σ = = (y', z' ) = EI (z') y'
|
|
- Szebasztián Papp
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Váltoó kerestmetsetű rudak tsta hajlítása Enhén váltoó kerestmetsetű, tsta hajlításra génbevett rúdnál a eges pontok fesültség állapota - a váltoó kerestmetsetű rudak tsta nomásáho vag húásáho hasonlóan - nem lneárs, hanem térbel les. A gakorlat sámításokho aonban általában elegendő a ránho tartoó normálfesültséget fgelembe venn, s a több fesültségkomponenst pedg uganúg sámítjuk, mnt a prmatkus rúd hajlításánál: M ' = = (', ' ) = EI (') ' '' 5.65 '' csupán arra kell ügelnünk, hog a kerestmetset váltoása matt a hajlítás tengelére vonatkoó másodrendű nomaték a kerestmetset helének függvéne. A normálfesültség tehát nemcsak '-nek, hanem '-nek s függvéne. Uganeen ok matt a semleges tengel görbület sugara sem állandó: 1 () = M ' ρ EI () '', 5.66 a rúd alakja nem körív, hanem bonolultabb görbe les. A semleges tengel alakjának meghatároásával később foglalkounk. A enhén váltoó kerestmetsetű rúdban felhalmoott rugalmas energát (5.63) ntegrálásával nerjük, most aonban a kerestmetset másodrendű nomatékát nem emelhetjük k a ntegráljel elé, hsen a a koordnáta függvéne. Erősen és hrtelen váltoó kerestmetsetű rudak hajlításánál (5.45. ábra) éppúg fesültségcsúcsok lépnek fel, mnt húó- vag nomógénbevételnél. E fesültségcsúcsokat, lletve a hosstengelre merőleges ránú normálfesültségeket és a esetleg fellépő nírófesültségeket megnt alakténeők felhasnálásával sámíthatjuk, meleket műsak tábláatokból határohatunk meg Egenletes slárdságú hajlított rudak A génbevételek köt smert kapcsolat, a dm() = T() 5.67 d ábra össefüggés révén können beláthatjuk, hog tsta
2 179 hajlításkor a hajlítónomaték nagsága a rúd hossa mentén nem váltohat. Váltoó nomatéknál ugans nírógénbevételnek s ébredne kellene, lenkor aonban már össetett (hajlítás és nírás) a kerestmetset génbevétele. Most mégs feltessük, hog a hajlítónomaték a rúd hossa mentén váltok, de a nírógénbevétel hatását elhanagoljuk. A hajlításból sármaó normálfesültséget és annak mamumát a tsta hajlításnál leveetett össefüggések analógájára sámíthatjuk: = M () ', = M () ' ' '' ''ma 5.68/a/b I ' K ' ' Prmatkus rúdnál a kerestmetset alakja és jellemő állandók, íg a váltoó nagságú hajlítónomaték hatására a normálfesültség eloslására jellemő ferde egenes meredeksége, s eel egütt aok sélső értéke s a kerestmetset helének függvéne. A egenletes slárdságú húott és nomott rúd fogalmáho hasonlóan a hajlított rudaknál s meghatárohatunk eg, a hajlítónomaték váltoásáho gaodó kerestmetsetet, amel mellett a normálfesültségek sélső értéke mnden kerestmetsetben uganakkora. A len hajlított rudat egenletes slárdságúnak neveük, jóllehet csak a sélső sálak fesültsége egenek meg, míg a sélső sálaknál ksebb távolságra lévő kerestmetset pontokban a sélső értékeknél alacsonabb fesültségsntet kapunk (een kívül a húott és nomott öv sélső fesültségenek sem kell absolút értékre megegenük). Anagfelhasnálás sempontjából a leggadaságosabb rúdalakot mégs a een a módon defnált egenletes slárdságú tartóval nerjük. A egenletes slárdságú tartó alakját a hajlítónomaték függvén mellett a kerestmetset alakja befolásolja döntően. Ha a hajlítógénbevétel függvéne lneárs (len a egk végén befogott, sabad végén a rúdtengelre merőleges hatásvonalú, koncentrál erővel terhelt tartó nomaték függvéne) és a kerestmetset alakja téglalap, kétféleképpen s elkésíthetjük a egenletes slárdságú tartóalakot. A K ' = 1 6 sv (s - a téglalap hajlítás tengelével párhuamos oldalának hossúsága, v - a erre merőleges hossúság) kfejeésnek megfelelően v állandó értéken tartásával s lneársan váltok, s állandó értéken tartása mellett pedg v-re eg másodfokú függvént kapunk. Eeket a függvéneket (5.68/b) felhasnálával können meghatárohatjuk. A leveetést a olvasóra bíuk. E helett nkább újra megvsgáljuk a terméset "mechanka tudását". Tegük fel, hog a rúd kör kerestmetsetű, s a ábrának megfelelően, alsó vége befogott, felső sabad végén M 0 koncentrált nomaték és F koncentrált erő hat. Legen 0 a a fesültség, amelet sélső sálakban megengedünk és határouk meg, hogan váltoon a oslop d() átmérője, hog a egenletes slárdság elvét kelégítsük. A hajlítónomaték függvén:
3 180 M() = M 0 + F, a kör kerestmetset hajlítás tengelére vonatkoó kerestmetset téneője: K () = d 3 () π. 3 (5.68/b) felhasnálásával: 0 0 = ma = M () M + F = 3 K () d () π 3 nnen d() = 3 3(M 0 + F) π sabad végre vonatkoó 3M 0 0 = 3 d π 0 0 vag a össefüggésből meghatároható a d 0 kedet átmérővel kfejeve: d() = d 3 0 M 0 + F M ábra A egenlő slárdságú hajlított oslop kör kerestmetsetének átmérője tehát eg harmadfokú függvén sernt váltok. Jó köelítéssel len alakot vesnek fel a sél hajlító hatásának ktett fatörsek, különösen akkor, ha a fa anagának sűrűsége vsonlag kcs s eért a normálgénbevétel hatására kalakuló eponencáls határvonal nem sembeötlő (pl. a fenőféléknél). A valóságban e a két alak ötvöődk, a fatörs alakjára jellemő merdánvonal felső résén a hajlítás követketében kalakuló harmadfokú görbe, alsó résén pedg a nomás hatására fellépő eponencáls görbe domnál Össetett kerestmetsetű rudak hajlítása Össetett kerestmetsetű rudak esetén a rétegek síkja és a hajlítónomaték vektora által beárt sög, a kerestmetset alakja sámtalan varácós lehetőséget btosít. Eek köül két, a gakorlatban fontos esetet tanulmánoák.
4 A rétegek síkja merőlegesen a hajlítónomaték vektorára Terheljük tsta egenes hajlítással a ábrán látható, téglalap kerestmetsetű, prmatkus rudat, melben a rétegek síkja párhuamos a hajlítónomaték síkjával. A rétegek magassága h, megegek a rúd magasságával, a -edk réteg vastagsága pedg v, rugalmasság modulusa E. Mvel a rétegek egmásho elmodulásmentesen vannak össeerősítve, a deformácóra jellemő görbület sugarak egenlők és meg kell egenük a homogénnak feltételeett rúd eredő görbület sugarával. (5.57) felhasnálásával: 1 M = ρ E I ' = 1 M = ρ E I, eredő eredő ábra, ahol I, - a -edk réteg másodrendű nomatéka a hajlítás tengelére, I = n I, - a teljes kerestmetset másodrendű nomatéka a hajlítás tengelére, =1 M, - a teljes M nomatéknak a -edk réteg által felvett rése. A génbevétel defnícója értelmében tetsőleges kerestmetsetben: M = M. n =1, Helettesítsük be de a előő össefüggés első egenlőségéből kfejeett M, -t, majd a görbület sugarak egenlőségét felhasnálva meghatárohatjuk a eredő rugalmasság modulust: E = 1 n E I = 1 n E v h 3 I vh 1 = 1 n eredő, E v. 3 v =1 = 1 A eges rétegekben a normálfesültség eloslására jellemő ferde heletű egenes meredeksége a réteg rugalmasság modulusával aránosan váltok: = E = E M = E = E M, ε, ρ E I E I eredő eredő =1
5 A rétegek síkja párhuamos a hajlítónomaték vektorával Váltotassuk meg a rétegődés ránát a 5.48/a. ábrának megfelelően. A eges rétegek kerestmetsetalakjára most csak ann megkötést tesünk, hog két smmetratengelük legen. A teljes kerestmetset sempontjából elég, ha a hajlítónomaték síkja smmetrasík. A rétegek génbevétele nem marad tsta hajlítás, mert a elmodulásmentes össeerősítés követketében a eges rétegekben hajlítógénbevétel mellett normálerő s fellép (a rétegek görbület sugara különböő és kompatbls alakváltoás létrejöttéhe bonos rétegeknek meg kell núlnuk, bonosaknak pedg össe kell nomódnuk). Ha smernénk a -edk rétegben keletkeő M, hajlítónomatékot és a N, normálerőt, akkor a réteg súlpont tengelétől távolságra lévő pontban fellépő normálfesültséget a két génbevételtől sármaó normálfesültség algebra össegeként sámítanánk. A normálfesültség és a rugalmasság modulus hánadosa pedg - a Hooke-törvén értelmében - megadja a ránú fajlagos hossváltoást: = = M + N E E I E F = 1 M N,,,,, ε, +, 5.69/a E E I E F,, E E lletve 5.48/a. ábra ε 1 M, N, = + E J, A,, 5.69/b ahol F és I, - a -edk réteg kerestmetset-területe a saját súlpont tengelére vonatkoó másodrendű nomatéka, A és J, - a E /E-vel módosított terület és másodrendű nomaték, amelben E rugalmasság modulus jellegű mennség, nagságát teljesen sabadon válasthatjuk, serepe csak ann, hog a össefüggéseket egserűsít.
