A 2009/2010. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. II. kategória

Átírás

1 Oktatási Hivatal 9/. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második fordulójának feladatai és megoldásai fizikából II. kategória dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható. Megoldandó az első két feladat és a / és /B sorszámú feladatok közül egy szabadon választott. Csak feladat megoldására adható pont. Ha valaki 4 feladat megoldását adja be, a / és /B feladat közül a több pontot elérő megoldást vesszük figyelembe. Minden feladat teljes megoldása pontot ér. Részletes, egységes pontozás nem adható meg a feladatok természetéből következően, ugyanis egy-egy helyes megoldáshoz több különböző, egyenértékű helyes út vezethet. feladat numerikus végeredményével megközelítően azonos eredményt kihozó megoldó erre a részfeladatra pontot kap, amennyiben elvileg helytelen úton jut el. Fizikailag értelmes gondolatmenet estén a kis numerikus hiba elkövetése miatt (a részfeladat terjedelmétől függően) pont vonható le. o. Egy m kg tömegű, vékony, merev rúd egyik végét α hajlásszögű lejtő lapjához rögzítjük csukló segítségével az ábrán látható módon. rudat vízszintes helyzetből kezdősebesség nélkül elengedjük. lejtő és a rúd közti súrlódási együttható µ,. (Tételezzük fel, hogy a mozgás során a rúd csak a felezőpontjában érintkezik a lejtővel.) Mekkora a csuklóban ébredő erő, abban a helyzetben, amikor a rúd o elfordulása φ 6? Megoldás: mozgás során a testre négy erő hat: - nehézségi erő (mg) - lejtő síkjára merőleges kényszererő (N) - csuklóerő (F) F φ és F r komponensekkel - a rúdra merőleges, sebességgel ellentétes súrlódási erő a TKP-ban (S) lejtő síkjára merőleges irányban: súrlódási erő: munkatétel alapján a forgási energia: N mg cos( α) () S µn ()

2 l ml l ω mg sin( φ)sin( α) S φ, () ahol l a rúd hossza. fenti egyenletekből ( sin( α)sin( φ) µ cos( α φ) g ω ) l (4) adódik. z ábra a lejtő síkjában ható erőket (erőkomponenseket) mutatja a lejtő síkjára való rálátásból. forgómozgás alapegyenlete a csuklóra felírva: honnan: l, (5) ( mg sin( α)cos( φ) S ) ml β β g l ( sin( α)cos( φ) µ cos( α) ) forgómozgás alapegyenlete a TKP-ra felírva: (6) és (7) alapján radiális mozgásegyenlet: Innen (4) felhasználásával. (6) l F φ ml β. (7) Fφ mg( sin( α)cos( φ) µ cos( α )) (8) 4 l Fr mg sin( α ) sin ( φ) mω.(9) Fr mg( 5sin( α)sin( φ) µ cos( α) φ ) () adódik.

3 z adatokat behelyettesítve F φ, 9 N, F r 846, N Így F Fr + Fφ 8,69 N adódik a csuklóerőre.. Vízszintes síkban fekvő, egymástól l távolságra lévő párhuzamos vezető sínek egyik végét L önindukciójú tekercs köti össze. síneket merőlegesen összekötő m tömegű fémrudat v sebességgel meglökjük, és magára hagyjuk a B indukciójú függőleges homogén mágneses térben. rúd és a sín közötti súrlódási együttható µ. z ohmos ellenállás elhanyagolható. a) z indítás helyétől mérve maximum milyen messzire jut el a fémrúd? b) mozgása során hányszor vált irányt a fémrúd? datok: B, T, L µh, l, m, m, kg, v m/s, µ,, Megoldás: g m s. huroktörvény szerint a zárt áramkörben a feszültségek előjeles összege nulla ( ) U. Ez azt jelenti, hogy a tekercsben az önindukció miatt keletkező feszültség és a mozgó fémrúdban a mozgási indukció miatt keletkező feszültség azonos nagyságú, de ellentétes körüljárású. I L t B l v Használjuk fel, hogy x v. Így t I x L B l, t t ahonnan L I B l x. Mivel a kezdeti pillanatban az áram nulla adódik, hogy L I B l x.

