A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI"

Átírás

1 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI

2 A projekt címe: Egségesített Jármű- és mobilgépek képés- és tananagfejlestés A megvalósítás érdekében létrehoott konorcium réstvevői: KECSKEMÉI FŐISKOA BUDAPESI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGUDOMÁNYI EGYEEM AIPA AFÖDI IPARFEJESZÉSI NONPROFI KÖZHASZNÚ KF. Fővállalkoó: EVICE KF.

3 Budapesti Műsaki és Gadaságtudománi Egetem Kölekedésmérnöki Kar Írta: VÖRÖS GÁBOR FORBERGER ÁRPÁD ektorálta: BORBÁS AJOS A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Egetemi tananag 0

4 COPYRIGH: 0-07 Dr. Vörös Gábor Forberger Árpád Budapesti Műsaki és Gadaságtudománi Egetem Kölekedésmérnöki Kar EKORÁA: Dr. Borbás ajos Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A serő nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal sabadon másolható terjesthető megjelentethető és előadható de nem módosítható. ISBN KÉSZÜ: a pote Kiadó gondoásában FEEŐS VEZEŐ: Votisk Zsusa ÁMOGAÁS: Késült a ÁMOP-4...A/-0/ sámú Egségesített jármű- és mobilgépek képés- és tananagfejlestés című projekt keretében. KUCSSZAVAK: Rugalmasságtan alapegenletei virtuális munka elve alakváltoási energia végeselem módser merevségi mátri tömegmátri geometriai merevség rácsos serkeet rúdelemek másodrendű rúdelmélet síkfeladatok. ÖSSZEFOGAÁS: A elmúlt évtiedekben a végeselem módser (VEM) a mérnöki terveés modelleés és a simuláció nélkülöhetetlen esköe lett. E a jeget elsősorban a alapképésben (BSc) rést vevőknek sól eért a feltételeett előtanulmánok a statika silárdságtan dinamika a matematikai analíis alapjai köönséges és parciális differenciál egenletek továbbá a mátrisámítás. A elméleti megalapoó beveető fejeetek röviden bemutatják a lineáris rugalmasságtan lokális és globális modelljeit a rugalmasságtani alapegenleteket és a virtuális munka elvét és végeselem módser elmodulás módser alapgondolatát a legfontosabb menniségek elemmátriok leveetését. A jeget résletesen tárgalja a mérnöki gakorlatban fontos rúd véges elemeket a síkbeli rácsos serkeeteknél alkalmaott csuklós végpontú elemet és a hajlított gerenda elemet. öbb kidolgoott sámpélda segíti a végeselem eljárás algoritmusának és a különböő analíisek statika dinamika stabilitás megismerését és megértését. A áró fejeet a síkfeladatok végeselem modelleési lehetőségeit ismerteti. A jeget végén található függelék a végeselem algoritmusokban alapvetően fontos mátrisámítási ismereteket foglalja össe. Célunk a mérnöki elsősorban a járműmérnöki területen tevékenkedő elméletileg jól felkésült végeselem softver felhasnálók kiképése.

5 artalom Beveetés... 7 Fontosabb menniségek jelölése...0 A rugalmasságtan alapegenletei.... okális egenletek..... Alakváltoások geometriai egenletek Fesültségi állapot egensúli egenletek Anagtörvén Peremfeltételek okális egenletek össefoglalása Példa: Sík leme mogása.... Globális modell a virtuális munka elve Példa: Raklap terhelése Példa: Rugalmas kötél lehajlása Példa: áncrendser mogásegenlete Silárd test alakváltoási energia növekméne A virtuális munka elve A teljes potenciál sélsőérték elve Kedeti fesültségi állapot Rúdelemek egenletei A Euler Bernoulli rúdelmélet A virtuális munka elve A Raleigh-Rit módser Példa: Rúd megosló terheléssel Dinamikai feladatok sabad lengések Példa: Hajlító lengés Nomott rúdelemek kihajlása Példa: Egenes rúd kihajlása Példa: A másodrendű elmélet A imoshenko féle rúdelmélet Példa: Nírási elmodulás A níró terület A St Venant féle csavarási modell Csavarási másodrendű nomaték A csavaró/níró köéppont A virtuális munka elve A végeselem-módser egenletei Elemek mátriok Interpoláció Elem mátriok Kinematikai peremfeltételek ámaserők és belső erők sámítása Végeselem analíis ineáris statika...75 Forberger Árpád Vörös Gábor BME

6 6 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI 4.. Másodrendű statika Kritikus terhelés Sabad lengések sajátfrekvenciák Másodrendű dinamika Gerjestett mogások Rúdserkeetek végeselem modelljei Csuklós végpontú rúdelem Elem mátriok Síkbeli rácsos serkeet Példa: Síkbeli rácsos serkeet Hajlított rúdelem Elmodulás interpoláció Elem mátriok A rúdelem igénbevételei Példa: Statikus terhelés Példa: Kritikus terhelés Példa: Sabad lengések Síkbeli rúdserkeet Példa: Keret hőterhelése A imoshenko rúdelem A St Venant féle csavarási modell érbeli keretserkeet ransformációk... 6 Síkfeladatok Síkfesültségi állapot Sík alakváltoási állapot Síkfeladatok végeselem modelljei ineáris háromsögelem Példa: Sík leme peremterhelése ineáris négsög elem Magasabbrendű elemek Háromsög elemek Négsög elemek A. Függelék Mátrisámítás Forberger Árpád Vörös Gábor BME

7 Beveetés A elmúlt évtiedekben a végeselem módser (VEM) a modelleés és a simuláció nélkülöhetetlen esköe lett. E a jeget elsősorban egetemi hallgatóknak sól de gakorló mérnököknek is hasnos és a lineáris mechanikai rendserekre alkalmaható módser egséges és résletes leírását adja. A rugalmasságtani alapelvek és a elméleti háttér ismertetésének célja a hog a olvasók nag bitonsággal hasnálják értékeljék és minősítsék a kereskedelmi forgalomban beserehető végeselem eljárást is alkalmaó programrendsereket. A elmúlt köel két évsáad során a klassikus mechanika területén több a mérnöki gakorlatban hasnálható numerikus eljárást dolgotak ki. Eek eg csoportja a lokális egenletek a kontinuum viselkedését leíró parciális differenciálegenlet rendserek követlen megoldására solgált mint például a véges differencia módser. A numerikus eljárások eg másik rése a globális elvek a energetikai sélsőérték - stacioner érték - elvek direkt megoldását een belül a Raleigh-Rit módser különböő válfajait alkalmata. Een módserek alkalmaása a bonolultabb alakú testek alkatrések esetén igen komol nehéségekbe ütköik. A végeselem eljárás alapgondolatát a foltonos rendsereknek a diskrét véges sabadságfokú elemek rendserével történő helettesítését már régóta hasnálják a fiikai és mérnöki feladatok numerikus megoldására. Erre jellemő példa a egenes rudakból álló tartóserkeetek visgálati módsere ami többek köött Mawell (864) Castigliano (879) vag Mohr (868) munkáságának rése. A legelső ismert publikáció ami a bonolult tartománok réstartománokra bontását aokon belül pedig lineáris interpolációt és a energetikai sélsőérték elveket egütt alkalmata Cuorant (943) nevéhe fűődik aki a nem kör kerestmetsetű rudak sabad csavarási feladatát a potenciális energia sélsőérték elve alapján visgálta úg hog a tetsőleges alakú kerestmetsetet olan háromsög réstartománokra bontotta meleken belül a megoldás lineárisan váltoik. A minőségi váltoás feltételeit a digitális sámítástechnikai esköök fejlődése és séleskörű elterjedése tette lehetővé. A végeselem módsert a ma ismert formájában Clough urner és serőtársaik [] publikálták. (956 Boeing and Bell Aerospace) Náluk jelentek meg elősör a végeselem (finite element) csomópont (node) és csomóponti váltoó fogalmak és kifejeések is. A első alkalmaás kifejlestésének célja repülőgép sárnserkeetek dinamikai és silárdsági visgálata volt. A módser nilvánvaló sikere és hatékonsága továbbá a sámítástechnikai esköök fejlődése intenív kutatásokat indított be aminek eredméneként ma már a végeselem eljárást a mérnöki fiika legkülönböőbb területein hasnálják alkalmas többek köött lineáris és nemlineáris mechanikai áramlástani hőtechnikai akustikai jelenségek modelleésére időben állandó vag traniens folamatok simulációjára. Matematikusok tistáták a eljárás konvergenciájával pontosságával kapcsolatos problémákat és eel egütt több ma már klassikusnak sámító könv jelent meg mint például Forberger Árpád Vörös Gábor BME

