Széchenyi István Egyetem

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Széchenyi István Egyetem"

Átírás

1 polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem

2 Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen a = x... < x N = b és c = y <... < y M = d az [a, b] ill. a [c, d] intervallumok egy-egy felbontása. Jelölje x k := x k x k ill. y j := y j y j. Az S (N,M) (f) := N M k= j= f (min) kj x k y j számot az f függvény egy alsó integrálközeĺıtő összegének nevezzük. Hasonlóan, az S (N,M) + (f) := N M k= j= f (max) kj x k y j számot az f függvény egy felső integrálközeĺıtő összegének nevezzük. (f (min) kj ill. f (max) kj : az f függvény minimális ill. maximális értéke a T kj téglalapon.)

3 Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen a = x... < x N = b és c = y <... < y M = d az [a, b] ill. a [c, d] intervallumok egy-egy felbontása. Jelölje x k := x k x k ill. y j := y j y j. Az S (N,M) (f) := N M k= j= f (min) kj x k y j számot az f függvény egy alsó integrálközeĺıtő összegének nevezzük. Hasonlóan, az S (N,M) + (f) := N M k= j= f (max) kj x k y j számot az f függvény egy felső integrálközeĺıtő összegének nevezzük. (f (min) kj ill. f (max) kj : az f függvény minimális ill. maximális értéke a T kj téglalapon.)

4 Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen a = x... < x N = b és c = y <... < y M = d az [a, b] ill. a [c, d] intervallumok egy-egy felbontása. Jelölje x k := x k x k ill. y j := y j y j. Az S (N,M) (f) := N M k= j= f (min) kj x k y j számot az f függvény egy alsó integrálközeĺıtő összegének nevezzük. Hasonlóan, az S (N,M) + (f) := N M k= j= f (max) kj x k y j számot az f függvény egy felső integrálközeĺıtő összegének nevezzük. (f (min) kj ill. f (max) kj : az f függvény minimális ill. maximális értéke a T kj téglalapon.)

5 Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Minden f folytonos függvény és T minden felbontása esetén S (N,M) (f) S (N,M) + (f). Az f függvény alsó integrálja: S (f) := sup S (N,M) (f). Az f függvény felső integrálja: S + (f) := inf S (N,M) + (f) Minden f folytonos függvény esetén S (f) S + (f). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglalapon, ha S (f) = S + (f). Ezt a számot f-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f, vagy f(x, y)dxdy. T

6 Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Minden f folytonos függvény és T minden felbontása esetén S (N,M) (f) S (N,M) + (f). Az f függvény alsó integrálja: S (f) := sup S (N,M) (f). Az f függvény felső integrálja: S + (f) := inf S (N,M) + (f) Minden f folytonos függvény esetén S (f) S + (f). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglalapon, ha S (f) = S + (f). Ezt a számot f-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f, vagy f(x, y)dxdy. T

7 Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Minden f folytonos függvény és T minden felbontása esetén S (N,M) (f) S (N,M) + (f). Az f függvény alsó integrálja: S (f) := sup S (N,M) (f). Az f függvény felső integrálja: S + (f) := inf S (N,M) + (f) Minden f folytonos függvény esetén S (f) S + (f). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglalapon, ha S (f) = S + (f). Ezt a számot f-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f, vagy f(x, y)dxdy. T

8 Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Tekintsük az [a, b] és [c, d] intervallumok felbontásainak egy korlátlanul finomodó sorozatát. Legyen f kj egy tetszőleges függvényérték, melyet f a T kj téglalapon felvesz. Akkor a N k= j= M f kj x k y j Riemann-összegek sorozata az T f(x, y)dxdy Riemann-integrálhoz tart (a konkrét felbontástól és az f kj függvényértékek megválasztásától függetlenül).

9 Riemann-integrálközeĺıtő összegek polár 3D gömbi

10 Riemann-integrálközeĺıtő összegek polár 3D gömbi

11 Riemann-integrálközeĺıtő összegek polár 3D gömbi

12 Riemann-integrálközeĺıtő összegek polár 3D gömbi

13 Riemann-integrálközeĺıtő összegek polár 3D gömbi

14 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f(x, y)dxdy = ( b ) d a c f(x, y)dy dx = ( d ) b c a f(x, y)dx dy Közeĺıtsük az T f(x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: N M k= j= f(x k, y j ) x k y j. Összegezve először j, minden k indexre: M j= f(x k, y j ) y j d c f(x k, y)dy, innen N M k= j= f(x k, y j ) y j x k ( N ) d k= c f(x k, y)dy x k. A jobboldalon az F (x) := d c f(x, y)dy függvény egy Riemann-összege áll, ezért: N M k= j= f(x k, y j ) y j x k b a F (x)dx = ( b ) d a c f(x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul finomodik, akkor a közeĺıtő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át.

15 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f(x, y)dxdy = ( b ) d a c f(x, y)dy dx = ( d ) b c a f(x, y)dx dy Közeĺıtsük az T f(x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: N M k= j= f(x k, y j ) x k y j. Összegezve először j, minden k indexre: M j= f(x k, y j ) y j d c f(x k, y)dy, innen N M k= j= f(x k, y j ) y j x k ( N ) d k= c f(x k, y)dy x k. A jobboldalon az F (x) := d c f(x, y)dy függvény egy Riemann-összege áll, ezért: N M k= j= f(x k, y j ) y j x k b a F (x)dx = ( b ) d a c f(x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul finomodik, akkor a közeĺıtő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át.

16 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f(x, y)dxdy = ( b ) d a c f(x, y)dy dx = ( d ) b c a f(x, y)dx dy Közeĺıtsük az T f(x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: N M k= j= f(x k, y j ) x k y j. Összegezve először j, minden k indexre: M j= f(x k, y j ) y j d c f(x k, y)dy, innen N M k= j= f(x k, y j ) y j x k ( N ) d k= c f(x k, y)dy x k. A jobboldalon az F (x) := d c f(x, y)dy függvény egy Riemann-összege áll, ezért: N M k= j= f(x k, y j ) y j x k b a F (x)dx = ( b ) d a c f(x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul finomodik, akkor a közeĺıtő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át.

17 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f(x, y)dxdy = ( b ) d a c f(x, y)dy dx = ( d ) b c a f(x, y)dx dy Közeĺıtsük az T f(x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: N M k= j= f(x k, y j ) x k y j. Összegezve először j, minden k indexre: M j= f(x k, y j ) y j d c f(x k, y)dy, innen N M k= j= f(x k, y j ) y j x k ( N ) d k= c f(x k, y)dy x k. A jobboldalon az F (x) := d c f(x, y)dy függvény egy Riemann-összege áll, ezért: N M k= j= f(x k, y j ) y j x k b a F (x)dx = ( b ) d a c f(x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul finomodik, akkor a közeĺıtő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át.

18 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f(x, y)dxdy = ( b ) d a c f(x, y)dy dx = ( d ) b c a f(x, y)dx dy Közeĺıtsük az T f(x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: N M k= j= f(x k, y j ) x k y j. Összegezve először j, minden k indexre: M j= f(x k, y j ) y j d c f(x k, y)dy, innen N M k= j= f(x k, y j ) y j x k ( N ) d k= c f(x k, y)dy x k. A jobboldalon az F (x) := d c f(x, y)dy függvény egy Riemann-összege áll, ezért: N M k= j= f(x k, y j ) y j x k b a F (x)dx = ( b ) d a c f(x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul finomodik, akkor a közeĺıtő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át.

