PMMANB 311 segédlet a PTE PMMK építőmérnök hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "PMMANB 311 segédlet a PTE PMMK építőmérnök hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése"

Átírás

1 EURÓPAI UNIÓ STRUKTURÁLIS ALAPOK M A T E M A T I K A I. PMMANB 3 segédlet a PTE PMMK építőmérök hallgatói részére Az építész- és az építőmérök képzés szerkezeti és tartalmi ejlesztése HEFOP/004/3.3./000.0

2 MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MÉRNÖKI MATEMATIKA TANSZÉK 007

3 PMMANB3 Matematika I. RÉSZLETES TANTÁRGYPROGRAM Hét Ea/Gyak./Lab.. 3 óra előadás óra gyakrlat. 3 óra előadás óra gyakrlat 3. 3 óra előadás óra gyakrlat 4. 3 óra előadás óra gyakrlat 5. 3 óra előadás óra gyakrlat 6. Témakör A matematika yelvéek elemei, deiíció, tétel, szimbólumk, jelek szerepe. A matematikai lgikai alapgalmai, lgikai műveletek, igazságtáblák, lgikai áramkörök. Vektr galma, vektrk összeadása, kivása, számmal való szrzása. A Descartes-éle derékszögű krdiáta redszer, a vektr krdiátái. Felmérő teszt a középisklás ayagból. Két vektr skaláris és vektriális szrzata, tulajdságai, kiszámítása krdiátákkal adtt vektrk eseté. Vektrk vegyesszrzata, vektrk krdiátagemetriai alkalmazásai: sík és egyees egyelete. Valós számsrzat galma, megadási módjai. Krlátsság, mtitás, kvergecia, divergecia galma. Műveletek kverges és diverges srzatk között. Krlátsság, mtitás, kvergecia kapcslatára vatkzó tételek. Nevezetes srzatk a =/; a =q ; a =(+/). SZÜNET 7. 3 óra előadás óra gyakrlat 8. 3 óra előadás óra gyakrlat 9. 3 óra előadás óra gyakrlat 0. 3 óra előadás óra gyakrlat. 3 óra előadás óra gyakrlat. 3 óra előadás óra gyakrlat 3. 3 óra előadás óra gyakrlat 4. 3 óra előadás óra gyakrlat 5. 3 óra előadás óra gyakrlat Pótlásk A leképezés és a üggvéy galma. Egy- és kétváltzós valós üggvéy megadása, tulajdságai. Összetett és iverz üggvéy képzése. Elemi üggvéyek sztályzása.. Zárthelyi dlgzat. Algebrai és traszcedes üggvéyek tulajdságai. Egyváltzós üggvéy végesbe és végtelebe vett határértékéek galma. Jbb- és balldali határérték. Függvéy adtt ptbeli lytssága, a szakadás ajtái. Flyts üggvéyekre vatkzó tételek. Egyváltzós valós üggvéy dierecia- és diereciál-háyadsáak galma, gemetriai és izikai jeletése. A deriváltüggvéy értelmezése. A lytsság és a diereciálhatóság kapcslata. Deriválási szabályk. Hatváyüggvéy deriválása. Összeg-, szrzat-, háyads-, összetettés iverz üggvéy deriválási szabálya. Elemi üggvéyek deriválása. Egyváltzós üggvéy magasabb-redű deriváltja. A diereciálszámítás középértéktételei. A l ' Hspital-szabály, Taylr-rmula.. Zárthelyi dlgzat. Deriválható üggvéy mtitásáak és szélsőértékéek vizsgálata a derivált segítségével. Kveitás, kkávitás, ileiós pt galma. Diereciálható üggvéyek eseté ezek kapcslata a másdik deriválttal. A teljes üggvéyvizsgálat lépései. 3

4 PMMANB3 Matematika I. TARTALOMJEGYZÉK RÉSZLETES TANTÁRGYPROGRAM... 3 I. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI ALAPFOGALMAK LOGIKAI MŰVELETEK...7. Negáció Kjukció Diszjukció Implikáció Ekvivalecia Kidlgztt példák... 9 II. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI...0. ALAPFOGALMAK Alapgalmak, jelölések Halmazk megadása Halmazk egyelősége....4 Üres halmaz....5 Ve-diagram.... RÉSZHALMAZ, TARTALMAZÁS MŰVELETEK HALMAZOKKAL Halmazk metszete Halmazk egyesítése Halmazk metszetéek és egyesítéséek műveleti tulajdságai Halmazk külöbsége Kmplemeter halmaz Hatváyhalmaz Halmazk Descartes-szrzata Számhalmazk Halmazk számssága... 6 III. VEKTORALGEBRA ALAPFOGALMAK, ALAPMŰVELETEK A vektr galma Vektrk összeadása Vektrk kivása Vektr szrzása skalárral (vektr számszrsa) Vektrk lieáris kmbiációja Vektrk elbtása Vektr krdiátái....8 Műveletek krdiátáikkal adtt vektrkkal.... VEKTOR SZORZÁSA VEKTORRAL Vektrk skaláris szrzata Vektrk vektriális szrzata Vektrk vegyes szrzata KOORDINÁTAGEOMETRIAI ALKALMAZÁSOK Az egyees A sík IV. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNY A FÜGGVÉNY FOGALMA (ÁLTALÁNOSAN) SZÁMSOROZATOK A számsrzat galma Mt és krláts srzatk Srzatk kvergeciája Kvergeciakritériumk A kvergecia szükséges eltétele A kvergecia elegedő eltétele

5 PMMANB3 Matematika I..4.3 A kvergecia szükséges és elégséges eltételei Végtelehez tartó srzatk Néháy evezetes kverges srzat Műveletek kverges srzatkkal Példák srzatk határértékéek kiszámítása EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNY ALAPTULAJDONSÁGAI A üggvéy galma, megadása Függvéyek jellemzése, üggvéytai alapgalmak Krlátsság Párs, páratla üggvéyek Peridikus üggvéyek Mt üggvéyek Függvéyek szélsőértéke Függvéy zérushelye Műveletek üggvéyekkel Függvéyek leszűkítése Függvéyek összege, külöbsége, szrzata, háyadsa Függvéyek összetétele Függvéyek iverze Egyváltzós elemi üggvéyek Függvéyek határértéke Függvéy véges helye vett véges határértéke Függvéyek helye vett végtele határértéke Függvéyek végtelebe vett véges határértéke Végtelebe vett végtele határérték A határértékszámítás műveleti szabályai Nevezetes határértékek Függvéyek lytssága Az elemi üggvéyek lytsságáról Szakadáss üggvéyek V. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA A DIFFERENCIÁLHÁNYADOS ÉRTELMEZÉSE A DERIVÁLTFÜGGVÉNY A diereciaháyads értelmezése A diereciálháyads értelmezése Jbb- és balldali diereciálháyads A lytsság és a diereciálhatóság kapcslata A deriváltüggvéy (diereciálháyads-üggvéy) DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK Általás diereciálási szabályk Elemi üggvéyek diereciálása Speciális diereciálási szabályk Lgaritmikus diereciálás Paraméteres alakba adtt üggvéy deriváltja Plárkrdiátás alakba adtt üggvéy diereciálása Implicit alakba adtt üggvéy diereciálása DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNY DIFFERENCIÁLJA MAGASABBRENDŰ DIFFERENCIÁLHÁNYADOSOK A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS KÖZÉPÉRTÉKTÉTELEI A DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Határértékszámítás, a L Hspitál-szabály Függvéyvizsgálat (Függvéydiszkusszió) A üggvéy övekedése, csökkeése, szélsőértékei Kve, kkáv üggvéyek, ileiós pt A üggvéydiszkusszió vázlata (Teljes üggvéyvizsgálat) Szélsőérték prblémák Taylr plim; Taylr rmula Síkgörbék éháy jellemzője Síkgörbe éritője; rmálisa Síkgörbék hajlásszöge Síkgörbék éritkezése Egyeletek közelítő megldása Newt módszerrel Itervallum lyts üggvéyek tulajdságai

6 PMMANB3 Matematika I Egyeletek közelítő megldása Newt éle éritőmódszer

7 PMMANB3 Matematika I. I. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI. Alapgalmak A matematikába az állításkat, kijeletéseket ítéletekek evezzük és az ítéletet alapgalmak tekitjük. A tvább em btható, egyetle állítást tartalmazó ítéleteket elemi ítéletekek evezzük. Az összetett ítéletek elemi ítéletekből épülek el. Mide ítélet az alábbi két tulajdság közül ptsa az egyikkel redelkezik: vagy vagy hamis. igaz, Az igaz ítélet lgikai értékét a hamis ítélet lgikai értékét: i h -val jelöljük Ítélet Elemi ítélet (egyetle állítást tartalmaz) Összetett ítélet (elemi ítéletekből épül el) PÉLDA 8 sztható 4-gyel Elemi ítélet; igaz A izika természettudmáy Elemi ítélet; igaz Mit csiálsz hlap? Nem ítélet A kutya emlősállat és si > Összetett ítélet; hamis Mide égyszög téglalap Elemi ítélet; hamis Ne kiabálj! Nem ítélet. Lgikai műveletek. Negáció DEFINÍCIÓ. Adtt A ítélet tagadása a em A ítélet, melyet az A ítélet egációjáak evezük és κ A-val jelölük. A κ A ítélet akkr és csak akkr igaz, ha A hamis. A egáció művelettáblája ill. értéktáblázata: A i h κ A h i PÉLDA A (ítélet): 3 sztója 6-ak igaz κ A (ítélet): 3 em sztója 6-ak hamis 7