4 rúdra alkalmazzuk a dinamika alapegyenletét úgy, hogy a súrlódást még ne vegyük figyelembe: F m a B l x B l m a B I l B l L L x Látható, hogy amennyiben a súrlódást nem vesszük figyelembe, a fémrúdra harmonikus erő hat, amelyet B l L rugóállandó jellemez. mennyiben a súrlódást is figyelembe vesszük, a fémrúd olyan csillapodó rezgőmozgást végez, amely harmonikus szakaszokból áll, de a rezgés egyensúlyi helyzete a mozgás irányától függően változik (lásd alább). a) z indítási hely és az attól legtávolabbi hely között írjuk fel a fémrúdra a munkatételt. W E mozgási µ m g m v másodfokú egyenlet megoldó képlete szerint: ( ), µ mg ± ( µ mg) + mv két megoldás közül a vizsgált problémára csak pozitívnak van értelme: ( µ mg) µ mg + + mv,7 m. z indítás helyétől mérve,7 m messzire jut el a fémrúd. b) fémrúd minden félperiódusban harmonikus rezgőmozgást végez, amelynek egyensúlyi helyzete a mozgás irányától függően a súrlódási erő következtében az x, µ mg ± pontok között változik. ( pozitív előjel a jobbra mozgáshoz tartozik.) z első fordulópont utáni fél periódushoz tartozó, az egyensúlyi helyzettől tekintve mindkét irányú amplitúdó 4

5 µ mg. következő forduló utáni félperiódushoz tartozó amplitúdót megkapjuk a következő egyenletből: µ mg µ mg µ mg + +. Általánosan a k-adik félperiódushoz tartozó amplitúdó: µ mg ( k ). k test annak a félperiódusnak a második felében áll meg, amelyhez tartozó amplitúdó kisebb a bal-, és jobboldali egyensúlyi helyzetek µ mg távolságánál. Ez a feltétel -ra teljesül. Tehát a mozgás a következő módon fog megvalósulni: z indulás helyétől eltávolodik -t, majd megfordul. Ez az első irányváltás. következő fél periódusban út megtétele után ismét megfordul. Ez a második irányváltás. következő fél periódusban út megtétele következik, majd megfordul a test. Ez a harmadik irányváltás. Ezután az első hosszú út megtétele még zavartalan, de a második hosszú út megtétele már nem zavartalan, hiszen < µ mg állva is marad a µ mg mg, µ tartomány valamely pontjában. Összegezve: fémrúd a csillapodó rezgőmozgása során összesen háromszor vált irányt.. fémrúd megáll, és Megjegyzések:. z a) kérdésre tisztán dinamikailag is meg lehet adni a választ.. b) kérdés energetikailag is megválaszolható: a fordulópont ott van, ahol a mozgási energia. Érdekességek: z egyes amplitúdók értékei: 7, cm, 4, cm, 8, cm,, cm. rúd teljes megtett útja: s + ( + + ) 66,54 cm. rúd helye megálláskor a rúdtól előre,78 cm. Ekkor a körben folyó áram az ohmos ellenállás elhanyagolható, és az L I B l x miatt.78. rúd kezdeti mozgási energiája, J, a súrlódási erő teljes munkája,996 J, a tekercs mágneses terének energiája a benne maradó áram miatt,4 J. (Kerekítési hibák.) 5

6 / Egyenletesen töltött, ρ > térfogati töltéssűrűséggel rendelkező R sugarú, hosszú egyenes, merev szigetelő hengerre szigetelő anyagból készült Q < töltésű, m tömegű vékony rugalmas gyűrűt húzunk az ábrán látható módon. Nyújtatlan állapotban a szigetelő gyűrű sugara,99r, rugóállandója, és x megnyúlás esetén x húzóerő ébred benne. hengert szimmetriatengelye körül egyre növekvő szögsebességű forgásba hozzuk igen kis szöggyorsulással. Határozzuk meg azt a szögsebességet melynél a gyűrű elkezd lefelé csúszni, ha a gyűrű és a henger közti tapadási súrlódási együttható µ! Megoldás: henger felülete mentén az elektromos tér a Gauss-törvényből: El R π ρr π l () Innen a henger töltésétől származó elektromos térerőség a henger felületén ρr E. () gumigyűrűben ébredő erő a megnyúlás következtében: F, R π () r z egyensúly feltételének felírásához tekintsünk a gyűrű egy az ábra szerinti ϕ szög alatt látszó darabját. Ennek töltése és tömege ϕ Q Q (4) π ϕ m m (5). π Q töltésre ható befelé mutató erő nagysága F e QE (6). Egyenletes körmozgás dinamikai feltételéből adódik, hogy 6