6 183 A belső erők meghatároásáho egensúl és alakváltoás feltételeket kell megfogalman. A ránú vetület egensúl egenlet at feje k, hog a teljes kerestmetset össes normál-génbevétele - ránú külső erők hánában - nulla: F = 0 = n = 1 N,, 5.70 a belső erők és a terhelő nomaték köt kapcsolatot pedg nomaték egensúl egenlettel fejehetjük k. A 1. réteg súlpontján átmenő, -sel párhuamos tengelre: n n, =1 = 1 S1 M = 0 = M - M + a N ahol a = v - v + v j j=1 1, a -edk réteg súlpontjának a 1. réteg súlpontjától mért távolsága., 5.71 A első alakváltoás feltétel at feje k, hog két réteg köös síkjában a sélső sálak fajlagos hossváltoása megegek, am a elmodulásmentes kapcsolat követkeméne: ε, (felső s á l)= ε,+1(alsó sá l ), = 1,,..., n a másodk alakváltoás feltétel pedg annak matematka megfogalmaása, hog a rúd valamel kerestmetsete a alakváltoás után s sík marad, tehát két egmás mellett lévő, hossúságú réteg vsonlagos sögelfordulása megegek: ε, (alsó sá l ) - ε, (felső sá l) ϕ = = v = ε,+1 (alsó sá l ) - ε (felső sá l) v +1,+1, = 1,,...,n Helettesítsük be a két utóbb egenlőségbe a (5.69/b) össefüggést, úg, hog -he alsó sál esetén v /-t, felső sál esetén -v /-t alkalmaunk. Rendeés után a követkeő két kfejeést nerjük: M,+1 M, N, + 1 N, v v + = 0 J J A A M J,+1,+1,+1, M, = 0 J, + 1 = 1,,...,n-1 Eek a egenletek a (5.70) és (5.71) egensúl egenletekkel n egenletből álló egenletrendsert alkotnak, amelből a n sámú M, és n sámú N, smeretlen meghatároható. Eeket
7 184 a kfejeéseket vsonlag egserűen megkapjuk, ha a fent két egenletből smételt rekurív helettesítéssel kfejeük a smeretlen belső erőket M, és N, függvénében, majd eek (5.70)-be és (5.71)-be való helettesítése után a smeretlenek meghatárohatók: M N,, ahol e = = 1 = J M n, J a A A A M (e J 1, - a ), - a teljes kerestmetset rugalmasság modulusok aránában módosított súlpontjának a 1. réteg súlpontjától mért távolsága, J = [J + a A - e A ],, =1 amel - mnt a össefüggés alapján megállapíthatjuk - nem más, mnt a teljes kerestmetset módosított súlpont tengelre vonatkoó módosított másodrendű nomatéka. A belső erők smeretében a -edk réteg koordnátájú pontjában ébredő normálfesültség:, = M I,, + N F, a fesültségeloslás a ábrán láthatóho les hasonló., A rúd semleges tengelének görbület sugarát a teljes kerestmetset alsó és felső sálának fajlagos hossváltoása alapján sámítjuk: 1 ε (alsó sá l ) - (felső sá l) = ε, n ρ =1 melre (5.60/b)-vel a alább kfejeést kapjuk: 1 M =. ρ E J v A eredő rugalmasság modulust úg kapjuk, hog a fent össefüggést egenlővé tessük a homogénnek tekntett rúd M hatására kalakuló görbületével: 1 M = M =, ρ EJ E I ahonnan 1 E eredő = 1 E I J eredő = n =1 n =1 [I + (a - e ) F ], 1 E [I + a F - e F ], 1.
8 Eltérő húó- és nomórugalmasság modulussal rendelkeő anagú rudak tsta hajlítása A tsta hajlítás elmélet tárgalásánál láttuk, hog a rúd semleges síkja alatt és felett eltérő előjelű normálfesültségek ébrednek. Ha fenntartjuk at a - gakorlatlag jól teljesülő - feltételt, hog a eredetleg sík kerestmetset a alakváltoás után s sík marad és a rúd anagának rugalmasság modulusa húásra és nomásra különböő, akkor a normálfesültségek eloslása lneárs marad ugan, de a egenes meredeksége a húott és nomott övben különbön fog. A váltoó meredekség uganakkor a semleges sík eltolódását vonja maga után, mert a normálfesültségekből sármaó belső erők ránú eredőjének nullával kell egenlőnek lenne. 5.48/b. ábra A semleges tengel helének, aa a húott és nomott kerestmetsetrés meghatároását a fejeet eredménenek felhasnálásával végehetjük el. A eljárást a faanagú rudak esetében leggakrabban előforduló, téglalap kerestmetseten mutatjuk be. A teljes kerestmetsetet a eltérő húó- és nomórugalmasság modulusoknak megfelelően két résre ostjuk a egelőre smeretlen k téneő segítségével (5.48/b. ábra). A módosított súlpontnak a két réteg határvonalára kell esne, íg a előő fejeet módosított súlpontkoordnátát megadó kfejeésének felhasnálásával: e 1 = kh = = 1-1 a A A = 0 + E ( 1 k ) hb h E E 1 ( ) E khb + 1 k hb EE ahonnan E 1 = E + és E = E - jelölés beveetésével: 1 k = + E 1 + E Faanagnál E + > E -, a fent kfejeés neveője mndg nagobb -nél, a semleges tengel (a módosított súlpont) mndg a húott oldal felé tolódk el. A elvleg két rétegből álló kerestmetset geometra és rugalmasság jellemőnek smeretében már alkalmahatjuk a előő fejeet össefüggéset a normálfesültség-eloslás és,
9 186 a eredő hajlító rugalmasság modulus meghatároására. A húott öv normálfesültségeloslása:,1 = M I,1,1 a nomott övé:, = M I,, + N 1 F + N F,1 1, = M I = M I,1, E E E E I 1,1 I J J, + M 1 F + M F 1 E E E 1 E kh F1 J = M J + E E kh, 1 + kh F M E J J E h = 1 ( k) Können ellenőrhetjük, hog a normálfesültségek a 5.48/b. ábrának megfelelően alakulnak, s hog a húott és nomott övben a fesültségeloslás egenesének meredeksége E + -sal és E - - sal arános. A fejeet utolsó össefüggésének felhasnálásával megkapjuk a eredő hajlítórugalmasság modulust. Egserű rendeés után: k + E eredő = E 3 3 k + (1 + k) vag a húó- és nomórugalmasság modulussal kfejeve: E E E E eredő = =. 1 + E E E E E + E - - E E Erőtan méreteés Megengedett fesültségen alapuló méreteés módser A tsta hajlításnál, mnt láttuk, normálfesültségek keletkenek, íg a méreteés során eek mamumát kell össehasonlítan a megengedett fesültséggel: m a m, 5.74 ahol ma ' = M K ', amelben ' - a hajlítás tengele, M ' - a hajlítónomaték vektorának ' tengelre eső vetülete, K ' - a kerestmetset hajlítás tengelére sámított kerestmetset téneője. Egenes hajlításnál annval egserűbb les a helet, hog a hajlítás tengele - mnden külön sámítás nélkül - a kerestmetset súlpontjába tartoó, a hajlítónomaték vektorával egbeeső másodrangú főtengel. Enhén váltoó kerestmetsetű rúdnál abban a pontban kell sámítan a normálfesültség mamumát, amelben a a lehető legnagobb. Ha a rúd anagának a megengedett fesültségen húásra és nomásra nem egforma, akkor a ellenőrést a potív és negatív fesültségmamumokra s el kell végen.
10 187 Alakváltoásra való méreteésnél a görbület sugár mnmuma nem lehet ksebb eg előírt, megengedett értéknél: ρ ρ, 5.75 mn m ρ mn -t a veséles kerestmetsetben a (5.67) kfejeéssel sámítjuk. Terveésnél a (5.74) és (5.75) relácókban egenlőséget tételeünk fel "Fél" valósínűséggel kegésített határállapot módser A rúd kelégít a erőtan követelméneket, ha M M, 5.76 M H ahol M M -et a mértékadó teher alapján sámítjuk, a határnomaték pedg: M H = H K ', amelet a veséles kerestmetsetben határounk meg. Ha húásra és nomásra nem egforma a határfesültség, akkor a absolút értékre ksebbet kell felhasnáln. Alakváltoásra történő méreteésnél uganúg járunk el, mnt a előő módsernél, ρ mn sámításánál aonban a mértékadó nomaték '-re eső vetületét kell fgelembe venn. Terveésnél tt s a egenlőségekből ndulunk k Csavaró génbevétel Láttuk, hog tsta hajlításnál a rúd fesültség és alakváltoás állapotmeeje már nem homogén - mnt húásnál, nomásnál és nírásnál - a nhomogentás csavaró génbevételnél még sembetűnőbb. A csavarásnál keletkeő fesültségek eloslása, sőt magának a sámításnak a módja s nagmértékben függ a kerestmetset alakjától Kör (és körgűrű) kerestmetsetű rudak tsta csavarása Terheljük a kör kerestmetsetű, prmatkus rúd véglapjat olan - egelőre nem résleteett - megosló erőrendserrel, hog tetsőleges kerestmetsetben a génbevétel: N K = N() = 0, T K = T() = 0, M K = M() = M = áll. legen. A rúd kerestmetsetenek génbevétele, tehát M nagságú, tsta csavarónomaték (5.49. ábra).
11 ábra A rúd alakváltoásáról a követkeőket állapíthatjuk meg. A körhenger alkotó a alakváltoás után csavaralakot vesnek fel. A kerestmetsetek a tengel körül elfordulnak, de továbbra s síkok és eredet alakjukkal egbevágóak maradnak. A rúd felületén kjelölt elem deréksögű négsög élhossa nem, csak élsöge váltonak meg. A hossúságú rúdelem (5.50. ábra) vsgálatánál megállapíthatjuk, hog amennben a két sélső kerestmetset vsonlagos sögelfordulása ϕ, akkor a henger tengellel párhuamos sálanak γ sögváltoása a sál tengeltől mért távolságának, ábra r-nek a függvéne. A ábra alapján felírhatjuk: r ϕ = γ (r), ahonnan γ (r) = r ϕ, mvel ϕ és hánadosa eg kerestmetsetben állandó, a γ sögváltoás r-nek lneárs függvéne. A rúd és a terhelés centrkus smmetrája matt a kerestmetset síkjában lévő és tengelrendsert tetsőlegesen el-forgathatjuk, eért eg tetső-legesen felvett pont körneetének elem hasábja a 5.51/a. ábrán látható módon deformálódk. A ε = ε deformácókomponenseknek uganlen ndeű nírófesültség-komponensek felelnek meg a Hooke-
12 189 törvén értelmében (5.51/b. ábra). Veessük be a = = τ jelölést. Ha a anag nírórugalmasság modulusa G, akkor ϕ τ = τ ( r) =G γ(r)=gr A nírófesültség a kerestmetset valamel pontjában arános a pontnak a tengeltől mért távol ábra ságával, hatásvonala pedg merőleges a köépponttól a ponho húott sugárra (5.49/e. ábra). A fesültség és a külső terhelés kapcsolatát a tengelre vonatkoó nomaték egensúl egenlet alapján határohatjuk meg: 5.5. ábra ϕ ϕ M = 0 = M - r τ(r)da = M - G r da = M - G I S, A ahonnan ϕ -t kfejeve és (5.77)-be helettesítve kapjuk: τ (r) = M I S r. A A fesültségeloslást a kör kerestmetset eg sugara mentén a 5.5. ábrán láthatjuk. Ne feledkeünk meg arról, hog a dualtás követkeméneként nemcsak a normálsú, hanem a normálsú felületen s fellépnek nírófesültségek. Erre különösen ott kell tekntettel lennünk, ahol a hosstengellel párhuamos síkokban a anag níróslárdsága ksebb, mnt a kerestmetset síkokban (pl. olan fából késült rúd- 5.78
