A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A VÉGESELEM-MÓDSZER ALAPJAI"

Átírás

1 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI

2 A projekt címe: Egségesített Jármű- és mobilgépek képés- és tananagfejlestés A megvalósítás érdekében létrehoott konorcium réstvevői: KECSKEMÉI FŐISKOA BUDAPESI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGUDOMÁNYI EGYEEM AIPA AFÖDI IPARFEJESZÉSI NONPROFI KÖZHASZNÚ KF. Fővállalkoó: EVICE KF.

3 Budapesti Műsaki és Gadaságtudománi Egetem Kölekedésmérnöki Kar Írta: VÖRÖS GÁBOR FORBERGER ÁRPÁD ektorálta: BORBÁS AJOS A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Egetemi tananag 0

4 COPYRIGH: 0-07 Dr. Vörös Gábor Forberger Árpád Budapesti Műsaki és Gadaságtudománi Egetem Kölekedésmérnöki Kar EKORÁA: Dr. Borbás ajos Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) A serő nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal sabadon másolható terjesthető megjelentethető és előadható de nem módosítható. ISBN KÉSZÜ: a pote Kiadó gondoásában FEEŐS VEZEŐ: Votisk Zsusa ÁMOGAÁS: Késült a ÁMOP-4...A/-0/ sámú Egségesített jármű- és mobilgépek képés- és tananagfejlestés című projekt keretében. KUCSSZAVAK: Rugalmasságtan alapegenletei virtuális munka elve alakváltoási energia végeselem módser merevségi mátri tömegmátri geometriai merevség rácsos serkeet rúdelemek másodrendű rúdelmélet síkfeladatok. ÖSSZEFOGAÁS: A elmúlt évtiedekben a végeselem módser (VEM) a mérnöki terveés modelleés és a simuláció nélkülöhetetlen esköe lett. E a jeget elsősorban a alapképésben (BSc) rést vevőknek sól eért a feltételeett előtanulmánok a statika silárdságtan dinamika a matematikai analíis alapjai köönséges és parciális differenciál egenletek továbbá a mátrisámítás. A elméleti megalapoó beveető fejeetek röviden bemutatják a lineáris rugalmasságtan lokális és globális modelljeit a rugalmasságtani alapegenleteket és a virtuális munka elvét és végeselem módser elmodulás módser alapgondolatát a legfontosabb menniségek elemmátriok leveetését. A jeget résletesen tárgalja a mérnöki gakorlatban fontos rúd véges elemeket a síkbeli rácsos serkeeteknél alkalmaott csuklós végpontú elemet és a hajlított gerenda elemet. öbb kidolgoott sámpélda segíti a végeselem eljárás algoritmusának és a különböő analíisek statika dinamika stabilitás megismerését és megértését. A áró fejeet a síkfeladatok végeselem modelleési lehetőségeit ismerteti. A jeget végén található függelék a végeselem algoritmusokban alapvetően fontos mátrisámítási ismereteket foglalja össe. Célunk a mérnöki elsősorban a járműmérnöki területen tevékenkedő elméletileg jól felkésült végeselem softver felhasnálók kiképése.

5 artalom Beveetés... 7 Fontosabb menniségek jelölése...0 A rugalmasságtan alapegenletei.... okális egenletek..... Alakváltoások geometriai egenletek Fesültségi állapot egensúli egenletek Anagtörvén Peremfeltételek okális egenletek össefoglalása Példa: Sík leme mogása.... Globális modell a virtuális munka elve Példa: Raklap terhelése Példa: Rugalmas kötél lehajlása Példa: áncrendser mogásegenlete Silárd test alakváltoási energia növekméne A virtuális munka elve A teljes potenciál sélsőérték elve Kedeti fesültségi állapot Rúdelemek egenletei A Euler Bernoulli rúdelmélet A virtuális munka elve A Raleigh-Rit módser Példa: Rúd megosló terheléssel Dinamikai feladatok sabad lengések Példa: Hajlító lengés Nomott rúdelemek kihajlása Példa: Egenes rúd kihajlása Példa: A másodrendű elmélet A imoshenko féle rúdelmélet Példa: Nírási elmodulás A níró terület A St Venant féle csavarási modell Csavarási másodrendű nomaték A csavaró/níró köéppont A virtuális munka elve A végeselem-módser egenletei Elemek mátriok Interpoláció Elem mátriok Kinematikai peremfeltételek ámaserők és belső erők sámítása Végeselem analíis ineáris statika...75 Forberger Árpád Vörös Gábor BME

6 6 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI 4.. Másodrendű statika Kritikus terhelés Sabad lengések sajátfrekvenciák Másodrendű dinamika Gerjestett mogások Rúdserkeetek végeselem modelljei Csuklós végpontú rúdelem Elem mátriok Síkbeli rácsos serkeet Példa: Síkbeli rácsos serkeet Hajlított rúdelem Elmodulás interpoláció Elem mátriok A rúdelem igénbevételei Példa: Statikus terhelés Példa: Kritikus terhelés Példa: Sabad lengések Síkbeli rúdserkeet Példa: Keret hőterhelése A imoshenko rúdelem A St Venant féle csavarási modell érbeli keretserkeet ransformációk... 6 Síkfeladatok Síkfesültségi állapot Sík alakváltoási állapot Síkfeladatok végeselem modelljei ineáris háromsögelem Példa: Sík leme peremterhelése ineáris négsög elem Magasabbrendű elemek Háromsög elemek Négsög elemek A. Függelék Mátrisámítás Forberger Árpád Vörös Gábor BME

7 Beveetés A elmúlt évtiedekben a végeselem módser (VEM) a modelleés és a simuláció nélkülöhetetlen esköe lett. E a jeget elsősorban egetemi hallgatóknak sól de gakorló mérnököknek is hasnos és a lineáris mechanikai rendserekre alkalmaható módser egséges és résletes leírását adja. A rugalmasságtani alapelvek és a elméleti háttér ismertetésének célja a hog a olvasók nag bitonsággal hasnálják értékeljék és minősítsék a kereskedelmi forgalomban beserehető végeselem eljárást is alkalmaó programrendsereket. A elmúlt köel két évsáad során a klassikus mechanika területén több a mérnöki gakorlatban hasnálható numerikus eljárást dolgotak ki. Eek eg csoportja a lokális egenletek a kontinuum viselkedését leíró parciális differenciálegenlet rendserek követlen megoldására solgált mint például a véges differencia módser. A numerikus eljárások eg másik rése a globális elvek a energetikai sélsőérték - stacioner érték - elvek direkt megoldását een belül a Raleigh-Rit módser különböő válfajait alkalmata. Een módserek alkalmaása a bonolultabb alakú testek alkatrések esetén igen komol nehéségekbe ütköik. A végeselem eljárás alapgondolatát a foltonos rendsereknek a diskrét véges sabadságfokú elemek rendserével történő helettesítését már régóta hasnálják a fiikai és mérnöki feladatok numerikus megoldására. Erre jellemő példa a egenes rudakból álló tartóserkeetek visgálati módsere ami többek köött Mawell (864) Castigliano (879) vag Mohr (868) munkáságának rése. A legelső ismert publikáció ami a bonolult tartománok réstartománokra bontását aokon belül pedig lineáris interpolációt és a energetikai sélsőérték elveket egütt alkalmata Cuorant (943) nevéhe fűődik aki a nem kör kerestmetsetű rudak sabad csavarási feladatát a potenciális energia sélsőérték elve alapján visgálta úg hog a tetsőleges alakú kerestmetsetet olan háromsög réstartománokra bontotta meleken belül a megoldás lineárisan váltoik. A minőségi váltoás feltételeit a digitális sámítástechnikai esköök fejlődése és séleskörű elterjedése tette lehetővé. A végeselem módsert a ma ismert formájában Clough urner és serőtársaik [] publikálták. (956 Boeing and Bell Aerospace) Náluk jelentek meg elősör a végeselem (finite element) csomópont (node) és csomóponti váltoó fogalmak és kifejeések is. A első alkalmaás kifejlestésének célja repülőgép sárnserkeetek dinamikai és silárdsági visgálata volt. A módser nilvánvaló sikere és hatékonsága továbbá a sámítástechnikai esköök fejlődése intenív kutatásokat indított be aminek eredméneként ma már a végeselem eljárást a mérnöki fiika legkülönböőbb területein hasnálják alkalmas többek köött lineáris és nemlineáris mechanikai áramlástani hőtechnikai akustikai jelenségek modelleésére időben állandó vag traniens folamatok simulációjára. Matematikusok tistáták a eljárás konvergenciájával pontosságával kapcsolatos problémákat és eel egütt több ma már klassikusnak sámító könv jelent meg mint például Forberger Árpád Vörös Gábor BME

