1. Algebra Elemek Műveletek. Tenzor algebra és analízis Einstein-féle konvencióval

Átírás

1 Indexes deriválás Tenzor algebra és analízis Einstein-féle konvencióval Készítette: Kómár Péter, 200 Az indexes írásmód ill. deriválás egy eszköz, amely tenzorok analízisét teszi egyszerűbbé a fizikai számításokban gyakran előforduló esetekben. Minden számítás, amelyet indexesen végeznek el, elvégezhető a parciális deriváltak koordinátánkénti kiszámításával és a tenzoralgebrai műveletek definíció szerinti alkalmazásával is, és ugyanarra az eredményre vezet. Az indexes írásmód egyszerűsítő képessége azon a felismerésen alapul, hogy a fizikai számítások struktúrája általában szimmetrikus az n-dimenziós tér Descartes-koordinátáinak összes permutációjára. Ezt felhasználva az indexes írásmód nem csak tinta kímélő és emiatt átlátható, de beépített ellenőrzéseket is tartalmaz, melyek csökkentik az emberi hiba valószínűségét.. Algebra.. Elemek Tenzori rend szerint a mennyiségek az alábbi kategóriákba sorolhatók: 0. rend: skalár: α, elemei {α}. rend: vektor: a, elemei {a, a 2,... a n } 2. rend: tenzor: A, elemei {A, A 2,... A m ; A 2, A 22,... A 2m ;... ; A n, A n2,... A nm } s. rend: (s-indexes) tenzor: A, elemei {A i,i 2,...i s i j {, 2,... n j }} Itt az első három renddel (skalár, vektor és másodrendű tenzor) foglalkozunk..2. Műveletek Jelölések: (a) i az a vektor i. eleme (A) ij az A tenzor i. sorában és j. oszlopában lévő eleme = E az Einstein-féle automatikus összegzési konvenció szerinti egyenlőség Vektor műveletek:. Összeadás: vektor + vektor = vektor + : R n R n R n a + b = (a + b, a 2 + b 2,... a n + b n ) (a + b) i = a i + b i 2. Skalárral való szorzás: skalár vektor = vektor : R R n R n α a = (αa, αa 2,... αa n ) (α a) i = α a i

2 Indexes deriválás Kómár Péter, Skaláris szorzás: vektor vektor = skalár : R n R n R a b = a b + a 2 b a n b n a b = n i= a ib i = E a i b i 4. Vektoriális szorzás: 3D vektor 3D vektor = 3D vektor : R 3 R 3 R 3 a b = (a 2 b 3 a 3 b 2, a 3 b a b 3, a b 2 a 2 b ) (a b) i = 3 j= 3 k= ε ijka j b k = E ε ijk a j b k ahol ε a Levi-Civita-szimbólum Levi-Civita-szimbólum: Definíció: + ha (i, j, k) {(, 2, 3), (2, 3, ), (3,, 2)} ε ijk = ha (i, j, k) {(, 3, 2), (2,, 3), (3, 2, )} 0 ha i = j vagy i = k vagy j = k Tulajdonságai: ε ijk = ε jki azaz indexei ciklikusan szabadon permutálhatók. ε ijk = ε jik azaz bármely két indexének felcserélésére előjelet vált. ε ijk ε ilm = E 3 i= ε ijkε ilm = δ jl δ km δ jm δ kl ahol δ a Kronecker-delta. Kronecker-delta: Definíció: { ha i = j δ ij = 0 ha i j Tulajdonságai: δ ik = δ ki azaz indexeiben szimmetrikus. δ ij a j = E j δ ija j = a i δ ij A jk = E j δ ija jk = A ik azaz δ ik = (I) ik, azaz az egységmátrix reprezentánsa. Ez úgy is megfogalmazható, hogy a Kronecker-delta összegzés hatására beírja a másik indexét az összegző index helyébe a másik tényezőben, a δ pedig eltűnik. 5. Tenzoriális (v. diadikus) szorzás: vektor vektor = tenzor : R n R m R n m a b a b 2 a b m a 2 b a 2 b 2 a 2 b m a b = a n b a n b 2 a n b m (a b) ik = a i b k 2

