MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
|
|
- Nikolett Bogdánné
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált) MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ 1
2 1 Merev testek kinematikája 1.1 Mozgásleírás adatokkal 6 szabadságfok pl. 3 pozíció, 3 szög 1. Forgatás térben 1..1 Euler szögek z--z konvenció: α az tengely és az N csomóvonal közötti szög. β a z tengely és a Z tengely közötti szög. γ az X tengely és az N csomóvonal közötti szög. cos γ sin γ R = sin γ cos γ 0 0 cos β sin β sin β cosβ 1.. Y-P-R z-y- konvenció: α a z tengely körül - Yaw fordul β az y tengely körül - Pitch - bukdácsol γ az tengely körül - Roll - dülöngél cos α sin α 0 sin α cos α R = cos γ sin γ 0 sin γ cos γ cos β 0 sin β sin β 0 cos β 1 cos α sin α 0 sin α cos α érbeli pozíciót ír le (R), minden pozíció leírható? Probléma a sorrend nem egyértelmű
3 1.. Rodrigues képlet Bármely r vektort elforgatja α szöggel az origón átmenő w tengely körül r -be. (abs(w)=1) r r r r r w φ w r α r w r r = r = w (w r) r = r r = r w (w r) w r w r abs w r = abs w abs r sin(φ) abs w r = abs w abs r abs r = abs r sin φ abs w r = abs w abs r sin(φ) α r r = r + r = r cosα + w r sinα + w w r r = r = r w (w r) cosα + w r sinα + w w r r = r cosα + w r sinα + w w r 1 cosα 3
4 w = w 1, w, w 3 r = r cosα + w r sinα + w w r 1 cosα W = 0 w 3 w w 3 0 w 1 w w 1 0 W r = w r W = i j k w 1 w w 3 r 1 r r 3 r = r cosα + W r sinα + w w r 1 cosα r = r + W r sinα + w w r r 1 cosα w w r r w w = w w r a b c = b a c c a b a b: = w c: = r w w r r = W r r = r + W r sinα + W r 1 cosα r = R r R = I + W sinα + W 1 cosα A forgatási mátri 4
5 1..3 Kvaternió - Komple számok általánosítása q = s,, y, z = s, v = s + i + y j + z k q 1 + q = s 1 + s, 1 +, y 1 + y, z 1 + z α q = α s, α, α y, α z q = s + + y + z s, v t, w = s t v w, s w + t v + v w q = s, v q q 1 = 1,0,0,0 q 1 = s, v q i j = k, j k = i, k i = j jobbsodrású j i = k, k j = i, i k = j 5
6 Forgatás w tengely körül (abs(w)=1) szöggel forgat a 0, v elforgatott = q 0, v q 1 q = cos α, w sin α z α v elforgatott y v A forgatás mátria v elforgatott = y z = R v = r 11 r 1 r 13 r 1 r r 3 r 31 r 3 r 33 y z q = cos α, w sin α 0, r 11, r 1, r 31 = q 0, 1,0,0 q 1 0, r 1, r, r 3 = q 0, 0,1,0 q 1 0, r 13, r 3, r 33 = q 0, 0,0,1 q 1 6
7 Példa 1 w = 0,0,1 α = π q = cos π, w sin π = 0, w = 0, 0,0,1 w z α y q = s + + y + z = 1 q 1 s, v = q = 0, w = 0, 0,0, 1 = 1,1,0 = 0, w 0, 1,1,0 0, w = = 0, 0,0,1 * 0, 1,1,0 * 0, 0,0, 1 i j k , 1,1,0 = 0, 1, 1,0 i j k , 1, 1,0 s, v t, w = s t v w, s w + t v + v w 7
