O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )

Átírás

1 1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, ) E ( 4, 3, ) F ( 0, 3, ) G ( 0, 0, ) Az egyes vektorok meghatározásakor abból induljunk ki, hogy a keresett vektor vektorrendezőit úgy kapjuk, hogy a végpont koordinátáiból kivonjuk a kezdőpont koordinátáit. Ennek figyelembe vételével: AC = -4 i + 3 j + 0 k BF = -4 i + 0 j + k BG = -4 i - 3 j + k DF = -4 i + 3 j + 0 k BD = 0 i - 3 j + k AC = -4 i + 0 j + k GB = 4 i + 3 j - k Egy vektor egységvektorát úgy kapjuk, hogy a vektort elosztjuk az abszolút értékével. Az egységvektor hossza ( abszolút értéke ) egységnyi. 4i + 3j + 0k e AC = = 4 i + 3 j + 0 k e BF = e BG = 4i + 0j + k = 4 41 i + 0 j + 41 k 4i 3j + k = 4 2 i 3 2 j + 2 k 4i + 3j + 0k e DF = = 4 i + 3 j + 0 k e BD = 0i 3j + k = 0 i j + 34 k dr. Galambosi Frigyes Oldal 1

2 e AG = e GB = 4i + 0j + k = 4 41 i + 0 j + 41 k 4i + 3j k = 4 2 i j 2 k dr. Galambosi Frigyes Oldal 2

3 2. feladat Írjuk fel az AB vektorral párhuzamos, 00 m hosszúságú ( abszolútértékű ) vektort! a=3 m b=2 m c=4 m d=8 m Az A és B pont koordinátái: A ( 3, 0, 2 ) B ( 0, 8, 4 ) Első lépésben határozzuk meg az AB vektort: AB = 3i + 8j + 2k Az AB vektor egységvektora: e AB = 3i+8j+2k = i j k A párhuzamos vektorok: v = 00e AB = v = 00e AB = i + j i j k dr. Galambosi Frigyes Oldal 3

4 3. feladat Adott a berajzolt F 1, F 2, F 3 vektorok abszolút értéke. a=1 m b=2 m c=3 m F 1 =100 F 2 = F 2 = Írjuk föl az F 1, F 2, F 3 vektorokat! Egy vektort úgy határozunk meg, hogy a vektor egységvektorát megszorozzuk az abszolút értékével. F 1 = F 1 e 1 = 100( k) = 0 i + 0 j k F 2 = F 2 e 2 = F 3 = F 3 e 3 = i+0j+3k = i + 0 j k 9+4 2i+1j 3k = 1600 i j k dr. Galambosi Frigyes Oldal 4

5 4. feladat Számítsa ki az alábbi determinánsokat! = +(2)[2 9 8] (3)[ ] + (4)[ ] 9 = = +(7)[( 2) ( 6) 3] = 21 0 i 1 7 j 0 0 k 4 = (j)[( 1) ( 8) 4 7] = 20j 8 i 4 0 j 3 6 k 0 = +(i)[1 0] (j)[20 0] + (k)[ 24 0] = = 1 i 20 j 24 k dr. Galambosi Frigyes Oldal

6 . feladat Számítsa ki az AB x AC vektori- és az AB * AC skalárszorzatot! Az egyes vektorok: AB = - i + 4 j + 0 k AC = 0 i + 4 j + 3 k i AB x AC = 0 j 4 4 k 0 = +(i)[12 0] (j)[ 1 0] + (k)[ 20 0] 3 AB x AC = 12 i + 1 j 20 k 0 AB AC = [ 4 0] [ 4] = 16 3 dr. Galambosi Frigyes Oldal 6

7 6. feladat Adott a térben három pont a koordinátáival: A(3, 0, 0) B(0, 2, 0) C(0, 2, ) Számítsuk ki, a két egyenes hajlásszögét! Definíció szerint az AB *AC skalár szorzat: AB*AC= AB * AC *cosφ illetve cosφ= AB AC AB AC AB=-3 i+2 j + 0 k AB = = 13 AC=-3 i+2 j + k AB = = 38 3 AB*AC= [ 3 2 0] [ 2]=9+4+0=13 cosφ= φ= 4, =0,849 dr. Galambosi Frigyes Oldal 7

