RUGALMASSÁGTAN ALAPKÉRDÉSEK

Átírás

1 RUGALMASSÁGTAN ALAPKÉRDÉSEK SEGÉDLET 4 Bagi Katalin Bojtár Imre Tarnai Tibor

2

3 BEVEZETÉS E a segédlet a BME Építőmérnöki Karán oktatott Rgalmasságtan című tantárg legfontosabb tdnialóit foglalja össe. Célja, hog a hallgatók sámára eérfonalat nújtson a tárg alapjainak elsajátításáho. A segédlet a 36 alapkérdés álatát adja meg, eek mindegikéhe megjelöle a résletesebb magaráatokat tartalmaó tankönek, jegetek megfelelő fejeeteit. Toábbi támogatást nújt a tanlásho, hog a előadások diái letölthetők a köetkeő ebcímről:.me.bme.h/letoltes/inde.htm Reméljük, hog a elméleti sempontból igen igénes, nehé, de nagon sép tantárg elsajátításában össefoglalónk segítséget jelent majd a hallgatók sámára. A serők 3

4 . témakör. Ismertesse a fesültségektor és a fesültségtenor fogalmát!. Mit értünk gömbi illete deiátoros fesültségösseteőn? 3. Ismertesse a deformációektor és a alakáltoástenor fogalmát! 4. Mi a főfesültségek ill. fesültségi főiránok mechanikai és matematikai jelentése? 5. Mi a főnúlások ill. alakáltoási főiránok mechanikai és matematikai jelentése? 6. Mit fejenek ki a rgalmasságtan statikai, geometriai, kompatibilitási és anagegenletei? 7. Ismertesse a Air-féle fesültségfüggén fogalmát! Írja fel a tárcsaegenletet, és magaráa el a benne sereplő menniségek jelentését! 8. Írja fel a ékon leme differenciálegenletét, és magaráa el a benne sereplő menniségek jelentését! 9. Mit mond ki a Saint-Venant el?. Mi a főfesültségi trajektóriák jelentése?. Sorolja fel, hog milen speciális fesültségi állapotokat ismer! Milen les eekben a esetekben a isgált pont alakáltoási állapota iotróp anag esetén?. Sorolja fel, hog milen speciális alakáltoási állapotokat ismer! Milen les eekben a esetekben a isgált pont fesültségállapota iotróp anag esetén?. témakör. Ismertesse a irtális elmodlások tételét! Mi a tétel mechanikai tartalma?. Ismertesse a irtális erők tételét! Mi a tétel mechanikai tartalma? 3. Ismertesse a potenciális energia fogalmát! Mik a független áltoók? 4. Ismertesse a potenciális energia stacionaritásának tételét! Mi a fiikai jelentése annak, ha eg serkeet alamel isgált állapotában a potenciális energia stacionáris? 5. Ismertesse a kiegésítő potenciális energia fogalmát! Mik a független áltoók? 6. Ismertesse a kiegésítő potenciális energia minimmának tételét! Mi a fiikai jelentése annak, ha eg serkeet alamel isgált állapotában a kiegésítő potenciális energiának minimma an? 7. Írja föl a potenciális energia függénét eg húott rúd esetén! 8. Írja föl a potenciális energia függénét eg hajlított gerenda esetén! 9. Jelölje e K alamel isgált serkeet K pontjának lehajlását. Mit jelentenek a η(e K ) hatásábra ordinátái? Fogalmaa meg a hatásábra elkésítésénak a Maell-féle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helettesítő feladatát!. Jelölje ϕ K alamel isgált serkeet K pontjának elfordlását. Mit jelentenek a η(ϕ K ) hatásábra ordinátái? Fogalmaa meg a hatásábra elkésítésének a Maell-féle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helettesítő feladatát!. Jelölje ϑ C alamel isgált serkeet C csklójába beftó két rúdég relatí elfordlását. Mit jelentenek a η(ϑ C ) hatásábra ordinátái? Fogalmaa meg a hatásábra elkésítésének a Maell-féle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helettesítő feladatát!. Jelölje l alamel rácsos tartó eg isgált rúdjának megnúlását. Mit jelentenek a η( l) hatásábra ordinátái? Fogalmaa meg a hatásábra elkésítésének a Maell-féle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helettesítő feladatát! 4

5 3. témakör. Ismertesse a stabilitásisgálat célját és a stabil, instabil, indifferens és kritiks egensúli állapot fogalmát!. Ismertesse a stabilitásisgálat statikai módserének alapelét! 3. Ismertesse a stabilitásisgálat energiamódserének alapelét! A potenciális energia függénének miért a második deriáltját isgáljk stabilitási feladatoknál? 4. Ismertesse a határkarcsúság fogalmát! Ábráolja a köpontosan nomott, egenes tengelű rúd kritiks fesültsége és karcsúsága köötti össefüggést! 5. Ismertesse a rgalmas és képléken kihajlás fogalmát! 6. Hogan határok meg eg köpontosan nomott, egenes tengelű rúd kritiks erejét rgalmas kihajlás esetén? Hogan ehetők figelembe a különböő peremfeltételek? 7. Ismertesse a mechanikai anagmodell fogalmát! 8. Ismertesse a lineárisan rgalmas anag, illete a nemlineárisan rgalmas anag fogalmát! Ismertesse a Hooke-modellt! 9. Ismertesse a képléken alakáltoás fogalmát! Mit jelentenek a folási feltétel és folási felület kifejeések?. Semléltesse a Hber-Mises-Henck-féle folási feltételt síkbeli fesültségállapot esetén!. Semléltesse a Tresca-féle folási feltételt síkbeli fesültségállapot esetén!. Semléltesse a Prager-Drcker-féle és a Mohr-Colomb-féle folási feltételt háromdimeniós fesültségállapot esetén! 5