8 PMMANB3 Matematika I.. Kjukció DEFINÍCIÓ. Adtt A és B ítéletek kjukciójáak evezzük és AϖB (lv: A és B) vel jelöljük az A és B összetett ítéletet. Az AϖB ítélet akkr és csak akkr igaz, ha A is igaz, B is igaz. A kjukció értéktáblázata:.3 Diszjukció A B AϖB i i i i h h h i h h h h DEFINÍCIÓ. Adtt A és B ítéletek diszjukciójáak evezzük és AωB (lv: A vagy B) vel jelöljük az A vagy B (megegedő értelmű vagy) összetett ítéletet. Az AωB ítélet akkr és csak akkr igaz, ha A és B közül legalább az egyik igaz. A diszjukció értéktáblázata:.4 Implikáció A B AωB i i i i h i h i i h h h DEFINÍCIÓ. Adtt A és B ítéletekekből A előtaggal és B utótaggal képzett implikációak evezzük és AΨB vel jelöljük a ha A akkr B összetett ítéletet. Az AΨB ítélet akkr és csak akkr hamis, ha A igaz, B hamis. Az implikáció értéktáblázata:.5 Ekvivalecia A B AΨB i i i i h h h i i h h i DEFINÍCIÓ. Adtt A és B ítéletek ekvivaleciájáak evezzük és A]B (lv. A ekvivales B) vel jelöljük az akkr és csak akkr A, ha B összetett ítéletet. Az A]B akkr és csak akkr igaz, ha A és B lgikai értéke egyelő. 8

9 PMMANB3 Matematika I. Az ekvivalecia értéktáblázata:.6 Kidlgztt példák A B A]B i i i i h h h i h h h i. PÉLDA Készítsük el az AΨ(BΨA) rmula értéktáblázatát! Megldás A B BΨA AΨ(BΨA) i i i i Tehát a rmula értéke i h i i midig igaz h i h i h h i i. PÉLDA Készítsük értéktáblázatt a κaϖκ (κaωb) rmuláhz! Megldás A B κ A (κ AωB κ (κ AωB) κ Aϖκ (κ AωB) i i h i h h A rmula i h h h i h értéke h i i i h h midig h h i i h h hamis 3. PÉLDA Igazljuk a következő azsságt: A]B = (κ AωB) ϖ (κ BωA)! Megldás A B κ A κ κ B κ (κ AωB) ϖ (κ A]B AωB BωA BωA) i i h i h i i i i h h h i i h h h i i i h h h h h h i i i i i i Mivel (κ AωB) ϖ (κ BωA) és A]B lgikai értéke midig azs, ezért valóba igaz az azsság. 9

10 PMMANB3 Matematika I. II. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI A halmazelmélet a matematika új ejezete az 800-as évek. elébe Catr émet matematikus vezeti be a halmazelméleti alapgalmakat (halmazk számsságával is glalkzik) A halmazelmélet agy jeletőségű, mert a matematika mide ágáak mdellje elépíthető halmazelméleti galmakkal.. Alapgalmak. Alapgalmak, jelölések A halmaz alapgalm a matematikába (bizys meghatárztt, külöböző, valóságs vagy gdlatba kialakíttt dlgkak az összesége) Jelölések: A, B, C,, H, halmazkat a, b, c,, h, elemeket a H b H jeletése jeletése PÉLDA vezessük be a következő jelöléseket N + : a pzitív egész számk halmaza N: a emegatív egész számk halmaza Z: az egész számk halmaza 3 N de 0 N +, 00 Z - N, - Z. Halmazk megadása jelölek a eleme a H halmazak a bee va a H halmazba H halmaz tartalmazza az a elemet b em eleme a H halmazak Egy halmazt adttak tekitük, ha mide dlgról, elemről egyértelműe el tudjuk dötei eleme-e a halmazak vagy sem. A halmazk megadási módjai a) Aalítikus út: elemeiek elsrlásával (ha kevés véges sk elemet tartalmaz), vagy ayi eleméek elsrlásával (ha végtele sk eleme va), hgy abból bármely eleme képezhető legye. Pl. A:= {Jóska, Pista, Pali} B:= {, 4, 6,,, } b) Szitetikus út: a halmaz elemeit valamilye tulajdságuk alapjá adjuk meg (tehát, ha A halmaz az dlgk halmaza, melyek τ tulajdsággal redelkezek, akkr ezt A:= { τ()}-el jelöljük. Pl. C: = {, N+, 3 és <00} (C a 3-mal sztható, 00-ál kisebb pzitív egész számk halmazát jeleti) 0

11 PMMANB3 Matematika I..3 Halmazk egyelősége DEFINÍCIÓ. ugyaazk. Két halmazt akkr és csak akkr tekitük egyelőek, ha elemeik Pl: ) {,, 3, 4} = {4, 3,, } ) {,, 3} K {a, b, c} 3) B:= {, 4, 6,,, } C:= {, N +, } D:= {a pzitív párs számk halmaza} B=C, de BKD D={B}={C} 8 D (D-ek egyetle eleme va!).4 Üres halmaz DEFINÍCIÓ. Azt a halmazt, amelyek egyetle eleme sics, üres halmazak evezzük, és Ø-val jelöljük. Pl: Ø= {az egyelő ldalú tmpaszögű hármszögek}.5 Ve-diagram A sík zárt görbevallal határlt ptjaival szemléltetük halmazkat. PÉLDA M: = {a vizsgá kapható sztályzatk}={,, 3, 4, 5} M -4, π. Részhalmaz, tartalmazás DEFINÍCIÓ. Az A halmazt a B halmaz részhalmazáak evezzük, ha A mide eleme B-ek is eleme. Jele: A B v. B A DEFINÍCIÓ. Az A halmaz valódi részhalmaza B-ek, ha A része B-ek, de AKB. Jele: A B v. B A

12 PMMANB3 Matematika I. A B A B TÉTEL Mide A-ra AφA releivitás Ha AφB és BφA, akkr A=B atiszimmetria Ha AφB és BφC, akkr AφC trazitivitás Øφ A, mide A-ra TÉTEL AδA egyetle A-ra sem áll e Ha AδB, akkr B A Ha AδB és BδC, akkr AδC 3. Műveletek halmazkkal 3. Halmazk metszete DEFINÍCIÓ. Két halmaz metszeté v. közös részé azkak az elemekek a halmazát értjük, amelyek midkét halmazba bee vaak. Jelölés: A és B halmaz metszete AB Szemléltetés: A B A B A B DEFINÍCIÓ. Ha A-ak és B-ek ics közös eleme, AW B, ekkr az A és B u. diszjukt halmazk. 3. Halmazk egyesítése DEFINÍCIÓ. Két halmaz egyesítésé v. uiójá azkak az elemekek a halmazát értjük, amelyek a két halmaz közül legalább az egyikbe bee vaak. Jelölés: A és B halmaz egyesítése AUB

13 PMMANB3 Matematika I. Szemléltetés: B A B A TÉTEL Tetszőleges A, B halmazkra eállak az AB φ A φ AχB és AB φ B φ AχB tartalmazási kapcslatk. Ha AφB, akkr AB = A és AχB = B 3.3 Halmazk metszetéek és egyesítéséek műveleti tulajdságai TÉTEL Tetszőleges A, B, C halmazkra. A(BC) = (AB)C Aχ(BχC) = (AχB)χC asszciatív. AB = BA AχB = BχA kmmutatív 3. AA = A AχA = A idemptes 4. A(AχB) = A Aχ(AB) = A elyelési tul. 5. A(BχC) = (AB)χ(AC) Aχ(BC) = (AχB) (AχC) disztributív 3.4 Halmazk külöbsége DEFINÍCIÓ. A és B halmazk külöbségé értjük A összes lya eleméek a halmazát, amelyek icseek a B-be. Jele: A(B Szemléltetés: A B A B Képletbe: A(B = { 0A, de B} TÉTEL Tetszőleges A, B halmazkra A\B = A((AB) = (AχB)(B Ha A(B = Ø ], ha AφB 3

14 PMMANB3 Matematika I. 3.5 Kmplemeter halmaz DEFINÍCIÓ. A H halmaz valamely A részhalmazáak H-ra vatkzó kmplemeteré értjük a H(A halmazt. Jelölése: TÉTEL A H = H(A v. A = H(A H halmaz tetszőleges A és B részhalmazaira ( A ) = A A A = Ø, Aχ A = H A B = Ac B, AU B = AW B 7 (de Mrga képletek) 3.6 Hatváyhalmaz DEFINÍCIÓ. Egy H halmaz összes részhalmazai újabb halmazt alktak, ezt evezzük a H hatváyhalmazáak. Jele: P(H) H hatváyhalmaza; H halmaz P(H) alaphalmaza AφH ugyaazt jeleti mit A0 P(H). PÉLDA H = {,, 3} Részhalmazk: H = Ø H = {} H 3 = {} H 4 = {3} H 5 = {, } H 6 = {, 3} H 7 = {, 3} H 8 = H 5 = {,, 3} H i φh (i =,, 8) Mst H elemeiek száma: 3 P(H) elemeiek száma: 8 = 3 MEGJEGYZÉS: Általába is igaz, hgy ha H elemeiek száma (véges!), akkr P(H) elemeiek száma:. 3.7 Halmazk Descartes-szrzata DEFINÍCIÓ. A H H,, H emüres halmazk Descartes-szrzatá a következő halmazt értjük: H ΗH ΗH 3 ΗH = {(h, h,,h } h 0H, h 0H,,h 0H } SPECIÁLIS DESCARTES-SZORZATOK. Ha H =, H = H ΗH = Η = = {(, y) 0, y0 } a redezett valós számpárk halmaza 4

