A 2009/2010. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai. I. kategória

Átírás

1 A 9/. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi erseny első fordulójának feladatai és megoldásai I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható. Megoldandó az első három feladat és a 4/A és 4/B sorszámú feladatok közül egy szabadon választott. Mindkettő megoldása esetén a 4/A és 4/B feladat közül a több pontot elérő megoldást vesszük figyelembe. Minden feladat teljes megoldása pontot ér.. Egyenletesen süllyedő liftben végzett kísérlet során egy α o -os, m hosszú, súrlódásos lejtő tetejéről kezdősebesség nélkül lecsúszó kisméretű test megtette a lejtő hosszának felét, amikor elszakadt a lift tartókötele, és a liftszekrény szabadon zuhanni kezdett. Mennyi idő alatt ért a test ezután a lejtő aljára? A lejtő és a test közötti súrlódás együtthatója µ,5. Számoljunk g m/s -tel! A test az egyenletesen süllyedő liftben úgy mozog a lejtőn, mint a talajhoz képest álló kényszerfelületen mozogna. Ezért az s félútig tartó mozgásának végsebessége Ekkor a tartókötél elszakad, a rendszer szabadon esik, vagyis súlytalanná válik. Megszűnik a kényszererő, vagyis abban a pillanatban megszűnik a súrlódási erő. A lejtő és a test egymáshoz képest nem gyorsulnak, a test a hátralevő utat noha a talajhoz viszonyítva parabolaív-pályán teszi meg a lejtő síkjával párhuzamosan mozog egyenes vonalú egyenletes sebességgel, akkorával, amit a gyorsuló mozgásszakaszon a lejtőhöz viszonyítva elért. Így a hátralevő időre érvényes: azaz t ( ) v as g sinα µ cos α s. s s vt, s s,5 m g sin cos sin,5cos s ( α µ α) s g ( sinα µ cosα) m ( ),353 s. 9/ OKT. forduló

2 . Egy, dm keresztmetszetű, függőleges hengerben lévő 7 o C hőmérsékletű hidrogén gázt 5 kg tömegű, könnyen mozgó dugattyú választ el a kpa nyomású külső levegőtől. Az ábra szerint a dugattyúhoz egy 5 N/cm direkciós erejű rugót erősítettek, amelynek megnyúlása, m. Mekkora a hengerben lévő hidrogén sűrűsége?a nehézségi gyorsulást vegyük gm/s -nek. Adatok: keresztmetszet A,dm -3 m, hőmérséklet t7 o C, vagyis T3K, hidrogén moltömege: Mg/mol -3 kg/mol, dugattyú tömege m5kg, külső nyomás p k 5 Pa, rugó direkciós erő D5N/m, rugó megnyúlása y,m. Az állapotegyenlet alapján p m M T, ahol m a gáz tömege és a gázállandó. Mivel a sűrűség ρm/, az állapotegyenlet átírható a ρ pm T alakba. A gáz nyomása a dugattyú egyensúlyából kapható. A dugattyúra felfele hat a rugó erővel, továbbá a külső levegő F Dy5N F k p k A 5-3 NN erővel, vagyis felfele összesen 5N erő hat. A dugattyúra lefelé ható nehézségi erő 5N, így a gáz nyomásából származó erő FN kell legyen. A gáz nyomása pf/a/( -3) Pa5 4 Pa. Ezzel ρ5 4-3 /(8,3 3) kg/m 3,4 kg/m M tömegű kocka vízszintes asztalon nyugszik. A kocka tetején egy kisebb, m tömegű kocka helyezkedik el, amihez egy vízszintes rugó csatlakozik. A rugó másik vége falhoz rögzített, és kezdetben nyújtatlan. ízszintes irányú F erővel nyomni kezdjük az alsó kockát a fal felé. Az erőt úgy növeljük, hogy a testek állandó sebességgel mozogjanak. Abban a pillanatban, amikor a felső kocka megcsúszik az alsón, mondjuk meg 9/ OKT. forduló