6 . témakör. Ismertesse a fesültségektor és a fesültségtenor fogalmát! Fesültségektor: p n Visgáljk a test állapotát a P pontban. (A testre külső erők hatnak, aminek hatására a testben belső erők ébrednek.) A P ponton át eg n normálisú síkkal a testet két résre ágjk. A metset egik oldalán léő résre a másik oldalán léő rés által kifejtett hatást általános megosló erőrendserként modelleük. E megosló erőrendser irána és intenitása a P pontban: a P-he és a n normálisho tartoó fesültségektor irána és nagsága. Fesültségtenor: σ A isgált P pontban a össes lehetséges n normálisho tartoó fesültségektorok össessége írja le a P pont fesültségállapotát. Fesültségtenoron at a σ tenort értjük, amelnek segítségéel bármel n iránho íg sámíthatjk ki a megfelelő fesültségektort: pn = σ n Valamel (,, ) koordináta-rendserben a fesültségtenor mátria íg írható fel: σ τ τ σ = τ σ τ τ τ σ ahol a eges sorok rendre a, a és a normálisú metsetekhe tartoó fesültségektorok komponenseit tartalmaák: σ τ τ = p τ ; p = σ ; p = τ τ τ σ Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (5..., 5..., 5..5.) Beho, N.I.: Beeetés a rgalmasságtanba és a képlékenségtanba. Tankönkiadó, Bdapest, 95. (3..) 6

7 . témakör. Mit értünk gömbi illete deiátoros fesültségösseteőn? Sámítsk ki a adott deréksögű koordinátarendserben a három koordinátatengelhe tartoó normálfesültségek átlagát: σ átl = ( σ ) 3 + σ + σ Ennek segítségéel bontsk a fesültségtenort a alábbi két össeteő össegére: σ = σ o + S ahol σ átl σ o = σ átl σ átl a átlagos normálfesültségek hatását leíró gömbi (ag hidrostatiks) fesültségösseteő, és ( σ σátl ) τ τ S = τ ( σ σátl ) τ τ τ ( σ σátl ) a nírási hatásokat jellemő deiátoros össeteő. Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (5..4.) 7

8 8 ; def = B = B. témakör 3. Ismertesse a deformációektor és a alakáltoástenor fogalmát! Alapfogalmak: A isgált test P pontja (melnek helektora r) elmodl, eltolódásektora ; a P pontho köeli, r + dr helektorú pont sintén elmodl, eltolódása + d : = ; = + d d d d A eltolódásmeő B gradienstenora segítségéel bármel dr esetén meghatároható, hog mekkora les a két pont eltolódása köötti d különbség: r B T d d d d d d d d = = = A r és a r + dr helektorú pontok eltolódása két ok miatt tér el egmástól: (a) a P pont körneete deformálódik (ebből sármaik d def ); (b) a P pont körneete meretestserű elfordlást ége (ebből sármaik d rot ). E a két eltolódás külön-külön is kifejehető, ha a eltolódásmeő B gradienstenorát sétálastjk simmetriks és antimetriks össeteőjére: = ro t B r r + dr + d P

9 9 = = = ε γ γ γ ε γ γ γ ε def B ε amelekből ( ) r B T d d def def = és ( ) r B T d d rot rot =. Jelölje n a (dr hossúságú) dr ektor iránába mtató egségektort (aa dr iránektorát): dr dr n = Deformációektor: d n A isgált P pontban alamel n iránektorho tartoó deformációektoron a köetkeő ektort értjük: dr d def d n = aa ( ) n B d T n def =. E a ektor a elemi sál dr hossáal normála adja meg a dr elemi sál deformációját. A sál iránába eső komponense a sál megnúlását, a rá merőleges össeteője a sál körneetének sögtorlását fejei ki. Alakáltoástenor: ε A P pont körneetének deformációját kifejeő ε alakáltoástenoron a eltolódásmeő gradienstenorának simmetriks rését értjük: A mátri eges sorai rendre a, és tengelek iránába mtató egségektorokho tartoó deformációektorokat tartalmaák. Beho, N.I.: Beeetés a rgalmasságtanba és a képlékenségtanba. Tankönkiadó, Bdapest, 95. (4.-5.., 8. ) Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (6..., 6..., 6..5.) r r + dr + d P dr n

10 . témakör 4. Mi a főfesültségek ill. fesültségi főiránok mechanikai és matematikai jelentése? Mechanikai jelentésük: A isgált test bármel pontjában található 3 olan egmásra merőleges irán, amelekhe tartoó fesültségektoroknak nincs nírófesültségi komponense (aa a fesültségektor irána éppen a isgált iránba esik). Et a három iránt fesültségi főiránnak, a hoájk tartoó fesültségek nagságát főfesültségeknek neeük. Matematikai jelentésük: A főfesültségek a isgált pont fesültségállapotát jellemő fesültségtenor sajátértékei, a fesültségi főiránok a fesültségtenor sajátektorainak iránai. A főfesültségek sámítása: Adott σ fesültségtenor esetén keressük, hog milen (össetartoó) σ i értékek és i ektorok esetén teljesülhet a σ i = σ i i egenlet akkor is, ha i. Átrendee: σ σi τ τ i τ σ σi τ i = τ τ σ σ i i amelből látható, hog csak akkor les a egenletnek i megoldása, ha a bal oldalon álló egütthatómátri determinánsa érs: σ σi τ τ τ σ σi τ =. τ τ σ σ i A determináns kifejtéséel a köetkeő harmadfokú egenletet kapjk: 3 σi Iσi + Iσi I3 = σ τ τ σ τ σ τ σ τ ahol I = σ + σ + σ ; I = + + ; I3 τ σ τ τ σ τ σ τ σ τ τ σ =. A harmadfokú egenletnek három alós göke an: e a három főfesültség. Nagság serint sorba rendee: σ σ σ3 Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (5..3.) Beho, N.I.: Beeetés a rgalmasságtanba és a képlékenségtanba. Tankönkiadó, Bdapest, 95. (3..)

11 . témakör 5. Mi a főnúlások ill. alakáltoási főiránok mechanikai és matematikai jelentése? Mechanikai jelentésük: A isgált test bármel pontjában található 3 olan egmásra merőleges irán, amelekhe tartoó deformációektoroknak nincs sögtorlási komponense (aa a deformációektor irána éppen a isgált iránba esik, tehát csak núlás jön létre). Et a három iránt alakáltoási főiránnak, a hoájk tartoó núlások nagságát főnúlásoknak neeük. Matematikai jelentésük: A főnúlások a isgált pont alakáltoási állapotát jellemő alakáltoástenor sajátértékei, a alakáltoási főiránok a alakáltoástenor sajátektorainak iránai. A főnúlások sámítása: Adott ε alakáltoástenor esetén keressük, hog milen (össetartoó) ε i értékek és i ektorok esetén teljesülhet a ε i = ε i i egenlet akkor is, ha i. Átrendee: ε εi γ γ i γ ε εi γ i = γ γ ε ε i i amelből látható, hog csak akkor les a egenletnek i megoldása, ha a bal oldalon álló egütthatómátri determinánsa érs. A determináns kifejtéséel a köetkeő harmadfokú egenletet kapjk: I 3 εi Iεi + Iεi I3 = ahol I = ε + ε + ε ; ε γ γ ε γ ε γ ε γ = + + ; I3 γ ε γ γ ε γ ε γ ε γ γ ε =. A harmadfokú egenletnek három alós göke an: e a három főnúlás. Nagság serint sorba rendee: ε ε ε3 Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (6..3.) Beho, N.I.: Beeetés a rgalmasságtanba és a képlékenségtanba. Tankönkiadó, Bdapest, 95. (..)