15 PMMANB3 Matematika I. a redezettség miatt pl: (, -) (-, ) (az elemek srredje ts!) szemléltetve: a sík. Η Η = 3 = {(, y, z) 0, y0, z0 } 3 a redezett valós számhármask halmaza 3 szemléltetve: a tér 3.8 Számhalmazk Természetes számk halmaza Jele: N N: = {a pzitív egész szám és a 0} = {0,,, 3, } Elvégezhető műveletek: összeadás, szrzás, kivás Egész számk halmaza Jele: Z Z: = {0, -,, -,, -3, 3, } Elvégezhető műveletek: összeadás, szrzás, kivás Raciális számk halmaza Jele: Q Q: = { = q p, p0z, q0z, q K0} Elvégezhető műveletek: összeadás, szrzás, kivás, sztás (0-val em sztuk!) (Tehát a raciális számk, a két egész háyadsakét elírható számk.) A raciális számk tizedestört alakja: véges v. végtele szakaszs tizedes törtek. Pl: 5; -4;,47; = 0, 3 & 3 Irraciális számk halmaza Jele: Q * Q * : = {a végtele em szakaszs tizedestörtek} irraciális szám: em írható el két egész háyadsakét 3 Pl: 5; -4;,47; 5, 3π, lg3, cs6, lg 4, stb. 3 A valós számk halmaza Jele: : = QχQ * A valós számhalmaz szemléltetése Ve-diagrammal Z N Q Q * 5

16 PMMANB3 Matematika I. 3.9 Halmazk számssága Véges sk elem eseté: az elemek száma adja a halmaz számsságát Végtele sk elem eseté megszámlálhatóa végtele sk elemű halmazkról beszélhetük: em megszámlálhatóa végtele sk III. VEKTORALGEBRA. Alapgalmak, alapműveletek. A vektr galma A vektr galma a izikából származik. A izikai meyiségek lehetek: a) skalár jellegű meyiségek: értékük egyértelműe megadható egyetle valós számmal Pl.: távlság, tömeg, idő, hőmérséklet, muka stb. b) vektr jellegű meyiségek: iráyíttt szakasszal adhatók meg (melyet agysága, állása, iráyítása határz meg) Pl.: elmzdulás, sebesség, erő, gyrsulás stb. DEFINÍCIÓ. határz meg. Vektr iráyíttt szakaszt értük, melyet hssza, állása és iráya a B Jele: a, b, c, A AB, CD, A a vektr kezdőptja B a vektr végptja MEGJEGYZÉS: A matematikába a vektrt szabadak tekitjük! A kezdőptja tetszőleges! DEFINÍCIÓ. Vektr abszlút értéké a vektrt ábrázló iráyíttt szakasz hsszát (agyságát) értjük uuur Jele: a, b, AB Pl.: DEFINÍCIÓ. párhuzamsak. DEFINÍCIÓ. megegyezik. Két vektr egyező állású, ha az őket tartalmazó egyeesek Két vektr egyelő, ha abszlút értékük, állásuk és iráyuk 6

17 PMMANB3 Matematika I. b a c a = b a c DEFINÍCIÓ. Azt a vektrt, melyek abszlút értéke ulla, zérusvektrak (ullvektrak) evezzük. A zérusvektr állása és iráya tetszőleges. Jele: 0 ; 0 = 0 DEFINÍCIÓ. evezzük. Azt a vektrt, melyek abszlút értéke egységyi, egységvektrak MEGJEGYZÉS: A ( v 0) e v -vel jelöljük. vektrral azs állású és iráyú egységvektrt v 0 -al vagy DEFINÍCIÓ. DEFINÍCIÓ. DEFINÍCIÓ. szöge. Kllieáris (párhuzams) két vektr, ha állásuk megegyezik. Kmplaárisak azk a vektrk, amelyek egy síkkal párhuzamsak. Két vektr szöge, az őket tartalmazó egyeesek 80 -ál em agybb a b b (a,b) a. Vektrk összeadása DEFINÍCIÓ. 3. Az a és b vektrk ( a, b ) összegé azt az a + b vel jelölt vektrt értjük, amely az a kezdőptjátból a b végptjába mutat. 7

18 PMMANB3 Matematika I. a b a + b. Ha a és b külöböző állásúak, akkr a + b vektrt megadja az a és b-vel (mit ldalakkal) szerkesztett paralelgrammáak, a vektrk közös kezdőptjából iduló átlóvektra. a a + b b MŰVELETI TULAJDONSÁGOK a, b, c 0 3 tetszőleges vektrkra a + b = b + c a + (b + c)=(a + b) + c a + 0 = a a + (-a) = 0 (ahl a, a elletettje -a = a, -a a, de elletétes iráyúak).3 Vektrk kivása DEFINÍCIÓ. Az a és b vektrk a - b vel jelölt külöbségé azt a vektrt értjük, amelyet b hez hzzáadva az a-t kapjuk. a a - b Nem kmmutatív b - a a - b b 8

19 PMMANB3 Matematika I..4 Vektr szrzása skalárral (vektr számszrsa) DEFINÍCIÓ. Az a vektr és a λ valós szám λa -val jelölt szrzatá azt a vektrt értjük, amelyek abszlút értéke λ a, állása megegyezik a állásával, iráya a iráyával egyelő, ha λ 0, a -val elletétes iráyú, ha λ < 0 Tehát λa = λ a λa a MŰVELETI TULAJDONSÁGOK: a, b 0 3 ; λ, μ λ a = a λ λ(μ a) = (λ μ) a (λ+μ) a = λ a + μ a λ (a + b) = λ a + λ b a e = a a a iráyú egységvektr, ha a 0.5 Vektrk lieáris kmbiációja DEFINÍCIÓ. Az a, a,, a k vektrk lieáris kmbiációjá a λ a + λ a + + λ k a k vektrt értjük, ahl λ i i=,, k.6 Vektrk elbtása. TÉTEL Ha a 0, akkr bármely a-val párhuzams (kllieáris) v egyértelműe előállítható a lieáris kmbiációjakét, azaz létezik egyértelműe meghatárztt α R, hgy v = α a Bizyítás. Legye vd a és a 0 Ekkr két eset lehetséges α) v e = a e β) v e = - a e α) eseté v v= ve v = ae v = a v = a a a ahl ae = a a Tehát v v v= a = α a ahl α = a a 9

20 PMMANB3 Matematika I. v β) eseté v= ve v = ae v = a v = a a a v v Tehát v= a = α a ahl α = a a Ha v = 0, akkr v = 0 =0 a áll e, azaz α=0. TÉTEL Két vektr akkr és csak akkr párhuzams, ha legalább egyik a másik számszrsa. Bizyítás. Az. TÉTEL és a számmal való szrzás deiíciójából adódik. (Nem végezzük el.) 3. TÉTEL Ha két vektr a és b em párhuzamsak, akkr az a és b vektrk síkjába eső bármely v egyértelműe előállítható az a és b vektrk lieáris kmbiációjakét, azaz létezik lya α, β R, melyekre Bizyítás. Végezzük el a következő szerkesztést! A b αa v 0 a b βb a B A szerkesztés egyértelműségéből következik, hgy α és β egyértelműe meghatárztt. MEGJEGYZÉS: A 3. TÉTEL így is meggalmazható: Ha a ď b és a,b,v kmplaárisak, akkr v egyértelműe előállítható a és b lieáris kmbiációjakét. 4. TÉTEL Hárm vektr akkr és csak akkr kmplaáris (egysíkú), ha legalább egyikük a másik kettő lieáris kmbiációja. (Nem bizyítjuk.) 5. TÉTEL Ha a, b, c, em kmplaáris (egysíkú) vektrk, akkr a tér bármely v vektra egyértelműe előállítható az a, b, c vektrk lieáris kmbiációjakét. Bizyítás. A bizyítás gdlatmeete azs a 3. TÉTEL bizyításával. P γc c v c 0 b αa βb m a M 0

21 PMMANB3 Matematika I. A szerkesztés egyértelműségéből következik, hgy α, β, γ R valós számk egyértelműe meghatárzttak. v = m+ γ c = α a + β b + γ c MEGJEGYZÉSEK. Két em párhuzams vektr a síkt, hárm em egysíkú vektr a teret kieszíti, mert lieáris kmbiációkkal a sík, ill. a tér mide vektra egyértelműe előállítható.. A sík em párhuzams vektra a sík egy bázisa, a tér 3 em kmplaáris vektra a tér egy bázisa. DEFINÍCIÓ. A tér emkmplaáris, közös kezdőptból elmért a, b és c vektrk az adtt srredbe jbbredszert alktak, ha c iráyából ézve az a vektr az óramutató járásával ellekező 80 -ál kisebb szögű rgatással a b iráyába rgatható. c b + a MEGJEGYZÉSEK. Ha a, b, c jbbredszer b, a, c balredszer!. A jbbredszert jbbkezük ujjaival, a balredszert balkezük ujjaival szemléltetjük..7 Vektr krdiátái Vegyük el a térbe egy O ptt, valamit az O pttól kiiduló hárm, párkét egymásra merőleges egységvektrt, jelölje őket i, j, k és alkssaak ebbe a srredbe jbbsdrású redszert. Ezeket evezhetjük bázisvektrkak. Az i, j, k a tér bázisa. (rtrmált bázis!). Az 5. TÉTEL értelmébe a tér bármely v vektra egyértelműe elírható a bázisvektrk lieáris kmbiációjakét. Legye a elbtás v = i + y j + z k

