Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét"

Átírás

1 Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét Az F erő által végzett munka, ha a test adott pályán mozog az r 1 helyvektorú P 1 pontból az r helyvektorú P pontba, az alábbi vonalintegrállal számolható: () [az előadáson a jelölése ] () Általános esetben az erő függ a helytől: F(r) F x(x,y,z) i + F y(x,y,z) j + F z(x,y,z) k, és a pálya, amin a test mozog: r x i + y j + z k dr dx i + dy j + dz k, ezekkel (,,) + (,,) + (,,) Ez így csak akkor számolható ki, ha a pálya párhuzamos valamelyik koordinátatengellyel, azaz dx, dy, dz közül csak egy nem zérus. Általános esetben a pályát t-vel (az idővel) paraméterezve adjuk meg: r(t) x(t) i + y(t) j + z(t) k # $ &+$ '+$ ()*, és az erőt is t-vel paraméterezve fejezzük ki: F(r) ((*),(*),(*)) i + ((*),(*),(*)) j + ((*),(*),(*)) k, % ezekkel + ((*),(*),(*)) $ + ((*),(*),(*)) $ + ((*),(*),(*)) $,*. % Konzervatív az F(r) erőtér akkor, ha rot F. Ekkor két pont között a munka független a választott úttól (azaz zárt görbére a munka zérus); létezik egy E pot (r) potenciális energia függvény, hogy F(r) grad E pot (r), ilyenkor az F erő által végzett munka az A kiindulási és a B végpont potenciális energiájának különbségeként számolható: W AB E pot [E pot (B) E pot (A)] E pot (A) E pot (B). A munka előjelet vált, ha az ellentétes irányba megyünk az adott görbén. A fentiek szerint kiszámolt munka az a munka, amit az adott erő végez a testen; az általunk az erőtér ellenében végzendő munka ennek ellentettje. rot F kiszámolása: -. / / 1 5 6& 1 7 6' Az erőtér meghatározása a potenciális energia függvényből: 89 : ;<% 1 &+ '+ (6 A potenciális energia függvény meghatározása az erőből: : ;<% (A) A, B pl. ha a koordinátatengelyekkel párhuzamosan megyünk és E pot (,,), akkor,, : ;<% +,,,, +,,,,,, +, ; 6( de a konkrét számolások alapja sokszor inkább az F grad E pot (ld. a feladatokat, pl. 7/.A). F(r) helyett használatos az E(r) térerősség (egységnyi tömegű testre ható erő): E(r) F(r) / m [N/kg], az ehhez tartozó potenciáfüggvény U(r) E pot (r)/ m [J/kg]; E(r) grad U(r). 7 / 1

2 7/1. Határozzuk meg az m tömegű anyagi pontra ható F (Ax+B) i + z j + (Dx+E) k [N] erő munkáját, ha a test a) a P (,,1) pontból a P 1 (,,1) pontba megy az y tengellyel párhuzamosan; b) a P (,,1) pontból a P (,,1) pontba megy az x tengellyel párhuzamosan; c) a P (,,1) pontból a P 1 (,,1) pontba megy a két pontot összekötő egyenes mentén! Hasonlítsuk össze az a) és b) feladatban kapott munka összegét a c) feladatéval! d) Konzervatív-e a fenti erőtér? e) Határozzuk meg az F erő által végzett munkát az x-z síkban fekvő R sugarú, origó középpontú körön végzett teljes körülfordulásra! f) Határozzuk meg az F erő által végzett munkát az x-y síkban fekvő R sugarú, origó középpontú körön végzett teljes körülfordulásra! a) Mivel az y tengellyel párhuzamosan megyünk, ezért dx dz : D E 7 / E 1 b) Most az x tengellyel párhuzamosan megyünk, ezért dy dz, tehát D (,,) (,,) (J +K) E #J +K) J E GH E. K J K. c) Írjuk fel az egyenes egyenletét t-vel paraméterezve, úgy, hogy t -ban legyen a test a P pontban és t 1 ben legyen a test a P 1 pontban (így könnyű lesz az integrálási határokat behelyettesíteni a végén). $ Az r(t) komponensei tehát x (1 t), y t, z 1, amiből, $, $ ; a dr komponensei dx dt, dy dt, dz ; és t: 1. (,,) (,,) 1 M(*),(*),(*)N $ + M(*),(*),(*)N $ +6* O(J+K) ( )+E P * (,,) MJM(1 *)N+KN ( )+E 1 * M J +J * K +E N * J K+E, vagyis ugyanannyi a munka a P és P 1 pontok között, akár egyenes úton megyünk, akár a P ponton keresztül a koordinátatengelyekkel párhuzamosan. d) -. / J +K E S+: / E & S', tehát nem konzervatív az erőtér. Megjegyzés: az xy síkban azért nézett ki konzervatívnak, mert rot F -nek a k komponense zérus és eddig az x-y síkban fekvő pályákkal számoltunk, aminek a vektora: da da k, így -. T, és a Stokes-tétel szerint -. T zérus a vonalintegrál értéke zárt görbére. e) Az x-z síkban fekvő R sugarú (origó középpontú) kör paraméteres alakja t-vel paraméterezve, t: π választással az r(t) komponensei x R cost, y, z R sint $ V WXY*, $, $ V Z[W* ; a dr komponensei dx R sint dt, dy, dz R cost dt ; O(J VZ[W*+K) ( VWXY*)+(E(VWXY*) ) ()+(S VZ[W*+:) (VZ[W*)P * O J V WXY* Z[W* K VWXY*+S V Z[W *+: VZ[W*P* # ] ^ _ Z[W*+K VZ[W*+S V1`ab% + % 6+: VWXY*) _ #S V % ) S V c

