Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után -

Átírás

1 1 ALAPFOGALMAK Vektoranalízis 1. Alapfogalmak Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után - összehasonlíthatóak és összeadhatóak egymással, valamint kivonhatók egymásból; tetszőleges dimenziójú skalárokat szorozhatunk és oszthatunk egymással (ha az osztó nem zérus).

2 1 ALAPFOGALMAK Vektor: olyan mennyiség, amelyet egy nagyság és egy irány jellemez (vektor hossza = nagyságának abszolút értéke). Zérus-vektor ( 0): zérus hosszú (és határozatlan irányú) vektor. Parallelogramma-szabály: a és b vektorok a+ b összege és a b különbsége az általuk kifeszített parallelogramma két átlója.

3 1 ALAPFOGALMAK α skalár és a vektor α a szorzata: a-val párhuzamos irányú vektor, melynek nagysága megegyezik α-nak és a nagyságának szorzatával (egy irányba mutat a-val ha α > 0, egyébként ellentétes irányú). Műveleti szabályok: a + ( b + c) = ( a + b) + c a + b = b + a α( a + b) = α a + α b 0 a = 0 a + 0 = a a b = a + ( 1) b asszociativitás kommutativitás disztributivitás

4 1 ALAPFOGALMAK Skalárszorzat: a b = a b cos θ ahol θ az a és b iránya által bezárt szög. a b = b a (α a + β b) c = α a c + β b c a a = a 2 0 szimmetria linearitás pozitivitás

5 1 ALAPFOGALMAK Vektoriális (kereszt-)szorzat: a b olyan vektor, amely merőleges mindkét vektorra, nagysága pedig megegyezik a két vektor által kifeszített parallelogramma előjeles területével. a b = a b sin θ a b 2 + a b 2 = a 2 b 2

6 1 ALAPFOGALMAK Ortogonalitási feltétel: a b = a b a b = 0 a és b irányai merőlegesek egymásra (vagy valamelyikük hossza zérus). Párhuzamossági feltétel: a b = 0 akkor és csak akkor, ha a és b vektorok párhuzamosak. Műveleti szabályok: b a = a b (α a + β b) c = α( a c) + β( b c) a ( b c) = ( a c) b ( a b) c ( a b) ( c d) = ( a c)( b d) ( a d)( b c) antiszimmetria linearitás kifejtési tétel Lagrange azonosság a ( b c) = b ( c a)

7 1 ALAPFOGALMAK a ( b c)=vol ( a, b, c ) az a, b és c vektorok által kifeszített paralelepipedon (előjeles) térfogata. Vektorok numerikus jellemzése vektorkomponensekkel.

8 1 ALAPFOGALMAK Három, nem egy síkba eső e 1, e 2 és e 3 vektor bázist alkot: minden vektor egyértelműen előállítható a lineáris kombinációjukként, azaz bármely a vektor előáll a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 alakban valamely a 1, a 2 és a 3 skalár együtthatókkal, az a vektor { e 1, e 2, e 3 } bázisra vonatkozó vektorkomponenseivel. Egy másik { e 1, e 2, e 3} bázisra vonatkozó a i komponensek az a i-k lineáris kifejezése a i = j T ij a j ahol T ij a bázistranszformáció mátrixa.

9 1 ALAPFOGALMAK Elemi vektorműveletek kifejezése vektorkomponensekkel (dimenziótlan bázisvektorok) (α a) i = αa i ( a + b) i = a i + b i Ortonormált bázis: egységnyi hosszú, kölcsönösen merőleges (ortogonális) vektorokból álló bázis. { 1 if i=j e i e j = δ ij = 0 if i j Észrevétel. vol ( e 1, e 2, e 3 ) = ±1 bármely ortonormált bázisra, pozitív előjellel jobbsodrású, és negatív előjellel balsodrású esetben.

