KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
|
|
- József Fábián
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7
2 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek pedig valós számok Jelölése: (1) Ezt a függvényt szokás skalártérnek is mondani Az (1) függvény szintfelületei az felületek (C állandó) Az u függvény deriváltja a (2) vektor (gradiens vektor) Az u függvény e irányban vett iránymenti deriváltja a (3) skaláris szorzat (e egységvektor) A gradiens formális jelölése lehetséges módon (olv "nábla u"), ahol (4) A vektor önmagával vett skaláris szorzata a (4/a) Laplace-operátor, és Legyen a g görbe egyenlete Ekkor az u skalár-vektor függvény g görbe menti, ívhossz szerinti vonalintegrálja: (5) Látható, hogy integrálás előtt az függvénynél elvégeztük az helyettesítést Szokás azt mondani, hogy a függvényt lokalizáltuk a görbére Valójában a függvény leszűkítéséről van szó Ha, akkor az (5) integrál értéke a görbe ívhosszával egyenlő Ha u = f(x, y) kétváltozós függvény, g pedig az (x, y) -síkban fekvő görbe, akkor
3 (6) Ha, akkor ez geometriailag a g vezérgörbéjű, z -tengellyel párhuzamos alkotójú henger palástjából annak a darabnak a felszínével egyenlő, amely a z = 0 sík és a z = f(x, y) felület közé esik Az u függvény g görbe menti, x, y, ill z koordináta szerinti vonalintegrálja:,, ill (7) Legyen az F felület egyenlete integrálja: Ekkor az u függvény F felületre vonatkozó felszíni, (8) ahol T az F felületdarabnak megfelelő tartomány, a t, v síkon Ha az F felület egyenlete z = f(x, y), akkor a (8) integrál a következő alakú lesz: (8/a) Az u függvény F felületre vonatkozó, az (x, y), (x, z), ill (y, z) koordinátasíkon való vetület szerint vett felületi integrálja: ill (9) A vektor-vektor függvény értelmezési tartománya is, értékkészlete is vektorokból áll Jelölése: (10) Ezt a függvényt szokás vektortérnek is mondani A v vektor-vektor függvény divergenciája:, (11) rotációja: (12) Ha, akkor a vektorteret forrásmentesnek, ha, akkor örvénymentesnek mondjuk A v vektor-vektor függvény g görbe menti (skalár értékű) vonalintegrálja: (13) A v függvény F felületre vonatkozó (skalár értékű) felületi integrálja:, (14)
4 ahol a felület egyenlete, T pedig a felületdarabnak megfelelő tartomány Ha a felület egyenlete z = f(x, y), akkor felfelé mutató normális esetén df (15) A Gauss-Osztrogradszkij-tétel Legyen div v folytonos az F sima felülettel határolt zárt V térrészben Ekkor, (16) ahol a df felületi normálvektor kifelé mutat (külső normális) A Stokes-tétel Legyen folytonos a korlátos, sima F felület pontjaiban Ekkor, (17) ahol g az F felület(darab) határgörbéje, amely df irányából szembenézve, az óramutató járásával ellentétes irányítású A Stokes-tétel síkbeli alakjához jutunk, ha v = (P(x, y), határolt T része Ekkor a Green-formulának nevezett tétel: pedig az (x, y) - síknak a g görbével (18) Ha, vagyis v örvénymentes, akkor az vonalintegrál független a görbe alakjától, annak értéke csak a g görbe kezdőpontjától és végpontjától függ Ilyenkor a teret potenciálosnak is mondjuk