3 VAGY: -. T felhasználásával: kiszámoltuk, hogy -. E & S' és mivel a kör az x-z síkban fekszik, aminek a normálvektora j, ezért da da j tehát -. T ( S) J SJ ( S) V c mivel az R sugarú kör területe R π, azaz J R π. (A munka előjele a körüljárási iránytól függ.) f) Az x-y síkban fekvő R sugarú (origó középpontú) kör paraméteres alakja t: π választással: az r(t) komponensei x R cost, y R sint, z a dr komponensei dx R sint dt, dy R cost dt, dz ; $ $ $ V WXY*, V Z[W*, ; O(J VZ[W*+K) ( VWXY*)+(E ) (VZ[W*)+(S VZ[W*+:) ()P * O J V WXY* Z[W* K VWXY*P * # ] ^ Z[W*+K VZ[W*) _. + J V WXY* K VWXY*,* 7/. Adott a következő erőtér (egységnyi tömegű testre ható erő): E (xy+z) i x j (x+5) k [N/kg] Mekkora munkát végez egy m 5 kg tömegű testen az erőtér, miközben a test az r(t) (t+) i t j + (t +1) k görbe mentén a P (,,1) pontból a P 1 (1,,) pontba mozog? 1.) Behelyettesítéssel látható, hogy P -ban t, P 1 -ben t 1 1, tehát az integrálási határok: t: 1. x(t) t+, y(t) t, z(t) t $ $ $ +1 1,, * dr ( i j + t k ) dt. A térerősség most egységnyi tömegű testre van megadva ( E F / m ), tehát W m e : W m P1 t1 dz dt E dr m E x + E y + E z dt P t dx dt dy dt 1 {[ ( t + ) ( t) + ( t + 1) )] 1 + [ ( t + ) ] ( ) + [ ( t + ) + 5] (t)} 5 dt 1 5 (t + 6t + 1) dt... 4[ J ].) Más megoldás: konzervatív-e az erőtér? -. e / (+) (+5) tehát az erőtér konzervatív / ( )& M ( )N'+M ( )N( B, létezik potenciálfüggvény (.A): előállítjuk az E pot (r) függvényt és abból számoljuk ki a munkát: W E pot E pot (P ) E pot (P 1 ); a munka tetszőleges úton számolva ugyanannyi (.B): egyszerűbb utat választunk az integráláshoz. 7 /