3 Indexes deriválás Kómár Péter, 200 Tenzor műveletek:. Összeadás: tenzor + tenzor = tenzor + : R n m R n m R n m A + B A 2 + B 2 A m + B m A 2 + B 2 A 22 + B 22 A 2m + B 2m A + B = A n + B n A n2 + B n2 A nm + B nm (A + B) ik = A ik + B ik 2. Skalárral való szorzás: skalár tenzor = tenzor : R R n m R n m αa αa 2 αa m αa 2 αa 22 αa 2m α A = αa n αa n2 αa nm (α A) ik = αa ik 3. Mátrix szorzás: tenzor tenzor = tenzor : R n s R s m R n m j A jb j j A jb j2 j A B = A 2jB j j A 2jB j j A njb j j A njb j2 (A B) ik = s j= A ijb jk = E A ij B jk j A jb jm j A 2jB jm. j A njb jm 4. Mátrix hatása vektorra (mátrix szorzás spec esete): tenzor vektor = vektor : R n s R s R n A a = ( j A ja j, j A 2ja j,... j A nja j, ) (A a) i = s j= A ija j = E A ij a j 5. Trace (v. Spur, v. nyom): Tr (tenzor) = skalár Tr : R n n R Tr A = A + A A nn Tr A = n j= A jj = E A jj 6. Transzponálás: (tenzor) T = tenzor ( ) T : R n m R m n A T = az A főátlóra való tükrözöttje. (A T ) ik = A ki Transzponálásra való szimmetria alapján három kategóriát különböztetünk meg: Szimmetrikus: S ik = S ki Antiszimmetrikus: A ik = A ki egyik sem: M ik ±M ki 3

4 Indexes deriválás Kómár Péter, Szabályok Az indexes írásmód használata közben sok-indexes kifejezéseket rendezünk és újrarendezünk. Példa egy ilyenre: A ij δ kl B kp a l ε sip d s + δ rv d v (C sq ε tjq a t b s d r + c j e r ) Az ilyen kifejezések úgy manipulálhatók mint valós változók hagyományos szorzatai és összegei:. A tagok sorrendje szabadon cserélhető (hiszen az összeadás kommutatív) 2. Indexes alakban a tényezők sorrendje is szabadon cserélgethető, ugyanis a nemkommutatív tulajdonságot az index párok hordozzák, ezért viszont fontos, hogy minden tényező viszi magával az indexeit. pl: A ij δ kl B kp a l ε sip d s = δ kl a l A ij d s ε sip B kp 3. A szorzás disztributív az összegen. pl: δ rv d v (C sq ε tjq a t b s d r + c j e r ) = δ rv d v C sq ε tjq a t b s d r + δ rv d v c j e r Az indexek kezelésére az alábbiak érvényesek: 4. Egy index az egyes tagokban szerepelhet 0-szor -szer: (megmaradó index) Az adott kifejezés tenzori rendjét e párosítatlan indexek száma adja: pl: a i B kl ε jkl δ ij skalár A ij c i δ kl Λ ssk b j vektor Γ ijkl δ jk a i ε lpq másodrendű tenzor 2-szer: (néma index) Az ilyen kétszer szereplő indexekre automatikusan összegzünk. (Einstein-konvenció) NB: 2-nél többször ugyanaz az index nem szerepelhet egy tagban. 5. A néma indexek betűi mindig átjelölhetők más betűkre, csak arra kell figyelni, hogy egy tagon belül ne legyen 2-nél több egyik indexből sem. pl: C sq ε tjq a t b s + c j = E C sr ε pjr a p b s + c j Az eredmények értelmezéséhez két relációt használunk: 6. (P) ijkl... = (Q) ijkl... P = Q azaz ha két kifejezés azonos indexű elemei megegyeznek (az indexek minden értékére), akkor a két kifejezés egyenlő. 7. i j k l... a i... B jl... c i... d j... F lkk... = E a i... B jl... c i... d j... F lkk... azaz az egy tagban kétszer szereplő indexekre az összegzés akkor is ki van róva ha azt nem jelöljük. (Einstein-féle automatikus összegzés konvenciója) NB: Az automatikus összegzés csak egy tagon belül az azonos indexű tényezőkre érvényes. Két külön tagban előforduló ugyanolyan indexekre nincs összegzés: a i b i c k = E i a ib i c k = ((a b)c) k (automatikus összegzés) λ a i + ν b i = (λa + νb) i (nincs összegzés) 4

