Fizikai kémia 2. A newtoni fizika alapfeltevései. A newtoni fizika alapfeltevései E teljes. (=T) + E helyzeti.

Átírás

1 Fiikai kémia.. A kvantummechanika alajai Dr. Berkesi Ottó SZTE Fiikai Kémiai és Anagtudománi Tanséke 05 A newtoni fiika alafeltevései I. Minden test megtartja mogásállaotát amíg valamilen erő annak megváltotatására nem kénseríti. (tehetetlenség elve) II. A testre ható erő a test mogásmenniségének (lendület imulus) a idő serinti megváltoása III. Két test kölcsönhatásakor mindkét testre aonos nagságú de ellentétes értelmű erő hat. (hatás-ellenhatás elve) IV. Ha eg testre eg időben több erő hat akkor aok egüttes hatása a erők vektori eredőjének hatásával aonos. (sueroíció elve) E teljes = E mogási (=T) + E heleti (=V) A newtoni fiika alafeltevései Ha ismerjük a kiindulási állaotot és a test mogásának egenleteit amelek a hel q(t) és a lendület (t) időbeli váltoását adják meg (e a trajektória) akkor bármikor meg tudjuk adni a test állaotát a rendser állaota determinált Alkalmauk a fentieket a ferde hajítás éldáját! Kedeti araméterek: m=00000 kg v o =000 m/s α=4000 = 500 m és = 300 m

2 Ferde hajítás (t)= o + v o t (t)= m v o /m (t)= o + v o t g/ t (t)= m(v o gt) q(t) = ((t); (t)) A vektori eredő adja (t)-t /m A newtoni fiika alafeltevései A fiikai menniségek váltoásának nincs sem felső sem alsó határa a értékük foltonosan váltohat elvileg bármilen finomsággal ki tudjuk sámolni a trajektóriát. Biontalanság csak mérési hibából ered! A testek mellett létenek: erőterek (l. E H és gravitációs) jellemik - térerő hullámok jellemik: v T/ν/λ/σ és I o fén seciális hullám tista energia! Ellentmondó taastalatok A elemi résecskék noma éles törést mutat a Wilson-féle ködkamrában anélkül hog más résecskével való ütköésnek noma lenne! Nem iga a tehetetlenség törvéne?

3 A Comton - effektus Comton 93-ban kötött elektronok és röntgensugarak ütköésével mutatott rá a jelenség lénegére. A résecske a fén hatására térül el a fénnek van lendülete? A fén hullámhossa váltoik meg nem a intenitása nem e a energia jellemője? Fénelektromos jelenség Fén hatására a fémekből elektronok lének ki fotoelektromos effektus Klassikus fiikai ké: E/J 0 T/J Követkemének: E besug. = állandó Független! V kötési /nm A elektron energiáját a fénelnelés növeli! Bármel hullámhoss jó ha megfelelő a intenitása! T/J ν/h ν besug. = állandó I határ e. - L-B-törv.! I o /lu Ellentmondó taastalatok! Kísérleti taastalatok: E besug. = állandó T/J lineáris! Magaráat: Einstein (905) - Fiikai Nobel-díj 9 E/J 0 Φ T T ν határ ν/h V kötési T/J ν besug. = állandó Független! I o /lu /nm h Φ m v e e A elektron kilökése egetlen esemén követkeméne! A foton léteése energiája E=hv Állaotok kvantáltsága! 3

4 Feketetest sugárás Absolút feketetest modellje - belülről kormoott üreg. hc E h A testek megvilágítva melegsenek - melegítve világítanak! Absolút feketetest - amel minden frekvenciánál teljesen és egenletesen kées elnelni a sugárást. A kísérleti eredmének maimumgörbét adtak. A klassikus fiika csak a alacson energiájú oldalt kées leírni - UV katastrófa! Planck feltételeése - a oscillátorok nem tetsőleges hanem csak E=hv egés sámú többsörösét kéesek tárolni - kvantált állaotok- heles leírás! Harmonikus oscillátor: C v Testek hőkaacitása 3RT T Váll. E E(T) átlag 3D-re: kq mv Ekviartició tétele serint mol-ra: 3R RT RT E(T) átlag 3RT Dulong-Petit - sabál Ellentmondó taastalatok! 3R Magaráat: Einstein (905) - Planck feltételeését a harmonikus oscillátorok (E=nhv) kvantált állaotairól figelembe véve kata a alkalmas modellt. 4

5 Kvantált állaotok A atomok vonalas sínkée is bionítja hog a elektronok kvantált állaotban vannak! Résecskék hullámjellege Davisson-Germer kísérlet - elektronok sóródása nikkel kristálon (97) G.P. Thomson - elektronok és röntgen sugarak sóródása fémfólián (97) köös Nobel-díj 937 Al-fólia Röntgen - elektron dualitás - de Broglie h λ Újfajta biontalanság! A mérés ontossága a esköök és a módserek váltotatásával javítható illetve a mérés ismétlése és átlagolása a ontosság javításáho veet minden határon túl - klassikus fiika Heisenberg 97-ben jutott arra a követketetésre hog a hel és a lendület (imulus) koordináta egüttes soksori mérésének eredméneként kaott átlagok sórása nem javítható korlátlanul csak egmás rovására! ÚJ FIZIKA KIDOLGOZÁSA SZÜKSÉGES! 5