19 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f(x, y)dxdy = ( b ) d a c f(x, y)dy dx = ( d ) b c a f(x, y)dx dy Közeĺıtsük az T f(x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: N M k= j= f(x k, y j ) x k y j. Összegezve először j, minden k indexre: M j= f(x k, y j ) y j d c f(x k, y)dy, innen N M k= j= f(x k, y j ) y j x k ( N ) d k= c f(x k, y)dy x k. A jobboldalon az F (x) := d c f(x, y)dy függvény egy Riemann-összege áll, ezért: N M k= j= f(x k, y j ) y j x k b a F (x)dx = ( b ) d a c f(x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul finomodik, akkor a közeĺıtő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át.

20 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f(x, y)dxdy = ( b ) d a c f(x, y)dy dx = ( d ) b c a f(x, y)dx dy Közeĺıtsük az T f(x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: N M k= j= f(x k, y j ) x k y j. Összegezve először j, minden k indexre: M j= f(x k, y j ) y j d c f(x k, y)dy, innen N M k= j= f(x k, y j ) y j x k ( N ) d k= c f(x k, y)dy x k. A jobboldalon az F (x) := d c f(x, y)dy függvény egy Riemann-összege áll, ezért: N M k= j= f(x k, y j ) y j x k b a F (x)dx = ( b ) d a c f(x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul finomodik, akkor a közeĺıtő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át.

21 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Következmény: Legyenek g : [a, b] R, h : [c, d] R folytonos függvények, akkor: ( b ) ( d ) g(x)h(y)dxdy = g(x)dx h(y)dy T a c

22 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Legyen T := [, ] [, ]. Számítsuk ki a T (x + xy )dxdy kettős integrált. Megoldás: T (x + xy )dxdy = ( ) (x + xy )dy dx. A belső integrál: [ ] (x + xy )dy = xy + xy3 3 = 4x 3. Innen: T (x + xy )dxdy = [ ] 4x 3 dx = 4x 6 = 8 3. Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x integrálunk: [ x (x + xy )dx = ( + y ) = ( + y ). Innen T (x + xy )dxdy = [ ] ( + y )dy = y + y3 3 = 8 3. ]

23 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Legyen T := [, ] [, ]. Számítsuk ki a T (x + xy )dxdy kettős integrált. Megoldás: T (x + xy )dxdy = ( ) (x + xy )dy dx. A belső integrál: [ ] (x + xy )dy = xy + xy3 3 = 4x 3. Innen: T (x + xy )dxdy = [ ] 4x 3 dx = 4x 6 = 8 3. Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x integrálunk: [ x (x + xy )dx = ( + y ) = ( + y ). Innen T (x + xy )dxdy = [ ] ( + y )dy = y + y3 3 = 8 3. ]

24 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Legyen T := [, ] [, ]. Számítsuk ki a T (x + xy )dxdy kettős integrált. Megoldás: T (x + xy )dxdy = ( ) (x + xy )dy dx. A belső integrál: [ ] (x + xy )dy = xy + xy3 3 = 4x 3. Innen: T (x + xy )dxdy = [ ] 4x 3 dx = 4x 6 = 8 3. Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x integrálunk: [ x (x + xy )dx = ( + y ) = ( + y ). Innen T (x + xy )dxdy = [ ] ( + y )dy = y + y3 3 = 8 3. ]

25 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Legyen T := [, ] [, ]. Számítsuk ki a T (x + xy )dxdy kettős integrált. Megoldás: T (x + xy )dxdy = ( ) (x + xy )dy dx. A belső integrál: [ ] (x + xy )dy = xy + xy3 3 = 4x 3. Innen: T (x + xy )dxdy = [ ] 4x 3 dx = 4x 6 = 8 3. Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x integrálunk: [ x (x + xy )dx = ( + y ) = ( + y ). Innen T (x + xy )dxdy = [ ] ( + y )dy = y + y3 3 = 8 3. ]

26 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Legyen T := [, ] [, ]. Számítsuk ki a T (x + xy )dxdy kettős integrált. Megoldás: T (x + xy )dxdy = ( ) (x + xy )dy dx. A belső integrál: [ ] (x + xy )dy = xy + xy3 3 = 4x 3. Innen: T (x + xy )dxdy = [ ] 4x 3 dx = 4x 6 = 8 3. Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x integrálunk: [ x (x + xy )dx = ( + y ) = ( + y ). Innen T (x + xy )dxdy = [ ] ( + y )dy = y + y3 3 = 8 3. ]

27 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Legyen T := [, ] [, ]. Számítsuk ki a T (x + xy )dxdy kettős integrált. Megoldás: T (x + xy )dxdy = ( ) (x + xy )dy dx. A belső integrál: [ ] (x + xy )dy = xy + xy3 3 = 4x 3. Innen: T (x + xy )dxdy = [ ] 4x 3 dx = 4x 6 = 8 3. Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x integrálunk: [ x (x + xy )dx = ( + y ) = ( + y ). Innen T (x + xy )dxdy = [ ] ( + y )dy = y + y3 3 = 8 3. ]

28 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki a T cos(x + y)dxdy kettős integrált a x, y π egyenlőtlenségek által meghatározott T téglalapon. Megoldás: T cos(x + y)dxdy = π π (cos x cos y sin x sin y)dxdy = sin ydy) = 4. ( π cos xdx) ( π cos ydy) ( π sin xdx) ( π

29 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki a T cos(x + y)dxdy kettős integrált a x, y π egyenlőtlenségek által meghatározott T téglalapon. Megoldás: T cos(x + y)dxdy = π π (cos x cos y sin x sin y)dxdy = sin ydy) = 4. ( π cos xdx) ( π cos ydy) ( π sin xdx) ( π

30 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki a T cos(x + y)dxdy kettős integrált a x, y π egyenlőtlenségek által meghatározott T téglalapon. Megoldás: T cos(x + y)dxdy = π π (cos x cos y sin x sin y)dxdy = sin ydy) = 4. ( π cos xdx) ( π cos ydy) ( π sin xdx) ( π

31 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki a T cos(x + y)dxdy kettős integrált a x, y π egyenlőtlenségek által meghatározott T téglalapon. Megoldás: T cos(x + y)dxdy = π π (cos x cos y sin x sin y)dxdy = sin ydy) = 4. ( π cos xdx) ( π cos ydy) ( π sin xdx) ( π

32 polár 3D gömbi Legyenek g, h : [a, b] R folytonos függvények, melyekre g h teljesül az [a, b] intervallumon. Legyen := {(x, y) R : a x b, g(x) y h(x)} normáltartomány, f : R folytonos függvény. Akkor ( b ) h(x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx a g(x) Hasonlóan, ha = {(x, y) R : a y b, g(y) x h(y)}, akkor ( b ) h(y) f(x, y)dxdy = f(x, y)dx dy a g(y)

33 polár 3D gömbi Legyenek g, h : [a, b] R folytonos függvények, melyekre g h teljesül az [a, b] intervallumon. Legyen := {(x, y) R : a x b, g(x) y h(x)} normáltartomány, f : R folytonos függvény. Akkor ( b ) h(x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx a g(x) Hasonlóan, ha = {(x, y) R : a y b, g(y) x h(y)}, akkor ( b ) h(y) f(x, y)dxdy = f(x, y)dx dy a g(y)

34 polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az (x + y) dxdy integrált, ahol az y = x és az y = x egyenletű parabolák által határolt tartomány. Megoldás: (x + y) dxdy = ( ) x (x + y)dy dx = x [ = ] x x y + y [ x 7/ 7 + x 4 3 x5 5 dx = x (x5/ + x x4 x4 )dx = ] = 33 4.

