Statikai egyensúlyi egyenletek síkon: Szinusztétel az CB pontok távolságának meghatározására: rcb

Átírás

1 MECHNIK-STTIK (ehér Lajos) 1.1. Példa: Tehergépkocsi a c b S C y x G d képen látható tehergépkocsi az adott pozícióban tartja a rakományt. dott: 3, 7, a 3 mm, b mm, c 8 mm, d 5 mm, G 1 j kn eladat: a) Mekkora erő lép fel a munkahengerben? a x 9 y c S b C T y x G d x y I. Statika 1/

2 Statikai egyensúlyi egyenletek síkon: x y G M r r G S M r r G S Szinusztétel az C pontok távolságának meghatározására: rc f c a b a b sin sin sin sin 3 sin 3 f 66, 4 mm a b f sin f sin sin 7 Szinusztétel az C pontok távolságának meghatározására: rc e a b a b sin sin 18 sin sin 18 e a b e sin 18 e sin 3 sin 8 5, , 5 54,1mm sin 7,93969,93969 pont magasságának meghatározása: r T m m sin m c f sin 8 66, 4 sin 7 346, 4 sin 7 351, 7 mm c f Pitagorasz tétel az TC pontok távolságának meghatározására: rtc g f c g m g f c m 346, 4 351, , 6mm Ellenőrzés: g cos c f g c f cos 8 66, 4 cos 7 346, 4 cos , 6 mm r r r 54,11183, 6 456,5mm T C TC r r i r j 456,5i 351, 7 j mm T T d d 5 cos rls 577,35mm r cos cos 3 LS rlp tg rlp d tg 5tg3 88, 7mm d Szinusztétel az KL pontok távolságának meghatározására: r KL b rlp sin sin 9 sin r sin KL 88, 7 sin 3 rkl r b r sin 9 b r sin 9 sin 9 KL LP LP 88, 7 sin ,3,5 855, 65 mm sin 9 1 I. Statika /

3 a c b S C T y x P L K d z K pontok távolságának meghatározására: r K rk cos rk b rlp cos 88, 7 cos ,3 cos 3 148mm b r LP S K KS K KL LS , , r r i r j r i r r j i j i j mm M r r G S r 148i 1433 j mm S r 456,5i 351, 7 j i j 456,5 351, 7 x y 456,5 351, 7 k knmm y x k 148 x i j k r G 148i 1433 j 1 j S k knmm i j k 1 M 456,5 351,7 k 148k y x y I. Statika 3/

4 148G 148 M rcy rkg 54,1 y 148G y 8, 8kN 54,1 54,1 G G 1 8, 8 71, 718kN y y y y y e cos i sin j x y y y 8, 8 tg x 1, 9381 kn tg tg7 x 1, 9381kN x x x x x 1, 9381i 8, 8 j kn x y 1, 9381i 71, 718 j kn x y I. Statika 4/

5 1.. Példa: Lemez Határozzuk meg a képen látható lemez szögét! dott: a 4 mm, b 6 mm, c 3 mm, d 5mm r1 4i 6 j mm r 5i 3k mm r r , 744 Skaláris szorzás: r r r1 r r1 r cos cos r r , r1 r 4i 6 j 5i 3k r r r r 1 cos,19436 arccos, , , ,886 mm mm I. Statika 5/

6 1.3. Példa: Daru z ábrán látható daru emelési szögtartománya 9 kitolási tartománya pedig m c 6m teher tömege 35 kg. Határozzuk meg a teher által kifejtett nyomatékot az pontra! dott: a 1 m, b m, m 35kg G mg 35 1 j 35 j N G G 35N cos 351 cos M G a c c M max G a cmax cos Nm 56kNm Scilab program kód a megoldásra tetszőleges pozícióban: Nyomaték meghatározás clear;clc; datok m=35; kg g=1; m/s a=1; m b=; m felosztas=5; c=linspace(,6,felosztas); m alfa=linspace(,9*%pi/18,felosztas); fok átváltás radiánra Számolás Ma=-m*g*(a+c)*cos(alfa) for i=1:felosztas for j=1:felosztas Ma(i,j)=-m*g*(a+c(i))*cos(alfa(j)); end; end Ábrázolás xset("colormap",jetcolormap(1)); surf(alfa,c,ma) / I. Statika 6/