4 .A) E pot (r) meghatározása: tudjuk, hogy F grad E pot, de mivel most F helyett E F/m van megadva, ha ezzel számolunk, akkor az egységnyi tömegre vonatkozó potenciális energiát kapjuk meg, jelöljük ezt U-val: U E pot /m, és E grad U. Descartes-komponensekkel g E i j+e k l+e m n, opqr U 1 tu ti j+tu tk l+tun6 ; tm a megfelelő komponenseknek egyenlőknek kell lenni, vagyis U/ x E x, U/ y E y, U/ z E z, azaz ismerjük az U(r) függvény parciális deriváltjait. U/ x E x (xy+z) U (xy+z)dx x y + xz + K 1 (y,z); itt K 1 olyan konstans, ami x-től nem függ, de függhet y-tól és z-től; ezért jelöli K 1 (y,z). Ennek y szerinti deriváltja U/ y x + K 1 (y,z)/ y; másrészt U/ y E y x K 1 (y,z)/ y, a konstans tehát független y-tól, de függhet z-től: U x y + xz + K (z). Ennek z szerinti deriváltja U/ z x + K (z)/ z, másrészt U/ z E z x + 5 K (z)/ z 5 K 5z U x y + xz + 5z + K. A K konstans értékét válasszuk -nak (így E pot az origóban) Tehát a potenciálfüggvény egységnyi tömegre U x y + xz + 5z [J/kg]. Megjegyzés: gyorsabban is összerakhatjuk az U függvényt: U/ x E x (xy+z) U (xy+z)dx x y + xz + k 1 (y,z) U/ y E y x U x dy x y + k (x,z) U/ z E z x+5 U (x+5)dz xz + 5z + k (x,y) Gyűjtsük össze a tagokat, de mindegyiket csak egyszer írjuk ki: U(r) x y + xz + 5z. Az erőtér által végzett munka a kezdő- és a végpont potenciáljának a különbsége: W/m U [U(P 1 ) U(P )] U(P ) U(P 1 ). A P (,,1) pontban x, y, z 1 U(P ) J/kg; a P 1 (1,,) pontban x 1 1, y 1, z 1 U(P 1 ) J/kg; W/m U(,,1) U(1,,) J/kg, tehát az m 5 kg tömegű testen az erőtér által végzett munka W 5 ( 8) 4 J..B) Mivel az erőtér konzervatív, választhatunk más, a megadottnál egyszerűbb utat is a P és P 1 pontok között (mivel ekkor a munka csak a kezdő- és végpontoktól függ). Válasszuk azt az utat, amikor rendre az x,y,z tengelyek mentén megyünk: P (,,1) (1,,1) (1,,1) P 1 (1,,) Amikor az x tengely mentén megyünk, behelyettesítjük E x -be y és z értékét ( y, z1 ) és x: 1 ; amikor az y tengely mentén megyünk, behelyettesítjük E y -ba x és z értékét ( x1 lett, z1 ) és y: ; amikor a z tengely mentén megyünk, behelyettesítjük E z -be x és y értékét ( x1, y lett) és z: 1. P1 (1,,1) (1,,1) (1,,) W m E dr 5 ( xy + z) dx + x dy + (x + 5) dz P (,,1) (1,,1) (1,,1) 1 5 ( x + 1) dx + 1 dy + ( 1+ 5) dz... 4 [ J ]. 1 7/. Egy erőhöz tartozó potenciális energiát az alábbi függvény adja meg: E pot xy + 16 xz a) Adjuk meg a potenciális energiához tartozó erőt! b) Mekkora munkát végez a fenti erő, ha a test a P (1,,) pontból a P 1 ( 4,5, 6) pontba mozog a pontokat összekötő egyenes mentén? c) Mekkora erő hat a testre a P kezdőpontban? 7 / 4