Ekkor létezik olyan u(r) skalárvektor függvény, ún potenciálfüggvény, hogy grad u(r) = v (r), és (19) Itt A a g görbe kezdőpontja, B pedig végpontja A potenciálfüggvény a grad u = v feltételből határozható meg Ez a feltétel az alábbi egyenletekre vezet: (20) 2 MINTAPÉLDÁk Megoldások: láthatók nem láthatók 1 Írjuk fel az függvény szintfelületeinek egyenletét Megoldás A szintfelületek egyenlete u(x, y, z) = C Tehát formálisan írjunk u helyébe C -t Ekkor, azaz Ez a szintfelületek egyenlete Ezek a
5 felületek forgási paraboloidok C különböző értékeihez különböző felületek tartoznak Például C = 4 esetben a 2 Írjuk fel az alábbi függvények gradiensét: a) ; b) Megoldás Használjuk a (2) képletet: a) ; b) 3 Számítsuk ki az alábbi függvények adott a irányú iránymenti deriváltját az adott helyen a),, b) ; Megoldás Használjuk a (3) formulát a), Az irányt most az a vektorral adtuk meg, amely azonban nem egységvektor Vegyük ezért ennek az egységvektorát, és legyen most ez az e egységvektor, azaz Az iránymenti derivált: b), Az irány most a grad u vektor iránya Ennek egységvektora lesz az e vektor, azaz Ekkor a (3) képlet szerint:
6 4 Számítsuk ki az függvény g görbe menti, ívhossz szerinti vonalintegrálját, ha g az r = (cos t, sin t, t) csavarvonal íve Megoldás Az (5) képletet használjuk A görbe skaláris egyenletrendszere: x = cos t, y = sin t, z = t Ekkor, 5 Számítsuk ki az körhenger palástjából annak a résznek a felszínét, amely a z = 0 és a z = 2 x síkok közé esik (48 ábra) 48 ábra Megoldás A (6) formulát használjuk arra az esetre, amikor u = 2 x, a görbe paraméteres egyenletrendszere pedig: x = 2cos t, y = 2sin t Ekkor A palást felszíne: 6 Számítsuk ki az alábbi vonalintegrálokat a megadott görbék mentén: a), g : r = (sin t, cos t, t);
7 b), g : r = (a(t t), a(1 cos t), 0), c), g : x = a cos t, y = a sin t, z = bt, Megoldás Használjuk a (7) képleteket a) Most zárt görbe mentén kell integrálni, így az integrálás határai 0 és x = sin t, y = cos t, z = t, dx = cos t dt Elvégezve a lokalizálást: x + y + z = sin t + cos t sin t = cos t Így az integrál: b) x = a(t t), y = a(1 t), dx = a(1 t)dt, dy = a sin t dt Ezeket a helyettesítéseket elvégezve, az integrál: c) Elvégezve a lokalizálásokat, és figyelembe véve, hogy dx = sin t dt, dy = a cos t dt, dz = b dt, az integrál: 7 Számítsuk ki az alábbi felszíni integrálokat: a), ahol F az x + y + z = 2 síknak az első térnyolcadba eső része; b), ahol F a egyenlőtlenséggel meghatározott test (kúptest) határa Megoldás Használjuk a (8/a) képletet: a) Itt u = x + y + z, a felület egyenlete pedig Ekkor, u leszűkítése a felületre (a lokalizált u): u = x + y + = 2 Az integrációs tartomány (a felületdarab vetülete vetülete az (x, y) - síkra) a 49 ábrán látható
8 49 ábra Az integrál: b) A test határa a kúpfelület része ( ), és a z = 1 magasságban lévő körlap ( ) A 410 ábra az (x, z) síkkal való metszetet mutatja 410 ábra Az integrált ennek megfelelően két részletben számítjuk Az felület esetében,, Az felület esetén, Alaptartomány mindkét esetben az körlap Az integrál: 8 Számítsuk ki az alábbi, vetület szerint vett felületi integrálokat:
9 a), ahol F az x + y + z = 2 síknak az első térnyolcadba eső része; b), ahol F a egyenlőtlenséggel meghatározott test (kúptest) határa Megoldás Használjuk a (9) képleteket: a) Legyen most a felület egyenlete y = Ekkor u = 2 Az alaptartomány a felület (x, z) - síkon lévő vetülete Ez a 49 ábrán látható háromszög, csak az y tengely szerepét a z tengely veszi át Az integrál: b) A 7b) példához hasonlóan az integrált két részletben számítjuk: 9 Számítsuk ki az alábbi vektor-vektor függvények divergenciáját és rotációját Számítsuk ki a divergenciát és rotációt a pontban is: a) v = r = (x, y, z), (2; ; 5); b), ( ; 1; 4); c), P(0; 2; ); d), (1; ; 3) Megoldás Használjuk a (11) és (12) képleteket a),, b),,,
10 c), d),, 10 Számítsuk ki az alábbi függvények vonalintegrálját a megadott görbék mentén: a) v = (x y, y z, z x), g : r = (cos t, sin t, cos t), ; b),, z = 0,, ; c) v = (2y, 3z, x), g a, pontokat összekötő szakasz Megoldás Használjuk a (13) képletet úgy, hogy a v függvényt lokalizáljuk a g görbére a) A görbe egyenletéből látható, hogy x = cos t, y = sin t, z = cos t, dx = t dt, dy = cos t dt, dz = t dt v = (cos t sin t, sin t cos t, cos t cos t) Az integrandusz: Az integrál: b) A görbe origó középpontú, a sugarú kör első síknegyedbeli része Paraméteres egyenletrendszere: x = a cos t, y = a sin t, z = 0, Az integrál:, dx = sin t dt, dy = a cos t dt, dz = 0
11 c) Előbb írjuk fel a 1; 1; 2), (2; ; 4) pontokat összekötő görbe (egyenes) egyenletét Az irányvektor: Az egyenes egyenlete: Mivel dx = dt, dy = 4dt, dz = 2dt, az integrál: azaz x = 1 + t, y = 1 4t, z = 2 + 2t, ) 11 Számítsuk ki az alábbi függvények felületi integrálját felfelé mutató felületi normális mellett: a) v = (x + 1; y + z; x + y + z), a felület pedig az x + y + z = 2 síknak az első térnyolcadba eső része (411 ábra); b) v = r = (x, y, z), a felület pedig az, félgömb; c) v = (2x, x + y, z), a felület pedig az r = (u cos v, u sin v, av) csavarfelület, része 411 ábra Megoldás Használjuk a (14) és (15) képleteket a) v lokalizálva a z = 2 x y felületre: v = (x + 1; y + 2 x y; x + y + 2 x y) = (x + 1; 2 x; 2) A felfelé mutató df vektor a (15) szerint: df Az integrálási tartomány a 49 ábrán látható Az integrál: b) A felső félgömb egyenlete: Mivel,, a felfelé mutató df vektor
12 df Az integrandusz: Az alaptartomány az körlap, így az integrál: c) A felület paraméteres egyenletrendszere: x = u cos v, y = u sin v, z = av A felületre lokalizált v vektor: v = (2u cos v, u cos v + u sin v, av) A felfelé mutató df vektor: Az integrandusz: Az integrál: 12 Számítsuk ki a Gauss-Osztrogradszkij-tételben szereplő integrálokat, ha, és a V térrészt a paraboloid és a z = 0 sík határolja Megoldás A V térrész (x, z) - síkkal való metszete a 412 ábrán látható 412 ábra
