a test tehetetlenségi főiránaival, akkor a főátlón kívüli centrifugális nomatékok érusok, és a tehetetlenségi nomaték tenor a: I = B (6) C formában írható. Ekkor: = = B. (7) = C Behelettesítve a impulusnomaték (7) serinti össetevőit a (5) egenletekbe, a merev testek forgását leíró Euler-féle mogásegenleteket (a ún. pörgettűegenleteket) kapjuk, a merev testtel egütt forgó K koordináta-rendserben: d d B d C + ( C B) = M + ( C) = M + ( B ) = M. (8) (8) Euler-féle pörgettű egenletek integrálásával meghatároható a forgó testek mogása, vagis a forgási sögsebesség-vektor össetevőinek (t), (t), (t) időbeli váltoása a testtel egütt forgó koordinátarendserben. További feladat külső semlélő sámára a visgált forgó test térbeli heletének meghatároása a idő függvénében. a, meg kell adni a merev testtel egütt forgó K(,, ) koordináta-rendser heletét a térben rögített K (,, ) inercia-rendserhe visonítva. K rendser K -hö visonított helete legegserűbben a 1. ábrán semléltetett ϑ, ψ, ϕ Euler-féle sögekkel adható meg [, 3]. testtel egütt forgó K koordináta-rendserben a sögsebesség-vektor össetevői a Euler-féle sögekkel a VÖLGYESI LJOS: FÖLD PRECESSZIÓS ÉS UTÁCIÓS MOZGÁS 187

2 dϑ = sinϑ sinϕ + cosϕ dϑ = sinϑ cosϕ sinϕ (9) dϕ = + cosϑ össefüggéssekkel fejehetők ki [4]. menniben a (8) Euler-féle egenletekből ismertek a (t), (t), (t) megoldások, akkor a (9) elsőrendű differenciálegenletekből meghatárohatók a ϑ (t), ψ (t), ϕ (t) Euler-féle sögek időbeli váltoásai. ϑ, ψ, ϕ sögekre követlenül is nerhető megoldás ha a (9) össefüggéseket a (8) Eulerféle egenletekbe írjuk. Ekkor három másodrendű differenciálegenlet adódik, amiből a ϑ, ψ, ϕ sögek követlenül meghatárohatók. Föld, mint erőmentes simmetrikus pörgettű menniben a (8) Euler-féle egenleteket erőmentes simmetrikus pörgettűnek feltételeett merev Földre alkalmauk, a alábbi egserűsítő feltevéseket tehetjük: 1. a Föld alakváltoásra képtelen merev test, aa eltekintünk a rugalmasságától,. M = M = M =, aa a Földre semmiféle külső forgatónomaték nem hat (erőmentes pörgettű esete), 3. = B, vagis a egenlítő síkjába eső tehetetlenségi nomatékok megegenek (simmetrikus pörgettű esete), 4. a Földhö rögített és vele egütt forgó K koordináta-rendser kedőpontja a Föld tömegköéppontjában van ( tkp.), 5. a forgástengel átmeg a tömegköépponton, 6. a Földhö rögített koordináta-rendser tengelének irána egbeesik a C legnagobb tehetetlenségi nomaték iránával (C >). Eekkel a feltevésekkel a (8) Euler-féle mogásegenletek a d + ( C ) = d ( C ) = (1) d C = alakra egserűsödnek. Mivel C, a harmadik egenlet megoldása: = = áll., (11) tehát a tengel körüli forgás sögsebessége állandó, vagis a sögsebesség-vektornak a simmetriatengelre eső vetülete nem váltoik. további megoldásáho ossuk el a (1) első két egenletét -val, írjuk be eekbe a (11) megoldást, és veessük be a C k = (1) jelöléssel a dinamikai lapultság fogalmát. Ekkor a (1) első két egenlete: d + k =. (13) d k = Differenciáljuk a (13) első egenletét t serint és helettesítsük be a íg keletkeő d / differenciálhánados kifejeését a (13) második egenletébe. rendeés után: d + ( k ) = (14) amel másodrendű differenciálegenletnek a = triviális megoldása mellett a = m cos [( k ) t + τ ] (15) is megoldása; melben m és τ integrálási állandók (a harmonikus regőmogás differenciálegenletének megoldásáho hasonlóan m a legnagobb kitérést, τ pedig a kedőfáist jelöli). Hasonlóképpen kapjuk meg a értékét: [( k ) τ ] = m sin t +. (16) Legenek a t = időpontban = m és = kedeti feltételek (vagis a kedő időpontnak at válastjuk, amikor a vektor éppen a síkban feksik). Ekkor a (15) és a (16) serint τ =. Beveetve a α = ( k )t (17) jelölést, a (11), (15) és a (16) alapján a forgási sögsebesség-vektor össetevői: m cosα = = msinα. (18) kapott eredméneket a. ábrán semléltetjük. Eserint a vektor össetevőiben sereplő α nem más, mint a koordinátatengel és a vektor által meghatároott síknak a síkkal beárt söge. Mivel a α a (17) serint a t időnek lineáris függvéne, eért dα C = k = = áll., (19) tehát a vektor állandó sögsebességgel járja körül a test tömegéhe rögített koordináta-rendser tengelét. (18) össetevőit megvisgálva látható, hog a vektor végpontja a tengel körül a (19) serint állandó sögsebességgel m = + () sugarú kört ír le, íg maga a forgási sögsebesség-vektor, vagis a Föld forgástengele m β = arctg. (1) nílássögű körkúp palástja mentén moog a tehetetlenségi főtengellel aonos koordinátatengel körül. 188 FIZIKI SZEMLE 13/6

3 . ábra. utációs mogás a Földdel egütt forgó koordinátarendserből semlélve. Föld forgása tehát nem a C simmetriatengel körül (aa nem a Föld tömegéhe kötött állandó heletű tengel-) hanem mindig a pillanatni forgástengel körül történik. Föld felsínén a vektor végpontja által leírt kör (a pillanatni forgástengelnek a földfelsíni nomvonala) a merev Föld póluspálája, vag pollódiuma. Határouk meg eek után a pillanatni forgástengel eg teljes körülvándorlásának idejét. Jelölje T E at a időt, amel alatt a forgástengel egser körüljárja a tengelt. Ekkor a (17) alapján: k T E = π () amiből: π TE = (3) C Mivel a forgás jó köelítéssel a tengel körül történik, eért aa π π = 1csillagnap =.9973 soláris nap, (4) tehát: T E. (5) C Csillagásati megfigelések serint: =.395, (6) C íg tehát T E 33 nap. (7) Mivel a mogásegenletek fenti leveetése Eulertől sármaik, a forgástengel állandó sögsebességű körbevándorlásának 33 napos periódusát Euler-féle periódusnak (gakran Euler-féle sabadnutációs periódusnak) neveük. elneveésben a sabad jelő arra utal, hog a jelenség külső erőhatásoktól teljesen független és a kialakult mogás periódusidejét kiárólag a merev test (esetünkben a Föld) tömegeloslása (lapultsága) határoa meg. Mindeekből a követkeik, hog ha valamel merev test tengelkörüli forgása nem a C főtehetetlenségi nomaték tengele körül indult meg, akkor e a mogási állapot megmarad, tehát a forgástengel nem billen vissa olan állapotba, hog a főtehetetlenségi tengellel egbeessék. Íg a pillanatni forgástengel állandó sögtávolságra, egenletes sebességgel járja körül a főtehetetlenségi tengelt. mikor a forgástengel pontosan egbeesik a simmetriatengellel (β = ), vag a = B = C esetén a mogás uganolan mint eg rögített tengel körüli állandó sögsebességű forgás, aa nutáció nem lép fel. Minde, amit eddig tárgaltunk, a Földdel egütt forgó K koordináta-rendserből semlélve látható. követkeő feladat a Euler-sögek meghatároása, ami lehetővé tesi a erőmentes simmetrikus pörgettű nutációs mogásának leírását külső inercia-rendserből semlélve. Induljunk ki a (9) differenciálegenletekből! Eeknek elegendő eg partikuláris megoldása, mivel a általános megoldásban sereplő három integrációs állandót a K koordináta-rendser sabad válastásával automatikusan megadjuk []. Vegük fel a térhe rögített K koordináta-rendserünk tengelét a 1. ábrán semléltetett módon úg, hog irána megegeen a (1) miatt a térben állandó heletű impulusnomaték vektor iránával, továbbá tételeük fel, hog a és a iránok köötti ϑ sög a időben nem váltoik, tehát: ϑ = ϑ = áll. (8) Ekkor behelettesítve a (9) differenciálegenletekbe a (11), (15) és a (16) megoldásokat: sinϑ sinϕ = m cos[ ( k ) t + τ ] sinϑ cosϕ = m sin[ ( k ) t + τ ]. (9) dϕ cosϑ + = első két egenletből a koordináták 1. ábrán látható értelmeése mellett a alábbi két össefüggés adódik: sinϑ = m (3) és π ϕ = ( k t + τ ). (31) Beírva eeket a (9) harmadik egenletébe, kisámítható a ϑ értéke: m ϑ = arctan. (3) C Össefoglalva végül a Euler-sögekre kapott megoldás: m ϑ = ϑ = arctan C m ψ = ψ + t sinϑ C ϕ = ϕ t. (33) VÖLGYESI LJOS: FÖLD PRECESSZIÓS ÉS UTÁCIÓS MOZGÁS 189

4 (33) első két össefüggése at mutatja, hog külső inercia-rendserből semlélve a erőmentes pörgettű C simmetriatengele a térben állandó heletű impulusnomaték vektor körül ϑ nílássögű ún. nutációs kúp palástja mentén állandó m/sinϑ sögsebességgel moog körbe, miköben a harmadik egenlet serint ehhe még hoájön eg további forgás a C simmetriatengel körül. vektornak a C simmetriatengellel beárt ϑ sögét a (33) első össefüggése, míg a C simmetriatengelnek a pillanatni forgástengellel beárt β sögét pedig a (1) össefüggés adja. Ebből visont a pillanatni forgástengelnek a vektorral beárt γ söge is meghatároható. Két alapeset lehetséges: a C > esetben γ = β ϑ, míg a C < esetben γ = ϑ β. Össefoglalva a fentieket: a sabadnutáció esetén a külső térben rögített K inercia-rendserben mind a Föld forgástengelének, mind a Föld C simmetriatengelének a irána folamatosan váltoik, csupán a impulusnomaték tengel irána váltoatlan, a impulusnomaték megmaradási törvéne értelmében. mogást legegserűbben a 3. ábra alapján érthetjük meg ami egébként a erőmentes pörgettű sabadnutációs mogását mutatja a külső térben rögített inercia-rendserből semlélve. Föld pillanatni forgástengele (a C > esetén) a kisebb nílássögű ún. herpolhoida kúp palástja mentén, a C simmetriatengel (a Föld tehetetlenségi főirána) pedig a nagobb nílássögű ún. nutációs kúp palástja mentén kerüli meg a impulusnomaték vektort. Eköben a vektor a ún. polhodia kúp palástja mentén a C tengel körül is vándorol. mogás során a, a és a C mindig eg síkban van, miköben a Föld tömegéhe rögített heletű polhodia kúp és a inerciarendserben rögített heletű herpolhodia kúp palástja állandóan a vektor irána mentén érintkeve csúsásmentesen gördül egmáson. pólusingadoás valódi periódusa valódi Föld pillanatni forgástengelének a főtehetetlenségi iránát jól köelítő (megállapodással definiált) tengeléhe visonított (mérésekkel meghatároható) mogását pólusingadoásnak neveük. eddigi feltevések (pl. merev és forgássimmetrikus Föld esete) a valóságban nem érvénesek, eért a megfigelt pólusingadoás jelentősen eltér a eddigi megfontolások eredméneitől. Ha mérésekkel meghatárouk a valódi póluspálát (a forgástengel mogásának földfelsíni nomvonalát) a pollodiumot, akkor folamatosan a 4. ábra felső résén látható görbékhe hasonló képet kapunk. 4. ábrán a 1967 és 1979 köötti póluspála látható olan koordinátarendserben, amelnek + tengele a greenwichi kedőmeridián iránába-, + tengele pedig erre merőlegesen, nugat felé mutat; a kedőpontja pedig a 19 és 195 köötti időtartamra meghatároott köepes pólushel: a CIO (Conventional International Origin). Látható, hog a pólus valóban periodikus mogást vége, a pólus elmodulása kb..5" 1m sugarú körön belül marad, de a amplitúdó nem állandó és a periódus sem egenlő a Euler-féle 33 napos periódussal, hanem ennél lénegesen hossabb: 45 és 457 nap köött ingadoik átlagosan minteg 435 nap. 4. ábra. póluspála köött. 