22 PMMANB3 Matematika I. z zk v P k O i i j yj y DEFINÍCIÓ. Az, y, z valós számk a v vektr krdiátái, az i, y j, z k vektrk a v vektr kmpesei (az i, j, k bázisba). Tehát a v krdiátáit egy redezett számhármassal a v = (, y, z) srvektrs alakba szktuk kiejezi, de v = y z szlpvektrs alakba is haszálhatjuk. MEGJEGYZÉS. Másik bázist is választhattuk vla!. v krdiátái üggek a bázisvektrk választásától. 3. A sík, pl. az, y sík v vektrát v = i + y j + 0 z = i + y j alakba állíthatjuk elő, így v krdiátái v = (, y, 0) v = (, y) v = redezett valós számpár y 4. A tér v vektrai és a tér P ptjai közötti kölcsööse egyértelmű megeleltetés miatt a v és P végptjáak krdiátái azsak. A v a P pt helyvektra..8 Műveletek krdiátáikkal adtt vektrkkal TÉTEL A v = (, y, z ) és a v = (, y, z ) adtt vektrk eseté v = v akkr és csak akkr, ha =, y = y, z = z egyszerre teljesül. TÉTEL A v = (, y, z) vektr λ-szrsáak λv -ek krdiátái λv = (λ, λy, λz).

23 PMMANB3 Matematika I. TÉTEL Az a = (a, a, a 3 ) és b = (b, b, b 3 ) vektrk összegéek, külöbségéek krdiátái: (, 3 3) (, 3 3) a+ b= a + b,a + b a + b a b= a b,a b a b. Vektr szrzása vektrral. Vektrk skaláris szrzata DEFINÍCIÓ. Két vektr skaláris szrzatá a két vektr abszlút értékéek és az általuk bezárt szög ksziuszáak szrzatát értjük. Jele: ab Képlettel: ab: = a b cs(a,b) Ë MEGJEGYZÉS: A skaláris szrzat eredméye em vektr, haem skalár meyiség. MŰVELETI TULAJDONSÁGOK a, b, c tetszőleges vektrk α, β α (a b) = (α a) b α (a b) = a (α b) (α a) (β b) = (α β)(a b) a b = b a a (b + c) = a b + a c TÉTEL Két vektr skaláris szrzata akkr és csak akkr 0, ha a két vektr merőleges egymásra. Bizyítás.. rész: Ha a b, akkr a b = 0 Mst ezt bizyítjuk! Ha a b, akkr ( a,b) = 90, és cs90 = 0 a b = 0. rész: Ha a b = 0, akkr a b Legye a b= 0 azaz a b cs( a,b) = 0 a b Mst ezt bizyítjuk! Ha a = 0 a = 0 és a 0 b Ha b= 0 b= 0 és a 0 a Ha a 0, b 0, akkr cs( a,b) = 0 cs( a,b) = 90 3

24 PMMANB3 Matematika I. PÉLDA i, j, k alapvektrk (párkét merőlegesek, jbbredszer) ij jk ki cs90 0 = = = = ji= k j= ik = 0 ii jj kk cs0 = = = = TÉTEL Krdiátáival adtt két vektr skaláris szrzata: ( 3) ( 3 ) ( 3) ( 3 ) Ha a = a,a,a = a i+ a j+ a k b = b, b, b = b i + b j+ b k, akkr Bizyítás. ( 3 )( 3 ) ab= a i+ a j+ a k b i+ b j+ b k = a b= ab+ ab+ a3b3 a megelelő műveleti tulajdságt elhaszálva ( ai )( bi ) + ( ai )( bj) + ( ai )( bk 3 ) + ( aj)( bi) + ( aj)( bj) + ( aj)( b3k) + ( ak)( bi) ( ak)( bj) ( ak)( bk) + + = abi abij abik = = abji ab j abjk abki abkj abk ab ab ab a krábbi eredméyek elhaszálásával a abszlút értékéek kiszámítása aa= a = a a cs0 = a a = a = a a a a Tehát 3 a = a + a + a PÉLDA Legye a = (,,0 ), b = (-,, -6) a b =?, a =? Megldás a b= (-) = 0 a b a = = 5 A FIZIKÁBAN A muka: egy ptszerű, egyees pályá mzgó testre ható álladó erő mukája: 4

25 PMMANB3 Matematika I. F W = F csα r = F r α F r r skaláris szrzat Tehát: W = F r. Vektrk vektriális szrzata Két vektr vektriális szrzatá azt a vektrt értjük, amelyek abszlút értéke a két vektr abszlút értékéek és a közbezárt szögük sziuszáak szrzata, állása midkét téyezőre merőleges iráya pedig lya, hgy az első téyező, a másdik téyező és a vektri szrzat ebbe a srredbe jbbredszert alkt. DEFINÍCIÓ. Jelölés: a b a és b vektriális szrzata a b : = a b si a,b Ë a, b, a b ebbe a srredbe jbbredszert alkt MŰVELETI TULAJDONSÁGOK a, b, c tetszőleges vektrk ; α, β R a b= ( b a) ( a b) ( a ) b a ( b ) α a β b=αβ ( a b) a ( b+ c) = a b+ a c ( b+ c) a = b a+ c a α = α = α ( ) ( ) a b c a b c!!! TÉTEL Két vektr vektriális szrzata akkr és csak akkr zérusvektr, ha a két vektr párhuzams (egyező állású). Bizyítás. Legye a két vektr a és b Ha a = 0 (v. b = 0) a tétel triviálisa teljesül Ha Ha a 0, b 0. rész: Ha a D b, akkr a b = 0 5

26 PMMANB3 Matematika I. Bizyítás. D Ha a b, akkr a, b Ë = 0 v. 80, de ekkr a b = a b si a, b Ë = 0, de ez azt jeleti, hgy a b = 0. rész: Ha a b = 0, akkr a D b Bizyítás. Ë tehát ( a, b) Ë = 0 v. 80 a b = a b si a,b = 0 si a,b Ë = 0, PÉLDA i, j, k alapvektrk (jbbredszert alktak!) i i= j j= k k = 0 előző tétel szerit i j= k j k = i k i= j TÉTEL Krdiátáival adtt két vektr vektriális szrzata: Ha a = a,a,a, b = b, b, b, akkr Bizyítás. 3 3 a b= ab ab i ab ab j+ ab ab k ( 3 ) ( 3 ) a b= a i+ a j+ a k b i+ b j+ b k = = ab i i + ab i j + ab i k ab j i+ ab j j+ ab j k ab k i + ab k j+ ab k k = = abk ab j abk+ abi+ ab j abi= = ab ab i ab ab j ab ab k= i j k = a a a3 DETERMINÁNS b b b 3 TÉTEL Két vektr vektriális szrzatáak abszlút értéke a két vektr által kieszített paralelgramma területéek mérőszámával egyelő. 6

27 PMMANB3 Matematika I. Bizyítás. b γ m a T = a m = a b si γ T = a b PÉLDA Legye a = ( 6,,0 ), b = (-,, ) a b =?, a b =? Megldás a = ( a,a,a ), b= ( b,b,b ) 3 3 i j k a b = 6 0 = ( 0) i ( 0) j ( 6 + ) k = i j+ 8k a b = i j+ 8k =,,8 a b = = A FIZIKÁBAN uur M= r F (O ptba rögzített merev testre P ptba F álladó erő hat, melyek hatásvala em halad át O pt. Eze F erőek a testre rgató hatása va, amelyet rgatóymatékak evezük.) r = OP ; (r, F) = α O M F k az erő karja k = r si α k r α P α α M = r F si α M = r F M r ; M F ; r, F, M jbbredszer 7

28 PMMANB3 Matematika I..3 Vektrk vegyes szrzata DEFINÍCIÓ. Az a, b, c vektrk vegyes szrzatá az a b-ek a c-vel képzett skaláris szrzatát értjük, jele a b c abc= ( a b) c= a b ccs( a b,c) A VEGYES SZORZATA GEOMETRIAI JELENTÉSE TÉTEL Az a b c vegyes szrzat abszlút értéke aak a paralelgramma alapú erde hasábak a térgatát adja, amelyek egy csúcsából kiiduló 3 élvektra éppe az a, b és c vektr. Bizyítás. a b (a b, c) = α α α m c b T T = a b m = c cs α a V = T m = a b c cs α = (a b) c = a b c V = a b c MŰVELETI TULAJDONSÁGOK a, b, c tetszőleges vektrk. abc= bca= cab. abc= bac= cba = acb 3. abc= ( a b) c= a( b c) A gem. jeletésből köv. TÉTEL Hárm vektr vegyes szrzata akkr és csak akkr zérus, ha a hárm vektr kmplaáris (egysíkú). (Nem biz.) TÉTEL Krdiátáival adtt hárm vektr vegyes szrzata, ha a = (a, a, a 3 ), b = (b, b, b 3 ), c = (c, c, c 3 ) az 8