8 Példa w z q = cos π, w sin π = 0, w = 0, 0,0,1 q 1 s, v = q = 0, w = 0, 0,0, 1 0, r 11, r 1, r 31 = q 0, 1,0,0 q 1 0, r 1, r, r 3 = q 0, 0,1,0 q 1 0, r 13, r 3, r 33 = q 0, 0,0,1 q 1 s, v t, w = s t v w, s w + t v + v w α v y 0, r 11, r 1, r 31 = 0, 0,0,1 0, 1,0,0 0, 0,0, 1 i j k , 0,1,0 i j k , 1,0,0 0, r 1, r, r 3 = 0, 0,0,1 0, 0,1,0 0, 0,0, 1 i j k , 1,0,0 i j k , 0, 1,0 0, r 13, r 3, r 33 = 0, 0,0,1 0, 0,0,1 0, 0,0, 1 i j k , 0,0,0 i j k , 0,0,0 R v = =
9 1.3 A mozgást leíró adatok Állapottér modell (mechatronikai) Pozíció r Sebesség v Gyorsulás a Szögsebesség ω Szöggyorsulás β z r c C ω ρ P r p = r c + ρ v p = v c + ωρ a p = a c + βρ y 9
10 1.4 Gép - merev testek összekapcsolása kényszerekkel y Kényszerek : csapágy, vezeték, 0 q fogaskerék Homogén koordináták D z (λ,λy,λ) 1 (,y,1) y, y, y, 1, y, z z, y z, 1 q 1 q 3 0 Az eltolás T y + a y + b 1 0 a 0 1 b y 1 = + a y + b 1 10
11 3D, y, z, y, z, 1, y, z, w w, y w, z w, 1 Perspektív transzformáció y η P y P Π y P k z d z z d, y z y d z d, d,1, y, z, z d C O Π P y s ξ P d z 0 d z d z y z 1 => ξ η d 1 11
12 1.4. Robotelemek csatolása - Denavit-Hartenberg transzformáció Az ízületek: Csúszó Forgó α i- a i-1 z i-1 y i-1 i-1 b i α i-1 a i ϴ i y i z i i α i z i-1 tengely az i. ízület forgás- vagy csúszó tengelye. i-1 tengely a z i-1 és a z i tengely közös normálisában Az i. koordináta-rendszer origója a z i-1 és a z i közös normálisa és a z i metszéspontja Párhuzamos forgástengelyek esetén a normális a megelőző ízülethez rendelt koordináta-rendszer origóján halad át. Egymást metsző tengelyeknél a koordináta-rendszer origója a tengelyek metszéspontja, az i tengely irányultsága pedig a (z i-1 z i ) vektoriális szorzattal párhuzamos. 1
13 α i- a i-1 z i-1 y i-1 i-1 b i α i-1 a i ϴ i y i z i i α i Elfordulás z i-1 körül ϴ i szöggel H θ i = Elmozdulás z i-1 mentén b i -vel H b i = cosθ i sinθ i 0 0 sinθ i cosθ i b i Elmozdulás i-1 mentén a i -vel H a i = Elfordulás i-1 körül α i -vel H α i = a i cosα i sinα i 0 0 sinα i cosα i Csukló Csúszka cosθ i sinθ i cosα i sinθ i sinα i a i cosθ i sinθ H α i H a i H b i H θ i = i cosθ i cosα i cosθ i sinα i a i sinθ i 0 sinα i cosα i b i cosθ i sinθ i cosα i sinθ i sinα i 0 sinθ H α i H b i H(θ i ) = i cosθ i cosα i cosθ i sinα i 0 0 sinα i cosα i b i
14 1.4.3 Általános koordináták Mozgásleírás egyéb általános koordinátákkal (pl. relatív szöghelyzet) q i (t) i=1..n Egyértelmű kapcsolat a fizikai koordinátákkal. r p = r p (q) p=1..n Általános sebesség Összetett függvény deriválása, Jacobi mátri. v p = dr p n dt = k=1 r p dq k q k dt p = 1.. n v = J q = r 1 q 1 r 1 q n r n q 1 r n q n q 1 q n 14
15 , cos cos l l , sin sin y l l , d, d d dt dt dt 1, d y, d y y d dt dt dt 1 d 1, 1, d1 dt dt dy y y dt dt 1 1 1, 1, d v Jφ 15
