Oktatási Hivatal FIZIKA. II. kategória. A 2017/2018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 1. forduló. Javítási-értékelési útmutató

Átírás

1 Oktatási Hivatal A 2017/2018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 1. forduló FIZIKA II. kategória Javítási-értékelési útmutató 1. feladat. Az m tömeg, L hosszúságú, egyenletes keresztmetszet, vékony rúd egyik végénél (az ábrán látható módon) csuklóval csatlakozik egy tartály függ leges oldalához. A rudat a másik végénél a rá mer leges (elhanyagolható keresztmetszet és tömeg ) fonál a tartály falához képest α szögben tartja. a) Mekkora a fonálban ható K er? b) A tartályba annyi folyadékot öntünk, hogy a rúd hosszának 60 %-a benne legyen. A rúd és a fonál helyzete nem változik, a fonáler viszont 20 %-kal csökken. Hányszorosa a rúd anyagának s r sége a folyadék s r ségének? c) Hogyan változik a csuklót terhel er iránya (meredekebb, laposabb, nem változik) az üres kádban fellép höz képest? Megoldás. a) Kezdetben a rúdra három er hat: a K fonáler, az mg nehézségi er és a C csuklóer. Egyensúly lévén ezek vektori összege nulla, és bármely tengelyre vonatkozó forgatónyomatékaik összege is nulla. Legyen a tengely az O csuklón átmen, az ábra síkjára mer leges egyenes. OKTV 2017/ forduló

2 A csuklóer karja nulla, a fonáler é L, a nehézségi er é k = L 2 sin α. (1) Ezekkel KL = mg L sin α, vagyis 2 K = 1 mg sin α. (2) 2 b) A folyadékos esetben a változatlan nehézségi er, a megváltozott fonáler ( 0,8K) és a csuklóer mellett fellép még a rúdra ható F f felhajtóer, melynek hatásvonala a bemerül rész felénél metszi a rudat. A bemerül rész fele 0,3L, a kilógó 0,4L, így a metszéspont a forgástengelyt l 0,7L-re van. A felhajtóer karja (1) mintájára 0,7L sin α. Ezzel a forgatónyomatékokra vonatkozó egyenlet: 0,8KL + 0,7F f L sin α = 0,5mgL sin α. L-lel egyszer sítve, és K (2)-beli alakját behelyettesítve 0,4mg sin α + 0,7F f sin α = 0,5mg sin α. Összevonás és 0,1 sin α-val való egyszer sítés után 7F f = mg. Legyen a folyadék s - r sége ϱ f, a rúdé ϱ r, a rúd keresztmetszete A. Ezekkel kifejezve a felhajtóer t és a nehézségi er t, az el bbi egyenlet 7ϱ f 0,6LAg = ϱ r LAg. Egyszer sítés után ϱ r = 4,2ϱ f. Tehát a rúd anyagának s r sége 4,2-szerese a folyadék s r ségének. OKTV 2017/ forduló

3 c) A két esetre készítsük el az er k vektori ábráját Mivel a felhajtóer hetede a nehézségi er nek, így folyadékba merülve a függ leges vektor hossza 6/7 mg 0,86 mg. A fonál és a függ leges által bezárt szög a két esetben azonos, vagyis K és mg közbezárt szöge azonos 0, 8K és mg közbezárt szögével. Kicsinyítsük az els ábrát 0,8-szeresre (harmadik ábra, a kicsinyítés szögtartó), majd a jobb átláthatóság érdekében tegyük egymásra a második és harmadik ábrát (negyedik ábra). Az eredeti C er párhuzamos 0,8C-vel, C pedig meredekebb állású 0,8C-nél. Newton III. törvénye alapján az új csuklót terhel er C -vel egyenl nagyságú, és ellentétes irányú, tehát az is meredekebb állású lesz C-nél. Tehát a második esetben a csuklóer állása meredekebb az els esetbelinél. 2. feladat. Egy m tömeg, l hosszúságú, pontszer nek tekinthet ingatest fonalának végét és egy ugyancsak m tömeg, egyenletes anyageloszlású, r = l sugarú vékony korongot pereménél fogva közös vízszintes tengelyhez er sítettünk, majd a vízszintesig kitérítettük az ábra szerint. Ezután mindkett t kezd sebesség nélkül elengedtük. a) Mekkora sebességkülönbséggel érkezik a fonálinga és a korong közepe a legalsó helyzetbe? b) Mekkora gyorsuláskülönbséggel indul a kis test és a korong közepe, és mekkorával érkeznek a legalsó helyzetbe? c) Mekkora az általuk a forgástengelyre kifejtett er k különbsége induláskor, és amikor a legalsó helyzetbe kerültek? (A fonál tömege elhanyagolható, m = 0,5 kg, l = r = 0,5 m, számoljunk g = 10 m/s 2 tel!) OKTV 2017/ forduló