13 Előbb kiszámítjuk a tétel bal oldalán álló hármas integrált div v = = 5, Itt kihasználtuk azt, hogy a T tartomány az körlap A tétel jobb oldalán szereplő integrált két részletben kell számítani, mert a V térrészt határoló felület két részből áll A kifelé mutató normális miatt a paraboloidhoz tartozó vektor felfelé mutat, a z = 0 síkhoz tartozó pedig lefelé (412 ábra) Ennek megfelelően, A paraboloidra lokalizált v vektor és skaláris szorzata: A z = 0 síkra lokalizált v vektor és skaláris szorzata: A tétel jobb oldalán szereplő integrál: 13 Gauss-Osztrogradszkij-tétel felhasználásával számítsuk ki a v = (2x + z, y, x függvény felületi integrálját az gömbfelületre, kifelé mutató normális mellett Megoldás A felületi integrál helyett számítsuk ki div v hármas integrálját Mivel div v = = 2, ezért Itt kihasználtuk azt, hogy értéke a V gömbtest térfogatával egyenlő 14 Számítsuk ki a Stokes-tételben szereplő integrálokat, ha
14 v = ), a felület pedig a paraboloid része Megoldás A felület és annak határgörbéje a 413 ábrán látható A határgörbe egy 2 sugarú kör Paraméteres egyenletrendszere: x = 2 cos t, y = 2 sin t, z = 0 A görbére lokalizált v vektor: v =(4 cos t sin t, 2 sin t, 2 cos t) 413 ábra A bal oldali integrál: A jobb oldali integrálhoz állítsuk elő a rot v vektort Ez a vektor most nem függ z -től, ezért a lokalizált rot v = (1; 0; 1) A g görbe irányításának megfelelően a df vektort felfelé kell irányítani, ezért df = (x, y, 1)dx dy Így a jobb oldali integrál: 15 A Stokes-tétel felhasználásával számítsuk ki a v = (2xy,, 2z + y) vektortér vonalintegrálját a g zárt görbére nézve, ha g az ellipszis Megoldás A vonalintegrál helyett számítsuk ki a a tétel jobb oldalán szereplő integrált:
15 16 Számítsuk ki az vonalintegrál értékét, ha a g görbe az O(0; 0), A(1; 0), B(1; 1) csúcspontú háromszög (414 ábra) Megoldás Itt P = 2 + y, Q = 5x y, A vonalintegrál a (18) felhasználásával: 17 Vizsgáljuk meg, hogy van-e potenciája a v = (2xy,, 2z + y) vektortérnek Ha van, akkor határozzuk meg a potenciálfüggvényt és számítsuk ki v vonalintegrálját az A(2; ; 3), B(1; 0; ) pontokat összekötő tetszőleges görbe mentén Megoldás Potenciál akkor létezik, ha A 15 példában láttuk, hogy, tehát van potenciál Az u potenciálfüggvényt abból a feltételből határozzuk meg, hogy grad u = v Ez a (20) egyenletekre vezet Jelen esetben,, Látható, hogy az u függvényt annak deriváltjaiból kell előállítani Az első egyenletet integrálva:, ahol nyilván függhet y -tól és z -től Deriváljuk ezt az u függvényt y szerint Ekkor
16 Ezt felhasználva, Deriváljuk ezt z szerint Ekkor Ezt felhasználva,, ahol tetszőleges állandó Ellenőrzés: A v vonalintegráljának értéke ekkor nem függ a görbe alakjától, csupán a kezdő- és a végpont helyzetétől A (19) szerint 3 FELADATOk 1 Írja fel az alábbi skalárvektor függvények szintfelületeinek egyenletét: a) ; b) u = z y; c) ; d) u = x + y + z 2 Írja fel az alábbi függvények gradiensét: a) ; b) u = z y; c) ; d) u = x + y + z 3 Számítsa ki az alábbi függvények a irányú iránymenti deriváltját (adott helyen): a),, ; b),, 4 Számítsa ki az alábbi, ívhossz szerinti vonalintegrálokat: a),, ; b),, ; c), ahol g az kör