16 Dinamikai egyenletek.1 Newton-Euler egyenletek r c = v c.1.1 Newton.1. Euler Perdület v c = a c m v c = F = L = m r v L = Θ ω F i Tömegpont Merev test I = I yy = I zz = V V y + z + z + y ρ, y, z ddydz ρ, y, z ddydz ρ, y, z ddydz V Inercia tenzor I y = I y = I I y I z V Θ = I y I yy I yz I z = I z = V I z I zy I zz I yz = I zy = Szimmetrikus V valós sajátérték, sajátvektor (tehetetlenségi főtengelyek) z r c C ω e 1 ρ e e 1 y P y ρ, y, z ddydz z ρ, y, z ddydz yz ρ, y, z ddydz 16
17 pl. főtengely kr.-ban L c = I c ω = I 1c ω 1 e 1 + I c ω e + I 3c ω 3 e 3 Euler egyenlet L c = M c Newton-Euler egyenletek 6 szabadságfok 6 másodrendű lineáris differenciálegyenlet m v c = F = F i L c = M c Főtengely kr.-ban (a forgó koordinátarendszer miatt) M 1c = I 1c ω 1 + I 3c I c ω ω 3 M c = I c ω + I 1c I 3c ω 3 ω 1 M 3c = I 3c ω 3 + I c I 1c ω 1 ω 17
18 .1.3 Példa, kettős inga Θ = m 1 l 1 + m l Θ q = m 1 g l 1 sin q m g l sin q c sgn Θ q + c sgn L c = M c Elhanyagolás m R m 1 ; m R m I. Nem lineáris - Coulomb surlódás L = Θ ω q m 1 g l 1 m g l sin q = 0 q m 1 l1 q m R q+ M+ l mm g II. Lineáris - kis elmozdulás, viszkózus surlódás sin q ~ q c sgn q ~μ Θ Θ q + μ q III. Surlódásmentes q m 1 g l 1 m g l q = 0 q m 1 g l 1 m g l q = 0 18
19 Θ q t = e rt Θ r m 1 g l 1 m g l = 0 Θ q + c sgn q m 1 g l 1 m g l sin q = A lineáris, surl.mentes egyenlet zárt alakú megold. (III) q m 1 g l 1 m g l q = 0 r 1, = ± m 1 g l 1 m g l Θ m 1 l 1 < m l ω r = m 1 g l 1 m g l Θ q t e r 1 t = e +iω r t = cos ω r t + i sin ω r t e r t = e iω r t = cos ω r t i sin ω r t r 1 t = er 1 t r +e t = cos ω r t r t = er 1 t e r t i = c 1 cos ω r t + c sin ω r t = sin ω r t 19
20 .1.3. A lineáris, viszkózus surl. egy. zárt alakú megold. (II) Θ q + μ q m 1 g l 1 m g l q = 0 q t = e rt Θ q + c sgn q m 1 g l 1 m g l sin q = 0 Θ r + μ r m 1 g l 1 m g l = 0 r 1, = μ ± μ + 4 I m 1 g l 1 m g l Θ μ + 4 Θ m 1 g l 1 m g l < 0 ρ = μ Θ ω r = 4 I m g l m 1 g l 1 μ Θ 0
21 q t e r 1 t = e ρ t+iω r t = e ρ t cos ω r t e r t = e ρ t iω r t = e ρ t cos ω r t r 1 t = er 1 t r +e t = e ρ t cos ω r t r t = er 1 t r e t = e ρ t sin ω i r t + i sin ω r t i sin ω r t = c 1 e ρ t cos ω r t + c e ρ t sin ω r t 1
22 A nem lineáris surl.mentes egyenlet szétválasztható Θ q m 1 g l 1 m g l sin q = 0 Legyen ismeretlen függvény az ω(t)! ω = q = dq dt q = d q dt = dω dt = dω dq dq dt = dω dq ω dω dq ω = m 1 g l 1 m g l sin q Θ ω = dq dt Θ q + c sgn q m 1 g l 1 m g l sin q = 0
23 ω ω dω = m 1 g l 1 m g l Θ = m g l m 1 g l 1 Θ cos q + c 1 ω = ± m g l m 1 g l 1 cos q Θ sin q dq + c 1 dq dt = ± m g l m 1 g l 1 cos q Θ + c 1 ± Θ m g l m 1 g l 1 cos q + Θ c 1 dq = dt? ± Θ m 1 g l 1 m g l cos q + Θ c 1 dq = t + c 3
24 .1..4 A nem lineáris Coulomb surlódásos egyenlet Θ q + c sgn q m 1 g l 1 m g l sin q = 0 p = q q = p p = m 1 g l 1 m g l sin q c sgn p Θ? 4