12 . témakör 6. Mit fejenek ki a rgalmasságtan statikai, geometriai, kompatibilitási és anagegenletei? Statikai egenletek: A Cach-egenletek a test belsejében léő elemi hasábok egensúlát fejeik ki; össefüggést teremtenek a test belsejében ébredő fesültségek és a testre ható tömegerők kööt: σ τ τ g = τ σ τ g = τ τ σ g = (A statikai peremfeltételek a test peremén léő elemi hasábok egensúlát fejeik ki; össefüggést teremtenek a fesültségek és a peremen ható erők köött.) Geometriai egenletek: A geometriai egenletek a test bármel pontjában a eltolódások és a alakáltoástenor komponensei köötti össefüggéseket adják meg: ε =, ε =, ε = γ = +, γ = +, γ = + (A geometriai peremfeltételek a test perempontjainak előírt elmodlásait írják le.) Kompatibilitási egenletek: A kompatibilitási egenletek at fejeik ki, hog a testet alkotó elemi hasábok, amelek a deformáció előtt héag- és átfedésmentesen töltötték ki a testet, a deformáció tán is héag- és átfedésmentesen töltik majd ki. A kompatibilitási egenletek a alakáltoástenor komponenseinek második deriáltjai köött írnak le össefüggéseket. Anagegenletek: A anagegenletek (ag anagmodellek) a fesültségtenor és a alakáltoástenor komponensei köötti össefüggéseket adják meg. Pl. lineárisan rgalmas anagú test esetén: σ = D ε ag ε = H σ Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (5.7., 6.3., 7...) Bojtár I.: Mechanikai anagmodellek. Tankönkiadó, Bdapest, 988 (..)

13 . témakör 7. Ismertesse a Air-féle fesültségfüggén fogalmát! Írja fel a tárcsaegenletet, és magaráa el a benne sereplő menniségek jelentését! Air-féle fesültségfüggén: A F(,) fesültségfüggén eg általnk álastható segédfüggén, amelet úg definiálnk, hog második deriáltjai a fesültségekkel egeenek meg: F(, ) σ (, ) = F(, ) σ (, ) = F(, ) τ (, ) = Tárcsa: Tárcsának olan serkeetet neeünk, amelhe eg (,, ) deréksögű koordinátarendser illesthető olmódon, hog a serkeet iránú mérete legalább eg nagságrenddel kisebb a másik két iránú méreteinél; a serkeetnek an a (,) síkkal párhamos simmetriasíkja; a külső teher a simmetriasíkban, a (,) síkkal párhamos iránban hat; a serkeet pontjainak eltolódásai a (,) síkkal párhamosak. Tárcsaegenlet: F(, ) F(, ) F(, ) + + = 4 4 és : a tárcsa pontjainak helkoordinátái (a tárcsa köépsíkja a (,) sík) F: a Air-féle fesültségfüggén a egenlet fiikai jelentése: a tárcsa kompatibilitási egenlete, amelbe behelettesítettük a egensúli és anagegenleteket A tárcsaegenletben nem serepelnek a tárcsára ható terhek. Eeket a megoldás során a fesültségfüggén felételekor, a statikai peremfeltételekkel essük figelembe. Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (7...) 3

14 . témakör 8. Írja fel a ékon leme differenciálegenletét, és magaráa el a benne sereplő menniségek jelentését! Leme: Vékon lemenek olan serkeetet neeünk, amelhe eg (,, ) deréksögű koordinátarendser illesthető olmódon, hog a serkeetnek an (,) síkkal párhamos simmetriatengele; a serkeet iránú mérete legalább eg nagságrenddel kisebb a másik két iránú méreténél; a külső teher a simmetriasíkra merőlegesen, a () iránban hat; a serkeet eltolódásai a (,) síkra merőlegesek, és kicsik; Kirchhoff-felteés: A köépfelület normálisai a alakáltoás során egütt tolódnak és fordlnak el a köépfelülettel, és a alakáltoások tán is a köépfelületre merőlegesek maradnak. Lemeegenlet: (, ) (, ) (, ) q(, ) + + = 4 4 D és : a leme pontjainak helkoordinátái (a leme köépsíkja a (,) sík) (,): a köépfelület pontjainak iránú eltolódása q(,): a lemere ható ( iránú) teher D: a leme egségni sélességű sájának hajlítómeresége, amel a leme astagságából és anagjellemőiből sámítható paraméter a egenlet fiikai jelentése: a geometriai és anagegenleteket is tartalmaó formában a leme egensúli egenlete A leme megtámastásának módját a lemeegenlet megoldásáho sükséges elmodlási peremfeltételek fejeik ki. Timoshenko, S.P. - Woinosk-Krieger, S.: Lemeek és héjak elmélete. Műsaki Könkiadó, Bdapest, 966 4

15 . témakör 9. Mit mond ki a Saint-Venant el? A Saint-Venant el kimondja, hog ha eg test alamel kis résére ható külső erőket a eredetiel statikailag egenértékű, ganarra a kis résre ható, de más eloslású erőrendserrel helettesítjük, akkor a helettesítés bár lokálisan (a test sóban forgó kis résének köetlen körneetében) jelentős áltoásokat okohat a fesültségekben és alakáltoásokban, hatása a táolabbi réseken már elhanagolhatóan kicsi. A testnek aon rése, ahol a fesültségek és alakáltoások jelentősen megáltonak, köelítőleg akkora, mint a a rés, ahol megáltotattk a külső erők eloslását. ( Lokális áltoásnak a hatása is lokális. ) Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (3..7.) Beho, N.I.: Beeetés a rgalmasságtanba és a képlékenségtanba. Tankönkiadó, Bdapest, 95. (..) 5