35 polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az (x + y) dxdy integrált, ahol az y = x és az y = x egyenletű parabolák által határolt tartomány. Megoldás: (x + y) dxdy = ( ) x (x + y)dy dx = x [ = ] x x y + y [ x 7/ 7 + x 4 3 x5 5 dx = x (x5/ + x x4 x4 )dx = ] = 33 4.

36 polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az (x + y) dxdy integrált, ahol az y = x és az y = x egyenletű parabolák által határolt tartomány. Megoldás: (x + y) dxdy = ( ) x (x + y)dy dx = x [ = ] x x y + y [ x 7/ 7 + x 4 3 x5 5 dx = x (x5/ + x x4 x4 )dx = ] = 33 4.

37 polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az (x + y) dxdy integrált, ahol az y = x és az y = x egyenletű parabolák által határolt tartomány. Megoldás: (x + y) dxdy = ( ) x (x + y)dy dx = x [ = ] x x y + y [ x 7/ 7 + x 4 3 x5 5 dx = x (x5/ + x x4 x4 )dx = ] = 33 4.

38 polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az (x + y) dxdy integrált, ahol az y = x és az y = x egyenletű parabolák által határolt tartomány. Megoldás: (x + y) dxdy = ( ) x (x + y)dy dx = x [ = ] x x y + y [ x 7/ 7 + x 4 3 x5 5 dx = x (x5/ + x x4 x4 )dx = ] = 33 4.

39 polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az (x + y) dxdy integrált, ahol az y = x és az y = x egyenletű parabolák által határolt tartomány. Megoldás: (x + y) dxdy = ( ) x (x + y)dy dx = x [ = ] x x y + y [ x 7/ 7 + x 4 3 x5 5 dx = x (x5/ + x x4 x4 )dx = ] = 33 4.

40 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.

41 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.

42 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.

43 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.

44 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.

45 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.

46 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.

47 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.

48 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.

49 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.

50 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.

51 polár polár 3D gömbi Legyen f : R folytonos függvény. Ha (x, y) R, jelölje r és ϕ az (x, y) pont polárkoordinátáit, melyekre x = r cos ϕ és y = r sin ϕ. Jelölje F az f függvény polárkoordinátás alakját: F (r, ϕ) := f(r cos ϕ, r sin ϕ). Jelölje az tartomány polárkoordinátás megfelelőjét, azaz := {(r, ϕ) R : (r cos ϕ, r sin ϕ) }. Akkor f(x, y)dxdy = F (r, ϕ)rdrdϕ Példa: Ha az origó közepű R sugarú negyedkör, akkor = [, ] [, π ] (téglalap). Példa: Ha Ha az origó közepű R, R sugarú körök közötti körgyűrűtartomány, akkor = [R, R ] [, π] (téglalap).

52 polár polár 3D gömbi Legyen f : R folytonos függvény. Ha (x, y) R, jelölje r és ϕ az (x, y) pont polárkoordinátáit, melyekre x = r cos ϕ és y = r sin ϕ. Jelölje F az f függvény polárkoordinátás alakját: F (r, ϕ) := f(r cos ϕ, r sin ϕ). Jelölje az tartomány polárkoordinátás megfelelőjét, azaz := {(r, ϕ) R : (r cos ϕ, r sin ϕ) }. Akkor f(x, y)dxdy = F (r, ϕ)rdrdϕ Példa: Ha az origó közepű R sugarú negyedkör, akkor = [, ] [, π ] (téglalap). Példa: Ha Ha az origó közepű R, R sugarú körök közötti körgyűrűtartomány, akkor = [R, R ] [, π] (téglalap).

53 polár polár 3D gömbi Legyen f : R folytonos függvény. Ha (x, y) R, jelölje r és ϕ az (x, y) pont polárkoordinátáit, melyekre x = r cos ϕ és y = r sin ϕ. Jelölje F az f függvény polárkoordinátás alakját: F (r, ϕ) := f(r cos ϕ, r sin ϕ). Jelölje az tartomány polárkoordinátás megfelelőjét, azaz := {(r, ϕ) R : (r cos ϕ, r sin ϕ) }. Akkor f(x, y)dxdy = F (r, ϕ)rdrdϕ Példa: Ha az origó közepű R sugarú negyedkör, akkor = [, ] [, π ] (téglalap). Példa: Ha Ha az origó közepű R, R sugarú körök közötti körgyűrűtartomány, akkor = [R, R ] [, π] (téglalap).

54 polár polár 3D gömbi Legyen f : R folytonos függvény. Ha (x, y) R, jelölje r és ϕ az (x, y) pont polárkoordinátáit, melyekre x = r cos ϕ és y = r sin ϕ. Jelölje F az f függvény polárkoordinátás alakját: F (r, ϕ) := f(r cos ϕ, r sin ϕ). Jelölje az tartomány polárkoordinátás megfelelőjét, azaz := {(r, ϕ) R : (r cos ϕ, r sin ϕ) }. Akkor f(x, y)dxdy = F (r, ϕ)rdrdϕ Példa: Ha az origó közepű R sugarú negyedkör, akkor = [, ] [, π ] (téglalap). Példa: Ha Ha az origó közepű R, R sugarú körök közötti körgyűrűtartomány, akkor = [R, R ] [, π] (téglalap).

55 polár polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott téglalap. Ezért: dxdy = π rdrdϕ = ( ( π ) dϕ) rdr = π, x dxdy = π r cos ϕ rdrdϕ = ( ( π ) cos ϕ dϕ) r dr =, y dxdy = π ( π sin ϕ dϕ) ( r sin ) ϕ rdrdϕ = r dr = 3 Innen a súlypont koordinátái: (, 4 3π ).

56 polár polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott téglalap. Ezért: dxdy = π rdrdϕ = ( ( π ) dϕ) rdr = π, x dxdy = π r cos ϕ rdrdϕ = ( ( π ) cos ϕ dϕ) r dr =, y dxdy = π ( π sin ϕ dϕ) ( r sin ) ϕ rdrdϕ = r dr = 3 Innen a súlypont koordinátái: (, 4 3π ).

57 polár polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott téglalap. Ezért: dxdy = π rdrdϕ = ( ( π ) dϕ) rdr = π, x dxdy = π r cos ϕ rdrdϕ = ( ( π ) cos ϕ dϕ) r dr =, y dxdy = π ( π sin ϕ dϕ) ( r sin ) ϕ rdrdϕ = r dr = 3 Innen a súlypont koordinátái: (, 4 3π ).

58 polár polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott téglalap. Ezért: dxdy = π rdrdϕ = ( ( π ) dϕ) rdr = π, x dxdy = π r cos ϕ rdrdϕ = ( ( π ) cos ϕ dϕ) r dr =, y dxdy = π ( π sin ϕ dϕ) ( r sin ) ϕ rdrdϕ = r dr = 3 Innen a súlypont koordinátái: (, 4 3π ).