7 1.4. Példa: Háromszög fenti síkidomra az ábrán látható irányokban 6 db erő hat. Mekkora legyen az e méret, hogy a síkidomra 4 Nm nyomaték adódjon ki. dott: 3, 1 1 N, N, 3 N, 4 8 N, 5 8 N, 6 1N M 4 e 6 esin 5 ecos 3 e 6 sin 5 cos 3 M 4 4 e 6 sin 5 cos 3 1 sin 3 8 cos 3 3 1, , 399m 5 17,3 3, 68 M 4 e 1 esin 4 ecos e 1 sin 4 cos M 4 4 e 1 sin 4 cos 1 sin 3 8 cos 3 3 1, , 399m 5 17,3 3, 68 M 4 ecos 1cos esin 6sin esin 5 ecos C e cos 1cos sin 6sin sin 5 cos e M cos 1cos sin 6sin sin 5 cos 4 1cos3 cos3 1sin 3 sin 3 sin 3 8 cos ,5,5, , 399m 7,5,5 4 17,3 3, 68 Mivel 3 db erőpár hat a szerkezetre ezek nyomatékai a sík tetszőleges pontjára ugyan annyi lesz. I. Statika 7/

8 1.5. Példa: Súrlódás Hány darab dobozt tudunk összefogni az ábrán látható módon, ha egy doboz tömege,5kg a nyugvásbeli súrlódási tényező a dobozok között.6 a dobozok és a kéz között,4 értékű. z összeszorító erő nagysága 1N. dott: m m,5 kg, g 1, 1,6, 4 1N s Két doboz közül a többi doboz kicsúszásának esete: mg n mg n mg n n y 1 S 1 1 N 1 1,61 1 mg, db két kéz közül az összes doboz kicsúszásának esete: mg n mg n mg n n y S N, mg,51 5 db Tehát összesen 16 db dobozt tudunk összefogni. I. Statika 8/

9 1.6. Példa: Csigasor fenti csigasort mekkora erővel kell megtartani hogy a 1 kg-os m tömeg nyugalomban maradjon. dott: m 1kg G mg 1 1 j 1 j N G G 1N 1kN Ha a teljes szerkezet nyugalomban van akkor az egyes részeknek is nyugalomban kell lenniük. G 1 jelű csiga: y G y y 5N y G 5 jelű csiga: y y y y 5N 4 y G 5 C jelű csiga: y y Cy Cy 15N 8 G Cy 15N 8 15 j N I. Statika 9/

10 1.7. Példa: Kötélsúrlódás fenti ábrán látható módon egy 15 kg tömegű test lóg egy kötélen. Határozzuk meg, mekkora kell legyen az erő, hogy a hasáb egyensúlyban legyen (ne mozduljon el lefelé), ha a kötelet csak átvetjük a rúdon, ha egyszer körbe tekerjük a rúdon (ahogy az ábrán látszik) illetve ha kétszer tekerjük körbe a rúdon. nyugvásbeli súrlódási tényező a kötél és a rúd között,4 értékű. dott: m 15 kg,, 4, 18 ; ; Kötélsúrlódás alap összefüggése: e 1 G Ennél a feladatnál ez ilyen alakú lesz: e G mg 15N 1 1. eset: kötelet csak átvetjük a rúdon G ,93N,4,4 3,1415 1,566 e, e e e 3,5135 e. eset: egyszer körbe tekerjük a kötelet a rúdon G ,585N,4 3,4 9,445 3,7698 e, e e e 43,3714 e 3. eset: kétszer tekerjük körbe a kötelet a rúdon G ,8N,4 5 6,83 e,49 18 e e 535,39 e I. Statika 1/

11 Scilab program kód a megoldásra: Kötélsúrlódás clear;clc; datok >>>>>>>>>>>>>>>>>>>> m=15; kg g=1; m/s mu=.4, nyugvásbeli súrlódási tényező korul=[ ]; körül tekerés száma db felosztas=3; beta=linspace(,(6*%pi)+%pi,felosztas); radian Számolás >>>>>>>>>>>>>>>>>> for i=1:size(korul,) if korul(i) < 1 then korulha(i)=korul(i); else korulha(i)=(korul(i).*%pi)+%pi; end end 1=(m*g)./(%e^(mu*beta)); =(m*g)./(%e^(mu*korulha')); Ábrázolás >>>>>>>>>>>>>>>>>> plot(beta,1) plot(korulha,,"xr") / I. Statika 11/