3 a) Mekkora a rugó összenyomódása? b) Mekkora az F erő? Adatok: alsó tömeg M 3 kg; felső tömeg m 5 kg; a rugó direkciós ereje D 35 N/m; a csúszási súrlódási együttható az asztal és a nagy kocka között µ,6; tapadási súrlódási együttható a két kocka között µ,9, nehézségi gyorsulás g m/s. A testekre ható erőket az ábra mutatja. S F r mg N N S Mg F Mivel a mozgás sebessége a húzás során állandó, a testre ható erők eredője nulla, így N S F S + S N Mg+ N S N F r mg. A csúszási ill. a tapadási súrlódási erő A rugóerő pedig S S µ N µ. N Fr Dx, ahol x a rugó összenyomódása. Oldjuk meg a fenti egyenleteket arra az esetre amikor a felső kocka éppen megcsúszik, azaz S µ N. 9/ 3 OKT. forduló

4 Így valamint ( ) N Mg + mg F µ N+µ N µ M + m g+µ mg (,6 45 +,9 5 ) N 45N, F Dxµ mg r, ahonnan a rugó összenyomódása µ mg,9 5 N x,45m. D 35 N / m Tehát az a) kérdésre a válasz,45m, a b) kérdésre pedig 45N. 4/A Egy 5 nf-os kondenzátor átütési feszültsége, egy nf-osé, egy 6 nf-osé pedig 3. a) Legfeljebb hány volt feszültséget kapcsolhatunk arra a kondenzátor-rendszerre, amelyet úgy készítettünk, hogy az első két kondenzátort egymással sorba kötöttük, majd ezekhez a harmadikat párhuzamosan kapcsoltuk. b) Hány joule energia halmozódik fel a rendszerben, ha azt a megengedett maximális feszültségre töltjük, és c) ennek az energiának hány százaléka van az első kondenzátoron? a) Mivel a sorba kötött kondenzátorokon külön-külön egyforma nagyságú töltések vannak, először azokat a töltéseket kell meghatározni, amelyeket az első két kondenzátor tárolna abban az esetben, ha az átütési feszültségre töltenénk fel őket. Ezek rendre: Q C max 5 nf µc Q C max nf µc. A sorba kötött rendszeren (annak mindkét elemén) csak a kisebbik töltés (Q µc) lehet, hogy egyik kondenzátor se üssön át. A sorba kötött rendszerre kapcsolható maximális feszültséget a rendszer eredő kapacitásának C CC 5 C + C 5+ 4nF 9/ 4 OKT. forduló

5 ismeretében könnyen kiszámíthatjuk: Q C 5. C 4 F 6 max 9 A párhuzamosan kötött kondenzátorok fegyverzetei ekvipotenciálisak, ezért a harmadik kondenzátor átütési feszültsége hiába 3, az egész rendszerre is legfeljebb 5 kapcsolható. b) A rendszerben tárolt energia kiszámításához már szükségünk van az egész rendszer eredő kapacitására, amely Ezzel a tárolt energia C * C + C 3 (4 + 6) nf nf. 5, mj c) A sorba kötött kondenzátorokon a feszültség a kapacitásokkal fordított arányban oszlik meg. Mivel a kapacitások aránya : 4, ezért a 5 feszültségből jut az első kondenzátorra, (amely természetesen pontosan ennek a kondenzátornak az átütési feszültsége). Így az abban tárolt energia 5 9, mj Ez az egész rendszer energiájának 3 %-a. 4/B Egy feszültségforrásra sorosan kapcsolunk egy ismeretlen ellenállást és egy feszültségmérő műszert, ami ekkor,5 -ot jelez. Amennyiben az ellenállással két, az előzővel megegyező műszert kapcsolunk sorosan, akkor mindkettőn,5 -ot olvashatunk. A feszültségforrás belső ellenállásától eltekinthetünk. a) Mekkora feszültséget olvasnánk le három, sorba kapcsolt műszer esetén? b) Mekkora a feszültségforrás üresjárási feszültsége? Adatok:,5,,5. Alkalmazzuk Ohm-törvényét a teljes áramkörre mindhárom esetben: I I / 5 OKT. forduló