5 Indexes deriválás Kómár Péter, Példák Az alábbiakban bemutatjuk az indexes írásmód és a hagyományos írásmód közötti oda-vissza váltást a gyakorlatban, miközben hasznos (így megjegyzésre is javasolt) azonosságokat vezetünk le. skalárral való szorzás disztributivitása: [λ (a + b)] i = λ(a i + b i ) = λa i + λb i = (λa + λb) i skalárral való szorzás és a skaláris szorzat asszociativitása: a (λ b) = E (a) i (λ b) i = a i λb i = λa i b i = E λ(a b) skaláris szorzat disztributivitása: a (b + c) = E (a) i (b + c) i = a i (b i + c i ) = a i b i + a i c i = E a b + a c vektoriális szorzás disztributivitása: [a (b + c)] i = E ε ijk (a) j (b + c) k = ε ijk a j (b k + c k ) = ε ijk a j b k + ε ijk a j c k = E a b + a c kettős vektoriális szorzat kifejtése: [a (b c)] i = E ε ijk a j (b c) k = E ε ijk a j ε klm b l c m = ε ijk ε klm a j b l c m = ε kij ε klm a j b l c m = E = E (δ il δ jm δ im δ jl )a j b l c m = E a j b i c j a j b j c i = E b i (a c) c i (a b) = [b(a c) c(a b)] i vegyes szorzat ciklikus permutációja: a (b c) = E a i (b c) i = E a i ε ijk b j c k = ε ijk a i b j c k = ε kij a i b j c k = E (a b) k c k = E (a b) c tenzor szorzat hatása: [(a b)c] i = E (a b) ij c j = a i b j c j = E a i (b c) = [a(b c)] i tenzor szorzat trace-e: Tr (a b) = E (a b) jj = a j b j = E (a b) n-dimenziós egység mátrix trace-e: Tr (I) = E (I) jj = δ jj = E n j= δ jj = n j= = n trace ciklikus permutációja: Tr (ABCD) = E (ABCD) ii = E A ij B jk C kl D li = D li A ij B jk C kl = E (DABC) ll = E Tr (DABC) Feladatok: algebra Alakítsuk az alábbi kifejezéseket indexessé ill. index mentessé!. a(b c)d 9. a i δ ij b j 2. [a (λb + (cd)e)] i 0. c k δ kl c l + A ij b j a i 3. aabc(bc)(d e). A ik δ kl a l 4. a(b c) + Tr (A 2 ) 2. ε klm a k b l c m 5. Tr (λi + ν((a b) c)) 3. ε ijk ε jlm a k b l c m 6. {[A(a (b c))] d} i 4. A ij B ij 7. [ (AB) ] { T 5. A ik ij b i C jk a l B lk 8.Tr ([(a b)(c d)] e) T 6. δ ii a j b j + A ij B jk C kl δ il 5

6 Indexes deriválás Kómár Péter, Analízis 2.. Mezők és deriváltjaik A három-dimenziós téren (R 3 ) értelmezett különböző tenzori rendű függvényeket tenzormezőknek hívjuk: Jelölés: T : R 3 R r = (x, y, z) = (x, x 2, x 3 ) az alaphalmazként szolgáló háromdimenziós tér egy általános vektora. Ez játsza a mezőknél a független változó szerepét. =, x 2 =, y 3 = z operátorai. az r vektor három komponense szerinti parciális deriválás Nabla: = (, 2, 3 ), amely algebrai tulajdonságait tekintve első rendű tenzor, miközben egy elsőrendű deriváló operátor. A három legfontosabb mező és az azokon értelmezett gyakran előforduló deriváló operátorok: Skalármező: φ : R 3 R, r φ(r) = φ(x, y, z). Gradiens: skalármező vektormező grad : (R 3 R) (R 3 R 3 ) grad φ = ( φ, 2 φ, 3 φ) = φ (grad φ) i = i φ 2. Laplace-operátor: skalármező skalármező : (R 3 R) (R 3 R) φ = 2 φ + 2 2φ + 2 3φ = ( )φ = 2 φ φ = 3 i= 2 i φ = E i i φ 3. Derivált tenzor: skalármező tenzormező D : (R 3 R) (R 3 R 3 3 ) φ 2 2 φ 3 φ Dφ = 2 φ 2φ φ = ( φ) = ( )φ 3 φ 3 2 φ 3φ 2 (Dφ) ik = i k φ Ez mindig szimmetrikus. (Young-tétel: i k = k i ) Vektormező: v : R 3 R 3, r (v (r), v 2 (r), v 3 (r)) = (v (x, y, z), v 2 (x, y, z), v 3 (x, y, z)). Divergencia: vektormező skalármező div : (R 3 R 3 ) (R 3 R) div v = v + 2 v v 3 = v div v = 3 i= iv i = E i v i 2. Rotáció: vektormező vektormező rot : (R 3 R 3 ) (R 3 R 3 ) rot v = ( 2 v 3 3 v 2, 3 v v 3, v 2 2 v ) = v (rot v) i = 3 j= 3 k= ε ijk j v k = E ε ijk j v k 6