29 PMMANB3 Matematika I. a a a 3 b b b harmadredű determiással egyelő, azaz 3 c c c 3 a a a3 abc= b b b = ( bc bc ) a ( bc bc) a + ( bc bc) a c c c TÉTEL Ha a, b, c em kmplaárisak, akkr ha a, b, c jbbredszert alkt, akkr a b c >0 ha a, b, c balredszert alkt, akkr a b c <0 MEGJEGYZÉS: a, b, c ebbe a srredbe jbbredszert alkt, ha c és a b az a, b vektrk síkjáak ugyaaz ldalára mutat és rdítva. PÉLDA Jbbredszert alkt-e az a = (,-, 5), b = (, 8, ) és c = (-,, -) vektrhármas? Megldás. 5 abc= 8 = = = 3 > 0 a, b, c jbbredszert alkt! 3. Krdiátagemetriai alkalmazásk 3. Az egyees Adtt P(,y,z ) pt és ( 3) v= v,v,v 0 vektr. e egyees haladj át P pt és e legye párhuzams v-ral (v az egyees iráyvektra!) P e P r O r v P e e D v P(; y; z) pt akkr és csak akkr va az e egyeese, ha uuur PP= r r vektr egyező állású (párhuzams) v-ral, azaz ha Amiből r r = t v t ú r = r + t v t ú lya t ú szám, hgy 9

30 PMMANB3 Matematika I. TÉTEL Ha egy egyees adtt P ptjáak helyvektra r, iráyvektra pedig v 0, akkr az egyees paraméteres vektregyelete: r = r + t v t ú alakú, ahl r az egyees valamely P ptjába mutató helyvektr és t paraméter, t ú. Az egyees paraméteres egyeletredszere P(,y,z ), r (,y,z) P(,y,z ), r (,y,z) v ( v,v,v ) 0 3 = az egyees adtt ptja és helyvektra = az egyees vm. ptja és helyvektra = az egyees iráyvektra ha r = r + t v t ú, akkr a megelelő krdiáták egyelőségét elírva = + tv y= y + tv az egyees paraméteres egyeletredszere z= z + tv 3 Ha v 0, v 0, v3 0 a 3 egyeletből t = y y z z = = v v v 3 az egyees paraméteres egyeletredszere PÉLDA Írjuk el az A(, -3, ) és B( -5, 7, ) ptk áthaladó egyees paraméteres egyeletredszerét! uuur Megldás iráyvektra: v = AB = (-7, 0, ) egy ptja: A = (, -3, ) Az egyees paraméteres egyeletredszere: = + 7t y= 3+ 0t t z= + t 3. A sík Adtt P(,y,z ) pt és = A, B, C 0 S sík illeszkedje a P ptra és legye merőleges -ra ( a sík rmálvektra!) 30

31 PMMANB3 Matematika I. P P S P (, y, z), r = (, y, z) P (, y, z ), r = (, y, z ) = ( A, B, C) 0 r r O A P pt akkr és csak akkr va az S sík, ha uuur PP= r r vektr merőleges -ra, azaz ha skaláris szrzatuk 0. r r = 0 (skaláris szrzat) TÉTEL Ha egy sík adtt P ptjáak helyvektra r, rmálvektra pedig 0, akkr a sík vektregyelete: Az sík általás egyelete: r r = 0 = ( A,B,C) = (,y,z) r r = (,y y,z z) r r,y,z A sík vektregyeletébe szereplő skaláris szrzatt a krdiátákkal kiszámítva: Ezt átredezve A + B y y + C z z = 0 a sík általás egyelete A By Cz D = ahl D= ( A + By + Cz ) a sík általás egyelete PÉLDA Írjuk el az sík egyeletét, amely illeszkedik a P(, -, 3 ) ptra és párhuzams a 3 4y 5z 3= 0 egyeletű síkkal! Megldás Az adtt sík: = ( 3, -4, 5) A két sík rmálvektra azs! 3 4y+ y+ 5z 3 A keresett sík egyelete: átalakítva: 3 4 y + 5z = 6 3

32 PMMANB3 Matematika I. IV. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNY. A üggvéy galma (általása) DEFINÍCIÓ. Ha egy A halmaz bizys elemeihez hzzáredeljük egy B halmaz egy-egy elemét, akkr az A halmazból a B halmazba vivő üggvéyt értelmeztük. Jele: ha ilye üggvéy jele :A B A halmaz :A B üggvéy alaphalmaza B halmaz :A B üggvéy képhalmaza Ha a0a és üggvéy a-hz az (a)-t redeli B-ből, akkr, a helye elvett helyettesítési értéke (a)0b. DEFINÍCIÓ. Az :A B üggvéy értelmezési tartmáya az A-beli elemek halmaza, amelyekhez téylegese hzzáredeli B valamelyik elemét. Az értékkészlete pedig az B-beli elemek halmaza, amelyeket hzzáredel, az A-ak legalább egy eleméhez. Jelölés: értelmezési tartmáya D értékkészlete R D A és R B PÉLDÁK. : ú ú ; (v) = v [ ] D = ; ú ; R ú egyváltzós üggvéy valós. am = : ú ú ; t(a,m) { } + Dt = a,m a,m,a > 0,m > 0, Rt = ú ú ú ú területe kétváltzós üggvéy valós. Számsrzatk. A számsrzat galma DEFINÍCIÓ. Számsrzatak evezzük azt a üggvéyt, amely mide pzitív egész számhz egy-egy számt redel (ez a szám lehet valós, de kmple is!) Jelölése: {a, a, a 3,, a, } a a srzat -edik, v. ált. eleme {a } a srzat rövid jelölése 3

33 PMMANB3 Matematika I. MEGJEGYZÉS: A srzat mit v. értelmezési tartmáya: N + A srzat mit v. értékkészlete δ (C) Srzatt megadhatuk. Képlettel pl.: a),,,, K,, K = 0N valós srzatk b) -,,-, K,, K = 0N c) { i, -, -i,, i, -, -i,,i, } = { i }. Rekurzív deiícióval K K 0N + pl.: a) (az u. Fibacci-éle számsrzat) a = a = {,, 3, 5, 8, 3,K } valós srzat a = a - + a -, ha P3, 0N a - b) a = a = +, ha P, 0N 3 3,,,, 8 3. Képzési utasítással pl : legye a a π edik tizedesjegye valós srzat { 3,, 4,, 5, 9,, 6, 5, 3, 6,K } 4. Graikusa kmple srzat a - { } N + valós srzat MEGJEGYZÉS: Mi valós számsrzatkkal glakzuk részletesebbe! 33

34 PMMANB3 Matematika I.. Mt és krláts srzatk Mt srzatk DEFINÍCIÓ. Az {a } srzat övekedő, ha ao a + {a } srzat szigrúa övekedő, ha am a + {a } srzat csökkeő, ha ap a + {a } srzat szigrúa csökkeő, ha a> a + teljesül 0N + eseté. PÉLDÁK. {0,, 4, 6, 8, } szigrúa övekedő srzat. {0, 0, -, -, -, -, -3, -3, } mt csökkeő srzat 3. {-,, -,, } em mt srzat {a } = 0N + Milye mtitású? + 4 a + = a + a = = L = < 0 + ( + )( ) 0N + eseté Tehát a srzat szigrúa mt csökkeő. Krláts srzatk DEFINÍCIÓ. Az {a } srzat elülről krláts, ha K0, hgy + N re a O K Az {a } srzat alulról krláts, ha k0, hgy ko a Az {a } srzat krláts, ha alulról és elülről is krláts, + azaz ha N re koao K k K MEGJEGYZÉSEK: szám a srzat alsó krlátja szám a srzat első krlátja. Krláts srzatak végtele sk alsó, ill. első krlátja va.. A első krlátk között va legkisebb, az alsó krlátk között va legagybb. DEFINÍCIÓ. Felülről krláts srzat legkisebb első krlátját a srzat első határáak (szuprémumáak); alulról krláts srzat legagybb alsó krlátját a srzat alsó határáak (iimumáak) evezzük. 34

35 PMMANB3 Matematika I. PÉLDÁK. {a } = {+} 0N + alulról krláts srzat mivel 3O + + N re 3 a srzat iimuma!. {a } = 0N + krláts srzat + 0 < O N 0 iimum szuprémum.3 Srzatk kvergeciája Pl.:. Legye a = + (-) { + (-) } 0N (-) =,,,,,,,,, K a000 = + =, övelésével hgya viselkedek a srzat elemei? Igaz-e: ha = h a = Nem igaz! A em téyleges meyiség, haem egy mide határ túl lytatható lyamat szimbóluma. Tehát itt, ha, akkr a Itt a számt a srzat határértékéek evezzük. { }. Legye b ( 3) ( 3) {( 3 ) } { 3, 9, -7, 8,... } = 0N+ = srzat esetébe úgy gdlhatjuk ics lya szám melyet a megközelít, ha. DEFINÍCIÓ (). Az {a } srzat kverges, ha lya A0 szám, hgy A köryezetébe a srzatak véges sk eleme kivételével mide eleme beletartzik és ekkr az A számt a srzat határértékéek evezzük. DEFINÍCIÓ ().. Az {a } srzat kverges és határértéke az A szám, ha ε>0-hz, meghatárzható lya N természetes szám (N ε tól üggő), hgy ha >N akkr a A < ε. Az A szám az {a } határértéke, jelbe: lim a = A v. a A, ha 35