59 polár polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott téglalap. Ezért: dxdy = π rdrdϕ = ( ( π ) dϕ) rdr = π, x dxdy = π r cos ϕ rdrdϕ = ( ( π ) cos ϕ dϕ) r dr =, y dxdy = π ( π sin ϕ dϕ) ( r sin ) ϕ rdrdϕ = r dr = 3 Innen a súlypont koordinátái: (, 4 3π ).

60 polár polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott téglalap. Ezért: dxdy = π rdrdϕ = ( ( π ) dϕ) rdr = π, x dxdy = π r cos ϕ rdrdϕ = ( ( π ) cos ϕ dϕ) r dr =, y dxdy = π ( π sin ϕ dϕ) ( r sin ) ϕ rdrdϕ = r dr = 3 Innen a súlypont koordinátái: (, 4 3π ).

61 polár polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott téglalap. Ezért: dxdy = π rdrdϕ = ( ( π ) dϕ) rdr = π, x dxdy = π r cos ϕ rdrdϕ = ( ( π ) cos ϕ dϕ) r dr =, y dxdy = π ( π sin ϕ dϕ) ( r sin ) ϕ rdrdϕ = r dr = 3 Innen a súlypont koordinátái: (, 4 3π ).

62 polár polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az xy dxdy integrált, ahol az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. Megoldás: Áttérve polárra: π/ xy dxdy = r cos ϕ r sin ϕ rdrdϕ = ( / ) ( π/ ) cos ϕ sin ϕ dϕ r 3 dr = / ( ) ( π/ ) sin ϕ dϕ r 3 dr = 5 8. /

63 polár polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az xy dxdy integrált, ahol az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. Megoldás: Áttérve polárra: π/ xy dxdy = r cos ϕ r sin ϕ rdrdϕ = ( / ) ( π/ ) cos ϕ sin ϕ dϕ r 3 dr = / ( ) ( π/ ) sin ϕ dϕ r 3 dr = 5 8. /

64 polár polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az xy dxdy integrált, ahol az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. Megoldás: Áttérve polárra: π/ xy dxdy = r cos ϕ r sin ϕ rdrdϕ = ( / ) ( π/ ) cos ϕ sin ϕ dϕ r 3 dr = / ( ) ( π/ ) sin ϕ dϕ r 3 dr = 5 8. /

65 polár polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az xy dxdy integrált, ahol az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. Megoldás: Áttérve polárra: π/ xy dxdy = r cos ϕ r sin ϕ rdrdϕ = ( / ) ( π/ ) cos ϕ sin ϕ dϕ r 3 dr = / ( ) ( π/ ) sin ϕ dϕ r 3 dr = 5 8. /

66 polár polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az xy dxdy integrált, ahol az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. Megoldás: Áttérve polárra: π/ xy dxdy = r cos ϕ r sin ϕ rdrdϕ = ( / ) ( π/ ) cos ϕ sin ϕ dϕ r 3 dr = / ( ) ( π/ ) sin ϕ dϕ r 3 dr = 5 8. /

67 polár 3D gömbi Legyen R egy D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R egy másik D tartomány, és (x(u, v), y(u, v)) : egy leképezés (változótranszformáció). Jelölje f(u, v) := f(x(u, v), y(u, v)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y) dxdy = f(u, v) det J(u, v) dudv, (Jacobi-mátrix). ( ) xu x J(u, v) := v y u y v ahol

68 polár 3D gömbi Legyen R egy D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R egy másik D tartomány, és (x(u, v), y(u, v)) : egy leképezés (változótranszformáció). Jelölje f(u, v) := f(x(u, v), y(u, v)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y) dxdy = f(u, v) det J(u, v) dudv, (Jacobi-mátrix). ( ) xu x J(u, v) := v y u y v ahol

69 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] (egységnégyzet), és a, b R két, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralelogrammát. Akkor az (x, y)(u, v) := a u + b v leképezés -t -ra képezi. Az dxdy integrál nyilván az paralelogramma területével egyenlő. Másrészt dxdy = det(j) dudv ( ) ax b ahol J(u, v) := x det(j) =. a y b y

70 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] (egységnégyzet), és a, b R két, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralelogrammát. Akkor az (x, y)(u, v) := a u + b v leképezés -t -ra képezi. Az dxdy integrál nyilván az paralelogramma területével egyenlő. Másrészt dxdy = det(j) dudv ( ) ax b ahol J(u, v) := x det(j) =. a y b y

71 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] (egységnégyzet), és a, b R két, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralelogrammát. Akkor az (x, y)(u, v) := a u + b v leképezés -t -ra képezi. Az dxdy integrál nyilván az paralelogramma területével egyenlő. Másrészt dxdy = det(j) dudv ( ) ax b ahol J(u, v) := x det(j) =. a y b y

72 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] (egységnégyzet), és a, b R két, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralelogrammát. Akkor az (x, y)(u, v) := a u + b v leképezés -t -ra képezi. Az dxdy integrál nyilván az paralelogramma területével egyenlő. Másrészt dxdy = det(j) dudv ( ) ax b ahol J(u, v) := x det(j) =. a y b y

73 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] (egységnégyzet), és a, b R két, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralelogrammát. Akkor az (x, y)(u, v) := a u + b v leképezés -t -ra képezi. Az dxdy integrál nyilván az paralelogramma területével egyenlő. Másrészt dxdy = det(j) dudv ( ) ax b ahol J(u, v) := x det(j) =. a y b y

74 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] (egységnégyzet), és a, b R két, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralelogrammát. Akkor az (x, y)(u, v) := a u + b v leképezés -t -ra képezi. Az dxdy integrál nyilván az paralelogramma területével egyenlő. Másrészt dxdy = det(j) dudv ( ) ax b ahol J(u, v) := x det(j) =. a y b y

75 polár polár 3D gömbi Legyen R egy D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R egy másik D tartomány, és (x(r, t), y(r, t)) : a polárkoordináta-transzformáció: x(r, t) := r cos t, y(r, t) := r sin t. Jelölje f(r, t) := f(x(r, t), y(r, t)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y) dxdy = f(r, t) r drdt, ui. itt a Jacobi-determináns ( ) cos t r sin t det(j(r, t)) = det = r sin t r cos t

76 polár polár 3D gömbi Legyen R egy D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R egy másik D tartomány, és (x(r, t), y(r, t)) : a polárkoordináta-transzformáció: x(r, t) := r cos t, y(r, t) := r sin t. Jelölje f(r, t) := f(x(r, t), y(r, t)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y) dxdy = f(r, t) r drdt, ui. itt a Jacobi-determináns ( ) cos t r sin t det(j(r, t)) = det = r sin t r cos t

77 polár polár 3D gömbi Legyen R egy D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R egy másik D tartomány, és (x(r, t), y(r, t)) : a polárkoordináta-transzformáció: x(r, t) := r cos t, y(r, t) := r sin t. Jelölje f(r, t) := f(x(r, t), y(r, t)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y) dxdy = f(r, t) r drdt, ui. itt a Jacobi-determináns ( ) cos t r sin t det(j(r, t)) = det = r sin t r cos t

78 Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d], [e, f] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] [e, f] = {(x, y, z) R 3 : a x b, c y d, e z f } téglatestet. Legyen a = x... < x N = b, c = y <... < y M = d és e = z <... < z L az [a, b], a [c, d] ill. az [e, f] intervallumok egy-egy felbontása. Jelölje x k := x k x k, y j := y j y j ill. z i := z i z i.