7 Indexes deriválás Kómár Péter, Gradiens: vektormező tenzormező grad : (R 3 R 3 ) (R 3 R 3 3 ) v v 2 v 3 grad v = 2 v 2 v 2 2 v 3 = v 3 v 3 v 2 3 v 3 (grad v) ik = i v k 4. Laplace-operátor: vektormező vektormező : (R 3 R 3 ) (R 3 R 3 ) v = 2 v + 2 2v + 2 3v = ( )v = 2 v ( v) i = 3 j= 2 j v i = E j j v i Tenzormező: T : R 3 R 3 3 T (r) T 2 (r) T 3 (r) r T 2 (r) T 22 (r) T 23 (r) = T 3 (r) T 32 (r) T 33 (r) T T 2 T 3 T 2 T 22 T 23 T 3 T 32 T 33 (x, y, z). Divergencia: tenzormező vektormező div : (R 3 R 3 3 ) (R 3 R 3 ) div T = ( T + 2 T T 3, T T T 32, T T T 33 ) = T (div T) i = 3 j= jt ji = E j T ji NB: Ez a művelet kitünteti az első indexet, előfordulhat a fordított definíció is. (Ez csak szimmetrikus tenzor esetén lényegtelen.) 2. Laplace-operátor: tenzormező tenzormező : (R 3 R 3 3 ) (R 3 R 3 3 ) T = 2 T + 2 2T + 2 3T = ( )T = 2 T ( T) ik = 3 j= 2 j T ik = E j j T ik 2.2. Differenciál operátorok összefoglaló Skalármezo φ div v φ grad div Vektormezo gradφ v rot div T v rot v grad div Tenzormezo grad v T Dφ T grad D -val differenciálási rend mire hathat tenzori rend változás div v, T - rot v 0 grad φ, v, T + 2 φ, v, T 0 D 2 φ, v, T +2 7

8 Indexes deriválás Kómár Péter, Szabályok Indexes deriválás során sokindexes kifejezésekkel kell dolgoznunk, mint például: T ij j k v l a k u s b r ε srp t (λ(δ tq + A tq )w q + c t φ) ahol most λ; a, b, c; A konstansok, δ a Kronecker-delta, ε a Levi-Civita-szimbólum, φ; v, u, w; T pedig mezők. NB: A -k pozíciója fontos ugyanis definíció szerint mindazt deriválják ami mögöttük áll. Az ilyen kifejezések manipulálása az alábbiak szerint történik:. A konstans tényezők szabadon áthelyezhetők a szorzatban, azaz nem csak egymáson és a mezőkön de a deriválásokon is átemelhetők. (ugyanis (λφ) = λ f) (NB: δ és ε is konstans) pl: T ij j k v l a k u s b r ε srp t (λ(δ tq + A tq )w q + c t φ) = = a k b r ε srp T ij j k v l u s t (λ(δ tq + A tq )w q + c t φ) 2. A deriválás disztributív az összeadáson. ( (f + g) = f + g) pl: t (λ(δ tq + A tq )w q + c t φ) = λ(δ tq + A tq ) t w q + c t t φ 3. Az egymás mellé került -k felcserélhetők (Young-tétel). 4. Szorzaton a deriválás a Leibnitz-szabály szerint oszlik szét: (f g) = ( f)g + f g 5. Összetett függvény deriváltjánál megjelenik a külső függvény argumentum szerinti deriváltja: (f(g)) = f (g) g 6. Index átnevezések továbbra is végrehajthatók a korábban ismertetett szabályok szerint. Feladatok: differenciál operátorok Határozzuk meg, hogy a div, rot, grad,, D operátorok közül melyek hattathatók az alábbi kifejezésekre:. (r (a + b)) r 2. rφ(r) + (a r)b 3. ATr (a v(r)) + (a r)aψ(r) Értelmesek-e az alábbi kifejezések? 4. rot rot (r ψ(r) a) 5. div div ((a r) v(r)) 6. (a φ(r) + λψ(r)) 7. grad (rot (a b)(r v(r))) Bizonyítsuk az alábbi azonosságokat az indexes írásmód segítségével:. div grad φ = φ 2. rot rot v = grad div v v 3. div rot v = 0 4. rot grad φ = 0 5. Tr (Dφ) = φ 8