4 Megoldás. a) Vegyük észre, hogy a fonálinga pontszer ingateste és a korong tömegközéppontja azonos távolságra van a forgástengelyt l. Kezdeti helyzeti energiájuk azonos, ami a legalsó helyzetbe kerüléskor teljes egészében forgási energiává alakul. Ilyenkor a tehetetlenségi nyomatékot a forgástengelyre kell venni, ami a két esetben más. Ez okozza a sebességkülönbséget. A fonálinga sebessége a legmélyebb helyzetében v i = 2gl, a korong tömegközéppontjának sebessége az energiamegmaradásából számolható: mgr = 1 2 Θ Aω 2 = mr2 ω 2 = 3 4 mv2 k, ahonnan a korong középpontjának sebessége: v k = 4 3 gl. Az megel z összefüggésben Θ A a korongnak a forgástengelyre vett tehetetlenségi nyomatéka (Steiner-tétel): A sebességkülönbség: v i v k = Θ A = Θ TK + mr 2 = 3 2 mr2. 4 2gl 3 gl = ( ) gl = 0,58 m s. b) és c) A fonálinga kezd gyorsulása a i0 = g = 10 m/s 2, mert a fonál ekkor nem fejt ki rá er t. A korongra a felfüggesztési pont er t fejt ki (K), ez az er felfelé hat, ami csökkenti a nehézségi er okozta gyorsulást. Meghatározzuk a korong középpontjának kezd szöggyorsulását. Írjuk fel a forgatónyomaték-egyenletet a felfüggesztési pontra. Ebben a K er forgatónyomatéka 0, csak az ismert nehézségi er fejt ki forgatónyomatékot. mgr = Θ A β = ( 1 2 mr2 + mr 2 ) β = 3 2 mr2 β, OKTV 2017/ forduló

5 ahol ismét felhasználtuk Steiner tételét. Innen a keresett szöggyorsulás: β = 2g 3r. A korong közepének kezd gyorsulása tehát: a k0 = rβ = 2 3 g = 6,67 m s 2. A K er t megkapjuk Newton II. törvényéb l ma k0 = mg K, ahonnan K = mg ma k0 = 1 3 mg. Ez egyben a kezdeti er különbség is, amelynek nagysága: A keresett gyorsuláskülönbség: K 0 = 1 3 mg = 5 N 1,67 N. 3 a = a i0 a k0 = 1 3 g 3,33 m s 2. Ezek az értékek, ill. a keresett különbségek a legalsó helyzetben a mozgástörvényekb l nyerhet k. Itt csak függ leges er k szerepelnek. A fonálingára az er és a gyorsulás számítása: K i1 mg = ma i1 = m v2 i = m 2gl = 2mg, l l ahonnan az inga által kifejtett er : K i1 = 3mg. Ugyanez a korongra (itt a pillanatnyi szöggyorsulás nulla): ahonnan a korong által kifejtett er : K k1 mg = ma k1 = m v2 k r = m 4 3 gr r = 4 3 mg, K k1 = 7 3 mg. A keresett er különbség tehát: K 1 = K i1 K k1 = 3mg 7 3 mg = 2 mg = 3,33 N. 3 OKTV 2017/ forduló

6 Végül a gyorsulások a legalsó pontban: ill. a i1 = v2 i l a k1 = v2 k r = = 2gl l 4 3 gr r = 2g, = 4 3 g. Ezzel a korong közepének és a fonálinga pontszer ingatestének gyorsuláskülönbsége a legalsó pontban: a 1 = a i1 a k1 = 2g 4 3 g = 2 3 g 6,67 m s 2. Megjegyzés: Az nem véletlen, hogy a gyorsuláskülönbséget m-mel megszorozva megkapjuk az er különbséget. Mindez Newton II. törvényéb l és abból következik, hogy a nehézségi er mindkét testre ugyanakkora. 3. feladat. Az ábrán látható elrendezésben mindkét, m és a 3m tömeg dugattyú súrlódásmentesen mozoghat a 2A, illetve A keresztmetszet hengerben. A fonalak és a csigák tömegét l eltekinthetünk. a) Mekkora er hat a két kötélben, amikor a dugattyúk egyensúlyban vannak? b) Mekkora gyorsulással indulnak a dugattyúk miután az egyik kötelet elvágtuk? c) Mekkora gyorsulással indulnak a dugattyúk, ha a hengereket összeköt csövön lév csapot hirtelen megnyitjuk? (Ebben az esetben a köteleket nem vágjuk el.) Megoldás. Az állócsigákon átvetett fonálban K er hat. A mozgócsiga dinamikai vizsgálatának következménye, hogy a mozgócsiga tengelyéb l induló fonálban 2K er hat. a) Mindkét dugattyú áll, ezért a rájuk ható er k ered je nulla: mg + p 0 2A = p 1 2A + K, OKTV 2017/ forduló

7 3mg + p 0 A = p 1 A + 2K, ahol p 0 -lal a küls légnyomást jelöltük. A fenti két egyenletb l 2K-t kifejezve, majd egyenl vé téve adódik: 2mg + 4p 0 A 4p 1 A = 3mg + p 0 A p 1 A, 3p 0 A = mg + 3p 1 A, p 1 = p 0 mg 3A. Ezt az els egyenletbe behelyettesítve: K = mg + p 0 2A p 1 2A = mg + 2p 0 A 2p 0 A mg = 5 3 mg. Ennek alapján az állócsigákon átvetett fonálban K = 5 mg, a mozgócsiga tengelyéb l 3 induló fonálban 2K = 10 mg er hat. 3 b) Alkalmazzuk a dinamika alapegyenletét az egyik, illetve másik dugattyúra: a 1 = (p 0 p 1 ) 2A + mg m = ( ) mg 2A + mg 3A m ( ) mg A + 3mg 3A 3m = 5 3 g, a 2 = (p 0 p 1 ) A + 3mg = 3m c) A csap kinyitása után a küls és bels nyomáskülönbség elt nik. Alkalmazzuk a dinamika alapegyenletét az egyik, illetve másik dugattyúra: K mg = ma 1, 3mg 2K = 3ma 2. = 10 9 g. Fogalmazzuk meg a két test gyorsulásai között fennálló kényszerfeltételt: a 1 = 2a 2. A fenti három egyenletb l álló egyenletrendszert megoldva: a 1 = 2 7 g (felfelé), a 2 = 1 7 g (lefelé). OKTV 2017/ forduló

8 4. feladat. Egy függ leges síkú, rögzített, R sugarú szigetel karikán egyenletes töltéseloszlással (+Q) töltés helyezkedik el. A karika középpontjában a síkjára mer legesen (vízszintesen) elhelyezünk egy merev, rögzített, szigetel pálcát. A pálcán egy m tömeg, ( q) töltés gyöngyszem mozoghat súrlódásmentesen. a) Mekkora sebességgel ér a karika K középpontjától d = R távolságra (vagyis az A pontban) magára hagyott gyöngyszem a karika középpontjába? b) A karika középpontjában egyensúlyi helyzetben lev gyöngyszemet x R távolsággal kitérítjük. Határozzuk meg a gyöngy mozgásának periódusidejét! c) F zzünk a szigetel pálcára a gyöngy helyett egy L = 2R hosszúságú, ( q) töltés, m tömeg szívószálat úgy, hogy a szívószál közepe essen egybe a karika középpontjával. (A szívószál töltéseloszlása egyenletes, sugara r, ahol r R.) A szívószálat egyensúlyi helyzetéb l x R távolsággal térítsük ki. Hányszorosa a szívószál rezgésideje a gyöngy rezgésidejének, ha feltesszük, hogy a súrlódás most is elhanyagolható? Megoldás. a) A konzervatív elektrosztatikus mez ben a gyöngyszem potenciális és mozgási energiájának összege állandó: amelyb l E A p + E A m = E K p + E K m, kqq = kqq 2R R mv2, ( 1 kqq R 1 ) = 1 2R 2 mv2, 2 1 2kqQ = v 2, mr v = kqq ( ) 2 2. mr OKTV 2017/ forduló

9 b) A karikán lév Q töltés F = kq Q R 2 + x 2 nagyságú er t fejt ki a gyöngyre. Ennek az er nek a szálra mer leges komponenseit kompenzálja a K-ra középpontosan szimmetrikusan elhelyezked Q töltés által kifejtett er, így a gyöngyre ható ered er szálirányú. A vonzóer irányát is gyelembe véve a gyöngyszemre ható er F (x) = F cos α = kq Q R 2 + x 2 x R2 + x = kqq 2 (R 2 + x 2 ) 3 2 x. Ha x R akkor F (x) kqq R x 3 mω2 1x, így a mozgás harmonikus rezg mozgással közelíthet. Itt felhasználtuk, hogy ilyenkor a harmonikus visszatérit er felírható mω1x 2 alakban is, ha a rezg test tömege m, ω 1 pedig a harmonikus rezg mozgás körfrekvenciája. Így a kis amplitúdójú rezgés periódusideje: T b = 2π R3 m mr = 2π ω 1 kqq = 2πR kqq. c) Ha egyensúlyi helyzetéb l x távolsággal térítjük ki a szívószálat, akkor a végén 2x hosszúságú részen elhelyezked töltésre ható er nem kompenzálódik. Q = 2x L q OKTV 2017/ forduló

10 Figyelembe véve, hogy x R, és L = 2R, F = kqq ( 2R) 2 2 2, A vonzóer irányát is gyelembe véve, és behelyettesítve Q -ot, kapjuk: A szívószál rezgésideje kis kitérésre: F (x) = kqq 2 4R 3 x mω 2 2x. T c = 2π = 2π 4mR3 mr ω 2 kqq 2 = 4πR kqq 2. A szívószál és a gyöngyszem rezgésidejének aránya: T c 1 = 2 2 = ,68. T b OKTV 2017/ forduló

11 Értékelési útmutató 1. feladat a) A fonáler kiszámítása: 5 pont b) A forgatónyomaték-egyenlet helyes felírása a három er vel: 4 pont A felhajtóer és a nehézségi er viszonyának megállapítása: 3 pont A helyes s r ségarányok kiszámítása: c) A csukló által kifejtett er irányváltozásának megállapítása: 5 pont A terhel er nél hivatkozás Newton III. törvényére: 1 pont Összesen: 2. feladat 20 pont a) A leérkezéskori sebességkülönbség meghatározása: 4 pont b), c) A korongközéppont kezd szöggyorsulásának meghatározása: 3 pont A kezdeti er különbség meghatározása: 3 pont A kezdeti gyorsuláskülönbség meghatározása: 3 pont A legalsó pontbeli er különbség meghatározása: 4 pont A legalsó pontbeli gyorsuláskülönbség a meghatározása: 3 pont Összesen: 20 pont 3. feladat A két fonálban ható er arányának felírása: 1 pont a) Dinamika alapegyenletének helyes felírása a két nyugalomban lév dugattyúra: 2+ A fonalakban ható két er megadása: 2+1 pont b) Dinamika alapegyenletének helyes felírása a két dugattyúra: A két test gyorsulásának helyes megadása: 2+1 pont c) Dinamika alapegyenletének helyes felírása a két dugattyúra: A két test gyorsulásai között fennálló kényszerfeltétel felírása: A két test gyorsulásának helyes megadása: 2+1 pont Összesen: 20 pont OKTV 2017/ forduló

12 4. feladat a) Az energiamegmaradás egyenletének felírása: A potenciális energiák helyes megadása: A sebesség értékének helyes megadása: b) A gyöngyszemre ható F (x) er megadása: F (x) megadása kis kitérésekre: A periódusid helyes megadása: c) F (x) megadása: 4 pont A szívószál rezgésidejének helyes megadása: A rezgésid k arányának helyes megadása: Összesen: 20 pont A megoldásban vázoltaktól eltér számításokra, amelyek elvileg helyesek és helyes végeredményre vezetnek, az alkérdésekre adható teljes pontszám jár. OKTV 2017/ forduló