6 Az első két egyenleteket rendezzük: I , majd vegyük a hányadosukat: Jelöljük x-szel az + ( ) hányadost. Így az egyenletünk:. x x+ + x,5. a) Az első és harmadik egyenleteket rendezve: + 3, 3 3 majd a hányadosukat véve adódik, hogy + 3 x + 3 x + x+ x ,7. b) Az értéke a negyedik egyenletből: + x,5 3,75. ( ) 9/ 6 OKT. forduló

7 Pontozási útmutató a 9/. évi fizika OKT első fordulójának feladatmegoldásaihoz I. kategória észletes, egységes pontozás nem adható meg a feladatok természetéből következően, ugyanis egyegy helyes megoldáshoz több különböző, egyenértékű helyes út vezethet. A feladat numerikus végeredményével megközelítően azonos eredményt kihozó megoldó erre a részfeladatra pontot kap, amennyiben elvileg helytelen úton jut el. Fizikailag értelmes gondolatmenet estén a kis numerikus hiba elkövetése ellenére (a részfeladat terjedelmétől függően) vonható le.. feladat Az egyenletesen mozgó liftben a test végsebességének meghatározása Annak felismerése, hogy a szabadon eső lift (koordinátarendszer) az ún. súlytalanság állapotát valósítja meg, amelyben megszűnik a lejtő kényszerereje Annak felismerése és felhasználása, hogy ettől kezdve a test és lejtő relatív mozgása egyenes vonalú, egyenletes az előbb meghatározott sebességgel A hátralevő mozgásidő helyes kiszámítása (Megjegyzés: ha valaki a teljes menetidőt számolja ki, azt is el kell fogadni.). feladat Az állapotegyenlet felírása A sűrűség felírása A mólszám felírása A gáz sűrűségének kifejezése p, M, és T segítségével A dugattyúra ható rugóerő kiszámítása A légnyomásból származó erő kiszámítása A dugattyúra ható nehézségi erő megadása A gáz nyomásából származó erő kiszámítása A gáz nyomásának kiszámítása A sűrűség értékének kiszámítása pont pont pont pont pont pont pont pont 3 pont 3. feladat Az erők eredője nulla Mozgásegyenletek A tapadási és csúszási súrlódás felírása Az F erő kiszámítása A rugó összenyomódás kiszámítása Megjegyzés: Ha hiányzik a tapadási súrlódási erő indoklása, a 4 pontból csak pont jár. pont 8 pont 4 pont 4 pont pont 9/ 7 OKT. forduló

8 4./A feladat a) A C és a C kapacitású kondenzátorokban tárolt töltés kiszámítása az átütési feszültség használatával 3 pont Annak felismerése, hogy a sorba kötött rendszerben csak a kisebbik töltés lehet A sorba kötött részlet eredő kapacitásának kiszámítása pont Az egész rendszerre kapcsolható maximális feszültség kiszámítása pont b) Az egész rendszer eredő kapacitásának kiszámítása pont Az egész rendszerben tárolt elektrosztatikus energia kiszámítása pont c) Az első kondenzátorra jutó feszültség kiszámítása pont Az abban tárolt energia kiszámítása pont A kérdezett százalékos arány kiszámítása pont 4./B feladat Ohm törvényének felírása a teljes áramkörre mindhárom esetben Az áramerősségek kiküszöbölése, kifejezése a teljes áramkörre vonatkozó Ohm törvény segítségével Az hányados kifejezése az egyenletrendszerből, illetve kiszámolása 3 pont 3 pont 4 pont a) Az 3 feszültség kifejezése az egyenletrendszerből, illetve kiszámolása 3+ pont b) Az feszültség kifejezése az egyenletrendszerből, illetve kiszámolása 3+ pont 9/ 8 OKT. forduló