25 . Numerikus megoldások..1 Numerikus deriválás integrálás..1.1 Az első deriváltak közelítése y n 1 y n f = y n y n 1 n n 1 ( n 1 ) + y n 1 n 1 n h = n n 1 df() d y n y n 1 h 5
26 ..1. Az első derivált másodrendű közelítése Lagrange féle súlyfüggvények f = y n 1 n n+1 n 1 n n 1 n+1 + y n 1 y n y n+1 y n n 1 n+1 n n 1 n n+1 + n 1 n n+1 y n+1 n 1 n n+1 n 1 n+1 n f = f i s i () df n d = y n 1 n ( n + n+1 ) n 1 n n 1 n+1 + i y n n ( n 1 + n+1 ) n n 1 n n+1 + y n+1 n ( n 1 + n ) n+1 n 1 n+1 n 6
27 df n d = y n 1 n ( n + n+1 ) +y n 1 n n 1 n n ( n 1 + n+1 ) +y n+1 n n 1 n n+1 n+1 n ( n 1 + n ) n+1 n 1 n+1 n df n d = y n 1 n n+1 n 1 n n 1 n+1 + y n y n+1 n n 1 + n n+1 n n 1 n n+1 + n n 1 n+1 n 1 n+1 n h = n n 1 = n+1 n y n 1 y n y n+1 n 1 n n+1 Az első derivált másodrendű közelítése df d = y n+1 y n 1 h Hiba a Taylor polinom maradéktagja Ο(h n ) g=numdiff(fun, [,d]) fun - SciLab függvény - a függvény független változója (vektor) d - a differencia vektor g - a közelítő gradiens (derivált) 7
28 ..1.3 Kvadratúrák (területszámítás szóból ered) h (f i + f i+1 ) trapéz Elsőfokú interpoláció. A hiba: h3 1 f (ξ) Simpson Newton 3/8 h (f i f i + f i+1 ) Másodfokú interpoláció Illetve súlyozott átlag. A hiba: a középpont trapéz m = h f i t = h I i = m+t 3 Harmadfokú interpoláció. A hiba: 3 f i 1 +f i+1 h f (ξ) 3 h (f i + 3 f i f i+ + f i+3 ) h f (ξ) 8 8
29 inttrap([,] y) Mérési adatok integrálása trapéz szabállyal - növekvő független változók vektora (def:1:size(y,'*') matri 1*m) y - a függő (mért változók) integrate("fvstr","valtstr",tol,ig[,ah[,rh]]) Definiált függvény (fvstr) integrálása kvadratúrával valtstr - a változó az fv-ben ah - abszolút hibahatár (def: 1.e-8 ) rh - relatív hibahatár (def:1.e-14) intg(tol,ig,fv) Külső függvény (fv) integrálása kvadratúrával intsplin([,] y) Mérési adatok integrálása spline interpolációval - növekvő független változók vektora (def: 1:size(y,'*') y - a függő (mért változók) deff("y=f()", "y=sin()") in=integrate("f()","",0,6.8) disp (in)
30 .. Differenciálegyenletek megoldása...1 Sorozatos közelítés (Szukcesszív approimáció) dy i d = f i, y 1, y y n i = 1,, n y i 0 = y i,0 kezdeti feltétel dy i = f i y i () y i,0 dy i = y i y i,0 = y i = y i,0 +, y 1, y y n d f i, y 1, y y n d 0 f i 0, y 1, y y n d f i, y 1, y y n d 0 30
31 y i 0 = y 0 y i,m = y i,0 + 0 y i = y i,0 + f i 0 f i, y 1,m 1, y,m 1 y n,m 1 d, y 1, y y n d Ha K 0,y i,0 környezetben f i εc 0 Ha f i, y 1, y y n < M és K > 0 folytonos f i, y 1 + y 1, y + y, y n + y n K y 1 + y + + y n Lipschitz y i,m = y i,0 + 0 fi ξ, y 1,m 1 ξ, y n1,m 1 ξ dξ y i,0 y i,0 31 Abszolút és egyenletesen konvergál az y i megoldáshoz Ο(h n )
32 Példa y i,m dy = y d y 0 = 1 kezdetiérték feladat y 0 () 1 y 1 = 1 + 1d = 1 + y = 1 + y 3 = 1 + y n = d = = y i,0 + 0 fi ξ, y 1,m 1 ξ, y n1,m 1 ξ dξ y i,0 y i,0 d = y n 1 d = n n! e Az e Taylor sora a 0 körül 3