12 1.8. Példa: Kötélsúrlódás fenti ábrán látható módon egy 15 kg tömegű test lóg egy kötélen. Határozzuk meg, mekkora kell legyen az erő, hogy a hasábot felfelé tudjuk megmozdítani, ha kötelet csak átvetjük a rúdon, ha egyszer körbe tekerjük a rúdon (ahogy az ábrán látszik) illetve ha kétszer tekerjük körbe a rúdon. nyugvásbeli súrlódási tényező a kötél és a rúd között,4 értékű. dott: m 15 kg,, 4, 18 ; ; Kötélsúrlódás alap összefüggése: e 1 Ennél a feladatnál ez ilyen alakú lesz: e G G mg 15N 1. eset: kötelet csak átvetjük a rúdon 1,418 18,4,43,1415 1, , ,5 Ge e e e e N. eset: egyszer körbe tekerjük a kötelet a rúdon,454 18,43,49,445 3, , ,1 Ge e e e e N 3. eset: kétszer tekerjük körbe a kötelet a rúdon,49 18,45 6, , Ge e e e N I. Statika 1/

13 1.9. Példa: Súrlódás fenti ábrán látható tengelyre erő hat, amely konstans nyomáseloszlást okoz az érintkező felületeknél. Határozzuk meg az M nyomaték nagyságát, amelynél a tengely még nyugalomban marad. dott: 1 N,,5, a 8 mm, b 1mm lap összefüggés: R R M R R R R1 M b a ,51,51 3 b a , ,33 Nmm,5333 Nm 3 I. Statika 13/

14 1.1. Példa: Egyensúly m R R M dott a fenti ábrán látható szerkezet. Két rúd van összehegesztve szöget bezárva a végeiken egyegy tömeg, középen pedig egy rúddal alátámasztva. Határozza meg egyensúlyi helyzetben mekkora szöget zár be a két rúd, amin a tömegek vannak felfüggesztve, a függőleges rúddal! dott: m 5 kg, M 1 kg, 9, R,5m Nyomatéki egyensúlyi egyenlet az alátámasztási pontra felírva. MR sin mr sin( ) MR sin mr sin(9 ) mr sin(9 ) MR sin mr cos( ) MR sin sin mr m 5 tg,5 6,565 cos MR M 1 I. Statika 14/

15 1.11. Példa: Pótkocsi dott a fenti ábrán látható pótkocsi modellje. plató hossza R a rakomány súlypontja c magasságban van a plató résztől. z - rúd a munkahenger modellje, amellyel a rakódóteret emelni lehet. maximális emelési szög 45 fok. Határozzuk meg, hogy az emelés során mekkora támasztóerő lép fel a munkahengerben. dott: a,5 m, b, 4 m, c 1 m, R 1 m, m 5 t,, 45 e cosi sin j N rd1 R cosi sinj m G mg 5 j N max R R R c c rds c cos arctg i sin arctg j I. Statika 15/

16 1 M r r G R cos R sin D D DS i j k cos sin i j k R c R c c cos arctg c sin arctg R R 5 R cos Rsin k R cos sin Rsin cos i j k cos sin i j k R c R c c cos arctg c sin arctg R R 5 R c k c cos arctg 5 R R c M D k R cos sin Rsin cos k c cos arctg 5 k R R c r cos sin Rsin cos c cos arctg 5 R R c c cos arctg 5 R Rcos sin Rsin cos I. Statika 16/

17 a,5 arctg arctg 51,34 b, 4 11, cos arctg cos sin 51,34 1sin cos 51, cos ,94 315, 7N 1 1, ,88667 arsin 45,5 1sin 45 7, arctg arctg arctg 66, 7 b R R cos 45, cos 45 3, , cos45 arctg cos 45 sin 66, 7 1sin 45 cos 66, cos , ,9 N 1, 64733, ,31881 Scilab program kód a megoldásra: Pótkocsi clear; clc; datok >>>>>>>>>>>>>>>>>> a=.5 m b=.4 m c=1 m R=1 m m=5; t g=1; m/s fimax=45 fok felosztas=1; fi=linspace(,(fimax*(%pi/18)),felosztas); radian Számolás >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> G=[ -m*1*g]; rds=sqrt((r/)^+c^).*[-cos(fi+atan(c/(r/))*(18/%pi)); sin(fi+atan(c/(r/))*(18/%pi))]; vek=string().*[cos(alf); sin(alf)] RD1=R.*[-cos(fi); sin(fi)]; alfa=atan((a+r.*sin(fi))./(b+(r-r.*cos(fi)))); =sqrt((r/)^+c^).*(cos(fi+atan(c/(r/)))*m*1*g)./(r.*cos(fi).*sin(alfa)+r.*sin(fi).*cos(alfa)); Ábrázolás >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> plot(fi.*(18/%pi),) / I. Statika 17/

