Széchenyi István Egyetem
|
|
- Gabi Mezeiné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 polár 3D gömbi Széchenyi István Egyetem
2 Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen a = x... < x N = b és c = y <... < y M = d az [a, b] ill. a [c, d] intervallumok egy-egy felbontása. Jelölje x k := x k x k ill. y j := y j y j. Az S (N,M) (f) := N M k= j= f (min) kj x k y j számot az f függvény egy alsó integrálközeĺıtő összegének nevezzük. Hasonlóan, az S (N,M) + (f) := N M k= j= f (max) kj x k y j számot az f függvény egy felső integrálközeĺıtő összegének nevezzük. (f (min) kj ill. f (max) kj : az f függvény minimális ill. maximális értéke a T kj téglalapon.)
3 Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen a = x... < x N = b és c = y <... < y M = d az [a, b] ill. a [c, d] intervallumok egy-egy felbontása. Jelölje x k := x k x k ill. y j := y j y j. Az S (N,M) (f) := N M k= j= f (min) kj x k y j számot az f függvény egy alsó integrálközeĺıtő összegének nevezzük. Hasonlóan, az S (N,M) + (f) := N M k= j= f (max) kj x k y j számot az f függvény egy felső integrálközeĺıtő összegének nevezzük. (f (min) kj ill. f (max) kj : az f függvény minimális ill. maximális értéke a T kj téglalapon.)
4 Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] = {(x, y) R : a x b, c y d } téglalapot. Legyen a = x... < x N = b és c = y <... < y M = d az [a, b] ill. a [c, d] intervallumok egy-egy felbontása. Jelölje x k := x k x k ill. y j := y j y j. Az S (N,M) (f) := N M k= j= f (min) kj x k y j számot az f függvény egy alsó integrálközeĺıtő összegének nevezzük. Hasonlóan, az S (N,M) + (f) := N M k= j= f (max) kj x k y j számot az f függvény egy felső integrálközeĺıtő összegének nevezzük. (f (min) kj ill. f (max) kj : az f függvény minimális ill. maximális értéke a T kj téglalapon.)
5 Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Minden f folytonos függvény és T minden felbontása esetén S (N,M) (f) S (N,M) + (f). Az f függvény alsó integrálja: S (f) := sup S (N,M) (f). Az f függvény felső integrálja: S + (f) := inf S (N,M) + (f) Minden f folytonos függvény esetén S (f) S + (f). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglalapon, ha S (f) = S + (f). Ezt a számot f-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f, vagy f(x, y)dxdy. T
6 Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Minden f folytonos függvény és T minden felbontása esetén S (N,M) (f) S (N,M) + (f). Az f függvény alsó integrálja: S (f) := sup S (N,M) (f). Az f függvény felső integrálja: S + (f) := inf S (N,M) + (f) Minden f folytonos függvény esetén S (f) S + (f). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglalapon, ha S (f) = S + (f). Ezt a számot f-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f, vagy f(x, y)dxdy. T
7 Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Minden f folytonos függvény és T minden felbontása esetén S (N,M) (f) S (N,M) + (f). Az f függvény alsó integrálja: S (f) := sup S (N,M) (f). Az f függvény felső integrálja: S + (f) := inf S (N,M) + (f) Minden f folytonos függvény esetén S (f) S + (f). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglalapon, ha S (f) = S + (f). Ezt a számot f-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f, vagy f(x, y)dxdy. T
8 Téglalapon vett integrál polár 3D gömbi Tekintsük az [a, b] és [c, d] intervallumok felbontásainak egy korlátlanul finomodó sorozatát. Legyen f kj egy tetszőleges függvényérték, melyet f a T kj téglalapon felvesz. Akkor a N k= j= M f kj x k y j Riemann-összegek sorozata az T f(x, y)dxdy Riemann-integrálhoz tart (a konkrét felbontástól és az f kj függvényértékek megválasztásától függetlenül).
9 Riemann-integrálközeĺıtő összegek polár 3D gömbi
10 Riemann-integrálközeĺıtő összegek polár 3D gömbi
11 Riemann-integrálközeĺıtő összegek polár 3D gömbi
12 Riemann-integrálközeĺıtő összegek polár 3D gömbi
13 Riemann-integrálközeĺıtő összegek polár 3D gömbi
14 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f(x, y)dxdy = ( b ) d a c f(x, y)dy dx = ( d ) b c a f(x, y)dx dy Közeĺıtsük az T f(x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: N M k= j= f(x k, y j ) x k y j. Összegezve először j, minden k indexre: M j= f(x k, y j ) y j d c f(x k, y)dy, innen N M k= j= f(x k, y j ) y j x k ( N ) d k= c f(x k, y)dy x k. A jobboldalon az F (x) := d c f(x, y)dy függvény egy Riemann-összege áll, ezért: N M k= j= f(x k, y j ) y j x k b a F (x)dx = ( b ) d a c f(x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul finomodik, akkor a közeĺıtő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át.
15 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f(x, y)dxdy = ( b ) d a c f(x, y)dy dx = ( d ) b c a f(x, y)dx dy Közeĺıtsük az T f(x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: N M k= j= f(x k, y j ) x k y j. Összegezve először j, minden k indexre: M j= f(x k, y j ) y j d c f(x k, y)dy, innen N M k= j= f(x k, y j ) y j x k ( N ) d k= c f(x k, y)dy x k. A jobboldalon az F (x) := d c f(x, y)dy függvény egy Riemann-összege áll, ezért: N M k= j= f(x k, y j ) y j x k b a F (x)dx = ( b ) d a c f(x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul finomodik, akkor a közeĺıtő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át.
16 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f(x, y)dxdy = ( b ) d a c f(x, y)dy dx = ( d ) b c a f(x, y)dx dy Közeĺıtsük az T f(x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: N M k= j= f(x k, y j ) x k y j. Összegezve először j, minden k indexre: M j= f(x k, y j ) y j d c f(x k, y)dy, innen N M k= j= f(x k, y j ) y j x k ( N ) d k= c f(x k, y)dy x k. A jobboldalon az F (x) := d c f(x, y)dy függvény egy Riemann-összege áll, ezért: N M k= j= f(x k, y j ) y j x k b a F (x)dx = ( b ) d a c f(x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul finomodik, akkor a közeĺıtő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át.
17 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f(x, y)dxdy = ( b ) d a c f(x, y)dy dx = ( d ) b c a f(x, y)dx dy Közeĺıtsük az T f(x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: N M k= j= f(x k, y j ) x k y j. Összegezve először j, minden k indexre: M j= f(x k, y j ) y j d c f(x k, y)dy, innen N M k= j= f(x k, y j ) y j x k ( N ) d k= c f(x k, y)dy x k. A jobboldalon az F (x) := d c f(x, y)dy függvény egy Riemann-összege áll, ezért: N M k= j= f(x k, y j ) y j x k b a F (x)dx = ( b ) d a c f(x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul finomodik, akkor a közeĺıtő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át.