8 8 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Zienkiewic [8] és Premieniecki [5] művei amelek még ma is korserűnek és hasnosnak bionulnak. A 980-as években megjelentek a első magar nelvű [0] [4] [5] egetemi jegetek és sakkönvek is. Mindeek eredméneként napjainkra a mérnöki terveő - elemő munka résévé váltak a végeselem eljárást valamilen sinten alkalmaó softverek. Eek köött vannak a sok elemtípust és analíis lehetőséget tartalmaó általános célú végeselem programrendserek melek a legkülönböőbb mérnöki feladatok megoldására is alkalmasak (NASRAN ANSYS MARC COSMOS ABACUS stb.). Igen hasnosak a serkeettípusra orientált rendserek melekkel csak eg féle serkeetet például ipari csőveetékeket (CAEPIPE) vag acél vasbeton váserkeeteket (FemDesign AXIS) lehet terveni visgálni. A kereskedelmi forgalomban beserehető progranrendserek megbíható intelligens hasnálatáho és a kisámított eredmének értékeléséhe a rendser keelésének ismeretén túl alapos saktudásra is sükség van aminek hiánában a felhasnálónak a softver csak eg árt titokatos dobo. A végeselem eljárást eredetileg serkeetek mechanikai visgálatokho alkalmaták és ebben a jegetben is a lineáris rugalmasságtani feladatokon kerestül mutatjuk be a módser elemeit. A jeget elsősorban a alapképésben (BSc) rést vevőknek sól eért a feltételeett előtanulmánok a statika silárdságtan dinamika a matematikai analíis alapjai köönséges és parciális differenciál egenletek továbbá a mátrisámítás. A beveetést követő első fejeet röviden bemutatja a lineáris rugalmasságtan lokális és globális modelljeit a rugalmasságtani alapegenleteket és a virtuális munka elvét. Ennek csak a a célja hog a előtanulmánok során megserett ismereteket egséges sóhasnálat és jelölésrendser alkalmaásával felidéük. A második fejeet résletesebben foglalkoik a járműserkeetekben fontos rúdelméletekkel a mérnöki gakorlatban általánosan hasnált Euler-Bernoulli elmélettel a nírás hatását pontosabban leíró imoshenko féle rúdmodellel. Ugane a fejeet résletei és több numerikus példával illustrálja a virtuális munka elvének egik köismert direkt numerikus megoldási módserét a Raleigh-Rit módsert. Eek a megoldott feladatok segíthetik a virtuális munka elvének és a direkt numerikus módserek - beleértve a végeselem eljárást is - matematikai hátterének megértését. A harmadik fejeet a virtuális munka elvére alapuló végeselem módser - elmodulás módser - alapgondolatát a legfontosabb menniségek elemmátriok bemutatását és leveetését foglalja össe. A negedik fejeet a rúdserkeetek végeselem modelleését ismerteti. Résletes leírás található a síkbeli rácsos serkeeteknél alkalmaott csuklós végpontú elemről valamint a hajlított gerenda elemről. öbb kidolgoott sámpélda segíti a végeselem eljárás algoritmusának és a különböő analíisek - statika dinamika stabilitás - megismerését. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

9 . BEVEZEÉS 9 A ötödik fejeet a síkfeladatok végeselem modelleési lehetőségeit ismerteti. A jeget végén található függelék a végeselem algoritmusokban alapvetően fontos mátrisámítási ismereteket foglalja össe. öbb kidolgoott feladat és a sok ábra támogatja a bemutatott elméletek megértését és a alkalmaási késség fejlestését mivel eg jó ábra felér több sá magaráó sóval. E a jeget nem eg enciklopédia ami a végeselem módser keretében hasnálatos vag ismert technikákat résletesen ismerteti továbbá nem cél a végeselem programfejlestői ismeretek átadása. Célunk a mérnöki elsősorban a járműmérnöki területen tevékenkedő elméletileg jól felkésült softver felhasnálók kiképése. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

10 0 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Fontosabb menniségek jelölése A rúdelem kerestmetsete C rúd kerestmetset köéppontja C rugalmas anag jellemőinek mátria E rugalmassági modulus G csústató rugalmassági modulus G nag alakváltoások másodfokú rése H nag alakváltoások mátria I I rúd kerestmetset fő másodrendű nomatékok J csavarási másodrendű nomaték K rendser lineáris merevségi mátria k e K G M m e M t M M N N i N p P p p q elem lineáris merevségi mátria rendser geometriai merevségi mátria rúdelem hossa rendser tömegmátria elem tömegmátria rúd csavaró igénbevételei rúd hajlító igénbevételei rúd húó igénbevétele interpolációs (forma) függvének interpolációs (forma) függvénmátri felületi terhelés rendser csomóponti terhelések mátria megosló terhelés térfogati megosló terhelés kerestmetset níró/csavaró köéppontja transformáció mátria Forberger Árpád Vörös Gábor BME

11 . BEVEZEÉS U alakváltoási energia u elmodulás mátri u v w rúd tengel elmodulásai u u u elmodulás koordináták V V rúd níró igénbevételei W k külső erők munkája csavaró/níró köéppont koordináták kritikus (stabilitásvestési) terhelés soró níró fesültségek 0 σ kedeti fesültségek mátria γ γ γ Δ i Δ Δ G ε ε * ε ε ε θ θ θ ξ Π ρ σ σ σ σ Φ j ω j fajlagos sögváltoások csomóponti sabadságfokok mátria hőmérséklet váltoása Hőmérsékletváltoás gradiense kis alakváltoások mátria nem mechanikai hatásokból követkeő alakváltoás fajlagos núlások forgás koordináták dimeniótlan hoss koordináta teljes potenciál tömegsűrűség fesültségek mátria normál fesültségek sajátvektorok (lengéskép stabilitásvestés alakja) sajátfrekvenciák Forberger Árpád Vörös Gábor BME

12 A rugalmasságtan alapegenletei Ebben a fejeetben bemutatjuk a lineáris rugalmasságtan alapvető menniségeit és röviden össefoglaljuk a alapegenleteket. A klassikus rugalmasságtannal résletesen foglalkoó könvekből további fontos résleteket lehet megismerni érdemes megemlíteni például a jól ismert imoshenko - Goodier [6] vag a magar nelvű [0] [3] könveket. A külső terhelés hatására a silárd test moog és megváltotatja a alakját et jellemi a elmodulás vektor és a alakváltoások. Uganakkor kialakul a belső erőrendser a fesültségi állapot. A mechanikai sámítások célja hog meghatároa een menniségek a terhelések és a elmodulás alakváltoás és fesültségi állapot kapcsolatát. A külső terhelés lehet statikus időben állandó vag nagon lassan váltoó kváistatikus. Gorsan váltoó terhelés hatására a serkeeti válasok - mogás fesültségek stb. - is időben váltonak et neveük dinamikai hatásnak. A test mogása a alakváltoás mértéke jellege függ a anagi tulajdonságoktól. A test rugalmas ha a külső terhelések megsüntetése után aonnal vissaneri eredeti alakját és lineárisan rugalmas ha terhelés és a alakváltoás visona eg lineáris aránossággal írható le. A képléken alakváltoások jellemője hog a serkeet tehermentesítése után maradó alakváltoásokat éslelhetünk. ovábbi fontos anagtulajdonság a aniotrópia. A test aniotrop ha eg pontban a anagjellemők különböő iránokban mérve váltonak. A kompoit sálerősítésű anagok a fa jellemően aniotrop tulajdonságúak. A iotóp testeknél a anagjellemők irántól függetlenek. Ha a anagjellemők a test különböő pontjaiban aonosak akkor a test homogén ellenkeő estben inhomogén. Eg kontinuummechanikai feladat matematikai modelljét két módon lehet megfogalmani: parciális differenciálegenletekkel vag globális érvénű határoott integrál formájú elvek alakjában. A előbbit lokális (angolul strong form) a másodikat globális (angolul weak form) matematikai modellnek nevehetjük. A globális modell alapvető fontosságú a numerikus módserek een belül a végeselem módser alkalmaásánál. E a jeget a lineárisan rugalmas homogén és iotrop anagú kismértékű mogásokat és kis alakváltoásokat végő serkeetekkel foglalkoik.. okális egenletek Ebben a fejeetben röviden áttekintjük a silárd test mogásának leírására alkalmas lokális formájú egenleteket. A lokális egenletek algebrai és parciális differenciál egenletek melek eg anagi pont kis körneetének mechanikai viselkedését alakváltoását fesültségi állapotát írják le. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

