MUNKA- ÉS ENERGIATÉTELEK

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "MUNKA- ÉS ENERGIATÉTELEK"

Eszter Vargané
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 MUNKA- ÉS ENERGIAÉELEK 1. előadás: Alapfogalmak; A virtuális elmozdulások tétele 2. előadás: Alapfogalmak; A virtuális erők tétele Elmozdulások számítása a virtuális erők tétele alapján 3. előadás: Az erőmódszer (Statikailag határozatlan tartók számítása) 4. előadás: Energiatételek (Potenciális energia; Kiegészítő potenciális energia) 5. előadás: Energiatételek alkalmazása (Összevont gyakorlat) 1/16

2 1. előadás: Alapfogalmak A munka fogalmának általánosítása Külső és belső munka Saját és idegen munka A virtuális elmozdulások tétele A virtuális elmozdulásrendszer fogalma A virtuális munka fogalma A virtuális elmozdulások tétele 2/16

3 1. A munka fogalmának általánosítása " W = F u" F u elemi munka: növekmény dw = F du erő teljes munka: összegzett W = F du ( u) elmozdulás W = F du ( u) 3/16

4 1. A munka fogalmának általánosítása általánosított munka általánosított erők elemi teljes elmozdulások külső erők: elmozdulások: F M dw = F du W dw = M dϕ ( ) = F du q(x, y, z) dw = q du ds u(x, y, z) ( S ) W = q du ds ( S ) ( u) g(x, y, z) dw = ( g du) dv u(x, y, z) ( V ) W = g du dv ( V ) ( u) ( u) = M W ( ϕ) dϕ u ϕ 4/16

5 A külső munka Jelölés: f : összes külső koncentrált erő és nyomaték komponensei e : támadáspontjaiknak elmozdulásai erő Wkülső = f de+ d ds + q u ( e) ( S ) ( u) pl. statikai teher: erő F teher + d dv g u ( V ) ( u) Wkülső = e F teher W külső elmozdulás pl. előírt támaszmozgás: erő F e elmoz dulás W külső = 0 teher e elmoz dulás 5/16

6 Abelső munka feszültségek belső munka alakváltozások σ x( xyz,, ), σ y( ), σz( ) feszültség ε x( xyz,, ), εy( ), εz( ) τ ( xyz,, ), τ ( ), τ ( ) γ ( xyz,, ),γ ( ),γ ( ) xy xz yz xy xz yz σ = σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx ε N A alakváltozás Wbelső = d dv σ ε ( V ) ( ε) l =1 σ ε = ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx 6/16

7 A belső munka lineárisan rugalmas anyag esetén Wbelső = () d dv σ ε ε ( V ) ( ε) fesz. σ 1 ε 1 alakv. 1 2 Wbelső = Eε1 dv 2 ( V ) fesz. σ 1 ε 0 ε rug ε 1 W belső alakv. W belső 1 W = E dv belső ε rug ( ε ε ) ( V ) 7/16

8 Abelső munka gerendák esetén igénybevételek belső munka alakváltozások N (z) x (z), y (z) pl. Wbelső = N( z) d z( z) dz ε () l ( ε) ε z (z) γ zx (z), γ zy (z) M x (z), M y (z) M cs (z) pl. Wbelső = Mcs ( z) dκ z z) dz ( () l ( κ z ) κ x (z), κ y (z) κ z (z) [a többi igénybevételre is analóg módon] 8/16

9 2. Saját és idegen munka fogalma Elmozdulás-alakváltozás-rendszer: Erő-feszültség-rendszer: (, fqg,, σ) (, eu, ε) röviden elmozdulásrendszer röviden erőrendszer mezők!!! 9/16

10 2. Saját és idegen munka fogalma Geometriai peremfeltételek: S u tartományon u( x, y, z) = u0( x, y, z)(adott) Statikai peremfeltételek: S q tartományon σ( x, y, z) n( x, y, z) = q ( x, y, z)(adott) 0 S S q q S = u S = u 0 S 10 /16