18 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f(x, y)dxdy = ( b ) d a c f(x, y)dy dx = ( d ) b c a f(x, y)dx dy Közeĺıtsük az T f(x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: N M k= j= f(x k, y j ) x k y j. Összegezve először j, minden k indexre: M j= f(x k, y j ) y j d c f(x k, y)dy, innen N M k= j= f(x k, y j ) y j x k ( N ) d k= c f(x k, y)dy x k. A jobboldalon az F (x) := d c f(x, y)dy függvény egy Riemann-összege áll, ezért: N M k= j= f(x k, y j ) y j x k b a F (x)dx = ( b ) d a c f(x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul finomodik, akkor a közeĺıtő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át.
19 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f(x, y)dxdy = ( b ) d a c f(x, y)dy dx = ( d ) b c a f(x, y)dx dy Közeĺıtsük az T f(x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: N M k= j= f(x k, y j ) x k y j. Összegezve először j, minden k indexre: M j= f(x k, y j ) y j d c f(x k, y)dy, innen N M k= j= f(x k, y j ) y j x k ( N ) d k= c f(x k, y)dy x k. A jobboldalon az F (x) := d c f(x, y)dy függvény egy Riemann-összege áll, ezért: N M k= j= f(x k, y j ) y j x k b a F (x)dx = ( b ) d a c f(x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul finomodik, akkor a közeĺıtő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át.
20 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor T f(x, y)dxdy = ( b ) d a c f(x, y)dy dx = ( d ) b c a f(x, y)dx dy Közeĺıtsük az T f(x, y)dxdy integrált Riemann-összegekkel: N M k= j= f(x k, y j ) x k y j. Összegezve először j, minden k indexre: M j= f(x k, y j ) y j d c f(x k, y)dy, innen N M k= j= f(x k, y j ) y j x k ( N ) d k= c f(x k, y)dy x k. A jobboldalon az F (x) := d c f(x, y)dy függvény egy Riemann-összege áll, ezért: N M k= j= f(x k, y j ) y j x k b a F (x)dx = ( b ) d a c f(x, y)dy dx. Ha a felbontás korlátlanul finomodik, akkor a közeĺıtő egyenlőségek pontos egyenlőségekbe mennek át.
21 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Következmény: Legyenek g : [a, b] R, h : [c, d] R folytonos függvények, akkor: ( b ) ( d ) g(x)h(y)dxdy = g(x)dx h(y)dy T a c
22 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Legyen T := [, ] [, ]. Számítsuk ki a T (x + xy )dxdy kettős integrált. Megoldás: T (x + xy )dxdy = ( ) (x + xy )dy dx. A belső integrál: [ ] (x + xy )dy = xy + xy3 3 = 4x 3. Innen: T (x + xy )dxdy = [ ] 4x 3 dx = 4x 6 = 8 3. Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x integrálunk: [ x (x + xy )dx = ( + y ) = ( + y ). Innen T (x + xy )dxdy = [ ] ( + y )dy = y + y3 3 = 8 3. ]
23 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Legyen T := [, ] [, ]. Számítsuk ki a T (x + xy )dxdy kettős integrált. Megoldás: T (x + xy )dxdy = ( ) (x + xy )dy dx. A belső integrál: [ ] (x + xy )dy = xy + xy3 3 = 4x 3. Innen: T (x + xy )dxdy = [ ] 4x 3 dx = 4x 6 = 8 3. Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x integrálunk: [ x (x + xy )dx = ( + y ) = ( + y ). Innen T (x + xy )dxdy = [ ] ( + y )dy = y + y3 3 = 8 3. ]
24 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Legyen T := [, ] [, ]. Számítsuk ki a T (x + xy )dxdy kettős integrált. Megoldás: T (x + xy )dxdy = ( ) (x + xy )dy dx. A belső integrál: [ ] (x + xy )dy = xy + xy3 3 = 4x 3. Innen: T (x + xy )dxdy = [ ] 4x 3 dx = 4x 6 = 8 3. Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x integrálunk: [ x (x + xy )dx = ( + y ) = ( + y ). Innen T (x + xy )dxdy = [ ] ( + y )dy = y + y3 3 = 8 3. ]
25 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Legyen T := [, ] [, ]. Számítsuk ki a T (x + xy )dxdy kettős integrált. Megoldás: T (x + xy )dxdy = ( ) (x + xy )dy dx. A belső integrál: [ ] (x + xy )dy = xy + xy3 3 = 4x 3. Innen: T (x + xy )dxdy = [ ] 4x 3 dx = 4x 6 = 8 3. Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x integrálunk: [ x (x + xy )dx = ( + y ) = ( + y ). Innen T (x + xy )dxdy = [ ] ( + y )dy = y + y3 3 = 8 3. ]
26 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Legyen T := [, ] [, ]. Számítsuk ki a T (x + xy )dxdy kettős integrált. Megoldás: T (x + xy )dxdy = ( ) (x + xy )dy dx. A belső integrál: [ ] (x + xy )dy = xy + xy3 3 = 4x 3. Innen: T (x + xy )dxdy = [ ] 4x 3 dx = 4x 6 = 8 3. Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x integrálunk: [ x (x + xy )dx = ( + y ) = ( + y ). Innen T (x + xy )dxdy = [ ] ( + y )dy = y + y3 3 = 8 3. ]
27 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Legyen T := [, ] [, ]. Számítsuk ki a T (x + xy )dxdy kettős integrált. Megoldás: T (x + xy )dxdy = ( ) (x + xy )dy dx. A belső integrál: [ ] (x + xy )dy = xy + xy3 3 = 4x 3. Innen: T (x + xy )dxdy = [ ] 4x 3 dx = 4x 6 = 8 3. Eljárhattunk volna úgy is, hogy előbb x integrálunk: [ x (x + xy )dx = ( + y ) = ( + y ). Innen T (x + xy )dxdy = [ ] ( + y )dy = y + y3 3 = 8 3. ]
28 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki a T cos(x + y)dxdy kettős integrált a x, y π egyenlőtlenségek által meghatározott T téglalapon. Megoldás: T cos(x + y)dxdy = π π (cos x cos y sin x sin y)dxdy = sin ydy) = 4. ( π cos xdx) ( π cos ydy) ( π sin xdx) ( π
29 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki a T cos(x + y)dxdy kettős integrált a x, y π egyenlőtlenségek által meghatározott T téglalapon. Megoldás: T cos(x + y)dxdy = π π (cos x cos y sin x sin y)dxdy = sin ydy) = 4. ( π cos xdx) ( π cos ydy) ( π sin xdx) ( π
30 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki a T cos(x + y)dxdy kettős integrált a x, y π egyenlőtlenségek által meghatározott T téglalapon. Megoldás: T cos(x + y)dxdy = π π (cos x cos y sin x sin y)dxdy = sin ydy) = 4. ( π cos xdx) ( π cos ydy) ( π sin xdx) ( π
31 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki a T cos(x + y)dxdy kettős integrált a x, y π egyenlőtlenségek által meghatározott T téglalapon. Megoldás: T cos(x + y)dxdy = π π (cos x cos y sin x sin y)dxdy = sin ydy) = 4. ( π cos xdx) ( π cos ydy) ( π sin xdx) ( π
32 polár 3D gömbi Legyenek g, h : [a, b] R folytonos függvények, melyekre g h teljesül az [a, b] intervallumon. Legyen := {(x, y) R : a x b, g(x) y h(x)} normáltartomány, f : R folytonos függvény. Akkor ( b ) h(x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx a g(x) Hasonlóan, ha = {(x, y) R : a y b, g(y) x h(y)}, akkor ( b ) h(y) f(x, y)dxdy = f(x, y)dx dy a g(y)
33 polár 3D gömbi Legyenek g, h : [a, b] R folytonos függvények, melyekre g h teljesül az [a, b] intervallumon. Legyen := {(x, y) R : a x b, g(x) y h(x)} normáltartomány, f : R folytonos függvény. Akkor ( b ) h(x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx a g(x) Hasonlóan, ha = {(x, y) R : a y b, g(y) x h(y)}, akkor ( b ) h(y) f(x, y)dxdy = f(x, y)dx dy a g(y)
34 polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az (x + y) dxdy integrált, ahol az y = x és az y = x egyenletű parabolák által határolt tartomány. Megoldás: (x + y) dxdy = ( ) x (x + y)dy dx = x [ = ] x x y + y [ x 7/ 7 + x 4 3 x5 5 dx = x (x5/ + x x4 x4 )dx = ] = 33 4.