5 a) F grad E pot ( (y z) i + 4xy j x k ) ( y +z) i 4xy j + x k b) A potenciális energiából W E pot E pot (P ) E pot (P 1 ) [ 1 ( ) ] [ ( 4) ( 4) ( 6)] [15] [ 56] 71 J. Persze kiszámolhatjuk a munkát vonalintegrállal is: (_,,x) (_,y,x) (_,y,z) + (,,x) (_,,x) + (_,y,x) ( ( ) ) + ( 4 ( 4)) y z x c) F(P ) ( ( ) + ) i 4 1 ( ) j + 1 k 1 i + 8 j + k, y z + M ( 4)N x GH _ +G8 H y +G 1H x z 71 J. ennek nagysága (Pitagorasz-tétellel) F(P ) 74 8,6 N. Gyakorló feladatok a zárthelyire 7/4. Határozzuk meg az E (x+4) i z j + x k [N/kg] erőtér által egy m kg tömegű testen végzett munkát, ha a test a) a P 1 (, 1,) [m] és a P (,1,) [m] pontok között mozog egyenes pályán! b) a P (,,) [m] és a P 4 ( 5,4,) [m] pontok között mozog rendre az x,y,z tengelyekkel párhuzamosan! a) A mozgás itt csak az y tengellyel párhuzamosan történik, így dx dz. P P 1 { ( x + 4) dx z dy + x dz} dy J W F dr m E dr P1 P1 (,1,) (, 1,) b) P4 ( 5,4,) ( 5,,) ( 5,4,) ( 5,4,) W F dr m E dr ( x + 4) dx + z dy + x P (,,) (,,) ( 5,,) ( 5,4,) 1 dz 5 4 ( x + 4) dx + dy + ( 5) dz 7 { } J.. 7/5. Adott a térerősség a következő alakban: E (x+xz) i + (y +5xz) j + 5xy k [N/kg]. a) Állapítsuk meg, létezik-e potenciál, és ha igen, adjuk meg! b) Mekkora munkát végez az erőtér, ha egy m kg tömegű test mozog egy egyenes mentén a P 1 (1,, 1) [m] pontból a P ( 1,,) [m] pontba? i j k a) rot E (5x 5x) i (5y x) j + (5z ) k (x 5y) j + 5zk x y z x + xz y + 5xz 5xy tehát nem létezik potenciál. 7 / 5

6 b) A P -ból P 1 -be mutató egyenes egyenlete t-vel paraméterezve, P -nál t, P 1 -nél t1 választással: r(t) ( t+1) i + j + (t 1) k dr ( i + k) dt. W m 1 r1 t1 dz dt E dr m E x + E y + E z dt r t dx dt dy dt {[ ( t + 1) + ( t + 1) (t 1) ] ( ) + [ + 5( t + 1) (t 1) ] + [ 5( t + 1) ] 1} dt 1 4 { 8t t + 8} dt... J. 7/6. Határozzuk meg az F [ (x+z) ln(y) ] i + [ (x +xz) / y ] j + [ x ln(y) ] k erő által végzett munkát, miközben a test az r (5 t) i + j 4t k egyenes mentén a P (7,,4) pontból a P 1 (5,,) pontba jut! (Az erő N-ban, az r m-ben értendő.) Konzervatív az erőtér? dr ( i 4 k) dt az integrálási határok (behelyettesítéssel): P -ban t 1, P 1 -ben t 1 % # $ + $ )* mert dy % D G((5 *) 4*) Y ( )+(5 *) Y ( 4)H *... 5 Y 57,1 J Konzervatív, ha rot F rot F (x/y x/y) i (ln(y) ln(y)) j + ((x+z)/y (x+z)/y) k tehát konzervatív az erőtér eszerint az a) feladatot számolhatjuk máshogy is, mehetünk pl. a tengelyekkel párhuzamosan: (y,x,_) (y,x,) + (,x,_) (y,x,_) (y,x,_) (y,x,) ( +4) Y + (,x,_) 5 Y.. (y,x,_) VAGY előállíthatjuk a potenciális energia függvényt: E pot (x + xz) ln(y) 5 Y ; és kiszámolhatjuk ebből a munkát: W E pot E pot (P ) E pot (P 1 ) 77 ln ( 5 ln) 5 ln 7/7. Egy E ( y) i (x+yz) j y k alakú erőtérben egységnyi tömegű test mozog az r (t +1) i + (t 1) j + t k görbe mentén. a) Konzervatív-e az erőtér? b) Mekkora munkát végez az erőtér, míg a P (,, ) pontból a P 1 (,,) pontba jut a test? a) -. e ƒ ( +)& ( )'+( +)( B (+) tehát az erőtér konzervatív. b) A munkát számolhatjuk a potenciálból: U/ x E x ( y), U/ y E y (x+yz), U/ z E z y a potenciál U x + xy + y z, ezzel W E pot m ( U) 1 (U(P ) U(P 1 )) [ + ( )+( ) ( )] [ + + ] 16 J. 7 / 6

