Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 9. hét. , ahol ρ a sűrűség (ami lehet helyfüggő is), és M = ρ dv az össztömeg. ϕ=104,45 d=95,84 pm !,!

Átírás

1 Fiika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 9. hét Tömegköéppont (súlpont) Pontrendser esetén a m i tömegű, r i helvektorú tömegpontok tömegköéppontja a tömegekkel súloott átlagos helvektor: = =, ahol M = Σ m i a össtömeg. Kiterjedt test esetén térfogati integrállal sámolunk: = = ρ ρ = ρ, ahol ρ a sűrűség (ami lehet helfüggő is), és M = ρ dv a össtömeg. Impulus, -tétel, -megmaradás tétele m tömegű, v sebességű test impulusa p = m v [kg m/s] (vektor!) Impulustétel tömegpontra: F e = A impulus additív; pontrendser impulusa p öss = Σ (m i v i ) Impulustétel pontrendserre: F e,külső = ö (mivel a belső erők eredője érus) Impulus-megmaradás tétele: árt rendserben (aa ahol F e,külső = 0) p öss = konst. 9/1. Határouk meg a vímolekula tömegköéppontját! A kötéshoss 9,84 pm, a kötéssög 104,4. H Heleük el íg a vímolekulát. Akkor H1 = d sin(ϕ/2) = 9,84 sin(104,4 /2) = 7,7 pm H1 = 0 m H1 = 1 H2 = d sin(ϕ/2) = 9,84 sin(104,4 /2) = 7,7 pm H2 = 0 m H2 = 1 O = 0 O = d cos(ϕ/2) = 9,84 cos(104,4 /2) = 8,71 pm m O = 16 M = m H1 + m H2 + m O = 18 O ϕ=104,4 d=9,84 pm H Tehát =,,! =0 és # =!,! = 2,18 pm. 9/2. Aonos kerestmetsetű és hossúságú, homogén vas és alumínium rudat a végüknél össeragastunk, majd a egéset a tömegköéppontjánál kettévágjuk. Menni les a két rés tömegének arána? 9 / 1

2 A sűrűségek: ρ Fe = 7,8 kg/dm 3, ρ Al = 2,7 kg/dm 3. Heleük el úg a rudakat, hog a vas 0-tól L-ig, a alumínium L-től 2L-ig tart. A rudak kerestmetsete A. A tömegköéppontot kisámolhatjuk 1.) úg, hog a rudakat helettesítjük a tömegköéppontjukba heleett tömegükkel: A simmetriát kihasnálva tudjuk, hog a eges rudak tömegköéppontja a feleőpontjukban van, vagis a vasé L/2 -nél, a alumíniumé 3L/2 -nél. A tömegek m Fe = ρ Fe A L = 7,8 A L ill. m Al = ρ Al A L = 2,7 A L. /( ρ )* +,/( ρ -. + ρ )* + ρ -. + = /( ρ )*,/( ρ -. ρ )* ρ -. =,!/(, (,/( L 0,771 L,!(, 2.) térfogati integrállal: Mivel a tengel mentén feksik a rúd, aért s = s = 0, és keressük s -t. A rudat a tengelre merőlegesen d vastagságú seletekre vágjuk, aa dv = A d ; dm = ρ A d, ahol 0 és L köött ρ=ρ Fe, L és 2L köött ρ=ρ Al. Fe Al 0 L 2L = )* )* = )* : : 4 7 )* ;3< ;3< 4 64 =,! (,=46 6,! (, A egik darab (m 1 ) tehát a vasrúd 0,771-ed rése, a másik darab (m 2 ) a vasrúd 1 0,771=0,2429-ed rése plus a egés alumíniumrúd, a két tömeg arána? 7 = )*, + =,!, 1, )*,(@(A ,!,(@(A (, 0,771 L. 9/3. L hossúságú rúd sűrűsége egik végén ρ 0, másik végén 2ρ 0, köben egenletesen váltoik. A rúd kerestmetsete mindenütt aonos. Hol van a súlpontja? A rúd a tengel mentén helekedik el 0-tól L-ig, a sűrűsége =0-ban ρ 0, =L-ben 2ρ 0, aa a sűrűsége függvénében ρ() = ρ 0 ( 1 + /L ). A súlpontjának koordinátája , ahol ρ A d= ρ G1+ 3 IA d=a ρ G+ 36 Id = =A ρ J = K =A ρ G I=Aρ 6 (, (, M= ρ A d tehát +7 M4 6 N =4 = +7 A L. 6 =A ρ G1+ 3 Id 9 / 2 =A ρ J+ 36 ( K =A ρ GL+ I=A ρ (, (,