35 polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az (x + y) dxdy integrált, ahol az y = x és az y = x egyenletű parabolák által határolt tartomány. Megoldás: (x + y) dxdy = ( ) x (x + y)dy dx = x [ = ] x x y + y [ x 7/ 7 + x 4 3 x5 5 dx = x (x5/ + x x4 x4 )dx = ] = 33 4.
36 polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az (x + y) dxdy integrált, ahol az y = x és az y = x egyenletű parabolák által határolt tartomány. Megoldás: (x + y) dxdy = ( ) x (x + y)dy dx = x [ = ] x x y + y [ x 7/ 7 + x 4 3 x5 5 dx = x (x5/ + x x4 x4 )dx = ] = 33 4.
37 polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az (x + y) dxdy integrált, ahol az y = x és az y = x egyenletű parabolák által határolt tartomány. Megoldás: (x + y) dxdy = ( ) x (x + y)dy dx = x [ = ] x x y + y [ x 7/ 7 + x 4 3 x5 5 dx = x (x5/ + x x4 x4 )dx = ] = 33 4.
38 polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az (x + y) dxdy integrált, ahol az y = x és az y = x egyenletű parabolák által határolt tartomány. Megoldás: (x + y) dxdy = ( ) x (x + y)dy dx = x [ = ] x x y + y [ x 7/ 7 + x 4 3 x5 5 dx = x (x5/ + x x4 x4 )dx = ] = 33 4.
39 polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az (x + y) dxdy integrált, ahol az y = x és az y = x egyenletű parabolák által határolt tartomány. Megoldás: (x + y) dxdy = ( ) x (x + y)dy dx = x [ = ] x x y + y [ x 7/ 7 + x 4 3 x5 5 dx = x (x5/ + x x4 x4 )dx = ] = 33 4.
40 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.
41 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.
42 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.
43 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.
44 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.
45 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.
46 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.
47 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.
48 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.
49 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.
50 polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységnyi sugarú félkör súlypontját. Megoldás: Jelölje := {(x, y) R : x + y, y }. súlypontjának koordinátái: S x = x dxdy dxdy, S y = y dxdy dxdy. dxdy = π, x dxdy = ( ) x y dxdy = ( x )dx = x dy dx = x x dx =, ( ) x y dy dx = [ y] x dx = [ ] x x3 3 = 3. Innen a súlypont koordinátái: S x =, S y = 4 3π.
51 polár polár 3D gömbi Legyen f : R folytonos függvény. Ha (x, y) R, jelölje r és ϕ az (x, y) pont polárkoordinátáit, melyekre x = r cos ϕ és y = r sin ϕ. Jelölje F az f függvény polárkoordinátás alakját: F (r, ϕ) := f(r cos ϕ, r sin ϕ). Jelölje az tartomány polárkoordinátás megfelelőjét, azaz := {(r, ϕ) R : (r cos ϕ, r sin ϕ) }. Akkor f(x, y)dxdy = F (r, ϕ)rdrdϕ Példa: Ha az origó közepű R sugarú negyedkör, akkor = [, ] [, π ] (téglalap). Példa: Ha Ha az origó közepű R, R sugarú körök közötti körgyűrűtartomány, akkor = [R, R ] [, π] (téglalap).
52 polár polár 3D gömbi Legyen f : R folytonos függvény. Ha (x, y) R, jelölje r és ϕ az (x, y) pont polárkoordinátáit, melyekre x = r cos ϕ és y = r sin ϕ. Jelölje F az f függvény polárkoordinátás alakját: F (r, ϕ) := f(r cos ϕ, r sin ϕ). Jelölje az tartomány polárkoordinátás megfelelőjét, azaz := {(r, ϕ) R : (r cos ϕ, r sin ϕ) }. Akkor f(x, y)dxdy = F (r, ϕ)rdrdϕ Példa: Ha az origó közepű R sugarú negyedkör, akkor = [, ] [, π ] (téglalap). Példa: Ha Ha az origó közepű R, R sugarú körök közötti körgyűrűtartomány, akkor = [R, R ] [, π] (téglalap).
53 polár polár 3D gömbi Legyen f : R folytonos függvény. Ha (x, y) R, jelölje r és ϕ az (x, y) pont polárkoordinátáit, melyekre x = r cos ϕ és y = r sin ϕ. Jelölje F az f függvény polárkoordinátás alakját: F (r, ϕ) := f(r cos ϕ, r sin ϕ). Jelölje az tartomány polárkoordinátás megfelelőjét, azaz := {(r, ϕ) R : (r cos ϕ, r sin ϕ) }. Akkor f(x, y)dxdy = F (r, ϕ)rdrdϕ Példa: Ha az origó közepű R sugarú negyedkör, akkor = [, ] [, π ] (téglalap). Példa: Ha Ha az origó közepű R, R sugarú körök közötti körgyűrűtartomány, akkor = [R, R ] [, π] (téglalap).
54 polár polár 3D gömbi Legyen f : R folytonos függvény. Ha (x, y) R, jelölje r és ϕ az (x, y) pont polárkoordinátáit, melyekre x = r cos ϕ és y = r sin ϕ. Jelölje F az f függvény polárkoordinátás alakját: F (r, ϕ) := f(r cos ϕ, r sin ϕ). Jelölje az tartomány polárkoordinátás megfelelőjét, azaz := {(r, ϕ) R : (r cos ϕ, r sin ϕ) }. Akkor f(x, y)dxdy = F (r, ϕ)rdrdϕ Példa: Ha az origó közepű R sugarú negyedkör, akkor = [, ] [, π ] (téglalap). Példa: Ha Ha az origó közepű R, R sugarú körök közötti körgyűrűtartomány, akkor = [R, R ] [, π] (téglalap).
55 polár polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott téglalap. Ezért: dxdy = π rdrdϕ = ( ( π ) dϕ) rdr = π, x dxdy = π r cos ϕ rdrdϕ = ( ( π ) cos ϕ dϕ) r dr =, y dxdy = π ( π sin ϕ dϕ) ( r sin ) ϕ rdrdϕ = r dr = 3 Innen a súlypont koordinátái: (, 4 3π ).
56 polár polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott téglalap. Ezért: dxdy = π rdrdϕ = ( ( π ) dϕ) rdr = π, x dxdy = π r cos ϕ rdrdϕ = ( ( π ) cos ϕ dϕ) r dr =, y dxdy = π ( π sin ϕ dϕ) ( r sin ) ϕ rdrdϕ = r dr = 3 Innen a súlypont koordinátái: (, 4 3π ).
57 polár polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott téglalap. Ezért: dxdy = π rdrdϕ = ( ( π ) dϕ) rdr = π, x dxdy = π r cos ϕ rdrdϕ = ( ( π ) cos ϕ dϕ) r dr =, y dxdy = π ( π sin ϕ dϕ) ( r sin ) ϕ rdrdϕ = r dr = 3 Innen a súlypont koordinátái: (, 4 3π ).
58 polár polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott téglalap. Ezért: dxdy = π rdrdϕ = ( ( π ) dϕ) rdr = π, x dxdy = π r cos ϕ rdrdϕ = ( ( π ) cos ϕ dϕ) r dr =, y dxdy = π ( π sin ϕ dϕ) ( r sin ) ϕ rdrdϕ = r dr = 3 Innen a súlypont koordinátái: (, 4 3π ).
59 polár polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott téglalap. Ezért: dxdy = π rdrdϕ = ( ( π ) dϕ) rdr = π, x dxdy = π r cos ϕ rdrdϕ = ( ( π ) cos ϕ dϕ) r dr =, y dxdy = π ( π sin ϕ dϕ) ( r sin ) ϕ rdrdϕ = r dr = 3 Innen a súlypont koordinátái: (, 4 3π ).
60 polár polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott téglalap. Ezért: dxdy = π rdrdϕ = ( ( π ) dϕ) rdr = π, x dxdy = π r cos ϕ rdrdϕ = ( ( π ) cos ϕ dϕ) r dr =, y dxdy = π ( π sin ϕ dϕ) ( r sin ) ϕ rdrdϕ = r dr = 3 Innen a súlypont koordinátái: (, 4 3π ).
61 polár polár 3D gömbi Példa: Határozzuk meg az egységsugarú félkör súlypontját. Megoldás: A félkör polárkoordinátás megfelelője az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott téglalap. Ezért: dxdy = π rdrdϕ = ( ( π ) dϕ) rdr = π, x dxdy = π r cos ϕ rdrdϕ = ( ( π ) cos ϕ dϕ) r dr =, y dxdy = π ( π sin ϕ dϕ) ( r sin ) ϕ rdrdϕ = r dr = 3 Innen a súlypont koordinátái: (, 4 3π ).
62 polár polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az xy dxdy integrált, ahol az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. Megoldás: Áttérve polárra: π/ xy dxdy = r cos ϕ r sin ϕ rdrdϕ = ( / ) ( π/ ) cos ϕ sin ϕ dϕ r 3 dr = / ( ) ( π/ ) sin ϕ dϕ r 3 dr = 5 8. /
63 polár polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az xy dxdy integrált, ahol az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. Megoldás: Áttérve polárra: π/ xy dxdy = r cos ϕ r sin ϕ rdrdϕ = ( / ) ( π/ ) cos ϕ sin ϕ dϕ r 3 dr = / ( ) ( π/ ) sin ϕ dϕ r 3 dr = 5 8. /
64 polár polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az xy dxdy integrált, ahol az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. Megoldás: Áttérve polárra: π/ xy dxdy = r cos ϕ r sin ϕ rdrdϕ = ( / ) ( π/ ) cos ϕ sin ϕ dϕ r 3 dr = / ( ) ( π/ ) sin ϕ dϕ r 3 dr = 5 8. /
65 polár polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az xy dxdy integrált, ahol az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. Megoldás: Áttérve polárra: π/ xy dxdy = r cos ϕ r sin ϕ rdrdϕ = ( / ) ( π/ ) cos ϕ sin ϕ dϕ r 3 dr = / ( ) ( π/ ) sin ϕ dϕ r 3 dr = 5 8. /
66 polár polár 3D gömbi Példa: Számítsuk ki az xy dxdy integrált, ahol az r, ϕ π egyenlőtlenségek által meghatározott körgyűrűcikk. Megoldás: Áttérve polárra: π/ xy dxdy = r cos ϕ r sin ϕ rdrdϕ = ( / ) ( π/ ) cos ϕ sin ϕ dϕ r 3 dr = / ( ) ( π/ ) sin ϕ dϕ r 3 dr = 5 8. /
67 polár 3D gömbi Legyen R egy D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R egy másik D tartomány, és (x(u, v), y(u, v)) : egy leképezés (változótranszformáció). Jelölje f(u, v) := f(x(u, v), y(u, v)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y) dxdy = f(u, v) det J(u, v) dudv, (Jacobi-mátrix). ( ) xu x J(u, v) := v y u y v ahol
68 polár 3D gömbi Legyen R egy D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R egy másik D tartomány, és (x(u, v), y(u, v)) : egy leképezés (változótranszformáció). Jelölje f(u, v) := f(x(u, v), y(u, v)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y) dxdy = f(u, v) det J(u, v) dudv, (Jacobi-mátrix). ( ) xu x J(u, v) := v y u y v ahol
69 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] (egységnégyzet), és a, b R két, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralelogrammát. Akkor az (x, y)(u, v) := a u + b v leképezés -t -ra képezi. Az dxdy integrál nyilván az paralelogramma területével egyenlő. Másrészt dxdy = det(j) dudv ( ) ax b ahol J(u, v) := x det(j) =. a y b y
70 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] (egységnégyzet), és a, b R két, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralelogrammát. Akkor az (x, y)(u, v) := a u + b v leképezés -t -ra képezi. Az dxdy integrál nyilván az paralelogramma területével egyenlő. Másrészt dxdy = det(j) dudv ( ) ax b ahol J(u, v) := x det(j) =. a y b y
71 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] (egységnégyzet), és a, b R két, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralelogrammát. Akkor az (x, y)(u, v) := a u + b v leképezés -t -ra képezi. Az dxdy integrál nyilván az paralelogramma területével egyenlő. Másrészt dxdy = det(j) dudv ( ) ax b ahol J(u, v) := x det(j) =. a y b y
72 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] (egységnégyzet), és a, b R két, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralelogrammát. Akkor az (x, y)(u, v) := a u + b v leképezés -t -ra képezi. Az dxdy integrál nyilván az paralelogramma területével egyenlő. Másrészt dxdy = det(j) dudv ( ) ax b ahol J(u, v) := x det(j) =. a y b y
73 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] (egységnégyzet), és a, b R két, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralelogrammát. Akkor az (x, y)(u, v) := a u + b v leképezés -t -ra képezi. Az dxdy integrál nyilván az paralelogramma területével egyenlő. Másrészt dxdy = det(j) dudv ( ) ax b ahol J(u, v) := x det(j) =. a y b y
74 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] (egységnégyzet), és a, b R két, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralelogrammát. Akkor az (x, y)(u, v) := a u + b v leképezés -t -ra képezi. Az dxdy integrál nyilván az paralelogramma területével egyenlő. Másrészt dxdy = det(j) dudv ( ) ax b ahol J(u, v) := x det(j) =. a y b y
75 polár polár 3D gömbi Legyen R egy D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R egy másik D tartomány, és (x(r, t), y(r, t)) : a polárkoordináta-transzformáció: x(r, t) := r cos t, y(r, t) := r sin t. Jelölje f(r, t) := f(x(r, t), y(r, t)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y) dxdy = f(r, t) r drdt, ui. itt a Jacobi-determináns ( ) cos t r sin t det(j(r, t)) = det = r sin t r cos t
76 polár polár 3D gömbi Legyen R egy D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R egy másik D tartomány, és (x(r, t), y(r, t)) : a polárkoordináta-transzformáció: x(r, t) := r cos t, y(r, t) := r sin t. Jelölje f(r, t) := f(x(r, t), y(r, t)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y) dxdy = f(r, t) r drdt, ui. itt a Jacobi-determináns ( ) cos t r sin t det(j(r, t)) = det = r sin t r cos t
77 polár polár 3D gömbi Legyen R egy D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R egy másik D tartomány, és (x(r, t), y(r, t)) : a polárkoordináta-transzformáció: x(r, t) := r cos t, y(r, t) := r sin t. Jelölje f(r, t) := f(x(r, t), y(r, t)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y) dxdy = f(r, t) r drdt, ui. itt a Jacobi-determináns ( ) cos t r sin t det(j(r, t)) = det = r sin t r cos t
78 Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Legyenek [a, b], [c, d], [e, f] R véges intervallumok, és jelölje T az [a, b] [c, d] [e, f] = {(x, y, z) R 3 : a x b, c y d, e z f } téglatestet. Legyen a = x... < x N = b, c = y <... < y M = d és e = z <... < z L az [a, b], a [c, d] ill. az [e, f] intervallumok egy-egy felbontása. Jelölje x k := x k x k, y j := y j y j ill. z i := z i z i.
79 Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Az S (N,M,L) (f) := N M L k= j= i= f (min) kji x k y j z i számot az f függvény egy alsó integrálközeĺıtő összegének nevezzük. Hasonlóan, az S (N,M,L) + (f) := N M L k= j= i= f (max) kji x k y j z i számot az f függvény egy felső integrálközeĺıtő összegének nevezzük. (f (min) kji ill. f (max) kji : az f függvény minimális ill. maximális értéke a T kji téglatesten.)
80 Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Az S (N,M,L) (f) := N M L k= j= i= f (min) kji x k y j z i számot az f függvény egy alsó integrálközeĺıtő összegének nevezzük. Hasonlóan, az S (N,M,L) + (f) := N M L k= j= i= f (max) kji x k y j z i számot az f függvény egy felső integrálközeĺıtő összegének nevezzük. (f (min) kji ill. f (max) kji : az f függvény minimális ill. maximális értéke a T kji téglatesten.)
81 Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Minden f folytonos függvény és T minden felbontása esetén S (N,M,L) (f) S (N,M,L) + (f). Az f függvény alsó integrálja: S (f) := sup S (N,M,L) (f). Az f függvény felső integrálja: S + (f) := inf S (N,M,L) + (f) Minden f folytonos függvény esetén S (f) S + (f). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglatesten, ha S (f) = S + (f). Ezt a számot f-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f, vagy f(x, y, z)dxdydz. T
82 Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Minden f folytonos függvény és T minden felbontása esetén S (N,M,L) (f) S (N,M,L) + (f). Az f függvény alsó integrálja: S (f) := sup S (N,M,L) (f). Az f függvény felső integrálja: S + (f) := inf S (N,M,L) + (f) Minden f folytonos függvény esetén S (f) S + (f). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglatesten, ha S (f) = S + (f). Ezt a számot f-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f, vagy f(x, y, z)dxdydz. T
83 Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Minden f folytonos függvény és T minden felbontása esetén S (N,M,L) (f) S (N,M,L) + (f). Az f függvény alsó integrálja: S (f) := sup S (N,M,L) (f). Az f függvény felső integrálja: S + (f) := inf S (N,M,L) + (f) Minden f folytonos függvény esetén S (f) S + (f). Az f függvény Riemann-integrálható a T téglatesten, ha S (f) = S + (f). Ezt a számot f-nek T -n vett Riemann-integráljának nevezzük. Jele: T f, vagy f(x, y, z)dxdydz. T
84 Téglatesten vett integrál polár 3D gömbi Tekintsük az [a, b], [c, d] és [e, f] intervallumok felbontásainak egy korlátlanul finomodó sorozatát. Legyen f kji egy tetszőleges függvényérték, melyet f a T kji téglatesten felvesz. N M L Akkor a f kji x k y j z i Riemann-összegek k= j= i= sorozata az T f(x, y, z)dxdydz Riemann-integrálhoz tart (a konkrét felbontástól és az f kji függvényértékek megválasztásától függetlenül).
85 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor az T f(x, y, z)dxdydz hármas integrál kiszámítása három integrálás tetszőleges sorrendben való egymásutáni kiszámításával történhet. Így pl. T f(x, y, z)dxdydz = ( b ( d ) ) f a c e f(x, y, z)dz dy dx vagy akár T f(x, y, z)dxdydz = f e ( ( b ) ) d a c f(x, y, z)dy dx dz
86 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Ha f folytonos függvény T -n, akkor az T f(x, y, z)dxdydz hármas integrál kiszámítása három integrálás tetszőleges sorrendben való egymásutáni kiszámításával történhet. Így pl. T f(x, y, z)dxdydz = ( b ( d ) ) f a c e f(x, y, z)dz dy dx vagy akár T f(x, y, z)dxdydz = f e ( ( b ) ) d a c f(x, y, z)dy dx dz
87 integrál kiszámítása polár 3D gömbi Következmény: Legyenek u : [a, b] R, v : [c, d] R, w : [e, f] R folytonos függvények, akkor: u(x) v(y) w(z) dxdydz = T ( b ) ( d ) ( f ) = u(x)dx v(y)dy w(z)dz a c e
88 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x 3, y 3, z 3}, akkor (x + y + z) dxdydz = = 3 3 ( 3 + [ x = ) xdx dydz ] ( 3 ( 3 ) zdz dxdy = [ y + ] 3 [ z + ) ydy dxdz+ ] 3 = 48.
89 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x 3, y 3, z 3}, akkor (x + y + z) dxdydz = = 3 3 ( 3 + [ x = ) xdx dydz ] ( 3 ( 3 ) zdz dxdy = [ y + ] 3 [ z + ) ydy dxdz+ ] 3 = 48.
90 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x 3, y 3, z 3}, akkor (x + y + z) dxdydz = = 3 3 ( 3 + [ x = ) xdx dydz ] ( 3 ( 3 ) zdz dxdy = [ y + ] 3 [ z + ) ydy dxdz+ ] 3 = 48.
