Villamosmérnök A4 3. gyakorlat ( ) Nevezetes diszkrét eloszlások

Átírás

1 1. Nevezetes diszrét eloszláso bemutatása Villamosmérnö A4 3. gyaorlat ( Nevezetes diszrét eloszláso (a Bernoulli eloszlás: Olyan ísérletet hajtun végre, amine eredménye lehet "sier" vagy "udarc", azaz a BERNOULLI(p eloszlású valószínűségi változó ét értéet vehet fel, 0-t és 1-et. Eor P(X = 1 = p a sier beövetezési valószínűsége és P(X = 0 = 1 p a udarcé. Példa: Dobóocával hatost dobo vagy sem. P(X = 1 = 1/6 = 1 P(X = 0 (b Diszrét egyenletes eloszlás: A valószínűségi változó véges so értéet vehet fel és ezeet azonos valószínűséggel veszi fel. Példa: Kocadobás eseten a dobott számo értée: P(X = 1 = P(X = =... =P(X = 6 = 1/6 (c Binomiális eloszlás: BIN(n, p eloszlású az a valószínűségi változó, ami n darab független, egyenént p valószínűséggel sierrel járó ísérlet özül a siereet számolja. ( n P(X = = p (1 p n, ahol = 0, 1,... n Példa: 0 ocadobásból a hatos dobáso számána eloszlása: P(X = = ( 0 (1/6 (5/6 0. (d Geometriai eloszlás: GEO(p eloszlású az a valószínűségi változó, ami az első sier eléréséhez szüséges ísérleteet számolja, ahol a független ísérleteben a sier valószínűsége p. P(X = = (1 p 1 p, ahol = 0, 1,... Példa: Az első hatos dobásig eltelt dobáso száma: P(X = = (5/6 1 (1/6. (e Negatív binomiális eloszlás: NBIN(l, p eloszlású az a valószínűségi változó ami azt számolja, hogy hány ísérlet övetezi be az l-di sierig, ahol a független ísérleteben a sier valószínűsége p. ( 1 P(X = = p l (1 p l, ahol = l, l + 1, l +... l 1 A dobáso számána eloszlása a harmadi hatos dobásig: P(X = = ( 1 (1/6 3 (5/6 3. (f Hipergeometriai eloszlás: n golyó özül n 1 piros színű, n n 1 pedig feete színű. r-et ihúzun, és az eze özött lévő piros golyó számát vizsgálju. P(X = = ( n1 ( n n1 r ( n r Példa: Találato száma az 5-ös LOTTÓ-n: P(X = = (5 ( 85 3 ( 90 (g Poisson eloszlás: POI(λ eloszlású a valószínűségi változó, ha so, pici valószínűségű, független esemény özül beövetezett eseményeet számolja. P(X = = e λ λ 5., ahol = 0, 1,...! Példa: Mazsolá száma egy szelet süteményben, a sajtóhibá száma az újságban, Magyarországon beövetező földrengése száma... stb.. Milyen nevezetes eloszlással modellezhetjü a övetező valószínűségi változóat: (a hányadi autó veszi fel Tódort, amior iáll az országútra, mert autóstoppal aar utazni? Megoldás: geometriai eloszlással (b 10 autó özül hány vesz fel stopposoat? Megoldás: binomiális eloszlással (c 10 perc alatt hány autó áll meg stopposona? Megoldás: Poisson eloszlással 3. Egy gyárban futószalag szállítja az alatrészeet. A futószalag leáll, ha selejtes termé érezi. A termée %-a selejtes. Mi az eloszlása anna a valószínűsége változóna, ami azt számolja, hogy (a hányszor állt le a szalag az n-edi terméig (őt is beleértve? (b hány terméet gyártott a gép az n-edi leállásig? (c hány terméet szállított ét leállás özött? (d hány leállás történt egymás után addig, amíg a legelső jó termé eletezett? Megoldás:

2 (a Az eloszlás binomiális (BIN(n, p, a leállás ("sier" valószínűsége p = 0.0. Tehát P(X = = ( n n. (b Az eloszlás negatív binomiális (N BIN(n, p, a leállás ("sier" valószínűsége p = 0.0. Tehát P(X = = 1choosen 10.0 n 0.98 n. (c Az eloszlás geometriai (GEO(p, a leállás ("sier" valószínűsége p = 0.0. Tehát P(X = = (d Az eloszlás most is geometriai (GEO(p, csa a "sier" ebben az esetben a jó termé gyártása, enne valószínűsége p = Tehát P(X = = Egy A4-es csoportban 30 hallgató van. A szeptember 4-ei órára 9-an nem észülte. Az otató ijelölt 7 hallgatót, aine röpzh-t ellett írniu. Mennyi anna a valószínűsége, hogy pontosan észületlen hallgatóna ell röpzh-t írnia? Adju meg a észületlenül röpzh-t író hallgató számána eloszlását! Megoldás: Ha X-szel jelöljü a észületlenül röpzh-t író számát, aor X hipergeometriai eloszlást övet. Tehát ( 1 5 P(X = = ( 9 7. Tetszőleges esetén az eloszlás a övetező: ( 9 1 P(X = = ( A Schönherz Zoltán Kollégiumban egy évben 0.38 valószínűséggel üt i tűz. (a Mi anna a valószínűsége, hogy pontosan 10 év teli el a övetező tűzeset beövetezéséig? (b Mi anna a valószínűsége, hogy pontosan 30 év teli el a 4. tűzeset beövetezéséig? Megoldás: (a Jelöljü X-szel a övetező tűzeset beövetezéséig eltelt éve számát. Eor X GEO(p = 0.38 eloszlást övet. Azaz P(10 év teli el a övetező tűzesetig = P(X = 10 = (b Jelöljü Y -nel a 4. tűzeset beövetezéséig eltelt éve számát. Eor X NBIN(4, p = 0.38 eloszlást övet. Azaz ( 9 P(30 év teli el a 4. tűzesetig = P(X = 30 = Huba vett egy doboz gumicurot, melyne 35%-a piros színű, a többi pedig lila. Véletlenszerűen iválaszt 1 curot. Mennyi anna a valószínűsége, hogy (a ettőnél több piros cuor lesz a iválasztotta özött? (b legalább négy, de legfeljebb hét lila cuor lesz a iválasztotta özött? Megoldás: (a A iválasztott piros curo X száma binomiális eloszlást övet n = 1 és p = 0.35 paramétereel. Eor a eresett valószínűség P(X > = 1 P(X = 1 =0 ( (b A iválasztott lila curo Y száma binomiális eloszlást övet n = 1 és p = 0.65 paramétereel. Eor a eresett valószínűség P(4 X 7 = 1 7 =4 ( Valamely pénznyerő automata a tapasztalato szerint az egyes játéosotól függetlenül a játéo 5%-ában ad valamilyen pénznyereményt. Mennyi anna a valószínűsége, hogy a 15. játénál nyerün először? Megoldás: Legyen X az első nyerésig beövetező játéo száma. Eor X GEO(p = 0.05 eloszlást övet. Így a eresett valószínűség P(X = 15 =

3 8. Egy péségben szeletelt mazsolás alácsoat észítene. Minden negyedi szeletben nincs mazsola. Mennyi anna a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen iválaszott szelet alácsban ét mazsola van? Megoldás: A alácsban lévő mazsolá X száma Poisson eloszlást övet valamilyen ismeretlen λ paraméterrel. A feladat szövege alapján P(X = 0 = 1/4. Felírva az eloszlást apju, hogy e λ = 1/4, azaz λ = ln(1/4. Eze után apju a eresett valószínűséget: P(X = = 1 4 ( ln(1/4.! 