10 1 ALAPFOGALMAK Az a vektor komponenseinek kifejezése egy { e 1, e 2, e 3 } ortonormált bázisra vonatkozóan a i = a e i míg a különféle vektorszorzatok kifejezése a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 ) e 1 + (a 3 b 1 a 1 b 3 ) e 2 + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) e 3 és vol ( a, b, c ) = det a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3

11 2 TENZOROK 2. Tenzorok Tenzor: vektorok közti A : x A( x) lineáris megfeleltetés, azaz A(α a + β b) = α A( a) + β A( b) bármely α, β skalárokra és a, b vektorokra. Példák tenzormennyiségekre: tehetetlenségi tenzor, deformációs tenzor, feszültségtenzor, stb.

12 2 TENZOROK Egy { e 1, e 2, e 3 } bázisra vonatkozóan az A tenzor jellemezhető az [ A ] = A 11 A 12 A 13 A 21 A 22 A 23 A 31 A 32 A 33 mátrix segítségével, melynek A ij elemeit az A( e i ) = 3 j=1 A ji e j összefüggés határozza meg. Példák: 1. A 0 : x 0 zérustenzor, amely minden vektorhoz a zérusvektort rendeli (mátrixának minden eleme zérus).

13 2 TENZOROK 2. Az 1 : x x identitástenzor, amely minden vektort önmagába visz; ) mátrixa az egységmátrix. ( Az a és b vektorok diadikus szorzata az a b : x ( b x) a tenzor, melynek (ortonormált bázisra vonatkozó) mátrixa [ a ] b = a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3

14 2 TENZOROK Műveletek: 1. Egy α skalár és egy A tenzor szorzata az αa : x αa( x) tenzor, [ ] [ melynek mátrixa αa A ] =α. 2. Egy A tenzor és egy a vektor szorzata az A a= A( a) vektor. 3. Az A és B tenzorok összege az A + B : x A( x) + B( x) tenzor, [ A ] [ A ] [ B ] melynek mátrixa + B = +. ( 4. Az A és B tenzorok szorzata az A B : x A B( x) ) [ A ] [ A ][ B ] melynek mátrixa B =. tenzor, 5. Egy a vektor és egy A tenzor keresztszorzata az a A: x a A( x) tenzor.

15 2 TENZOROK A + ( B + C ) = ( A + B ) + C A A + B = B + A ( B ) ( A ) C = B C (α A + β B) C = α( A C) + β( B C) (α a + β b) c = α( a c) + β( b c) c (α a + β b) = α( c a) + β( c b) (α a + β b) A = α( a A) + β( b A) a (α A + β B) = α( a A) + β( a B) ( a b) ( c d) = ( b c)( a d) a ( b c) = ( a b) c a ( b A) = ( b a) A ( a b) A ( a b) A = ( b a a b) A

16 3 SKALÁR-, VEKTOR- ÉS TENZORMEZŐK 3. Skalár-, vektor- és tenzormezők Skalár-(vektor-/tenzor-)mező: adott tenzori jellegű helyfüggő mennyiség. Szemléletes geometriai jellemzés: skalármező szintfelületei, melyek mentén a vizsgált mező konstans értékeket vesz fel; vektormező erővonalai (áramgörbéi), mely görbék érintője minden pontban párhuzamos a vektormező irányával, míg lokális sűrűségük arányos a mező nagyságával.

17 3 SKALÁR-, VEKTOR- ÉS TENZORMEZŐK Térbeli pontok jellemezhetők az r helyvektorukkal, azaz egy tetszőlegesen választott referenciapontból az origóból a vizsgált pontba mutató vektorral. Helyfüggő mennyiségek jellemezhetők a helyvektor függvényeivel, amelyek megadják az egyes mennyiségek értékét a különböző r helyvektorú pontokban. Alternatív módon, egy helyfüggő mennyiség jellemezhető az r helyvektor adott bázisra vonatkozó vektorkomponenseinek háromváltozós függvényével.