79 Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Az S (N,M,L) (f) := N M L k= j= i= f (min) kji x k y j z i számot az f függvény egy alsó integrálközeĺıtő összegének nevezzük. Hasonlóan, az S (N,M,L) + (f) := N M L k= j= i= f (max) kji x k y j z i számot az f függvény egy felső integrálközeĺıtő összegének nevezzük. (f (min) kji ill. f (max) kji : az f függvény minimális ill. maximális értéke a T kji téglatesten.)

80 Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Az S (N,M,L) (f) := N M L k= j= i= f (min) kji x k y j z i számot az f függvény egy alsó integrálközeĺıtő összegének nevezzük. Hasonlóan, az S (N,M,L) + (f) := N M L k= j= i= f (max) kji x k y j z i számot az f függvény egy felső integrálközeĺıtő összegének nevezzük. (f (min) kji ill. f (max) kji : az f függvény minimális ill. maximális értéke a T kji téglatesten.)

81 Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Minden f folytonos függvény és T minden felbontása esetén S (N,M,L) (f) S (N,M,L) + (f). Az f függvény alsó integrálja: S (f) := sup S (N,M,L) (f). Az f függvény felső integrálja: S + (f) := inf S (N,M,L) + (f) Minden f folytonos függvény esetén S (f) S + (f). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglatesten, ha S (f) = S + (f). Ezt a számot f-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f, vagy f(x, y, z)dxdydz. T

82 Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Minden f folytonos függvény és T minden felbontása esetén S (N,M,L) (f) S (N,M,L) + (f). Az f függvény alsó integrálja: S (f) := sup S (N,M,L) (f). Az f függvény felső integrálja: S + (f) := inf S (N,M,L) + (f) Minden f folytonos függvény esetén S (f) S + (f). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglatesten, ha S (f) = S + (f). Ezt a számot f-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f, vagy f(x, y, z)dxdydz. T

83 Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Minden f folytonos függvény és T minden felbontása esetén S (N,M,L) (f) S (N,M,L) + (f). Az f függvény alsó integrálja: S (f) := sup S (N,M,L) (f). Az f függvény felső integrálja: S + (f) := inf S (N,M,L) + (f) Minden f folytonos függvény esetén S (f) S + (f). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglatesten, ha S (f) = S + (f). Ezt a számot f-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f, vagy f(x, y, z)dxdydz. T

84 Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Tekintsük az [a, b], [c, d] és [e, f] intervallumok felbontásainak egy korlátlanul finomodó sorozatát. Legyen f kji egy tetszőleges függvényérték, melyet f a T kji téglatesten felvesz. N M L Akkor a f kji x k y j z i Riemann-összegek k= j= i= sorozata az T f(x, y, z)dxdydz Riemann-integrálhoz tart (a konkrét felbontástól és az f kji függvényértékek megválasztásától függetlenül).

85 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor az T f(x, y, z)dxdydz hármas integrál kiszámítása három integrálás tetszőleges sorrendben való egymásutáni kiszámításával történhet. Így pl. T f(x, y, z)dxdydz = ( b ( d ) ) f a c e f(x, y, z)dz dy dx vagy akár T f(x, y, z)dxdydz = f e ( ( b ) ) d a c f(x, y, z)dy dx dz

86 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor az T f(x, y, z)dxdydz hármas integrál kiszámítása három integrálás tetszőleges sorrendben való egymásutáni kiszámításával történhet. Így pl. T f(x, y, z)dxdydz = ( b ( d ) ) f a c e f(x, y, z)dz dy dx vagy akár T f(x, y, z)dxdydz = f e ( ( b ) ) d a c f(x, y, z)dy dx dz

87 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Következmény: Legyenek u : [a, b] R, v : [c, d] R, w : [e, f] R folytonos függvények, akkor: u(x) v(y) w(z) dxdydz = T ( b ) ( d ) ( f ) = u(x)dx v(y)dy w(z)dz a c e

88 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x 3, y 3, z 3}, akkor (x + y + z) dxdydz = = 3 3 ( 3 + [ x = ) xdx dydz ] ( 3 ( 3 ) zdz dxdy = [ y + ] 3 [ z + ) ydy dxdz+ ] 3 = 48.

89 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x 3, y 3, z 3}, akkor (x + y + z) dxdydz = = 3 3 ( 3 + [ x = ) xdx dydz ] ( 3 ( 3 ) zdz dxdy = [ y + ] 3 [ z + ) ydy dxdz+ ] 3 = 48.

90 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x 3, y 3, z 3}, akkor (x + y + z) dxdydz = = 3 3 ( 3 + [ x = ) xdx dydz ] ( 3 ( 3 ) zdz dxdy = [ y + ] 3 [ z + ) ydy dxdz+ ] 3 = 48.

91 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y, z 3}, akkor (x 4y + 6z 3) dxdydz = = 3 + ( [ x = 3 ( 3 ] ) xdx dydz ) 6zdz dxdy [ 4y 3 3 ( 3 ] [ 6z + ) 4ydy dxdz+ 3 dxdydz = ] 3 = = =

92 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y, z 3}, akkor (x 4y + 6z 3) dxdydz = = 3 + ( [ x = 3 ( 3 ] ) xdx dydz ) 6zdz dxdy [ 4y 3 3 ( 3 ] [ 6z + ) 4ydy dxdz+ 3 dxdydz = ] 3 = = =

93 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y, z 3}, akkor (x 4y + 6z 3) dxdydz = = 3 + ( [ x = 3 ( 3 ] ) xdx dydz ) 6zdz dxdy [ 4y 3 3 ( 3 ] [ 6z + ) 4ydy dxdz+ 3 dxdydz = ] 3 = = =

94 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y, z 3}, akkor (x 4y + 6z 3) dxdydz = = 3 + ( [ x = 3 ( 3 ] ) xdx dydz ) 6zdz dxdy [ 4y 3 3 ( 3 ] [ 6z + ) 4ydy dxdz+ 3 dxdydz = ] 3 = = =

95 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y, z 3}, akkor (x 4y + 6z 3) dxdydz = = 3 + ( [ x = 3 ( 3 ] ) xdx dydz ) 6zdz dxdy [ 4y 3 3 ( 3 ] [ 6z + ) 4ydy dxdz+ 3 dxdydz = ] 3 = = =

96 integrál kiszámítása, 3. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y 3, z 6}, akkor xy z 3 dxdydz = ( = ) ( 3 ) ( 6 ) xdx y dy z 3 dz = [ ] x [ ] y 3 3 [ ] z 4 6 = = = 3 4 ( ) 96 6 =

97 integrál kiszámítása, 3. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y 3, z 6}, akkor xy z 3 dxdydz = ( = ) ( 3 ) ( 6 ) xdx y dy z 3 dz = [ ] x [ ] y 3 3 [ ] z 4 6 = = = 3 4 ( ) 96 6 =

98 integrál kiszámítása, 3. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y 3, z 6}, akkor xy z 3 dxdydz = ( = ) ( 3 ) ( 6 ) xdx y dy z 3 dz = [ ] x [ ] y 3 3 [ ] z 4 6 = = = 3 4 ( ) 96 6 =

99 integrál kiszámítása, 3. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y 3, z 6}, akkor xy z 3 dxdydz = ( = ) ( 3 ) ( 6 ) xdx y dy z 3 dz = [ ] x [ ] y 3 3 [ ] z 4 6 = = = 3 4 ( ) 96 6 =

100 integrál kiszámítása, 3. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y 3, z 6}, akkor xy z 3 dxdydz = ( = ) ( 3 ) ( 6 ) xdx y dy z 3 dz = [ ] x [ ] y 3 3 [ ] z 4 6 = = = 3 4 ( ) 96 6 =

101 3D polár 3D gömbi Legyenek R egy paramétertartomány, g, h : R folytonos függvények, melyekre g h teljesül -on. Legyen := {(x, y, z) R 3 : (x, y), g(x, y) z h(x, y)} normáltartomány z irányban, f : R folytonos függvény. Akkor f(x, y, z)dxdydz = ( ) h(x,y) = f(x, y, z)dz dxdy g(x,y) Hasonló tétel érvényes x vagy y irányú normáltartományokra is.

