Koordinátarendszerek

Átírás

1 Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai

2 Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli polár koordinátarendszer Kapcsolat a derékszögű és a polár koordináták között: x = r cos α y = r sin α r = x + tg ϕ = y x y

3 Koordinátarendszerek KO 3 Síkbeli ponthalmazok (görbék) előállításai Explicit (nyílt) előállítás Implicit (burkolt) előállítás Derékszögű koordinátákkal x y(x) (R R függvénnyel való előállítás) t ( x(t),y(t) ) f ( x,y(x) ) = 0 (R R függvénnyel való előállítás, melyet szokás paraméteres előállításnak is nevezni) Síkbeli polár koordinátákkal ϕ r(ϕ) t ( r(t), ϕ(t) ) f (ϕ,r(ϕ) ) = 0

4 Koordinátarendszerek KO 4 Példa: origó középpontú, R sugarú kör előállításai Explicit (nyílt) előállítás derékszögű koordinátarendszerben R R típusú függvénnyel y(x) = R x, x [ R, R] ( felső félkör) y(x) = R x, x [ R, R] ( alsó félkör)

5 Koordinátarendszerek KO 5 Példa: origó középpontú, R sugarú kör előállításai Implicit (burkolt) előállítás derékszögű koordinátarendszerben x + y(x) = R

6 Koordinátarendszerek KO 6 Példa: origó középpontú, R sugarú kör előállításai Explicit (nyílt) előállítás derékszögű koordinátarendszerben R R típusú függvénnyel ( paraméteres előállítás ) avagy: t (R cos t,r sin t), t [0,π] x(t) = R cos t y(t) = R sin t t [0,π] 0 (R cos0, R sin 0) = (R,0) π 4 R cos π, R sin 4 π 4 = R, R π R cos π, R sin π = (0,R)

7 Koordinátarendszerek KO 7 Példa: origó középpontú, R sugarú kör előállításai Explicit (nyílt) előállítás polár koordinátarendszerben R R típusú függvénnyel r(ϕ) = R, ϕ [0,π] (konstans függvény) Implicit előállítás polár koordinátarendszerben r(ϕ) R = 0, ϕ [0,π]

8 Koordinátarendszerek KO 8 Példa: origó középpontú, R sugarú kör előállításai Explicit (nyílt) előállítás polár koordinátarendszerben R R típusú függvénnyel ( paraméteres előállítás ) t (R,t), t [0,π] avagy: r(t) = R ϕ(t) = t t [0,π] 0 (R,0) π 4 R, π 4 π R, π

9 Koordinátarendszerek KO 9 Példa: (u,v) középpontú, R sugarú kör Explicit, paraméteres, előállítás derékszögű koordinátarendszerben: x(t)=u+r cost y(t)=v+r sint t [0,π] Implicit előállítás derékszögű koordinátarendszerben: (x u) + (y(x) v) = R

10 Koordinátarendszerek KO 10 Példa: (u,v) középpontú, a és b féltengelyű ellipszis Paraméteres, explicit előállítás derékszögű koordinátarendszerben: x(t)=u+a cost y(t)=v+b sint t [0,π] Implicit előállítás derékszögű koordinátarendszerben: (x u) a + (y v) b = 1

11 Koordinátarendszerek KO 11 Példa: archimedeszi spirális r(ϕ)=a ϕ, ϕ [0,π] r(ϕ)= ϕ, ϕ [0,π] Példa H = { (r,ϕ) 1 r 3, π/4 ϕ π/ }

12 Koordinátarendszerek KO 1 Példa: szívgörbe (kardioid) r(ϕ)=a(1+cosϕ), ϕ [0,π] r(ϕ)=1+cosϕ, ϕ [0,π] Példa: ciklois x(t) = a(t b sin t) y(t) = a(1 b cos t) x(t) = t sin t y(t) = 1 cos t t [0,6π] x(t) = t sin t y(t) = 1 cos t t [0,6π]

13 Koordinátarendszerek KO 13 Néhány térbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer x, y, z r, ϕ, Θ Térbeli (gömbi) polár koordinátarendszer Kapcsolat a derékszögű és a polár koordináták között: x = r sinθ cosϕ y = r sinθ sinϕ z = r cosθ

14 Koordinátarendszerek KO 14 Henger koordinátarendszer r, ϕ, z Kapcsolat a derékszögű és a henger koordináták között: x = r cosϕ y = r sinϕ z = z

15 Koordinátarendszerek KO 15 Térgörbék előállításai Derékszögű koordinátákkal Gömbi polár koordinátákkal Explicit (nyílt) előállítás t ( x(t), y(t), z(t) ) t ( r(t), ϕ(t), Θ(t) ) Henger koordinátákkal t ( r(t), ϕ(t), z(t) ) (mindhárom esetben R R 3 függvénnyel való előállításról van szó, melyet szokás paraméteres előállításnak is nevezni) Megjegyzés Térgörbék előállíthatók még két felület metszeteként is.