8 8 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Zienkiewic [8] és Premieniecki [5] művei amelek még ma is korserűnek és hasnosnak bionulnak. A 980-as években megjelentek a első magar nelvű [0] [4] [5] egetemi jegetek és sakkönvek is. Mindeek eredméneként napjainkra a mérnöki terveő - elemő munka résévé váltak a végeselem eljárást valamilen sinten alkalmaó softverek. Eek köött vannak a sok elemtípust és analíis lehetőséget tartalmaó általános célú végeselem programrendserek melek a legkülönböőbb mérnöki feladatok megoldására is alkalmasak (NASRAN ANSYS MARC COSMOS ABACUS stb.). Igen hasnosak a serkeettípusra orientált rendserek melekkel csak eg féle serkeetet például ipari csőveetékeket (CAEPIPE) vag acél vasbeton váserkeeteket (FemDesign AXIS) lehet terveni visgálni. A kereskedelmi forgalomban beserehető progranrendserek megbíható intelligens hasnálatáho és a kisámított eredmének értékeléséhe a rendser keelésének ismeretén túl alapos saktudásra is sükség van aminek hiánában a felhasnálónak a softver csak eg árt titokatos dobo. A végeselem eljárást eredetileg serkeetek mechanikai visgálatokho alkalmaták és ebben a jegetben is a lineáris rugalmasságtani feladatokon kerestül mutatjuk be a módser elemeit. A jeget elsősorban a alapképésben (BSc) rést vevőknek sól eért a feltételeett előtanulmánok a statika silárdságtan dinamika a matematikai analíis alapjai köönséges és parciális differenciál egenletek továbbá a mátrisámítás. A beveetést követő első fejeet röviden bemutatja a lineáris rugalmasságtan lokális és globális modelljeit a rugalmasságtani alapegenleteket és a virtuális munka elvét. Ennek csak a a célja hog a előtanulmánok során megserett ismereteket egséges sóhasnálat és jelölésrendser alkalmaásával felidéük. A második fejeet résletesebben foglalkoik a járműserkeetekben fontos rúdelméletekkel a mérnöki gakorlatban általánosan hasnált Euler-Bernoulli elmélettel a nírás hatását pontosabban leíró imoshenko féle rúdmodellel. Ugane a fejeet résletei és több numerikus példával illustrálja a virtuális munka elvének egik köismert direkt numerikus megoldási módserét a Raleigh-Rit módsert. Eek a megoldott feladatok segíthetik a virtuális munka elvének és a direkt numerikus módserek - beleértve a végeselem eljárást is - matematikai hátterének megértését. A harmadik fejeet a virtuális munka elvére alapuló végeselem módser - elmodulás módser - alapgondolatát a legfontosabb menniségek elemmátriok bemutatását és leveetését foglalja össe. A negedik fejeet a rúdserkeetek végeselem modelleését ismerteti. Résletes leírás található a síkbeli rácsos serkeeteknél alkalmaott csuklós végpontú elemről valamint a hajlított gerenda elemről. öbb kidolgoott sámpélda segíti a végeselem eljárás algoritmusának és a különböő analíisek - statika dinamika stabilitás - megismerését. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

9 . BEVEZEÉS 9 A ötödik fejeet a síkfeladatok végeselem modelleési lehetőségeit ismerteti. A jeget végén található függelék a végeselem algoritmusokban alapvetően fontos mátrisámítási ismereteket foglalja össe. öbb kidolgoott feladat és a sok ábra támogatja a bemutatott elméletek megértését és a alkalmaási késség fejlestését mivel eg jó ábra felér több sá magaráó sóval. E a jeget nem eg enciklopédia ami a végeselem módser keretében hasnálatos vag ismert technikákat résletesen ismerteti továbbá nem cél a végeselem programfejlestői ismeretek átadása. Célunk a mérnöki elsősorban a járműmérnöki területen tevékenkedő elméletileg jól felkésült softver felhasnálók kiképése. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

10 0 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Fontosabb menniségek jelölése A rúdelem kerestmetsete C rúd kerestmetset köéppontja C rugalmas anag jellemőinek mátria E rugalmassági modulus G csústató rugalmassági modulus G nag alakváltoások másodfokú rése H nag alakváltoások mátria I I rúd kerestmetset fő másodrendű nomatékok J csavarási másodrendű nomaték K rendser lineáris merevségi mátria k e K G M m e M t M M N N i N p P p p q elem lineáris merevségi mátria rendser geometriai merevségi mátria rúdelem hossa rendser tömegmátria elem tömegmátria rúd csavaró igénbevételei rúd hajlító igénbevételei rúd húó igénbevétele interpolációs (forma) függvének interpolációs (forma) függvénmátri felületi terhelés rendser csomóponti terhelések mátria megosló terhelés térfogati megosló terhelés kerestmetset níró/csavaró köéppontja transformáció mátria Forberger Árpád Vörös Gábor BME

11 . BEVEZEÉS U alakváltoási energia u elmodulás mátri u v w rúd tengel elmodulásai u u u elmodulás koordináták V V rúd níró igénbevételei W k külső erők munkája csavaró/níró köéppont koordináták kritikus (stabilitásvestési) terhelés soró níró fesültségek 0 σ kedeti fesültségek mátria γ γ γ Δ i Δ Δ G ε ε * ε ε ε θ θ θ ξ Π ρ σ σ σ σ Φ j ω j fajlagos sögváltoások csomóponti sabadságfokok mátria hőmérséklet váltoása Hőmérsékletváltoás gradiense kis alakváltoások mátria nem mechanikai hatásokból követkeő alakváltoás fajlagos núlások forgás koordináták dimeniótlan hoss koordináta teljes potenciál tömegsűrűség fesültségek mátria normál fesültségek sajátvektorok (lengéskép stabilitásvestés alakja) sajátfrekvenciák Forberger Árpád Vörös Gábor BME