18 1.1. Példa: Nyomaték dott a fenti ábrán látható szerkezet. Határozzuk meg függvényében mekkora nyomaték hat az és pontokra. dott: a 5 m, b 3 m, 1 N,, 36 sin max M r ai cos i sin j a k a a sin i j k cos sin M r ai bj cos i sin j a b k a sin b cos a sin b cos Scilab programkód a megoldásra: Nyomaték clear; clc; datok >>>>>>>>>>>>>>>>>>>> a=5 m b=3 m =1 N alfa= alfamax=36 fok felosztas=1; alfa=linspace(alfa,(alfamax*(%pi/18)),felosztas); radian Számolás >>>>>>>>>>>>>>>>>>>> M=a*.*sin(alfa); M=a*.*sin(alfa)+b*.*cos(alfa); Ábrázolás >>>>>>>>>>>>>>>>>>> xgrid(1,1,8) plot(alfa.*(18/%pi),m,"r") plot(alfa.*(18/%pi),m) xlabel("$ Szög [fok] $","fontsize",4) ylabel("$ Nyomaték, [Nm]$","fontsize",4) legend('m','m',4) legend, jelmagyarázat készítése i j k cos sin I. Statika 18/

19 1.13. Példa: Nyomaték képen látható traktor egy lerögzített tömeget húz. Határozzuk meg mekkora lehet a maximális keréknyomaték aminél a hátsó kerék éppen nem csúszik meg, ha csak a hátsó kerék hajtott. nyugvásbeli súrlódási tényező,5 értékű és a hátsó kerék átmérője d a traktor tömege pedig m. dott: a m, b 3 m, c,5 m, d 1,8 m, m t,,5 Egyensúlyi egyenletek: S 1. N x c. N N G y 3. M c a b N bg S c N 1. N,51631, ,79 N c 1. c N 3. c N a b N bg N bg 3 11 c a b,5, ,58 N 4,75. N N G N G N 1631, , 4N y d d 1,8 MO M ker ék S M ker ék S 6315, , 11Nm I. Statika 19/

20 1.14. Példa: Súrlódás képen látható éken egy doboz van. Határozzuk meg mekkora lehet a maximális keréknyomaték aminél a hátsó kerék éppen nem csúszik meg, ha csak a hátsó kerék hajtott. nyugvásbeli súrlódási tényező,5 értékű és a hátsó kerék átmérője d a traktor tömege pedig m. dott: 3, m 1 kg,,5 1 S SC N N C 1. N N N x S C C. N G N N G y SC 1 C 1 1. NC N. N N G G N 1 1,5,5 NC,58 4N 8N S S N N 1. cos N sin x S S N cos N sin S. N sin N cos y S N N sin N cos N N , 4N sin cos,5sin 3 cos 3 1. N cos N sin S,58,53695,4cos3 3695,4sin ,5 15, 48N I. Statika /

21 Scilab programkód: Súrlódás clear; clc; datok >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> m1=1 kg g=1 m/s mu=.5 alfa= fok alfamax=8 fok felosztas=1; alfa=linspace(alfa,(alfamax*(%pi/18)),felosztas); radian Számolás >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> N=m1*g/(1+mu^); NC=mu*N; N=N./(mu.*sin(alfa)+cos(alfa)); =mu*n+mu.*n.*cos(alfa)-n.*sin(alfa); Ábrázolás >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> xgrid(1,1,8) plot(alfa.*(18/%pi),,) plot(alfa.*(18/%pi),zeros(1,felosztas),'r') xlabel("$ Lejtőszög [fok] $","fontsize",4) ylabel("$ Erő, [N]$","fontsize",4) legend('',4) legend, jelmagyarázat készítése / I. Statika 1/

22 1.15. Példa: Súrlódás képen látható éken egy doboz van. Határozzuk meg mekkora lehet a maximális keréknyomaték aminél a hátsó kerék éppen nem csúszik meg, ha csak a hátsó kerék hajtott. nyugvásbeli súrlódási tényező,5 értékű és a hátsó kerék átmérője d a traktor tömege pedig m. dott: 1 N,,6 S N xy KR 1.eset: x vízszintes y függőleges: 1. N cos sin N cos N sin x. N sin cos N sin N cos y S S xy KR 1.eset: x lejtő irányú y lejtőre merőleges: 1. sin sin N x. N cos N cos y 1. sin cos sin cos sin cos cos sin actg S sin tg cos actg, 6 3,96 I. Statika /