3 9/4. 4 m hossú, 120 kg tömegű csónak egik végéből meg át a másikba eg 80 kg tömegű ember. Mennit modul el a csónak a vípartho visonítva, ha mogása a víben jó köelítéssel köegellenállás-mentesnek tekinthető? /1 tömegköépponti tétellel Mivel a köegellenállás elhanagolható, külső erő nem hat a csónak + ember rendserre, íg a tömegköéppont gorsulása érus, és mivel induláskor nem mogott a csónak, a tömegköéppont nem modulhat el a partho képest. m cs L = 4 m s d M s Sámoljuk ki a tömegköéppont helét: = S O PQR S TO U V = W QR S 6 U V =2,8 X W QR V W QR V vagis d = L s = 1,2 m attól a végétől, ahonnan indul a ember. (Perse sámolhattuk volna rögtön et is: S S TO = W QR W QR V Y = O PQR S 6 A ábráról látható, hog s = L 2d = 1,6 m. W QR V =1,2 X ) d /2 impulus-megmaradással Ha a csónak mogása a víben köegellenállás-mentesnek tekinthető, akkor a csónak + ember rendserre a külső erők eredője érus, tehát a impulusuk össege állandó; méghoá érus, mert kiinduláskor álltak. A csónak s távolságot modul el a partho visonítva t idő alatt (amíg a ember átsétál egik végéből a másikba), aa sebessége v = s/ t; köben a ember (L-s) távolságot modul el a partho képest a ellenkeő iránba, aa sebessége V = (L s)/ t = (s L)/ t. 0 = m cs v + MV = m cs s/ t + M (s L)/ t s = L M/(M+m cs ) = 1,6 m. 9/. 30 kg tömegű súrlódásmentes kiskocsin 40 kg tömegű gerek ül, és van még a kocsin 2 db kg tömegű tégla. A kocsi sebessége 2 m/s. A gerek eldobja elősör a egik téglát menetiránba, majd a másikat ellenkeő iránba. A téglákat a kocsiho képest m/s sebességgel dobja el. a) Mekkora les a kocsi sebessége a második tégla eldobása után? b) És mekkora les a kocsi sebessége akkor, ha a első téglát dobja hátrafelé és a másodikat előrefelé? A kocsi+gerek tömege M = = 70 kg, a tégláké m 1 = m 2 = m = kg, a kiindulási sebesség v 0 = 2 m/s, a tégla relatív sebessége v r = m/s. a) A impulus-megmaradás a első tégla kidobására, ha előrefelé dobja: (M+2m) v 0 = m (v 0 +v r ) + (M+m) v 1a, ahol v 1a a kocsi sebessége a első tégla kidobása után v 1a = v 0 m/(m+m) v r ; a második tégla kidobására, ha hátrafelé dobja: (M+m) v 1a = m (v 1a v r ) + M v 2a, ahol v 2 a kocsi sebessége a második tégla kidobása után v 2a = v 1a + m/m v r = v 0 + m 2 /(M(m+M)) v r ; 9 / 3