13 190 nál, amelnek hosstengele párhuamos a rostránnal). Ilen esetekben a tönkremenetel a hosstengellel párhuamos síkok egmáson való elcsúsása követketében meg végbe. Eg rúd tetsőleges, r koordnátájú pontjában a fesültség és alakváltoás állapot tenorának mátra: [ T ] M = 0 0 = IS M 0 = r 0 IS r [ Tε ] = 0 0 G 0 0 G A két állapot Mohr-köre a ábrán láthatók ábra A köépponttól különböő r távolságra lévő pontok fesültség állapota hasonló, csak a fesültségek nagsága különböő. A Mohr-körök jellege s ugana, csupán átmérők váltonak r függvénében. A ábra segítségével megállapíthatjuk, hog a egk főfesültség, lletve főalakváltoás rán a tengel, a másk két főránt pedg a, tengelek tengel körül 45 -os elforgatásával nerjük. A főfesültségek és főalakváltoások értéke: 1 = - 3 = =, ε1 = - ε 3 = ε = ε. A nírófesültség mamuma a kerestmetset sélső pontjaban, a kerületen ébred: τ ma = M I S R = M I S R = M K S ahol K S - a kerestmetset polárs kerestmetset téneője., 5.79/a A L hossúságú rúd alakváltoását, amel a fentek értelmében a két végkerestmetset egmásho vsonított elfordulása, eg sögelfordulással jellemeük. Et a egensúl egenletből fejehetjük k:
14 191 = M ϕ, GI amelből a ϕ = M G I S S d + ϕ *, ϕ * ntegrálás állandót a kerület feltételekből határohatjuk meg. Ha a L hossúságú rúd egk vége befogott, aa egk végének elfordulását meggátoljuk ( ábra), a kerület feltétel: ϕ ( = 0) = 0. E feltétel mellett a sögelfordulás: ábra ϕ () = M GI S, a mamáls sögelfordulás: = ( = L) = M L ϕ ma ϕ 5.79/b GI amel a végkerestmetsetek relatív elfordulása. A GI S soratot a rúd csavarómerevségének neveük. A d hossúságú rúdelemben felhalmoott rugalmas energa: du = 1 ( ε + ε )dv = 1 [ ε da]d = b A 1 M = 1 [ da]d = 1 [ M G GI A A S r da]d = 1 M GI A L hossúságú rúdban felhalmoott rugalmas energa és a külső erők saját munkája: U = U = d U = 1 L M d = 1 ~ M L b b b G I G I 0 S S d S S Können beláthatjuk, hog a körgűrű kerestmetset esetén a fent elmondottak érvénesek maradnak. Ilenkor I S termésetesen a körgűrű polárs másodrendű nomatékát jelent. A fesültségeloslás lneárs, de - a ábrának megfelelően - fesültség csak a kerestmetset anag pontjaban ébred. A a feltételeés, hog csavaráskor a kerestmetsetek a alakváltoás során síkok maradnak, csak kör és körgűrű kerestmetsetű rudak esetén teljesül. Mnden egéb ábra - tömör vag üreges - kerestmetsetű rúdnál
15 19 a sík kerestmetset görbült felületté alakul, a kerestmetset pontja egmásho képest ránban elmodulnak. Et a alakváltoás jelenséget öblösödésnek neveük. Ilenkor a kerestmetset alakja s váltoást senved. Ha a kerestmetset öblösödését semm sem gátolja, sabad csavarásról besélünk, ha a öblösödést akadálouk, gátolt csavarásról. E utóbb esetben a rúdban ránú normálfesültségek s ébrednek, amelek nagsága, különösen vékon falú csöveknél, jelentős lehet és eek a normálfesültségek eloslására s hatással vannak. A követkeőkben a sabad csavarás néhán egserűbb esetét tárgaljuk Vékon falú, árt selvénű prmatkus rudak tsta csavarása Legen a tsta csavarásnak ktett prmatkus rúd kerestmetsete eg olan kétseresen össefüggő tartomán (5.56. ábra), amelnél a külső és belső határoló vonal távolsága, aa a cső falvastagsága váltohat, de a rúd egéb méretehe képest kcs. A falvastagságot feleő vonal a köépvonal. Ha a kerestmetset öblösödése nem gátolt, akkor normálfesültségek nem ébrednek s a egetlen fesültségkomponens a nírófesültség. A normálsú kerestmetset-felület aon pontjaban, amelek a külső és belső kerületen helekednek el, a nírófesültség hatásvonala a adott kerület pontho húott érntővel csak párhuamos lehet. Ha a nírófesültségnek érntőre merőleges komponense s lenne, akkor a dualtás tétel értelmében a rúd palástfelületén s ébredne kellene nírófesültségnek, am lehetetlen, mert a rúd palástfelülete tehermentes (tehát nncs, am et a hatást kfejtse). E a egensúl követelmén néhán egserű, de fontos feltételeést tes lehetővé. Mvel a csőkerestmetset falvastagságának kcsnek kell lenne, feltehetjük, hog eg s ívkoordnátával jellemett helen a köépvonalra merőleges egenes mentén a össes nírófesültség párhuamos a köépvonalho húott érntővel és nagságuk s aonos (a falvastagságnak megfelelő ks sakason a váltoás akár rán, akár nagság sempontjából nem lehet jelentős) (5.56/a. ábra) ábra
16 193 Vágjuk k a csőnek eg hossúságú és köépvonalának tetsőleges ívhossúságú darabját (5.56/b. ábra). A dualtás követkeméneként a A pontban a normálsú síkon ébredő τ 1 nírófesültség megegek a tengellel párhuamos síkon (a ábrán - normálsú sík) fellépő nírófesültséggel. Uganet mondhatjuk a B pontho tartoó τ fesültségkomponensekről s. A tengellel párhuamos vetület egenlet a követkeő alakú: F = 0 = τ 1v 1 - τ v, ahonnan τ 1v 1 = τ v = τ(s)v(s) = á ll.. am at jelent, hog a cső falvastagságának és a nírófesültségnek a sorata, a ún. nírófolam mnden pontban uganakkora. Ennek fgelembevételével a tengelre vonatkoó nomaték egensúl egenletben sereplő ntegrálkfejeés können átalakítható) 5.56/a. ábra): M = 0 = M - τ(s)v(s)k(s)ds = M - τ (s)v(s) k(s)ds, ahol k(s) - a köépvonal s ívkoordnátájú pontjának a csőkerestmetsete súlpontjától mért távolsága. A k(s)ds sorat a ábrán látható, sraffoott háromsög területének a kétserese, eért a árt görbe mentén vett ntegrál a köépvonal által beárt terület kétseresét adja. A fent össefüggésből a nírófesültség kfejehető: M τ(s) =, A v(s) k ahol A k - a csőkerestmetset köépvonala által beárt terület. Nlvánvaló, hog a nírófesültség mamum a legkeskenebb falvastagságú helen keletkek: M τ m a = A v k m n 5.8 A végkerestmetsetek relatív sögelfordulását a rugalmas energa és a külső erők saját munkájának egenlőségéből határohatjuk meg: U = 1 b τ G dv = 1 G W S k = 1 M ϕ ma, L 0 M A v (s) v(s)ds d = M L k 8GA k ds v(s), a kettő egenlőségéből: 1 ds ϕ ma = M L 4GA v(s) k A utóbb három sámoott össefüggést Bredt-féle képleteknek nevek Téglalap kerestmetsetű prmatkus rudak tsta csavarása A tömör, téglalap kerestmetsetű prmatkus rudak csavarásának rugalmasságtan feladata elem úton már nem oldható meg. A rugalmasságtan alapegenletenek felhasnálásá-
17 ábra val aonban a fesültségek és a alakváltoások meghatároásáho sükséges össefüggések végtelen sorok formájában megadhatók. Eeknek a össefüggéseknek a leveetése meglehetősen bonolult, eért csak a végeredméneket kööljük, lletve magaráuk. Ha a sabad csavarás esetére sorítkounk, a alakváltoásra a követkeő megállapításokat tehetjük (5.57/a. ábra): - a kerestmetsetek nem maradnak síkok, öblösödnek, a rúdtengel ránából néve aonban a téglalap alak váltoatlan marad, a kerestmetset a tengel körül merev testként - a öblösödéstől eltekntve - fordul el, - a rúd felsínén berajolt hálóat sögtorulása a oldallapok köepén a legnagobb (a hossabbk oldalon a mamáls), a sarkokon a deréksög nem váltok. Eek alapján a fesültségekről a követkeőket mondhatjuk: - a kerestmetsetek sabad öblösödése matt normálfesültségek nem ébrednek, - a kerestmetset pontjanak fesültség állapota tsta nírás, a köéppontban és a sarokpontokban nem ébred nírófesültség, a legnagobb nírófesültségek a kerestmetset sélen keletkenek, eek hatásvonala mndg párhuamos a adott oldallal, a kerestmetset több pontjában a nírófesültségeknek és ránú össetevője s van, een össetevők nagsága a két tengel mentén parabolkusan váltok (5.57/b. ábra). τ ma A mamálsan nírófesültség a téglalap hossabbk oldalának köepén ébred: = M α a b, ha b a, 5.85 a L hossúságú rúd véglapjanak relatív elfordulása: = M L ϕ ma, 3 βa bg ahol 5.86
18 195 β α =, π π = 1 3, 5 ch b,.. a 1 π β = a 1 th b. 5 π b = 1, 3, a Nagon kesken deréksögű négsögekre, ahol v = a << b, α = β = 1 3, eért τ = 3M ma v b = M v = M 3 v b I 3 b v é s ϕ = 3M v bg = M L L ma 3 I G b, 5.87/a,b ahol I b a kesken deréksögű négsög hossabbk élével egbeeső tengelre vonatkoó másodrendű nomatéka. Más alakú, de tömör kerestmetsetű rudak csavarásakor keletkeő fesültségek és alakváltoások s végtelen sorok formájában adhatók meg. A leggakrabban előforduló kerestmetsetek (háromsög, ellpss, stb.) megfelelő össefüggése sakkönvekben fellelhetők Vékon falú, ntott selvénű prmatkus rudak tsta csavarása A gép- és építőpar serkeetekben gakran előfordulnak olan csavarásra génbe vett rudak, amelek kerestmetsete ntott és - jó köelítéssel - vékon deréksögű téglalap össegére bontható (5.58. ábra) ábra Sabad csavarásnál a kerestmetset öblösödk ugan, de a tengel körül merev testként fordul el. A teljes kerestmetset sögelfordulása tehát megegek résenek, aa a köelítőleg vag pontosan kesken téglalapoknak a elfordulásával. Jó köelítéssel feltehetjük, hog a réskerestmetsetek egmástól függetlenül dolgonak és csavarómerevségük aránában vesk fel a teljes csavarónomatékot: M = M, n =1 ahol n - a kerestmetset felbontott téglalapjanak sáma, M - a -edk kerestmetsetrésre ható csavarónomaték.
19 196 A -edk rés elfordulása (5.87/b)-vel sámítható: = M L = M L ϕ, 3 v b GI b G 3 ahol v és b a -edk téglalap sélessége és hossúsága, a teljes kerestmetset elfordulása: M L ϕ = = M L. n 3 v b GI b G 3 =1 A kettő egenlőségéből meghatároható a réskerestmetsetekre eső csavarónomaték: M = M I b. I b A nírófesültségek mamuma a eges téglalapok hossabbk oldalán van. (5.87/a) felhasnálásával: τ ma = M I b v = M I b v /a Mvel M és I b mnden téglalapra ugana, a absolút mamáls nírófesültség a legvastagabb réskerestmetset hossabbk oldalának köepén ébred: τ m a = M I b v m a. 5.89/b Erőtan méreteés Megengedett fesültségen alapuló méreteés módser A kmutatandó alaprelácó: τ m a τ m, 5.90 ahol τ ma -ot a csavart kerestmetset jellegének megfelelően a (5.79/a), (5.83), (5.85), (5.89/b) össefüggésekkel sámítjuk. τ m értéke a tsta nírás megengedett fesültségevel egenek meg. Hasonlóan mutatjuk k a alakváltoás feltétel kelégülését: ϕ ma ϕ m A mamáls relatív kerestmetsetelfordulást a (5.79/b), (5.84), (5.86), (5.88) kfejeésekkel sámítjuk a kerestmetset alakjának megfelelően. A megengedett sögelfordulást a serkeet hasnálhatósága sabja meg, lletve tábláatokból vehetjük k.
