A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA I. KATEGÓRIA. Javítási-értékelési útmutató

Átírás

1 Oktatási Hivatal A 06/07 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA I KATEGÓRIA Javítási-értékelési útmutató feladat Három azonos méretű, pontszerűnek tekinthető, m, m, m tömegű test nyugszik vízszintes sima síkon Az m és az m tömegű test, továbbá az m és az m tömegű test vékony, rugalmasnak és nyújthatatlannak tekinthető, l hosszúságú fonállal van összekötve, kezdetben a két fonál α szöget zár be egymással (0 < α < 90 ) Az ábrának megfelelő módon az m tömegű r testet elindítjuk v sebességgel A v sebességvektor párhuzamos az m és az m testet összekötő fonállal a) Mekkora legyen az α szög, hogy az m tömegű test v = v nagyságú sebességgel induljon el, ha m = m, m = m, m = m? b) Határozzuk meg az egyes testek impulzusvektorának nagyságát és irányát a harmadik test indulása utáni pillanatban az a) részben kapott α szög esetén! Megoldás a) Az -es test v sebességgel halad mindaddig, amíg a fonál meg nem feszül Ebben a helyzetben a két fonál (80 - α) szöget zár be egymással Amikor a fonál megfeszül, akkor az m és a m tömegű testek között, mivel a fonál csak fonálirányú erőlökést tud létrehozni, fonálirányban tökéletesen rugalmas ütközés jön létre A testek fonálra merőleges impulzuskomponensei nem változnak Fonálirányban az m, m tömegű testek között lezajló ütközés utáni sebességeket az impulzus- és az energiamegmaradás törvényeiből kapjuk Bontsuk fel v-et kötélirányú és a kötélre merőleges irányú komponensekre! OKTV 06/07 forduló

2 () és () osztásával kapjuk Helyettesítsük ()-be! mv cosα + m 0 = m u + m u, () ( ) m v cosα + m 0 = mu + mu, m v cosα u = m u, ( ) ( cos ) m v α u = m u v cosα + u = u ( cosα ) mv cosα = m u + m v + u, ( ) v cosα m m v cosα m v cosα amelyből: u = = = m + m m A kapott kifejezés (4)-be való helyettesítésével kapjuk: v cosα u = v cosα = v cosα Most u-t bontsuk fel az m és az m tömegű testet összekötő fonál irányú, és arra merőleges komponensekre! Az -es és a -as testek tömege egyenlő, ezért a közöttük lezajló ütközés során a két test fonálirányban sebességet cserél, így v = u cosα = v cos α, iránya azonos v-gyel A feladat szerint = v v feltételnek kell teljesülnie, ezért v cos α = v, amelyből cos α =, amelyből a feladatunk megoldása α = 0 4 Megjegyzés: Megoldhatjuk a feladatot úgy is, hogy visszafelé haladunk, vagyis kihasználjuk az m tömegű test végső sebességét, amiből meghatározzuk a -es test sebességkomponenseit, majd ezekkel írjuk fel az -es és -es test ütközésére az impulzus és energia megmaradási törvényeket r r b) Mivel a külső erők eredője 0, ezért a rendszer összimpulzusa állandó, amely pö = mv r r Mivel m = m, valamint α = 0 esetén v = v, ezért p r = p r r r, így 0 ö p + p = Tehát: p = mv nagyságú és vektor irányú, p = mu sinα = m v cosα sinα = mv = mv nagyságú, és v vektorra merőleges 6 irányú, p azonos nagyságú, de ellentétes irányú p-vel, így p = mv () () (4) OKTV 06/07 forduló