102 3D polár 3D gömbi Legyenek R egy paramétertartomány, g, h : R folytonos függvények, melyekre g h teljesül -on. Legyen := {(x, y, z) R 3 : (x, y), g(x, y) z h(x, y)} normáltartomány z irányban, f : R folytonos függvény. Akkor f(x, y, z)dxdydz = ( ) h(x,y) = f(x, y, z)dz dxdy g(x,y) Hasonló tétel érvényes x vagy y irányú normáltartományokra is.

103 3D, példa polár 3D gömbi Félgömb térfogata Legyenek : ({(x, y) R : x + y R } (kör), és := {(x, y, z) R 3 : (x, y), z R x y } (félgömb). dxdydz = = R x y dxdy = = π R ( ) R x y dz dxdy = π R [ R r (R r ) 3/ ( r) dr = π 3/ R r r drdt ] R = R3 π 3

104 3D, példa polár 3D gömbi Félgömb térfogata Legyenek : ({(x, y) R : x + y R } (kör), és := {(x, y, z) R 3 : (x, y), z R x y } (félgömb). dxdydz = = R x y dxdy = = π R ( ) R x y dz dxdy = π R [ R r (R r ) 3/ ( r) dr = π 3/ R r r drdt ] R = R3 π 3

105 3D, példa polár 3D gömbi Félgömb térfogata Legyenek : ({(x, y) R : x + y R } (kör), és := {(x, y, z) R 3 : (x, y), z R x y } (félgömb). dxdydz = = R x y dxdy = = π R ( ) R x y dz dxdy = π R [ R r (R r ) 3/ ( r) dr = π 3/ R r r drdt ] R = R3 π 3

106 3D, példa polár 3D gömbi Félgömb térfogata Legyenek : ({(x, y) R : x + y R } (kör), és := {(x, y, z) R 3 : (x, y), z R x y } (félgömb). dxdydz = = R x y dxdy = = π R ( ) R x y dz dxdy = π R [ R r (R r ) 3/ ( r) dr = π 3/ R r r drdt ] R = R3 π 3

107 3D, példa polár 3D gömbi Félgömb térfogata Legyenek : ({(x, y) R : x + y R } (kör), és := {(x, y, z) R 3 : (x, y), z R x y } (félgömb). dxdydz = = R x y dxdy = = π R ( ) R x y dz dxdy = π R [ R r (R r ) 3/ ( r) dr = π 3/ R r r drdt ] R = R3 π 3

108 3D, példa polár 3D gömbi Félgömb térfogata Legyenek : ({(x, y) R : x + y R } (kör), és := {(x, y, z) R 3 : (x, y), z R x y } (félgömb). dxdydz = = R x y dxdy = = π R ( ) R x y dz dxdy = π R [ R r (R r ) 3/ ( r) dr = π 3/ R r r drdt ] R = R3 π 3

109 3D, példa polár 3D gömbi Félgömb térfogata Legyenek : ({(x, y) R : x + y R } (kör), és := {(x, y, z) R 3 : (x, y), z R x y } (félgömb). dxdydz = = R x y dxdy = = π R ( ) R x y dz dxdy = π R [ R r (R r ) 3/ ( r) dr = π 3/ R r r drdt ] R = R3 π 3

110 polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) : egy leképezés (változótranszformáció). Jelölje f(u, v, w) := f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(u, v, w) det J(u, v, w) dudvdw, ahol (Jacobi-mátrix). J(u, v, w) := x u x v x w y u y v y w z u z v z w

111 polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) : egy leképezés (változótranszformáció). Jelölje f(u, v, w) := f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(u, v, w) det J(u, v, w) dudvdw, ahol (Jacobi-mátrix). J(u, v, w) := x u x v x w y u y v y w z u z v z w

112 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] [, ] (egységkocka), és a, b, c R 3 három, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralellepipedont. Akkor az (x, y, z)(u, v, w) := a u + b v + c w leképezés -t -ra képezi. Az dxdydz integrál nyilván az paralellepoiedon térfogatával egyenlő. Másrészt dxdydz = det(j) dudvdw ahol J(u, v, w) := a x b x c x a y b y c y a z b z c z det(j) =.

113 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] [, ] (egységkocka), és a, b, c R 3 három, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralellepipedont. Akkor az (x, y, z)(u, v, w) := a u + b v + c w leképezés -t -ra képezi. Az dxdydz integrál nyilván az paralellepoiedon térfogatával egyenlő. Másrészt dxdydz = det(j) dudvdw ahol J(u, v, w) := a x b x c x a y b y c y a z b z c z det(j) =.

114 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] [, ] (egységkocka), és a, b, c R 3 három, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralellepipedont. Akkor az (x, y, z)(u, v, w) := a u + b v + c w leképezés -t -ra képezi. Az dxdydz integrál nyilván az paralellepoiedon térfogatával egyenlő. Másrészt dxdydz = det(j) dudvdw ahol J(u, v, w) := a x b x c x a y b y c y a z b z c z det(j) =.

115 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] [, ] (egységkocka), és a, b, c R 3 három, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralellepipedont. Akkor az (x, y, z)(u, v, w) := a u + b v + c w leképezés -t -ra képezi. Az dxdydz integrál nyilván az paralellepoiedon térfogatával egyenlő. Másrészt dxdydz = det(j) dudvdw ahol J(u, v, w) := a x b x c x a y b y c y a z b z c z det(j) =.

116 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] [, ] (egységkocka), és a, b, c R 3 három, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralellepipedont. Akkor az (x, y, z)(u, v, w) := a u + b v + c w leképezés -t -ra képezi. Az dxdydz integrál nyilván az paralellepoiedon térfogatával egyenlő. Másrészt dxdydz = det(j) dudvdw ahol J(u, v, w) := a x b x c x a y b y c y a z b z c z det(j) =.

117 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] [, ] (egységkocka), és a, b, c R 3 három, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralellepipedont. Akkor az (x, y, z)(u, v, w) := a u + b v + c w leképezés -t -ra képezi. Az dxdydz integrál nyilván az paralellepoiedon térfogatával egyenlő. Másrészt dxdydz = det(j) dudvdw ahol J(u, v, w) := a x b x c x a y b y c y a z b z c z det(j) =.