20 "Fél" valósínűséggel kegésített határállapot módser A vsgálat során k kell mutatn, hog M M M H 5.9 ahol M M a mértékadó génbevétel hatására keletkeő csavarónomaték, M H -t a kerestmetset alakjának megfelelő össefüggéssel sámítjuk τ ma = τ H helettesítéssel. A alakváltoás ellenőrésénél a ϕ M ϕ H Hajlítás és nírás (köönséges hajlítás) A össetett génbevételek köül a leggakrabban előforduló a ún. köönséges hajlítás, mkor a hajlítógénbevétellel eg dőben nírógénbevétel s fellép. Terhelje a egenes, prmatkus rudat olan külső erőrendser, hog tetsőleges kerestmetset génbevételere fennálljon: N K = N() = 0, T K = T() = T (), M K = M() = M (). A terhelés síkja tehát mnden kerestmetsetben a, sík, a génbevételek aonban helről-helre váltonak. A egensúl kelégítése követketében - mnt at a statkában megsmertük - a hajlítónomaték és a nírógénbevétel köött fenn kell állna a dm () = T () 5.94 d kapcsolatnak. A két génbevétel vsgálata nem történhet egmástól függetlenül, hsen a két génbevétel egmásnak függvéne. A (5.94) össefüggés ndokolja ennek a össetett génbevételfajtának a gakorságát, mert tulajdonképpen at mondja k, hog váltoó nagságú hajlítógénbevétel mellett mndg kell ébredne níróerőnek s, a rúdtengelre merőleges terhelések esetén - és e a leggakorbb terheléstípus - pedg a hajlítógénbevétel a hosstengel mentén váltok. Köönséges hajlításkor a fesültség és alakváltoás vsonok lénegesen függenek a rúd geometra jellemőtől, különösen kerestmetsetének alakjától és a terhelés, lletve a génbevételek hatósíkjának a kerestmetset főtengelehe vsonított heletétől. A továbbakban a köönséges hajlítás olan specáls esetevel foglalkounk csak, amkor a prmatkus rúd kerestmetsetének legalább eg smmetratengele van és a hajlítógénbevétel vektora erre a tengelre merőleges vag vele párhuamos (tehát egenes hajlításról van só).
21 A hajlítónomaték vektora merőleges a kerestmetset smmetrasíkjára A köönséges hajlítás fesültség és alakváltoás vsonanak elem úton történő vsgálatánál feltételeük, hog a hajlítógénbevétel hatására keletkeő normálfesültségek eloslása megegek a tsta hajlításnál meghatároottéval. Most egenes hajlítással állunk semben, íg a normálfesültségeket a (5.60)-as kfejeéssel sámíthatjuk. A különbség csupán ann les, hog a () = M () 5.95 I kfejeésnek megfelelően a eloslásra jellemő egenes (5.59/b. ábra) meredeksége a hel függvénében váltok, a hajlítónomaték nagságával aránosan. A köönséges hajlításból sármaó normálfesültségek sélső értéke abban a kerestmetsetben ébred, amelben a legnagobb a hajlítónomaték: +,ma,ma = M I e = M K,ma, 5.96/a,ma = M I,ma,ma e' = M K'. 5.96/b A nírásból sármaó fesültségek meghatároásánál tegük fel, hog a kerestmetset tetsőleges,, koordnátájú pontjában a nírófesültség két, és össetevőre bontható ábra
22 199 Határouk meg elősör a tengellel párhuamos komponenst. Vsgáljuk meg ehhe a rúd eg hossúságú elemének eg tetsőleges koordnátától lefelé eső rését (5.59/f. ábra). E rúdelem bal oldal kerestmetsetének pontjaban () jobb oldal kerestmetsetének pontjaban (+ ) normálfesültségek hatnak a hajlítás követketében. Mndkét kerestmetset pontjaban nírófesültségek s hatnak, a legfelső, koordnátájú pontokban a nírófesültség-komponensek és. A dualtás tétel követkeméneként a rúdelem normálsú felületén s ébredne kell = nírófesültségnek. Mvel a elem hossúság, feltehetjük, hog a normálsú felületen a nírófesültség megoslása egenletes. A rúdelemre ható erők ránú vetület egensúl egenlete a követkeő alakot ölt: F = 0 - ()da + ( + )da + v(), A' A' ahol A' = A'() - a kerestmetset koordnátától kfelé eső résének területe, v() - pedg a kerestmetset sélessége a koordnátájú helen. Rendeük a egenletet és hasnáljuk fel a (5.95) és (5.94) össefüggéseket: = -1 v() = = -1 v() dm A' ( + ) - () da = -1 d () da = v() d ( ) ' 1 T ( ) = - T ( ) ' da = - T ( ) S' ( ) da I v() da = - I A' v() ' d I I v() A' A', 5.97 ahol a S' () jelölésben a vesső arra utal, hog nem a teljes kerestmetset, hanem csak a koordnátától kfelé eső kerestmetset-terület tengelre vonatkoó statka nomatékáról van só. A fent össefüggést Zsuravskj-képletnek neveük első leveetőjéről. E megadja a koordnátájú kerestmetset koordnátájú pontjaban a köönséges hajlítás nírógénbevételéből sármaó nírófesültségnek ránú komponensét. E a nírófesültség-komponens, mnt a képlet mutatja, a koordnátának nem függvéne, nagsága tehát a tengellel párhuamos egenesek mentén aonos. A fesültség eloslásának jellege S ()-tól ésd v()-tól, aa a kerestmetset geometra alakjától függ. A statka nomatékokra vonatkoó össegés tétellel können beláthatjuk, hog koordnátájú sál alatt és felett lévő kerestmetset-terület tengelre vonatkoó elsőrendű nomatéka absolút értékre megegek: S,egés = S',alsó + S',felső = 0, mert a súlponton átmenő tengelre a statka nomaték nulla. A egenlőség sernt S',alsó = - S',felső. A fentek matt, valamnt annak érdekében, hog a (5.97) a nírófesültség-komponenst előjelhelesen adja meg, a össefüggésben a résterület statka nomatékának absolút értékét kell behelettesíten.
23 00 A (5.97) össefüggés tüetesebb analísével a nírófesültség tengel ment eloslásáról s képet nerhetünk. A sélső sálakban S (=e vag e' ) = 0, eért tt nírófesültség nem ébred. E össhangban van aal, hog a rúd tehermentes felületén egébként sem ébredhet fesültségkomponens. A nírófesültség absolút mamuma, vag legalább hel mamuma a =0 helen les, mert a össes lehetséges S' köül a hajlítás tengelétől egk oldalra eső kerestmetsetrés statka nomatéka a legnagobb. Ha a kerestmetset sélessége ugrásserűen váltok, akkor a eloslásfüggvénben s ugrás van. Maga a eloslásfüggvén ábra másod- (pl. téglalap kerestmetset esetén) vag magasabb fokú parabola (5.59/c. ábra). A ábrán néhán kerestmetset jellegetes fesültségeloslását mutatjuk be. A köönséges hajlításnak ktett rúd akkor a leggadaságosabb anagfelhasnálású, ha a másodrendű nomatéka a hajlítás tengelére uganakkora kerestmetset-terület esetén a lehető legnagobb. E akkor teljesül, ha mnél több terület esk a hajlítás tengelétől távol. Ilen kerestmetsetalak pl. a 5.60/b. ábrán látható, vag a I és U selvénű domacél. Eekben a esetekben a nírófesültségek mamuma mndg a hajlítás tengelében van a legnagobb níróerőnek ktett kerestmetsetben: T S' (=0),ma,ma = I v(= 0) A nírófesültség ránú komponensének meghatároásánál abból ndulhatunk k, hog a kerest-metsetnek eg koordnátájú sélső pontjában a eredő nírófesültség hatásvonalának a adott pontban a ke-restmetset kontúrvonaláho húható érntővel párhuamosnak kell lenne (5.59/a. ábra). Ha nem íg lenne, akkor a dualtás tétel értelmében a rúd külső normálsú felületelemén s ébredne kellene nírófesültségnek, am teher-mentes felület pontban lehetetlen. A kerület pontokban tehát a ábra eredő nírófesültség hatásvonalát a kerestmet-
24 01 set alakja meghatároa (5.59/a. és ábra). Eg koordnátájú sélső pontban a eredő nírófesültség hatásvonalának és a tengelnek a metséspontját jelöljük K-val, s e pont távolságát a koordnátától t = t()-nal. Nem követünk el nag hbát, ha feltételeük, hog a koordnátájú, a tengellel párhuamos egenes pontjaban olan nírófesültségkomponensek ébrednek, hog a eredő nírófesültség hatásvonala mndg átmeg a koordnátának megfelelő t()-nal kjelölt K ponton (5.61. ábra). E feltételeés és a kerület pontokho húandó érntők tengellel beárt sögének, ϕ -nek smerete elegendő a nírófesültség-komponensek sámításáho. A K pont helét a ábra alapján a t() = v() tgϕ össefüggéssel határohatjuk meg. A ránú nírófesültségkomponenst aránpár felállításával kapjuk: (, ) = () t() A össefüggésből követkek, hog tengel ment megoslása lneárs (5.59/e. ábra). Feltételünk sernt a tengel smmetratengel, íg a fesültségkomponensekből sármaó erők a kerestmetseten belül egensúl erőrendsert alkotnak. Ha a kerület pontho húott érntő párhuamos a tengellel, a K pont a végtelenbe esk, íg een a tengellel párhuamos sálon fesültségkomponensek nem ébrednek. Pl. téglalap kerestmetset esetén csak komponensek keletkenek. Általános esetben a eredő nírófesültség: τ = + = t () A nírófesültségek eloslásának smeretében beláthatjuk, hog köönséges hajlításkor a alakváltoás során a kerestmetset nem maradhat sík. A nírókomponensek hatására ugans, aok nagságával arános, sögváltoás lép fel. Mvel a nírófesültségek másod- vag annál magasabb fokú függvén sernt oslanak meg, a hossúságú tartódarabon belül felvett elem hasábok γ sögváltoása a selvén magasságának függvénében váltok, s a 5.6. ábrának megfelelően a eredetleg sík kerestmetset S alakot ves fel. Termésetesen a nírókomponensek hatására s fellép sögváltoás, íg a kerestmetset kétser görbült alakot ölt. A nírófesültségek által okoott kerestmetset-torulás aonban a legtöbb esetben olan ks mértékű, hog a sík kerestmetset megmaradásának feltételeésével leveetett, hajlításból sármaó normálfesültségek össefüggése a gakorlatban kelégítő pontosságúnak mondható.