9. Anna a valószínűsége, hogy egy veszélyeztetett cseresznyésert egy cseresznyéjében ét uac van, étszer aora, mint az, hogy nincs benne uac. Mennyi anna a valószínűsége, hogy (a 0 véletlenszerűen iválasztott cseresznyében nincs uac? (b csa egy uac van egy cseresznyében? (c 0 cseresznyében összesen 0 uacot találun? Megoldás: Az egy cseresznyében lévő uaco X száma Poisson eloszlást övet valamilyen ismeretlen λ paraméterrel. A feladat szövege alapján P(X = 0 = P(X =. Felírva az eloszlásoat apju, hogy λ =. Ezalapján tehát ha egy cseresznyében átlagosan uac van, aor 0 cseresznyében átlagosan 40 uac. Azaz a 0 cseresznyében lévő uaco Y száma P OI(λ = 40 eloszlást övet. (a P(Y = 0 = e 40 (b P(X = 1 = e 1! (c P(Y = 0 = e 0! 10. Augusztusi éjszaáon megfigyelése szerint átlagosan 1 percenént észlelhető csillaghullás. Mennyi a valószínűsége anna, hogy 3 óra és éjfél özött 4 hullócsillagot észlelün? Megoldás: Az augusztusi éjszaáon beövetező csillaghulláso száma Poisson eloszlású valószínűségi változóna teinthető. Ha átlagosan 1 percenént észlelhető csillaghullás, aor a vizsgált 60 perces időtartamban átlagosan 5 csillaghullás fog beövetezni. Azaz ha X-szel jelöljü a 3 óra és éjfél özött beövetező csillaghulláso számát, aor X P OI(λ = 5 eloszlást övet. Eor pedig a érdés megválaszolásához a P(X = 4 valószínűség értéet ell iszámolnun P(X = 4 = e 4! 11. Egy onferencián 30 villamosmérnö és 4 informatius hallgató vesz részt. Az 54 résztvevőből 6-ot iválasztana, ai egy fórumon veszne részt. Mennyi anna a valószínűsége, hogy legalább ét informatius lesz özöttü? Megoldás: Jelölje X a iválasztott informatius hallgató számát. Eor X hipergeometriai eloszlást övet. Legalább ét iválasztott informatius azt jelenti, hogy, 3, 4, 5 illetve 6 informatius is lehet özöttü. Ez túl so számolást jelent, így önnyebb iszámolnun a omplementer esemény valószínűségét, azaz azt, hogy legfeljebb 1 informatius van a iválasztotta özött. ( 4 ( P(X = 1 P(X 1 = 1 6 ( ( Egy rozsomá elindul a számegyenes origójából. Minden lépésnél 1/ valószínűséggel jobbra, 1/ valószínűséggel balra lép, az előző lépéseitől függetlenül. 0 lépés megtétele után (a mennyi anna a valószínűsége, hogy a 0-ban van? (b mennyi anna a valószínűsége, hogy az 1-ben van? (c mennyi anna a valószínűsége, hogy a ( -ben van? (d mennyi anna a valószínűsége, hogy a ( -ben van, ha az utolsó előtti lépés után a ( 3-ban volt? Megoldás: Jelölje X a rozsomá által megtett balra lépése számát. Eor X BIN(0, 1/ eloszlást övet. (a Aor és csa aor lesz a 0-ban, ha a 0 lépése özül pontosan 10 volt balra lépés, és 10 jobbra lépés. Azaz ( ( 10 ( P(0-ban van = P(X = 10 = (b Páros számú lépés után csa páros pozícióban lehet a rozsomá, így P(1-ben van = 0. (c Aor lesz a rozsomá a ( -ben, ha pontosan 11-szer lépett balra, és 9-szer jobbra. Azaz P(( -ban van = P(X = 11 = ( 0 11 ( 1 11 (

4 (d Ha az utolsó előtti lépés után a ( 3-ban volt, aor 1 eséllyel lép egyet jobbra, a ( -be. 13. Átlagosan hány mazsolána ell lennie egy sütiben, ha azt ívánja elérni a curász, hogy egy véletlenszerűen iválaszott sütiben legalább 0, 99 valószínűséggel legyen (legalább egy szem mazsola? Megoldás: Az egy szeletben található mazsolá száma ismeretlen λ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változóna teinthető. Így a érdés úgy szól, hogy meora legyen λ ahhoz, hogy P(X igaz legyen. A valószínűség iszámításához át ell térnün a omplementer eseményre, azaz P(X 1 = 1 P(X = 0. Eze után felírva a fenti egyenlőtlenséget, apju, hogy 1 P(X = λ λ0 1 e 0! e λ ln 0.01 λ λ ln 0.01 = 4.6 Azaz átlagosan 4.6 mazsolána ell lennie egy sütiben. 