13 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 3 0 t A p t A u r V P q p u P. ábra. A silárd test terhelései és mogása A visgált silárd test - kontinuum - a tér V rését foglalja el. Külső A felületének A p résén a felületi p megosló terhelések a A u jelű résén pedig a mogás kénserfeltételek adottak. A mechanikai terhelések - a p felületi és a q térfogaton megosló terhelések valamint egéb külső hatások (pl. hőmérsékletváltoás) követketében a test pontjai elmodulnak alakja megváltoik és belső erők jönnek létre... Alakváltoások geometriai egenletek Eg P anagi pont elmodulását a eredeti heletéhe visonítva a u elmodulás vektorral adhatjuk meg aminek a koordináta tengelek iránába mutató komponensei u u és u (. ábra). Általában eek a koordináták a anagi pont eredeti heletét megadó térkoordináták és a idő függvénei: u(t): u u u u (0.) A áttekinthetőség kedvéért kedjük a alakváltoások visgálatát a síkban történő mogás elemésével. A.. ábrán jelölt OABC pontok elmodulnak és a deformált anagi elem sarokpontjainak új helete O A B C les. A alakváltoás a somsédos anagi pontok köötti távolságok és a sögek váltoását jelenti. A mérnöki gakorlatban hasnálatos fajlagos núlás definíciója hossváltoás ds d ds (0.) ere det i hoss d d Forberger Árpád Vörös Gábor BME

14 4 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI d C O B A u d d u α O C u d d u d α A B u d u d. ábra. Elemi kocka alakváltoása A γ fajlagos sögváltoás a eredetileg merőleges ds és ds anagi vonalelemek köötti sög megváltoása (a. ábrán γ = α + α ) ami poitív ha a deformált alakaton a sög hegessög les. A áttekinthetőség kedvéért kedjük a elmodulások és a alakváltoás jellemők visgálatát a síkban történő mogás elemésével. A. ábrán jelölt OABC pontok elmodulnak és a deformált anagi elem sarokpontjainak új helete O A B C les. A eredetileg d hossúságú O A sakas hossa: u u u ds u u ds d d d d majd felhasnálva a fajlagos núlás (0.) definícióját u u u Ha a fajlagos núlás kicsi akkor a baloldalon a másodrendű tag nagságrendi megfontolás alapján elhagható és ekkor u u u.. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

15 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 5 Ha a elmodulás vektor koordinátái és a deriváltjai is kicsik akkor a másodfokú tagokat a jobb oldalon is elhaghatjuk: u. Most sámítsuk ki a eredetileg merőleges d és d iránok köötti deréksög megváltoását! A. ábra jelöléseivel: sin sin sin cos sin cos u d u d u d u d ds ds. ds ds Ismét felhasnálva a fajlagos núlás (0.) és a fajlagos sögváltoás definícióit átrendeés után: sin u u u u u u. Ha a fajlagos núlások és a sögváltoások is kicsik akkor a másodrendű tagok a egenlet bal oldalán elhanagolhatóak u u u u u u továbbá ha a elmodulás koordináták és deriváltjaik is kicsik akkor a másodfokú tagokat a jobb oldalon is elhaghatjuk: u u. Eek után ha a.. ábrán a síkra merőleges u elmodulással is sámolunk belátható hog a hat alakváltoási jellemő - három iránú núlás és három sögváltoás - a úgneveett Green-agrange féle H alakváltoások tenorának koordinátái a követkeő formában írhatók fel: ahol ε a alakváltoások lineáris H ε G (0.3) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

16 6 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI ε u u u u u u u u u és G a quadratikus rése: (0.4) G G G G G G G G G G u u u u u u u u u G u u u u u u u u u G (0.5) u u u u u u G u u u Mérnöki serkeeteknél ha a fajlagos núlások nagságrendje 0-3 vag még kisebb akkor a (0.3) geometriai egenletekből a másodfokú tagok elhaghatók H ε (0.6) A (0.3) H és a (0.4) ε alakváltoási jellemők fontos tulajdonsága hog értékük érus ha a test ugan moog de alakja köben nem váltoik. Et neveük merevtest (serű) mogásnak. A (0.) definícióval a alakváltoási jellemőket a kedeti állapotho (konfigurációho) tartoó és térkoordinátákkal és a kedeti méretekhe visonítva határouk meg. Et a kontinuummechanika agrange féle a leírás módjának neveik semben a Euler féle leírással ahol a alakváltoásokat a anagi pont pillanatni heletét megadó koordinátákkal és a deformált méretekhe visonítva adjuk meg. E utóbbi eljárás elsősorban a foladékmechanikában hasnálatos. Kis alakváltoások estén a kedeti és a pillanatni konfiguráció jó köelítéssel egbeesik és a (0.5) lineáris geometriai egenletet hasnálhatjuk... Fesültségi állapot egensúli egenletek A külső terhelések hatására a testben belső erőrendser fesültségi állápot alakul ki amit eg anagi pont körneetében kilenc - amiből hat különböő - fesültség komponens ad meg. A.3. ábrán láthatóak eg elemi méretű kiskocka három koor- Forberger Árpád Vörös Gábor BME

17 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 7 dináta síkokkal párhuamos oldallapjaira ható fesültségek a síkra merőleges normál és a páronként aonos síkban lévő níró fesültségek..3 ábra. Fesültségi állapot koordinátái A testből bármilen módon kivágott elemi résre a egensúl feltétel teljesül. A.3 ábrán látható kiskocka köepén átmenő tengelekre felírható nomatéki egensúli feltételek követkeméne a níró fesültségek dualitása: = = =. A kilenc fesültség koordináta köül a hat különböőt írjuk fel a követkeő mátri formában: σ (0.7) A iránú vetületi egensúli egenlet a.4 ábra jelöléseivel ahol a d d és d oldalméretű elemi test oldallapjaira csak a iránú fesültség komponenseket és a q térfogati erőhatást rajoltuk be a követkeő formában írható fel: ddd d dd d dd qddd 0 q 0. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

18 8 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI d d τ σ d d q d τ d.4 ábra. Elemi kocka egensúla A másik két vetületi egenlet hasonló módon írható fel. Végül a három vetületi egensúli egenlet a q térfogaton megosló erővel egütt a követkeő les: q 0 q 0 q 0. (0.8) Gorsan mogó testek visgálatánál a terhelések köött figelembe kell venni a tehetetlenségi erőket is. A d Alambert elv serint a statikai egensúli feltételek formálisan érvénesek maradnak ha a testre ható erőrendsert kiegésítjük a tehetetlenségi erőkkel. Például eg mogó m tömegű pontserű testre F ma = 0 a formális egensúli egenlet ahol a jelöli a gorsulást. Ennek megfelelően dinamikai feladatokho a (0.8)egenletben a testre ható erőrendsert ki kell egésíteni a térfogaton megosló tehetetlenségi erővel: q u qu q u (0.9) q u ahol ρ a test tömegsűrűsége és ü a elmodulás idő serinti második deriváltja a gorsulás vektor. Mogás köben a test mérete váltoik. A kedeti alakváltoás előtti felületekre vonatkotatott fesültségek a úgneveett II. Piola-Kirchhoff féle fesültségtenor koordinátái ami általában eltér a mogás köben váltoó felületre vonatkotatott Forberger Árpád Vörös Gábor BME

19 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 9 valódi fesültségektől. Aonban ha a mogások és a alakváltoások kicsik és a (0.5) köelítés alkalmaható a kétféle fesültség értelmeés köötti eltérés is elhanagolható. A alakváltoási és fesültségi állapot pontos leírásának módjairól résletesebb leírás található a [6] [0] [] és [3] könvekben...3 Anagtörvén A anagtörvén a fesültségek és a alakváltoások köötti kapcsolatot adja meg. Rugalmas testre e a kapcsolat egértékű. ineárisan rugalmas testek anagtörvéne a Hooke törvén ami a kis alakváltoások esetén a követkeő lineáris mátri egenlet formájában írható fel: * * * * * σ Cεε Cεσ C * (0.0) * * A C eg simmetrikus 66 méretű mátri ami at jelenti hog a legáltalánosabb aniotrop tulajdonságú rugalmas testnek anagjellemője lehet. A iotóp rugalmas testnek csak két független anagjellemője van és ekkor a C anagjellemő mátri is egserűbb serkeetű: c c c E c c c c c c c E C c c3 0 0 (0.) c3 0 E c3 G c3 ahol E a rugalmassági modulus G a csústató rugalmassági modulus és ν a Poisson vag kontrakciós téneő. Érdemes megemlíteni hog össenomhatatlan testekre ν = 05 és ilenkor mindig (ε + ε + ε ) = 0. A (0.0) anagtörvén invere: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