8 7. feladat Számítsuk ki a jelölt síkidom területét! a = 2 m b = 3 m A jelölt síkidom sarokpontjainak koordinátái: A(6, 2, 0) B(3, 4, 0) C(0, 2, 4) D(3, 0, 4) Bontsuk fel a négyszöget két háromszögre. A keresett területet: T = DAxDC = BAxBC DA= 3 i + 2 j -4 k DC=- 3 i + 2 j -4 k BA= 3 i - 2 j +0 k BC= -3 i - 2 j +4 k DAxDC = i 3 3 j 2 2 k 4 = 8 i + 12 j + 12 k 0 DAxDC = = 32 BAxBC = i 3 3 j 2 2 k 0 = 8 i 12 j 12 k 4 BAxBC = = 32 T = 32 18,76 m 2 dr. Galambosi Frigyes Oldal 8

9 8. feladat Számítsuk ki az A pont és a CB egyenes távolságát! A(, 2, 0) B(1, 8, 6) C(3, -4, 4) Az ABC háromszög területe kétféleképpen is számítható és a számítások eredménye egyenlő egymással. amiből T = ACxAB 2 CB m = 2 m = ACxAB CB AC= -2 i - 6 j +4 k CB= - 2 i + 12 j +2 k AB= -4 i +6 j +6 k CB = = 12 ACxAB = i 2 4 j 6 6 k 4 = 60 i 4 j 36 k 6 ACxAB = = 4912 BAxBC = i 3 3 j 2 2 k 0 = 8 i 12 j 12 k 4 m = ,69 m dr. Galambosi Frigyes Oldal 9

10 9.feladat Számítsuk ki az AC szakasz merőleges vetületét az AB egyenesre! A koordináták m egységben vannak megadva. A(, 0, 0) B(0, 8, 0) C(0, 0, 9) s = AC e AB =AC AB = AC AB AB AB AC = - i +0 j + 9 k AB = - i +8 j + 0 k AB = = 89 AC AB = [ 0 9] [ 8] = 2 0 s = 2 2,6 m 89 dr. Galambosi Frigyes Oldal 10

11 10. feladat Bontsuk fel az adott F vektort egy a vektor irányú és egy a vektorra merőleges komponensre! F = 8 i + 4 j a = 2 i 1 j Határozzuk meg az a vektor egységvektorát: e a = a 2 i 1 j = a = 2 i 1 j A felbontás azt jelenti, hogy a komponens vektorok összege kiadja az eredeti vektort: F = F 1 + F 2 Az F 1 vektort a skaláris szorzás segítségével írhatjuk fel: F 1 = (Fe a )e a F 1 = (Fe a ) = [8 4 0] F 1 = (Fe a )e a = 12 [ ] ( 2 i 1 = 12 j) = 24 i 12 j Az F 2 vektor két vektor különbségeként számítható: F 2 = F F 1 = ( ) i + (4 + ) j = i + 32 j Ha az F 1 és F 2 vektorok az előírásnak megfelelően merőlegesek egymásra, akkor skalárszorzatuk zérus kell legyen: F 1 F 2 = [ ] [ ] = dr. Galambosi Frigyes Oldal 11

12 11. feladat Bontsuk fel az adott F vektort egy a vektor irányú és egy a vektorra merőleges komponensre! F = 0 a = -4 i + 0 j + 3 k A felbontás azt jelenti, hogy a komponens vektorok összege kiadja az eredeti vektort: F = F 1 + F 2 Határozzuk meg az a vektor egységvektorát valamint az F vektort: e a = a 4 i + 0 j + 3 k = a = 4 i + 0 j + 3 k F = 0 4 i j + 3 k = 4 i j + 3 k Az F 1 vektort a skaláris szorzás segítségével írhatjuk fel: F 1 = (Fe a )e a F 1 = (Fe a ) = [ 4 3] [ 4 0 = 3 ] F 1 = (Fe a )e a = ( 4 i + 0 j + 3 k) = 4 i + 0 j + 3 k Az F 2 vektor két vektor különbségeként számítható: F 2 = F F 1 = ( 4 i j + 3 k) ( 4 i + 0 j + 3 k) = 0 i j + 0 k dr. Galambosi Frigyes Oldal 12

13 12. feladat Bontsuk fel az adott F vektort a és b vektorokkal párhuzamos komponensekre! F= 12 i + 9 j a= 2 i -1 j b= 1 i + 2 j A felbontást az alábbi egyenlettel tudjuk leírni: F a + F b = F λ 1 a + λ 2 b = F λ 1 (2 i 1 j) + λ 2 (1 i + 2 j) = 12 i + 9 j Válogassuk szét az bal oldalt és jobb oldalt az egységvektorok szerint: i (2λ 1 + λ 2 ) = 12 i j ( λ 1 + 2λ 2 ) = 9 j A vektor egyenletek az alábbi skalár egyenletekre vezethetők vissza: (2λ 1 + λ 2 ) = 12 ( λ 1 + 2λ 2 ) = 9 Az egyenletek megoldásai: λ 1 = 3 és λ 2 = 6 Ezek segítségével felírhatók a keresett vektorok: F a = 3 (2 i 1 j) = 6 i 3 j F b = 6 (1 i + 2 j) = 6 i + 12 j Ezen vektorok összege valóban kiadja az eredeti F vektort. dr. Galambosi Frigyes Oldal 13