25 ábra ábra
26 03 A nírófesültségek serepét és jelentőségét a követkeő példán láthatjuk be. A 5.63./a. ábrának megfelelően heleünk két téglalap kerestmetsetű rudat egmás fölé mnden össeerősítés nélkül. Köönséges hajlításkor, ha még a érntkeés felületen fellépő súrlódást s elhanagoljuk, a két rúd egmástól függetlenül működk és a terhelésből sármaó hajlítónomatékot és níróerőt egenlő aránban vesk fel. A két rúd a érntkeés felületen egmáson megcsúsk, alakváltoásuk és fesültségeloslásuk teljesen aonos. Ha valamlen módon (betét, ragastás) skerül elérn, hog a két gerenda egmáson ne csúshasson meg, hog egütt dolgoon, akkor a két kerestmetset egetlen kerestmetsetként működk, s ennek megfelelően alakul a normál- és nírófesültségek eloslása. Können ksámíthatjuk, hog a utóbb esetben (5.63/b. ábra) a rúd kétser akkora nomatékkal terhelhető, mnt a uganolan kerestmetsetű, de egmástól függetlenül működő serkeet. A nírófesültségek eloslásának ábráján láthatjuk, hog a rudak elcsúsását éppen a rúdtengellel párhuamos, normálsú felületen ébredő nírófesültségeknek kell megakadálon. Et a fesültségkomponenst a fesültségkomponens dualtáspárja solgáltatja. Ragastásnál pl. olan ragastóanagot kell alkalman, amelnek níróslárdsága nagobb a génbevételből sármaó, a ragastás síkjában ébredő nírófesültségnél. Betétes kapcsolat kalakításnál olan betéteket kell alkalman, hog aok eg adott h hossúságho tartoó, ránú csústatóerőt képesek legenek felvenn. A ábrának megfelelően a hossúságho tartoó elem csústatóerő: T ()S () T ()S () dh = v()d = v()d = d, I v() I A eg betétre eső h hossúságú sakason fellépő csústatóerőt a kfejeés ntegrálásával kapjuk: h H = dh = S () h T ()d = S () A T, I I 0 0 ahol A T - a níróerő ábra h hossúságú sakasra eső területe. S ()-ban at a koordnátát jelent, amelbe a betétek köépvonala esk (a ábrán látható esetben a = 0, súlpont sál). A köönséges hajlításnak ktett rúd eg általános heletű pontjának fesültség és alakváltoás állapotát a alább két mátrrepreentácó mutatja: T 0 0 = 0 0 µε 0 ε, Tε = 0 µε ε. ε ε ε Ha a kerestmetset alakja téglalap vag néget, tehát a oldalak párhuamosak a tengellel, akkor = = 0 és ε = ε = 0. Vannak a kerestmetsetnek olan specáls pontja, amelekben a fesültség és alakváltoás állapotok egserűsödnek. A sélső sálakban
27 04 nírófesültség nem ébred, ott a fesültség állapot lneárs. A semleges sík pontjaban a fesültség állapot síkbel marad ugan, de mnden normálfesültség-komponens nulla. A ábrán megrajoltuk a deréksögű háromsög kerestmetset jellegetes pontjaban a fesültség Mohrköröket. Köönséges hajlításnál a d hossúságú rúdelemben felhalmoott energa a külső erők saját munkájával kfejeve: du b 1 = ahol χ = 1 = M EI A I ábra 1 ( ε + ε + ε )dv = ( ε + ε T S 1 M T da + da d = + χ d GI v EI GA A A S v ( ) da ( ) A )dad = χ at feje k, hog a nírófesültségek eloslása nem egenletes. Beveetésével a nírógénbevételből sármaó rugalmas energa sámítását a tsta nírásého hasonlóan végeük (lásd a (5.44/a) össefüggést). χ értéke egedül a kerestmetset geometra jellemőnek függvéne. Deréksögű négsög esetén 1,; körnél 1,19; I selvénre jó köelítéssel, A hajlítógénbevétel nomatéká-nak vektora párhuamos a kerestmetset smmetratengelével A tapastalat at mutatja, hog ha a nírógénbevétel hatásvonala nem párhuamos a kerestmetset smmetratengelével, akkor - különösen vékon falú, ntott selvénű rudak-
28 05 nál - a kerestmetset a tengel körül el s fordul a ábrán látható módon. Ebből arra kell követketetnünk, hog a hajlító- és nírógénbevétel mellett járulékos génbevételként csavarónomatéknak s fel kell lépne. Et a jelenséget nem vsgáljuk teljes általánosságban, hanem klasskus példán, eg vékon falú, U alakú selvénen mutatjuk be. Más selvének esetén uganet a vsgálat módsert kell alkalman. A fejeet címének megfelelően egenes hajlítással van dolgunk, íg a hajlítónomatékból sármaó normálfesültséget (5.60)-nal kell sámítanunk. A vékon falvastagságú rudak csavarásánál már megtanultuk, hog a nírófesültségek nagsága a selvénvastagság mentén jó köelítéssel állandó, hatásvonaluk pedg mndg párhuamos a kérdéses pontban a kerestmetset kontúrjáho húott érntővel. A U selvén h magasságú sárában tehát a nírófesültségek hatásvonala a, a b hossúságú sárakban pedg a ten ábra gellel párhuamos ábra A = fesültségkomponenst a 5.67/b. ábrán látható elem rúddarabra ható fesültségekből sármaó erők ránú vetület egensúl feltételéből határohatjuk meg. A s
29 06 ívkoordnátával jellemett helen (s egben a elem sélessége) a elem normálsú felületén fesültség ébred, amel a dualtás tétel értelmében egenlő a hossúságú, normálsú felületen keletkeő nírófesültséggel. Mvel a elem hossúság, feltehetjük, hog a v(s) nagságú felület mnden eges pontjában uganekkora nírófesültség ébred. A egensúl egenlet: F = 0 = ( + )da - ()da - v(s), A' A' Rendeve és (5.60) behelettesítésével: = 1 v(s) = = 1 v(s) A' A ' dm () d I ( + ) - () 1 d () da = da = v(s) da = T () I v(s) A' A' T ()S' (s) da = I v(s) A össefüggés formalag a Zsuravskj-képlet, de ne tévessük sem elől, hog benne a S' (s) és v(s) értelmeése más, mnt a (5.97)-es kfejeésben. S' (s) a s ívhossúságú kerestmetsetrés statka nomatéka a hajlítás tengelére, esetünkben h S' ( s) = v ( s ), v(s) - pedg a selvén tengellel párhuamos kerestmetsetének vastagsága. Példánkban a statka nomaték s-nek elsőfokú függvéne, v állandó, íg a fesültségkomponens megoslása lneárs. A ábrán váoltuk a tengellel párhuamos kerestmetsetrések nírófesültségének eloslását (a felső sáron a statka nomaték előjelet vált, íg a nírófesültség rána s ellentettje les a alsónak). A nírófesültség sélső értéke a A és B jelű sarokpontokban les: = T () h T ()hb,ma vb = I v I A függőleges sáron ébredő nírófesültségek a előő fejeetben megsmert módon, a Zsuravskj-képlettel sámíthatók. Eg koordnátájú helen: S' () = h vb + v ( h - )( h + ), et (5.97)-be helettesítve: = T ()hb I + T () I ( h - ) A össefüggés a = ± h pontokban, a sarokpontokban éppen (5.105)-öt adja. E pontokban tehát a két nírókomponens nagsága megegek. A kerestmetset függőleges sárán a komponens megoslása parabolkus a ábrának megfelelően.
30 07 A nírófesültség eloslásának smeretében határouk meg a + koordnátájú kerestmetsetben a belőlük sármaó belső erők eredőjét (5.69. ábra). A tengellel párhuamos réskerestmetseten ébredő nírófesültségekből keletkeő belső erő (5.106) alapján éppen a kerestmetset külső génbevételének megfelelő níróerővel egenlő: ábra ábra T τ ( ) = T (),
31 08 amnek a ránú vetület egensúl egenletből s követkene kell. A tengellel párhuamos sárak fesültségeből sármaó erők erőpárt alkotnak, melnek nomatéka: τ M () = h da = h T () h vs vds = T ()h v I v I sds = T ()h b v 4I b b. 0 0 A erőből és nomatékból álló erőrendsert átalakíthatjuk eg e C -vel eltolt hatásvonalú egetlen T () erővé, ahol e = M τ = h ( ) b v C. τ T ( ) 4I A C pontot, melnek helét a selvénvastagság köepétől felmért e C távolság adja meg, a kerestmetset nírás vag tau-köéppontjának neveük. A 5.69/c. ábráról megállapíthatjuk, hog a nírófesültségekből sármaó belső erők eredője és a külső terhelés követketében ébredő nírógénbevétel (melet mndg a súlpontra sámítunk) erőpárt alkot, am M () = T ()(e S + e C ) nagságú csavarógénbevételt oko. Ennek hatására fordul el a kerestmetset a nírás köépponton átmenő, tengellel párhuamos egenes körül. Ha meg akarjuk gátoln a köönséges hajlításnak ktett rúd elcsavarodását, akkor a M () nomatékot valamlen módon k kell egensúlon. Ennek egk legegserűbb módja, ha a külső terhelést úg vssük fel a rúdra, hog a belőle sármaó T () níróerő hatásvonala ne a kerestmetset súlpontján, hanem nírás köéppontján menjen át. Ilenkor a csavarónomaték eltűnk, mert T () és T τ () egensúl erőrendsert alkot. A U selvénre leveetett eredmének és megállapítások teljesen tetsőleges alakú, vékon falú, ntott vag árt, sőt, tömör kerestmetsetű selvénekre s általánosíthatók. Mnden kerestmetsetalaknál található eg - annak csak geometra méretetől függő - pont, a nírás köéppont, amelnek a a tulajdonsága, hog ha a nírógénbevétel hatásvonala aon átmeg, akkor a kerestmetset a rúdtengel körül nem fordul el, mert csavarógénbevétel nem lép fel. A nírás köéppont mndg rajta van a kerestmetset smmetratengelén, íg kétseresen smmetrkus alaknál egbeesk a geometra köépponttal (súlponttal). Amennben a nírógénbevétel hatásvonala átmeg a nírás köépponton, a köönséges hajlítás során felhalmoott rugalmas energát (5.10)-vel sámíthatjuk, egébként a csavarásból sármaó rugalmas energát s fgelembe kell venn Köönséges hajlításnak ktett prmatkus rúd alakváltoása Elősör a hajlítónomaték hatására fellépő alakváltoást vsgáljuk egenes és ferde hajlítás esetén, majd a nírásból keletkeő alakváltoással foglalkounk.