3. ábra. Föld Euler-féle sabadnutációs mogása külső inercia-rendserből semlélve. pólusmogás felfedeése utáni években Chandler amerikai csillagás kimutatta, hog a pólusingadoás két domináns periódusból, eg 1 és eg 14 hónapos periódusból tevődik össe. utóbbit tisteletére Chandlerperiódusnak neveték el. éhán hónappal Chandler felfedeése után ewcomb már elméleti magaráattal is solgált: a 14 hónapos össetevő a Föld sabadnutációja, 19 FIZIKI SZEMLE 13/6

5 míg a 1 hónapos össetevő a ún. kénsernutáció, mel a aonos periódusú globális meteorológiai jelenségek (tömegátrendeődések, pl. légtömegmogások, hó- és jégtömegek olvadása és újraképődése stb.) követkeméne. 4. ábrán látható, hog a pólus a óramutató járásával ellentétes iránban többé-kevésbé sabálos spirális pálán moog. Eek a spirális pálák kb. hat évenként hasonló jellegűek, a két frekvencia össeadódásából kialakuló lebegés követketében. Jól látható e a lebegés a 4. ábra alsó résén, a pólusingadoás 1967 és 1979 köötti idősakra vonatkoó háromdimeniós képén. Ugancsak et semlélteti a 5. és a 6. ábra is, ahol a felső görbe a pólusmogás illetve iránú össetevője, alatta pedig a sétválastott 14 hónapos, 1 hónapos és a maradék össetevők láthatók. Megállapítható, hog a sabadnutáció és a kénsernutáció külön-külön is meglehetősen bonolult folamat. Chandler-össetevőn pl. felismerhető eg fél évsáad körüli periódus, amel több más földfiikai folamatban is jelentkeik, pontos okát aonban egelőre nem ismerjük. foladékserűen viselkedne, akkor a tehetetlenségi főtengele teljes mértékben követné a forgástengel elmodulását tehát a periódus végtelen nag lenne, és íg pólusingadoásról nem is lehetne besélni.) Ennek megfelelően a T E Euler-féle, és a T C Chandlerperiódus hánadosa kapcsolatba hoható a Föld rugalmasságát jellemő Love-féle k sámmal: TE ε = 1 k (34) T f ε C ahol f a Föld geometriai lapultsága, ε pedig a centrifugális és a nehéségi gorsulás egenlítői értékének hánadosa [5]. 1. tábláatban a (34) össefüggés alapján kisámított, néhán sóba jöhető k értékhe tartoó Chandler-periódus hossát tüntettük fel. tábláatból látható, hog a sabadnutáció Chandler-periódusa annál hossabb, minél kevésbé merev a Föld. árapál jelenségek megfigeléséből sármaó.9 és.31 köötti k értéknek 44 és 454 nap köötti periódus felel meg, visont a pólusmogás megfigeléséből a nap köötti Chandler-periódus tűnik a legvalósínűbbnek, amihe a tábláat adatai serint k =.7-.9 érték tartoik. 1 tábláat. Föld rugalmassága és a Chandler-periódus hossa köötti össefüggés. k T C [nap] pólusvándorlás 5. ábra. pólusmogás össetevője 189- köött. Ha meghatárouk eg-eg teljes periódusho a 4. ábrán látható póluspálák köepes pólusheleteit, akkor at tapastaljuk, hog eek a köepes pólushelek a idő függvénében folamatosan eltolódnak. jelenséget sekuláris pólusmogásnak, vag pólusvándorlásnak neveük. 7. ábrán látható, hog pl. a 189 és köötti póluspála már teljes egésében a 19 és 195 köött meghatároott CIO köéppóluson kívül halad. ábrán látható, hog a köepes pólus 11 év alatt több mint 1 m távolsággal vándorolt el Kanada iránában. 6. ábra. pólusmogás össetevője 189- köött. átlagosan 47 napos Chandler-periódus és a 33 napos Euler-periódus köötti különbség oka a Föld rugalmas viselkedése. Ha uganis a Föld nem merev mint ahogan a Euler-féle pörgettűegenletek megoldásakor feltételetük akkor a forgástengel elmodulásának megfelelően a megváltoó centrifugális erő hatására úg deformálódik a tömege, hog a tehetetlenségi főtengele köeledik a forgástengelhe. (Sélső esetben, ha a Föld 7. ábra. pólus vándorlása 189 és köött. VÖLGYESI LJOS: FÖLD PRECESSZIÓS ÉS UTÁCIÓS MOZGÁS 191

6 megfigelések serint a pólusvándorlás mértéke visonlag csekél, évente legfeljebb néhán dm (néhán ered sögmásodperc) nagságrendű a fölörténeti időskálán aonban e a elmodulás jelentős (több 1 o ) mértékű is lehet. Eért a pólusvándorlás problémája a geológia és a geofiika sokat tárgalt kérdése; különösen a paleoklimatológiai és újabban néhán globális tektonikai kérdés megválasolása sempontjából igen fontos. pólusmogás geodéiai és csillagásati hatása Kiárólag a pólusmogás hatását figelembe véve a forgási sögsebesség-vektornak a állócsillagokho visonított heletét gakorlatilag állandónak tekinthetjük. Ekkor visont állandó a égi egenlítő síkjának helete is, tehát a csillagok saját mogásától eltekintve, eek égi egenlítői (ekvatoriális) koordinátái a időben váltoatlanok. Uganakkor a Föld felsínén fekvő valamenni pont helete (pl. a pontok sintfelületi földraji koordinátái) a forgástengelhe rögített geodéiai koordinátarendserekben a Föld tömegének a forgástengelhe visonított elmodulása miatt folamatosan váltoik. pólusmogás oka pörgettűmogás elmélete serint a sabad tengel körül forgó merev testek helete akkor stabil, ha a forgás megindulásakor a test forgástengele megegeik a tehetetlenségi főtengelével. Ellenkeő esetben, vagis ha a forgás nem a tehetetlenségi főtengel körül indul meg, akkor a forgó test helete erőmentes térben is állandóan váltoik, aa a test sabadnutációs mogást vége. Íg ha valamel merev bolgó esetében valamikor kialakult a sabadnutációs mogás, akkor ennek fenntartásáho semmiféle mechanimusra nincs sükség. Mivel a Föld nem merev test, rá e a megállapítás nem érvénes. Föld esetében a minimális mogási energiájú állapot a tehetetlenségi főtengel körüli forgás. Ettől eltérő heletű forgástengel esetén olan belső tömegátrendeődések lépnek fel, amelek a két tengel köeledését illetve egbeesését igekenek előidéni. Chandlerössetevő visgálata alapján a a csillapítási idő, amel alatt a mogás amplitúdója e-ed résére csökken kb. 1-3 év köötti értékre becsülhető []. ennél jóval hossabb idejű megfigelések at bionítják, hog létenie kell valamilen gerjestő folamatnak, amel a pólusmogás ismeretlen módon elnelődő energiáját valamilen formában pótolja. lehetséges dissipációs és gerjestési folamatok napjainkban még nagrést tistáatlanok, mivel a eddig felmerült lehetőségek általában más módon neheen ellenőrihetők és a sámítások igen bonolultak. fentiek serint nilvánvaló, hog a Föld nutációs mogásának oka a Föld bonolult belső tömegeloslása és a tömegek állandó mogása, átheleődése. Földön kívüli tömegek eloslásának, a különböő égitesteknek a pólusmogásra semmilen hatása nincs. Irodalom 1. Völgesi L.: Föld precessiós mogása Fiikai semle 63 (13) 15.. Völgesi L.: pólusmogás fiikai alapjai. Geomatikai Kölemének V. Sopron, () Völgesi L.: Föld precessiós mogásának fiikai alapjai. Geomatikai Kölemének V. Sopron, () Landau L.D., Lifsic E.M.: Elméleti Fiika I. Tankönvkiadó, Budapest, (1974). 5. Völgesi L.: Geofiika. Műegetemi Kiadó, Budapest, (). 19 FIZIKI SZEMLE 13/6