12 A rugalmasságtan alapegenletei Ebben a fejeetben bemutatjuk a lineáris rugalmasságtan alapvető menniségeit és röviden össefoglaljuk a alapegenleteket. A klassikus rugalmasságtannal résletesen foglalkoó könvekből további fontos résleteket lehet megismerni érdemes megemlíteni például a jól ismert imoshenko - Goodier [6] vag a magar nelvű [0] [3] könveket. A külső terhelés hatására a silárd test moog és megváltotatja a alakját et jellemi a elmodulás vektor és a alakváltoások. Uganakkor kialakul a belső erőrendser a fesültségi állapot. A mechanikai sámítások célja hog meghatároa een menniségek a terhelések és a elmodulás alakváltoás és fesültségi állapot kapcsolatát. A külső terhelés lehet statikus időben állandó vag nagon lassan váltoó kváistatikus. Gorsan váltoó terhelés hatására a serkeeti válasok - mogás fesültségek stb. - is időben váltonak et neveük dinamikai hatásnak. A test mogása a alakváltoás mértéke jellege függ a anagi tulajdonságoktól. A test rugalmas ha a külső terhelések megsüntetése után aonnal vissaneri eredeti alakját és lineárisan rugalmas ha terhelés és a alakváltoás visona eg lineáris aránossággal írható le. A képléken alakváltoások jellemője hog a serkeet tehermentesítése után maradó alakváltoásokat éslelhetünk. ovábbi fontos anagtulajdonság a aniotrópia. A test aniotrop ha eg pontban a anagjellemők különböő iránokban mérve váltonak. A kompoit sálerősítésű anagok a fa jellemően aniotrop tulajdonságúak. A iotóp testeknél a anagjellemők irántól függetlenek. Ha a anagjellemők a test különböő pontjaiban aonosak akkor a test homogén ellenkeő estben inhomogén. Eg kontinuummechanikai feladat matematikai modelljét két módon lehet megfogalmani: parciális differenciálegenletekkel vag globális érvénű határoott integrál formájú elvek alakjában. A előbbit lokális (angolul strong form) a másodikat globális (angolul weak form) matematikai modellnek nevehetjük. A globális modell alapvető fontosságú a numerikus módserek een belül a végeselem módser alkalmaásánál. E a jeget a lineárisan rugalmas homogén és iotrop anagú kismértékű mogásokat és kis alakváltoásokat végő serkeetekkel foglalkoik.. okális egenletek Ebben a fejeetben röviden áttekintjük a silárd test mogásának leírására alkalmas lokális formájú egenleteket. A lokális egenletek algebrai és parciális differenciál egenletek melek eg anagi pont kis körneetének mechanikai viselkedését alakváltoását fesültségi állapotát írják le. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

13 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 3 0 t A p t A u r V P q p u P. ábra. A silárd test terhelései és mogása A visgált silárd test - kontinuum - a tér V rését foglalja el. Külső A felületének A p résén a felületi p megosló terhelések a A u jelű résén pedig a mogás kénserfeltételek adottak. A mechanikai terhelések - a p felületi és a q térfogaton megosló terhelések valamint egéb külső hatások (pl. hőmérsékletváltoás) követketében a test pontjai elmodulnak alakja megváltoik és belső erők jönnek létre... Alakváltoások geometriai egenletek Eg P anagi pont elmodulását a eredeti heletéhe visonítva a u elmodulás vektorral adhatjuk meg aminek a koordináta tengelek iránába mutató komponensei u u és u (. ábra). Általában eek a koordináták a anagi pont eredeti heletét megadó térkoordináták és a idő függvénei: u(t): u u u u (0.) A áttekinthetőség kedvéért kedjük a alakváltoások visgálatát a síkban történő mogás elemésével. A.. ábrán jelölt OABC pontok elmodulnak és a deformált anagi elem sarokpontjainak új helete O A B C les. A alakváltoás a somsédos anagi pontok köötti távolságok és a sögek váltoását jelenti. A mérnöki gakorlatban hasnálatos fajlagos núlás definíciója hossváltoás ds d ds (0.) ere det i hoss d d Forberger Árpád Vörös Gábor BME

14 4 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI d C O B A u d d u α O C u d d u d α A B u d u d. ábra. Elemi kocka alakváltoása A γ fajlagos sögváltoás a eredetileg merőleges ds és ds anagi vonalelemek köötti sög megváltoása (a. ábrán γ = α + α ) ami poitív ha a deformált alakaton a sög hegessög les. A áttekinthetőség kedvéért kedjük a elmodulások és a alakváltoás jellemők visgálatát a síkban történő mogás elemésével. A. ábrán jelölt OABC pontok elmodulnak és a deformált anagi elem sarokpontjainak új helete O A B C les. A eredetileg d hossúságú O A sakas hossa: u u u ds u u ds d d d d majd felhasnálva a fajlagos núlás (0.) definícióját u u u Ha a fajlagos núlás kicsi akkor a baloldalon a másodrendű tag nagságrendi megfontolás alapján elhagható és ekkor u u u.. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

15 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 5 Ha a elmodulás vektor koordinátái és a deriváltjai is kicsik akkor a másodfokú tagokat a jobb oldalon is elhaghatjuk: u. Most sámítsuk ki a eredetileg merőleges d és d iránok köötti deréksög megváltoását! A. ábra jelöléseivel: sin sin sin cos sin cos u d u d u d u d ds ds. ds ds Ismét felhasnálva a fajlagos núlás (0.) és a fajlagos sögváltoás definícióit átrendeés után: sin u u u u u u. Ha a fajlagos núlások és a sögváltoások is kicsik akkor a másodrendű tagok a egenlet bal oldalán elhanagolhatóak u u u u u u továbbá ha a elmodulás koordináták és deriváltjaik is kicsik akkor a másodfokú tagokat a jobb oldalon is elhaghatjuk: u u. Eek után ha a.. ábrán a síkra merőleges u elmodulással is sámolunk belátható hog a hat alakváltoási jellemő - három iránú núlás és három sögváltoás - a úgneveett Green-agrange féle H alakváltoások tenorának koordinátái a követkeő formában írhatók fel: ahol ε a alakváltoások lineáris H ε G (0.3) Forberger Árpád Vörös Gábor BME

16 6 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI ε u u u u u u u u u és G a quadratikus rése: (0.4) G G G G G G G G G G u u u u u u u u u G u u u u u u u u u G (0.5) u u u u u u G u u u Mérnöki serkeeteknél ha a fajlagos núlások nagságrendje 0-3 vag még kisebb akkor a (0.3) geometriai egenletekből a másodfokú tagok elhaghatók H ε (0.6) A (0.3) H és a (0.4) ε alakváltoási jellemők fontos tulajdonsága hog értékük érus ha a test ugan moog de alakja köben nem váltoik. Et neveük merevtest (serű) mogásnak. A (0.) definícióval a alakváltoási jellemőket a kedeti állapotho (konfigurációho) tartoó és térkoordinátákkal és a kedeti méretekhe visonítva határouk meg. Et a kontinuummechanika agrange féle a leírás módjának neveik semben a Euler féle leírással ahol a alakváltoásokat a anagi pont pillanatni heletét megadó koordinátákkal és a deformált méretekhe visonítva adjuk meg. E utóbbi eljárás elsősorban a foladékmechanikában hasnálatos. Kis alakváltoások estén a kedeti és a pillanatni konfiguráció jó köelítéssel egbeesik és a (0.5) lineáris geometriai egenletet hasnálhatjuk... Fesültségi állapot egensúli egenletek A külső terhelések hatására a testben belső erőrendser fesültségi állápot alakul ki amit eg anagi pont körneetében kilenc - amiből hat különböő - fesültség komponens ad meg. A.3. ábrán láthatóak eg elemi méretű kiskocka három koor- Forberger Árpád Vörös Gábor BME

17 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 7 dináta síkokkal párhuamos oldallapjaira ható fesültségek a síkra merőleges normál és a páronként aonos síkban lévő níró fesültségek..3 ábra. Fesültségi állapot koordinátái A testből bármilen módon kivágott elemi résre a egensúl feltétel teljesül. A.3 ábrán látható kiskocka köepén átmenő tengelekre felírható nomatéki egensúli feltételek követkeméne a níró fesültségek dualitása: = = =. A kilenc fesültség koordináta köül a hat különböőt írjuk fel a követkeő mátri formában: σ (0.7) A iránú vetületi egensúli egenlet a.4 ábra jelöléseivel ahol a d d és d oldalméretű elemi test oldallapjaira csak a iránú fesültség komponenseket és a q térfogati erőhatást rajoltuk be a követkeő formában írható fel: ddd d dd d dd qddd 0 q 0. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

18 8 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI d d τ σ d d q d τ d.4 ábra. Elemi kocka egensúla A másik két vetületi egenlet hasonló módon írható fel. Végül a három vetületi egensúli egenlet a q térfogaton megosló erővel egütt a követkeő les: q 0 q 0 q 0. (0.8) Gorsan mogó testek visgálatánál a terhelések köött figelembe kell venni a tehetetlenségi erőket is. A d Alambert elv serint a statikai egensúli feltételek formálisan érvénesek maradnak ha a testre ható erőrendsert kiegésítjük a tehetetlenségi erőkkel. Például eg mogó m tömegű pontserű testre F ma = 0 a formális egensúli egenlet ahol a jelöli a gorsulást. Ennek megfelelően dinamikai feladatokho a (0.8)egenletben a testre ható erőrendsert ki kell egésíteni a térfogaton megosló tehetetlenségi erővel: q u qu q u (0.9) q u ahol ρ a test tömegsűrűsége és ü a elmodulás idő serinti második deriváltja a gorsulás vektor. Mogás köben a test mérete váltoik. A kedeti alakváltoás előtti felületekre vonatkotatott fesültségek a úgneveett II. Piola-Kirchhoff féle fesültségtenor koordinátái ami általában eltér a mogás köben váltoó felületre vonatkotatott Forberger Árpád Vörös Gábor BME

19 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 9 valódi fesültségektől. Aonban ha a mogások és a alakváltoások kicsik és a (0.5) köelítés alkalmaható a kétféle fesültség értelmeés köötti eltérés is elhanagolható. A alakváltoási és fesültségi állapot pontos leírásának módjairól résletesebb leírás található a [6] [0] [] és [3] könvekben...3 Anagtörvén A anagtörvén a fesültségek és a alakváltoások köötti kapcsolatot adja meg. Rugalmas testre e a kapcsolat egértékű. ineárisan rugalmas testek anagtörvéne a Hooke törvén ami a kis alakváltoások esetén a követkeő lineáris mátri egenlet formájában írható fel: * * * * * σ Cεε Cεσ C * (0.0) * * A C eg simmetrikus 66 méretű mátri ami at jelenti hog a legáltalánosabb aniotrop tulajdonságú rugalmas testnek anagjellemője lehet. A iotóp rugalmas testnek csak két független anagjellemője van és ekkor a C anagjellemő mátri is egserűbb serkeetű: c c c E c c c c c c c E C c c3 0 0 (0.) c3 0 E c3 G c3 ahol E a rugalmassági modulus G a csústató rugalmassági modulus és ν a Poisson vag kontrakciós téneő. Érdemes megemlíteni hog össenomhatatlan testekre ν = 05 és ilenkor mindig (ε + ε + ε ) = 0. A (0.0) anagtörvén invere: Forberger Árpád Vörös Gábor BME

20 0 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI * ε C σ ε ν ν ν ν ν ν b ν E b b b C Egserűen ellenőríhető hog C - C = I ahol I a 66 méretű egségmátri. (0.) A (0.0) anagtörvénben ε * a nem követlen mechanikai hatások követketében kialakuló alakváltoások mátria. Ilen lehet például a hőmérsékletváltoásból vag valamilen más technológiai okból - sáradás fáisátalakulás stb. - bekövetkeő alakváltoás. Iotrop minden iránban aonos hőtágulási tulajdonság esetén * ε (0.3) ahol α a lineáris hőtágulási egüttható és Δ a test hőmérsékletének váltoása...4 Peremfeltételek A mechanikai egenletek fontos elemei a peremfeltételek. A testet határoló külső A felület minden pontjában meg kell adni vag a mogások vag a felületi terhelések értékét. A peremfeltételek heles megadása a modellalkotás egik legfontosabb rése. A kinematikai peremfeltételekkel a A felület A u résén a test megtámastását esetleg a eges felületrések előírt mogását adjuk meg: u u u u u u u u P A. (0.4) u A felüljelés előírt mogás értéket jelent. Rögített pontokban vag felületréseken a előírt értékek érusok. A dinamikai peremfeltételek a test külső A felületének A p résére működő terhelések és a belső erőrendser a fesültségi állapot kapcsolódásának törvénserűséget írják le. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

21 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI c n -τ p a -τ -σ.5 ábra. etraéder egensúla A.5 ábrán a A p felületen lévő anagi pont körneetét ábráoltuk ahol a tetraéder ferde oldallapja a A p felület rése. Jelölje a koordinátatengelekre merőleges oldalak és a negedik oldal területét n pedig a negedik oldal kifelé mutató normális egségvektorát: bc ac ab n / n n / n =. n / Eek a össefüggések egserű geometriai sámításokkal igaolhatóak. A tetraédernek a test belsejében lévő felületeire a fesültség komponensek a A p felületen lévő oldalára pedig a p felületi terhelés működik. Írjuk fel a iránú erőhatások egensúlát kifejeő vetületi egenletet: p 0. Átrendeés után figelembe véve a n normális vektor koordinátáira felírt eredméneket is megkapjuk a alábbi három dinamikai peremfeltétel köül a elsőt ahol a további két feltételt - a és iránú egensúli egenletekből - hasonló módon írhatjuk fel: b n n n p n n n p n n n p. (0.5) A test terheletlen sabad felsíne a A p felület rése ahol a előírt külső terhelés p = 0. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

22 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI..5 okális egenletek össefoglalása Amint at a előőekben láthattuk a kontinuummechanika és een belül a lineáris rugalmasságtan lokális egenleteit három csoportba sorolhatjuk: a (0.4) geometriai egenletek a alakváltoások és a test mogásának kapcsolatát adják meg a Newton aiómából követkeő (0.7) egensúli egenletek vag mogásegenletek a külső és belső erők kapcsolatát írják le és a harmadik egenlet csoport a fesültségek és alakváltoások kapcsolata a anagtörvén (0.9). Eekhe tartonak még a (0.) és (0.3) peremfeltételek. Általában eg serkeetmechanikai feladat megoldásáho mind a három egenletcsoportot fel kell hasnálni. (Kivételnek sámítanak a statikailag határoott feladatok ahol a egensúli egenletek önmagukban elegendőek a külső és belső erők köötti össefüggések felírásáho) A alábbi tábláatból látsik hog a lokális megfogalmaásban a ismeretlenek és egenletek darabsáma aonos. Egenletek sáma Ismeretlenek sáma Geometriai egenletek 6 Elmodulás vektor u u u Alakváltoási tenor ε ε ε γ γ γ 3 6 Egensúli egenletek 3 Fesültségi tenor 6 Anagtörvén 6 Össesen 5 5 A pontos megoldást amel a össes egenletet és peremfeltételt kielégíti a mérnöki gakorlatban előforduló esetek döntő résénél nem lehet meghatároni. Ilenkor van sükség a köelítő numerikus módserekre amelek többnire a globális integrál formában kifejeett elvekre például a virtuális munka elvére épülnek...6 Példa: Sík leme mogása Ismerjük a.6 A ábrán váolt aa méretű és t vastagságú lemeben a (0.) u elmodulás vektor koordinátáit: u k u k / u k mm 5 00 mm 5 mm 0 MPa ν 05. a t E Rajoljuk meg a leme deformálódott alakját és sámítsuk ki a oldallapokra és a leme térfogatára ható erőrendsert ami et a alakatot létrehota. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

23 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 3 A.6 B ábra mutatja a leme deformálódott alakját ahol a = a = a koordinátájú sarokpont elmodulásai: u ka 0 0 mm u ka / 0 0 mm u 0. A: B: ka a ka / a a.6 ábra. Sík leme alakváltoása (nem arános válat) A terhelések meghatároásáho előbb a alakváltoásokat majd a fesültségeket kell kisámítani. A geometriai egenletekből: u u u u k -k k 0 és a (0.0) Hooke törvénből a érustól különböő fesültség koordináták: E E c c k c c k E Gk k. A (0.5) dinamikai peremfeltételekből meghatárohatjuk a leme oldallapjaira ható felületi nomásterheléseket. A = a oldallap kifelé mutató normális egségvektorának koordinátái: n = 0 n = n = 0 és a (0.5) peremfeltételből een a lapon: Ek Ek p 0 6 p a3 MPa p 0. Hasonló módon a = 0 lapon n = 0 n = - n = 0 Ek p 0 6 p 0 p 0 a = a lapon n = n = 0 n = 0 Forberger Árpád Vörös Gábor BME

24 4 A VÉGESEEM-MÓDSZER AAPJAI Ek Ek p 0 3 p a6 MPa p 0 és végül a = -a lapon n = - n = 0 n = Ek p 6 MPa 0 p a p. Eek a perem terhelések láthatóak a.7 ábrán. A lemere ható térfogati erőt a (0.8) egensúli egenletekből sámíthatjuk ki: q 0 0 q 0 Ek Ek q 0 q 0 q 0 0 q 0. Ebből a térfogati erőhatás egetlen nem érus koordinátája: Ek 3 q 06 N/mm. -6 MPa 6 MPa -3 MPa -3 MPa 3 MPa 06 N/mm 3 6 MPa 6 MPa -6 MPa 6 MPa.7 ábra. Sík leme terhelése Végeetül ellenőrihetjük hog a.7 ábrán megadott erőrendser valóban egensúli.. Globális modell a virtuális munka elve Eg erő munkája a erő és a iránába eső elmodulás sorata. Pontosabban eg F erő a vele párhuamos ds mogás köben dw Fds munkát vége. Ha e a F mint eg külső erő terhelés valamilen mechanikai rendserre működik akkor a rendser mogása alakváltoása köben a belső erők is végenek munkát ami Forberger Árpád Vörös Gábor BME

25 . A RUGAMASSÁGAN AAPEGYENEEI 5 munkavégő képesség energia formájában tárolódik a rendserben. Et a energiát gakran alakváltoási energiának is neveik. s δs F.8. ábra. Húóerő munkája belső energia A külső erő munkája és a energia váltoásának visonát visgáljuk elősör a.8. ábrán látható igen egserű mechanikai rendseren. A rúdra a F erő működik és ismerjük a egensúli heletet megadó megoldást: a belső erő (rúderő) R = F és a megnúlás s = kr. Ebből a egensúli heletből - képeletben - modítsuk ki a rendsert eg kicsi ds elmodulással. Et a kis elmodulást virtuális elmodulásnak neveük. A külső erőnek a virtuális elmoduláson végett dw k = Fds virtuális munkája megegeik a rugóerő virtuális munkájával ami a belső vag alakváltoási energia du = Rds megváltoása aa du - dw k = 0. E nílván csak akkor iga ha a eredeti állapot egensúli volt aa R = F. ehát a egensúli heletre jellemő hog 0 dπ d U W Π s etrémum k (0.6) más sóval a Π(s) teljes potenciál a s elmodulás függvéne és a egensúli heletben sélsőértéke van: dπ dπ dπ ds 0 0 ds ds. A (0.6) a virtuális munka elve amit most a követkeő formában lehet megfogalman: a a elmodulás aminél a teljes potenciál megváltoása érus teljesíti a egensúli feltételeket. Fontos megjegeni hog e a megállapítás akkor is iga ha rugó nemlineáris k = k(s) vag a s eredő megnúlásnak van maradó núlás rése is. Ha a.8. ábra serinti rugó lineárisan rugalmas akkor a k értéke állandó és akkor a belső erő virtuális munkája vag más sóval a alakváltoási energia megváltoása s du Rdsksdsdk. Forberger Árpád Vörös Gábor BME

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

ANTIANYAG-VIZSGÁLATOK A CERNBEN

ANTIANYAG-VIZSGÁLATOK A CERNBEN ANTIANYAG-VIZSGÁLATOK A CERNBEN Barna ániel KFKI RMKI, Budapest Universit of Toko, Japán Antianag A kvantumfiika egik nag eredméne a antirésecskék léteésének megjósolása volt. A irac által beveetett egenletnek,

Részletesebben

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok

A végeselem módszer alapjai. 2. Alapvető elemtípusok A végeselem módszer alapjai Előadás jegyzet Dr. Goda Tibor 2. Alapvető elemtípusok - A 3D-s szerkezeteket vagy szerkezeti elemeket gyakran egyszerűsített formában modellezzük rúd, gerenda, 2D-s elemek,

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA

GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA 57. ÉVFOLYAM 5 5. SZÁM A Eötvös-nga mérések geodéa célú hasnosításának helete Magarorságon Dr. Völges Lajos egetem docens,, dr. Tóth Gula egetem docens, dr. Csapó Géa saktanácsadó

Részletesebben

2.2. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK EGYETEMI MÉRNÖKHALLGATÓK SZÁMÁRA

2.2. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ÉS VÁLASZOK EGYETEMI MÉRNÖKHALLGATÓK SZÁMÁRA 2.2. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ÉS VÁLSZK EGYETEMI MÉRNÖKHLLGTÓK SZÁMÁR (1) Mi a mechanika tága? nagi endseek (testek) heletváltotatással jáó mogásainak és a eeket létehoó hatásoknak (e knek) a visgálata. heletváltoást

Részletesebben

Érzéstelenítő és altatószerek, hatásuk a környezetre

Érzéstelenítő és altatószerek, hatásuk a környezetre ismerd meg! Éréstelenítő és altatóserek, hatásuk a körneetre Ősidőkre veethető vissa a embereknek a a tapastalata, hog bionos növének levelét, termését rágva kellemes éretük, bódult állapotuk les. A édes

Részletesebben

3 Technology Ltd Budapest, XI. Hengermalom 14 3/24 1117. Végeselem alkalmazások a tűzvédelmi tervezésben

3 Technology Ltd Budapest, XI. Hengermalom 14 3/24 1117. Végeselem alkalmazások a tűzvédelmi tervezésben 1117 Végeselem alkalmazások a tűzvédelmi tervezésben 1117 NASTRAN végeselem rendszer Általános végeselemes szoftver, ami azt jelenti, hogy nem specializálták, nincsenek kimondottam valamely terület számára

Részletesebben

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot 5 modul: Silárdságtai Állapotok 53 lck: A fsültségi állapot A lck célja: A taaag flhasálója mgismrj a fsültségi állapot fogalmait valamit mg tudja határoi g lmi pot körték fsültségi állapotát Kövtlmék:

Részletesebben

4. Egyéni és piaci kereslet. 4.1 Ár-ajánlati görbe (PCC)

4. Egyéni és piaci kereslet. 4.1 Ár-ajánlati görbe (PCC) 4. Egéni és iaci kereslet z előző részben megvizsgáltuk azt, hog miként határozható meg eg fogasztó otimális fogasztási szerkezete, illetve azt is elemeztük, hog eg költségvetési egenes helzetére miként

Részletesebben

ANYAGMOZGATÓ FELRAKÓGÉP TERVEZÉSI LÉPÉSEI

ANYAGMOZGATÓ FELRAKÓGÉP TERVEZÉSI LÉPÉSEI Miskolci Egetem, Multidiszciplináris tudománok, 1. kötet (2011) 1. szám, pp. 205-212. ANYAGMOZGATÓ FELRAKÓGÉP TERVEZÉSI LÉPÉSEI Vitális Csaba gépészmérnök hallgató, e-mail: v431102@gmail.com Szabó Zoltán

Részletesebben

IRÁNYÍTOTT ENERGIÁJÚ FEGYVEREK HULLÁMJELENSÉGEINEK MODELLEZÉSE ÉS SZÁMÍTÓGÉPES SZIMULÁCIÓJA

IRÁNYÍTOTT ENERGIÁJÚ FEGYVEREK HULLÁMJELENSÉGEINEK MODELLEZÉSE ÉS SZÁMÍTÓGÉPES SZIMULÁCIÓJA Csuka Anal IRÁNYÍTOTT NRGIÁJÚ FGYVRK ULLÁMJLNSÉGINK MODLLZÉS ÉS SZÁMÍTÓGÉPS SZIMULÁCIÓJA A jövő különleges fegvereinek kuaása fejlesése sraégiai fonosságú kérdés a legöbb fejle iparral rendelkeő orságban

Részletesebben

REZONANCIA KÍSÉRLET TÖBB SZABADSÁGFOKÚ REZGİRENDSZEREKEN. Laboratóriumi gyakorlat

REZONANCIA KÍSÉRLET TÖBB SZABADSÁGFOKÚ REZGİRENDSZEREKEN. Laboratóriumi gyakorlat SZÉCHENY STVÁN EGYETEM MŐSZAK TUDOMÁNY KAR ALKALMAZOTT MECHANKA TANSZÉK REZONANCA KÍSÉRLET TÖBB SZABADSÁGFOKÚ REZGİRENDSZEREKEN Laboratóriui gyakorlat A érés tárgya: A érés célja: reonancia jelenségének

Részletesebben

Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irány és fázisfront szögdiszperzió mérése

Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irány és fázisfront szögdiszperzió mérése Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irán és fázisfront szögdiszperzió mérése I. Elméleti összefoglaló Napjainkban ultrarövid, azaz femtoszekundumos nagságrendbe eső fénimpulzusokat előállító

Részletesebben

MECHANIKA I. /Statika/ 1. előadás SZIE-YMM 1. Bevezetés épületek, építmények fizikai hatások, köztük erőhatások részleges vagy teljes tönkremenetel használhatatlanná válás anyagi kár, emberáldozat 1 Cél:

Részletesebben

Rákóczi híd próbaterhelése

Rákóczi híd próbaterhelése Rákóczi híd próbaterhelése Dr. Kövesdi Balázs egyetemi docens, BME Dr. Dunai László egyetemi tanár, BME Próbaterhelés célja - programja Cél: Villamos forgalom elindítása előtti teherbírás ellenőrzése helyszíni

Részletesebben

6 VASÚTI JÁRMŰ MÉRÉSTECHNIKA

6 VASÚTI JÁRMŰ MÉRÉSTECHNIKA artalom Bevezetés 8 Metrológia, méréstechnika 9 Vasúti jármű-méréstechnika Bevezetés 9 Metrológiai alapok A mérés célja A méréssel vizsgált fizikai jelenség 3 Időben állandó és változó menniségek 3 3 Mérőberendezések,

Részletesebben

Mit jelent az optimalizálás?

Mit jelent az optimalizálás? Mikroökon konómiai optimumfeladatok megoldási módszereim Alapvetõ deriválási szabálok. Feltételes szélsõ érték feladatok megoldása. Mit jelent az optimalizálás? feltételes szélsõérték-feladat döntési helzet

Részletesebben

Kiöntött síncsatornás felépítmény kialakításának egyes elméleti kérdései

Kiöntött síncsatornás felépítmény kialakításának egyes elméleti kérdései Kiöntött síncsatornás felépítmény kialakításának egyes elméleti kérdései VII. Városi Villamos Vasúti Pálya Napra Budapest, 2014. április 17. Major Zoltán egyetemi tanársegéd Széchenyi István Egyetem, Győr

Részletesebben

hp deskjet 9300 series nyomtató

hp deskjet 9300 series nyomtató hp deskjet 9300 series nyomtató felhasnálói kéikönyv Megjegyés A dokumentum tartalma előetes értesítés nélkül megváltohat. A Hewlett-Packard cég eel a anyaggal kapcsolatban semmiféle garanciát nem vállal.

Részletesebben

WS 6710 Használati útmutató

WS 6710 Használati útmutató WS 6710 Hasnálati útmutató Fő egység külalakja A rés - LCD A1: Holdfáis A3: Időjárás előrejelés A4: Időkijelés A5: másodperc, hét, Ébrestőmód ikon kijelő A6: Beltéri hőmérséklet A7: Kültéri hőmérséklet

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

Geometriai alapok Felületek

Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus

Részletesebben

HosszútávúBefektetések Döntései

HosszútávúBefektetések Döntései VállalatgadaságtaII. HossútávúBefektetések Dötései Előadó: Koma Tímea Tatárgyfelelős: Dr. Illés B. Csaba 27. November 9. A hossútávúbefektetések sajátosságai Rövidebb időre sóló befektetés hossabb időtávra

Részletesebben

SZIMULÁCIÓ ÉS MODELLEZÉS AZ ANSYS ALKALMAZÁSÁVAL

SZIMULÁCIÓ ÉS MODELLEZÉS AZ ANSYS ALKALMAZÁSÁVAL SZIMULÁCIÓ ÉS MODELLEZÉS AZ ANSYS ALKALMAZÁSÁVAL MAGYAR TUDOMÁNY NAPJA KONFERENCIA 2010 GÁBOR DÉNES FŐISKOLA CSUKA ANTAL TARTALOM A KÍSÉRLET ÉS MÉRÉS JELENTŐSÉGE A MÉRNÖKI GYAKORLATBAN, MECHANIKAI FESZÜLTSÉG

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése

Nemlineáris függvények illesztésének néhány kérdése Mûhel Tóth Zoltán docens, Károl Róbert Főskola E-mal: zol@karolrobert.hu Nemlneárs függvének llesztésének néhán kérdése A nemlneárs regresszós és trendfüggvének llesztésekor számos esetben alkalmazzuk

Részletesebben

Mintatesztelő szoftver fejlesztése line scan kamerás alkalmazásokhoz. Bodolai Tamás tanársegéd Miskolci Egyetem, Elektrotechnikai Elektronikai Tanszék

Mintatesztelő szoftver fejlesztése line scan kamerás alkalmazásokhoz. Bodolai Tamás tanársegéd Miskolci Egyetem, Elektrotechnikai Elektronikai Tanszék intatestelő softe fejlestése line scan kameás alkalmaásokho Bodolai Tamás tanásegéd iskolci Egetem, Elektotechnikai Elektonikai Tansék KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A kutató munka a TÁOP-4.2.2/B-/-2-8 jelű pojekt

Részletesebben

Geometria 1 normál szint

Geometria 1 normál szint Geometria 1 normál szint Naszódi Márton nmarci@math.elte.hu www.math.elte.hu/ nmarci ELTE TTK Geometriai Tsz. Budapest Geometria 1 p.1/4 Vizsga 1. Írásban, 90 perc. 2. Index nélkül nem lehet vizsgázni!

Részletesebben

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével

Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével IgyR - 3/1 p. 1/20 Integrált Gyártórendszerek - MSc Dinamikus modellek felállítása mérnöki alapelvek segítségével Hangos Katalin PE Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék IgyR - 3/1 p. 2/20

Részletesebben

11/1. Teljesítmény számítása szinuszos áramú hálózatokban. Hatásos, meddô és látszólagos teljesítmény.

11/1. Teljesítmény számítása szinuszos áramú hálózatokban. Hatásos, meddô és látszólagos teljesítmény. 11/1. Teljesítén száítása szinuszos áraú álózatokban. Hatásos, eddô és látszólagos teljesítén. Szinuszos áraú álózatban az ára és a feszültség idıben változik. Íg a pillanatni teljesítén is változik az

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

CONSTEEL 8 ÚJDONSÁGOK

CONSTEEL 8 ÚJDONSÁGOK CONSTEEL 8 ÚJDONSÁGOK Verzió 8.0 2013.11.20 www.consteelsoftware.com Tartalomjegyzék 1. Szerkezet modellezés... 2 1.1 Új szelvénykatalógusok... 2 1.2 Diafragma elem... 2 1.3 Merev test... 2 1.4 Rúdelemek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben

A szerkezeti anyagok tulajdonságai és azok vizsgálata

A szerkezeti anyagok tulajdonságai és azok vizsgálata A szerkezeti anyagok tulajdonságai és azok vizsgálata 1 Az anyagok tulajdonságai fizikai tulajdonságok, mechanikai, termikus, elektromos, mágneses akusztikai, optikai 2 Minıség, élettartam A termék minısége

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Polimerek fizikai, mechanikai, termikus tulajdonságai

Polimerek fizikai, mechanikai, termikus tulajdonságai SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ANYAGISMERETI ÉS JÁRMŰGYÁRTÁSI TANSZÉK POLIMERTECHNIKA NGB_AJ050_1 Polimerek fizikai, mechanikai, termikus tulajdonságai DR Hargitai Hajnalka 2011.10.05. BURGERS FÉLE NÉGYPARAMÉTERES

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés Görbe- és felületmodellezés Szplájnok Felületmodellezés Spline (szplájn) Spline: Szakaszosan, parametrikus polinomokkal leírt görbe A spline nevét arról a rugalmasan hajlítható vonalzóról kapta, melyet

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

- Elemezze a mellékelt szerkezetet, készítse el a háromcsuklós fa fedélszék igénybevételi ábráit, ismertesse a rácsostartó rúdelemeinek szilárdsági

- Elemezze a mellékelt szerkezetet, készítse el a háromcsuklós fa fedélszék igénybevételi ábráit, ismertesse a rácsostartó rúdelemeinek szilárdsági 1. - Elemezze a mellékelt szerkezetet, készítse el a háromcsuklós fa fedélszék igénybevételi ábráit, ismertesse a rácsostartó rúdelemeinek szilárdsági vizsgálatát. - Jellemezze a vasbeton három feszültségi

Részletesebben

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,

Részletesebben

SIÓFOK VÁROS ÖNKORMÁNYZATA POLGÁRMESTER

SIÓFOK VÁROS ÖNKORMÁNYZATA POLGÁRMESTER SIÓFOK VÁROS ÖNKORMÁNYZATA POLGÁRMESTER 8600 SIÓFOK, FŐ TÉR 1. TELEFON +36 84 504100 FAX: +36 84 504103 Az előjesztés törénességi szempontból megfelelő. Siófok, 2014. noember Kónáné Dr. Zsarnoszk Judit

Részletesebben

Műszerezett keménységmérés alkalmazhatósága a gyakorlatban

Műszerezett keménységmérés alkalmazhatósága a gyakorlatban Műszerezett keménységmérés alkalmazhatósága a gyakorlatban Rózsahegyi Péter laboratóriumvezető Tel: (46) 560-137 Mob: (30) 370-009 Műszaki Kockázatmenedzsment Osztály Mechanikai Anyagvizsgáló Laboratórium

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

ahol m-schmid vagy geometriai tényező. A terhelőerő növekedésével a csúszó síkban fellép az un. kritikus csúsztató feszültség τ

ahol m-schmid vagy geometriai tényező. A terhelőerő növekedésével a csúszó síkban fellép az un. kritikus csúsztató feszültség τ Egykristály és polikristály képlékeny alakváltozása A Frenkel féle modell, hibátlan anyagot feltételezve, nagyon nagy folyáshatárt eredményez. A rácshibák, különösen a diszlokációk jelenléte miatt a tényleges

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra)

Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Matematika tanmenet 12. osztály (heti 4 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 12. középszint Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: Érettségi feladatgyűjtemény

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 0711 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Energetikai rendszer CAD/CAE tervezése

Energetikai rendszer CAD/CAE tervezése Energetikai rendszer CAD/CAE tervezése Varga Bálint 1,3, Dr. Mikó Balázs 2,3 1 intézeti mérnök, varga.balint@bgk.uni-obuda.hu 2 főiskolai docens, miko.balazs@bgk.uni-obuda.hu 3 Óbudai Egyetem, Bánki Donát

Részletesebben

1. feladat. 2. feladat

1. feladat. 2. feladat 1. felada Írja á az alábbi függvénee úg, hog azoban ne az eredei válozó, hanem az eredei válozó haéonsági egsére juó érée szerepeljen (azaz például az Y hele az szerepeljen, ahol = Y E L. Legen a munaerőállomán

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Tudnivalók. Dr. Horváth András. 0.1-es változat. Kedves Hallgató!

Tudnivalók. Dr. Horváth András. 0.1-es változat. Kedves Hallgató! Kérdések és feladatok rezgőmozgásokból Dr. Horváth András 0.1-es változat Tudnivalók Kedves Hallgató! Az alábbiakban egy válogatást közlünk az elmúlt évek vizsga- és ZH-feladataiból. Időnk és energiánk

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Mechanikai munka, energia, teljesítmény (Vázlat)

Mechanikai munka, energia, teljesítmény (Vázlat) Mechanikai unka, energia, eljesíény (Vázla). Mechanikai unka fogala. A echanikai unkavégzés fajái a) Eelési unka b) Nehézségi erő unkája c) Gyorsíási unka d) Súrlódási erő unkája e) Rugóerő unkája 3. Mechanikai

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

Acéllemezbe sajtolt nyírt kapcsolat kísérleti vizsgálata és numerikus modellezése

Acéllemezbe sajtolt nyírt kapcsolat kísérleti vizsgálata és numerikus modellezése Acéllemezbe sajtolt nyírt kapcsolat kísérleti vizsgálata és numerikus modellezése Seres Noémi Doktorandusz BME Tartalom Téma: öszvérfödémek együttdolgoztató kapcsolatának numerikus modellezése, nyírt együttdolgoztató

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

KÍSÉRLETI MODÁLIS ELEMZÉS

KÍSÉRLETI MODÁLIS ELEMZÉS KÍSÉRLETI MODÁLIS ELEMZÉS 01 BEVEZETÉS 2015. www.modal.hu Dr. Pápai Ferenc Ph.D. BME Budapesti Műszaki Egyetem, Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Kar, Járműelemek és Jármű- Szerkezetanalízis Tanszék. St.

Részletesebben

Erdélyi Barna geofizikus mérnök, geotermikus szakmérnök és Kiss László gépészmérnök, geotermikus szakmérnök

Erdélyi Barna geofizikus mérnök, geotermikus szakmérnök és Kiss László gépészmérnök, geotermikus szakmérnök Lanna Kft. 2525 Máriahalom, Petőfi u. 23. Fax: 33/481-910, Mobil: 30/325-4437 Web: www.zoldho.hu E-mail: lannakft@gmail.com Thermal Response Test - Földhőszondás hőszivattyús rendszerek földtanilag megalapozott

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

Á Á É ú Í Í í í ű ú í ú ú íí í ű Í Í Í í ü í í í í í Á í ü ü í í ü í í í ű í ú í ű í ű ú Í í ú ű ű í í í ű í í í í í Í ü ü í í í Á Á Á Á Á ú í í í ü ü í í í í í í í í ú Í Í í í ü í ü í í í ú í Á í ú í

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Hullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása.

Hullámtan. A hullám fogalma. A hullámok osztályozása. Hullátan A hullá fogala. A hulláok osztályozása. Kísérletek Kis súlyokkal összekötött ingasor elején keltett rezgés átterjed a többi ingára is [0:6] Kifeszített guikötélen keltett zavar végig fut a kötélen

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA El sz Csahóczi Erzsébet Csatár Katalin Kovács Csongorné Morvai Éva Széplaki Görgné Szeredi Éva TANÁRI KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA 8. évfolam II. kötetéhez TEX 04. június. 0:58 (. lap/. old.) Matematika 8. (K8-00)

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Szegedi Tudományegyetem Gazdaságtudományi Kar. Petres Tibor Tóth László. STATISZTIKA I. kötet

Szegedi Tudományegyetem Gazdaságtudományi Kar. Petres Tibor Tóth László. STATISZTIKA I. kötet Szeged Tudománegetem Gazdaságtudomán Kar Petres Tbor Tóth László STATISZTIKA I. kötet Szerzők: Dr. Petres Tbor, PhD egetem docens Statsztka és Demográa Tanszék Tóth László PhD-hallgató Gazdaságtudomán

Részletesebben

A Maxwell - kerékről. Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!

A Maxwell - kerékről. Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1 A Maxwell - kerékről Maxwell - ingának is nevezik azt a szerkezetet, melyről most lesz szó. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra forrása: [ 1 ] Itt azt láthatjuk, hogy egy r sugarú kis hengerre felerősítettek

Részletesebben

Nagy András polgármester Köszöntötte a megjelenteket. Az ülés napirendjének a meghívó szerinti napirend elfogadását javasolta.

Nagy András polgármester Köszöntötte a megjelenteket. Az ülés napirendjének a meghívó szerinti napirend elfogadását javasolta. J E G Y Z Ő K Ö N Y V Készült: Jászszentlászló Községi Önkormánzat Képviselő-testületeinek, 2013. november 25- én 15 00 órai kezdettel megtartott képviselő-testületi üléséről. Ülés hele: Jászszentlászló

Részletesebben

Corvus Aircraft Kft Tervezési, gyártási technológiák. Győr, 2008. április 16.

Corvus Aircraft Kft Tervezési, gyártási technológiák. Győr, 2008. április 16. Corvus Aircraft Kft Tervezési, gyártási technológiák Győr, 2008. április 16. Cég történet STA RT 2002 Prototípus építés Mk I 2004 Cég alapítás Corvus Aircraft Kft 2005 Prototípus építés Corvus Corone Mk

Részletesebben

A FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI 2015. június

A FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI 2015. június A FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI 2015. június I. Mechanika Newton törvényei Egyenes vonalú mozgások Munka, mechanikai energia Pontszerű és merev test egyensúlya, egyszerű gépek Periodikus

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

A DEBRECENBEN ÉPÜLŐ EDF FÜVES VÁGÁNY MŰSZAKI MEGFELELŐSÉGÉNEK VIZSGÁLATA

A DEBRECENBEN ÉPÜLŐ EDF FÜVES VÁGÁNY MŰSZAKI MEGFELELŐSÉGÉNEK VIZSGÁLATA V. VÁROSI VILLAMOS VASÚTI PÁLYA NAP Debrecen, 2012. 04. 03. A DEBRECENBEN ÉPÜLŐ EDF FÜVES VÁGÁNY MŰSZAKI MEGFELELŐSÉGÉNEK VIZSGÁLATA SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM Dr. Horvát Ferenc főiskolai tanár 1. BEVEZETÉS

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 1 I. HALmAZOk 1. JELÖLÉSEk A halmaz fogalmát tulajdonságait gyakran használjuk a matematikában. A halmazt nem definiáljuk, ezt alapfogalomnak tekintjük. Ez nem szokatlan, hiszen

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Tipikus fa kapcsolatok

Tipikus fa kapcsolatok Tipikus fa kapcsolatok Dr. Koris Kálmán, Dr. Bódi István BME Hidak és Szerkezetek Tanszék 1 Gerenda fal kapcsolatok Gerenda feltámaszkodás 1 Vízszintes és (lefelé vagy fölfelé irányuló) függőleges terhek

Részletesebben

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)

Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) 1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy

Részletesebben

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó

Mechanika Kinematika. - Kinematikára: a testek mozgását tanulmányozza anélkül, hogy figyelembe venné a kiváltó Mechanika Kinematika A mechanika a fizika része mely a testek mozgásával és egyensúlyával foglalkozik. A klasszikus mechanika, mely a fénysebességnél sokkal kisebb sebességű testekre vonatkozik, feloszlik:

Részletesebben

KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA

KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA Alkotószerkesztő: Csatár Katalin KÉZIKÖNYV a MATEMATIKA a középiskolák 9. évfolama számára II. kötetéhez Celldömölk, Szerzők KORNAI JÚLIA, KOVÁCS ELŐD, LÖVEY ÉVA, PÁLOVICSNÉ TUSNÁDY KATALIN, SCHUBERT MIHÁLY

Részletesebben

A kémiai és az elektrokémiai potenciál

A kémiai és az elektrokémiai potenciál Dr. Báder Imre A kémiai és az elektrokémiai potenciál Anyagi rendszerben a termodinamikai egyensúly akkor állhat be, ha a rendszerben a megfelelő termodinamikai függvénynek minimuma van, vagyis a megváltozása

Részletesebben

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz

NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz NÉGYOSZTÁLYOS FELVÉTELI Részletes megoldás és pontozás a Gyakorló feladatsor II.-hoz Gedeon Veronika (Budapest) A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok részekre

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

1. feladat Alkalmazzuk a mólhő meghatározását egy gázra. Izoterm és adiabatikus átalakulásokra a következőt kapjuk:

1. feladat Alkalmazzuk a mólhő meghatározását egy gázra. Izoterm és adiabatikus átalakulásokra a következőt kapjuk: Válaszoljatok a következő kérdésekre: 1. feladat Alkalmazzuk a mólhő meghatározását egy gázra. Izoterm és adiabatikus átalakulásokra a következőt kapjuk: a) zéró izoterm átalakulásnál és végtelen az adiabatikusnál

Részletesebben

AZ ÉPÜLETEK ENERGETIKAI JELLEMZŐINEK MEGHATÁROZÁSA ENERGETIKAI SZÁMÍTÁS A HŐMÉRSÉKLETELOSZLÁS JELENTŐSÉGE

AZ ÉPÜLETEK ENERGETIKAI JELLEMZŐINEK MEGHATÁROZÁSA ENERGETIKAI SZÁMÍTÁS A HŐMÉRSÉKLETELOSZLÁS JELENTŐSÉGE AZ ÉPÜLETEK ENERGETIKAI JELLEMZŐINEK MEGHATÁROZÁSA Három követelményszint: az épületek összesített energetikai jellemzője E p = összesített energetikai jellemző a geometriai viszonyok függvénye (kwh/m

Részletesebben

Osvald Ferenc. A súlypont szerepe - gépjármű közlekedés kicsit másként

Osvald Ferenc. A súlypont szerepe - gépjármű közlekedés kicsit másként Osvald Ferenc A súlypont szerepe - gépjármű közlekedés kicsit másként Több tűzoltó gépjármű baleset után heves érzelmi reakcióktól mentesen - érdemes megvizsgálni miben más ezek vezetése? Igazságügyi szakértőt

Részletesebben

A MECHANIKAI ENERGIA

A MECHANIKAI ENERGIA A MECHANIKAI ENERGIA. A mechanika munkatétele A mechanika munkatétele Newton második axiómájából következik. Newton második axiómája egyetlen tömegre (vagy tömegpontra): F d r ma m, (.) mely általános

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Merev testek mechanikája. Szécsi László

Merev testek mechanikája. Szécsi László Merev testek mechanikája Szécsi László Animáció időfüggés a virtuális világmodellünkben bármely érték lehet időben változó legjellemzőbb: a modell transzformáció időfüggése mozgó tárgyak módszerek az időfüggés

Részletesebben

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra 1 A kvadratrixról A kvadratrix más néven triszektrix nevű síkgörbéről az [ 1 ] és [ 2 ] munkákban is olvashatunk. A keletkezéséről készített animáció itt tekinthető meg: http://hu.wikipedia.org/wiki/kvadratrix#mediaviewer/file:quadratrix_animation.gif

Részletesebben

Újdonságok 2013 Budapest

Újdonságok 2013 Budapest Újdonságok 2013 Budapest Tartalom 1. Általános 3 2. Szerkesztés 7 3. Elemek 9 4. Terhek 10 5. Számítás 12 6. Eredmények 13 7. Méretezés 14 8. Dokumentáció 15 2. oldal 1. Általános A 64 bites változat lehetőséget

Részletesebben