6 A résecske állaotának a leírása a hullámfüggvén A résecskék állaotát leíró függvének váltoói a három térdimenió () = τ és a idő bár mi een a kuruson csak időben állandósult aa stacionárius állaotokkal foglalkounk eért e utóbbival nem sámolunk. A hullámokban általában valamel fiikai menniség váltoása terjed térben és időben aa a amlitúdónak van valamilen mértékegsége. Mi a amlitúdója a résecskék állaotát leíró anaghullámoknak? A hullámfüggvének tulajdonságai Erre nincs válas! A hullámfüggvénnel kacsolatban Born fogalmata meg a ún. koenhágai vag más néven valósínűségi értelmeést: a hullámfüggvén eg adott térbeli onton kisámított értékének a négete megadja a résecske tartókodási valósínűségét a adott ont dτ kis körneetében: P( ) Ψ ( )Ψ( ) d A hullámfüggvének tulajdonságai P( ) Ψ Ψ dτ Ψ dτ A hullámfüggvén valós váltoójú (t) de értékkéslete lehet valós vag komle eért a négetét a komle konjugálttal kéett sorata adja meg. Mivel a nem lehet hog a résecske ne tartókodhasson a világegetem bármel ontján eért értelmeési tartomána ki kell hog kiterjedjen a - tőla+ -ig mindhárom tériránban. 6

7 A hullámfüggvének tulajdonságai P( ) Ψ Ψ dτ Ψ dτ Nilvánvaló hog a függvénnek foltonosnak kell lennie nem lehet sakadása sem mert akkor a sakadás tíusától függően kimarad eg térrés vag a tartókodás valósínűségének egértelműségével van gond. Ugane miatt a függvén nem lehet többértékű sem mert akkor uganaon hel kis körneetében többféle valósínűséggel tartókodhatna! A hullámfüggvének tulajdonságai Elvárás a is a hullámfüggvénnel semben hog a első deriváltja is foltonos legen aa ne legen benne törésont a eges sakasok belesimuljanak egmásba aa a második derivált is léteen! Eg véges térfogatban való tartókodás valósínűségét a hullámfüggvén négetének a megfelelő határok köötti integrálásával kajuk meg. P( V ) Ψ Ψ dτ V Ψ Ψ d d d P telj A hullámfüggvének tulajdonságai. Ψ Ψ dτ Ψ Ψ d d d V Ebből logikusan követkeik hog ha a integrálás a teljes térre történik akkor annak a eredménének egnek kell lennie mert a résecskének benne kell lennie a világegetemünkben! E aonban túl sigorú elvárás a függvénnel semben ha e iga akkor a a hullámfüggvén normált. 7

8 A hullámfüggvének tulajdonságai Ψ Ψ dτ N - Elegendő ha a függvén négetesen integrálható aa a teljes térre vett integrálja véges mert a íg kaott integrálérték négetgökének recirokával sorova kajuk a normált hullámfüggvént. Ψnorm. NΨ NΨ NΨ dτ N Ψ Ψ dτ N N - - A hullámfüggvének tulajdonságai A négetesen integrálhatóság aonban megköveteli hog a függvén értéke véges tartománon ne legen végtelen. Össefoglalva hullámfüggvénnek: a (- + ) intervallumon értelmeett valós váltoójú de majdnem mindenütt véges valós vag komle értékű foltonos foltonosan deriválható egértékű négetesen integrálható függvén kell lennie. A fiikai menniségek rereentációja - oerátorok Mivel a résecskék állaotát a nem fiikai menniségek (q) hanem hullámfüggvének írják le eért a fiikai menniségeket ún. oerátorok "helettesítik" - rereentálják a kvantummechanikában. Oerátor olan műveleti utasítás amelet eg függvénre alkalmava a abból eg másik függvént ho létre. A rereentált fiika menniség jelére a ^ (kala) jelet heleve jelöljük őket! f g Értsd! Omega oerátort alkalmava f -függvénre annak eredméne g-függvén. 8

9 Oerátorok A oerátorok lénege néhán egserű éldán kerestül können megérthető: Vegük a = függvént f ( ) és alkalmauk rá a -vel való sorás oerátorát. Eredménként a = függvént kajuk. f ( ) g( ) Erre a függvénre alkalmauk a + oerátort. g( ) Eredméne a =+ függvén. Oerátorok A kvantummechanikában ún. lineáris oerátorokat hasnálunk a fiikai menniségek rereentálására ami serint bármel f és g függvénre és c konstansra iga hog: Ω (f g) Ω c f Ω c f Ω Ω f g Oerátorok A kvantummechanikai oerátorok tulajdonságai: Ω Ω f Ω f Ω f Ω Ω f Ω Ω f Ω Ω Ω f Ω Ω f Ω f Ω Ω f Ω f Ω f oerátorok össege/különbsége oerátorok sorata: felcserélhető oerátorok nem felcserélhető o.-ok Egenlőségük bmel f-re! 9

10 Oerátorok A legfontosabb oerátorok köre amit a kurus során hasnálunk igen sűk eg résük egmásból klassikus fiikai ismeretek alaján sármatathatók: A helkoordináta oerátorok a adott koordinátával való sorás művelete. Lendület (imulus) oerátor - vektor oerátor ) ( ) ( ; ; r i i i i ; ; Oerátorok A mogási energia oerátora a imulusoerátorból megkaható: m (m v ) m m v T T m i m m ~ m m Oerátorok A otenciális energia oerátorait a klassikus fiikában alkalmaott otenciális energia kifejeésekkel való sorás adja! Δr e Z Z 4π V kq V aa V V o at. elektrost reg.

11 Oerátorok A legfontosabb oerátor a teljes energia oerátora a Hamilton-oerátor: H T V m Ĥ T V V Mérhető fiikai menniségek a sajátérték egenletek A fiikai menniségek eg-eg mérés során kaható értékeit a ún. sajátérték egenletek adják meg. Ennek feltétele hog a hullámfüggvén sajátfüggvéne legen a adott fiikai menniség oerátorának ami at jelenti hog a oerátor alkalmaásának eredméneként a eredeti függvénnek eg valós sámmal való soratát kajuk. A sorósám a ún. sajátérték és a fiikai menniség mérhető értékét adja meg - tehát valós sám. Ha a hullámfüggvén nem sajátfüggvéne eg oerátornak akkor a fiikai menniség értéke határoatlan! Sajátérték egenletek Néünk néhán éldát: a kettővel való sorás oerátorának bármel függvén sajátfüggvéne 3 3 de a sajátérték mindig. a + oerátornak visont nem sajátfüggvéne egik sem: de a =c függvének visont igen a sajátértékek: a (c+)/c konstansok.

12 Sajátérték egenletek A kurus folamán fontos éldák: e e sin cos a a e a e a a a k cosk k k sink k a első derivált oerátora - a lendület (imulus) oerátor a eoneciális-függvén különböő formáival a sinus függvénnel a kosinus függvénnel Sajátérték egenletek A második derivált oerátor: - kinetikus energia oerátor e e ae a a a e a e e a a 4a a a a e e a a e a e a a a e e a a a a (a 4a ) Sajátérték egenletek A második derivált oerátor: - kinetikus energia oerátor sin sin k k cosk cos cos k sink k k k k k

13 A Schrödinger-egenlet A teljes energia oerátor (Hamilton-oerátor) sajátérték egenlete: m T Ψ V Ψ E ĤΨ E kin. tot. Ψ Ψ E ot. Ψ Ψ V Ψ E tot. Ψ Nagsámú mérés átlaga a várható érték Eg fiikai menniség nagsámú mérésből sármaó átlagát a várható érték integrálból kahatjuk meg: ω Ösegés a térre Ψ Ω Ψdτ Ψ ωψdτ ωψ Ψdτ Ψ Ω Ψdτ ω mivel Ω Ψ ωψ átl. Ψ Ψdτ Ψ Ψdτ ω átl. Össegés a térre A biontalansági elv Heisenberg-féle biontalansági reláció eg általánosabb elv seciális esete. Ha két fiikai menniség oerátora nem felcserélhető akkor kööttük hasonló vison áll fenn! Ami megmutatható a ún. kommutátor értékének kisámításával!. ΔΔ Ω Ψ Ω Ω Ψ Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω 0 3

14 A biontalansági elv Néünk meg a fenti éldát! f() - f() i i f() - f() i i f() f() - f() f() i i A kvantummechanika alafeltevései Nr.. A résecske állaotát a trajektória helett eg ún. hullámfüggvén írja le! - Ψ( t) Nr.. A fiikai menniségeket ún. oerátorok rereentálják - Ω Nr.3. A fiikai menniségek mérhető értékét a. ún. sajátérték egenlet megoldása adja meg - Ω Ψ ωψ Nr.4. Nagsámú mérés átlagának határértékét a ún. várható érték integrál adja meg - ω Ψ Ω Ψ dτ - Nr.5. A egmással nem felcserélhető oerátorú fiikai menniségek nagsámú mérésekkel kaott biontalanságai egidejűleg csak korlátoottan javíthatók - ΔωΔω konst. Irodalom P.W Atkins Fiikai kémia II. Serkeet Nemeti Tankönvkiadó B oldal. P.Atkins and J.de Paula Atkins' Phsical Chemistr Tenth Edition Oford Universit Press Oford oldal. htt://fiiedia.bme.hu/inde.h/kvantummechanika# Gesti Tamás Kvantummechanika Tote B oldal. Nag Károl Kvantummechanika Tankönvkiadó B oldal. H.Metiu Phsical Chemistr Quantum Mechanics Talor & Francis NY oldal. 4