17 5 Számítsa ki az homogén tömegeloszlású csavarvonal íve súlypontjának koordinátáit 6 Számítsa ki annak a hengerpalástnak a felszínét, amelyet az hengerből a z = xy nyeregfelület és a z = 0 sík az első térnyolcadban kimetsz 7 Számítsa ki az alábbi vonalintegrálokat: a), ha g az görbe íve; b), ha g az zárt görbe 8 Számítsa ki a skalár-vektor függvény felszíni integrálját az r = (u cos v, u sin v, v) csavarfelület, darabjára nézve 9 Számítsa ki a függvény felületi integrálját (az (x, y) - síkon való vetület szerint) az r = (u cos v, u sin v, v) csavarfelület, darabjára nézve, felfelé mutató normális mellett 10 Határozza meg az alábbi vektorterek divergenciáját és rotációját: a) ; b) 11 a) b) div grad 12 Számítsa ki az alábbi vektor-vektor függvények adott g görbe menti (skalár értékű) vonalintegrálját: a), g :, ; b) v = (x, x + y, xyz), g : r = (cos t, sin t, t), 13 Számítsa ki az alábbi vektorterek (skalár értékű) felületi integrálját felfelé mutató felületi normális mellett: a), ahol a felület a 2x + 2y + z = 6 sík első térnyolcadba eső része; b) v = r = (x, y, z), ahol a felület a kúppalást része; c), ahol a felület az gömbfelület első térnyolcadba eső része 14 Számítsa ki a vektortér felületi integrálját (átáramlási feleslegét) az gömbfelületre, kifelé mutató felületi normális mellett 15 Számítsa ki a Gauss-Osztrogradszkij-tételben szereplő integrálokat az alábbi v vektortér és V térrész esetén: a) v = (2, x + y, ), V :,, ; b),, 16 A Gauss-Osztrogradszkij-tétel alkalmazásával számítsa ki a vektortér felületi integrálját az, félgömbfelület és az körlap által alkotott zárt felületre nézve
18 17 Számítsa ki a Stokes-tételben szereplő integrálokat az alábbi v vektortér és F felület esetén: a), F : 2z =, ; b), F : z =,, 18 A Stokes-tétel alkalmazásával számítsa ki az vonalintegrált, ahol g az A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(0; 0; a) háromszög 19 Számítsa ki a Green-formula alkalmazásával az vonalintegrált, ha a g görbe a, parabolalemez határa 20 Vizsgálja meg, hogy van-e potenciálja az alábbi vektortereknek Ha van, akkor állítsa elő a potenciálfüggvényt, majd számítsa ki a vektortér (skalárértékű) vonalintegrálját az adott A, B pontokat összekötő görbe mentén: a), A(2; 0; 0), B(0; 1; 2); b), A(1; ; 5), B(3; 0; ); c), A(2; 0; ), B(1; 3; ); d) v = (2x + y; x ; z), A( ; 4; 0), B(2; 1; 3) Megoldások 1 a) ; b) ; c) ; d) x + y + z = C 2 a) grad u = u = 2x i + 2y j + 2z k = (2x, 2y, 2z) = 2r; b) grad u = u = i j + k = (,, 1); c) grad u = u = 2x i + 2y j + k = (2x, 2y, 1); d) grad u = u = i + j + k = (1; 1; 1) 3 a) grad u = (2x, 2y, 2) = (4; ; 2),, ; b) grad u = 4 a), ;
19 b) ; ; c) x = 2cos t, y= 2sin t, ds = 2dt, 5 A súlypont koordinátái:,,, ahol s a g görbe ívhossza Ez jelen esetben, mivel Az integrálok:,, A súlypont koordinátái:,, 6 Használjuk a (6) képletet: x = 2cos t, y = 2sin t, ds = 2dt, xy = 4cos t sin t, így a palástfelszín (415 ábra): 415 ábra 7 a) x = t,,, dx =dt, ;