11 2. Saját és idegen munka fogalma Geometriailag lehetséges elmozdulásrendszer: kompatibilis teljesülnek a geometriai peremfeltételek teljesülnek a geometriai egyenletek pl. u x ( x, y, z) x = ε ( xyz,, ) stb. x Statikailag lehetséges erőrendszer: egyensúlyi teljesülnek a statikai peremfeltételek [a peremeken lévő hasábok egyensúlyban] teljesülnek az egyensúlyi egyenletek [minden belső elemi hasáb egyensúlyban] Összetartozó erő-és elmozdulásrendszer: teljesülnek az ANYAGEGYENLEEK σ és ε között 11 /16

12 2. Saját és idegen munka fogalma A tényleges erő-és elmozdulásrendszer: az erőrendszer statikailag lehetséges; az elmozdulásrendszer geometriailag lehetséges; a két rendszer összetartozó [ bizonyítható: rugalmas anyagú test esetén, tetszőleges adott terhekre: legfeljebb egy ilyen erő-elmozdulás-rendszer van ] Saját munka: az erőrendszer a vele összetartozó elmozdulásrendszeren végzi Idegen munka: a két rendszer nem tartozik össze 12 /16

13 3. Virtuális elmozdulásrendszer és virtuális munka A virtuális elmozdulás-alakváltozás-rendszer: ( δe, δu, δε) Def.: egy tetszőleges geometriailag lehetséges elmozdulásrendszernek változatlan geometriai peremfeltételek mellett képezett differenciálisan kicsiny megváltoztatása, variációja pl. vz ( ) vz ( ) +δ vz ( ) δv( z) vz ( ) z A virtuális elmozdulás-alakváltozásrendszer jellemzői: geometriailag lehetséges kicsiny pl. a tényleges elmozdulásrendszer is, feltéve, hogy kicsi 13 / 16

14 3. Virtuális elmozdulásrendszer és virtuális munka A virtuális munka: δw a tényleges erőrendszernek egy virtuális elmozdulásrendszeren végzett munkája δw külső belső = σ δ ε ( V ) ( fqg,,, σ) ( δe, δu, δε) δw = f δ e + q δ u ds + g δ u dv δw = δw + δw külső ( S) ( V) dv belső IDEGEN MUNKA! 14 / 16

15 4. A virtuális elmozdulások tétele étel: Egy erőrendszer akkor és csak akkor statikailag lehetséges, ha bármely virtuális elmozdulásrendszeren végzett munkája zérus. avizsgálterőrendszer egyensúlyának szükséges és elégséges feltétele ha csak egy virtuális elmozdulásrendszerre mutattuk ki, hogy δw =0: még csak egy szükséges feltételt vizsgáltunk; elégséges feltétel: minden virtuális elmozdulásrendszerre δw =0 a szerkezet anyaga: mindegy! [idegen munka] 15 / 16

16 4. A virtuális elmozdulások tétele Alkalmazása: pl. elméleti alap más tételekhez pl. statikailag határozott tartók reakcióerőinek számítása: adott: a szerkezet és a terhek; keressük: az egyik reakciót választunk egy virtuális elmozdulásrendszert: a keresett reakció helyén: legyen 1 (vagy más választott érték) a többi támasznál: legyen 0 a tartó mentén: legyen merevtestszerű felírjuk a virtuális elmozdulások tételét: δw külső + δw = belső 0 a keresett reakció 0 16 / 16

17 Minimumkérdések 37. Mi a virtuális elmozdulásrendszer és a virtuális munka? Mit mond ki a virtuális elmozdulások tétele? Mire használjuk?

Hasonló dokumentumok

Virtuális elmozdulások tétele

6. Előadás A virtuális elmozdulás-rendszer fogalma A virtuális munka fogalma A virtuális elmozdulások tétele Alkalmazás statikailag határozott tartók vizsgálatára 1./ A virtuális elmozdulásrendszer fogalma