20 0 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI * ε C σ ε ν ν ν ν ν ν b ν E b b b C Egserűen ellenőríhető hog C - C = I ahol I a 66 méretű egségmátri. (0.) A (0.0) anagtörvénben ε * a nem követlen mechanikai hatások követketében kialakuló alakváltoások mátria. Ilen lehet például a hőmérsékletváltoásból vag valamilen más technológiai okból - sáradás fáisátalakulás stb. - bekövetkeő alakváltoás. Iotrop minden iránban aonos hőtágulási tulajdonság esetén * ε (0.3) ahol α a lineáris hőtágulási egüttható és Δ a test hőmérsékletének váltoása...4 Peremfeltételek A mechanikai egenletek fontos elemei a peremfeltételek. A testet határoló külső A felület minden pontjában meg kell adni vag a mogások vag a felületi terhelések értékét. A peremfeltételek heles megadása a modellalkotás egik legfontosabb rése. A kinematikai peremfeltételekkel a A felület A u résén a test megtámastását esetleg a eges felületrések előírt mogását adjuk meg: u u u u u u u u P A. (0.4) u A felüljelés előírt mogás értéket jelent. Rögített pontokban vag felületréseken a előírt értékek érusok. A dinamikai peremfeltételek a test külső A felületének A p résére működő terhelések és a belső erőrendser a fesültségi állapot kapcsolódásának törvénserűséget írják le. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

21 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI c n -τ p a -τ -σ.5 ábra. etraéder egensúla A.5 ábrán a A p felületen lévő anagi pont körneetét ábráoltuk ahol a tetraéder ferde oldallapja a A p felület rése. Jelölje a koordinátatengelekre merőleges oldalak és a negedik oldal területét n pedig a negedik oldal kifelé mutató normális egségvektorát: bc ac ab n / n n / n =. n / Eek a össefüggések egserű geometriai sámításokkal igaolhatóak. A tetraédernek a test belsejében lévő felületeire a fesültség komponensek a A p felületen lévő oldalára pedig a p felületi terhelés működik. Írjuk fel a iránú erőhatások egensúlát kifejeő vetületi egenletet: p 0. Átrendeés után figelembe véve a n normális vektor koordinátáira felírt eredméneket is megkapjuk a alábbi három dinamikai peremfeltétel köül a elsőt ahol a további két feltételt - a és iránú egensúli egenletekből - hasonló módon írhatjuk fel: b n n n p n n n p n n n p. (0.5) A test terheletlen sabad felsíne a A p felület rése ahol a előírt külső terhelés p = 0. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

22 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI..5 okális egenletek össefoglalása Amint at a előőekben láthattuk a kontinuummechanika és een belül a lineáris rugalmasságtan lokális egenleteit három csoportba sorolhatjuk: a (0.4) geometriai egenletek a alakváltoások és a test mogásának kapcsolatát adják meg a Newton aiómából követkeő (0.7) egensúli egenletek vag mogásegenletek a külső és belső erők kapcsolatát írják le és a harmadik egenlet csoport a fesültségek és alakváltoások kapcsolata a anagtörvén (0.9). Eekhe tartonak még a (0.) és (0.3) peremfeltételek. Általában eg serkeetmechanikai feladat megoldásáho mind a három egenletcsoportot fel kell hasnálni. (Kivételnek sámítanak a statikailag határoott feladatok ahol a egensúli egenletek önmagukban elegendőek a külső és belső erők köötti össefüggések felírásáho) A alábbi tábláatból látsik hog a lokális megfogalmaásban a ismeretlenek és egenletek darabsáma aonos. Egenletek sáma Ismeretlenek sáma Geometriai egenletek 6 Elmodulás vektor u u u Alakváltoási tenor ε ε ε γ γ γ 3 6 Egensúli egenletek 3 Fesültségi tenor 6 Anagtörvén 6 Össesen 5 5 A pontos megoldást amel a össes egenletet és peremfeltételt kielégíti a mérnöki gakorlatban előforduló esetek döntő résénél nem lehet meghatároni. Ilenkor van sükség a köelítő numerikus módserekre amelek többnire a globális integrál formában kifejeett elvekre például a virtuális munka elvére épülnek...6 Példa: Sík leme mogása Ismerjük a.6 A ábrán váolt aa méretű és t vastagságú lemeben a (0.) u elmodulás vektor koordinátáit: u k u k / u k mm 5 00 mm 5 mm 0 MPa ν 05. a t E Rajoljuk meg a leme deformálódott alakját és sámítsuk ki a oldallapokra és a leme térfogatára ható erőrendsert ami et a alakatot létrehota. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

23 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 3 A.6 B ábra mutatja a leme deformálódott alakját ahol a = a = a koordinátájú sarokpont elmodulásai: u ka 0 0 mm u ka / 0 0 mm u 0. A: B: ka a ka / a a.6 ábra. Sík leme alakváltoása (nem arános válat) A terhelések meghatároásáho előbb a alakváltoásokat majd a fesültségeket kell kisámítani. A geometriai egenletekből: u u u u k -k k 0 és a (0.0) Hooke törvénből a érustól különböő fesültség koordináták: E E c c k c c k E Gk k. A (0.5) dinamikai peremfeltételekből meghatárohatjuk a leme oldallapjaira ható felületi nomásterheléseket. A = a oldallap kifelé mutató normális egségvektorának koordinátái: n = 0 n = n = 0 és a (0.5) peremfeltételből een a lapon: Ek Ek p 0 6 p a3 MPa p 0. Hasonló módon a = 0 lapon n = 0 n = - n = 0 Ek p 0 6 p 0 p 0 a = a lapon n = n = 0 n = 0 Forberger Árpád Vörös Gábor BME

24 4 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Ek Ek p 0 3 p a6 MPa p 0 és végül a = -a lapon n = - n = 0 n = Ek p 6 MPa 0 p a p. Eek a perem terhelések láthatóak a.7 ábrán. A lemere ható térfogati erőt a (0.8) egensúli egenletekből sámíthatjuk ki: q 0 0 q 0 Ek Ek q 0 q 0 q 0 0 q 0. Ebből a térfogati erőhatás egetlen nem érus koordinátája: Ek 3 q 06 N/mm. -6 MPa 6 MPa -3 MPa -3 MPa 3 MPa 06 N/mm 3 6 MPa 6 MPa -6 MPa 6 MPa.7 ábra. Sík leme terhelése Végeetül ellenőrihetjük hog a.7 ábrán megadott erőrendser valóban egensúli.. Globális modell a virtuális munka elve Eg erő munkája a erő és a iránába eső elmodulás sorata. Pontosabban eg F erő a vele párhuamos ds mogás köben dw Fds munkát vége. Ha e a F mint eg külső erő terhelés valamilen mechanikai rendserre működik akkor a rendser mogása alakváltoása köben a belső erők is végenek munkát ami Forberger Árpád Vörös Gábor BME

25 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 5 munkavégő képesség energia formájában tárolódik a rendserben. Et a energiát gakran alakváltoási energiának is neveik. s δs F.8. ábra. Húóerő munkája belső energia A külső erő munkája és a energia váltoásának visonát visgáljuk elősör a.8. ábrán látható igen egserű mechanikai rendseren. A rúdra a F erő működik és ismerjük a egensúli heletet megadó megoldást: a belső erő (rúderő) R = F és a megnúlás s = kr. Ebből a egensúli heletből - képeletben - modítsuk ki a rendsert eg kicsi ds elmodulással. Et a kis elmodulást virtuális elmodulásnak neveük. A külső erőnek a virtuális elmoduláson végett dw k = Fds virtuális munkája megegeik a rugóerő virtuális munkájával ami a belső vag alakváltoási energia du = Rds megváltoása aa du - dw k = 0. E nílván csak akkor iga ha a eredeti állapot egensúli volt aa R = F. ehát a egensúli heletre jellemő hog 0 dπ d U W Π s etrémum k (0.6) más sóval a Π(s) teljes potenciál a s elmodulás függvéne és a egensúli heletben sélsőértéke van: dπ dπ dπ ds 0 0 ds ds. A (0.6) a virtuális munka elve amit most a követkeő formában lehet megfogalman: a a elmodulás aminél a teljes potenciál megváltoása érus teljesíti a egensúli feltételeket. Fontos megjegeni hog e a megállapítás akkor is iga ha rugó nemlineáris k = k(s) vag a s eredő megnúlásnak van maradó núlás rése is. Ha a.8. ábra serinti rugó lineárisan rugalmas akkor a k értéke állandó és akkor a belső erő virtuális munkája vag más sóval a alakváltoási energia megváltoása s du Rdsksdsdk. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

STATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév)

STATIKA A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak hallgatói részére (2003/2004 tavaszi félév) STATIKA A minimum test kérdései a gépésmérnöki sak hallgatói résére (2003/2004 tavasi félév) Statika Pontsám 1. A modell definíciója (2) 2. A silárd test értelmeése (1) 3. A merev test fogalma (1) 4. A