9 Indexes deriválás Kómár Péter, Példák Három gyakran előforduló példa: identitás függvény (r r = (x, x 2, x 3 )) deriváltja: i x j = x i x j = δ ij (javasolt koordinátás írásmóddal ellenőrizni, (= r) ij ) abszolút érték (r = r = x 2 + x x 2 3) deriváltja: i r = i r2 = E i xj x j = 2 xj x j i x j x j = E (( 2 r ix j )x j + x j i x j ) = 2 δ 2 r ijx j = E x i r irányított egységvektor (e = r/ r ) deriváltja: i e j = i x j = ( r ix j ) +x r j j = δ r ij +x r j ( ) i r = (r 2 δ r 2 r 3 ij x j x i ) = (δ r ij e i e j ) További példák: [grad (ar)] i = i (ar) = E i a j x j = a j i x j = a j δ ij = E a i = (a) i [ grad r α ] i = i r α = ( α) r α+ i r = α x i r α+2 = [ α r r α+2 ]i div ( r ) = E x i ( r α i = ( r α i x i ) + x r α i i = δ r α ii + x r α i ( α) r α+ i r = r α δii + x i ( α) r 3 α r2 = E r α ( r 2 ) = (3 α) r α [ ( )] ( ) rot a r r α i =E ε ijk j a r x r α k =E ε ijk j ε klm a m x l r α = ε kij ε klm a l m j r α = ( ) = (δ il δ jm δ jl δ im )a l ( j x m ) ( + x r α m j r = α = (δ il δ jm δ jl δ im )a l δjm + x r α m ( α) x j ) ( r α+ r = = a i δjj α x j x j ) ( r α r α r 2 aj δji α x i x j ) r α r α r = 2 = (δ r α jj a i αa i e j e j a j δ ji + αa j e i e j ) = E = E (3a r α i αa i a i + αe i (ae)) = = [ ((2 α)a + αe(ae)) ] r α i x i ) E r = (sin(ar)) = E i i sin(ar) = i [cos(ar) i (ar)] = i [cos(ar)a i ] = = a i i cos(ar) = a i ( sin(ar)) i (ar) = a i ( sin(ar))a i ) = a i a i sin(ar) = E a 2 sin(ar) [(b )(a r)] i = E b j j ε ikl a k x l = b j a k ε ikl j x l = b j a k ε ikl δ jl = E b l a k ε ikl = ε ikl a k b l = E (a b) i Feladatok: indexes deriválás. grad ((a r)b) 7. rot (r (log(sin(r))) 2. grad (sin(ar r α )) 8. rot (a r + r (r b)) 3. grad (exp(r) + exp( r)) 9. rot (r (Ar)) 4. div (a r) 0. (rar) 5. div (r sin(ar) + b r cos(br)). (sin(r 2 )) 6. div (r exp(r)) 2. [((ar)(br)) 3 ] 9

10 Indexes deriválás Kómár Péter, 200 Emlékeztető kártyák (a + b) i = a i + b i (A + B) ik = A ik + B ik ε ijk = ε jki = ε kij (αa) i = αa i (αa) ik = αa ik ε ijk = ε ikj ab = a i b i (AB) ik = A ij B jk δ ik = δ ki (a b) i = ε ijk a j b k (Aa) i = A ij a j δ ij a j = a i a(b c) = ε ijk a i b j c k (A T ) ik = A ki (a b) ik = a i b k Tr (A) = A jj div v = i v i (div T) i = j T ji (rot v) i = ε ijk j v k (grad φ) i = i φ (grad v) ik = i v k (grad T) ikl = i T kl φ = i i φ ( v) i = j j v i ( T) ik = j j T ik (Dφ) ik = i k φ (Dv) ikl = i k v l (DT) iklm = i k T lm (f + g) = f + g λf = λ f fg = ( f)g + f g f(g) = f (g) g i x k = δ ik i r = x i /r = e i i e k = (δ ik e i e k )/r Háttér Ez az anyag önszorgalomból készült 200. április 8. és 0. között. A nettó idöbefektetés kb. 20 óra volt, melynek kb. 0%-a volt papír feletti tervezés, 20%-a gépelés és formázás, 60%-a a legtömörebb és leginformatívabb formák kiválasztása és 0%-a a hibajavítás. A sajtóhibák észrevételeit és egyéb megjegyzéseket az alábbi címre várom: peter pont komar pont hu kukac gmail pont com Sok sikert! (az élethez, a tudományhoz, de legelöször is a zh-hoz!) Ha még ezt a sort is el akarod olvasni akkor elmondom, hogy nagyon izgulok, hogy sikerült-e hasznos anyagot írnom, és közben reménykedem, hogy sokan fogják a tudtomon kívül dícsérni :) 0