3 Megjegyzés: Eljárhatunk úgy is, hogy külön-külön az ismert sebességekből meghatározzuk az impulzus vektorok nagyságát és irányát, és arról is meggyőződhetünk, hogy a vektori összegük mv r feladat Vízzel töltött, A = 4 dm keresztmetszetű tartály vízszintje alatt h = méter mélységben függőlegesen rögzített hőszigetelő hengerben az ábra szerint m = 6 kg tömegű, könnyen mozgó, szintén jó hőszigetelésű dugattyú zár el kezdetben y = 0,5 m hosszú légoszlopot A dugattyú vastagsága d = 0, m, keresztmetszetének területe A = dm A bezárt levegővel Q = 000 J hőt közlünk lassan a) Ábrázoljuk vázlatosan (numerikus adatok nélkül) a bezárt gáz állapotváltozását a p V síkon! b) Mekkora a dugattyú elmozdulása? c) Mekkora lett a levegő hőmérséklete, ha kezdeti hőmérséklete T = 00 K volt? (A külső légnyomás 0 5 Pa) Megoldás a) A dugattyú egyensúlyára a kezdőállapotban felírható: ( ) mg = ρ h + y + d A g + p A p A () 0, ahol p0 a tengerszint feletti légnyomás, amely menet közben nem változik Ugyanez a végső esetre ( ) mg = ρ h + y + y + y + d A g + p A p A () 0, ahol figyelembe kell venni, hogy a kezdeti h magasság megváltozik y-vel, ezzel a külső nyomás is megnő Ennek nagysága a hengerből kiszoruló víztérfogat és a tartályban megnövekedő térfogat egyenlőségéből számítható, és y-gyel kifejezhető: y A = y A A y = y A Az () és a () jobb oldalai egyenlőek: OKTV 06/07 forduló

4 egyszerűsítés után: ( ) ρ ( ) ρ h + y + d A g + p A p A = h + y + y + y + d A g + p A p A 0 0, ( ) ρ ( ) p p ρ y y g p p y y g = + = + + A nyomás lineárisan változik y-gyel, azaz a gáz térfogatváltozásával Így az állapotváltozást a p V síkon egy pozitív meredekségű egyenes adja meg () b) A gáz által végzett munkára a lineáris nyomásnövekedés miatt: p + p Wgáz = y A Beírva p értékét: p + p + ρ ( y + y ) g p + ρ ( y + y ) g Wgáz = y A = y A Az I főtétel szerint: E = Q W, gáz ahol Ezzel a főtétel így írható: f E = ( pv pv ) ( ) f p y + ρ y g + ρ y yg ( pv pv ) = Q A Írjuk be p-t p-gyel ()-ból, továbbá V-t és V-et az elmozdulásokkal és keresztmetszettel: OKTV 06/07 4 forduló

5 p a kezdeti adatokból numerikusan meghatározható, így már csak a keresett egyetlen ismeretlen ( y) maradt A bezárt levegő kezdeti nyomása legelső egyenletünkből: mg p = ρ ( h + y + d ) g + p0 A Ebben minden adat ismert, innen már csak numerikusan érdemes tovább számolni! A kezdeti nyomás nagysága: kg m 5 60 N 5 p = 0 ( m + 0,5 m + 0, m) Pa =,08 0 Pa m s 0 m Az öt szabadsági fokú levegőre egyenletünk így írható: 5 5 kg m 5,08 0 Pa 0 0 ( ) ( 0,5 m ) 0 m,08 0 Pa 0,5 m 0 m + y + y + y m s = 5 kg m kg m,08 0 Pa y ( y ) y y m s m s = 000 J 0 m A A + A 6 y = y = y beírásával y + y = y = y =,5 y : A A kg m 5,08 0 Pa 0 0,5 ( 0,5 m ) 0 m,08 0 Pa 0,5 m 0 m + y m s + y = 5 kg m kg m,08 0 Pa y ( y ) ,5( y ) m s m s = 000 J 0 m A numerikus számítások elvégzése után (még rendezés előtt): N Pa , 0 m + 0 m 700 J = 000 J 60 Pa 50 A kijelölt műveleteket elvégezve: N N 700 J + 75 N y N y ( ) 700 J 000 J 60 N 50 ( ) m = y m ( ) ( ) m y y y y Rendezve az egyenletet vegyes másodfokú egyenlethez jutunk: Osztva 5-szal: Megoldása: ( y ) y 000 = 0 ( y ) y 400 = y = m = 0,45 m 5 cm 80 b) A gáztörvény alapján: OKTV 06/07 5 forduló