91 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y, z 3}, akkor (x 4y + 6z 3) dxdydz = = 3 + ( [ x = 3 ( 3 ] ) xdx dydz ) 6zdz dxdy [ 4y 3 3 ( 3 ] [ 6z + ) 4ydy dxdz+ 3 dxdydz = ] 3 = = =
92 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y, z 3}, akkor (x 4y + 6z 3) dxdydz = = 3 + ( [ x = 3 ( 3 ] ) xdx dydz ) 6zdz dxdy [ 4y 3 3 ( 3 ] [ 6z + ) 4ydy dxdz+ 3 dxdydz = ] 3 = = =
93 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y, z 3}, akkor (x 4y + 6z 3) dxdydz = = 3 + ( [ x = 3 ( 3 ] ) xdx dydz ) 6zdz dxdy [ 4y 3 3 ( 3 ] [ 6z + ) 4ydy dxdz+ 3 dxdydz = ] 3 = = =
94 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y, z 3}, akkor (x 4y + 6z 3) dxdydz = = 3 + ( [ x = 3 ( 3 ] ) xdx dydz ) 6zdz dxdy [ 4y 3 3 ( 3 ] [ 6z + ) 4ydy dxdz+ 3 dxdydz = ] 3 = = =
95 integrál kiszámítása,. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y, z 3}, akkor (x 4y + 6z 3) dxdydz = = 3 + ( [ x = 3 ( 3 ] ) xdx dydz ) 6zdz dxdy [ 4y 3 3 ( 3 ] [ 6z + ) 4ydy dxdz+ 3 dxdydz = ] 3 = = =
96 integrál kiszámítása, 3. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y 3, z 6}, akkor xy z 3 dxdydz = ( = ) ( 3 ) ( 6 ) xdx y dy z 3 dz = [ ] x [ ] y 3 3 [ ] z 4 6 = = = 3 4 ( ) 96 6 =
97 integrál kiszámítása, 3. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y 3, z 6}, akkor xy z 3 dxdydz = ( = ) ( 3 ) ( 6 ) xdx y dy z 3 dz = [ ] x [ ] y 3 3 [ ] z 4 6 = = = 3 4 ( ) 96 6 =
98 integrál kiszámítása, 3. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y 3, z 6}, akkor xy z 3 dxdydz = ( = ) ( 3 ) ( 6 ) xdx y dy z 3 dz = [ ] x [ ] y 3 3 [ ] z 4 6 = = = 3 4 ( ) 96 6 =
99 integrál kiszámítása, 3. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y 3, z 6}, akkor xy z 3 dxdydz = ( = ) ( 3 ) ( 6 ) xdx y dy z 3 dz = [ ] x [ ] y 3 3 [ ] z 4 6 = = = 3 4 ( ) 96 6 =
100 integrál kiszámítása, 3. példa polár 3D gömbi Legyen := { x, y 3, z 6}, akkor xy z 3 dxdydz = ( = ) ( 3 ) ( 6 ) xdx y dy z 3 dz = [ ] x [ ] y 3 3 [ ] z 4 6 = = = 3 4 ( ) 96 6 =
101 3D polár 3D gömbi Legyenek R egy paramétertartomány, g, h : R folytonos függvények, melyekre g h teljesül -on. Legyen := {(x, y, z) R 3 : (x, y), g(x, y) z h(x, y)} normáltartomány z irányban, f : R folytonos függvény. Akkor f(x, y, z)dxdydz = ( ) h(x,y) = f(x, y, z)dz dxdy g(x,y) Hasonló tétel érvényes x vagy y irányú normáltartományokra is.
102 3D polár 3D gömbi Legyenek R egy paramétertartomány, g, h : R folytonos függvények, melyekre g h teljesül -on. Legyen := {(x, y, z) R 3 : (x, y), g(x, y) z h(x, y)} normáltartomány z irányban, f : R folytonos függvény. Akkor f(x, y, z)dxdydz = ( ) h(x,y) = f(x, y, z)dz dxdy g(x,y) Hasonló tétel érvényes x vagy y irányú normáltartományokra is.
103 3D, példa polár 3D gömbi Félgömb térfogata Legyenek : ({(x, y) R : x + y R } (kör), és := {(x, y, z) R 3 : (x, y), z R x y } (félgömb). dxdydz = = R x y dxdy = = π R ( ) R x y dz dxdy = π R [ R r (R r ) 3/ ( r) dr = π 3/ R r r drdt ] R = R3 π 3
104 3D, példa polár 3D gömbi Félgömb térfogata Legyenek : ({(x, y) R : x + y R } (kör), és := {(x, y, z) R 3 : (x, y), z R x y } (félgömb). dxdydz = = R x y dxdy = = π R ( ) R x y dz dxdy = π R [ R r (R r ) 3/ ( r) dr = π 3/ R r r drdt ] R = R3 π 3
105 3D, példa polár 3D gömbi Félgömb térfogata Legyenek : ({(x, y) R : x + y R } (kör), és := {(x, y, z) R 3 : (x, y), z R x y } (félgömb). dxdydz = = R x y dxdy = = π R ( ) R x y dz dxdy = π R [ R r (R r ) 3/ ( r) dr = π 3/ R r r drdt ] R = R3 π 3
106 3D, példa polár 3D gömbi Félgömb térfogata Legyenek : ({(x, y) R : x + y R } (kör), és := {(x, y, z) R 3 : (x, y), z R x y } (félgömb). dxdydz = = R x y dxdy = = π R ( ) R x y dz dxdy = π R [ R r (R r ) 3/ ( r) dr = π 3/ R r r drdt ] R = R3 π 3
107 3D, példa polár 3D gömbi Félgömb térfogata Legyenek : ({(x, y) R : x + y R } (kör), és := {(x, y, z) R 3 : (x, y), z R x y } (félgömb). dxdydz = = R x y dxdy = = π R ( ) R x y dz dxdy = π R [ R r (R r ) 3/ ( r) dr = π 3/ R r r drdt ] R = R3 π 3
108 3D, példa polár 3D gömbi Félgömb térfogata Legyenek : ({(x, y) R : x + y R } (kör), és := {(x, y, z) R 3 : (x, y), z R x y } (félgömb). dxdydz = = R x y dxdy = = π R ( ) R x y dz dxdy = π R [ R r (R r ) 3/ ( r) dr = π 3/ R r r drdt ] R = R3 π 3
109 3D, példa polár 3D gömbi Félgömb térfogata Legyenek : ({(x, y) R : x + y R } (kör), és := {(x, y, z) R 3 : (x, y), z R x y } (félgömb). dxdydz = = R x y dxdy = = π R ( ) R x y dz dxdy = π R [ R r (R r ) 3/ ( r) dr = π 3/ R r r drdt ] R = R3 π 3
110 polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) : egy leképezés (változótranszformáció). Jelölje f(u, v, w) := f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(u, v, w) det J(u, v, w) dudvdw, ahol (Jacobi-mátrix). J(u, v, w) := x u x v x w y u y v y w z u z v z w
111 polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) : egy leképezés (változótranszformáció). Jelölje f(u, v, w) := f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(u, v, w) det J(u, v, w) dudvdw, ahol (Jacobi-mátrix). J(u, v, w) := x u x v x w y u y v y w z u z v z w
112 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] [, ] (egységkocka), és a, b, c R 3 három, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralellepipedont. Akkor az (x, y, z)(u, v, w) := a u + b v + c w leképezés -t -ra képezi. Az dxdydz integrál nyilván az paralellepoiedon térfogatával egyenlő. Másrészt dxdydz = det(j) dudvdw ahol J(u, v, w) := a x b x c x a y b y c y a z b z c z det(j) =.