18 4 GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK 4. Görbevonalú koordináták Görbevonalú koordináták: háromdimenziós tér pontjainak jellemzése (u 1, u 2, u 3 ) D valós számhármasokkal, ahol D R 3 egy olyan részhalmaz (fundamentális tartomány), melynek két különböző belső pontja két különböző térbeli pontnak felel meg (határra ez már nem szükségszerű). Görbevonalú koordináták választása tetszőleges, csak praktikus megfontolások befolyásolják (pl. szimmetria). Görbevonalú koordináták választását jellemző r(u 1, u 2, u 3 ) összefüggés minden (u 1, u 2, u 3 ) D számhármas esetén megadja a megfelelő térbeli pont helyvektorát.

19 4 GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK Konverziós függvények: különféle görbevonalú koordináták közti átváltást jellemző u i (u 1, u 2, u 3 ) függvények, melyekre r(u 1, u 2, u 3)= r(u 1, u 2, u 3 ). Ortogonális koordináták: G ij = r r =0 ha i j. u i u j Lamé együtthatók: l i = r u i. Ívelem: infinitezimálisan közeli ( u 1 +du 1, u 2 +du 2, u 3 +du 3 ) és (u1, u 2, u 3 ) görbevonalú koordinátájú pontok közti távolság négyzete Térfogatelem ds 2 = l 2 1 du l 2 2 du l 2 3 du 2 3 V = vol ( r u 1, r u 2, r u 3 ) = ±l1 l 2 l 3

20 4 GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK Példák: 1. (x, y, z) Descartes-koordináták, ahol D = {(x, y, z) <x, y, z <+ } r(x, y, z) = x e 1 + y e 2 + z e 3 Lamé együtthatók: l x = l y = l z = 1 Térfogatelem: V = 1

21 4 GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK 2. (ϱ, ϕ, z) hengerkoordináták D = {(ϱ, ϕ, z) 0 ϱ<+, 0 ϕ<2π, <z <+ } r(ϱ, ϕ, z) = ϱ cos ϕ e 1 + ϱ sin ϕ e 2 + z e 3 Lamé együtthatók: l ϱ =l z =1 és l ϕ =ϱ Térfogatelem: V = ϱ

22 4 GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK 3. (r, φ, ϑ) gömbkoordináták D = {(r, φ, ϑ) 0 r <+, 0 φ<2π, 0 ϑ<π} r(r, φ, ϑ) = r cos φ sin ϑ e 1 + r sin φ sin ϑ e 2 + r cos ϑ e 3 Lamé együtthatók: l r =1, l φ =r sin ϑ és l ϑ =r Térfogatelem: V =r 2 sinϑ

23 4 GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK 1. Descartes-koordináták hengerkoordináták: ϱ = x 2 + y 2 ( y ϕ = arctan x) x = ϱ cos ϕ y = ϱ sin ϕ z=z 2. Descartes-koordináták gömbkoordináták: r = x 2 + y 2 + z 2 ( y φ = arctan x) ( z ) ϑ = arccos x2 + y 2 + z 2 x = r cos φ sin ϑ y = r sin φ sin ϑ z = r cos ϑ

24 4 GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK Helyfüggő lokális bázisvektorok e i = 1 l i r u i Ortogonális koordináták esetén ortonormált bázist alkotnak. Vektor- és tenzorkomponenseket a lokális e i ( r) bázisra szokás vonatkoztatni w( r) = 3 w i ( r) e i ( r) i=1 w i ( r) = e i ( r) w( r) ortogonális koordináták esetén.