16 . témakör. Mi a főfesültségi trajektóriák jelentése? A főfesültségi trajektóriák olan görbék, ameleknek érintője bármel pontban megadja a főfesültség iránát. Pl. síkbeli fesültségállapotban léő, hajlított gerenda esetén: Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (5.6.) 6

17 . témakör. Sorolja fel, hog milen speciális fesültségi állapotokat ismer! Milen les eekben a esetekben a isgált pont alakáltoási állapota iotróp anag esetén? Lineáris fesültségállapot: A három főfesültség köül kettőnek érs a nagsága. Tista húás: σ > ; σ = σ 3 = Tista nomás: σ = σ = ; σ 3 < A alakáltoási állapot ekkor térbeli. Síkbeli fesültségállapot: A három főfesültség köül kettő nem érs, eg pedig érs. A pont alakáltoási állapota: általános esetben térbeli; speciális esetben lehet síkbeli is. Tista nírás: σ = σ 3 ; σ = ; ekkor a pont alakáltoási állapota: tista sögtorlás. Térbeli fesültségállapot: Mindhárom főfesültség érstól különböő. A pont alakáltoási állapota általános esetben térbeli, speciális esetekben lehet síkbeli ag lineáris is. Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (5..6., ) 7

18 . témakör. Sorolja fel, hog milen speciális alakáltoási állapotokat ismer! Milen les eekben a esetekben a isgált pont fesültségállapota iotróp anag esetén? Lineáris alakáltoási állapot: A három főnúlás köül kettőnek érs a nagsága. A fesültségállapot ekkor térbeli. Síkbeli alakáltoási állapot: A három főnúlás köül kettő nem érs, eg pedig érs. A pont fesültségállapota ekkor általános esetben térbeli; speciális esetben lehet síkbeli is. Tista sögtorlás: ε = ε 3 ; ε = ; ekkor a pont fesültségállapota: tista nírás. Térbeli alakáltoási állapot: Mindhárom főnúlás érstól különböő. A pont fesültségállapota ekkor általános esetben térbeli, speciális esetekben lehet síkbeli ag lineáris is. Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (6..6.) 8

19 . témakör. Ismertesse a irtális elmodlások tételét! Mi a tétel mechanikai tartalma? Virtális elmodlásrendser: a serkeet eg tetsőleges geometriailag lehetséges elmodlásrendserének áltoatlan geometriai peremfeltételek mellett képeett differenciálisan kicsin megáltotatása (aa ariációja) A irtális elmodlások tétele: A irtális elmodlások tétele kimondja, hog eg erőrendser akkor és csak akkor statikailag lehetséges, ha bármel irtális elmodlásrendseren égett mnkája érs: δwkülső + δwbelső = ahol a ténleges külső erőknek a irtális elmodlásokon égett mnkája: T T T δw = f δ e + q δ ds + g δ dv külső ( S) ( V) és a ténleges fesültségeknek a irtális alakáltoásokon aló belső mnkája: T δw = σ δ ε dv belső ( V ) A tétel mechanikai tartalma: A tétel a erőrendserek egensúlának sükséges és elégséges feltételét mondja ki. (Ha a isgált erőrendsernek csak eg konkrét irtális elmodlásrendseren égett mnkájáról mtatjk ki, hog érs, akkor a erőrendser egensúlának cspán sükséges feltételét igaoltk.) A tétel bármilen silárd anagú testre és serkeetre iga. Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (8..., 8..4., 8...) 9

20 . témakör. Ismertesse a irtális erők tételét! Mi a tétel mechanikai tartalma? Virtális erőrendser: a serkeet eg tetsőleges statikailag lehetséges erőrendserének áltoatlan statikai peremfeltételek mellett képeett differenciálisan kicsin megáltotatása (aa ariációja) A irtális erők tétele: A irtális erők tétele kimondja, hog eg elmodlás-alakáltoás-rendser akkor és csak akkor geometriailag lehetséges, ha bármel irtális erőrendseren égett kiegésítő mnkája érs: δw % külső + δw % belső = ahol a ténleges külső erőknek a irtális elmodlásokon égett mnkája: T T T δw% = e δ f + δ q ds + δ g dv külső ( S) ( V) és a ténleges fesültségeknek a irtális alakáltoásokon aló belső mnkája: T δw% = ε δ σ dv belső ( V ) A tétel mechanikai tartalma: A tétel a elmodlás-alakáltoás-rendser kompatibilitásának sükséges és elégséges feltételét mondja ki. (Ha a isgált elmodlás-alakáltoásrendsernek csak eg konkrét irtális erőrendseren égett kiegésítő mnkájáról mtatjk ki, hog érs, akkor a elmodlás-alakáltoásrendser kompatibilitásának cspán sükséges feltételét igaoltk.) A tétel bármilen silárd anagú testre és serkeetre iga. Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (8..., 8..5., 8...)

21 . témakör 3. Ismertesse a potenciális energia fogalmát! Mik a független áltoók? A potenciális energia: A a mnkaégő képesség, amellel a test heleténél és/ag alakáltoásainál foga rendelkeik: Π=Πkülső + Πbelső Külső potenciál: a isgált testre ható külső erők potenciális energiája T T T Π = f e q ds g dv külső ( S ) ( V) q Belső potenciál: a testben keletkeett alakáltoások potenciális energiája. Lineárisan rgalmas testek esetén íg írható: T Π belső = dv ε Dε ( V ) Független áltoói: a isgált serkeet geometriailag lehetséges elmodlás-alakáltoásrendserét leíró független áltoók (elmodlások) anni független áltoó, amenni a isgált serkeet elmodlási sabadságfokainak sáma Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (8.3..,.4.)

22 . témakör 4. Ismertesse a potenciális energia stacionaritásának tételét! Mi a fiikai jelentése annak, ha eg serkeet alamel isgált állapotában a potenciális energia stacionáris? A potenciális energia stacionaritásának tétele kimondja, hog eg rgalmas test geometriailag lehetséges elmodlás-alakáltoás-rendserei köül a les a ténleges (tehát a egensúli egenleteknek is megfelelő) rendser, amelre a teljes potenciális energia stacionáris (aa állandó értékű). Lineárisan rgalmas testek esetén: T T T T Π=f e q ds g dv + dv = stac! ε Dε ( S ) ( V) ( V) q A tétel a rgalmas testek egensúlának sükséges és elégséges feltételét fejei ki. A irtális elmodlások tételének segítségéel sármatatható. Lineárisan rgalmas és nemlineárisan rgalmas anagú testekre egaránt iga. Nag elmodlások esetén is érénes. Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (8.3..)