118 polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, z), y(r, t, z), z(r, t, z)) : a hengerkoordináta-transzformáció: x(r, t, z) := r cos t, y(r, t, z) := r sin t, z(r, t, z) := z. Jelölje f(r, t, z) := f(x(r, t, z), y(r, t, z), z(r, t, z)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, z) r drdtdz, ui. itt a Jacobi-determináns det(j(r, t, z)) = det cos t r sin t sin t r cos t = r

119 polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, z), y(r, t, z), z(r, t, z)) : a hengerkoordináta-transzformáció: x(r, t, z) := r cos t, y(r, t, z) := r sin t, z(r, t, z) := z. Jelölje f(r, t, z) := f(x(r, t, z), y(r, t, z), z(r, t, z)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, z) r drdtdz, ui. itt a Jacobi-determináns det(j(r, t, z)) = det cos t r sin t sin t r cos t = r

120 polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, z), y(r, t, z), z(r, t, z)) : a hengerkoordináta-transzformáció: x(r, t, z) := r cos t, y(r, t, z) := r sin t, z(r, t, z) := z. Jelölje f(r, t, z) := f(x(r, t, z), y(r, t, z), z(r, t, z)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, z) r drdtdz, ui. itt a Jacobi-determináns det(j(r, t, z)) = det cos t r sin t sin t r cos t = r

121 , példa polár 3D gömbi Henger térfogata Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y R, z m}, akkor: π R m dxdydz = r dzdrdt = ( π ) ( R ) ( m ) dt r dr dz = π R m = R πm

122 , példa polár 3D gömbi Henger térfogata Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y R, z m}, akkor: π R m dxdydz = r dzdrdt = ( π ) ( R ) ( m ) dt r dr dz = π R m = R πm

123 , példa polár 3D gömbi Henger térfogata Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y R, z m}, akkor: π R m dxdydz = r dzdrdt = ( π ) ( R ) ( m ) dt r dr dz = π R m = R πm

124 gömbi polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) : a gömbi koordináta-transzformáció: x(r, t, θ) := r cos t sin θ, y(r, t, θ) := r sin t sin θ, z(r, t, θ) := r cos θ. Jelölje f(r, t, θ) := f(x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, θ) r sin θ drdtdθ, det(j) = det = r sin θ cos t sin θ r sin t sin θ r cos t cos θ sin t sin θ r cos t sin θ r sin t cos θ cos θ r sin θ

125 gömbi polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) : a gömbi koordináta-transzformáció: x(r, t, θ) := r cos t sin θ, y(r, t, θ) := r sin t sin θ, z(r, t, θ) := r cos θ. Jelölje f(r, t, θ) := f(x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, θ) r sin θ drdtdθ, det(j) = det = r sin θ cos t sin θ r sin t sin θ r cos t cos θ sin t sin θ r cos t sin θ r sin t cos θ cos θ r sin θ

126 gömbi polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) : a gömbi koordináta-transzformáció: x(r, t, θ) := r cos t sin θ, y(r, t, θ) := r sin t sin θ, z(r, t, θ) := r cos θ. Jelölje f(r, t, θ) := f(x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, θ) r sin θ drdtdθ, det(j) = det = r sin θ cos t sin θ r sin t sin θ r cos t cos θ sin t sin θ r cos t sin θ r sin t cos θ cos θ r sin θ

127 gömbi polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) : a gömbi koordináta-transzformáció: x(r, t, θ) := r cos t sin θ, y(r, t, θ) := r sin t sin θ, z(r, t, θ) := r cos θ. Jelölje f(r, t, θ) := f(x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, θ) r sin θ drdtdθ, det(j) = det = r sin θ cos t sin θ r sin t sin θ r cos t cos θ sin t sin θ r cos t sin θ r sin t cos θ cos θ r sin θ

128 gömbi,. példa polár 3D gömbi Gömb térfogata Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z R }, akkor: = π π dxdydz = ( π R r sin θ drdθdt ) ( π ) ( R ) dt sin θ dθ r dr = π R3 3 = 4R3 π 3

129 gömbi,. példa polár 3D gömbi Gömb térfogata Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z R }, akkor: = π π dxdydz = ( π R r sin θ drdθdt ) ( π ) ( R ) dt sin θ dθ r dr = π R3 3 = 4R3 π 3

130 gömbi,. példa polár 3D gömbi Gömb térfogata Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z R }, akkor: = π π dxdydz = ( π R r sin θ drdθdt ) ( π ) ( R ) dt sin θ dθ r dr = π R3 3 = 4R3 π 3

131 gömbi,. példa polár 3D gömbi Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z, x, y }, (negyedgömb), akkor: x + y + z dxdydz = = π π/ ( ) π/ = dt r r sin θ drdtdθ ( π ) ( ) sin θ dθ r 3 dr = π 4 4 = π 4

132 gömbi,. példa polár 3D gömbi Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z, x, y }, (negyedgömb), akkor: x + y + z dxdydz = = π π/ ( ) π/ = dt r r sin θ drdtdθ ( π ) ( ) sin θ dθ r 3 dr = π 4 4 = π 4

133 gömbi,. példa polár 3D gömbi Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z, x, y }, (negyedgömb), akkor: x + y + z dxdydz = = π π/ ( ) π/ = dt r r sin θ drdtdθ ( π ) ( ) sin θ dθ r 3 dr = π 4 4 = π 4

134 gömbi,. példa polár 3D gömbi Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z, x, y }, (negyedgömb), akkor: x + y + z dxdydz = = π π/ ( ) π/ = dt r r sin θ drdtdθ ( π ) ( ) sin θ dθ r 3 dr = π 4 4 = π 4

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.

Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13. 2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T

Részletesebben

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor

Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor . Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény. Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

A2 jegyzet építőmérnök mérnök hallgatóknak Többváltozós deriválás

A2 jegyzet építőmérnök mérnök hallgatóknak Többváltozós deriválás A jegyzet építőmérnök mérnök hallgatóknak Többváltozós deriválás Simon Károly 7.4.4 BA.. Többváltozós valósértékű függvények integrálása... Normáltartományok Normáltartományok síkban A normáltartományok

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok

Ipari matematika 2. gyakorlófeladatok Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,

Részletesebben

20. Integrálszámítás

20. Integrálszámítás 20. Integrálszámítás I. Elméleti összefoglaló Az előző fejezetben sokszögek és a kör részeinek területével foglalkoztunk. Ebben a fejezetben olyan korlátos síkidomok területét is meghatározzuk, amelyeket

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok)

Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)

Részletesebben

Analízis II. gyakorlat

Analízis II. gyakorlat Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Ismétlés................................................... Integrálás...............................................

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)

Részletesebben

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely,

Részletesebben

A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy

A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy 8 Görbevonalú koordináták A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy tetsz½oleges pont helyvektora ebben a bázisban r =xi+yj+zk ahol x; y; z a pont ún. Descartes-féle

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1. Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)

Részletesebben

Koordinátarendszerek

Koordinátarendszerek Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

KALKULUS PÉLDATÁR INFORMATIKUSOKNAK II.