7 VAGY: dr/dt t i + j + k, és P -ban t 1, P 1 -ben t 1 1; M (* 1)N * M(* +1)+(* 1)*N 1 (* 1) dt G 1* +18* 4H dt 16 ˆ. VAGY: mivel az erőtér konzervatív, a munka számolható más utat választva is, pl. a koordinátatengelyekkel párhuzamosan haladva. 7/8. Mekkora munkát végez az E (y ) i + (x z ) j 4 yz k erőtér egy m 1,8 kg tömegű testen, ha a test a P ( 1,1,) pontból a P 1 (5,1,) pontba mozog az r ( t) i + t j + k görbe mentén? Konzervatív-e az erőtér? -. e ƒ 4 tehát az erőtér konzervatív. A munkát számolhatjuk a potenciálból: ( 4+4)& ( )'+(1 1)( B U/ x E x (y ), U/ y E y (x z ), U/ z E z 4yz a potenciál U x xy + yz, ezzel W/m U(P ) U(P 1 ) [ ( 1) ( 1) 1+ 1 ] [ ] 1 J/kg. VAGY vonalintegrállal: dr/dt i + t j + k, és P -ban t 1, P 1 -ben t 1 1 W/m G(t ) ( )+((( t) ) t+)h dt Gt +4t H dt 1 J/kg. VAGY: mivel az erőtér konzervatív, a munka számolható más utat választva is, legegyszerűbben úgy, hogy az x tengellyel párhuzamosan megyünk a P -ból a P 1 -be: (y,,) y y W/m (y )dx (,,) (1 )dx dx GxH y 1 J/kg. Az 1,8 kg tömegű testen végzett munka W 1,8 1 1,6 J. 7/9. Egy test az r(t) (t ) i t j + (t 1) k [m] görbe mentén mozog a P (, 4, 7) [m] pontból a P 1 (,, 1)[m] pontba. Mekkora munkát végez eközben a testen az F (xy+z) i + xz j + (y x) k [N] erő? Ha kiszámoljuk rotf-et, látjuk, hogy az nem zérus ( rotf (y x)i+j+(z x)k ), tehát a munkát mindenképpen az előírt vonalintegrállal kell kiszámolni. Behelyettesítéssel látható, hogy P -ban t, P 1 -ben t 1, tehát az integrálási határok: t:. $ $ $ A dr vektor: 1,, 4*, tehát dr ( i j + 4t k ) dt x(t) (t ), y(t) t, z(t) (t 1) behelyettesítésével W Mx(t),y(t),z(t)N rp p p D M(t )( t)+(t 1)N 1+M(t )(t 1)N ( )+M( t) (t )N 4t dt D O4t x +18t +t 1P dt Gt _ +6t x +11t 1tH 7 / 7

8 7/1. Adott a következő erőtér: E (y ) i + (x z ) j 4yz k [N/kg] Mekkora munkát kell végeznünk a fenti erőtér ellen, ha egy egységnyi tömegű testet mozgatunk az x [m] síkban fekvő y + z 4 egyenletű kör mentén pozitív irányban a P (,,) [m] pontból a P 1 (,,) [m] pontba? m 1 kg F m E (y ) i + (x z ) j 4yz k [N] r(t) i + cos t j + sin t k dr (- sin t j + cos t k) dt P -ban t, P 1 -ben t π W π [( 4sin t)( sin t) (4 cos t sin t) (cos t) ] dt... π 48 cos t sin t 48 cos t ( 8sin t + 48sin t) dt 8 cos t 1 J W 1 J munkát végezne az erőtér, azaz nekünk 1 J munkát kell végeznünk. Más megoldás: rot E..., tehát az erőtér konzervatív. A potenciál U x xy + yz [J/kg], az erőtér által végzett munka W/m U U(P ) U(P 1 ) 1 J/kg, az egységnyi tömegen általunk végzendő munka W 1 J. π Nem zh feladatok 7/11. Keressük meg az alábbi helyzeti energia függvényekhez tartozó erőtereket! a) E pot ax + by + cz c) E pot A z e ax + by b) E pot A e ax + by + cz d) E pot A (ax + by + cz) 1 a) F grad E pot (a i + b j + c k) b) F A (a e ax + by + cz i + b e ax + by + cz j + c e ax + by + cz k ) A e ax + by + cz (a i + b j + c k) E pot (a i + b j + c k) (Bevezetve az a i + b j + c k v vektort az E pot felírható E pot A e v r alakban.) 7/1. Keressük meg az alábbi erőterekhez tartozó helyzeti energia függvényt, ha van! (Ha csak bizonyos feltételek teljesülése esetén létezik helyzeti energia, akkor adjuk meg a szükséges feltételeket!) a) F a i + b j + c k c) F ay i + bx j + cz k b) F ax i + by j + cz k d) F a (x + y + z )( x i + y j + z k ) a) rot F, E pot (ax + by + cz) ( ami felírható rövidebben: E pot F r ) b) rot F, E pot ½ ( a x + b y + c z ) c) -. / / ( ) ( Z vagyis akkor van csak potenciális energia, ha b a; ekkor E pot ( a xy + ½ c z ) 7 / 8