36 PMMANB3 Matematika I. MEGJEGYZÉSEK. Az A szám ε sugarú köryezeté (ε>0) az ]A-ε; A+ ε[ yílt itervallumt értjük, azaz, A-ε< < A+ ε ]A-ε; A+ ε[ = { } A-ε A A+ε. a -A < ε ] -ε < a -A < ε A-ε < a < A+ε 3. Az {a } srzat kvergeciájára adtt két deiíció ekvivales.. TÉTEL Kverges srzatak csak egy határértéke va. (Nem bizyítjuk!) DEFINÍCIÓ. Az lya srzatt, amelyek ics határértéke divergesek evezzük. PÉLDÁK. Diverges srzatk: {(-3) } = {-3, 9, -7, 8, } { } = {, 4, 9, 6, 5, } +. Bizyítsuk be, hgy az + srzat kverges! Megldás ,,,,, K,, K,, K,, K a98 a000 a0000 Sejtés: a határérték A= A. deiícióval igazljuk, hgy a határérték. Írjuk el és ldjuk meg az a -A < ε egyelőtleséget -re, majd elemezzük a megldást. + <ε + 3 <ε + 3 <ε + ε> 0 N <ε ε < 36

37 PMMANB3 Matematika I. 3 Itt N = ε. Tehát ha 3 N > = ε, akkr a - < ε, azaz a srzat teljesíti a. + deiíciót, így kverges és határértéke. + + Jelbe: lim = + A kvergecia bizyítás vége! A srzat az elemei melyekre >N, a ] -ε,+ε [ itervallumba, azaz a ε sugarú köryezetébe vaak. Véges sk elem: a, a, a 3,, a N esik csak kívül a ε sugarú köryezeté. Pl.: legye -3 3 ε=3 0 N = - = küszöbszám! Tehát a 0,003 sugarú köryezeté kívül eső elemek: a, a, a 3,, a 998 a 0,003 sugarú köryezetébe eső elemek: a 999, a 000, a 00, végtele sk. TÉTEL Ha {a } kverges, akkr krláts. Bizyítás. Legye lim a = A A kvergecia deiíciójával bizyítuk. Ekkr pl.: ε=-hez is N 0N +, hgy ha >N, akkr a -A < ]A-<a < A+ A srzat az elemei, melyre >N, teljesítik a eti egyelőtleséget. A srzat a, a, a 3,, a N elemei vaak kívül az ] A-, A+ [ itervallum. Válasszuk alsó krlátt: k = mi{a-, a, a,, a N } Válasszuk első krlátt: K = ma{a+, a, a,, a N } A- A A+ Mide -re koa O K tehát a srzat krláts! MEGJEGYZÉS: Az előző tétel megrdítása em igaz, azaz va lya krláts srzat, amely em kverges! DEFINÍCIÓ. Az α0 számt az{a } trlódási ptjáak evezzük, ha α köryezete a srzat végtele sk elemét tartalmazza. PÉLDA {(-) }={-,, -,, } Két trlódási pt: - és De: a srzat diverges! 37

38 PMMANB3 Matematika I..4 Kvergeciakritériumk A kvergecia deiíciója alapjá gyakra ehéz bizyítauk kverges-e az adtt srzat, ehhez ugyais ismerük kellee a srzat határértékét! Előrdulhat em is vagyuk kívácsiak a határértékre, csupá az érdekel beüket, kverges-e a srzat (azaz va-e határértéke!) Fts lya kritériumk ismerete, melyek segítségével a kvergecia egyértelműe eldöthető. Külö megadhatuk a kvergeciára. szükséges. elégséges 3. szükséges és elégséges eltételeket!.4. A kvergecia szükséges eltétele TÉTEL A kvergecia szükséges eltétele a krlátsság. (Másképp galmazva: Ha {a } kverges, akkr krláts.) (Krábba biz.!) MEGJEGYZÉSEK. A em krláts srzatk divergesek. Ha a srzat krláts, még em bizts, hgy kverges is! PÉLDÁK lim = 0 0 { } {,4,9,6, } a srzat krláts = K em krláts (ics első krlát) diverges srzat {( ) } {,,,, } = K krláts, de diverges srzat.4. A kvergecia elegedő eltétele TÉTEL Ha az {a } srzat mt és krláts, akkr kverges. (Másképp: Az {a } srzat kvergeciájáhz elegedő, hgy a srzat mt és krláts legye.) (Nem bizyítjuk!).4.3 A kvergecia szükséges és elégséges eltételei. TÉTEL Az {a } srzat akkr és csak akkr kverges, ha krláts és csak egyetle trlódási ptja va. (Nem bizyítjuk!). TÉTEL Az {a } srzat akkr és csak akkr kverges, ha ε>0-hz N természetes szám (N ε-tól üggő), hgy ha, m >N, akkr a - a m <ε. (Cauchy-éle kvergeciakritérium!) 38

39 PMMANB3 Matematika I..5 Végtelehez tartó srzatk (Eze srzatk divergesek!) DEFINÍCIÓ. Az {a } srzat a + -hez tart, ha k>0 számhz N 0 N +, hgy ha >N, akkr a >K. Jelölése: lim a = ill. a, ha lim a = akkr az a srzat a hez tart. DEFINÍCIÓ. Ha { } Jelölése: lim a = v. a, ha PÉLDÁK. lim ( 3). lim = = 3. lim ( 3 ) =.6 Néháy evezetes kverges srzat a a ú lima = a. { }. lim = 0 a kvergecia deiícióval biz. 3. { q } q ú mértai srzat q a kvóciese 4. { } 5. { } de lim q lim q = =, ha q> a a ú + lim a = lim = 0, ha q <, ha q = diverges, mide egyéb esetbe =,,,370, && &,44...,,4883, K,, , K 4 a 00 Mutassuk meg, hgy teljesül a eti srzatra a kvergecia elégséges eltétele, azaz mt és krláts. a) A srzat mtitásáak bizyítása Sejtés: a srzat mt övekedő (a éháy első elem ezt sugallja!) A bizyításhz elhaszáljuk a számtai és a mértai közép közötti egyelőtleséget 39

40 PMMANB3 Matematika I. ekkr a, a, K, a k legyeek emegatív valós számk, ahl k N + k aa, K,a (Ha a = a = a k, k Tekitsük a következő O a + a + K+ a k k ( mértai k. ) ( számtai k. ) akkr és csak akkr egyelő a két ldal.) + db számt +, +, K, +, db Írjuk el a eti (+) szám számtai és mértai közepét! K K + < ( ) < = = < + ś 0 N eseté igaz + a < a +, tehát a srzat szigrúa mt övekedő b) A srzat krlátsságáak bizyítása Mivel a < a < a < a + < ezért a srzat alulról biztsa krláts. Alsó határ: a =. Tehát csak azt kell bizyítauk, hgy elülről is krláts. Tekitsük a következő + db számt +, +, K, +,, db Írjuk el a eti (+) szám számtai és mértai közepét! 40

41 PMMANB3 Matematika I K K + < < = < < 4 ś 0 N -re teljesül + Tehát a < 4 ś 0 N -re így a srzat elülről is krláts, azaz + O + < 4 ś 0 N -re A kvergecia elegedő eltétele teljesül a srzatra (szig., mt ő és krláts), azaz az + srzat kverges, tehát va határértéke. Kimutatták, hgy az + srzat határértéke irraciális szám, melyet e-vel jelölük. DEFINÍCIÓ. DEFINÍCIÓ. Az `e` valós számt az = + e: lim határértékkel deiiáljuk. e., Az `e` alapú lgaritmust természetes lgaritmusak evezzük. A 0 + szám természetes lgaritmusáak jelölése l. MEGJEGYZÉS: a k k lim e, ha lim a, k a + = = ú.7 Műveletek kverges srzatkkal DEFINÍCIÓ. Az {a } és {b } srzatk összegé azt a {c } srzatt értjük amelyek -edik eleme: c = a + b MEGJEGYZÉS: Haslóa értelmezhető két srzat külöbsége, szrzata, háyadsa. 4

42 PMMANB3 Matematika I. TÉTEL Ha az {a } és {b } srzat kverges és lim a = A és lim b = B, akkr. lim c a = c lim a = c A ś c 0ú eseté lim a + b = lim a + lim b = A + B. lim a b = lim a lim b = A B a lim a A ha B 0 lim = = b lim b B Csak a. állítást bizyítjuk. Bizyítás. A kvergecia deiíciója alapjá bizyítjuk. Mivel {a } és {b } kverges, így midkét srzatra teljesül a kvergecia deiíciója, ε miszerit ś > 0 számhz N, ill. N term. szám, hgy ε a A <, ha > N ε b B <, ha > N Mi azt akarjuk bizyítai, hgy ( a + b ) ( A+ B) Mutassuk meg, hgy az (a + b ) srzatra is teljesül a kvergecia deiíciója, miszerit a + b A + B <ε, ha > N ahl ( ε tetsz. + szám) ε ε + + O + < + =ε a b A B a A b B v v ha > N = ma N, N ε ε ha > N ; ha > N Tehát a + b A + B <ε, ha > N, ahl ś ε> 0 szám ami igazlja a tétel állítását. TÉTEL (Redőrelv!) Ha {a } és {c } srzat kverges és lim a = lim c = A, valamit véges sk kivételével aobo c teljesül, akkr {b } is kverges és lim b (Nem biz.) = A 4