7 sin ϕ + (7). Fr Fe N mω R Felhasználva a kis szögre érvényes közelítést: ϕ ϕ sin.(8) () (8) egyenletekből ρ Q mω N +,π R ϕ (9) 4π π adódik. függőleges irányú megcsúszás feltétele: µ N m g () (8) (9) egyenletekből a keresett szögsebességre ρ Q,4π g ω + m m µ R adódik. 7

8 /B Két azonos méretű, felületű, függőleges síkú, rögzített, párhuzamos fémlemez egymáshoz közel helyezkedik el. bal oldali () jelű lemez elektromos töltése Q, a () jelű lemezé ( < < Q). második lemeztől jobbra egy ugyanekkora méretű, m tömegű, () jelű lemezt hosszú fonálon függesztünk fel d távolságra a két rögzített lemezzel párhuzamosan, és ennek a lemeznek Q töltést adunk. Elengedés után a () jelű lemez gyakorlatilag vízszintesen, szabadon mozog, és tökéletesen rugalmasan ütközik a rögzített középső lemezzel. z ütközés ideje elegendő arra, hogy egyensúlyi töltéseloszlás alakuljon ki a két ütköző lemezen. Határozzuk meg a () jelű lemez sebességét, amikor az ütközés után újra d távolságra kerül a középső lemeztől! ( számítás során hanyagoljuk el a széleffektusokat, vagyis tekintsük úgy, hogy az elektromos mező mindenhol vízszintes vagy nulla.) Megoldás: () és a () lemez között a térerősséget a Gauss-tétel és a szuperpozíció alkalmazásával kaphatjuk meg: Q E, ahol az indexben lévő nyíl a térerősség irányát mutatja. () lemez külső felületén + töltés, a belső felületén Q töltés helyezkedik el. () lemeztől jobbra a térerősség: E. () lemezre ható erő: F 8 ( ) E E Q Q Q Q. Megjegyezzük, hogy ugyanezt az eredményt úgy is megkaphatjuk, ha az () és () jelű lemezek által keltett teret számítjuk ki: E Q +,

9 ami a () jelű lemezen lévő Q töltésre hat, és ami természetszerűleg ugyanakkora ( ) Q Q F QE+ erőt eredményez. Ennek az állandó erőnek az ütközésig történő munkavégzése: ( ) Q Q d W F d. z ütközéskor a () jelű lemezen csak a külső felületén lévő + töltés marad meg, mert a () és () lemezek egymással érintkező oldalain lévő, azonos nagyságú, ellentétes előjelű töltések kioltják egymást. Ennek megfelelően a () jelű lemezen Q + töltés lesz, ami a () lemez bal oldali felületén helyezkedik el, vagyis a () és () lemezek között a térerősség az ütközést követően mindvégig nulla lesz. nulla térerősség abból is következik, hogy ütközéskor az érintkező felületek a fém belsejének számítanak. z ütközés után megint kétféleképpen számíthatjuk ki a () jelű lemezre ható erőt, de most a megoldás elején alkalmazott módszer az egyszerűbb: F E 8. Ha az () és () lemezeken lévő töltések terét adjuk össze, és ennek hatását számítjuk ki a () lemezen maradt + töltésre, akkor is természetesen ugyanezt az eredményt kapjuk. visszapattanáskor végzett munka: W d F d. 8 () jelű lemez mozgási energiáját a két munkavégzés összege adja meg: mv W + W d Q Q amiből a () jelű lemez kérdéses sebessége: Megjegyzés: ( ) d v Q. m d + 4 Q, 9

10 feladatot úgy is megoldhatjuk, ha a rendszer elektrosztatikus energia változását egyenlővé tesszük a () lemez mozgási energiájával, hiszen a kezdeti és a végállapot között csak annyi a különbség, hogy a () és () lemezek közötti elektromos mező megszűnik, a () lemez mozgási energiára tesz szert, egyébként minden más változatlan marad: d Q d Q d E mv, amiből már látszik, hogy a lemez végsebességére az előzővel megegyező eredményt kapunk, tehát megnyugodhatunk a megoldásunk helyességét illetően.