ANALÍZIS II. Példatár

ANALÍZIS II. Példatár ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Analízis III. gyakorlat október

Analízis III. gyakorlat október Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer

Részletesebben

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendület Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya. Lendülettétel: Az lendület erő hatására változik meg. Az eredő erő határozza meg

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek

Részletesebben

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

1. ábra. 24B-19 feladat

1. ábra. 24B-19 feladat . gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,

Részletesebben

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)

Q 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1) . Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol

Részletesebben

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra . Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától

Részletesebben

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens

FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy

Részletesebben

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =, Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2

Részletesebben

2014/2015. tavaszi félév

2014/2015. tavaszi félév Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29.

A mechanika alapjai. A pontszerű testek kinematikája. Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz szeptember 29. A mechanika alapjai A pontszerű testek kinematikája Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. 2006. szeptember 29. 2 / 35 Több alapfogalom ismerős lehet a középiskolából. Miért tanulunk erről mégis? 3 /

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Differenciálegyenletek december 13.

Differenciálegyenletek december 13. Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire

Részletesebben

Vektorok és koordinátageometria

Vektorok és koordinátageometria Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)

1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás) Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )

Részletesebben

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel

Részletesebben

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9. Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek

Részletesebben

Matematika M1 Gyakorlat

Matematika M1 Gyakorlat Matematika M Gyakorlat BME - Gépésmérnök MSc Gyakorló Feladatsor. Zh. Határoa meg a α paraméter értékét úgy hogy a vx y = αx y xy 4y 3 3 kétváltoós függvény egy reguláris komplex függvény képetes rése

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

A brachistochron probléma megoldása

A brachistochron probléma megoldása A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Koordinátarendszerek

Koordinátarendszerek Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli

Részletesebben

Vektoranalízis Vektor értékű függvények

Vektoranalízis Vektor értékű függvények VS Vektor értékű üggvények VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk azokat a üggvényeket, amelyek értékkészlete a valós számok halmazának egy részhalmaza. Ezek egyrészt az R R típusú egyváltozós, valós

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor . Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény. Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...

Részletesebben

Fizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13.

Fizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13. Fizika Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK 017. február 13. A lejtő mint kényszer A lejtő egy ún. egyszerű gép. A következő problémában először a lejtőt rögzítjük, és egy m tömegű test súrlódás nélkül lecsúszik

Részletesebben

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája

A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

5. fejezet. Differenciálegyenletek

5. fejezet. Differenciálegyenletek 5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y

Részletesebben

Koordinátageometria Megoldások

Koordinátageometria Megoldások 005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának

Részletesebben

Vektoranalízis Vektor értékű függvények

Vektoranalízis Vektor értékű függvények Vektoranalízis VS Vektoranalízis Vektor értékű üggvények A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Vektoranalízis VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk

Részletesebben

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)

Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2) 2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,

Részletesebben

Egyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16

Egyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16 Egyenes és sík Wettl Ferenc 2012-09-20 Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2012-09-20 1 / 16 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont távolsága 2 Sík Sík

Részletesebben

A Hamilton-Jacobi-egyenlet

A Hamilton-Jacobi-egyenlet A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P