32 Egenes hajlításnak ktett rúd alakváltoása A prmatkus rúd terheléséről feltételeük, hog a hajlítónomaték síkja tartalmaa a kerestmetset valamelk fő másodrendű tengelét és a níróerő hatásvonala átmeg a nírás köépponton, aa csavarásmentes, egenes hajlításról van só. A hajlításból sármaó alakváltoását első lépésben a nírásból sármaó alakváltoás elhanagolásával sámítjuk. A ábrán látható kéttámasú tartó, melet a hel függvénében váltoó q() ntentású megosló erőrendserrel terhelünk, koordnátájú kerestmetsetében M () nagságú hajlítógénbevétel ébred. Ennek hatására a hossúságú rúdelem véglapja - a tsta hajlításnál megsmert módon - elfordulnak és egmással ϕ söget árnak be. A rúdelem meggörbül. A elem hossúságon a nomaték csak olan ks mértékben váltok, hog a görbület sugarat a tsta hajlításnál leveetett (5.57) kfejeéssel sámíthatjuk: 1 ( ) = M ( ) ρ E I A léneges különbség a, hog a görbület sugár a hajlítónomaték értékének megfelelően helről-helre váltok ábra
33 10 A semleges sík súlponton átmenő, meggörbült vonalát rugalmas sálnak neveük. E a alakváltoás során csak meggörbül, hossa aonban váltoatlan marad. Ha smerjük a rugalmas sál deformálódott alakjának egenletét, akkor smerjük a egés rúd hajlításból sármaó alakváltoását. A rugalmas sál egenletének meghatároásáho a 5.70/b. ábrán nagítva (és kcst torítva) krajoltuk a rúd hossúságú elemét a alakváltoás után állapotban. A görbület sugár és a rúdelem két végkerestmetsetének egmásho vsonított sögelfordulása köött a súlpont sál váltoatlan hossa teremt kapcsolatot: ϕ = d ϕ 1 lm = -, d ρ() a negatív előjel at feje k, hog potív hajlítónomaték esetén a görbület sugárral jellemett smuló kör köéppontja (0 pont) a rúdtengel - ránítású oldalára esk. Jelöljük a rugalmas sál tengellel párhuamos eltolódását, melet lehajlásnak neveünk, a koordnátájú kerestmetsetben u = u ()-vel. A hossúságú rugalmas vonaldarab elmodulás-növekméne a ábra alapján: u = sn ϕ ϕ, amelben a utolsó egenlőséget aért fogadhatjuk el, mert korább megállapodásunknak megfelelően csak ks alakváltoásokat engedünk meg, ϕ tehát csak kcs lehet, ks sögek snusa pedg jó köelítéssel megegek argumentumukkal. Rendeük a fent egenlőséget és képeük a 0 átmenetet: ϕ = du d Újabb sernt dfferencálással: ϕ d = d u. d majd (5.109) és (5.108) felhasnálásával: d u = u d d = - 1 () = - M '' ( ). ( ) = ϕ ρ EI E a össefüggés a hajlított rúd rugalmas sálának dfferencálegenlete. A dfferencálegenletet matematka meggondolásokkal s leveethetjük. Tudjuk, hog tetsőleges u = u () függvén tetsőleges pontjáho tartoó smulókör görbület sugarát a 1 u'' = 1 5 ρ( ) ( 1 + u' ), össefüggéssel sámíthatjuk. Tegük et egenlővé (5.108)-cal: u'' M ( ) =. 1, 5 ( 1 + u' ) EI
34 11 Ha meggondoljuk, hog u' = tg ϕ = ϕ, amelről feltételetük, hog olan kcs mennség, hog a egségnél lénegesen ksebb, akkor a előő kfejeés neveője jó köelítéssel eg, tehát éppen a (5.111)-es dfferencálegenlethe jutunk. A rugalmas sál dfferencálegenletének megoldása adja a rugalmas vonal egenletét. (5.111) eg hános másodrendű dfferencálegenlet, megoldását vsonlag egserűen kapjuk, feltéve, hog a nomaték függvén egmás után kétser ntegrálható: ϕ du () M () () = = - d + *, d ϕ 5.11/a EI u () = - M () d + ϕ * d + u *, 5.11/b EI ahol u* és ϕ * a kerület feltételekből (a rúd megfogás, lletve alátámastás körülméneből) meghatároható ntegrálás állandó. A első össefüggés a rugalmas vonalho húott érntő rántangensét adja, am a ks alakváltoások feltétele matt a kerestmetset tengel körül elfordulásával egenlő, ϕ = tg ϕ. Homogén, prmatkus rúdnál a EI hajlítómerevség állandó, eért a (5.11) kfejeésekben kemelhető a ntegráljel elé. Állandó hajlítómerevségű rúdnál derváljuk (5.111)-et kétser egmás után és vegük fgelembe a génbevételek köött fennálló statka össefüggéseket: 3 d u d 3 1 = - EI dm () = - T () d EI, d u d 4 = 1 EI d M () 1 = - d EI dt () = q() d EI A utolsó kfejeés at a magától értetődő tént feje k, hog a alakváltoás végső soron a külső terhelés függvéne. Ha a külső terhelésből ndulunk k, akkor a alakváltoás meghatároásáho eg negedrendű dfferencálegenletet kell megoldanunk. Célserűbb aonban a (5.11) össefüggésekből knduln, mert a hajlítónomatékot általában könnebb statka esköökkel meghatáron. A (5.110) és (5.111) dfferencálegenletek lneársak, am lehetővé tes a alakváltoás meghatároásánál a superpoícós elv alkalmaását. E at jelent, hog eg össetett külső terhelésű, köönséges hajlításnak ktett rúd hajlításból sármaó alakváltoás jellemő a résterhelések hatására kalakuló alakváltoások algebra össegésével nerhetők (feltéve, hog mnden résterhelésnek ugana a hajlítás síkja). A elv alkalmaása lehetővé tes, hog bo-
35 1 nolult terhelésű tartók alakváltoás jellemőt ún. tábláatos módserrel oldjuk meg. Ehhe eg olan tábláatra van sükség, amel különböő tartótípusokra (konoltartó, két támasú tartó, stb.) egserű terhelések esetén megadja a rugalmas sál egenletét, esetleg a alakváltoás jellemők sélső értéket, lletve aok helét. Ha eekből a résterhelésekből skerül össeállítan a sámítandó feladatnak megfelelő össetett terhelést, akkor a résalakváltoások algebra össege adja a tartó eredő alakváltoását. A fent célt solgáló tábláatokat műsak, slárdságtan össefoglalók, sakkönvek tartalmanak. A hajlításból sármaó alakváltoást O. Mohr eljárásával s meghatárohatjuk. E a módser lehetőséget ad a alakváltoások serkestésére s. A eljárás alkalmahatóságát a követkeő gondolatmenet alapoa meg. Irjuk fel a génbevételeket össekapcsoló, a statka egensúl feltételt kfejeő össefüggéseket ntegrál alakban: T () = - q()d + T*, 5.115/a M () = - [ q()d + T*]d + M*, 5.115/b ahol T* és M* ntegrálás állandók. Aonnal látsk, hog a (5.11) és a fent össefüggések matematkalag teljesen analógok, csupán a ntegrandus függvén fka tartalma más, a egk helen a külső teherntentás, a máskon a EI -sel módosított hajlítónomaték. A statkában megsmert níróerő- és nomatéksámítás, lletve serkestés (5.115) sernt egseres, majd kétseres ntegrálással egenértékű. Magától értetődő tehát a a gondolat, hog ha a tartóra a q() teherfüggvén helett a EI -sel ostott M () nomaték függvént tessük fel külső, megosló terhelésként és meghatárouk - formalag teljesen úg, mnt ténleges terhelésnél - a níróerő- és nomaték függvéneket (sámítással vag serkestéssel), akkor (5.11) értelmében a rúd kerestmetset-elfordulását és lehajlását, lletve eek függvénét vag ábráját kapjuk. Egetlen eg dologban les különbség, e pedg a ntegrálás állandók meghatároása. A alakváltoás sámításánál ugans nem a níróerőre és hajlítónomatékra, hanem a sögelfordulásra és lehajlásra vonatkoó kerület feltételeket kell kegenlíten. E gakorlatlag úg történk, hog a módosított nomaték függvént nem a eredet tartóra, hanem annak helettesítő tartójára tessük fel. A helettesítő tartót a eredetből alakítjuk k a csuklók és a merev befogások átheleésével. A átalakítás sempontja a, hog ahol a eredet tartó kerestmetsete elfordul és el s tolódk, ott a helettesítő tartón níró- és hajlítógénbevételnek s ébredne kell. E at jelent, hog a támasoknál csuklókat, a sabad végeken merev befogásokat, a merev befogásoknál sabad végeket kell létesíten. Néhán egserű tartótípus helettesítő tartóját mutatjuk be a ábrán. A 5.7. ábrán pedg két példát látunk a Mohr-eljárás alkalmaására.
2. Koordináta-transzformációk
Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,
RészletesebbenSTATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév)
STATIKA A minimum test kérdései a gépésmérnöki sak hallgatói résére (2003/2004 tavasi félév) Statika Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése (1) 3. A merev test fogalma (1) 4. A
Részletesebben3. Szerkezeti elemek méretezése
. Serkeeti elemek méreteése.. Serkeeti elemek méreteési elvei A EC serint a teherbírási határállapotok ellenőrése során a alábbi visgálatokat kell elvégeni: - Kerestmetseti ellenállások visgálata, ami
RészletesebbenSzilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR
Miskolci Egetem GÉÉMÉRNÖKI É INORMTIKI KR ilárságtan (Oktatási segélet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére) Késítette: Nánori riges, irbik ánor Miskolc, 2008. Een kéirat a Gépésmérnöki
Részletesebbenl = 1 m c) Mekkora a megnyúlás, ha közben a rúd hőmérséklete ΔT = 30 C-kal megváltozik? (a lineáris hőtágulási együtható: α = 1, C -1 )
5. TIZTA HÚZÁ-NYOMÁ, PÉLDÁK I. 1. a) Határouk meg a függestőrúd négetkerestmetsetének a oldalhossát cm-re kerekítve úg, hog a függestőrúdban ébredő normálfesültség ne érje el a σ e = 180 MPa-t! 3 m 1 C
RészletesebbenAcélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint
Acélserkeetek méreteése Eurocode 3 serint Gakorlati útmutató Dunai Lásló, Horváth Lásló, Kovács auika, Varga Géa, Verőci Béla, Vigh L. Gergel (a Útmutató jelen késültségi sintjén a Tartalomjegékben dőlt
RészletesebbenA ferde hajlítás alapképleteiről
ferde hajlítás alapképleteiről Beveetés régebbi silárdságtani sakirodalomban [ 1 ], [ ] más típusú leveetések, más alakú képletek voltak forgalomban a egenes tengelű rudak ferde hajlításával kapcsolatban,
RészletesebbenAz összetett hajlítás képleteiről
A össetett hajlítás képleteiről Beveetés A elemi silárdságtan ismereteit a tankönvek serői általában igekenek úg kifejteni, hog a kedő sámára se okoanak komolabb matematikai nehéségeket. A húásra / nomásra
RészletesebbenMechanika. III. előadás március 11. Mechanika III. előadás március / 30
Mechanika III. előadás 2019. március 11. Mechanika III. előadás 2019. március 11. 1 / 30 7. Serkeetek statikája 7.2. Rácsos serkeet hidak, daruk, távveeték tartó oslopok, stb. 3 kn C 4 m 2 4 8 5 3 7 1
RészletesebbenProjektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria
Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.
Részletesebben3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN
ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül
Részletesebben15. Többváltozós függvények differenciálszámítása
5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =
RészletesebbenA VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI
A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI A projekt címe: Egségesített Jármű- és mobilgépek képés- és tananagfejlestés A megvalósítás érdekében létrehoott konorcium réstvevői: KECSKEMÉI FŐISKOA BUDAPESI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGUDOMÁNYI
RészletesebbenMűszaki Mechanika I. A legfontosabb statikai fogalmak a gépészmérnöki kar mérnök menedzser hallgatói részére (2008/2009 őszi félév)
Műsaki Mechanika I. A legfontosabb statikai fogalmak a gépésmérnöki kar mérnök menedser hallgatói résére (2008/2009 ősi félév) Műsaki Mechanika I. Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése
RészletesebbenKozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL
Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 008 0 Tartalomjegék. fejeet. tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések.. Függvének.3. másodrendű tenor fogalmának geometriai beveetése 5.4. Speciális
Részletesebben1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK
Gak 01 Mechanka. Szlárdságtan 016 01 Segédlet MECHNK. TNNYG SMÉTLÉSE Tartalom 1. MÁSODRENDŰ NYOMTÉK... 1. RÁCSOS TRTÓ.... GÉNYEVÉTEL ÁRÁK... 5. TÉREL TRTÓK GÉNYEVÉTEL ÁRÁ... 8 Ez a Segédlet a 015, 016
RészletesebbenTARTÓSZERKETETEK III.