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje a rugalmasságtan 2D feladatainak elméleti alapjait. 9 modul: A rugalmasságtan D feladatai 9 lecke: A D feladatok definíciója és egenletei A lecke célja: A tananag felhasnálója megismerje a rugalmasságtan D feladatainak elméleti alapjait Követelmének: Ön

Részletesebben

Héj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok

Héj / lemez hajlítási elméletek, felületi feszültségek / élerők és élnyomatékok Héj / leme hajlítási elméletek felületi fesültségek / élerők és élnomatékok Tevékenség: Olvassa el a bekedést! Jegee meg a héj és a leme definícióját! Tanulja meg a superpoíció elvét és a membrán állapot

Részletesebben

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 008 0 Tartalomjegék. fejeet. tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések.. Függvének.3. másodrendű tenor fogalmának geometriai beveetése 5.4. Speciális

Részletesebben

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN ÉRETEZÉS ELLENŐRZÉS STATIUS TERHELÉS ESETÉN A méreteés ellenőrés célkitűése: Annak elérése hog a serkeet rendeltetésserű hasnálat esetén előírt ideig és előírt bitonsággal elviselje a adott terhelést anélkül

Részletesebben

3. Szerkezeti elemek méretezése

3. Szerkezeti elemek méretezése . Serkeeti elemek méreteése.. Serkeeti elemek méreteési elvei A EC serint a teherbírási határállapotok ellenőrése során a alábbi visgálatokat kell elvégeni: - Kerestmetseti ellenállások visgálata, ami

Részletesebben

2. Koordináta-transzformációk

2. Koordináta-transzformációk Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,

Részletesebben

σ = = (y', z' ) = EI (z') y'

σ = = (y', z' ) = EI (z') y' 178 5.4.. Váltoó kerestmetsetű rudak tsta hajlítása Enhén váltoó kerestmetsetű, tsta hajlításra génbevett rúdnál a eges pontok fesültség állapota - a váltoó kerestmetsetű rudak tsta nomásáho vag húásáho

Részletesebben

Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

Szilárdságtan. Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Miskolci Egetem GÉÉMÉRNÖKI É INORMTIKI KR ilárságtan (Oktatási segélet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc leveleős hallgatói résére) Késítette: Nánori riges, irbik ánor Miskolc, 2008. Een kéirat a Gépésmérnöki

Részletesebben

Dr. Égert János Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN

Dr. Égert János Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN Dr Égert János Dr Nag Zoltán ALALMAZOTT UGALMASSÁGTAN UNIVESITAS-GYŐ Nonprofit ft Gőr 9 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM GYŐ Írta: Dr Égert János Dr Nag Zoltán

Részletesebben

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL. Oktatási segédlet

ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL. Oktatási segédlet ANYAGJELLEMZŐK MEGHATÁROZÁSA ERŐ- ÉS NYÚLÁSMÉRÉSSEL Oktatási segédlet a Rugalmasságtan és Alkalmaott mechanika laboratóriumi mérési gakorlatokho a egetemi mesterképésben (MSc) réstvevő mérnökhallgatók

Részletesebben

Acélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint

Acélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint Acélserkeetek méreteése Eurocode 3 serint Gakorlati útmutató Dunai Lásló, Horváth Lásló, Kovács auika, Varga Géa, Verőci Béla, Vigh L. Gergel (a Útmutató jelen késültségi sintjén a Tartalomjegékben dőlt

Részletesebben

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása 5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =

Részletesebben

MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG

MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KIALAKÍTÁSA 3 REPÜLŐKÉPESSÉG Dr. Óvári Gula 1 - Dr. Urbán István 2 MEREVSZÁRNYÚ REPÜLŐGÉPEK VEZÉRSÍK-RENDSZEREINEK KILKÍTÁS 3 cikk(soroatban)ben a merev sárnú repülőgépek veérsík rendserinek terveését és építését követheti nomon lépésről

Részletesebben

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) SILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat) Szilárdságtan Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A

Részletesebben

Acélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint

Acélszerkezetek méretezése Eurocode 3 szerint Aélserkeetek méreteése Euroode serint Gakorlati útmutató rásos tartó síkja h t t r h t Serők: Dunai Lásló, Horváth Lásló, Kovás auika, Verői Béla, Vigh L. Gergel Verió: 9.9.. Tartalomjegék. Beveetés....

Részletesebben

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I

V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M É R N Ö K I M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki Tudományi Doktori Iskola hallgatói számára

Részletesebben

1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK

1. MÁSODRENDŰ NYOMATÉK Gak 01 Mechanka. Szlárdságtan 016 01 Segédlet MECHNK. TNNYG SMÉTLÉSE Tartalom 1. MÁSODRENDŰ NYOMTÉK... 1. RÁCSOS TRTÓ.... GÉNYEVÉTEL ÁRÁK... 5. TÉREL TRTÓK GÉNYEVÉTEL ÁRÁ... 8 Ez a Segédlet a 015, 016

Részletesebben

5. Szerkezetek méretezése

5. Szerkezetek méretezése . Serkeeek méreeése Hajlío, ömör gerinű gerendaarók és oso selvénű nomo rúd méreeési példái..1. Tömör gerinű gerendaarók méreeése.1.1. elegen hengerel gerendaarók Sükséges ismereek: - Keresmesei ellenállások

Részletesebben

6. RUDAK ÖSSZETETT IGÉNYBEVÉTELEI

6. RUDAK ÖSSZETETT IGÉNYBEVÉTELEI RUK ÖZETETT GÉNYBEVÉTELE Tönkremeneteli elméletek a) peiális eset: a fesültségi tenornak sak eg eleme nem nulla (pl rudak egserű igénbevételeinél), ϕ tt nins probléma, mert a anagjellemők eekre a egserű

Részletesebben

Mechanika II. Szilárdságtan

Mechanika II. Szilárdságtan echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05 Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt

Részletesebben

alkalmazott hő-h szimuláci

alkalmazott hő-h szimuláci Buderus Rosenberg sakmai napok Visegrád, 008.május.6-7. A légtechnikai l fejlestések sek során alkalmaott hő-h és áramlástani simuláci ciós s eljárások Sekeres GáborG Okl.gépésmérnök Beeetés Numerikus

Részletesebben

Leggyakoribb fa rácsos tartó kialakítások

Leggyakoribb fa rácsos tartó kialakítások Fa rácsostartók vizsgálata 1. Dr. Koris Kálmán, Dr. Bódi István BME Hidak és Szerkezetek Tanszék Leggakoribb fa rácsos tartó kialakítások Változó magasságú Állandó magasságú Kis mértékben változó magasságú

Részletesebben

(5) Mit értünk a szilárdságtanban a dinamikán? A szilárdságtanban a dinamika leírja a terhelés hatására a testben fellépő belső erőrendszert.

(5) Mit értünk a szilárdságtanban a dinamikán? A szilárdságtanban a dinamika leírja a terhelés hatására a testben fellépő belső erőrendszert. SZÉCHENY STVÁN EGYETE ECHANKA - SZLÁRDSÁGTAN ALKALAZOTT ECHANKA TANSZÉK Elméleti kérdések és válasok egetemi alapképésben (BS képésben) réstvevő mérnökhallgatók sámára () i a silárdságtan tárga? A silárdságtan

Részletesebben

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek FI FÜGGELÉK: FI Vektorok és vektorműveletek MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ Skláris menniség: oln geometrii vg fiiki menniség melet ngság (előjel) és mértékegség jelleme Vektor menniség: iránított geometrii vg

Részletesebben

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok A végeselem módszer alapjai Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor 2. Alapvető elemtípusok - A 3D-s szerkezeteket vagy szerkezeti elemeket gyakran egyszerűsített formában modellezzük rúd, gerenda, 2D-s elemek,

Részletesebben

az eredő átmegy a közös ponton.

az eredő átmegy a közös ponton. M Műszaki Mechanikai Tanszék STTIK dr. Uj József c. egetemi tanár g közös ponton támadó koncentrált erők (centrális erőrendszer) Két erő eredője: = +, Több erő eredője: = + ++...+ n, az eredő átmeg a közös

Részletesebben

9. A RUGALMASSÁGTAN 2D FELADATAI

9. A RUGALMASSÁGTAN 2D FELADATAI 9 A UGALMASSÁGTAN D FELADATAI A D ( két dimeniós ) feladatok köös jellemői: - két skalár elmodulásmeő különöik nullától - minden mechanikai menniség két helkoordinátától függ 9 Sík alakváltoás (SA) a)

Részletesebben

Statika. Miskolci Egyetem. (Oktatási segédlet a Gépészmérnöki és Informatikai Kar Bsc levelez½os hallgatói részére)