23 . témakör 5. Ismertesse a kiegésítő potenciális energia fogalmát! Mik a független áltoók? A kiegésítő potenciális energia: a kiegésítő mnka ellentettje: Π=Π % % külső + Π% belső Külső kiegésítő potenciál: a isgált test külső elmodlásainak kiegésítő potenciális energiája T T T Π % = ef % q % ds g % dv külső ( S ) ( V) q (itt e% és % adott, előírt elmodlásokat jelentenek, pl. támasmogás) Belső kiegésítő potenciál: a testben keletkeett fesültségek kiegésítő potenciális energiája. Lineárisan rgalmas testek esetén íg írható: T Π% belső = dv σ D σ ( V ) Független áltoói: a isgált serkeet statikailag lehetséges erő-fesültség-rendserét leíró független áltoók (erők) anni független áltoó, amenni a isgált serkeet statikai határoatlanságának foka Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (8.3.3.) 3

24 . témakör 6. Ismertesse a kiegésítő potenciális energia minimmának tételét! Mi a fiikai jelentése annak, ha eg serkeet alamel isgált állapotában a kiegésítő potenciális energiának minimma an? A kiegésítő potenciális energia minimmának tétele kimondja, hog eg rgalmas test satatikailag lehetséges erő-fesültség-rendserei köül a les a ténleges (tehát a kompatibilitási egenleteknek is megfelelő) rendser, amelre a teljes kiegésítő potenciális energia minimális. Lineárisan rgalmas testek esetén: T T T T Π= % ef % q % ds g % dv + dv = min! σ D σ ( S ) ( V) ( V) q A tétel a rgalmas testek kompatibilitásának sükséges és elégséges feltételét fejei ki. A irtális erők tételének segítségéel sármatatható. Lineárisan rgalmas és nemlineárisan rgalmas anagú testekre egaránt iga. Csak kis elmodlásokra érénes. Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (8.3.4.) 4

25 . témakör 7. Írja föl a potenciális energia függénét eg húott rúd esetén! l p () Jelölések: (): a rúd helkoordinátájú pontjának rúdiránú eltolódása EA(): a rúd normálmeresége a helen p (): a rúdra ható, iránú megosló teher intenitása a helen ε(): a rúd helen léő kerestmetsetében, bármel pontban a iránú fajlagos núlás: d( ) ε ( ) = d Külső potenciál: Π k = = l = p ( ) ( ) d Belső potenciál lineárisan rgalmas anagú rúd esetén: = l T Miel Π b = σ ε dv = ( Eε ) ε dad, ( V ) = ( A) eért = l d Π b = EA d. d = A teljes potenciális energia lineárisan rgalmas anagú rúd esetén: Π = = l = EA d d d = l = p ( ) ( ) d. Bojtár, I. Gáspár, Zs.: Végeselemmódser építőmérnököknek. TERC, Bdapest, 3 (E..) 5

26 . témakör 8. Írja föl a potenciális energia függénét eg hajlított gerenda esetén! p () l Jelölések: (): a gerenda helkoordinátájú pontjának iránú eltolódása EI(): a gerenda hajlítási meresége a helen p () : a gerendára ható, iránú megosló teher intenitása a helen κ(): a rúd helen léő kerestmetsetében a görbület: d κ = d Külső potenciál: Π k = = l = p ( ) ( ) d Belső potenciál lineárisan rgalmas anagú gerenda esetén: = l = l T Miel dv b E da Π = σ ε = ( ε ) ε d = ( EIκ) κ d, ( V ) = ( A) = eért = l d ( ) Π b = EI d = d. A teljes potenciális energia lineárisan rgalmas anagú gerenda esetén: Π = = l = d ( ) EI d d = l = p ( ) ( ) d. Bojtár, I. Gáspár, Zs.: Végeselemmódser építőmérnököknek. TERC, Bdapest, 3 (E.3.) Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (3.5.., 3.5.., ) 6

27 . témakör 9. Jelölje e K alamel isgált serkeet K pontjának lehajlását. Mit jelentenek a η(e K ) hatásábra ordinátái? Fogalmaa meg a hatásábra elkésítésének a Maellféle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helettesítő feladatát! A η(e K ) hatásábra ordinátái A hatásábra mindegik ordinátája a K kerestmetset lehajlásának nagságát mtatja. Eg konkrét, helen léő ordináta at adja meg, hog mekkora a e K lehajlás, ha a tartóra a helen eg függőleges, lefelé mtató egségerő hat. A helettesítő feladat: Teherként hasson a tartóra a K helen eg függőleges, lefelé mtató egségerő. E teher esetére késítsük el a tartó pálasintjének függőleges lehajlási ábráját! (A megoldásként kapott lehajlási ábra egben a eredeti feladatban keresett hatásábrát is megadja.) PÉLDA A eredeti feladat: K e K Késítse el a η(e K ) hatásábrát! A helettesítő feladat: F= e =? Késítse el a pálasint lehajlási ábráját a adott teher esetén! Krtné, K. M.: Tartók statikája. Műegetemi Kiadó, Bdapest, 3 (..) 7

28 . témakör. Jelölje ϕ K alamel isgált serkeet K pontjának elfordlását. Mit jelentenek a η(ϕ K ) hatásábra ordinátái? Fogalmaa meg a hatásábra elkésítésének a Maellféle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helettesítő feladatát! A η(ϕ K ) hatásábra ordinátái A hatásábra mindegik ordinátája a K kerestmetset elfordlásának nagságát mtatja. Eg konkrét, helen léő ordináta at adja meg, hog mekkora a ϕ K elfordlás, ha a tartóra a helen eg függőleges, lefelé mtató egségerő hat. A helettesítő feladat: Teherként hasson a tartóra a K helen eg egségni nagságú, poití iránú nomaték. E teher esetére késítsük el a tartó pálasintjének függőleges lehajlási ábráját! (A megoldásként kapott lehajlási ábra egben a eredeti feladatban keresett hatásábrát is megadja.) PÉLDA A eredeti feladat: K ϕ K Késítse el a η(ϕ K ) hatásábrát! A helettesítő feladat: M= e =? Késítse el a pálasint lehajlási ábráját a adott teher esetén! Krtné, K. M.: Tartók statikája. Műegetemi Kiadó, Bdapest, 3 (..) 8