TARTÓSZERKETETEK III. KERESZTETSZETEK ELLENÁLLÁSA + STABILITÁSI ELLENÁLLÁS 1 KERESZTETSZETEK ELLENÁLLÁSA 1.1 Csavarlukkal gengített köpontosan húott rúd 1. Egik sárán kapsolt köpontosan húott sögaél 1.
RészletesebbenHéj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok
Héj / leme hajlítási elméletek felületi fesültségek / élerők és élnomatékok Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a héj és a leme definícióját! Tanulja meg a superpoíció elvét és a membrán állapot
RészletesebbenA lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.
modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően
RészletesebbenMechanika. II. előadás március 4. Mechanika II. előadás március 4. 1 / 31
Mechanika II. előadás 219. március 4. Mechanika II. előadás 219. március 4. 1 / 31 4. Merev test megtámasztásai, statikai feladatok megtámasztás: testek érintkezése útján jön létre, az érintkezés során
RészletesebbenStatika gyakorló teszt I.
Statika gakorló teszt I. Készítette: Gönczi Dávid Témakörök: (I) közös ponton támadó erőrendszerek síkbeli és térbeli feladatai (1.1-1.6) (II) merev testre ható síkbeli és térbeli erőrendszerek (1.7-1.13)
Részletesebben2. Koordináta-transzformációk
Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,
RészletesebbenA szilárdságtan 2D feladatainak az feladatok értelmezése
A silárdságtan D feladatainak a feladatok értelmeése Olvassa el a ekedést! Jegee meg a silárdságtan D feladatainak csoportosítását! A silárdságtan (rugalmasságtan) kétdimeniós vag kétméretű (D) feladatai
Részletesebben5. Szerkezetek méretezése
. Serkeeek méreeése Hajlío, ömör gerinű gerendaarók és oso selvénű nomo rúd méreeési példái..1. Tömör gerinű gerendaarók méreeése.1.1. elegen hengerel gerendaarók Sükséges ismereek: - Keresmesei ellenállások
RészletesebbenMerev test mozgása. A merev test kinematikájának alapjai
TÓTH : Merev test (kbővített óraválat) Merev test mogása Eddg olyan dealált "testek" mogását vsgáltuk, amelyek a tömegpont modelljén alapultak E aal a előnnyel járt, hogy nem kellett foglalkon a test kterjedésével
RészletesebbenA lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait.
9 modul: A rugalmasságtan D feladatai 9 lecke: A D feladatok definíciója és egenletei A lecke célja: A tananag felhasnálója megismerje a rugalmasságtan D feladatainak elméleti alapjait Követelmének: Ön
RészletesebbenAcélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint
Aélserkeetek méreteése Euroode serint Gakorlati útmutató rásos tartó síkja h t t r h t Serők: Dunai Lásló, Horváth Lásló, Kovás auika, Verői Béla, Vigh L. Gergel Verió: 9.9.. Tartalomjegék. Beveetés....
RészletesebbenDr. Égert János Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN
Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN UNIVESITAS-GYŐ Nonprofit ft Gőr 9 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM GYŐ Írta: Dr Égert János Dr Nag Zoltán
RészletesebbenANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL. Oktatási segédlet
ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL Oktatási segédlet a Rugalmasságtan és Alkalmaott mechanika laboratóriumi mérési gakorlatokho a egetemi mesterképésben (MSc) réstvevő mérnökhallgatók
Részletesebben12. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.
1 EHNK-ZLÁRDÁGTN GYKORLT (kidolgota: dr Nag Zoltán eg adjunktus; Bojtár Gergel eg Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár) 11 Primatikus rúd össetett igénbevétele (nírás és hajlítás) dott: a 0,4 m, b 45 mm, F 1 kn,
RészletesebbenA szilárdságtan alapkísérletei III. Tiszta hajlítás
5. FEJEET silárdságtan alapkísérletei III. Tista hajlítás 5.1. Egenes primatikus rúd tista egenes hajlítása 5.1.1. Beveető megjegések.tista hajlításról besélünk, ha a rúd eg adott sakasa csak hajlításra
Részletesebben6. RUDAK ÖSSZETETT IGÉNYBEVÉTELEI
RUK ÖZETETT GÉNYBEVÉTELE Tönkremeneteli elméletek a) peiális eset: a fesültségi tenornak sak eg eleme nem nulla (pl rudak egserű igénbevételeinél), ϕ tt nins probléma, mert a anagjellemők eekre a egserű
RészletesebbenSZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)
SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A
RészletesebbenMatematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola
O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg
RészletesebbenMatematikai összefoglaló
Mtemt össefoglló Vetoro Ngon so oln mennség vn, mel nem ellemehető egetlen sámml. A len mennségre legegserű és mnden áltl ól smert péld, vlmel pontn helete téren. Amor táéoódun és eg pont heletét meg ru
RészletesebbenA fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként
A fő - másodrendű nomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként A Keresztmetszeti jellemzők című mappa első lakója eg ritkábban látható levezetést mutat be amel talán segít helesen elrendezni
Részletesebbenaz eredő átmegy a közös ponton.
M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár g közös ponton támadó koncentrált erők (centrális erőrendszer) Két erő eredője: = +, Több erő eredője: = + ++...+ n, az eredő átmeg a közös
RészletesebbenMECHANIKA I. - STATIKA. BSc-s hallgatók számára
ECHNK. - STTK BSc-s hllgtók sámár ECHNK. - STTK Tnkönv és jeget BSc-s hllgtók résére - - Dr. Glmbos rges echnk. Sttk tnkönv és jeget BSc-s hllgtók résére Írt és serkestette: Dr. Glmbos rges és Sándor
RészletesebbenEgzakt következtetés (poli-)fa Bayes-hálókban
gakt követketetés pol-fa Baes-hálókban Outlne Tpes of nference B method: exact, stochastc B purpose: dagnostc sngle-step, sequental DSS, explanaton generaton Hardness of exact nference xact nference n
RészletesebbenEUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei
Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők
Részletesebben(5) Mit értünk a szilárdságtanban a dinamikán? A szilárdságtanban a dinamika leírja a terhelés hatására a testben fellépő belső erőrendszert.
SZÉCHENY STVÁN EGYETE ECHANKA - SZLÁRDSÁGTAN ALKALAZOTT ECHANKA TANSZÉK Elméleti kérdések és válasok egetemi alapképésben (BS képésben) réstvevő mérnökhallgatók sámára () i a silárdságtan tárga? A silárdságtan
RészletesebbenMechanika II. Szilárdságtan
echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt
RészletesebbenGyakorló feladatok a 2. zárthelyihez. Kidolgozott feladatok
Gakorló feladatok a. zárthelihez Kidolgozott feladatok. a) Határozzuk meg a függesztőrúd négzetkeresztmetszetének a oldalhosszát cm-re kerekítve úg, hog a függesztőrúdban ébredő normálfeszültség ne érje
RészletesebbenStatika gyakorló teszt II.
Statika gakorló teszt II. Készítette: Gönczi Dávid Témakörök: (I) Egszerű szerkezetek síkbeli statikai feladatai (II) Megoszló terhelésekkel kapcsolatos számítások (III) Összetett szerkezetek síkbeli statikai
RészletesebbenA végeselem programrendszer általános felépítése (ismétlés)
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 1. MECHANIKA-VÉGESELEM MÓDSZER ELŐADÁS (kdolgozta: Szüle Veronka eg. ts.) IX. előadás A végeselem rogramrendszer általános feléítése (smétlés) A végeselem
RészletesebbenIdőszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 65 percre lesz szüksége.
4. modul: Rudak igénbevételei, igénbevételi ábrái 4.2. lecke: Igénbevételi ábrák, igénbevételi függvének lecke célja: tananag felhanálója megimerje: a rudak igénbevételi ábráit, megrajoláuk gondolatmenetét;
RészletesebbenÁRAMLÁSTAN ALAPJAI. minimum tételek szóbeli vizsgához. Powered by Beecy
ÁRAMLÁSTAN ALAPJAI minimum tételek sóbeli isgáho Powered b Beec Minimum tételek sóbeli isgáho 1. tétel. Írja fel a foltonossági tétel integrál alakját, és magaráa el, milen fiikai alapelet feje ki. Hogan
RészletesebbenStatika. Miskolci Egyetem. (Oktatási segédlet a Gépészmérnöki és Informatikai Kar Bsc levelez½os hallgatói részére)
iskolci Egetem GÉPÉSZÉRNÖKI ÉS INORTIKI KR Statika (Oktatási segédlet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc levele½os hallgatói résére) Késítette: Sirbik Sándor, Nándori riges ½usaki echanikai Intéet iskolc,
Részletesebbenhajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.
5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó
RészletesebbenVASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, 2001. május hó
BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke VASBETON LEMEZEK Oktatási segédlet v1.0 Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas Görg Budapest, 001. május
RészletesebbenMEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG
Dr. Óvári Gula 1 - Dr. Urbán István 2 MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KILKÍTÁS 3 cikk(soroatban)ben a merev sárnú repülőgépek veérsík rendserinek terveését és építését követheti nomon lépésről
RészletesebbenElektromágneses hullámok
KÁLMÁN P.-TÓT.: ullámok/4 5 5..5. (kibőíe óraála) lekromágneses hullámok elekromágneses elenségek árgalásánál láuk, hog áloó mágneses erőér elekromos erőere (elekromágneses inukció), áloó elekromos erőér
RészletesebbenA statika és dinamika alapjai 11,0
FA Házi feladatok (A. gakorlat) Adottak az alábbi vektorok: a=[ 2,0 6,0,2] [ 5,2,b= 8,5 3,9] [ 4,2,c= 0,9 4,8] [,0 ],d= 3,0 5,2 Számítsa ki az alábbi vektorokat! e=a+b+d, f =b+c d Számítsa ki az e f vektort
RészletesebbenÍVHÍDMODELL TEHERBÍRÁSA: KÍSÉRLETI, NUMERIKUS ÉS SZABVÁNYOS EREDMÉNYEK
ÍVHÍDODELL TEHERBÍRÁSA: KÍSÉRLETI, UERIKUS ÉS SZABVÁYOS EREDÉYEK Dunai Lásló * - Joó Attila Lásló ** RÖVID KIVOAT A Dunaújvárosi Duna-híd terveése kapcsán a BE Hidak és Serkeetek Tansékén végrehajtottunk
Részletesebben13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai
Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk
RészletesebbenNemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése
Mûhel Tóth Zoltán docens, Károl Róbert Főskola E-mal: zol@karolrobert.hu Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése A nemlneárs regresszós és trendfüggvének llesztésekor számos esetben alkalmazzuk
RészletesebbenKERESZTMETSZETI JELLEMZŐK
web-lap : www.hild.gor.hu DEME FERENC okl. építőmérnök, mérnöktanár e-mail : deme.ferenc1@gmail.com STATIKA 50. KERESZTMETSZETI JELLEMZŐK A TARTÓK MÉRETEZÉSE SORÁN SZÁMOS ESETBEN SZÜKSÉGÜNK VAN OLYAN ADATOKRA,
RészletesebbenAcélszerkezetek I. Gyakorlati óravázlat. BMEEOHSSI03 és BMEEOHSAT17. Jakab Gábor
Acélszerkezetek I. BMEEOHSSI0 és BMEEOHSAT17 Gakorlati óravázlat Készítette: Dr. Kovács Nauzika Jakab Gábor A gakorlatok témája: 1. A félév gakorlati oktatásának felépítése. A szerkezeti acélanagok fajtái,
Részletesebben. Vonatkoztatási rendszer z pálya
1. Knemaka alapfogalmak. A pála, a sebesség és a gorsulás defnícója. Sebesség, és gorsulás lokáls koordnáá. Mogás leírása különböő koordnáa-rendserekben. A knemaka a mogás maemaka leírása, a ok felárása
RészletesebbenGEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA
GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA 57. ÉVFOLYAM 5 5. SZÁM A Eötvös-nga mérések geodéa célú hasnosításának helete Magarorságon Dr. Völges Lajos egetem docens,, dr. Tóth Gula egetem docens, dr. Csapó Géa saktanácsadó
RészletesebbenAtomfizika előadás 4. Elektromágneses sugárzás október 1.