Statika. Miskolci Egyetem. (Oktatási segédlet a Gépészmérnöki és Informatikai Kar Bsc levelez½os hallgatói részére) iskolci Egetem GÉPÉSZÉRNÖKI ÉS INORTIKI KR Statika (Oktatási segédlet a Gépésmérnöki és Informatikai Kar sc levele½os hallgatói résére) Késítette: Sirbik Sándor, Nándori riges ½usaki echanikai Intéet iskolc,

Részletesebben

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

VASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, 2001. május hó

VASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, 2001. május hó BUDAPEST MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Építőmérnöki Kar Hidak és Szerkezetek Tanszéke VASBETON LEMEZEK Oktatási segédlet v1.0 Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas Görg Budapest, 001. május

Részletesebben

ÁRAMLÁSTAN ALAPJAI. minimum tételek szóbeli vizsgához. Powered by Beecy

ÁRAMLÁSTAN ALAPJAI. minimum tételek szóbeli vizsgához. Powered by Beecy ÁRAMLÁSTAN ALAPJAI minimum tételek sóbeli isgáho Powered b Beec Minimum tételek sóbeli isgáho 1. tétel. Írja fel a foltonossági tétel integrál alakját, és magaráa el, milen fiikai alapelet feje ki. Hogan

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

ANALITIKUS MÓDSZER RÉSZLEGESEN KAPCSOLT, RÉTEGEZETT KOMPOZIT RUDAK SZILÁRDSÁGTANI FELADATAINAK MEGOLDÁSÁRA

ANALITIKUS MÓDSZER RÉSZLEGESEN KAPCSOLT, RÉTEGEZETT KOMPOZIT RUDAK SZILÁRDSÁGTANI FELADATAINAK MEGOLDÁSÁRA Multidisciplináris tudománok. kötet. () s. pp. 89-. ANALITIKUS MÓDSZER RÉSZLEGESEN KAPCSOLT RÉTEGEZETT KOMPOZIT RUDAK SZILÁRDSÁGTANI FELADATAINAK MEGOLDÁSÁRA Lengel Ákos Jósef Ecsedi István doktorandus

Részletesebben

MAGYAR SZABVÁNY MSZ EN 12354-6

MAGYAR SZABVÁNY MSZ EN 12354-6 4. augustus MGYR SZBVÁNY MSZ EN 1354-6 Épületakustika. Épületek akustikai minőségének beslése a elemek teljesítőképessége alapján 6. rés: Hangelnelés árt térben MSZ EN 1354-6 sabván 4. augustus 1-jén köétett

Részletesebben

1. Lineáris transzformáció

1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható

Részletesebben

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit. modul: Erőrendserek lecke: Erőrendserek egenértékűsége és egensúl lecke célj: tnng felhsnálój megsmerje erőrendserek egenértékűségének és egensúlánk feltételet Követelmének: Ön kkor sjátított el megfelelően

Részletesebben

2. Koordináta-transzformációk

2. Koordináta-transzformációk Koordnáta-transformácók. Koordnáta-transformácók Geometra, sámítógép graka feladatok során gakran van arra sükség, hog eg alakatot eg ú koordnáta-rendserben, vag a elenleg koordnáta rendserben, de elmogatva,

Részletesebben

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE. 5.1. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája TARTALOM 5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE... 7 5.. Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája... 7 5.. Koordináta transzformációk... 5... Forgatás... 5... R-P-Y szögek... 5... Homogén transzformációk...

Részletesebben

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 65 percre lesz szüksége.

Időszükséglet: A tananyag elsajátításához körülbelül 65 percre lesz szüksége. 4. modul: Rudak igénbevételei, igénbevételi ábrái 4.2. lecke: Igénbevételi ábrák, igénbevételi függvének lecke célja: tananag felhanálója megimerje: a rudak igénbevételi ábráit, megrajoláuk gondolatmenetét;

Részletesebben

7. Kétváltozós függvények

7. Kétváltozós függvények Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és

Részletesebben

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.

hajlító nyomaték és a T nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál. 5 RÚDELADATOK 51 íkgörbe rudk Grhof 1 -féle elmélete íkgörbe rúd: rúd köépvonl ( ponti ál) íkgörbe e P n e t Jelöléek: A köépvonl mentén pontokt ívkoordinátávl onoítjuk Pl P pont A P pontbn (P pontho trtoó

Részletesebben

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében DIMENZIÓK 35 Matematikai Közlemének III. kötet, 5 doi:.3/dim.5.5 Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében Horváth-Szováti Erika NME EMK

Részletesebben

Elektromágneses hullámok

Elektromágneses hullámok KÁLMÁN P.-TÓT.: ullámok/4 5 5..5. (kibőíe óraála) lekromágneses hullámok elekromágneses elenségek árgalásánál láuk, hog áloó mágneses erőér elekromos erőere (elekromágneses inukció), áloó elekromos erőér

Részletesebben

x = 1 egyenletnek megoldása. Komplex számok Komplex számok bevezetése

x = 1 egyenletnek megoldása. Komplex számok Komplex számok bevezetése Komplex sámok Komplex sámok beveetése A valós sámok körét a követkeőképpen építettük fel. Elősör a termésetes sámokat veettük be. Itt két művelet volt, a össeadás és a sorás (ismételt össeadás A össeadás

Részletesebben

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x. Mat. A3 9. feladatsor 06/7, első félév. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek típusát (eplicit-e vag implicit, milen rendű, illetve fokú, homogén vag inhomogén)! a) 3 (tg) +ch = 0 b) = e ln c)

Részletesebben

MEGVALÓSÍTHATÓSÁGI TANULMÁNY TARTALMI KÖVETELMÉNYEI

MEGVALÓSÍTHATÓSÁGI TANULMÁNY TARTALMI KÖVETELMÉNYEI MEGVALÓSÍTHATÓSÁGI TANULMÁNY TARTALMI KÖVETELMÉNYEI TARTALOMJEGYZÉK VEZETŐI ÖSSZEFOGLALÓ... 4 1. A PROJEKT LÉNYEGI ÖSSZEFOGLALÁSA... 5 2. HELYZETÉRTÉKELÉS... 6 2.1. A PROJEKT GAZDASÁGI, TÁRSADALMI ÉS KÖRNYEZETI

Részletesebben

A V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I

A V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I GÉPÉSZMÉRNÖKI, INFORMATIKAI ÉS VILLAMOSMÉRNÖKI KAR ALKALMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK A V É G E S E L E M M Ó D S Z E R M E C H A N I K A I A L K A LM A Z Á S A I Előadásvázlat a Multidiszciplináris Műszaki

Részletesebben

Lánctalpas szerkezetek különböző típusú irányváltó mechanizmusának kinematikai tárgyalása. Kari Tudományos Diákköri Konferencia

Lánctalpas szerkezetek különböző típusú irányváltó mechanizmusának kinematikai tárgyalása. Kari Tudományos Diákköri Konferencia Sapientia Erdélyi Magyar Tudományegyetem Műsaki és Humántudományok Kar Marosvásárhely Lánctalpas serkeetek különböő típusú irányváltó mechanimusának kinematikai tárgyalása Kari Tudományos Diákköri Konferencia

Részletesebben

FELÜLETI FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT MEGHATÁROZÁSA NYÚLÁSMÉRÉSSEL, ELMOZDULÁSMÉRÉS

FELÜLETI FESZÜLTSÉGI ÁLLAPOT MEGHATÁROZÁSA NYÚLÁSMÉRÉSSEL, ELMOZDULÁSMÉRÉS FLÜLTI FSZÜLTSÉGI ÁLLAPOT MGHATÁROZÁSA NYÚLÁSMÉRÉSSL, LMOZDULÁSMÉRÉS Lbortóriumi mérési gkorlt getemi mesterképésben (MSc) rést vevő mérnökhllgtók sámár Össeállított: Acél Ákos egetemi tnársegéd 1. Silárdságtni

Részletesebben

6.8. Gyorsan forgó tengelyek, csőtengelyek

6.8. Gyorsan forgó tengelyek, csőtengelyek 68 Gyorsan forgó tengelyek, csőtengelyek p y p S iinduló feltételeések: - állandó, - a súlyerő, - p p A silárdságtani állapotokat henger koordinátarendseren (H-en) írjuk le Forgás a gyorsulásól sármaó,

Részletesebben

Acélszerkezetek I. Gyakorlati óravázlat. BMEEOHSSI03 és BMEEOHSAT17. Jakab Gábor

Acélszerkezetek I. Gyakorlati óravázlat. BMEEOHSSI03 és BMEEOHSAT17. Jakab Gábor Acélszerkezetek I. BMEEOHSSI0 és BMEEOHSAT17 Gakorlati óravázlat Készítette: Dr. Kovács Nauzika Jakab Gábor A gakorlatok témája: 1. A félév gakorlati oktatásának felépítése. A szerkezeti acélanagok fajtái,

Részletesebben

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL

Kozák Imre Szeidl György FEJEZETEK A SZILÁRDSÁGTANBÓL Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 004 008 . FEJEZET tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések... Könapi tapastalat, hog a terméset jelenségei függetlenek a megfigelőtől. Várható tehát,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN 12. hét gyakorlati anyaga (kidolgozta : dr. Nagy Zoltán egy.adjunktus, Bojtár Gergely egy.tanársegéd)

MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN 12. hét gyakorlati anyaga (kidolgozta : dr. Nagy Zoltán egy.adjunktus, Bojtár Gergely egy.tanársegéd) ZÉHENY TVÁN EGYETE LKLZOTT EHNK TNZÉK EHNK-ZLÁRÁGTN 1. hét gakorlati anaga (kidolgota : dr. Nag Zoltán eg.adjunktus, ojtár Gergel eg.tanársegéd) 1.1 feladat : Primatikus rudak össetett igénbevételei (

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

9. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár.

9. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: dr. Nagy Zoltán egy. adjunktus; Bojtár Gergely egy. Ts.; Tarnai Gábor mérnöktanár. LKLZOTT EHNIK TNSZÉK 9 EHNIK-SZILÁRDSÁGTN GYKORLT (kidolgot: dr Ng Zoltán eg djunktus; ojtár Gergel eg Ts; Trni Gábor mérnöktnár) 9 Fjlgos núlás htároás núlásmérő béleggel érőeskö: 6 -os núlásmérő béleg

Részletesebben

2.2. A z-transzformált

2.2. A z-transzformált 22 MAM2M előadásjegyet, 2008/2009 2. A -transformált 2.. Egy információátviteli probléma Legyen adott egy üenetátviteli rendserünk, amelyben a üeneteket két alapjel mondjuk a és b segítségével kódoljuk

Részletesebben

Műszaki mechanika gyakorlati példák 1. hét: Közös ponton támadó erőrendszer síkban, kötélerők számítása

Műszaki mechanika gyakorlati példák 1. hét: Közös ponton támadó erőrendszer síkban, kötélerők számítása Műsaki mechanika gakorlati példák. hét: Köös ponton támadó erőrendser síkban, kötélerők sámítása. ábrán látható G = 22 N súlerejű lámpát fújja a sél. Ennek hatására a kötél a függőlegestől β = 2 -ban tér

Részletesebben

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika emelt szint 051 ÉRETTSÉGI VIZSGA 005.október 5. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások: A dolgozatot

Részletesebben

492 Lantos-Kiss-Harmati: Szabályozástechnika gyakorlatok. 7. Gyakorlat

492 Lantos-Kiss-Harmati: Szabályozástechnika gyakorlatok. 7. Gyakorlat 49 Lanos-Kiss-Harmai: Sabáloásechnika gakorlaok 7. Gakorla 7. anermi gakorla Idenifikációs algorimusok A korábbi gakorlaok során a sabáloási körben a sakas árvielé a legöbbsör adonak éeleük fel vag fiikai

Részletesebben

EGY KERESZTPOLARIZÁCIÓS JELENSÉG BEMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN

EGY KERESZTPOLARIZÁCIÓS JELENSÉG BEMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN Fiia Modern fiia GY KRSZTPOLARIZÁCIÓS JLNSÉG BMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN DMONSTRATION OF AN OPTICAL CROSS- POLARIZATION FFCT IN A STUDNT LABORATORY Kőhái-Kis Ambrus, Nag Péter 1 Kecseméti

Részletesebben

Cél: elsőrendű feladatukat ellássák (védelem a természeti hatások ellen) erőhatásokat biztonsággal viseljék gazdaságosak legenek Eges szerk. elemek an

Cél: elsőrendű feladatukat ellássák (védelem a természeti hatások ellen) erőhatásokat biztonsággal viseljék gazdaságosak legenek Eges szerk. elemek an MECHNIK I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmének fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vag teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anagi kár, emberáldozat 1 Cél: elsőrendű

Részletesebben

CAD-CAM-CAE Példatár

CAD-CAM-CAE Példatár CAD-CAM-CAE Példatár A példa megnevezése: A példa száma: A példa szintje: CAx rendszer: Kapcsolódó TÁMOP tananyag rész: A feladat rövid leírása: VEM Rúdszerkezet sajátfrekvenciája ÓE-A05 alap közepes haladó

Részletesebben

MŰSZAKI MECHANIKA II SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegyzéke a fogalmak felsorolása (2009/2010)

MŰSZAKI MECHANIKA II SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegyzéke a fogalmak felsorolása (2009/2010) MŰSZAKI MECHANIKA II SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegzéke a fogalmak felsorolása (2009/2010) Műszaki Mechanika II Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A másodrendű tenzor transzponáltjának

Részletesebben

ANTIANYAG-VIZSGÁLATOK A CERNBEN

ANTIANYAG-VIZSGÁLATOK A CERNBEN ANTIANYAG-VIZSGÁLATOK A CERNBEN Barna ániel KFKI RMKI, Budapest Universit of Toko, Japán Antianag A kvantumfiika egik nag eredméne a antirésecskék léteésének megjósolása volt. A irac által beveetett egenletnek,

Részletesebben

Megoldás: ( ) és F 2

Megoldás: ( ) és F 2 . példa Határoa meg F F F erıkbıl álló erırendser F eredıjét annak F nagságát és e iránvektorát valamint a talajban ébredı F 0 támastóerıt! F = 0 N; F = 0 N; F = 0 N! F F F F e e N F = 5.5880 N = F. =

Részletesebben

1. El szó. Kecskemét, 2005. február 23. K házi-kis Ambrus

1. El szó. Kecskemét, 2005. február 23. K házi-kis Ambrus . Elsó olgoat témájául solgáló utatásoat egrést még a buaesti Silártestfiiai Kutatóintéet munatársaént etem maj eg utatással fejlestéssel foglaloó magáncég (& Ultrafast asers Kft.) olgoójaént jelenleg

Részletesebben

Lepárlás. 8. Lepárlás

Lepárlás. 8. Lepárlás eárlás 8. eárlás csefolós elegek szétválasztására leggakrabban használt művelet a leárlás. Míg az egszeri leárlás desztilláció néven is ismerjük az ismételt leárlás vag ismételt desztillációt rektifikálásnak

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI. 1. Bevezetés

TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI. 1. Bevezetés TERMÉKTERVEZÉS NUMERIKUS MÓDSZEREI Dr. Goda Tibor egyetemi docens Gép- és Terméktervezés Tanszék 1. Bevezetés 1.1. A végeselem módszer alapjai - diszkretizáció, - szerkezet felbontása kicsi szabályos elemekre

Részletesebben

Példatár megoldások. æ + ö ç è. ö ç è. ö ç è. æ ø. = ø

Példatár megoldások. æ + ö ç è. ö ç è. ö ç è. æ ø. = ø Műsaki matematika I. Lineáris algebra pldatár s feladattár Ksítette a Centroset SakkpsServesi Nonprofit Kft. Pldatár megoldások. feladat megoldása Mivel s B típusa megegeik, a sseadás elvgehető s Z is

Részletesebben

Vasbetonszerkezetek II. STNA252

Vasbetonszerkezetek II. STNA252 Szilárdságtan és Tartószerkezet Tanszéke Vasbetonszerkezetek II. STNA5 Pécs, 007. november STNA5 Szerző: Kiss Rita M. Műszaki rajzoló: Szabó Imre Gábor ISBN szám: Kézirat lezárva: 007. november 30. STNA5

Részletesebben

Fizikai kémia 2. A newtoni fizika alapfeltevései. A newtoni fizika alapfeltevései E teljes. (=T) + E helyzeti.

Fizikai kémia 2. A newtoni fizika alapfeltevései. A newtoni fizika alapfeltevései E teljes. (=T) + E helyzeti. 06.07.0. Fiikai kémia.. A kvantummechanika alajai Dr. Berkesi Ottó SZTE Fiikai Kémiai és Anagtudománi Tanséke 05 A newtoni fiika alafeltevései I. Minden test megtartja mogásállaotát amíg valamilen erő

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

Növényi produkció mérése mikrometeorológiai módszerekkel. Ökotoxikológus MSc, 2015. április 21.