16 Koordinátarendszerek KO 16 Példa: egyenes előállítása derékszögű koordinátarendszerben Az r 0 =(x 0,y 0,z 0 ) ponton átmenő, v=(v 1,v,v 3 ) irányvektorú egyenes előállítása: t (x 0 +v 1 t, y 0 +v t, z 0 +v 3 t), t R avagy: x(t) = x 0 + v 1 t y(t) = y 0 + v t t R z(t) = z 0 + v 3 t

17 Koordinátarendszerek KO 17 Példa Az r(t) = R ϕ(t) = t z(t) = t röviden t (R, t, t ) függvény a henger koordinátarendszerben egy térbeli spirálist ad, melynek (konstans) R a sugara, 1 radián a forgási sebessége és 1 az emelkedési sebessége :

18 Koordinátarendszerek KO 18 Felületek előállításai Derékszögű koordinátákkal Explicit (nyílt) előállítás (x,y) z(x,y) (R R függvénnyel való előállítás) Implicit (burkolt) előállítás f ( x,y,z ) = 0 (u,v) ( x(u,v),y(u,v),z(u,v) ) (R R 3 függvénnyel való előállítás, melyet szokás paraméteres előállításnak is nevezni) Gömbi polár koordinátákkal (ϕ,θ) r(ϕ,θ) f (r,ϕ,θ ) = 0 (u,v) ( r(u,v), ϕ(u,v), Θ(u,v) )

19 Koordinátarendszerek KO 19 Példa: sík előállítása derékszögű koordinátarendszerben R R függvénnyel z(x,y) = c 1 x + c y + c 3 Példa: forgási paraboloid z(x,y) = x + y

20 Koordinátarendszerek KO 0 Példa: sík előállítása derékszögű koordinátarendszerben R R 3 függvénnyel Az r 0 =(x 0,y 0,z 0 ) ponton átmenő, a a=(a 1,a,a 3 ) és a b=(b 1,b,b 3 ) vektorokkal párhuzamos sík előállítása: avagy: (u,v) (x 0 +a 1 u+b 1 v, y 0 +a u+b v, z 0 +a 3 u+b 3 v), (u,v) R x(u,v)=x 0 +a 1 u+b 1 v y(u,v)=y 0 +a u+b v z(u,v)=z 0 +a 3 u+b 3 v (t,s) R

21 Koordinátarendszerek KO 1 Példa: origó középpontú gömb explicit előállítása derékszögű koordinátarendszerben R R függvénnyel z(x, y) = R x y, x + y R (a felső félgömb) z(x, y) = R x y, x + y R (az alsó félgömb)

22 Koordinátarendszerek KO Példa: origó középpontú, R sugarú gömb implicit előállítása derékszögű koordinátarendszerben x + y + z = R Példa: az (x 0,y 0,z 0 ) középpontú, R sugarú gömb implicit előállítása derékszögű koordinátarendszerben (x-x 0 ) + (y-y 0 ) + (z-z 0 ) = R

23 Koordinátarendszerek KO 3 Példa: az (x 0,y 0,z 0 ) középpontú, R sugarú gömb explicit előállítása derékszögű koordinátarendszerben R R 3 függvénnyel Az r 0 =(x 0,y 0,z 0 ) középpontú, R sugarú gömb előállítása: (u,v) (x 0 +R cosu sinv, y 0 +R sinu sinv, z 0 +R cosv) avagy: u [0,π], u [0,π] x(u,v)=x 0 + R cosu sinv y(u,v)=y 0 + R sinu sinv z(u,v)=z 0 + R cosv u [0,π], u [0,π]

24 Koordinátarendszerek KO 4 Példa: origó középpontú, R sugarú gömb explicit előállítása gömbi polár koordinátarendszerben (ϕ,θ) r(ϕ,θ) típusú függvénnyel: r(ϕ,θ) = R ϕ [0,π], Θ [0,π] (u,v) (r(u,v), ϕ(u,v), Θ(u,v)) típusú függvénnyel: r(u,v) = R ϕ(u,v) = u Θ(u,v) = v ϕ [0,π], Θ [0,π]