113 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] [, ] (egységkocka), és a, b, c R 3 három, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralellepipedont. Akkor az (x, y, z)(u, v, w) := a u + b v + c w leképezés -t -ra képezi. Az dxdydz integrál nyilván az paralellepoiedon térfogatával egyenlő. Másrészt dxdydz = det(j) dudvdw ahol J(u, v, w) := a x b x c x a y b y c y a z b z c z det(j) =.
114 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] [, ] (egységkocka), és a, b, c R 3 három, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralellepipedont. Akkor az (x, y, z)(u, v, w) := a u + b v + c w leképezés -t -ra képezi. Az dxdydz integrál nyilván az paralellepoiedon térfogatával egyenlő. Másrészt dxdydz = det(j) dudvdw ahol J(u, v, w) := a x b x c x a y b y c y a z b z c z det(j) =.
115 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] [, ] (egységkocka), és a, b, c R 3 három, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralellepipedont. Akkor az (x, y, z)(u, v, w) := a u + b v + c w leképezés -t -ra képezi. Az dxdydz integrál nyilván az paralellepoiedon térfogatával egyenlő. Másrészt dxdydz = det(j) dudvdw ahol J(u, v, w) := a x b x c x a y b y c y a z b z c z det(j) =.
116 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] [, ] (egységkocka), és a, b, c R 3 három, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralellepipedont. Akkor az (x, y, z)(u, v, w) := a u + b v + c w leképezés -t -ra képezi. Az dxdydz integrál nyilván az paralellepoiedon térfogatával egyenlő. Másrészt dxdydz = det(j) dudvdw ahol J(u, v, w) := a x b x c x a y b y c y a z b z c z det(j) =.
117 , példa polár 3D gömbi Legyen := [, ] [, ] [, ] (egységkocka), és a, b, c R 3 három, lineárisan független vektor, jelölje az általuk meghatározott paralellepipedont. Akkor az (x, y, z)(u, v, w) := a u + b v + c w leképezés -t -ra képezi. Az dxdydz integrál nyilván az paralellepoiedon térfogatával egyenlő. Másrészt dxdydz = det(j) dudvdw ahol J(u, v, w) := a x b x c x a y b y c y a z b z c z det(j) =.
118 polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, z), y(r, t, z), z(r, t, z)) : a hengerkoordináta-transzformáció: x(r, t, z) := r cos t, y(r, t, z) := r sin t, z(r, t, z) := z. Jelölje f(r, t, z) := f(x(r, t, z), y(r, t, z), z(r, t, z)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, z) r drdtdz, ui. itt a Jacobi-determináns det(j(r, t, z)) = det cos t r sin t sin t r cos t = r
119 polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, z), y(r, t, z), z(r, t, z)) : a hengerkoordináta-transzformáció: x(r, t, z) := r cos t, y(r, t, z) := r sin t, z(r, t, z) := z. Jelölje f(r, t, z) := f(x(r, t, z), y(r, t, z), z(r, t, z)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, z) r drdtdz, ui. itt a Jacobi-determináns det(j(r, t, z)) = det cos t r sin t sin t r cos t = r
120 polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, z), y(r, t, z), z(r, t, z)) : a hengerkoordináta-transzformáció: x(r, t, z) := r cos t, y(r, t, z) := r sin t, z(r, t, z) := z. Jelölje f(r, t, z) := f(x(r, t, z), y(r, t, z), z(r, t, z)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, z) r drdtdz, ui. itt a Jacobi-determináns det(j(r, t, z)) = det cos t r sin t sin t r cos t = r
121 , példa polár 3D gömbi Henger térfogata Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y R, z m}, akkor: π R m dxdydz = r dzdrdt = ( π ) ( R ) ( m ) dt r dr dz = π R m = R πm
122 , példa polár 3D gömbi Henger térfogata Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y R, z m}, akkor: π R m dxdydz = r dzdrdt = ( π ) ( R ) ( m ) dt r dr dz = π R m = R πm
123 , példa polár 3D gömbi Henger térfogata Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y R, z m}, akkor: π R m dxdydz = r dzdrdt = ( π ) ( R ) ( m ) dt r dr dz = π R m = R πm
124 gömbi polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) : a gömbi koordináta-transzformáció: x(r, t, θ) := r cos t sin θ, y(r, t, θ) := r sin t sin θ, z(r, t, θ) := r cos θ. Jelölje f(r, t, θ) := f(x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, θ) r sin θ drdtdθ, det(j) = det = r sin θ cos t sin θ r sin t sin θ r cos t cos θ sin t sin θ r cos t sin θ r sin t cos θ cos θ r sin θ
125 gömbi polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) : a gömbi koordináta-transzformáció: x(r, t, θ) := r cos t sin θ, y(r, t, θ) := r sin t sin θ, z(r, t, θ) := r cos θ. Jelölje f(r, t, θ) := f(x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, θ) r sin θ drdtdθ, det(j) = det = r sin θ cos t sin θ r sin t sin θ r cos t cos θ sin t sin θ r cos t sin θ r sin t cos θ cos θ r sin θ
126 gömbi polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) : a gömbi koordináta-transzformáció: x(r, t, θ) := r cos t sin θ, y(r, t, θ) := r sin t sin θ, z(r, t, θ) := r cos θ. Jelölje f(r, t, θ) := f(x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, θ) r sin θ drdtdθ, det(j) = det = r sin θ cos t sin θ r sin t sin θ r cos t cos θ sin t sin θ r cos t sin θ r sin t cos θ cos θ r sin θ
127 gömbi polár 3D gömbi Legyen R 3 egy 3D tartomány, és f : R egy folytonos függvény. Legyen R 3 egy másik 3D tartomány, és (x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) : a gömbi koordináta-transzformáció: x(r, t, θ) := r cos t sin θ, y(r, t, θ) := r sin t sin θ, z(r, t, θ) := r cos θ. Jelölje f(r, t, θ) := f(x(r, t, θ), y(r, t, θ), z(r, t, θ)) Akkor az f függvény -n vett integrálja: f(x, y, z) dxdydz = f(r, t, θ) r sin θ drdtdθ, det(j) = det = r sin θ cos t sin θ r sin t sin θ r cos t cos θ sin t sin θ r cos t sin θ r sin t cos θ cos θ r sin θ
128 gömbi,. példa polár 3D gömbi Gömb térfogata Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z R }, akkor: = π π dxdydz = ( π R r sin θ drdθdt ) ( π ) ( R ) dt sin θ dθ r dr = π R3 3 = 4R3 π 3
129 gömbi,. példa polár 3D gömbi Gömb térfogata Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z R }, akkor: = π π dxdydz = ( π R r sin θ drdθdt ) ( π ) ( R ) dt sin θ dθ r dr = π R3 3 = 4R3 π 3
130 gömbi,. példa polár 3D gömbi Gömb térfogata Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z R }, akkor: = π π dxdydz = ( π R r sin θ drdθdt ) ( π ) ( R ) dt sin θ dθ r dr = π R3 3 = 4R3 π 3
131 gömbi,. példa polár 3D gömbi Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z, x, y }, (negyedgömb), akkor: x + y + z dxdydz = = π π/ ( ) π/ = dt r r sin θ drdtdθ ( π ) ( ) sin θ dθ r 3 dr = π 4 4 = π 4
132 gömbi,. példa polár 3D gömbi Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z, x, y }, (negyedgömb), akkor: x + y + z dxdydz = = π π/ ( ) π/ = dt r r sin θ drdtdθ ( π ) ( ) sin θ dθ r 3 dr = π 4 4 = π 4
133 gömbi,. példa polár 3D gömbi Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z, x, y }, (negyedgömb), akkor: x + y + z dxdydz = = π π/ ( ) π/ = dt r r sin θ drdtdθ ( π ) ( ) sin θ dθ r 3 dr = π 4 4 = π 4
134 gömbi,. példa polár 3D gömbi Legyen := {(x, y, z) R 3 : x + y + z, x, y }, (negyedgömb), akkor: x + y + z dxdydz = = π π/ ( ) π/ = dt r r sin θ drdtdθ ( π ) ( ) sin θ dθ r 3 dr = π 4 4 = π 4
Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenMegjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor
. Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z
RészletesebbenT obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.
Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19. Kettős integrál Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
RészletesebbenAz f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenTöbbes integrálok matematikai és fizikai alkalmazásai
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Többes integrálok matematikai és fizikai alkalmazásai Témavezető: Fehér László Egyetemi docens nalízis Tanszék Készítette: Boda Lívia Matematika BSc
RészletesebbenA2 jegyzet építőmérnök mérnök hallgatóknak Többváltozós deriválás
A jegyzet építőmérnök mérnök hallgatóknak Többváltozós deriválás Simon Károly 7.4.4 BA.. Többváltozós valósértékű függvények integrálása... Normáltartományok Normáltartományok síkban A normáltartományok
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus II. példatár. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus II. példatár Gselmann Eszter Debrecen, 203 Tartalomjegyzék. Határozatlan integrál Elméleti áttekintés............................. Alapintegrálok...............................
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenMatematika 4 gy. Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes
Matematika 4 gy Földtudomány és Környezettan BSc II/ Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes.Gyakorlat: Integrálszámítás NT-ekben (R n -ben: Másodfajú vonalintegrál A, alapfogalmak: másodfajú vonalintegrál
RészletesebbenMatematika A2H Vizsga feladatsor M
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Energetika és Mechatronika BSc szakok Matematika AH Vizsga feladatsor M Dátum: 6. június 3. Munkaidő: 9 perc Hallgató neve: Hallgató Neptun
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenAnalízis II. gyakorlat
Analízis II. gyakorlat Németh Adrián 4. január 7. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Ismétlés................................................... Integrálás...............................................
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
Részletesebben20. Integrálszámítás
20. Integrálszámítás I. Elméleti összefoglaló Az előző fejezetben sokszögek és a kör részeinek területével foglalkoztunk. Ebben a fejezetben olyan korlátos síkidomok területét is meghatározzuk, amelyeket
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
Részletesebben(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
Részletesebben1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.
1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 0-09-09 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
Részletesebben1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.
Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
Részletesebbenr a sugara, h a magassága a hengernek a maximalizálandó függvényünk a V (r, h) = πr 2 h. Az érintkezési pontokban x 2 + y 2 = r 2 és z = h/2.
Feltételes szélsőérték Keressük úgy egy kétváltozós f (x, y) függvény szélsőértékét, hogy közben eleget tegyünk egy másik, g(x, y) = 0 típusú megszorításnak. Példa Határozzuk meg egy forgásellipszoidba
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 19 XIX A HATÁROZOTT INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI 1 TERÜLET ÉS ÍVHOSSZ SZÁmÍTÁSA Területszámítás Ha f az [a,b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény, akkor az görbe, az x tengely,
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenA Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy
8 Görbevonalú koordináták A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy tetsz½oleges pont helyvektora ebben a bázisban r =xi+yj+zk ahol x; y; z a pont ún. Descartes-féle
RészletesebbenIntegr alsz am ıt as. 1. r esz aprilis 12.
Integrálszámítás. 1. rész. 2018. április 12. Területszámítás f : [a, b] IR + korlátos függvény. Mennyi a függvény grafikonja és az x tengely közti terület? Riemann integrál, ismétlés F: Az összes lehetséges
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenKoordinátarendszerek
Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli
RészletesebbenTrigonometrikus függvények azonosságai
Ez az útmutató a képletgyűjtemény táblázataihoz nyújt részletes magyarázatot. A képletgyűjteménynek nem célja, hogy az elméleti tudást helyettesítse, mindössze egy emlékeztető, ami segíti az előadások
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenKalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév
Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenOptimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben
Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenKALKULUS PÉLDATÁR INFORMATIKUSOKNAK II.
Írta: SZALKAI ISTVÁN DÓSA GYÖRGY KALKULUS PÉLDATÁR INFORMATIKUSOKNAK II. Egyetemi tananyag COPYRIGHT: 6, Dr. Szalkai István, Dr. Dósa György, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika Tanszék
Részletesebbena) az O(0, 0) középpontú, r = 2 sugarú, negatív irányítasú körvonal P( 2, 2), Q( 2, 2) pontjait
06.05.7. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK. Határozzu meg a xy da integrált, ahol H az A(, ), B(0, 0) és C(, ) ponto által megha- y + 3 tározott háromszög. H 0pt. Oldju meg: y y + 5y = e
RészletesebbenMatematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére
Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()
RészletesebbenEnergetika és Mechatronika BSc szakok Matematika A2H Vizsga gyakorló feladatsor F. Kiadva: május 22.
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Energetika és Mechatronika BSc szakok Matematika AH Vizsga gyakorló feladatsor F Kiadva: 16. május. ELMÉLETI RÉSZ: Lásd a kiadott elméleti
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenMatematikai analízis 1. Szász Róbert
Matematikai analízis Szász Róbert . fejezet.. Topológikus terek... Értelmezés. Adott egy X halmaz. A d : X X [0, + ) függvényt metrikának nevezzük, ha teljesülnek a következő feltételek:. d(x, y) > 0,
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
RészletesebbenMatematika 4 gy. Földtudomány és Környezettan BSc II/2 Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes
Matematika 4 gy Földtudomány és Környezettan BSc II/ Mincsovics Miklós Emil, Havasi Ágnes.Gyakorlat: Integrálszámítás NT-ekben (R n -ben: Másodfajú vonalintegrál A, alapfogalmak: másodfajú vonalintegrál
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
Részletesebben2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)
. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()
RészletesebbenMatematika és információelmélet mérnököknek előadás
Matematika és információelmélet mérnököknek előadás Baran Sándor 2018/19 tanév, 2. félév Baran Sándor Matematika és információelmélet előadás 2018/19 tanév, 2. félév 1 / 239 Irodalom Brian Davies: Integráltranszformációk
Részletesebben8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 07/8 ősz 8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás). Számoljuk ki a következő határértékeket: y + 3 a) y
RészletesebbenAnalízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
Részletesebben