33 ... Euler-Cauchy féle törtvonal módszer y(t) = f t, y y t 0 = y 0 t i = t 0 + i h y i = y t i y t i y i+1 y i h = f t i, y i y i+1 = y i + h f t i, y i y f(t) t 33
34 ...1. Első javítás f i = f t i, y i Prediktor-korrektor módszerek y i+1 = y i + h f i t i, y i y i+1 y i+1 első közelítése f i+1 = f t i+1, y i+1 itt f i+1 f korrigált értéke y i+1 = y i + h f i + f i+1 y f(t) t 34
35 ... Második javítás y i+1 (0) = y i + h f t i, y i f többször is korrigálható y (k) i+1 = y i + h f t k 1 i, y i + f t i+1, y i+1 k = 1, m ameddig y i+1 (m) y i+1 (m+1) > ε 35
36 ...3. Például Euler-Cauchy dy = y d y 0 = 1 y 0 = 1 h = 0.1 e y 1 = y 0 + h y 0 = = y = y 1 + h y 1 = = y 3 = y + h y = = y 4 = y 3 + h y 3 = = Euler-Cauchy 1.javítás y 0 = 1 y 1 = y 0 + h y 0 = = 1.1 y 1 = y 0 + h y 0 + y 1 = y i+1 = y i + h f y i+1 = y i + h f i f i+1 = f = y = y 1 + h y 1 = = y = y 1 + h y 1 + y = = y 3 = y + h y = = y 3 = y + h y + y = = t i, y i t i, y i t i+1, y i+1 y i+1 = y i + h f i + f i+1 36
37 ...3 Runge-Kutta féle módszer RK4 y = f t, y y t 0 = y 0 t i = t 0 + i h k 1 (i) = h f k (i) = h f k 3 (i) = h f k 4 (i) = h f t i, y i y i = y t i t i + h, y i + k 1 (i) t i + h, y i + k (i) (i) t i + h, y i + k 3 y i+1 = y i k 1 (i) + k i + k 3 i + k 4 (i) ha f C 5 hiba = θ h 5 37
38 Eplicit Runge-Kutta (i) y i+1 = y i + h b j k j s j=1 k (i) 1 = h f t i, y i k (i) = h f (i) t i + c h, y i + a,1 h k 1 k (i) 3 = h f k s (i) = h f Butcher tábla t i + c 3 h, y i + a 3,1 h k 1 i t i + c s h, y i + a s,1 h k 1 i + a 3, h k i + a s, h k i 0 c a,1 c 3 a 3,1 a 3, c s a s,1 a s, a s,s-1 b 1 b b s-1 b s RK4 0 1/ 1/ 1/ 0 ½ /6 1/3 1/3 1/6 + + a s,s 1 h k s 1 i i 1 j=1 s a i,j = c i b i = 1 i =,, s j=1 38
39 ...3. Például RK4 y = f t, y 0 1/ 1/ 1/ 0 ½ /6 1/3 1/3 1/6 y t 0 = y 0 t i = t 0 + i h k (i) 1 = h f t i, y i k (i) = h f k 3 (i) = h f k 4 (i) = h f t i + h, y i + k 1 (i) t i + h, y i + k (i) (i) t i + h, y i + k 3 dy y d = y y 0 = y i+1 = y i h = 0.1 e t 0 = 0 y 0 = 1 k (0) 1 = h y 0 = 0.1 k (0) = h (y 0 + k 1 0 ) = k (0) 3 = h (y 0 + k 0 ) = k 4 0 = h (y 0 +k 0 3 ) = t 1 = 0,1 y 1 = = k (1) 1 = h y 1 = k (1) = h (y 1 + k 1 1 ) = k (1) 3 = h (y 1 + k 1 ) = k 4 0 = h (y 1 +k 0 3 ) = 0.1 k 1 (i) + k i + k 3 i + k 4 (i) t 1 = 0, y = =
MODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
RészletesebbenDINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév)
DINAMIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév) Dinamika Pontszám 1. A mechanikai mozgás fogalma (1) 2. Az anyagi pont pályája (1) 3. A mozgástörvény
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Merev test mozgása Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések............................
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenDenavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás robotra
Budapesti M szaki És Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar M szaki Mechanikai Tanszék Denavit-Hartenberg konvenció alkalmazása térbeli 3DoF nyílt kinematikai láncú hengerkoordinátás és gömbi koordinátás
RészletesebbenLagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenTárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
RészletesebbenPélda: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenCsuklós mechanizmus tervezése és analízise
Csuklós mechanizmus tervezése és analízise Burmeister Dániel 1. Feladatkitűzés Megtervezendő egy többláncú csuklós mechanizmus, melynek ABCD láncában található hajtórúd (2-es tag) mozgása során három előírt
RészletesebbenPere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
Részletesebbenmérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati
ϕ t + j ϕ = 0 mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati sűrűsége j ϕ - a ϕ-hez tartozó áramsűrűség j ϕ = vϕ + j rev + j irr vϕ - advekció j rev - egyéb reverzibilis áram
Részletesebben7. GRAVITÁCIÓS ALAPFOGALMAK
7. GRAVITÁCIÓS ALAPFOGALMAK A földi nehézségi erőtérnek alapvetően fontos szerepe van a geodéziában és a geofizikában. A geofizikában a Föld szerkezetének tanulmányozásában és különféle ásványi nyersanyagok
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. XI. Előadás. Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA XI. Előadás Robot manipulátorok III. Differenciális kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom A forgatási mátrix időbeli deriváltja A geometriai
RészletesebbenKÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS
KÖRMOZGÁS, REZGŐMOZGÁS, FORGÓMOZGÁS 1 EGYENLETES KÖRMOZGÁS Pálya kör Út ív Definíció: Test körpályán azonos irányban haladva azonos időközönként egyenlő íveket tesz meg. Periodikus mozgás 2 PERIODICITÁS
RészletesebbenAz alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika
Az alábbi fogalmak és törvények jelentését/értelmezését/matematikai alakját (megfelelő mélységben) ismerni kell: Newtoni mechanika 1. előadás Vonatkoztatási rendszer Hely-idő-tömeg standardok 3-dimenziós
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 1 / 18 Fokozatos
RészletesebbenHajder Levente 2017/2018. II. félév
Hajder Levente hajder@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2017/2018. II. félév Tartalom 1 2 3 Geometriai modellezés feladata A világunkat modellezni kell a térben. Valamilyen koordinátarendszer
RészletesebbenSerret-Frenet képletek
Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor
RészletesebbenYBL - SGYMMAT2012XA Matematika II.
YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához
Részletesebben1. Vektorterek és lineáris leképezések
1. Vektorterek és lineáris leképezések 1.1. Feladat. Legyenek A, B : R 2 R 2 az A(x, y) = (2x y, y) B(x, y) = ( x, x + y) módon definiált leképezések. Ellenőrizzük, hogy lineárisak és írjuk fel a mátrixukat
RészletesebbenMerev testek mechanikája. Szécsi László
Merev testek mechanikája Szécsi László Animáció időfüggés a virtuális világmodellünkben bármely érték lehet időben változó legjellemzőbb: a modell transzformáció időfüggése mozgó tárgyak módszerek az időfüggés
RészletesebbenRobotok inverz geometriája
Robotok inverz geometriája. A gyakorlat célja Inverz geometriai feladatot megvalósító függvények implementálása. A megvalósított függvénycsomag tesztelése egy kétszabadságfokú kar előírt végberendezés
RészletesebbenTömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások
2. gyakorlat 1. Feladatok a kinematika tárgyköréből Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások 1.1. Feladat: Mekkora az átlagsebessége annak pontnak, amely mozgásának első szakaszában v 1 sebességgel
RészletesebbenGyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános
RészletesebbenGeometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenLássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben
Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma
RészletesebbenOptika gyakorlat 3. Sugáregyenlet, fényterjedés parabolikus szálban, polarizáció, Jones-vektor. Hamilton-elv. Sugáregyenlet. (Euler-Lagrange egyenlet)
Optika gyakorlat 3. Sugáregyenlet, fényterjeés parabolikus szálban, polarizáció, Jones-vektor Hamilton-elv t2 t2 δ Lq k, q k, t) t δ T V ) t 0 t 1 t 1 t L L 0 q k q k Euler-Lagrange egyenlet) De mi az
Részletesebben3D számítógépes geometria 2
3D számítógépes geometria Numerikus analízis alapok ujjgyakorlat megoldások Várady Tamás, Salvi Péter / BME October, 18 Ujjgyakorlat 1 Feladat: 1 cos(x) dx kiszámítása trapéz-módszerrel Ujjgyakorlat 1
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
Részletesebbenu u IR n n = 2 3 t 0 <t T
IR n n =2 3 u() u u u u IR n n = 2 3 ξ A 0 A 0 0 0 < T F IR n F A 0 A 0 A 0 A 0 F :IR n IR n A = F A 0 A 0 A 0 0 0 A F A 0 A F (, y) =0 a = T>0 b A 0 T 1 2 A IR n A A A F A 0 A 0 ξ A 0 = F (ξ) ε>0 δ ε
Részletesebben1. Feladatok a dinamika tárgyköréből
1. Feladatok a dinamika tárgyköréből Newton három törvénye 1.1. Feladat: Három azonos m tömegű gyöngyszemet fonálra fűzünk, egymástól kis távolságokban a fonálhoz rögzítünk, és az elhanyagolható tömegű
RészletesebbenIrányításelmélet és technika I.
Irányításelmélet és technika I. Mechanikai rendszerek dinamikus leírása Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu 2010
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
Részletesebbenrnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Klasszikus mechanika
Fizika mérnm rnök k informatikusoknak 1. FBNxE-1 Mechanika. előadás Dr. Geretovszky Zsolt 1. szeptember 15. Klasszikus mechanika A fizika azon ága, melynek feladata az anyagi testek mozgására vonatkozó
RészletesebbenSimított részecskedinamika Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)
Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Áramlások numerikus modellezése II. Tóth Balázs BME-ÉMK Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszék Numerikus módszerek Osztályozás A numerikus sémák két csoportosítási
RészletesebbenMechanika. Kinematika
Mechanika Kinematika Alapfogalmak Anyagi pont Vonatkoztatási és koordináta rendszer Pálya, út, elmozdulás, Vektormennyiségek: elmozdulásvektor Helyvektor fogalma Sebesség Mozgások csoportosítása A mozgásokat
RészletesebbenVégeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
RészletesebbenElhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve.
TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek 1 (BMETE93AM15) Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban Mindkét csoport Rövidítve 1 gyakorlat 017 szeptember 7 T01 csoport Elsőrendű közönséges
RészletesebbenIpari matematika 2. gyakorlófeladatok
Ipari matematika. gyakorlófeladatok. december 5. A feladatok megoldása általában többféle úton is kiszámítató. Interpoláció a. Polinom-interpoláció segítségével adjunk közelítést sin π értékére a sin =,
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenPélda: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk
RészletesebbenMérnöki alapok 2. előadás
Mérnöki alapok. előadás Készítette: dr. Váradi Sándor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
Részletesebben0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika
0. Teszt megoldás, matek, statika / kinematika Mechanika (ismétlés) statika, kinematika Dinamika, energia Áramlástan Reológia Optika find x Teszt: 30 perc, 30 kérdés Matek alapfogalmak: Adattípusok: Természetes,
RészletesebbenMerev testek kinematikája
Merev testek kinematikája Egy pontrendszert merev testnek tekintünk, ha bármely két pontjának távolsága állandó. (f=6, Euler) A merev test tetszőleges mozgása leírható elemi transzlációk és elemi rotációk
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenMateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában)
MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) Tasnádi Tamás 1 2015. április 17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk
RészletesebbenQuadkopter szimulációja LabVIEW környezetben Simulation of a Quadcopter with LabVIEW
Quadkopter szimulációja LabVIEW környezetben Simulation of a Quadcopter with LabVIEW T. KISS 1 P. T. SZEMES 2 1University of Debrecen, kiss.tamas93@gmail.com 2University of Debrecen, szemespeter@eng.unideb.hu
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
Részletesebben1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)
Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenT obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.
Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19. Kettős integrál Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
Részletesebben"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások
"Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.
RészletesebbenDinamika. A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása.
Dinamika A dinamika feladata a test(ek) gyorsulását okozó erők matematikai leírása. Newton törvényei: I. Newton I. axiómája: Minden nyugalomban lévő test megtartja nyugalmi állapotát, minden mozgó test
Részletesebben1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből
1. Feladatok merev testek fizikájának tárgyköréből Forgatónyomaték, impulzusmomentum, impulzusmomentum tétel 1.1. Feladat: (HN 13B-7) Homogén tömör henger csúszás nélkül gördül le az α szög alatt hajló
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenMECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája
Egészségügyi mérnökképzés MECHNIK I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert Igénybevételek térben I. z alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre
RészletesebbenMegjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor
. Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenNumerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4
Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenNumerikus módszerek: Nemlineáris egyenlet megoldása (Newton módszer, húrmódszer). Lagrange interpoláció. Lineáris regresszió.
YBL - SGYMMAT202XXX Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
RészletesebbenÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN
ÁLTALÁNOS JÁRMŰGÉPTAN ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK 3. GÉPEK MECHANIKAI FOLYAMATAI 1. Definiálja a térbeli pont helyvektorát! r helyvektor előáll ortogonális (a 3 tengely egymásra merőleges) koordinátarendszer koordinátairányú
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenMatematika A1. 8. feladatsor. Dierenciálás 2. Trigonometrikus függvények deriváltja. A láncszabály. 1. Határozzuk meg a dy/dx függvényt.
Matematika A 8. feladatsor Dierenciálás Trigonometrikus függvények deriváltja. Határozzuk meg a dy/d függvényt. a) y = 0 + 3 cos 0 3 sin b) y = sin 4 + 7 cos sin c) y = ctg +ctg sin )+ctg ) d) y = tg cos
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
RészletesebbenAz inga mozgásának matematikai modellezése
Az inga mozgásának matematikai modellezése Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Természet és Matematika Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Őszi Kulturális Fesztivál, 2011. 2011.10.08.
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenLagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását
Lagrange egyenletek Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását megnehezíti a δr i virtuális elmozdulások egymástól való függősége. (F i ṗ i )δx i = 0, i = 1, 3N. (1) i 3N infinitezimális
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
Részletesebben