14. Egy erdőben 0 őz él, melyeből 5-öt befogta, megjelölte, majd visszaengedte.később ebből a 0 őzből 4-et újra befogna. Mennyi anna a valószínűsége, hogy az újra befogott 4 őzből pontosan ettő van megjelölve? Megoldás: Jelölje X az újra befogott és megjelölt őze számát. Eor X hipergeometriai eloszlást övet. Ahhoz, hogy megjelölt és nem megjelölt őzet fogjun, -t ell iválasztanun az 5 megjelölt őzből, és -t a 15 nem megjelölt őzből. Ezalapján ( 5 ( 15 P(X = = ( A érdést máshogy is megtámadhatju, ha az idő visszafordításával azt érdezzü, hogy mennyi a valószínűsége anna, hogy az általun fogott 4-ből, és az általun nem megfogott 16-ból 3 őz van megjelölve. Eor a válasz ( ( 4 16 ( 3 / 0 5. A binomiális együtható ifejtése után láthatju, hogy a ét válasz megegyezi. 15. A Kocogj Velün! mozgalom eretében tavaly futóversenyt rendezte a Duna-anyarban. A pályát sajnos ullanccsal fertőzött területen át vezetté. Kiderült, hogy a versenyző özül 300-an találta maguban egy, 75-en pedig ét ullancsot. Enne alapján becsüljü meg, hogy örülbelül hányan indulta a versenyen. Megoldás: Az egy versenyzőben talált ullancso X száma Poisson eloszlású, valamilyen ismeretlen λ paraméterrel. Ha n versenyző indult, aor a megadott adato alapján özelítőleg P(X = n, míg P(X = 75 n. A Poisson eloszlás segítségével tehát meg ell oldanun az λ 1 1! e λ 300 n λ! e λ 75 n egyenletrendszert. A másodi egyenletet elosztva az elsővel apju, hogy λ/ 1/4, azaz λ 1/. Így az első egyenlet alapján apju, hogy n 300e λ /λ ulcsun özül csa 1 nyitja az előttün álló ajtót. A sötétben nem látju, hogy melyi ulcsot próbáltu már i, így a próbálgatáso során többször is ezünbe erülhet ugyanaz a ulcs. Mennyi anna a valószínűsége, hogy legfeljebb 50 próbálozással inyitju az ajtót? Megoldás: Feltesszü, hogy a ulcso próbálgatását függetlenül és minden ulcsna egyenlő esélyt adva végezzü. Eor minden próbálozásnál 1/100 valószínűséggel leszün sierese. Ismét úgy számolhatju i a eresett valószínűséget egyszerűbben, ha áttérün a omplementer esemény valószínűségéne iszámítására. Az első 50 próbálozás nem sierül, ha 50-szer nem a megfeleő ulcs aad a ezünbe. Enne az esélye ( Tehát ha X jelöli a próválozáso számát, aor ( P(X 50 = 1 P(X > 50 = Ha a ipróbált ulcsoat félretesszü, aor legfeljebb 50 próbálozásra inyitju az ajtót, ha a ulcso véletlen ipróbálási sorrendjében a megfelelő ulcs benne volt az első 50-ben. Mivel a véletlen sorrendben ez a ulcs bárhol egyenlő eséllyel lehet, a valószínűség eor 50/100 = 0.5 lenne. 17. Blicc úr minden nap villamossal megy dolgozni, de nincs bérlete, sem jegye. A villamosra minden nap 0, valószínűséggel száll fel ellenőr, és ilyenor 0, 8 valószínűséggel elapja Blicc urat. (Az ellenőr minden nap az addigiatól függetlenül dönti el, hogy ellenőrzi-e aznap Blicc úr villamosát.