Aomfka előadás 4. lekromágneses sugárás 4. okóber. Alapkísérleek Ampere-féle gerjesés örvén mágneses ér örvénessége elekromos áram elekromos ér váloása Farada ndukcós örvéne elekromos ér örvénessége mágneses
RészletesebbenY 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete.
zilárdságtan mintafeladatok: tehetetlenségi tenzor meghatározása, a tehetetlenségi tenzor főtengelproblémájának megoldása két mintafeladaton keresztül Először is oldjuk meg a gakorlatokon is elhangzott
RészletesebbenRelációk. Vázlat. Példák direkt szorzatra
8.. 7. elácók elácó matematka fogalma zükséges fogalom: drekt szorzat Halmazok Descartes drekt szorzata: Legenek D D D n adott doman halmazok. D D D n : = { d d d n d k D k k n } A drekt szorzat tehát
RészletesebbenMAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.
MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált
RészletesebbenVázlat. Relációk. Példák direkt szorzatra
7..9. Vázlat elácók a. elácó fogalma b. Tulajdonsága: refleív szmmetrkus/antszmmetrkus tranztív c. Ekvvalenca relácók rzleges/parcáls rrendez relácók felsmere d. elácók reprezentálása elácó matematka fogalma
Részletesebben= és a kínálati függvény pedig p = 60
GYAKORLÓ FELADATOK 1: PIACI MECHANIZMUS 1. Adja meg a keresleti és a kínálati függvének pontos definícióját! Mikor beszélhetünk piaci egensúlról?. Eg piacon a keresletet és a kínálatot a p = 140 0, 1q
RészletesebbenAz Eötvös-inga mérések geodéziai célú hasznosításának helyzete Magyarországon
A Eötvös-nga mérések geodéa célú hasnosításának helete Magarorságon Dr. Völges Lajos egetem docens,, dr. Tóth Gula egetem docens, dr. Csapó Géa saktanácsadó 3 Sabó Zoltán saktanácsadó 3, BME Általános-
RészletesebbenA feladatsorok összeállításánál felhasználtuk a Nemzeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I III. példatárát.
Oros Gyula, 00. november Emelt sintű érettségi feladatsor Össeállította: Oros Gyula; dátum: 00. október A feladatsorok össeállításánál felhasnáltuk a Nemeti Tankönyvkiadó RT. Gyakorló és érettségire felkésítő
RészletesebbenAcélszerkezeti mintapéldák az Eurocode szabványhoz,
Budapesi Műsaki Egeem Acélserkeeek Tansék Acélserkeei minapéldák a Eurocode sabvánho, angol nelvű minapéldák alapján Fordíoa: Hegedűs Krisián Javíoa: Dr. Iváni Miklós. javío váloa 999. május 5. . Eurocode
RészletesebbenAz F er A pontra számított nyomatéka: M A = r AP F, ahol
Sécheni István Egetem M saki Tudománi Kar lkalmaott Mechanika Tansék LKLMZTT MECHNIK () Mi a mechanika tárga? Elméleti kérdések és válasok MSc képésben réstvev mérnök hallgatók sámára nagi rendserek (testek)
RészletesebbenMűszaki mechanika gyakorlati példák 1. hét: Közös ponton támadó erőrendszer síkban, kötélerők számítása
Műsaki mechanika gakorlati példák. hét: Köös ponton támadó erőrendser síkban, kötélerők sámítása. ábrán látható G = 22 N súlerejű lámpát fújja a sél. Ennek hatására a kötél a függőlegestől β = 2 -ban tér
RészletesebbenJAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot
RészletesebbenA szilárdságtan alapkísérletei I. Egyenes rúd húzása, zömök rúd nyomása
3. FEJEZET silárdságtan alapkísérletei I. Egenes rúd húása, ömök rúd nomása 3.. alapkísérletek célja Hétkönapi megfigelés, hog uganaon silárd test alakváltoásainak mértéke függ a testet terhelő erőrendsertől.
RészletesebbenTéma: A szerkezeti acélanyagok fajtái, jelölésük. Mechanikai tulajdonságok. Acélszerkezeti termékek. Keresztmetszeti jellemzők számítása
1. gakorlat: Téma: A szerkezeti acélanagok fajtái, jelölésük. echanikai tulajdonságok. Acélszerkezeti termékek. Keresztmetszeti jellemzők számítása A szerkezeti acélanagok fajtái, jelölésük: Ádán Dulácska-Dunai-Fernezeli-Horváth:
RészletesebbenLeggyakoribb fa rácsos tartó kialakítások
Fa rácsostartók vizsgálata 1. Dr. Koris Kálmán, Dr. Bódi István BME Hidak és Szerkezetek Tanszék Leggakoribb fa rácsos tartó kialakítások Változó magasságú Állandó magasságú Kis mértékben változó magasságú
Részletesebben- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége.
2 LPFGLK mechnk fk egk (klsskus) résterülete mechnk tárg: testek (ng pontok ng pontrendserek) heletváltottó mogásnk és eeket létrehoó htásoknk (erőknek) vsgált vsgált testek hlmállpot sernt besélhetünk:
RészletesebbenF.I.1. Vektorok és vektorműveletek
FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg
Részletesebben2.2. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK EGYETEMI MÉRNÖKHALLGATÓK SZÁMÁRA
2.2. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ÉS VÁLSZK EGYETEMI MÉRNÖKHLLGTÓK SZÁMÁR (1) Mi a mechanika tága? nagi endseek (testek) heletváltotatással jáó mogásainak és a eeket létehoó hatásoknak (e knek) a visgálata. heletváltoást
RészletesebbenEXPONENCIÁLIS EGYENLETEK
Sokszínű matematika /. oldal. feladat a) = Mivel mindegik hatván alapja hatván, ezért átírjuk a -et és a -ot: = ( ) Alkalmazzuk a hatván hatvána azonosságot! ( ) = A bal oldalon az azonos alapú hatvánok
RészletesebbenAz elektromos kölcsönhatás
TÓTH.: lektrosztatka/ (kbővített óravázlat) z elektromos kölcsönhatás Rég tapasztalat, hogy megdörzsölt testek különös erőket tudnak kfejten. Így pl. megdörzsölt műanyagok (fésű), megdörzsölt üveg- vagy
RészletesebbenEgy feltételes szélsőérték - feladat
Eg feltételes sélsőérté - feladat A most öveteő feladattal már régen találotam; most újra elővesem. Ami lepő, a a, hog a 80 - as éve elején történt találoás óta sehol nem uant fel, pedig jócsán hordo tanulságoat.
Részletesebben- Anyagi pontrendszer: anyagi pontok halmaza / összessége.
LFGLK mechnk fk egk (klsskus) résterülete mechnk tárg: testek (ng pontok ng pontrendserek) heletváltottó mogásnk és eeket létrehoó htásoknk (erőknek) vsgált vsgált testek hlmállpot sernt besélhetünk: -
RészletesebbenFizika A2E, 1. feladatsor
Fiika AE, 1. feladatsor Vida Görg Jósef vidagorg@gmail.com 1. feladat: Legen a = i + j + 3k, b = i 3j + k és c = i + j k. a Mekkora a a, b és c vektorok hossa? b Milen söget ár be egmással a és b? c Mekkora
RészletesebbenRobottechnika II. 1. Bevezetés, ismétlés. Ballagi Áron Automatizálási Tanszék
Robottechnika II. 1. Beveetés, ismétlés Ballagi Áron Automatiálási Tansék Bemutatkoás Dr. Ballagi Áron tansékveető-helettes, egetemi docens Automatiálási Ts. C71, 3461 Autonóm és Intelligens Robotok Laboratórium
Részletesebben9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!
HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem
RészletesebbenMatematika szintfelmérő szeptember
Matematika szintfelmérő 015. szeptember matematika BSC MO 1. A faglaltok éjszakáján eg közvéleménkutatásban vizsgált csoport %-ának ízlett az eperfaglalt, 94%-ának pedig a citromfaglalt. A két gümölcsfaglalt
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat, megoldások
Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,
RészletesebbenSzabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .
Szabadsugár Tekintsük az alábbi ábrán látható b magasságú résből kiáramló U sebességű sugarat. A résből kiáramló és a függőleges fal melletti térben lévő foladék azonos. A rajz síkjára merőleges iránban
Részletesebben1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.
Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)
RészletesebbenMásodfokú függvények
Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú
Részletesebben7. Kétváltozós függvények
Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és
Részletesebben10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET
.. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.
Részletesebben10. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.
10.1. Ferde hjlítás 10. ECHNK-ZLÁRDÁGTN GYKORLT (kidolgot: dr. Ng Zoltán eg. djunktus; ojtár Gergel eg. Ts.; Trni Gábor mérnöktnár.) dott: b 60 b 20 mm, mm, ( 40 j 120 k ) knm. Feldt: ) Htáro meg és sámíts
RészletesebbenMechanika című MSc tantárgy: TENGELYMÉRETEZÉS
ZÉHENY TVÁN EGYETE GÉPÉZÉRNÖ NORT É VLLOÉRNÖ R LLZOTT EHN TNZÉ ehanika ímű tantárg: TENGELYÉRETEZÉ felaat: őtengel méreteée feültégúra iolgoá: ott: eg körgűrű keretmetetű tartó (őtengel) veéle keretmetetének
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek
1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenTeljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
RészletesebbenTerhelés: Minden erőt egy terhelési esetben veszünk figyelembe.
71 Síkbeli rácsos tartó Adott: A serkeet geometriai méretei A rudak átmérője: d = 4 mm A anag acél: 5 N E =,1 1, ν =,3 mm A terhelés: F1 = F = kn, F 3 = 4 kn F 1 A 6 5m F F 3 1 m B Feladat: a) A serkeet
RészletesebbenFizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 9. hét. , ahol ρ a sűrűség (ami lehet helyfüggő is), és M = ρ dv az össztömeg. ϕ=104,45 d=95,84 pm !,!
Fiika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 9. hét Tömegköéppont (súlpont) Pontrendser esetén a m i tömegű, r i helvektorú tömegpontok tömegköéppontja a tömegekkel súloott átlagos helvektor: = =, ahol M
RészletesebbenA flóderes rajzolatról
A flóderes rajolatról Beveetés Ebben a dolgoatban vagy talán több ilyenben is at a célt igyeksünk megvalósítani, hogy matematikailag leírjuk a faanyag úgyneveett flóderes, más néven lángnyelv alakú rajolatát.
Részletesebben