Növényi produkció mérése mikrometeorológiai módszerekkel. Ökotoxikológus MSc, 2015. április 21. Növényi prodkció mérése mikrometeorológiai módserekkel Ökotoikológs MSc, 015. április 1. Felsín légkör kölcsönhatások A legalapvetőbb kölcsönhatás a felsín és a légkör köött: a sél, és annak súrlódása

Részletesebben

Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról

Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról Néhán érdekes függvénről és alkalmazásukról Bevezetés Meglehet, a középiskola óta nem kedveltük az abszolútérték - függvént; most itt az ideje, hog változtassunk ezen. Erre az adhat okot, hog belátjuk:

Részletesebben

Acélszerkezeti mintapéldák az Eurocode szabványhoz,

Acélszerkezeti mintapéldák az Eurocode szabványhoz, Budapesi Műsaki Egeem Acélserkeeek Tansék Acélserkeei minapéldák a Eurocode sabvánho, angol nelvű minapéldák alapján Fordíoa: Hegedűs Krisián Javíoa: Dr. Iváni Miklós. javío váloa 999. május 5. . Eurocode

Részletesebben

Számítógépes grafika

Számítógépes grafika Halotán: a alkén-alogenidek caládjába tartoik: CF 3 CHCIBr. intéie a triklór-etilénből können megvalóítató, idrogén-flouriddal katalitiku körülmének köött, majd brómmal való evítéel. obaőmérékleten,868g/cm

Részletesebben

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,

Részletesebben

A rögzített tengely körül forgó test csapágyreakcióinak meghatározása a forgástengely ferde helyzete esetében. Bevezetés

A rögzített tengely körül forgó test csapágyreakcióinak meghatározása a forgástengely ferde helyzete esetében. Bevezetés A rögített tengel körül forgó test csapágreakcióinak meghatároása a forgástengel ferde helete esetében Beveetés A előő dolgoatokban nem esett só a forgástengel ferde heletének esetéről. Aokban a ábrák

Részletesebben

KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium

KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium válaszolására iránuló, még folamatban lévô (a dekoherencia és a hullámcsomag kollapszusa tárgkörökbe esô) elméleti próbálkozások ismertetésétôl. Ehelett inkább a kísérletek elôfeltételét képezô kvantumhûtés

Részletesebben

MŰSZAKI MECHANIKAII SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegyzéke a fogalmak felsorolása (2007/2008)

MŰSZAKI MECHANIKAII SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegyzéke a fogalmak felsorolása (2007/2008) MŰSZAKI MECHANIKAII SZILÁRDSÁGTAN A legfontosabb fogalmak jegzéke a fogalmak felsorolása (2007/2008) Műszaki Mechanika II Pontszám 1. A másodrendű tenzor értelmezése (2) 2. A másodrendű tenzor transzponáltjának

Részletesebben

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet!

9. osztály 1.) Oldjuk meg a valós számhármasok halmazán a következő egyenletet! HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MAEMAIKAVERSENY MEZŐKÖVESD Sóeli feldto és megoldáso ostál ) Oldju meg vlós sámhármso hlmán öveteő egenletet! ( pont) A egenlet l oldlát átlíthtju öveteőéppen: A l oldl egi tgj sem

Részletesebben

Reinforced Concrete Structures II. / Vasbetonszerkezetek II.

Reinforced Concrete Structures II. / Vasbetonszerkezetek II. Reinfoed Conete Stutues II. / Vasbetonsekeetek II. Couse I. / I. Előadás Reinfoed Conete Stutues II. I. Vasbetonsekeetek II. - Leeelélet - D. ovás Ie PhD tansékveető főiskolai taná E-ail: d.kovas.ie@gail.o

Részletesebben

Kettős és többes integrálok

Kettős és többes integrálok Kettős és többes integrálok ) f,) + + kettős integrálja az, tartománon Megoldás: + + dd 6 + 6 + 8 + 9 + ] + + ] d 8 + 8 + ) f,) sin + ) integrálja a, tartománon Megoldás: ] d + 9 + d + + 68 8 7,5 + sin

Részletesebben

2.2. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK EGYETEMI MÉRNÖKHALLGATÓK SZÁMÁRA

2.2. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK EGYETEMI MÉRNÖKHALLGATÓK SZÁMÁRA 2.2. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ÉS VÁLSZK EGYETEMI MÉRNÖKHLLGTÓK SZÁMÁR (1) Mi a mechanika tága? nagi endseek (testek) heletváltotatással jáó mogásainak és a eeket létehoó hatásoknak (e knek) a visgálata. heletváltoást

Részletesebben

Bevezetés. Bevezetés. Bevezetés. Történeti áttekintés. Bevezetés

Bevezetés. Bevezetés. Bevezetés. Történeti áttekintés. Bevezetés Beveetés Valós és képeletbeli objektumok (pl. tárgak képei, függvének) sintéise sámítógépes moelljeikből (pl. pontok, élek, lapok) Beveetés Történeti áttekintés Horoható softverek, sabvánok Interaktív

Részletesebben

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot 5 modul: Silárdságtai Állapotok 53 lck: A fsültségi állapot A lck célja: A taaag flhasálója mgismrj a fsültségi állapot fogalmait valamit mg tudja határoi g lmi pot körték fsültségi állapotát Kövtlmék:

Részletesebben

Cikloisgörbék ábrázolása. Az ábrázoló program számára el kell készítenünk az ábrázolandó függvényt. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!

Cikloisgörbék ábrázolása. Az ábrázoló program számára el kell készítenünk az ábrázolandó függvényt. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! Cikloisgörbék ábrázolása Bevezetés A forgó főmozgású szerszám ( pl. galukés, marószerszám ) élének pontjai rendszerint hurkolt cikloisgörbéket írnak le, a munkadarabhoz képest. Ez eg igen fontos tén, mert

Részletesebben

Acélszerkezetek. 2. előadás 2012.02.17.

Acélszerkezetek. 2. előadás 2012.02.17. Acélszerkezetek 2. előadás 2012.02.17. Méretezési eladat Tervezés: új eladat Keresztmetszeti méretek, szerkezet, kapcsolatok a tervező által meghatározandóak Gazdasági, műszaki, esztétikai érdekek Ellenőrzés:

Részletesebben

TERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22.

TERMÉKSZIMULÁCIÓ. Dr. Kovács Zsolt. Végeselem módszer. Elıadó: egyetemi tanár. Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás március 22. TERMÉKZIMULÁCIÓ Végeselem módszer Termékszimuláció tantárgy 6. elıadás 211. március 22. Elıadó: Dr. Kovács Zsolt egyetemi tanár A végeselem módszer lényege A vizsgált, tetszıleges geometriai kialakítású

Részletesebben

A flóderes rajzolatról

A flóderes rajzolatról A flóderes rajolatról Beveetés Ebben a dolgoatban vagy talán több ilyenben is at a célt igyeksünk megvalósítani, hogy matematikailag leírjuk a faanyag úgyneveett flóderes, más néven lángnyelv alakú rajolatát.

Részletesebben

Statika. Armuth Miklós, Karácsonyi Zsolt, Bodnár Miklós. Nyugat-magyarországi Egyetem TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0067

Statika. Armuth Miklós, Karácsonyi Zsolt, Bodnár Miklós. Nyugat-magyarországi Egyetem TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0067 ! Nugat-magarországi Egetem Armuth Miklós, Karácsoni Zsolt, Bodnár Miklós Statika Műszaki metaadatázis alapú fenntartható e-learning és tudástár létrehozása TÁMOP-4.1..A/1-11/1-011-0067 GSPulisherEngine

Részletesebben

GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA

GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA 57. ÉVFOLYAM 5 5. SZÁM A Eötvös-nga mérések geodéa célú hasnosításának helete Magarorságon Dr. Völges Lajos egetem docens,, dr. Tóth Gula egetem docens, dr. Csapó Géa saktanácsadó

Részletesebben

időpont? ütemterv számonkérés segédanyagok

időpont? ütemterv számonkérés segédanyagok időpont? ütemterv számonkérés segédanyagok 1. Bevezetés Végeselem-módszer Számítógépek alkalmazása a szerkezettervezésben: 1. a geometria megadása, tervkészítés, 2. műszaki számítások: - analitikus számítások

Részletesebben

BMEEOHSAT17 segédlet a BME Építőmérnöki Kar hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése

BMEEOHSAT17 segédlet a BME Építőmérnöki Kar hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése EURÓPAI UNIÓ STRUKTURÁLIS ALAPOK A C É L S Z E R K E Z E T E K I. BMEEOHSAT17 segédlet a BME Építőmérnöki Kar hallgatói részére Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi ejlesztése HEFOP/004/3.3.1/0001.01

Részletesebben

PMSTNB 260 segédlet a PTE PMMK építő mérnök hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése

PMSTNB 260 segédlet a PTE PMMK építő mérnök hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése EURÓPAI UNIÓ SRUKURÁLIS ALAPOK V É G E S E L E M E S M O D E L L E Z É S PMSNB 6 segédlet a PE PMMK építő mérnök hallgatói részére Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése

Részletesebben