KALKULUS PÉLDATÁR INFORMATIKUSOKNAK II. Írta: SZALKAI ISTVÁN DÓSA GYÖRGY KALKULUS PÉLDATÁR INFORMATIKUSOKNAK II. Egyetemi tananyag COPYRIGHT: 6, Dr. Szalkai István, Dr. Dósa György, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika Tanszék

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Matematika 4 gy. Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes

Matematika 4 gy. Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes Matematika 4 gy Földtudomány és Környezettan BSc II/ Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes.Gyakorlat: Integrálszámítás NT-ekben (R n -ben: Másodfajú vonalintegrál A, alapfogalmak: másodfajú vonalintegrál

Részletesebben

Matematikai analízis 1. Szász Róbert

Matematikai analízis 1. Szász Róbert Matematikai analízis Szász Róbert . fejezet.. Topológikus terek... Értelmezés. Adott egy X halmaz. A d : X X [0, + ) függvényt metrikának nevezzük, ha teljesülnek a következő feltételek:. d(x, y) > 0,

Részletesebben

Energetika és Mechatronika BSc szakok Matematika A2H Vizsga gyakorló feladatsor F. Kiadva: május 22.

Energetika és Mechatronika BSc szakok Matematika A2H Vizsga gyakorló feladatsor F. Kiadva: május 22. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Energetika és Mechatronika BSc szakok Matematika AH Vizsga gyakorló feladatsor F Kiadva: 16. május. ELMÉLETI RÉSZ: Lásd a kiadott elméleti

Részletesebben

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)

2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév) . Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál

Debreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk

Részletesebben

Kettős és többes integrálok

Kettős és többes integrálok Kettős és többes integrálok ) f,) + + kettős integrálja az, tartománon Megoldás: + + dd 6 + 6 + 8 + 9 + ] + + ] d 8 + 8 + ) f,) sin + ) integrálja a, tartománon Megoldás: ] d + 9 + d + + 68 8 7,5 + sin

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai

1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai . Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

Matematika példatár 5.

Matematika példatár 5. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 5 MAT5 modul Integrálszámítás alkalmazása SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány

Szili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben? . Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs

Részletesebben

Numerikus matematika vizsga

Numerikus matematika vizsga 1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos

Részletesebben

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd

Területszámítás Ívhossz számítás Térfogat számítás Felszínszámítás. Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd Integrálszámítás 4. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 2015 november 30. Filip Ferdinánd 2015 november 30. Integrálszámítás 4. 1 / 12 Az el adás vázlata Területszámítás

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Matematika példatár 4.

Matematika példatár 4. Matematika példatár 4 Integrálszámítás szabályai és Csabina, Zoltánné Created by XMLmind XSL-FO Converter Matematika példatár 4: Integrálszámítás szabályai és Csabina, Zoltánné Lektor: Vígné dr Lencsés,

Részletesebben

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1.

d(f(x), f(y)) q d(x, y), ahol 0 q < 1. Fxponttétel Már a hétköznap életben s gyakran tapasztaltuk, hogy két pont között a távolságot nem feltétlenül a " kettő között egyenes szakasz hossza" adja Pl két település között a távolságot közlekedés

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel

2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel 2. Reprezentáció-függvények, Erdős-Fuchs tétel A kör-probléma a következőképpen is megközelíthető: Jelölje S a négyzetszámok halmazát. Jelölje r S (n) azt az értéket, ahány féleképpen n felírható két pozitív

Részletesebben

MATLAB. 6. gyakorlat. Integrálás folytatás, gyakorlás

MATLAB. 6. gyakorlat. Integrálás folytatás, gyakorlás MATLAB 6. gyakorlat Integrálás folytatás, gyakorlás Menetrend Kis ZH Példák integrálásra Kérdések, gyakorlás pdf Kis ZH Numerikus integrálás (ismétlés) A deriváláshoz hasonlóan lehet vektorértékek és megadott

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I máj. 30.

Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I máj. 30. Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 006. máj. 0.. Legyen f : [0, [ R, f (x)= x x +. a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! f (x)= x (x + ). x=0 0

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

GEOMETRIA A trigonometria elemei Trigonometrikus egyenletek Trigonometria síkmértani alkalmazásai. 57

GEOMETRIA A trigonometria elemei Trigonometrikus egyenletek Trigonometria síkmértani alkalmazásai. 57 Tartalomjegyzék GEOMETRIA 1 Vektorok 1 11 Irányított szakaszok Vektorok 1 12 Műveletek vektorokkal 3 13 Kollineáris vektorok 8 14 Helyzetvektor 10 15 Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás 12 16 Skaláris

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.

Részletesebben

Konvex optimalizálás feladatok

Konvex optimalizálás feladatok (1. gyakorlat, 2014. szeptember 16.) 1. Feladat. Mutassuk meg, hogy az f : R R, f(x) := x 2 függvény konvex (a másodrend derivált segítségével, illetve deníció szerint is)! 2. Feladat. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

2011. március 28. Petz Dénes. Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet

2011. március 28. Petz Dénes. Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet 2011. március 28. Deriválás és integrálás Petz Dénes Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet 2 Feltételezzük, hogy az olvasó ismeri már az analízis alapjait (sorozatokat és sorokat valós és komplex számokra,

Részletesebben

Feladatok matematikából 3. rész

Feladatok matematikából 3. rész Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév

Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 2014/2015 tavaszi félév Többváltozós Függvények Analízise; Differenciálegyenletek Tantárgyi tájékoztató, 214/215 tavaszi félév Kurzus adatai: Tárgy előadója: Gyakorlatvezető: Kurzus neve: Kurzus típusa: Kurzus kódja: Bessenyei

Részletesebben

Nagy Ilona 2013.06.01.

Nagy Ilona 2013.06.01. Bevezető matematika példatár Kádasné Dr. V. Nagy Éva Nagy Ilona 0.06.0. Tartalomjegyzék Bevezető. Gyakorlatok.. Műveletek törtekkel, hatványokkal, gyökökkel................. A logaritmus fogalma; arány-

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =

Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x = 2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Samu Viktória. A Helmholtz-egyenlet

Samu Viktória. A Helmholtz-egyenlet Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Samu Viktória A Helmholtz-egyenlet BSc Szakdolgozat Témavezet : Dr. Tóth Árpád Analízis Tanszék Budapest, 2014 Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Egyváltozós függvények deriválása (ismétlés)

GYAKORLAT. 1. Egyváltozós függvények deriválása (ismétlés) GYAKORLAT. félév I. Bevezető.. Egyváltozós függvények deriválása (ismétlés). Jelölés: f (x) helyett néha kényelmesebb ( f(x) ) -t írni, pl. (e x ) = e x. (Bár a függvényt és nem a függvényértéket deriváljuk.).

Részletesebben

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Matematika példatár 4.

Matematika példatár 4. Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 4 MAT4 modul Integrálszámítás szabályai és módszerei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

A Maple és a határozott integrál alkalmazásai

A Maple és a határozott integrál alkalmazásai A Maple és a határozott integrál alkalmazásai A Maple programcsomag egy nagyon jól kidolgozott algebrai és vizuális megjelenítésre alkalmas rendszer. A gondosan megszerkesztett súgók köszönhetõen könnyen

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin

Részletesebben

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1

= n 2 = x 2 dx = 3c 2 ( 1 ( 4)). = π 13.1 Htározott integrál megoldások + 7 + + 9 = 9 6 A bl végpontokt válsztv: i = i n, i+ i = n, fξ i = i 6 d = lim n n i= i n n = n lim n n i = lim n i= A jobb végpontokt válsztv: fξ i = n i, n i d = lim n n

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13.

NULLADIK MATEMATIKA szeptember 13. A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0. szeptember. Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható nálható. Válaszait csak az üres mezőkbe írja! A javítók

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

Robotika. Kinematika. Magyar Attila

Robotika. Kinematika. Magyar Attila Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben