Bevezetés az elméleti zikába
|
|
- Zita Balla
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Merev test mozgása Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011
2 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések A tehetetlenségi nyomaték A merev test impulzusmomentuma Az Euler-szögek Az Euler-egyenletek
3 6 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések A merev test úgy deniálható, mint olyan tömegpontok rendszere, amelyek egymától való távolsága állandó. A szilárd testek többsége csak közelít leg tesznek eleget ennek a feltételnek. A továbbiakban gyakran a merev testeket,bár folytonosnak tekintjük, mint diszkrét tömegpontok rendszerének fogjuk fel.a diszkrét pontokra való összegezést tartalmazó képletekr l úgy térünk át a folytonos testre érvényes képletekre, hogy a részecskék tömegét egyszer en a dv térfogatban elhelyezked ϱ dv t0meggel helyettesítjük, majd integrálunk a test egész térfogatára. 1. ábra. Merevtesthez kötött x 1 = x, x = y, x 3 = z mozgó koordináta rendszer A merev test mozgásának a leírására két koordináta-rendszert veetünk be : egy nyugalmi(xyz)-inercia-, koordináta-rendszert, és az x 1 = x, x = y, x 3 = z mozgó koordináta-rendszert, amelyet a merev testhez rögzítünk, így az részt vesz annak minden mozgásában (1 ábra). A mozgó koordináta-rendszer kezd pontját célszer a test tömegközéppontjába helyezni. A merev test helyzetét a nyugalmi koordináta-rendszerhez viszonyítva teljes egészében meghatározza a mozgó koordináta-rendszer helyzete. Jelölje R a mozgó rendszer O origójának helyzetvektorát (lásd a bemutató anyagot). E rendszer tengelyeinek irányát a nyugvó rendszerhez képest három független szög adja meg, s így R komponenseivel együtt összesen hat koordinátánk van. A merev testnek tehát hat szabadsági fokú mechanikai rendszer. A merev test végtelen kis elmozdulását el ál1thatjuk két elmozdulás összegeként. El ször egy végtelen kicsiny párhuzamos eltolás.ilyenkor a tömegtközéppont átmegy kezdeti helyzetéb l a végs be úgy, hogy közben a koordináta-rendszer tengelyeinek irénya nem változik.a második elmozdulás végtelen kis elforgatás a tömegközéppont körül.jeöljük r-el a merev test tetsz leges P pontjának helyzetvektorát a mozgó koordinátarendszerben, r 0 -val ugyanannak a pontnak a nyugvó koordináta-rendszerben mért helyzetvektorát.ekkor a P pont kis dr 0 elmozdulása a tömegközépponttal együtt végzett dr tranzlációból és a tömegközéppot körüli végtelen kis dϕ szög forgásnak megfelel dϕ r elmozdulásból tev dik össze : dr 0 = dr + dϕ r.
4 0.. A TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK 7 Azzal a dt id vel osztva az egyenl séget, amely alatt a vizsgált elmozdulás végbement es bevezetve az alábbi jelöléseket : dr 0 dt = v, dr dt = V, dϕ dt = ω, ahol v a P pont sebessége, V a merev test tömegközéppontjának a sebessége; szokás a haladó mozgás sebességének is nevezni. Az ω vektor a merev test forgásának a szögsebessége és iránya megegyezik a forgás tengelyének az irányával.közöttük fennáll az alábbi összefüggés : v = V + ω r A fenti képle levezetésénél nem használtuk fel, hogy a kkordináta-rendszer kezd pontját a test tömegközéppontjába helyeztük. Ha a mozgó koordináta-rendszer nem az O tömegközéppontban van hanem attól a távolságra az O pontban, tehát r = r +a. Behelyettesítés után : v = V + ω r + ω r, = V = V + ω r, ω = ω A haladó mozgás sebességének nincs abszolútjellege mint a szögsebességnek. Ha V és ω vektorok az O pont egy bizonyos választása esetén mer legesek, akkor tetsz leges más O választás esetén is mer legesek egymásra. Mindig választható olyan O kezd pont, amelynek V sebessége nulla. A mozgás tiszta forgatásként fogható fel. Ezt a tengelyt a test pillanatnyi forgástengelyének nevezzük. 0.. A tehetetlenségi nyomaték A merev test nozgási energiája diszkrét tömegpontok rendszere esetén : T = mv ahol az összegezést a testet alkotó összes pontra kell elvégeznünk. T = m (V + ω r) = m V + mv(ω r) + m (ω r). ahol mv(ω r) = mr(v ω) = (V ω) mr = 0 mivel a kezd pontot a tömegközéppontban választottuk. T = MV + 1 m(ω r ( ωr) ) A test energiáját csak akkor bonthatjuk fel két, haladó és forgó mozgási energiákra, ha a kezd pontot a tömegközéppontban vesszük fel.a forgási energia tenzorjelölésekkel : T rot = 1 m(ω i x i ω i x i ω k x k ) = 1 m(ωi ω k δ ik x l ω i ω k x i x k ) = 1 ω iω k m(x l δ ik x i x k ). felhasználtuk az azonos indexekre vonatkozó összegeszési megállapodást. Bevezetve a Θ ik = m(x l δ ik x i x k )
5 8 TARTALOMJEGYZÉK másodrend szimmetrikus tenzort, a kinetikus energia kifejezése : és a merev test Lagrange-függvénye T = MV L = MV + 1 Θ ikω i ω k + 1 Θ ikω i ω k U ahol az U potenciális energia függhet, a tömegközéppont X, Y, Z koordinátáitól és a mozgó koordináta-rendszer tengelyeinek irányát megadó három szögt l. A θ ik tenzor a test tehetetlenségi nyomatékának tenzora vagy egyszer en a tehetetlenségi tenzora. A tenzor komponensei : m(y + z ) mxy mxz Θ ik = myx m(x + z ) myz mzx mzy m(x + y ) ahol Θ xx, Θ yy, Θ zz komponenseket a megfelel tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük. A tehetetlenségi nyomaték additív. Ha a merev testet folytonosnak tekintjük, akkor az el bbi összegek helyébe a test térfogatára vett integrál lép : Θ ik = ρ(x l δ ik x i x k )dv. Mint minden másodrend szimmetrikus tenzort ezt is diagonalizálni lehet az x 1, x és x 3 tengelyek megfelel irányúválasztásával.ezeket az irányokat a f tehetetlenségi tengelyeknek hívjuk, a tenzor megfelel komponenseit pedig F tehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük. Ilyen választás esetén : T rot = 1 (Θ 1ω 1 + Θ ω + Θ 3 ω 3) Mivel Θ 1 + Θ = m(x 1 + x + x 3) m(x 1 + x ) = Θ 3, egyik f tehetetlenségi nyomaték sem lehet nagyobb mint a másik kett összege. Az olyan testet melynek mindhárom f tehetetlenségi nyomatéka különböz, aszimmetrikus pörgenty nek nevezzük. Ha két f tehetetlenségi nyomaték megegyezik egymással : Θ 1 = Θ Θ 3, akkor a testet szimmetrikus p0rgenty nek hívjuk.ebben az esetben a f tengelyek az x 1 x síkban tetsz legesen választhatók. Ha mindhárom f tehetetlenségi nyomaték ugyanaz, gömbi pörgetty r l beszélünk. Ilyenkor mindhárom f tehetetlenségi tengely tetsz legesen választható. A f tengely megtalálása leegyszer södik, ha a merev test valamilyen szimmetriával rendelkezik. Ha a testnek van szimmetriasíkja, akkor a tömegközéppontnak ebben a síkban kell elhelyezkednie. és két f tehetetlenségi temgely, a harmadik mer leges rá. Nyilvánvaló példfa ilyen esetre az egy síkban elhelyezked részecskék rendszere.ha a rendszer síkja az x 1 x, akkor, mivel x 3 = 0 Θ 1 = mx, Θ = mx 1, Θ 3 = m(x 1 + x ) tehát Θ 3 = Θ 1 + Θ.
6 0.3. A MEREV TEST IMPULZUSMOMENTUMA 9 Ezt a Θ 3 tehetetlenségi nyomatékot még a következ képen is kiszámithatjuk : Θ 3 = i = 1 M i,k m i r i = 1 M i,k m i m k r i = 1 M m i m k (r i r i r k + r k) = 1 M m i m k (ri + rk) = i,k m i m k (r i r k ) ahol felhasználtuk, hogy m i r i = 0 mivel a kezd pont a test tömegközéppontjában van. Tehát a Θ 3 = 1 m i m k l ik M i,k kifejezésben nem a pontok koordinátái, hanem az egymástól mért távolságok szerepelnek. Ha a testnek van(valamilyen rend )szimmetriatengelye, akkor a tömegközéppont ezen a tengelyen van. Megegyezik ezzel a tengellyel az egyik f tehetetlenségi tengely is.. Ha a szimmetriatngely rendje kett nél nagyobb, akkor a test szimmetrikus pörgetty. Ha a rendszert alkotó részecskék egy egyenes mentén helyezkednek el, például az x 3 mentén, akkor ; Θ 1 = Θ = mx 3, Θ 3 = 0 Az ilyen rendszert rotátornak nevezzük. Ha a mozgó koordináta-rendszer kezd pontját nem az O-val jelölt tömegközáppontban hanem egy olyan O pontban vesszük fel melynek helyzetvektora O-hoz képest a lesz, akkor r = r + a, x i = x i + a i és a tehetetlenségi nyomaték új tenzora Θ ik = Θ ik + M(a δ ik a i a k ) lesz (Steiner képlete) ami gyakran megkönnyíti Θ ik kiszámítását. i,k 0.3. A merev test impulzusmomentuma Egy rendszer impulzusmomemtuma függ attól, hogy milyen pontra vonatkoztatva adjuk meg. Merev test esetén ésszer a mozgó koordináta-rendszer origóját a tömegközéppontban választani. A J = mr v kifelyezésben v-t ω r-rel helyettesítve: vagy tenzorjelöléssel: J = mr (ω r) = m [ r ω r(r ω) ], J i = m(x l ω i x i x k ω k ) = ω k m(x l δ ik x i x k ) = Θ ik ω k. Ha a mozgó koordináta-rendszer tengelyei a f tehetetlenségi irányaiba mutatnak, akkor Gömbi pörgetty esetén: J 1 = Θ 1 ω 1, J = Θ ω, J 3 = Θ 3 ω 3. J = Θω. Általános esetben J ω csak akkor párhuzamos ha a test valamelyik f tehetetlenségi tengelye kürül forog.
7 10 TARTALOMJEGYZÉK Merev test szabad mozgása. Precesszió Megvizsgáljuk küls er hatástól mentes merev test szabad mozgását. Csak a szabad forgásával foglalkozunk. A szabadon forgó test impulzusnyomatéka állandó. Gömbi pörgetty esetén ilyenkor az ω is állandó. A rotátor esetén szintén J = Θω, ahol ω mer leges a rotátor tengelyére.. ábra. Szabad szimmetrikus pörgetty forgómozgása. ω p az ún. precessziós szögsebesség, ami az x 3 szimmetriatengelynek a J impulzusnyomaték iránya által meghatározott tengely körüli forgását jellemzi A szimmetrikus pörgetty esetén az x 3 szimmetriatengelyére mer leges x 1 és x f tehetetlenségi tengelyeket tetsz legesen választhatjuk. Legyen az x tengely mer leges J-re. Tehát J = 0 és ω = 0. Ez azt jelenti, hogy J, ω és a pörgetty tengelye egy síkban vannak ( ábra). A pörgetty tengelye egyenletesen forog ω p szögsebességgel J iránya körül, egy körkúpot írva le. (A pörgetty reguláris precessziót végez). A precesszióval egyidej leg a pörgetty egyenletesen forog saját tengelye körül. A precesszió ω p sebességének meghatározásához az ω vektort a paralelogramma-szabály szerint felbontjuk x 3 és J irányú komponensekre. A megfelel hasonló háromszögekben ω p ω 1 = J J 1, ahonnan a J 1 = Θ 1 ω 1 összefüggés gyelembevételével: ω pr = J Θ 1.
8 0.4. AZ EULER-SZÖGEK Az Euler-szögek A mozgó koordináta-rendszer x 1, x, x 3 tengelyének irányát a nyugvó koordinátarendszer X, Y, Z tengelyéhez visszonyítva kényelmes az úgynevezett Euler-szögekkel kifejezni. 3. ábra. Forgatás leírása Euler-szögek segítségével A mozgó x 1 x sík a nyugvó XY síkot egy OC egyenes mentén metszi (3), ezt csomóvonalnak hívjuk. Az x 1, x, x 3 tengelyeknek az X, Y, Z tengelyekhez visszonyított irányát a következ szögekkel határozzuk meg: a Z és az x 3 tengely ϑ szögével, a X tengely és az OC egyenes közötti ϕ szöggel, valamint az OC egyenes és az x 1 tengely ψ szögével. ϑ nullától π-ig, ϕ és ψ nullától π-ig változik. Fejezzük ki az ω szögsebesség komponenseit a mozgó koordináta-rendszerben az Euler-szögekkel és deriváltjaikkal. Ehhez meg kell határoznunk a ϑ, ϕ, psi szögsebességek vetületeit az x 1, x, x 3 tengelyekre. A ϑ szögsebesség összetev i a következ k: ϑ 1 = ϑ cos ψ, ϑ = ϑ sin ψ, ϑ3 = 0. Hasonlóan a ϕ és a ψ esetén is az ábra (lásd a bemutató anyagot)alapján könnyen megadhatjuk a komponenseket: ϕ 1 = ϕ sin ϑ sin ψ, ϕ = ϕ sin ϑ cos ψ, ϕ 3 = ϕ cos ϑ, Összegy jtve a megfelel komponenseket: ψ 1 = 0, ψ = 0, ψ 3 = ψ. ω 1 = ϑ cos ψ + ϕ sin ϑ sin ψ, ω = ϑ sin ψ + ϕ sin ϑ cos ψ, ω 3 = ϕ cos ϑ + ψ.
9 1 TARTALOMJEGYZÉK Szimmetrikus pörgetty re (Θ 1 = Θ Θ 3 )a mozgási energia, rendezés után: T rot = Θ 1 ( ϕ sin ϑ + ϑ ) + Θ 3 ( ϕ cos ϑ + ψ). Másképpen is megkaphattuk volna az eredményt, gyelembe véve, hogy az x 1, x tengelyeket tetsz legesen választhatjuk. Legyen az x 1 tengely a csomóvonal mentén (ψ = 0). Következik, hogy ω 1 = ϑ, ω = ϕ sin ϑ, ω 3 = ϕ cos ϑ + ψ. Az Euler-szögek alkalmazásának egyszer példájaként tárgyaljuk a szimmetrikus pörgettyü már ismert szabad mozgását. A z tengely legyen a pörgetty állandó J impulzusmomentumának az iránya. Az x 3 tengely legyen a pörgetty tengelye, az x 1 tengely pedig az adott pillanatban essen egybe a csomóvonallal. Az x 3 tengely legyen a pörgetty tengelye. Ekkor a J vektor komponenseire a fenti összefüggések alapján J 1 = Θ 1 ω 1 = Θ 1 ϑ, J = Θ ω = Θ 1 ϕ sin ϑ, J 3 = Θ 3 ω 3 = Θ 3 ( ϕ cos ϑ + ψ). Másrészt mivel az x 1 tengely (csomóvonal) mer leges a z tengelyre: A megfelel kifejezéseket összevetve: J 1 = 0, J = J sin ϑ, J 3 = J cos ϑ. ϑ = 0, Θ 1 ϕ = J, Θ 3 ( ϕ cos ϑ + ψ) = J cos ϑ. Az els egyenletb l ϑ = const. adódik, tehát a pörgetty tengelye J irányával állandó szöget zár be. A második egyenlet meghatározza a precesszió ϕ = J Θ 1 szögsebességét. Végül a harmadik megadja a pörgetty saját tengelye körül végzett forgásának szögsebességét: ω 3 = J cos ϑ Θ Az Euler-egyenletek A dp d t = F, dj dt = M mozgásegyenletek inerciarendszerre vonatkoznak. Mivel a test J impulzusmomentumának komponensei és a szögsebesség komponensei között abban a mozgó koordinátarendszerben a legegyszerübb a kapcsolat, amelynek tengelyei a f tehetetlenségi irányokba mutatnak.hogy ezt a kapcsolatot felhasználhassuk, el bb át kell transzformálnunk a mozgásegyenleteket az x 1, x, x 3 mozgó koordinátákra. Ez a következ képpen megy történik: egy A vektor a mozgó koordináta-rendszerben A = 3 A i e i, i=1 ahol e 1, e, e 3 a testhez kapcsolt mozgó x 1, x, x 3 tengelyek menti egységvektorok. A test ω szögsebességgel történ forgása miatt de i dt = ω e i, (i = 1,, 3)
10 0.5. AZ EULER-EGYENLETEK 13 ezért da dt = 3 i=1 amit írhatunk a következ formában: da i dt e i + 3 A i ω e i, i=1 da dt = d A + ω A. dt A mozgásegyenletet ennek az általános képletnek a segítségével átírhatjuk a következ alakba: d P dt + ω P = F, d J dt + ω J = M. Az els egyenletben P helyett MV-t írva: ( ) dv1 M dt + ω V 3 ω 3 V = F 1, ( ) dv M dt + ω 3V 1 ω 1 V 3 = F, ( ) dv3 M dt + ω 1V ω V 1 = F 3. A második egyenletrendszerben J 1 = Θ 1 ω 1 -t stb. írva a következ adódik: Θ 1 dω 1 dt + (Θ 3 Θ )ω ω 3 = M 1, Θ dω dt + (Θ 1 Θ 3 )ω 3 ω 1 = M, Θ 3 dω 3 dt + (Θ Θ 1 )ω 1 ω = M 3. Ezeket az egyenleteket Euler-egyenleteknek nevezzük. Szabad forgás esetén (M = 0) az Euler egyenletek a következ alakot öltik: dω 1 dt + Θ 3 Θ Θ 1 ω ω 3 = 0, dω dt + Θ 1 Θ 3 Θ ω 3 ω 1 = 0, dω 3 dt + Θ Θ 1 Θ 3 ω 1 ω = 0. Példaként alkalmazzuk ezeket az egyenleteket a szimmetrikus pörgetty korábban vizsgált szabad forgására. A Θ 1 = Θ egyenl ségb l ω 3 = const.. Az els két egyenletet írjuk ω 1 = γω, ω = γω 1, alakba, ahol γ = ω 3 Θ 3 Θ 1 Θ 1.
11 14 TARTALOMJEGYZÉK A fenti két egyenletet felírva komplex formában amib l: d dt (ω 1 + iω ) = iγ(ω 1 + iω ), ω 1 + iω = Ae iγt, adódik, ahol A állandó, melyet valósnak vehetünk, így: ω 1 = A sin γt, ω = A sin γt. Tehát a szögsebesség vetülete a pörgetty tengelyére mer leges síkban γ szögsebességgel forog. Nagysága, (A = ω1 + ω állandó. Mivel a pörgetty tengelyére es ω 3 vetület szintén állandó, látjuk, hogy az egész ω vektor γ szögsebességgel egyenletesen forog. Az x 3 tengely körül forgó J vektor (z tengely) az Euler-szögekkel kifejezve, megegyezik a ψ szögsebességgel. A megfelel el z egyenlet segítségével: vagy ψ = J cos ϑ Θ 3 ( 1 ϕ cos ϑ = J cos ϑ 1 ), Θ 3 Θ 1 ψ = ω 3 Θ 3 Θ 1 Θ 1, összhangban az el z leg már megkapott eredménnyel.
A Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete
RészletesebbenMateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában)
MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) Tasnádi Tamás 1 2015. április 17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk
Részletesebben1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből
1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenKÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS
KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS
RészletesebbenBevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenAz alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika
Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika 1. előadás Vonatkoztatási rendszer Hely-idő-tömeg standardok 3-dimenziós
RészletesebbenMODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
RészletesebbenMechanika. Kinematika
Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat
RészletesebbenA bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása
A bolygók mozgására vonatkozó Kepler-törvények igazolása Geometriai alapok. A kúpszeletek polárkoordinátás egyenlete A síkbeli másodrend görbék közül az ellipszist, a hiperbolát és a parabolát mondjuk
RészletesebbenVektoralgebra feladatlap 2018 január 20.
1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd
RészletesebbenDINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)
DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) Dinamika Pontszám 1. A mechanikai mozgás fogalma (1) 2. Az anyagi pont pályája (1) 3. A mozgástörvény
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
RészletesebbenBEVEZETÉS A MECHANIKÁBA II. MEREVTESTEK ÉS FOLYTONOS
BEVEZETÉS A MECHANIKÁBA II. MEREVTESTEK ÉS FOLYTONOS KÖZEGEK Sailer Kornél Egyetemi előadás Elméleti Fizikai Tanszék Debreceni Egyetem Debrecen 2007. 3 Contents 1 MEREVTESTEK 8 1.1 Merevtestek kinematikája........................
Részletesebben1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel
1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora
RészletesebbenOktatási Hivatal FIZIKA. II. kategória. A 2017/2018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 1. forduló. Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 2017/2018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 1. forduló FIZIKA II. kategória Javítási-értékelési útmutató 1. feladat. Az m tömeg, L hosszúságú, egyenletes keresztmetszet,
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
Részletesebbent, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész
A kúpra írt csavarvonalról I. rész Sokféle kúpra írt csavarvonal létezik. Ezek közül először a legegyszerűbbel foglalko - zunk. Ezt azért tesszük mert meglepő az a tény hogy eddig még szinte sehol nem
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenTárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL
3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL. Bevezetés A lézeres letapogatás a ma elérhet legpontosabb 3D-s rekonstrukciót teszi lehet vé. Alapelve roppant egyszer : egy lézeres csíkkal megvilágítjuk a tárgyat.
RészletesebbenMerev testek kinematikája
Merev testek kinematikája Egy pontrendszert merev testnek tekintünk, ha bármely két pontjának távolsága állandó. (f=6, Euler) A merev test tetszőleges mozgása leírható elemi transzlációk és elemi rotációk
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenVégeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenLássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben
Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma
Részletesebben5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás
5. házi feladat 1.feladat A csúcsok: A = (0, 1, 1) T, B = (0, 1, 1) T, C = (1, 0, 0) T, D = ( 1, 0, 0) T AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: 1 0 0 T AB = 0 1 0, elotlási rész:(i T AB )A = (0, 0, )
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenTárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
RészletesebbenKvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje
Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....
RészletesebbenA bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról
1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I.
RészletesebbenTerületszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd
Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12 Az el adás vázlata Területszámítás
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenRezgőmozgás. A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele
Rezgőmozgás A mechanikai rezgések vizsgálata, jellemzői és dinamikai feltétele A rezgés fogalma Minden olyan változás, amely az időben valamilyen ismétlődést mutat rezgésnek nevezünk. A rezgések fajtái:
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
Részletesebben1 2. Az anyagi pont kinematikája
1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni
RészletesebbenDenavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
RészletesebbenAlkalmazott Mechanika Tanszék. Széchenyi István Egyetem
Széchenyi István Egyetem Szerkezetek dinamikája Alkalmazott Mechanika Tanszék Elméleti kérdések egyetemi mesterképzésben (MSc) résztvev járm mérnöki szakos hallgatók számára 2013. szeptember 6. 1. Folytonos
RészletesebbenÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN
ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 3. GÉPEK MECHANIKAI FOLYAMATAI 1. Definiálja a térbeli pont helyvektorát! r helyvektor előáll ortogonális (a 3 tengely egymásra merőleges) koordinátarendszer koordinátairányú
RészletesebbenMegjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor
. Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z
RészletesebbenGyakorló feladatok Feladatok, merev test dinamikája
Gyakorló feladatok Feladatok, merev test dinamikája 4.5.1. Feladat Határozza meg egy súlytalannak tekinthető súlypontját. 2 m hosszú rúd két végén lévő 2 kg és 3 kg tömegek Feltéve, hogy a súlypont a 2
RészletesebbenA +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenHajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2012-09-20 Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2012-09-20 1 / 16 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont távolsága 2 Sík Sík
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenKomplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)
RészletesebbenFIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens
FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenChasles tételéről. Előkészítés
1 Chasles tételéről A minap megint találtunk valami érdekeset az interneten. Az [ 1 ] tankönyvet, illetve an - nak fejezetenként felrakott egyetemi internetes változatát. Utóbbi 20. fejezetében volt az,
Részletesebben6. A Lagrange-formalizmus
Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 6. rész 1 6. A Lagrange-formalizmus A Lagrange-formalizmus alkalmazásával bizonyos fizikai rendszerek mozgásegyenleteit írhatjuk fel egyszerű módon. Az alapvető
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
RészletesebbenKomplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
RészletesebbenMechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó
Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:
RészletesebbenOktatási Hivatal FIZIKA I. KATEGÓRIA. A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló FELADATOK
Oktatási Hivatal A 2016/2017. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló FIZIKA I. KATEGÓRIA FELADATOK Bimetal motor tulajdonságainak vizsgálata A mérőberendezés leírása: A vizsgálandó
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenEgy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása
1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenPere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely,
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenEllipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához
1 Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához Előző dolgozatunkkal melynek címe: A ferde körkúp palástfelszínének meghatározásához már mintegy megágyaztunk a jelen írásnak. Több mindent
RészletesebbenOktatási Hivatal FIZIKA. I. kategória. A 2017/2018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2. forduló. Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny. forduló FIZIKA I. kategória Javítási-értékelési útmutató A versenyz k gyelmét felhívjuk arra, hogy áttekinthet en és olvashatóan
RészletesebbenGyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)
2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,
RészletesebbenA kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről
1 A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről Előző dolgozatunkban melynek címe: Megint a két csavarfelületről levezettük a cím - beli körös felület - család paraméteres egyenletrendszerét,
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
RészletesebbenA mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája
A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenLendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.
Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
RészletesebbenA FÖLD PRECESSZIÓS MOZGÁSA
A FÖLD PRECESSZIÓS MOZGÁSA Völgyesi Lajos BME Általános- és Felsőgeodézia Tanszék A Föld bonyolult forgási jelenségeinek megismeréséhez pontos fizikai alapismeretek szükségesek. A fogalmak nem egységes
RészletesebbenIMPULZUS MOMENTUM. Impulzusnyomaték, perdület, jele: N
IPULZUS OENTU Impulzusnyomaték, perdület, jele: N Definíció: Az (I) impulzussal rendelkező test impulzusmomentuma egy tetszőleges O pontra vonatkoztatva: O I r m Az impulzus momentum vektormennyiség: két
RészletesebbenIrányításelmélet és technika I.
Irányításelmélet és technika I. Mechanikai rendszerek dinamikus leírása Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010
RészletesebbenPélda: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög
RészletesebbenKifejtendő kérdések december 11. Gyakorló feladatok
Kifejtendő kérdések 2016. december 11. Gyakorló feladatok 1. Adja meg és a pályagörbe felrajzolásával értelmezze egy tömegpont általános síkbeli mozgását jellemző kinematikai mennyiségeket (1p)! Vezesse
Részletesebben1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD
1. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy ABCD húrnégyszögben AC BD = DA AB + BC CD AB BC + CD DA. Első megoldás: A húrnégyszögnek az A, B, C, ill. D csúcsoknál levő szögét jelölje rendre α, β, γ, ill. δ, azab,
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
Részletesebben11. A FÖLD FORGÁSA, AZ ÁLTALÁNOS PRECESSZIÓ
11. A FÖLD FORGÁSA, AZ ÁLTALÁNOS PRECESSZIÓ A Föld saját tengelye körüli forgását az ω r forgási szögsebesség-vektora jellemzi, ezért a Föld forgásának leírásához ismernünk kell a szögsebesség-vektor térbeli
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenKirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)
3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ
BABE -BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 9. július. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL FONTOS MEGJEGYZÉS: ) Az A. részben megjelen feleletválasztós feladatok esetén
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenOktatási Hivatal FIZIKA. II. kategória. A 2018/2019. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló. Javítási-értékelési útmutató
Oktatási Hivatal A 2018/2019. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló FIZIKA II. kategória Javítási-értékelési útmutató A versenyz k gyelmét felhívjuk arra, hogy áttekinthet en
RészletesebbenAz inga mozgásának matematikai modellezése
Az inga mozgásának matematikai modellezése Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Természet és Matematika Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08.
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
Részletesebben