6 ( ) ( ) p V p V p V p + ρ y + y g V + y A = = = = T T p V p y A T T T ( ) ( ) 5, , ,6 0 0,0+ 0, 45 0 = 00 K 46 K = 89 C 5,08 0 0,5 0 feladat Egy C = nf, egy C = nf és egy C = 6 nf kapacitású kondenzátort külön-külön 00 V feszültségre töltünk, majd sorba kapcsoljuk őket a szokásos módon: az kondenzátor negatív töltésű fegyverzetét összekötjük a kondenzátor pozitív töltésű fegyverzetével, és a kondenzátor negatív töltésű fegyverzetét összekötjük a kondenzátor pozitív töltésű fegyverzetével Ezután az kondenzátor pozitív töltésű fegyverzetét és a kondenzátor negatív töltésű fegyverzetét egy vezetékkel szintén összekötjük ( rövidre zárjuk ) Számítsuk ki a kondenzátorokra jutó feszültségeket és a kondenzátorok töltéseit az egyensúly beállta után! Megoldás alapján! Először számítsuk ki az egyes kondenzátorok elektromos töltéseit Q = C U q = C U = 0 9 F 00 V = 0 7 C, q = C U = 0 9 F 00 V = 0 7 C, q = C U = F 00 V = C Szükségünk lesz még a későbbiekben a három sorba kapcsolt kondenzátor eredő kapacitására: C = = nf = nf = nf = nf C C C A három töltött kondenzátor sorba kapcsolása azt jelenti, hogy ekvipotenciálisokká tettük az kondenzátor negatív töltésű, és a kondenzátor pozitív töltésű fegyverzetét; és hasonlóképpen a kondenzátor negatív töltésű fegyverzetét a harmadik kondenzátor pozitív töltésű fegyverzetével Ezért a kondenzátor-telepen 00 V feszültség jelenik meg OKTV 06/07 6 forduló

7 Jelentse Q, Q és Q a rövidre zárás utáni egyensúlyi állapotban az egyes kondenzátorok töltéseit! Az elektromos töltés megmaradásának értelmében a következők igazak: q + q = Q + Q, q + q = Q + Q, q q = Q Q Mivel mindhárom egyenletben mindig csak valamelyik két index szerepel a három közül, ez csak úgy teljesülhet mindhárom egyenlet esetében egyszerre, ha bármelyik kondenzátor töltése ugyanazzal a ΔQ töltésmennyiséggel változik a rövidre zárást követően: Q = q ΔQ, Q = q ΔQ és Q = q ΔQ Ugyanakkor a huroktörvény értelmében tudjuk, hogy a három kondenzátoron mérhető feszültségek algebrai összege zérus kell hogy legyen azaz Átrendezés után: Q Q Q C C C + + = 0, q Q q Q q Q C C C + + = 0 q q q Q Q Q + + = 0 C C C C C C Az első három tag külön-külön 00 voltot jelent, így Q + + = 00 V C C C A zárójelben lévő kifejezés a három sorba kapcsolt kondenzátor eredőjének reciproka Ez adataink szerint 0 9 F Ezért Így a kondenzátorok új töltése rendre: 00 ΔQ = 9 0 C = 0 7 C Q = q ΔQ = 0 7 C 0 7 C = 0 7 C, Q = q ΔQ = 0 7 C 0 7 C = 0, Q = q ΔQ = C 0 7 C = 0 7 C OKTV 06/07 7 forduló

8 A rajtuk megjelenő feszültségek rendre: 7 q 0 C U = = = -50 V, C 9 0 F ami annyit jelent, hogy az kondenzátor fegyverzeteinek polaritása megfordul az eredeti állapothoz képest q 0 C U = = = 0 V, 9 C 0 F azaz ennek a kondenzátornak a fegyverzetei ekvipotenciálisak Végül: 7 q 0 C U = = = 50 V C F OKTV 06/07 8 forduló

9 Értékelési útmutató feladat a) Fonalak által közvetített, egymás után lejátszódó ütközések felismerése 4 pont Az, tömegű testek közötti ütközésben a sebességek meghatározása 6 pont Az, tömegű testek közötti ütközésben a sebességek meghatározása pont Az α szög meghatározása pont b) Az egyes testek impulzusvektorainak megadása indoklással 6 pont Összesen: 0 pont feladat a) A folyamat ábrázolása az állapotsíkon pont b) A dugattyú egyensúlyára helyesen felírt két egyenlet pont A helyesen kiszámított nyomás a második állapotban pont A gáz munkájának helyes kifejezése pont Az I főtétel helyes alkalmazása pont p értékének helyes meghatározása pont A dugattyú elmozdulásának meghatározása 5 pont c) A gáz végső hőmérsékletének helyes kiszámítása pont Összesen 0 pont feladat Az egyes kondenzátorok eredeti töltéseinek meghatározása A töltésmegmaradás felírása a három csomópontra A huroktörvény felírása A számítások elvégzése pont 7 pont 7 pont 5 pont Összesen: 0 pont A megoldásban vázoltaktól eltérő számításokra, amelyek elvileg helyesek és helyes végeredményre vezetnek, az alkérdésekre adható teljes pontszám jár OKTV 06/07 9 forduló