25 4 GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK Példák 1. Descartes-koordináták r(x, y, z) = x e 1 + y e 2 + z e 3 r x = e 1 r y = e 2 r z = e 3 e x = e 1 e y = e 2 e z = e 3 r = x e x + y e y + z e z 2. Hengerkoordináták r(ϱ, ϕ, z) = ϱ cos ϕ e 1 + ϱ sin ϕ e 2 + z e 3 r ϱ = cos ϕ e 1+sin ϕ e 2 r ϕ = ϱ sin ϕ e 1+ϱ cos ϕ e 2 r z = e 3 e ϱ = cos ϕ e 1 +sin ϕ e 2 e ϕ = cos ϕ e 2 sin ϕ e 1 e z = e 3 r = ϱ e ϱ + z e z

26 4 GÖRBEVONALÚ KOORDINÁTÁK 3. Gömbkoordináták r(r, φ, ϑ)=r cosφ sinϑ e 1 +r sinφ sinϑ e 2 +r cosϑ e 3 e r = cos φ sin ϑ e 1 + sin φ sin ϑ e 2 + cos ϑ e 3 e φ = cos φ e 2 sin φ e 1 e ϑ = cos φ cos ϑ e 1 + sin φ cos ϑ e 2 sin ϑ e 3 r = r e r Helyvektornak csak radiális komponense van!

27 5 VONALMENTI INTEGRÁLOK 5. Vonalmenti integrálok Tekintsünk egy Γ folytonos görbét és egy A( r) helyfüggő mennyiséget. A Γ görbe minden Γ = N i=1 Γ i felosztására át nem lapoló kis darabokra jelölje r i a Γ i valamely pontját és r i a kezdőpontjából a végpontjába mutató vektort.

28 5 VONALMENTI INTEGRÁLOK Ahogy a felosztást finomítjuk, azaz max i egyre kisebb és kisebb lesz, a r i (görbeszakaszok hossza) N A( r i ) r i i=1 összeg ahol valamely (skaláris, vektoriális vagy diadikus) szorzatot jelöl egy ˆ Γ A( r) d r határértékhez tart, az A( r) mennyiség Γ -menti vonalintegráljához.

29 5 VONALMENTI INTEGRÁLOK Skalár- vagy tenzormennyiség vonalintegrálja mindig vektor, viszont egy w( r) vektormezőnek négy különböző vonalintegrálja képezhető: egy w( r) d r skaláris, egy w( r) d r vektoriális és két tenzoriális, Γ Γ w( r) d r illetve d r w( r). Γ Γ A görbe egy r(t) parametrizációja esetén a vonalintegrál számolása egy határozott integrál meghatározására vezethető vissza az alábbi képlet segítségével (a görbe kezdőpontja r(0), míg r(1) a végpontja) ˆ Γ A( r) d r = ˆ1 0 ( A( r(t)) d r dt ) dt

30 6 FELÜLETI INTEGRÁLOK 6. Felületi integrálok Tekintsünk egy Σ felületet és egy azon értelmezett, tetszőleges tenzori jellegű A( r) helyfüggő mennyiséget. Osszuk fel a felületet kicsiny, át nem lapoló Σ i darabokra: ezek mindegyikét jellemezhetjük valamely belső pontjuk r i helyvektorával és s i felületelem-vektorukkal, melynek nagysága a felületdarab Σ i területe, és iránya az r i pontbeli normális (felületre merőleges) irányba mutat.

31 6 FELÜLETI INTEGRÁLOK Ahogy a felosztás finomodik, azaz max Σ i egyre kisebb lesz, a i A( r i ) d s i összeg (tetszőleges szorzatra) a ˆ A( r) d s i Σ határértékhez tart, az A( r) mennyiség Σ feletti felületi integráljához. Skalár- vagy tenzormennyiség felületi integrálja mindig vektor, viszont egy w( r) vektormezőnek négy különböző felületi integrálja képezhető: egy w( r) d r skaláris, egy w( r) d r vektoriális és két tenzoriális, Σ Σ w( r) d r illetve d r w( r). Σ Σ

32 6 FELÜLETI INTEGRÁLOK Ha adott a felület egy r(u, v) parametrizációja, ahol (u, v) D R 2, a felületi integrál az alábbi képlet alapján egy kettős integrálra redukálódik ˆ Σ A( r) d s = D { A( r (u, v)) ( r u r )} dudv v Bizonyos esetekben az A( r i ) értékeket nem a s i felületelemmel súlyozzuk, hanem csak annak s i nagyságával. Az így adódó A( r) d s felületi integrálnak ugyanaz a tenzori jellege mint az A integrandusnak, és Σ területét az alábbi képlet adja Σ ˆ 1 d s = Σ Σ

33 7 TÉRFOGATI INTEGRÁLOK 7. Térfogati integrálok Tekintsünk egy V térrészt és egy azon értelmezett A( r) helyfüggő mennyiséget. Osszuk fel a térrészt kicsiny, át nem lapoló V i részekre, melyek mindegyikét jellemzi V i térfogata és valamely belső pontjuk r i helyvektora. Ahogy a felosztás finomodik (max i A( r i ) V i i V i egyre kisebb lesz), a összeg egy véges határértékhez tart, az A( r) mennyiség V feletti ˆ A( r) d 3 r térfogati integráljához. V

34 7 TÉRFOGATI INTEGRÁLOK A térfogati integrál tenzori jellege ugyanaz, mint az integrandusé, és a V térrész (előjeles) térfogata egyenlő az A( r) = 1 konstans függvény tréfogati integráljával: V = ˆ d 3 r V Ha adott a térrész egy r(u 1, u 2, u 3 ) parametrizációja (u 1, u 2, u 3 ) D R 3 görbevonalú koordináták segítségével, akkor a térfogati integrál átalakítható egy hármas integrállá ˆ V A( r) d 3 r = D A( r(u 1, u 2, u 3 ))vol ( r u 1, r u 2, r u 3 ) du1 du 2 du 3

35 8 GRADIENS 8. Gradiens és iránymenti derivált Egy Φ( r) skalármező gradiense a grad Φ = lim 1 V V Φ( r) d s képlet segítségével értelmezett vektormező, ahol a határértéket úgy kell képezni, hogy a V térfogatú és V határoló felületű V térrészt egy pontra zsugorítjuk. Hasonlóképpen, egy w( r) vektormező gradiense a grad w = lim 1 V V d s w( r) tenzormező, ahol a határátmenet ugyanaz, mint a skaláris esetben.

36 8 GRADIENS A gradiens additív és teljesíti a Leibniz szabályt, vagyis bármely Φ( r) és Ψ( r) skalár-, illetve w( r) és v( r) vektormezők esetén grad(φ+ψ) = grad Φ + grad Ψ grad( w+ v) = grad w + grad v grad(φψ) = Φ( r) grad Ψ + Ψ( r) grad Φ grad(φ w) = Φ( r) grad w + grad Φ w( r) Megmutatható, hogy bármely konstans n egységvektor esetén grad A n = A n = lim ε 0 A( r + ε n) A( r) ε legyen A( r) akár skalár-, akár vektormező; a határérték az A( r) mennyiség változási sebességét adja meg az n irányában (irány menti derivált) skalármező gradiense a leggyorsabb változás irányába mutat.

37 8 GRADIENS Φ( r) skalármező gradiense különféle görbevonalú koordinátákban: Descartes-koordináták Hengerkoordináták Gömbkoordináták grad Φ = Φ x e x + Φ y e y + Φ z e z grad Φ = Φ ϱ e ϱ + 1 ϱ grad Φ = Φ r e r + 1 r sin ϑ Φ ϕ e ϕ + Φ z e z Φ φ e φ + 1 r Φ ϑ e ϑ

38 8 GRADIENS Egy w( r) vektormező gradiensének kifejezése Descartes-koordináták segítségével grad w = i,j w i x j e i e j Végül, amennyiben ψ(x) egy tetszőleges egyváltozós skalárfüggvény és a egy konstans vektor, akkor és grad ψ( r a ) = ψ ( r a) ( r a ) r a grad { ψ( r a )( r a) } = ψ ( r a ) r a { } 3( r a) ( r a) r a 2 1

39 9 DIVERGENCIA ÉS ROTÁCIÓ 9. Divergencia és rotáció Egy w( r) vektormező div w divergenciáját és rot w rotációját az alábbi módon értelmezzük div w = lim 1 V rot w = lim -1 V V V w( r) d s w( r) d s ahol a határértéket úgy kell képezni, hogy a V térfogatú és V határoló felületű V térrészt egy pontra zsugorítjuk. Egy vektormező divergenciája skalármező, míg rotációja vektormező.