4 behelettesítve v 1a = /3 1,667 m/s, v 2a 2,024 m/s. b) Ha a első téglát dobja hátrafelé: (M+2m) v 0 = m (v 0 v t ) + (M+m) v 1b, ahol v 1b a kocsi sebessége a első tégla kidobása után v 1b = v 0 + m/(m+m) v r ; és a másodikat előrefelé: (M+m) v 1b = m (v 1b +v t ) + M v 2b, ahol v 2b a kocsi sebessége a második tégla kidobása után v 2b = v 1b m/m v r = v 0 m 2 /(M(m+M)) v r ; behelettesítve v 1b = 7/3 m/s, v 2b 1,976 m/s. Vegük ésre, hog mivel a b) esetben mindkétser ellentétes iránba dobta a téglákat, mint a a) esetben, nem kell újra felírni a egenleteket, hanem hasnálhatjuk a a) rés képleteit úg, hog v r értékére + m/s helett m/s -ot helettesítünk be. Általánosabb a megoldás, ha a megfelelő előjelet mindig a v r -nél hasnáljuk és nem a képletbe írjuk be, aa első tégla: (M+2m) v 0 = m (v 0 +v r ) + (M+m) v 1 v 1 = v 0 m/(m+m) v r, ha előre dobta, v ra = + m/s v 1a = 2 1/3 = /3 m/s; ha hátra dobta, v rb = m/s v 1b = 2 + 1/3 = 7/3 m/s; második tégla: (M+m) v 1 = m (v 1 +v t ) + M v 2 v 2 = v 1 m/m v r, ha hátra dobta, v ra = m/s v 2a = /3 + /14 2,024 m/s; ha előre dobta, v rb = + m/s v 2b = 7/3 /14 1,976 m/s. 9/6. Határouk meg eg homogén lemeből kivágott síklap súlpontjának heletét, ha annak alakja a) félkör; b) deréksögű háromsög; c) általános háromsög; d) α nílássögű körcikk! a) A leme vastagsága legen D, íg a sűrűség Z= Simmetria miatt s = 0; keressük s -et. Descartes-koordinátarendserben: A félkört seleteljük fel a ábrán látható módon: dv = D 2* d = D 2 R ( ( d 37 = g 37d ( e6 f e V /( [ 6 \ ]. e 6 h R( ( d = e 6 h J, i( (,/( K = h e= R e 6,,h Polárkooordináta-rendserben: dv = D r dϕ dr, a integrálási határok ϕ-re: π/2 +π/2; = r cosϕ. = ( g mπ/6 37 j nπ/6 kl%ϕ 7 d j ϕj = = ( 7 e π/( e 6 h r( ;sinϕ< fπ/( dr= r( 2 e 6 h ( e e π/( e 6 h r( G cosϕ dϕi dr= fπ/( e 6 h Jj= K = h e= R. e 6,,h * d R dr dϕ ϕ r dϕ R 9 / 4

5 9/7. Hol helekedik el eg homogén tömegeloslású kúp súlpontja? Seleteljük fel a kúpot a simmetriatengelére a tengelre merőlegesen korongokra. Eg korong magassága d, sugara =0-nál R, =h-nál 0, aa r = = R (1 /h) ; térfogata dv = 2 π d = R 2 (1 /h) 2 π d. A kúp sűrűsége ρ = m / V kúp = m /(R 2 πh/3). A kúp tömegköéppontjának koordinátája v w v Tv u = W =, v 6 (v= =J6 (, = u,w W [ 6 \ i( G1 v I( { Yu= =, u h u ( Yu =, h ( u 2hu ( +u, Yu = = = + K = h r R d Gakorló feladatok h-ra 9/8. A törpök fel seretnének lépni a cirkusban. A mutatván a les, hog gúlát alkotnak magukból ahog a képen láthatjuk. A kerestek a eges törpök tömegköéppontját jelölik. A törpök a alsó sorban balról jobbra: Törperős 1, kg; Törpapa 1,2 kg; Tréfi 1,2 kg; a köépső sorban: Okoska 0,9 kg; Törpilla 1,1 kg; legfelül Törpicur 0, kg. Hol van a hat törp tömegköéppontja? Milen messe van Törpapa tömegköéppontjától? Válassuk Törpapa tömegköéppontját origónak, akkor a eges törpök helvektorai (cm-ben): Törperős ( 10;0), Törpapa (0;0), Tréfi (10;0), Okoska ( ;20), Törpilla (;20), Törpicur (0;30). A hat törp tömegköéppontja: r s = (m 1 r 1 + +m 6 r 6 )/(m 1 + +m 6 ) a vísintes koordinátája s = ( 10 1,+0 1,2+10 1,2 0,9+ 1,1+0 0,)/(1,+1,2+1,2+0,9+1,1+1,) = 2/ 6,4 = 0,312 cm a függőleges koordinátája s = (0 1,+0 1,2+0 1,2+20 0,9+20 1,1+30 0,)/(1,+1,2+1,2+0,9+1,1+1,) = / 6,4 = 8,937 cm A tömegköéppont távolsága Törpapától Y =0,312 ( +8,937 ( 8,60 cm 9 /

6 9/9. A ábrán látható módon eg 0,8 m hossú, 0,6 kg tömegű rúd végéhe eg 10 cm sugarú, 0,2 kg tömegű korongot erősítettünk. A rúd+korong a másik végén átmenő vísintes tengel körül súrlódásmentesen elfordulhat. Hol van a rúd+korong tömegköéppontja? A rúd tömegköéppontja L/2-re van a tengeltől, a korongé L-re, a egésé pedig s = (½ 0,8 0,6+0,8 0,2)/(0,6+0,2) = 0, m -re van a tengeltől. 9/10. A 199-ös olimpia alkalmával történt, hog a egik rúdugró aranat akart csempésni a ugrórúdjában. A rúdja 4 cm átmérőjű és m hossú volt, és sénsál erősítésű kevlarból késült, aminek sűrűsége ρ k = 1, kg/dm 3. A versenbiottság aonban megvisgált minden rudat, és feltűnt nekik, hog a rúd 6,7 dkg-mal neheebb, mint a a fenti adatok alapján várható lenne, és ráadásul a súlpontja se a felénél van, hanem 1 cm-rel odébb. Hol, menni aran volt a rúdban, ha a a rúd teljes kerestmetsetében, eg darabban volt belerakva? A aran sűrűsége ρ Au = 19,3 kg/dm 3. Ha a egés rúd kevlarból lenne, a tömege m tk = ρ k V rúd = ρ k L r 2 π = ,02 2 π 9,42 kg lenne, de a arannal egütt a tömege m rúd 9,42 + 0,067 = 9,492 kg. Legegserűbb úg gondolkodnunk, hog két testünk van: eg tista kevlar rúd (teljes hossában, aa ott is, ahol a aran van), és a 6,7 dkg plus tömeg (ott, ahol a aran van), és a arandarabkának a tömegköéppontját vissa tudjuk sámolni abból, hog mennivel tolódott el a rúd tömegköéppontjának koordinátája a köepéhe képest. Tehát van m tk 9,42 kg, aminek a tömegköéppontja a rúd felénél van, és a plus tömeg, m = 0,067 kg, aminek ismeretlen a tömegköéppontja, és íg a teljes m rúd 9,492 kg tömegű rúd tömegköéppontja a végétől 2,1 m-re van: s = 2,1 = (, A,@(3,, amiből 3,917 m a rúd végétől, A,@A( vag s = 0,01 = 3,, amiből 1,417 m a rúd köepétől. A,@A( 9/ kg tömegű kötéltáncos súlpontja a kötél felett 1 m magasságban van. Uganeen magasságban tartja a keében lévő 6 m hossú, 4 kg tömegű merev rudat, melnek két végén levő 2 m-es fonálon eg-eg ólomgoló függ. Legalább milen tömegűeknek kell lenniük a golóknak ahho, hog a rendser (kötéltáncos + rúd + golók) súlpontja a kötél alá essék? (A rudat köépütt fogja, a 2 m távolság a rúdtól a goló köéppontjáig értendő.) 9 / 6

7 9/12. Határouk meg a hamisjátékos 1 mm élhossú, fából késült dobókockája súlpontjának heletét, ha egik oldalába 1 mm vastag vaslemet épített be. A fa sűrűsége 0, g/cm 3, a vasé 7,8 g/cm 3. 9/13. Jancsi ül eg kis kocsiban két téglával, és úg akarja elindítani a kocsit, hog a téglákat kidobja a kocsiból. Jancsi tömege 48 kg, a kocsié 12 kg, eg tégláé 4 kg. Jancsi a kocsiho képest 3 m/s-os sebességgel tudja eldobni a téglákat. A kocsi súrlódásmentesen mooghat. Mekkora les a sebessége a két tégla kidobása után, ha aokat a) egserre, b) egmás után dobja ki? impulus-megmaradást felírva, a tégla sebességét véve poitív iránnak a) ( ) 0 = (48+12) v v = 24/60 = 0,4 m/s b) ( ) 0 = ( ) v 1 v 1 = 12/64 = 0,187 m/s ( ) v 1 = 4 (v 1 +3) + (48+12) v 2 v 2 = ( 12 11,2)/60 = 0,387 m/s 9/14. Jancsi és Juliska állnak a jégen egmástól 12 m-re, fogják eg kötél két végét. a) Hol van a tömegköéppontjuk a őket össekötő egenes mentén, ha Jancsi 3 kg, Juliska 2 kg tömegű? Jancsi hirtelen elkedi húni a kötelet. Eg pillanat alatt felgorsulva mindketten súrlódásmentesen csúsni kedenek egmás felé állandó sebességgel. Jancsi sebessége 1, m/s. b) Menni Juliska sebessége? c) Milen távol lesnek egmástól, amikor Jancsi 3 m-t csúsott? Ütköésük tökéletesen rugalmatlan ütköésnek tekinthető (össekapaskodnak, nem erestik el egmást). A ütköésük 0,0 s-ig tartott. d) Menni les a köös sebességük? e) Menni Juliska ill. Jancsi impulusának váltoása? f) Mekkora erő hatott Juliskára ill. Jancsira, ha feltessük, hog ütköéskor a kötük ható erő állandó volt? g) Hán g gorsulást jelentett e Juliskának ill. Jancsinak? a) Juliskától s = ( ) / (2+3) = 7 m-re, Jancsitól m-re. b) impulus-megmaradással (mivel a külső erők eredője érus), ha Jancsi sebessége poitív: m Jancsi v Jancsi + m Juliska v Juliska = 0 v Juliska = 2,1 m/s c) s Juliska / s Jancsi = v Juliska / v Jancsi, amíg Jancsi s Jancsi = 3 m-t tes meg, addig Juliska s Juliska = 4,2 m -t, tehát a távolság kötük d = 12 (3+4,2) = 4,8 m d/ impulus-megmaradással: m Jancsi v Jancsi + m Juliska v Juliska = 0 = (m Jancsi +m Juliska ) v köös v köös = 0 e) p Juliska = 2 ( 0 ( 2,1) ) = 2, kgm/s ; p Jancsi = 3 ( 0 1, ) = 2, kgm/s f) F Juliska = p Juliska / t = 2, / 0,0 = 100 N ; F Jancsi = p Jancsi / t = 2, / 0,0 = 100 N g) a Juliska = F Juliska / m Juliska = 100/2 = 42 m/s 2 = 4,2 g ; a Jancsi = F Jancsi / m Jancsi = 100/3 = 30 m/s 2 = 3,0 g. 9 / 7

8 9/1. Eg 7 kg-os lövedék pálájának legfelső pontján, a kilövés után 3 s-mal két darabra robban sét. A robbanás eg, a kilövési ponttól 1200 m távolságban tartókodó őrmester feje fölött történt, majd a robbanás után 1 s-mal eg 2 kg- os repesdarab a őrmester lába elé esett. A kilövés helétől milen távolságban keressék a másik repesdarabot? Mivel a kilövéstől a robbanásig 3 s telt el és ealatt 1200 m-t tett meg vísintesen a lövedék, vísintes sebessége v = v 0 cosα = d / t h = 1200 / 3 = 400 m/s. E les a sebessége a robbanáskor, a robbanás uganis a pála csúcspontján történik, amikor a repes függőleges sebessége érus: v = v 0 sinα - gt h = 0. Utóbbiból kisámítható a robbanás helének magassága: a lövedék kedősebességének függőleges komponense v 0 = v 0 sinα = gt h = 10 3 = 30 m/s volt, amivel h = (v 0 sinα) t h ½ g t h 2 = = 4 m. A robbanás után a m 1 = 2 kg tömegű repesdarab ebből a magasságból érkeett le t 1 = 1 s alatt, vagis h + v 10 t 1 ½ g t 1 2 = 0 v 10 = 40 m/s függőleges kedősebessége volt a robbanás után. A impulus-megmaradást felírva a robbanásra: M (v 0 cosα) i = m 1 v 10 k + m 2 v 2 v 2 = (M v 0 cosα) / m 2 i (m 1 v 10 ) / m 2 k = (7 400/) i (2 ( 40)/) k = 60 i + 16 k (m/s) les a kg tömegű darab kedősebessége. A helvektora r(t) = ( t) i + ( t t 2 ) k (m). Ebből ki tudjuk sámolni, hog mikor és hol ér földet: t t t 2 2 = 0 t 2 s alatt ér földet d 2 = t 2 = 4000 m távolságban a kilövés helétől. Nem h-feladatok 9/16. Eg háromsög három csúcsában egenlő tömegű golók vannak. Mutassuk meg, hog a három golóból álló pontrendser tömegköéppontja a háromsög súlpontjában helekedik el! 9/17. Határouk meg eg homogén félgömb súlpontjának heletét! 9/18. Eg egenes csonkakúp alaplapjának sugara R, fedőlapjáé r. Milen aránban ostja a súlpontja a magasságát? A csonkakúp anaga homogén. 9/19. A levegő sűrűsége a Z=Z ƒ formulával leírható módon függ a h magasságtól. ρ 0 = 1,2 kg/m 3, p 0 = 10 Pa. Milen magasan van eg egenletes kerestmetsetű levegőoslop tömegköéppontja? 9 / 8