5 (a Mennyi anna a valószínűsége, hogy Blicc úrna "szerencsés hete" van, azaz az 5 munanap egyién sem ell büntetést fizetnie? (b Mennyi anna a valószínűsége, hogy pontosan étszer apjá el egy hét munanapjai alatt? (c Feltéve, hogy Blicc úrna "szerencsés" hete volt, mennyi anna a valószínűsége, hogy mind az ötször volt ellenőr a villamoson? (d Mennyi anna a valószínűsége, hogy csütörtöön bünteti meg Blicc urat először? Megoldás: Blicc urat minden nap egymástól függetlenül p = = 0.19 valószínűséggel bünteti meg. Ha X-szel jelöljü az öt nap alatti büntetése számát, aor X BIN(5, p eloszlást övet. Ezért (a P(nem ell büntetést fizetnie = P(X = 0 = ( (b P(étszer apjá el = P(X = = ( (c Legyen E az az esemény, hogy mind az ötször volt ellenőr a villamoson, F az az esemény, hogy Blicc úrna szerencsés hete volt. Eor P(RF = P(F E P(E anna a valószínűsége, hogy mint az ötször volt ellenőr, de Blicc úr mind az ötször megúszta a büntetést, P(F -et pedig az (a részben iszámoltu. Így P(E F = P(F E P(E P(F = (d A hét első három napján Blicc úr nem apott büntetést, a negyedi napon apott. Jelölje Y az első olyan napot, amior Blicc urat megbüntetté. Eor X GEO(p eloszlást övet, tehát P(csütörtöön bünteti először = P(Y = 4 = Feltesszü, hogy egy országban az öngyilosságo gyaorisága havonta és laosonént átlagosan 1 öngyilosság. (a Mennyi anna a valószínűsége, hogy az ország egy es városában 8 vagy több öngyilosság történi egy adott hónapban? (b Mennyi anna a valószínűsége, hogy lesz legalább olyan hónap az évben, amior a városban 8 vagy több öngyilosság történi? (c Ha a folyó hónapot számolju az első hónapna, mennyi anna a valószínűsége, hogy az első olyan hónap, amior 8 vagy több öngyilosság történi a városban az i-edi hónap lesz, i 1? Megoldás: Feltesszü, hogy a laoso egymástól függetlenül, az év bármely időszaában egyforma valószínűséggel leszne öngyiloso. (a A res városban várhatóan 4 öngyilosság történi havonta, ezért az öngyilosságo X száma Poisson eloszlású λ = 4 paraméterrel. Eor p = P(X 8 = 1 P(X 7 = 1 7 P(X = j = 1 j=0 7 j=0 4 j j! e (b Az ilyen hónapo Y száma az évben BIN(1, p eloszlást övet (itt p értée az (a részben már iszámoltu. Tehát P(Y = 1 P(Y = 0 P(Y = 1 = ( 1 = ( ( ( (c Az első ilyen hónap sorszáma egy Z geometriai eloszlású valószínűségi változó a fenti p paraméterrel. Tehát P(Z = i = ( i Egy városban átlagosan 15 baleset övetezi be egy hét alatt. Ezen balesete 0%-ában sajnos súlyos sérülés is történi. Mennyi anna a valószínűsége, hogy (a egy hét alatt 13 baleset övetezi be? (b egy hét alatt 4 súlyos sérüléseel járó baleset övetezi be? (c egy hét alatt 13 baleset övetezi be, amiből 4 súlyos sérüléseel is jár Megoldás: Jelölje X az egy hét alatt beövetezett balesete számát, illetve Y az egy hét alatt beövetezett súlyos balesete számát. Eor mindét valószínűségi változón Poisson eloszlást övet: X P OI(15, Y P OI( (a P(X = 13 = e 13! (b P(Y = 4 = e !

6 (c P(X = 13, Y = 4 = P(Y = 4 X = 13P(X = 13 = e.6 ( ! e 13! Itt a feltételes valószínűségdefiníciója mellett felhasználtu azt, hogy az Y X = 13 valószínűségi változó is Poisson eloszlást övet λ =.6 paraméterrel. 0. Van ét érmém, az egyi igazságos érme, a mási cinelt, de ránézésre nem tudom őet megülönböztetni egymástól. A cinelt érme 3/4 valószínűséggel mutat fejet. Előveszem az egyi érmét a zsebemből, 1/ eséllyel az igazságosat, 1/ eséllyel a cineltet. A iválaszott érmét feldobom 30-szor és azt tapasztalom, hogy 5-ször mutatott fejet. Mennyi anna a valószínűsége, hogy a cinelt érmét vettem elő? Megoldás: Legyen X a dobott feje száma, C pedig az az esemény, hogy a cinelt érmével dobtam. Eor a Bayes-tételt használva apju, hogy P(C X = 5 = P(X = 5 C P(C P(X = 5 C P(C + P(X = 5 C P( C = = ( 3 5 ( ( 3 5 ( ( ( ( = A megoldásban felhasználtu, hogy az (X = 5 C valószínűségi változó BIN(30, 3/4, míg a (X = 5 C valószínűségi változó BIN(30, 1/ eloszlást övet.