Részletesebben

Szélsőérték feladatok megoldása

Szélsőérték feladatok megoldása Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,

(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0, Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M

v i = v i V. (1) m i m i (v i V) = i P = i m i V = m i v i i A V = P M Mképpen függ egy pontrendszer mpulzusa a vonatkoztatás rendszertől? K-ban legyenek a részecskék sebessége v. K -ben mely K-hoz képest V sebességgel halad v = v V. (1) P = m v = m (v V) = m v m V = = P

Részletesebben

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor: I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

(a nevező mindig az össztömeg)

(a nevező mindig az össztömeg) Fizika számgyak zh gyakorló 014 EBBEN AZ ANYAGBAN UGYANAZOK AZ ANYAGOK VANNAK EGYBESZERKESZTVE, AMIK HETENKÉNT KI VOLTAK RAKVA, CSAK SZÜRKÉVEL MEG VANNAK JELÖLVE AZOK A RÉSZEK, AMIK NEM ZH SZINTŰ KÉRDÉSEK.

Részletesebben

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel; Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához

Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

Matematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz

Matematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz Matematka M. zárthely megoldások, 7 tavasz A csoport Pontozás: + 7 + 7 + 7) + 3 + 6 5 pont.. Lehet-e az ux, y) e 3x cos3y) kétváltozós valós függvény egy regulárs komplex függvény valós része? Ha gen,

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1 Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P

Részletesebben

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1 Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,

Részletesebben

Szélsőérték-számítás

Szélsőérték-számítás Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y

Részletesebben

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból

Részletesebben

1. A komplex számok definíciója

1. A komplex számok definíciója 1. A komplex számok definíciója A számkör bővítése Tétel Nincs olyan n természetes szám, melyre n + 3 = 1. Bizonyítás Ha n természetes szám, akkor n+3 3. Ezért bevezettük a negatív számokat, közöttük van

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál (megoldás)

3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál (megoldás) Maemaika A3 gyakorla Energeika és Mecharonika BSc szakok, 6/7 avasz 3. feladasor: Görbe ívhossza, görbemeni inegrál megoldás. Mi az r 3 3 i + 6 5 5 j + 9 k görbe ívhossza a [, ] inervallumon? A megado

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

W = F s A munka származtatott, előjeles skalármennyiség.

W = F s A munka származtatott, előjeles skalármennyiség. Ha az erő és az elmozdulás egymásra merőleges, akkor fizikai értelemben nem történik munkavégzés. Pl.: ha egy táskát függőlegesen tartunk, és úgy sétálunk, akkor sem a tartóerő, sem a nehézségi erő nem

Részletesebben

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek

{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek 1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és

Részletesebben

8. előadás. Kúpszeletek

8. előadás. Kúpszeletek 8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok

Óravázlatok: Matematika 2. Tartományintegrálok Órvázltok: Mtemtik 2. rtományintegrálok Brth Ferenc zegedi udományegyetem, Elméleti Fiziki nszék készültség: April 23, 23 http://www.jte.u-szeged.hu/ brthf/oktts.htm) ontents 1. A kettős integrál 1 1.1.

Részletesebben

Analízis II. gyakorlat

Analízis II. gyakorlat Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Ismétlés................................................... Integrálás...............................................

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

Lineáris algebra mérnököknek

Lineáris algebra mérnököknek B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05

Részletesebben

1 2. Az anyagi pont kinematikája

1 2. Az anyagi pont kinematikája 1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni

Részletesebben

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13. 2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T

Részletesebben

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5 Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

Egy mozgástani feladat

Egy mozgástani feladat 1 Egy mozgástani feladat Előző dolgozatunk melynek jele és címe: ED ~ Ismét az ellipszis egyenleteiről folytatásának tekinthető ez az írás. Leválasztottuk róla, mert bár szorosan kapcsolódnak, más a céljuk.

Részletesebben

2. Algebrai átalakítások

2. Algebrai átalakítások I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

9. előadás. Térbeli koordinátageometria

9. előadás. Térbeli koordinátageometria 9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

3. Lineáris differenciálegyenletek

3. Lineáris differenciálegyenletek 3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra

Részletesebben