40 9 DIVERGENCIA ÉS ROTÁCIÓ Egy w( r) vektormező divergenciájának és rotációjának kifejezése különféle görbevonalú koordináták segítségével: Descartes-koordináták rot w = ( wz y w ) y e x + z div w = w x x + w y y + w z z ( wx z w ) z e y + x ( wy x w ) x e z y Hengerkoordináták ( 1 rot w = ϱ div w = w ϱ ϱ + w ϱ ϱ + 1 ϱ w z ϕ w ) ϕ e ϱ + z w ϕ ϕ + w z z ( wϱ z w ) z e ϕ + ϱ ( wϕ ϱ + w ϕ ϱ w ) ϱ e z ϕ

41 9 DIVERGENCIA ÉS ROTÁCIÓ Gömbkoordináták div w = w r r + 2w r r + 1 r sin ϑ w φ φ + 1 r w ϑ ϑ + w ϑ r tan ϑ és rot w = + ( wϑ r ( wφ r tan ϑ + 1 r + w ϑ r 1 r w φ ϑ w ) ϑ e r φ w r ϑ ) e φ + ( 1 r sin ϑ w r φ w φ r w φ r ) e ϑ

42 9 DIVERGENCIA ÉS ROTÁCIÓ Egy T( r) tenzormező divergenciája a div T = lim 1 V V T( r) d s vektormező, a szokásos módon képezve a határértéket (egy pontra zsugorítva V térrészt). Vektorkomponensei Descartes-koordinátákban div T = ( Txx x + T xy y + T xz z ) e x + + ( Tyx x ( Tzx x + T yy y + T zy y + T yz z + T zz z ) e y ) e z

43 9 DIVERGENCIA ÉS ROTÁCIÓ Egy Φ( r) skalár-, w( r) vektor- és T( r) tenzormező esetén div(φ w) = Φ( r) div w + w( r) grad Φ rot(φ w) = Φ( r) rot w + grad Φ w( r) div(φt) = Φ( r) div T + T( r) grad Φ míg w 1 ( r) és w 2 ( r) vektormezők esetén div( w 1 + w 2 ) = div w 1 + div w 2 rot( w 1 + w 2 ) = rot w 1 + rot w 2 grad( w 1 w 2 ) = grad w 1 w 2 +grad w 2 w 1 + w 1 rot w 2 + w 2 rot w 1 div( w 1 w 2 ) = w 2 rot w 1 w 1 rot w 2 rot( w 1 w 2 ) = (grad w 1 div w 1 ) w 2 (grad w 2 div w 2 ) w 1 div( w 1 w 2 ) = w 1 div w 2 + grad w 1 w 2

44 10 FUNDAMENTÁLIS AZONOSSÁGOK 10. Fundamentális azonosságok Minden Φ( r) skalármezőre rot(grad Φ) = 0 és minden w( r) vektormezőre div(rot w) = 0 továbbá div(grad w)= grad(div w)

45 11 LAPLACE-OPERÁTOR 11. Laplace-operátor A (skaláris) Laplace operátor minden Φ( r) skalármezőhöz hozzárendeli a Φ skalármezőt, amely gradiensének divergenciájával egyenlő: Φ = div(grad Φ) A vektoriális Laplace operátor egy w( r) vektormezőhöz hozzárendeli a w = grad (div w) rot(rot w) vektormezőt. Mindkét Laplace operátor lineáris: (Φ 1 +Φ 2 )= Φ 1 + Φ 2 és ( w 1 + w 2 )= w 1 + w 2

46 11 LAPLACE-OPERÁTOR Skaláris Laplace operátor kifejezése különböző koordináta-rendszerekben Descartes-koordináták Φ = 2 Φ x Φ y Φ z 2 Hengerkoordináták Φ= 1 ϱ ( ϱ Φ ) Φ ϱ ϱ ϱ 2 ϕ Φ z 2 Gömbkoordináták Φ= 1 r 2 r ( r 2 Φ r ) 1 + r 2 sin 2 ϑ 2 Φ ϕ r 2 sin 2 ϑ ( sin ϑ Φ ) ϑ ϑ

47 11 LAPLACE-OPERÁTOR A vektoriális Laplace operátor kifejezése Descartes-koordináták segítségével w = ( 2 w x x w x y w x z 2 ) e x + ( 2 w y x w y y w y z 2 ) e y + ( 2 w z x w z y w z z 2 ) e z Vagyis a vektoriális Laplace operátor hatását úgy kaphatjuk meg, hogy a skaláris Laplace operátort alkalmazzuk a w( r) vektormező minden egyes Descartes komponensére külön-külön.

48 12 INTEGRÁLTÉTELEK 12. Integráltételek Az egyváltozós függvényekre vonatkozó klasszikus ˆb f (x) dx = f(b) f(a) a Newton-Leibniz formula (integrálszámítás alaptétele) általánosításai különféle tenzori jellegű integrandusokra (skalár-, vektor- és tenzormezők) és magasabb dimenziós integrációs tartományokra (görbék, felületek és térrészek).

49 12 INTEGRÁLTÉTELEK A gradiens-tétel Bármely Φ( r) skalár- és w( r) vektormező esetén ˆ γ ˆ grad Φ d r = Φ(γ + ) Φ(γ ) grad w d r = w(γ + ) w(γ ) γ ahol γ egy folytonos görbét jelöl γ kezdő- és γ + végponttal. Az integrálszámítás alaptételének legközvetlenebb általánosításai.

50 12 INTEGRÁLTÉTELEK Stokes tétele és variánsai Jelöljön Σ egy felületet Σ határoló görbével. Ekkor bármely Φ( r) skalárés w( r) vektormező esetén w( r) d r = ˆ rot w d s Stokes tétel S S Φ( r) d r S ˆ = S grad Φ d s továbbá S w( r) d r = ˆ {rot w d s + div w d s grad w d s} S

51 12 INTEGRÁLTÉTELEK A divergencia-tétel és következményei ˆ div w d 3 r = w( r) d s Gauss tétel V ˆ V rot w d 3 r = w( r) d s V ˆ div T d 3 r = V T( r) d s V ˆ V ˆ V grad Φ d 3 r = grad w d 3 r = V V V Φ( r) d s d s w( r)

52 12 INTEGRÁLTÉTELEK bármely V térrészre melyet a V felület határol, és minden Φ( r) skalár-, w( r) vektor- illetve T( r) tenzormezőre. Észrevétel. Abban a határesetben, ha a V térrész egyetlen pontra zsugorodik, a divergencia-tétel fenti változatai rendre automatikusan teljesülnek a gradiens, divergencia és rotáció definíciói alapján. A Gauss tételt a Φ( r) és Ψ( r) skalármezőkből képzett Ψ grad Φ vektormezőre alkalmazva adódik Green első tétele ˆ {Ψ( r) Φ + grad Φ grad Ψ} d 3 r = Ψ( r) grad Φ d s V V A fenti összefüggésben felcserélve Φ-t és Ψ-t, és az eredményt kivonva az

53 12 INTEGRÁLTÉTELEK előzőből kapjuk Green második tételét ˆ {Ψ( r) Φ Φ( r) Ψ} d 3 r = {Ψ( r) grad Φ Φ( r) grad Ψ} d s V V ahonnan Ψ( r) = 1 választással ˆ Φ d 3 r = grad Φ d s V V Hasonlóképpen, egy w( r) vektormező gradiensére alkalmazva a divergenciatételt ˆ w d 3 r = {rot w d s grad w d s} V V