43 PMMANB3 Matematika I. MEGJEGYZÉS:. Diverges srzatkkal végzett műveletek eredméyekét kaptt srzatk lehetek kvergesek és diverges is! Midig a kkrét eset vizsgálata szükséges!. Semmi biztsat em mdhatuk a ± 0 ; 0 ; ; ; ; ; 0 ± 0 típusú határértékekről Példák srzatk határértékéek kiszámítása A kverges srzatkra vatkzó tételek és a evezetes kverges srzatk határértékéek elhaszálásával számluk határértékeket. Számítsuk ki a következő srzatk határértékekét! lim = lim = lim = lim = lim = lim = lim = lim = ( 3) ( ) lim = lim = lim Diverges! Két trlódási ptja va: -3 és 3 ( ) lim = lim + 6 = lim + 6 = lim = lim = lim = lim + = e

44 PMMANB3 Matematika I e lim = lim = = e = e 3 3 e lim + Redőrelv segítségével! < + < 4 + = Tehát lim 3. Egyváltzós valós üggvéy alaptulajdságai 3. A üggvéy galma, megadása DEFINÍCIÓ. Egyváltzós valós üggvéye lya üggvéyt értük, amelyek értelmezési tartmáya és értékkészlete is a valós számk halmazáak valamely részhalmaza Függvéyek jelölése:, g, h,, ϕ, ψ, stb. Ha egy üggvéyt a matematikai galma alapjá ptsa akaruk megadi, akkr megadjuk az értelmezési tartmáyát, a képhalmazát és a hzzáredelés szabályát. PÉLDÁK. : R R, 3-7 D R R R itt vagy 7 D =[ ; [ 3 R =[ 0; [ 7 ( ) = 3+ 7, D =[ ; [, R R R =[ 0; [ 3 g =, Dg = R 3, Rg R Rg = R 0 3. {} {} 44

45 PMMANB3 Matematika I. MEGJEGYZÉS: Ha az üggvéy helye vett helyettesítési értéke képlettel megadható és -ek csak alaphalmazát és képhalmazát adjuk meg (itt midkettő), akkr D és R megállapítása számítással jár. Ilyekr D a az legbővebb részhalmaza, amelyekek elemeihez a képlet üggvéyértéket redelhet. Egyváltzós üggvéy szemléltetése : R R, (), D R, R R üggvéy síkbeli derékszögű krdiáta redszerbe, az y = () egyeletű gemetriai alakzattal ábrázljuk, miközbe beutja a D halmaz elemeit. Az y = () egyeletű gemetriai alakzatt az üggvéy graikjáak evezzük. PÉLDA D R R R, () =, 0, ha ha > 0 = 0, ha < 0 = sg előjelüggvéy Ábrázljuk y y = sg O - - { } R, 0, 3. Függvéyek jellemzése, üggvéytai alapgalmak 3.. Krlátsság DEFINÍCIÓ. Az üggvéyt elülről krlátsak evezzük, ha K ú szám, hgy PÉLDÁK D re O K, Az üggvéy alulról krláts, ha k ú szám, hgy D re ko Az üggvéy krláts, ha alulról és elülről is krláts, azaz ko OK D re első határ : legkisebb első krlát (sup () ) alsó határ : legagybb alsó krlát (i () ) 45

46 PMMANB3 Matematika I.. = si D = R Krláts v, mert R R O O D re =, D =[ 0; [, R R, R =[ 0; [. 0O, D re em krláts, mert csak alulról krláts. 3.. Párs, páratla üggvéyek DEFINÍCIÓ. Az üggvéyt, amelyek értelmezési tartmáya szimmetrikus az D re =, és páratla rigóra párs üggvéyek evezzük, ha üggvéyek, ha ( ) =. MEGJEGYZÉS Ábrázlható üggvéyek eseté, ha párs, graikja az y tegelyre szimmetrikus, ha páratla, a képe az rigóra szimmetrikus. Legye =, D = ú Milye paritású üggvéy? PÉLDA Megldás D rigóra szimmetrikus = = = = = ( ) Tehát, D re = páratla 3..3 Peridikus üggvéyek DEFINÍCIÓ. Az üggvéy peridikus, ha lya p>0 szám, hgy teljesül a következő eltétel: PÉLDÁK. D re + p D. D re + p = A p>0 szám az v periódusa.. = si D =ú si ( + π ) = si D re legkisebb periódusa π. g = cs Dg =ú 46

47 PMMANB3 Matematika I. cs( + π ) = cs D re π per. π h = tg D = ú( + k π,k Z tg +π = tg π per k = ctg D = ú( { k π,k Z } ctg( +π ) = ctg π per Mt üggvéyek DEFINÍCIÓ. tartmáyá az üggvéyről akkr mdjuk, hgy ez a üggvéy az értelmezési mt övekvő, ha < O mt csökkeő, ha < ( ) P szig. mt övekvő, ha < < szig. mt csökkeő, ha < ( ) > ( ) a D mide (, ) elempárjára. =, D 0 Mt-e? PÉLDA = ú( {} Megldás y y = Nem mt! Függvéyek szélsőértéke DEFINÍCIÓ. Az üggvéyek az D ptba helyi miimuma va, ha az ak lya köryezete, hgy ha eze köryezetek, () >. 0 0 Az üggvéyek az D ptba helyi maimuma va, ha az ak lya köryezete, hgy ha eze köryezetek, () <. 0 0 PÉLDA 47

48 PMMANB3 Matematika I. y y = () [ [ = [ [ : a ;b D a ;b ú a 3 b = a 3 helye -ek abszlút (ttális) maimuma va helye -ek helyi miimuma va helye -ek helyi maimuma va helye -ek helyi miimuma va, ami egybe abszlút miimum is : ú ú, = y y = = 0 -ek helye helyi miimuma va és egybe abszlút miimuma is va. maimuma ics 3..6 Függvéy zérushelye DEFINÍCIÓ. Az üggvéyek az D ptba zérushelye va, ha ( 0) = 0 PÉLDÁK. D ú( {, 3 }, = = ( )( 3) Adjuk meg üggvéy zérushelyét! Megldás Oldjuk meg az () = 0 egyeletet D -e! = 0 = ( )( 3) Tehát -ek az = - helye va a zérushelye.. : =, = cs ú ú zérushelyeit adjuk meg! Megldás cs = 0 π = + k π, k Z ezek a zérushelyek! (végtele sk va!) 48

49 PMMANB3 Matematika I. 3.3 Műveletek üggvéyekkel 3.3. Függvéyek leszűkítése DEFINÍCIÓ. Legye H D,H. Ekkr az üggvéy H halmazra való leszűkítésé azt a g üggvéyt értjük, melyre D = H,és ś Heseté g() = (). g : ú ú, = si y y = ()=si π 0 π π π - π π Legye H = ; g legye v leszűkítése H ra π π D g = ;, g = si,ha H π y π y = g() 3.3. Függvéyek összege, külöbsége, szrzata, háyadsa Legye és g két lya üggvéy melyekre DW Dg. Z g legye a g üggvéy zérushelyeiek halmaza. DEFINÍCIÓ. Az és g üggvéyek összegé, külöbségé, szrzatá redre azt a F, G, H üggvéyt értjük melyekre F g G g H g D = D WD és F = + g D = D WD és G = g D = D WD és H = g DEFINÍCIÓ. Az és g üggvéyek háyadsá azt az ú üggvéyt értjük melyre 49

50 PMMANB3 Matematika I. DR = ( DW Dg) ( Z g és R = g PÉLDA g {} Legye D =[ 4 ; [, = Dg = R, g = lg Z =,mert lg= 0 = + = + + = W = ú. F g 4 lg, DF D Dg G = g = + 4 lg, D = DWD = ú. G g H = g = + 4 lg, D = DWD = ú 3. H g R = =, DR = D Dg Zg = g lg Függvéyek összetétele ( W ) ú {} DEFINÍCIÓ. Az és g két lya üggvéy, amelyekre RgW D. Az külső és g belső üggvéyből képzett összetett üggvéye értjük azt a h üggvéyt, amelyek értelmezési tartmáya a g értelmezési tartmáyáak az része, ahl g lya értékeket vesz el, melyeke értelmezett. A h összetett üggvéy hzzáredelési h = g. törvéye: ( ) A A+ε D PÉLDA Megldás h = lg Elemzzük a szerkezetét! Adjuk meg h üggvéy értelmezési tartmáyát! 50