29 . témakör. Jelölje ϑ C alamel isgált serkeet C csklójába beftó két rúdég relatí elfordlását. Mit jelentenek a η(ϑ C ) hatásábra ordinátái? Fogalmaa meg a hatásábra elkésítésének a Maell-féle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helettesítő feladatát! A η(ϑ C ) hatásábra ordinátái A hatásábra mindegik ordinátája a C csklóba beftó két rúdég relatí elfordlásának nagságát mtatja. Eg konkrét, helen léő ordináta at adja meg, hog mekkora a ϑ C relatí elfordlás, ha a tartóra a helen eg függőleges, lefelé mtató egségerő hat. A helettesítő feladat: Teherként hasson a tartóra a C csklóba beftó két rúdégre eg-eg egségni nagságú, egmással ellentétes, ϑ C iránának megfelelő nomaték. E teher esetére késítsük el a tartó pálasintjének függőleges lehajlási ábráját! (A megoldásként kapott lehajlási ábra egben a eredeti feladatban keresett hatásábrát is megadja.) PÉLDA A eredeti feladat: C ϑ C Késítse el a η(ϑ C ) hatásábrát! A helettesítő feladat: M = ± e =? Késítse el a pálasint lehajlási ábráját a adott teher esetén! Krtné, K. M.: Tartók statikája. Műegetemi Kiadó, Bdapest, 3 (..) 9

30 . témakör. Jelölje l alamel rácsos tartó eg isgált rúdjának megnúlását. Mit jelentenek a η( l) hatásábra ordinátái? Fogalmaa meg a hatásábra elkésítésének a Maellféle felcserélhetőségi tétel alapján megadható helettesítő feladatát! A η( l) hatásábra ordinátái A hatásábra mindegik ordinátája a isgált rúd megnúlásának nagságát mtatja. Eg konkrét, helen léő ordináta at adja meg, hog mekkora a l megnúlás, ha a tartóra a helen eg függőleges, lefelé mtató egségerő hat. A helettesítő feladat: Teherként hasson a tartóra a rúd két égén eg-eg rúdiránú, a rúdtól kifelé mtató, egmással ellentétes iránú, egségni nagságú erő. E teher esetére késítsük el a tartó pálasintjének függőleges lehajlási ábráját! (A megoldásként kapott lehajlási ábra egben a eredeti feladatban keresett hatásábrát is megadja.) PÉLDA A eredeti feladat: l Késítse el a η( l) hatásábrát! A helettesítő feladat: F = e =? Késítse el a pálasint lehajlási ábráját a adott teher esetén! F = Krtné, K. M.: Tartók statikája. Műegetemi Kiadó, Bdapest, 3 (..) 3

31 3. témakör. Ismertesse a stabilitásisgálat célját és a stabil, instabil, indifferens és kritiks egensúli állapot fogalmát! Stabil a egensúli állapot, ha a serkeetet bármel geometriailag lehetséges, kicsin elmodlásrendserrel kimodíta, a serkeet issatér eredeti egensúli állapotába. Instabil a egensúli állapot, ha léteik olan geometriailag lehetséges, kicsin elmodlásrendser, amellel a serkeetet kimodíta, táolodni fog a eredeti egensúli helettől. Indifferens a egensúli állapot, ha léteik a isgált egensúli heletnek olan éges körneete, amelen belül bármel geometriailag lehetséges elmodlásrendserrel kimodíta a serkeetet, a egensúl toábbra is fennáll. Kritiks egensúli állapotról akkor besélünk, ha léteik olan geometriailag lehetséges, kicsin elmodlásrendser, amellel a serkeetet a isgált egensúli helet égtelen kicsin körneetében kimodíta, a egensúl toábbra is fennáll. Ekkor toábbi isgálatok sükségesek a egensúl típsának megállapításáho. A mérnöki serkeetektől at köeteljük, hog egensúli állapotk a megengedhető erők tartománába eső terhek esetén mindig stabil legen. A stabilitásisgálattal at elemeük, hog eg adott erő esetén a egensúli állapot alóban stabil-e, illete at, hog mekkora erők engedhetők meg ahho, hog a egensúli állapot még stabil maradjon. Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (..) 3

32 3. témakör. Ismertesse a stabilitásisgálat statikai módserének alapelét! A statikai módser a kritiks állapot keresésére hasnálható. Segítségéel at kíánjk megállapítani, hog milen feltételek mellett (pl. milen teher esetén) les a serkeetnek a eredeti egensúli heleten kíül, ahho égtelen köel, másik egensúli helete. A módser lénege: a serkeetet infiniteimálisan kicsin mértékben kimodítjk, és a megáltoott heletben a egensúli egenletek segítségéel keressük meg a ismeretleneket (pl. a terhet). (Többsabadságfokú rendser esetén elileg minden elmodlási lehetőséget és eek minden lehetséges kombinációját figelembe kell enni.) A statikai módser nem ad felilágosítást a kritiks egensúli állapot stabil, instabil ag indifferens oltáról. Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (..) 3

33 3. témakör 3. Ismertesse a stabilitásisgálat energiamódserének alapelét! A potenciális energia függénének miért a második deriáltját isgáljk stabilitási feladatoknál? A potenciális energiát a serkeet lehetséges független elmodlásainak függénében fejeük ki. Ha n a serkeet elmodlási sabadságfoka, akkor a potenciális energia n elmodlásáltoó függéne: Π = Π( e, e, K, en ). Egensúli állapot esetén a potenciális energia minden áltoója serint stacionáris, aa mindegik első deriáltja érs. E aonban cspán a egensúl meglétének feltétele, és nem ad információt a egensúli állapot jellegéről. At, hog a egensúli állapot stabilis, labilis ag indifferens-e, a toábbi deriáltak segítségéel tdjk isgálni: Egsabadságfokú serkeetekre: Π( e) > esetén a egensúl stabilis, e Π( e) < esetén a egensúl labilis, e Π( e) = esetén kritiks a egensúli állapot, és a toábbi deriáltak e isgálata sükséges. Ha a össes toábbi deriált is érs, akkor a egensúli állapot indifferens. Többsabadságfokú rendserek esetén a második deriáltakból össeállított Hesse-mátri sajátértékeit isgáljk. Ha mindegik sajátérték poití, akkor a egensúli állapot stabilis; ha an negatí sajátérték, akkor a egensúli állapot labilis; ha pedig a Hesse-mátrinak an érs sajátértéke, de a érstól eltérő sajátértékei mind poitíak, akkor kritiks a egensúli állapot, és a potenciális energia toábbi deriáltjainak segítségéel ellenőrihetjük, hog stabil-e a serkeet egensúla. A módser csak koneratí erők esetén alkalmaható. Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (..) 33