20 b) x = sin t, y = cos t, z = sin t, dy = t dt, 8 Alkalmazzuk a (8) formulát (l a 11 c) mintafeladatot), így Az integrál: 9 A (9) formulát alkalmazzuk Ennek a csavarfelületnek Descartes-koordinátás egyenlete: z = arctg Így az integrál: A feladat megoldható a következőképpen is: dxdy nem más, mint a tengelyre való vetületének abszolút értéke Ez jelen esetben u du dv Ez felhasználva, vektor z 10 a) div v = v = 2x + 2y + 2z, ; b) div v = yz z, 11 a) grad u =, div grad u = 30 xy + 6z De eljárhatunk a következőképpen is:
21 div grad u = ; b) div grad 12 a) ; b) 13 Alkalmazzuk a (14) és (15) formulát a) A z = 6-2x - 2y felület esetén (a felfelé mutató) df = (2; 2; 1)dx dy (416 ábra) 416 ábra Így b),
22 417 ábra A 417 ábrán látható, hogy a kúp palástján támadó vektorok párhuzamosak a támadásponthoz tartozó alkotóval, így merőlegesek df re Ekkor pedig vdf = 0, ezért az integrál értéke is nulla c) A gömbfelület vektor egyenlete: r = (cos u cos v, cos u sin v, sin u) 418 ábra A felfelé mutató normális: Figyelembe véve, hogy, 14 Az előző feladat mintájára:
23 15 a) Előbb kiszámítjuk a tétel bal oldalán szereplő hármas integrált A V térrész a 419 ábrán látható A vektortér divergenciája: div v = 4 óa jobb oldali felületi integrált a V térrészt határoló felületek mindegyikére ki kell számítani, ügyelve arra, hogy df kifelé mutasson 419 ábra z = 1, d v = (3x, x + y, ),, y = 0, df = (0; ; 0)dx dz, v = (2x, x, z ),, y = 1, df = (0; 1; 0)dx dz, v = (2x, x + 1, z ),, x = 0, df = ( ; 0; 0)dydz, v = (, y, z ),, z = 0, df = (0; 0; )dxdy, v = (2x, x + y, ), Tehát a jobb oldali integrál (a fenti öt integrál összege):
24 , amely egyezik a bal oldali integrál értékével b) A jobb oldali integrál: Itt kihasználtuk azt, hogy a gömbfelületen 16 A felületi integrál helyett a tétel bal oldalán álló hármas integrált számítjuk ki Mivel div v =, 17 a) A felület a paraboloid része Határgörbéje az,, z = 2 kör (420 ábra) 420 ábra E körre lokalizálva a v vektorteret, A bal oldali integrál: rot v = Ez lokalizálva a felületre:
25 (rot v) A jobb oldali integrál: b) A felület és határgörbéje a 421 ábrán látható 421 ábra A határgörbe két részből áll ( és ) egyenlete: r = (2 cos t, 2 sin t, 4),, egyenlete: r = (t, 0, t ), A bal oldali integrál: A felület egyenlete, df = ( x, y, 1)dx dy rot v =, (rot v) = (2y, 1, ) A jobb oldali integrál: 18 A vonalintegrál helyett a tétel jobb oldalán szereplő felületi integrált számítjuk
26 422 ábra A három pontra illeszkedő sík (422 ábra) egyenlete x + y + z = a, azaz z = a, df = (1, 1, 1)dx dy, rot v = 2(1, 1, 1) Az integrál: 19 A vonaintegrál helyett a (18) formula jobb oldalán szereplő integrált számítjuk ki A T tartomány a 423 ábrán látható Jelen esetben,,, Így 423 ábra a) rot v =, tehát van potenciál Legyen a potenciálfüggvény u Ekkor,, Az első egyenletet integrálva, Innen
27 , és Ez utóbbi egyenletből Végeredményben A vonalintegrál értéke a potenciálkülönbséggel egyenlő, azaz b) rot v =, tehát nincs potenciál c) rot v = v 0 van potenciál,, d) rot v = v =, tehát van potenciál Ha a potenciálfüggvény u, akkor,, Innen A vonalintegrál: Digitális Egyetem, Copyright Kovács Béla, 2011
sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenVIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.
VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely,
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
Részletesebben{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek
1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és
RészletesebbenLengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenHármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál
Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató A hármas és háromszoros integrál Definició A fizikai meggondolások előzményeként jutunk el a hármas integrál következő értelmezéséhez. Legyen értelmezve
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
RészletesebbenAnalízis II. gyakorlat
Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Ismétlés................................................... Integrálás...............................................
RészletesebbenVektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták
Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták 1. Mik lesznek a P (3, 4, 8) pont C (3, 7, 2) pontra vonatkozó tükörképének a koordinátái? 2. Egy szabályos hatszög középpontja K (4, 1, 4),
RészletesebbenFizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét
Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét Az F erő által végzett munka, ha a test adott pályán mozog az r 1 helyvektorú P 1 pontból az r helyvektorú P pontba, az alábbi vonalintegrállal számolható:
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
RészletesebbenA Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy
8 Görbevonalú koordináták A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy tetsz½oleges pont helyvektora ebben a bázisban r =xi+yj+zk ahol x; y; z a pont ún. Descartes-féle
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenVektoranalízis Vektor értékű függvények
Vektoranalízis VS Vektoranalízis Vektor értékű üggvények A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Vektoranalízis VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
RészletesebbenDierenciálgeometria feladatsor
Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenKlár Gergely 2010/2011. tavaszi félév
Számítógépes Grafika Klár Gergely tremere@elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2010/2011. tavaszi félév Tartalom Pont 1 Pont 2 3 4 5 Tartalom Pont Descartes-koordináták Homogén koordináták
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenVektoranalízis Vektor értékű függvények
VS Vektor értékű üggvények VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk azokat a üggvényeket, amelyek értékkészlete a valós számok halmazának egy részhalmaza. Ezek egyrészt az R R típusú egyváltozós, valós
RészletesebbenAz f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenÍrja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6
Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = - 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor
RészletesebbenTöbbváltozós analízis gyakorlat, megoldások
Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem
polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenRészletes tantárgyprogram és követelményrendszer
Részletes tantárgyprogram és követelményrendszer Óbudai Egyetem Mikroelektronikai és Technológia Intézet Kandó Kálmán Villamosmérnöki Kar Tantárgy neve és kódja: Matematika III. KMEMA31TND Kreditérték:
Részletesebben9. előadás. Térbeli koordinátageometria
9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
Részletesebben1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.
1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
Részletesebben= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenFelületek differenciálgeometriai vizsgálata
Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
Részletesebbent, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész
A kúpra írt csavarvonalról I. rész Sokféle kúpra írt csavarvonal létezik. Ezek közül először a legegyszerűbbel foglalko - zunk. Ezt azért tesszük mert meglepő az a tény hogy eddig még szinte sehol nem
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenGeometriai alapok Felületek
Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
RészletesebbenLineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport
Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,
RészletesebbenAz M A vektor tehát a három vektori szorzat előjelhelyes összege:
1. feladat Határozza meg a T i támadáspontú F i erőrendszer nyomatékát az A pontra. T 1 ( 3, 0, 5 ) T 1 ( 0, 4, 5 ) T 1 ( 3, 4, 2 ) F 1 = 0 i + 300 j + 0 k F 2 = 0 i 100 j 400 k F 3 = 100 i 100 j + 500
RészletesebbenA3 minimumkérdések szóbelire 2016
A3 minimumkérdések szóbelire 2016 Vektoranalízis 1. 1. Duális tér V Hom(V, R), ahol (V, +, λ) vektortér, V elemei pedig ún. lineáris formák, azaz és v φ(v) φ(αv + βw) = αφ(v) + βφ(w) Megjegyzés: homomorfizmus
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
RészletesebbenSkalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után -
1 ALAPFOGALMAK Vektoranalízis 1. Alapfogalmak Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után - összehasonlíthatóak
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenO ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
RészletesebbenKétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által
Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az
RészletesebbenSerret-Frenet képletek
Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
Részletesebben