14 13. feladat Bontsuk fel az adott F vektort az a és b vektorokkal párhozamos összetevőkre! a = 2 i + 2 j 3 k b = 1 i 1 j +4 k F = 7 i + 1 j +6 k A felbontást csak akkor tudjuk végrehajtani, ha a három vektor egy síkban helyezkedik el. Ennek legegyszerűbb vizsgálata a három vektor vegyes szorzatának elvégzésével lehetséges. Ha egy síkban vannak, akkor a vegyes szorzat zérus értékű. A vegyes szorzat a három vektor által kifeszített test térfogatával arányos V = = Ez azt jelenti, hogy egy síkban vannak, tehát a felbontás végrehajtható. A felbontást leíró vektor egyenletek: F = F a + F b = λ 1 a + λ 2 b 7 i + 1 j + 6 k = λ 1 (2 i + 2 j 3 k) + λ 2 (1 i 1 j + 4 k). A vektor egyenletekből kapott skalár egyenletek: 7 = 2λ 1 + λ 2 1 = 2λ 1 λ 2 6 = 3λ 1 + 4λ 2 Az egyenletek megoldásai: λ 1 = 2 és λ 2 = 3 A keresett vektorok: F a = 4 i + 4 j 6 k F b = 3 i 3 j + 12 k dr. Galambosi Frigyes Oldal 14

15 14. feladat Bontsuk fel az F vektort AD, BD, CD irányú komponensekre! A (, 0, 0 ) B ( 6, 6, 0 ) C ( -4, 2, 0 ) D ( 3, 3, 8 ) F= 00 i j k Határozzuk meg az a, b, c vektorokat: a = 2 i + 3 j + 8 k b = 3 i 3 j + 8 k c = 7 i + 1 j + 8 k Az F vektor felbontását leíró vektoregyenlet: F = F a + F b + F c =λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c Koordinátás alakban felírva az előbbi egyenlet: 00 i j k = λ 1 ( 2 i + 3 j + 8 k) + λ 2 ( 3 i 3 j + 8 k) + + λ 3 (7 i + 1j + 8 k) A fenti vektoregyenletet átírhatjuk skalár egyenletekkel 00 = 2 λ 1 3 λ λ = 3 λ 1 3 λ 2 + λ = 8 λ λ λ 3 A fenti három ismeretlenes egyenletrendszer megoldásaként kapjuk: λ 1 = λ 2 = λ 3 = A vektoregyenlet megoldásának másik útja: = 9,8 = 2,3 = 66, dr. Galambosi Frigyes Oldal 1

16 abc = Fbc = afc = abf = λ 1 = Fbc abc = = λ 2 = afc abc = = λ 3 = abf abc A fönt kijelölt hányadosok rendre megegyeznek az előzőekben kiszámolt értékekkel. A keresett vektorok: F a = ( 2 i + 3 j + 8 k) 448 F b = ( 3 i 3 j + 8 k) 448 F c = (7 i + 1 j + 8 k) 448 dr. Galambosi Frigyes Oldal 16

17 1. feladat Bontsuk fel az F vektort AD, BD, CD irányú komponensekre! A (, 0, 0 ) B ( 0, 0, 0 ) C ( 0, 8, 0 ) D ( 3, 4, 9 ) F= 100 i j +3 k Határozzuk meg az a, b, c vektorokat: a = 2 i + 4 j + 9 k b = 3 i + 4 j + 9 k c = 3 i 4 j + 9 k Az F vektor felbontását leíró vektoregyenlet: F = F a + F b + F c =λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c A vektoregyenlet megoldásának egyik lehetséges módja: λ 1 = Fbc abc λ 2 = afc abc λ 3 = abf abc abc = Fbc = afc = abf = = = = = dr. Galambosi Frigyes Oldal 17

18 λ 1 = = 0 λ 2 = = λ 3 = = A fönt kijelölt hányadosok rendre megegyeznek az előzőekben kiszámolt értékekkel. A keresett vektorok: F a = 0 ( 2 i + 4 j + 9 k) = 0 i + 0 j + 0 k F b = 100 (+3 i + 4 j + 9 k) 36 F c = 300 (3 i 4 j + 9 k) 36 dr. Galambosi Frigyes Oldal 18