34 3. témakör 4. Ismertesse a határkarcsúság fogalmát! Ábráolja a köpontosan nomott, egenes tengelű rúd kritiks fesültsége és karcsúsága köötti össefüggést! A határkarcsúság a isgált rúd anagjellemőiből sámítható paraméter: E λ H = π σ A ahol E a rúd anagának Yong-modlsa, σ A pedig a a fesültségi érték (ún. aránossági határ), ameddig a rúd anaga még lineárisan rgalmasnak tekinthető. Ha a isgált rúd ténleges karcsúsága nagobb, mint a anagára jellemő határkarcsúság ( karcsú rdak ), akkor a rúd kihajlása rgalmas állapotban történik. Ha a isgált rúd ténleges karcsúsága kisebb, mint a anagára jellemő határkarcsúság ( ömök rdak ), akkor a rúd kihajlása képléken állapotban történik. A kritiks fesültség és a rúd karcsúsága köötti össefüggés: (???) Karcsú rdak esetén a Eler-féle hiperbola érénes. Zömök rdakra kísérleti eredmének alapján állítottak fel különböő köelítő össefüggéseket (pl. Tetmaer, Engesser, Kármán, Shanle). Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (.3.) Koráni, I.: Stabilitási kérdések a mérnöki gakorlatban: Kihajlás a síkban. Akadémiai Kiadó, Bdapest, 965 ( ) 34

35 3. témakör 5. Ismertesse a rgalmas és képléken kihajlás fogalmát! Rgalmas kihajlás: Rgalmas kihajlásról akkor besélünk, ha a isgált serkeeti elem a kihajláskor még rgalmas állapotban an (a kritiks erő hatására keletkeő fesültségek még nem olan nagok, hog a serkeet bármel pontja képléken állapotba kerülne). Köpontosan nomott rdak akkor esítik el rgalmas kihajlással a stabilitáskat, ha karcsúságk (λ) nagobb, mint a anagkra jellemő határkarcsúság ( karcsú rdak ). Ilen esetben a rúd kritiks fesültsége: π E σ k = λ Képléken kihajlás: Képléken kihajlásról akkor besélünk, ha a isgált serkeeti elem a kihajláskor már képléken állapotban an (a kritiks erő hatására keletkeő fesültségek elérik a anag folási fesültségét). Köpontosan nomott rdak akkor esítik el képléken kihajlással a stabilitáskat, ha karcsúságk kisebb, mint a anagkra jellemő határkarcsúság ( ömök rdak ). Zömök rdak kritiks fesültségének sámítására kísérleti eredmének alapján állítottak fel különböő köelítő össefüggéseket (pl. Tetmaer, Engesser, Kármán, Shanle). (???) Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (.3.) Koráni, I.: Stabilitási kérdések a mérnöki gakorlatban: Kihajlás a síkban. Akadémiai Kiadó, Bdapest, 965 ( ) 35

36 3. témakör 6. Hogan határok meg eg köpontosan nomott, egenes tengelű rúd kritiks erejét rgalmas kihajlás esetén? Hogan ehetők figelembe a különböő peremfeltételek? () Kisámítjk a rúd kerestmetsetének I főinerciáját és A területét, majd a minimális inerciasgarat: I i = A () A rúd ténleges hossa (l) és megtámastásának módja (tehát a elmodlási peremfeltételek) alapján meghatárok a rúd kihajlási hossát: l = c l ahol a c téneő a elmodlási peremfeltételeket fejei ki: (3) Ebből a rúd karcsúsága sámítható: l λ = i (4) Ha λ > λh (itt λ H a rúd anagának határkarcsúsága), akkor a rúd karcsú, és a kritiks erő a Eler-össefüggés alapján sámítható: π EA F k = λ Ha pedig λ < λh, akkor a rúd ömök, és a kritiks erő sámítására köelítő össefüggés alkalmaható. Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (.3.3.,.3.4.) 36

37 37 3. témakör 7. Ismertesse a mechanikai anagmodell fogalmát! A mechanikai anagmodell a anag külső hatásokra adott mechanikai álasának megfogalmaása matematikai formában. A anagmodell tartalmaa a fesültség- és alakáltoástenor komponensei köötti össefüggéseket, korlátoó feltételeket stb. σ =Dε ; ε =D σ Lineárisan rgalmas anag esetén a D - mátri (a anagi hajlékonsági mátri) a Hooke-modellt adja: = G G G E E E E E E E E E τ τ τ σ σ σ ν ν ν ν ν ν γ γ γ ε ε ε Bojtár I.: Mechanikai anagmodellek. Tankönkiadó, Bdapest, 988 (..) Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (.3..)

38 38 3. témakör 8. Ismertesse a lineárisan rgalmas anag, illete a nemlineárisan rgalmas anag fogalmát! Ismertesse a Hooke-modellt! Rgalmas anagmodell esetén feltételeük, hog a fesültség- és alakáltoástenor komponensei köött fennálló össefüggések terheléskor ganaok, mint tehermentesítéskor. A ilen anagú serkeetek a teher eltáolításakor issanerik eredeti, terheletlen alakjkat, aa nem keletkenek bennük maradó alakáltoások. A terheléskor a anagban felhalmoódott alakáltoási energia tehermentesítéskor teljes egésében issanerhető. Lineárisan rgalmas anagról akkor besélünk, ha a fesültség-alakáltoásössefüggések lineárisak, aa a fesültségtenor komponensei lineáris függénei a megfelelő alakáltoási komponenseknek (b). Nemlineárisan rgalmas anag esetén a össefüggések nemlineárisak (a, c). A Hooke-modell a leggakrabban hasnált lineárisan rgalmas anagmodell. A fesültségek és alakáltoások köött feltételeett kapcsolat: = G G G E E E E E E E E E τ τ τ σ σ σ ν ν ν ν ν ν γ γ γ ε ε ε Bojtár I.: Mechanikai anagmodellek. Tankönkiadó, Bdapest, 988 (..) Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (.3..,...)

39 3. témakör 9. Ismertesse a képléken alakáltoás fogalmát! Mit jelentenek a folási feltétel és folási felület kifejeések? Képléken alakáltoás Ha a isgált anagban a terhelés hatására létrejött alakáltoások eg rése a tehermentesítés tán nem sűnik meg, akkor képléken alakáltoásról besélünk. A képléken alakáltoás a tehermentesítés tán issamaradó deformációkat jelenti. A folási feltétel A folási feltétel a a össefüggés, amel a isgált pontban megadja a össes olan fesültségállapotot, amelnek beköetketekor a anag képléken állapotba kerül. A folási feltételt leggakrabban eg általános alakú f függén segítségéel adjk meg, amelnek független áltoói a isgált pont fesültségállapotát jellemő fesültségtenor komponensei, ag eekből sármatatott menniségek (pl. főfesültségek, hidrostatiks fesültségösseteő stb.) A f függén a anagra jellemő állandó(ka)t is tartalma (pl. folási fesültség). A f függént úg álastjk meg, hog f < a rgalmas állapotot, míg f = a képléken állapotot jelentse. Tökéletesen képléken anagmodell esetén a f > állapot nem jöhet létre. A folási felület A főfesültségek terében a isgált pont fesültségállapotát a (σ, σ, σ 3 ) koordinátájú pont mtatja. A folási feltétel semléletessé tétele céljából a főfesültségek terében ábráoljk a f = felületet. E a felület les a ún. folási felület. Ha a isgált pont rgalmas állapotban an, akkor a fesültségállapotát jellemő pont a felületen belül helekedik el. Képléken állapot esetén a fesültségállapotot semléltető pont éppen a felületre esik. Tökéletesen képléken anagmodell esetén nem lehetséges a felületen kíüli pontnak megfelelő fesültségállapot. A folási felület kíülről née mindig kone. Kalisk, S.: Képlékenségtan. Akadémiai Kiadó, Bdapest, 975 (.3) Bojtár I.: Mechanikai anagmodellek. Tankönkiadó, Bdapest, 988 (3.., 3...) Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (9...) 39

40 3. témakör. Semléltesse a Hber-Mises-Henck-féle folási feltételt síkbeli fesültségállapot esetén! A Hber-Mises-Henck-féle folási feltétel: f = ( σ σ ) + ( σ σ3 ) + ( σ σ3 ) τ f = 6 amelben a tista nírásra érénes folási határ: τ f = σ f. 3 A fenti folási feltétel a főfesültségek terében eg olan körhenger egenlete, amelnek tengele a hidrostatiks tengel. σ Semléltetése síkbeli fesültségállapot esetén: Síkbeli fesültségállapot esetén a feltétel egserűbb alakot ölt: f = σ σσ + σ σ f = ami a ábrán látható ellipsis egenlete. σ f σ f σ Össehasonlítás a Tresca-féle folási feltétellel: Tista húás ag nomás esetén mindkét folási feltétel aonos határt ad a normálfesültségre; Tista nírás esetén a Hber-Mises- Henck-féle feltétel nagobb nírófesültségeket enged meg. σ σ f σ f σ tista nírás Kalisk, S.: Képlékenségtan. Akadémiai Kiadó, Bdapest, 975 (.3) Bojtár I.: Mechanikai anagmodellek. Tankönkiadó, Bdapest, 988 (3...) Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (9..., ) 4

41 3. témakör. Semléltesse a Tresca-féle folási feltételt síkbeli fesültségállapot esetén! A Tresca-féle folási feltétel: A Tresca-feltétel serint a isgált pont akkor kerül képléken állapotba, ha a alábbi három feltétel köül bármelik teljesül: f = ( σ σ ) 4τ f = 3 = ( 3) 4 = 3 = ( ) 4 = f σ σ τ f f σ σ τ f amelekben a tista nírásra érénes folási határ: τ f = σ f. A fenti folási feltétel a főfesültségek terében eg olan sabálos hatsög alapú hasáb egenlete, amelnek tengele a hidrostatiks tengel. σ Semléltetése síkbeli fesültségállapot esetén: Síkbeli fesültségállapot esetén a feltétel egserűbb alakot ölt: f = σ 4τ f = f = σ 4τ f = f3 = ( σ σ) 4τ f = ami a ábrán látható hatsög éleinek egenlete. σ f σ f σ Össehasonlítás a Hber-Mises-Henck-féle folási feltétellel: σ Tista húás ag nomás esetén mindkét folási feltétel aonos határt ad a normálfesültségre; Tista nírás esetén a Tresca-féle feltétel kisebb nírófesültségeket enged meg. σ f σ f tista nírás σ Kalisk, S.: Képlékenségtan. Akadémiai Kiadó, Bdapest, 975 (.33) Bojtár I.: Mechanikai anagmodellek. Tankönkiadó, Bdapest, 988 (3...) Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (9..., ) 4

42 3. témakör. Semléltesse a Prager-Drcker-féle és a Mohr-Colomb-féle folási feltételt háromdimeniós fesültségállapot esetén! Prager-Drcker-féle folási felület: ( általánosított Hber-Mises-Henck-feltétel ) Körkúp a hidrostatiks tengel körül; A nomófesültségek iránában nitott; Kohéió nélküli anagok esetén a kúp csúcsa a origóban an. -σ folási felület -σ -σ 3 Mohr-Colomb-féle folási felület: Hatsög alapú gúla a hidrostatiks tengel körül; A nomófesültségek iránában nitott; Kohéió nélküli anagok esetén a gúla csúcsa a origóban an. -σ folási felület -σ -σ 3 Megjegések: A, hog a fenti két folási felület a nöekő nomófesültségek iránában nitott, at jelenti, hog a anagra ható nomás nöelése megnöeli a anag nírási ellenállását. Talajmechanikában a itteniel épp ellentétes előjelkonenció hasnálatos: a nomófesültségeket poitínak, a húófesültségeket negatínak tekintik. Bojtár I.: Mechanikai anagmodellek. Tankönkiadó, Bdapest, 988 (3...) Kalisk, S. Krtné, K.M. Silági, G.: Silárdságtan.. kiadás, Nemeti Tankönkiadó, Bdapest,. (.5.3..,.5.3..) 4

43 43