51 PMMANB3 Matematika I. külső üggvéy = D = [0; [, R = [0; [ belső üggvéy g = lg D g = ]0; [, Rg =ú Rg D = [0; [ h értéktart. meghat. lg P 0 lg P lg D=D = ]0;] D h g g Függvéyek iverze 0MO DEFINÍCIÓ. Legye az üggvéy által létesített leképezés kölcsööse egyértelmű. Az üggvéy iverz üggvéyé értjük azt az üggvéyt, melyek értelmezési tartmáya az értékkészlete és hzzáredelési törvéye: egy D értékhez azt az ( )értéket redeli, melyre () = _ y (( ))= ( ) y = () y = y = () ( ) MEGJEGYZÉSEK. Az üggvéy az értelmezési tartmáyáak H részhalmazá kölcsööse egyértelmű leképzését valósít meg, ha a H halmaz külöböző elemeihez külöböző értékeket = =, H eseté. redel az értékkészletéből, azaz ha. Mivel mide szigrúa mt üggvéy kölcsööse egyértelmű leképzést valósít meg, így a szigrúa mt üggvéyekek midig létezik az iverz üggvéyük. 3. Va lya ivertálható üggvéy, amely em mt! Legye D = ú, = 3 + PÉLDA Adjuk meg az iverz üggvéyét! Megldás Vizsgáljuk meg mtitását! =

52 PMMANB3 Matematika I. Mivel szig. m. csökkeő ivertálható R meghat. 0M3 0N N Az iverz v. hzzáredelési törvéye: Mst: D = ] ;[ R = ú () + _ (()) (()) = 3 = () =? _ () + 3 = _ () + = lg ( ) _ () = lg ( ) _ _ R = ] ;[ = () = lg ( ) Az üggvéy iverz üggvéye 3.4 Egyváltzós elemi üggvéyek Az elemi üggvéyek sztályát a kstas üggvéyek hatváyüggvéyek trigmetrikus üggvéyek lgaritmikus üggvéyek és az ezekből véges számú összeadással, kivással, szrzással, sztással, összetett és iverzüggvéy képzéssel előállítható üggvéyek alktják. Elemi üggvéyek Algebrai üggvéyek Traszcedes üggvéyek Raciális Irraciális Egész Tört Algebrai üggvéyek: azk a üggvéyek, melyek kstaskból és a váltzóból véges számú összeadás, kivás, szrzás, sztás és egész kitevőjű gyökvás útjá jöek létre. Raciális üggvéyek:azk az algebrai üggvéyek, melyek leképzéséhez a gyökvást em kell elhaszáli. Raciális egész üggvéyek v. plimüggvéyek: - -edkú : = a + a + + a+ a D =ú Raciális törtüggvéyek: - ahl a ú i = 0,,...,, a 0 adttak i 5

53 PMMANB3 Matematika I. Olya törtüggvéy, amelyek számlálója és evezője is plimüggvéy. Traszcedes üggvéyek: azk az elemi üggvéyek, melyek em algebrai üggvéyek (trigmetrikus, lgaritmus üggvéyek és ezek iverzei). Hatváy üggvéyek: D = ú, =, N a) Ha párs R = [0; [ párs y y = y = + D = ú, =, N páratla b) R = ú y y = y = + D = ú( 0, =, N párs c) { } R = ú + y y = y = d) ú( { } R = ú( {} 0 + D = 0, =, N páratla y y = y = Gyökös üggvéyek (Irraciális üggvéyek) 4 6,,,...,..., h Z D = [0; [ R = [0; [ y y = y = 53

54 PMMANB3 Matematika I.,,...,..., h Z D R = ú = ú y y = y = Epeciális üggvéyek = a D = ú a > 0,a R = ú + y y = (kitevőkhöz hatváyüggvéyeket redel) y = Lgaritmus üggvéyek a = lg D = ú a > 0,a R = ú + y y = (hatváyértékekhez kitevőt redel) a és lga egymás iverz üggvéyei! y = Trigmetrikus üggvéyek (A szögeket radiába adjuk meg!) Radiá: az egységsugarú körbe az adtt középpti szöghöz tartzó ívhssz mérőszáma. 360 = r π= π= π radiá π 80 =π, 90 = stb. A sziusz és a ksziusz üggvéy DEFINÍCIÓ. Az i egységvektr szögű elrgatttjáak első krdiátája az szög ksziusza, másdik krdiátája az szög sziusza. 54

55 PMMANB3 Matematika I. y y = si π π π y = cs Midkét v-re : D = ú [ ] R = ; Periódikusak π szerit : si = si + π D re A tages üggvéy DEFINÍCIÓ. cs = cs + π si π tg : = = D = ú( + k π, k Z cs R = ú Periódikus π szerit : tg = tg +π, D re y A ktages üggvéy DEFINÍCIÓ. cs ctg : = = D = ú( k π, k Z si R = ú { } Periódikus π szerit : tg = tg +π, D re 55

56 PMMANB3 Matematika I. y Ciklmetrikus üggvéyek vagy arkuszüggvéyek A trigmetrikus üggvéyek iverz üggvéyei. Mivel a trigmetrikus üggvéyek peridikusak, ezért a teljes értelmezési tartmáyba em ivertálhatók, azba alkalmasa választtt itervallumk szigrúa mtk, tehát ivertálhatóak is! Az arc si üggvéy π π Mivel a si üggvéy a, - szigrúa mt ő és a teljes értékkészletét kimeríti, így ez az itervallum alkalmas ivertálásra. π π DEFINÍCIÓ. Az = arcsi üggvéy a si v ; itervallumra való leszűkítéséek iverze. [ ] D = ; π π R = ; PÉLDA π π arcsi azt a ; -ba eső szöget jeleti, melyek si arcsi = sziusza, azaz y y = g() π π arc si = mert si = π π arc si = mert si = 6 6 π π Az arc cs üggvéy DEFINÍCIÓ. Az = arccs üggvéy a cs v [ 0; π ] itervallumra való leszűkítéséek iverze. D = [ ;] R = 0; π [ ] arccs jeleti azt a[ 0;π] -ba eső szöget, melyek ksziusza, azaz cs( arc cs ) = 56

MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu

MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu 007 PMMANB3 Matematika I. RÉSZLETES TANTÁRGYPROGRAM Hét Ea/Gyak./Lab.. 3 óra előadás

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1 . Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

10.M ALGEBRA < <

10.M ALGEBRA < < 0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 1. modul Sorban, egymás után

MATEMATIKA C 12. évfolyam 1. modul Sorban, egymás után MATEMATIKA C. évflyam. mdul Srba, egymás utá Készítette: Kvács Kárlyé Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató A mdul célja Időkeret Ajáltt krsztály Mdulkapcslódási ptk Srzat fgalma,

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK

ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1 Halmazok 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 2 A fejezet legfontosabb elemei Halmaz megadási módjai Halmazok közti műveletek (metszet,

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. HA 1 Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) HA 2 Halmazok HA 3 Megjegyzések A halmaz, az elem és az eleme fogalmakat nem definiáljuk, hanem alapfogalmaknak

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy

Részletesebben

Kétváltozós függvények

Kétváltozós függvények Kétváltozós üggvéek Tartalomjegzék Többváltozós üggvéek... Kétváltozós üggvéek... Nevezetes elületek... 3 Forgáselületek... 3 Kétváltozós üggvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós üggvéek... 6 A parciális

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1 Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival

Részletesebben

5. előadás. Skaláris szorzás

5. előadás. Skaláris szorzás 5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút

Részletesebben

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel?

1 h. 3. Hogyan szól a számtani és a mértani közép közötti összefüggést kifejező tétel? 1. Fogalmazza meg az R -beli háromszög-egyelőtleségeket!,y R (i) +y + y (ii) -y - y 2. Mit mod ki a Beroulli-egyelőtleség? (i) (1+h) 1+ h ( h>-1) ( N*) (ii) (1+h) 1+2 h 1 ( N*) h 2 3. Hogya szól a számtai

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

2014. november Dr. Vincze Szilvia

2014. november Dr. Vincze Szilvia 24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata

Részletesebben

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1

1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1 A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1 Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk: Kocsis Júlia Egyelőtleségek 1. Feladat: Bizoytsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitv valósakra a a b b c c (abc) a+b+c. Megoldás: Tekitsük a, b és c számok saját magukkal súlyozott harmoikus és mértai

Részletesebben

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit! Sorozatok 20. október 5. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!. Zh feladat:vizsgálja meg mootoitás és korlátosság szerit az alábbi sorozatot! a + ha ; 2; 5 Mootoitás eldötéséhez vizsgáljuk

Részletesebben

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---

(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): --- A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy

Részletesebben

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal 5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve

Részletesebben

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat! megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai

6. Számsorozat fogalma és tulajdonságai 6. Számsorozat fogalma és tulajdoságai Taulási cél: A számsorozat fogalmáak és elemi tulajdoságaiak megismerése. A mootoitás, korlátosság vizsgálatáak elsajátítása. Nevezetes sorozatok határértékéek megismerése.

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes 1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,

Részletesebben

2. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

2. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Szkközépiskol 9. osztály Felkészülési jvslt jvítóvizsgár Véges, végtele, üres hlmz oglm Két hlmz egyelősége Részhlmz, vlódi részhlmz oglm Uiverzum, komplemeterhlmz Hlmzműveletek (uió, metszet, külöbség)

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is: . A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

Matematika érettségi emelt 2016 május 3. A mért tömegek között nincs 490 dkg-nál kisebb, tehát az első feltétel teljesül.

Matematika érettségi emelt 2016 május 3. A mért tömegek között nincs 490 dkg-nál kisebb, tehát az első feltétel teljesül. A mért tömegek között nincs 90 dkg-nál kisebb, tehát az első feltétel teljesül. 506 500 9 500 9 500 5 500 8 508 500 57 500 9 500 5 500 6 9 7 8 7 7 8 78 8 9,75 dkg 0 dkg Az árusítást engedélyezik. 50 8

Részletesebben

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat! Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben