Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC

Átírás

1 Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Játékszabályok Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont: 1. ZH a félév közepén 50 pont: 2. ZH a félév végén x pont: szorgalmi feladatokkal Mindkét ZH-n minimálisan teljesíteni kell a 30 %-ot, azaz a 15 pontot. Ha egy ZH sikertelen, nem írod meg, vagy javítani szeretnél, akkor vizsgaid szak els hetén lesz lehet ség a pótzh megírására vagy a javításra. Csak az egyik ZH anyagából javíthatsz, és a jobbik eredményt veszem gyelembe, azaz nem lehet rontani. Két sikertelen vagy meg nem írt ZH esetén gyakuv-t írsz, és maximum kettest kaphatsz. A ZH-kon a kiosztott táblázatokon kívül használni lehet egy A4-es lapra (akár mindkét oldalára) KÉZZEL írott "puskát" , ,99 Osztályozás: , , Személyes adatok Név Varga László Tanszék Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék (ELTE TTK) Szoba D vargal4@cs.elte.hu Honlap Ajánlott irodalom Arató-Prokaj-Zempléni: Valószín ségszámítás elektronikus jegyzet (kés bb: tankonyvtar.hu, most bev_val.pdf) Denkinger Géza: Valószín ségszámítási gyakorlatok 1.) Van egy piros, egy kék, egy sárga és egy zöld golyónk. Hányféleképpen tehetjük ket sorba? 2.) Hányféleképpen rendezhetünk sorba 5 könyvet és 4 füzetet úgy, hogy a könyvek kerüljenek elölre? 3.) a. Hányféleképpen választhat egy tíz f s társaság elnököt és alelnököt? b. És ha titkárt is szeretnének választani? 4.) Egy harminckét lapos kártyacsomagból hányféleképpen választhatunk ki három lapot (a sorrend mindegy)? 5.) Hány lottószelvényt kell kitöltenünk, hogy biztosan legyen öttalálatos? 6.) Hány olyan négyjegy szám van, ami csupa különböz számjegyb l áll? 7.) Hányféleképpen olvashatjuk ki a MATEK ill. MATEMATIKA szavakat az alábbi ábrákon? (A bal fels sorokból indulunk és a jobb alsóba érkezünk.) a. MAT b. MATEMAT ATE TEK ATEMATI TEMATIK EMATIKA 8.) Tekintsük az 1, 2,..., 10 számok bizonyos részhalmazait: A: páros számok, B: hárommal osztható számok, C: prímek (2, 3, 5, 7) Adjuk meg, mely számok tartoznak a következ halmazokba: a. A B b. A \ B c. C (C komplementere) d. A B e. (A C) B f. (A B) (B C) 9.) Két érmével dobunk egymás után. a. Mi az elemi események halmaza? b. Hány esemény van? c. Írjuk fel azt az eseményt, hogy a két dobás különböz. Mi ennek az ellentett eseménye? d. Ha az érmék szabályosak, mi annak a valószín sége, hogy különböz t dobtunk? e. Mi a valószín sége annak, hogy az els fej, a második írás? 10.) Két kockával dobunk, egy pirossal és egy kékkel. Tekintsük a következ eseményeket: A: legalább az egyik dobás 2-es 1

2 B: a két dobott szám összege 7 C: dobtunk páros számot D: pontosan egy 5-öst dobtunk E: a pirossal páratlant dobtunk F : mindkett vel páratlant dobtunk G: a kékkel ötöst dobtunk Jellemezzük a következ eseményeket: B G F A B + C C D + G Igaz-e: D G D A B F A B B A + D 11.) Egy érmével háromszor dobunk, vegyük a következ eseményeket: A: az els dobás fej B: a második dobás fej C: a harmadik dobás fej Írjuk fel A, B, C segítségével az alábbi eseményeket és számítsuk ki a valószín ségeiket: a. az els két dobás fej b. dobtunk írást c. csak harmadszorra dobtunk írást d. dobtunk fejet és írást is e. mindháromszor egyformát dobtunk f. az els fejet a második dobásnál kaptuk g. pontosan kétszer dobtunk fejet 12.) Két kockával dobunk, egy pirossal és egy kékkel. Mekkora a valószín sége, hogy a piros kockával nagyobbat dobunk, mint a kékkel? 13.) Mekkora a valószín sége, hogy kockával hatszor dobva mind a 6 szám el fordul? 14.) Egy ókban 10 egyforma pár keszty van. Találomra kiveszünk négy darabot. Mekkora a valószín sége, hogy lesz köztük egy pár? 15.) Ha egy magyarkártya-csomagból visszatevés nélkül húzunk 3 lapot, akkor mi annak a valószín sége, hogy a. pontosan b. legalább egy piros szín lapot húzunk? És mi a helyzet visszatevéses esetben? 16.) Lottóhúzás során (5-ös lottó) a. milyen eséllyel lesz két találatom? b. milyen eséllyel lesz legalább két találatom? 17.) Tegyük fel, hogy egy hatgyermekes családban mindig a úk, ill. a lányok születési valószín sége, és az egyes születések függetlenek egymástól. Adjuk meg annak a valószín ségét, hogy a. a családban 1 ú született b. a családban több ú született, mint lány c. a családban nem született ú SZ1.) Mennyi annak a valószín sége, hogy a kenóhúzás során (80-ból 20 kihúzása) legalább több a páros, mint a páratlan? (2 SZ2.) Mennyi az 1 és 2 számjegyekkel felírható ötjegy számok összege? (3 SZ3.) Legyenek az A 1, A 2 és A 3 események egymást kizáró események, melyek a P(A 1 )=p 1, P(A 2 )=p 2 és P(A 3 )=p 3 valószín ségekkel következnek be. Mennyi a valószín sége, hogy n független kísérletet végezve, a kísérletek során az A 2 el bb következik be, mint az A 1 vagy az A 3? Számítsuk ki e valószín ség határértékékét, ha a kísérletek száma a végtelenhez tart! (3 SZ4.) Egy urnában K fehér és M fekete golyó van. Visszatevés nélkül kihúztunk n golyót, s ebb l k lett fehér és n k fekete. Mi a valószín sége, hogy az els húzás eredménye fehér golyó volt, ha a golyók számozottak? (3 SZ5.) Mennyi annak a valószín sége, hogy a kihúzott lottószámok a húzás sorrendjében monoton sorozatot alkotnak? Változik-e a válasz (és miért), ha azt követelem meg, hogy szigorúan monoton sorozatot alkossanak? ( ) Mik az elemi események? a. Három pénzérmét feldobunk. b. Hat szám közül kiszínezünk egyet pirossal, egyet kékkel. c. Megmértük egy fa magasságát. d. Megmértük két fa magasságát. 19.) Két kockával dobunk. Mekkora a valószín sége, hogy az összeg 7? Mekkora a valószín sége, hogy dobtunk páros számot? 20.) Egy dobókockát többször feldobtunk, és felírtuk táblázatba, hogy mi hányszor fordult el : 1-es 2-es 3-as 4-es 5-ös 6-os Mekkora a relatív gyakorisága annak az eseménynek, hogy páros számot dob- 2

3 tunk? Mekkora a relatív gyakorisága annak, hogy 1-est vagy 3-ast dobtunk? Mekkora ugyanezeknek az eseményeknek a valószín sége? 21.) Egy pakli franciakártyában 52 lap van. Vezessük be a következ eseményeket: A: piros lapot húztunk ( )B: ászt vagy számot húztunk (A,2,...,10)C: pikket vagy k rt húztunk ( ) Számoljuk ki A + B + C valószín ségét a Poincaré-formulával. 22.) Három piros és két kék golyó közül kihúzunk kett t vakon. Mekkora a valószín sége annak, hogy valamelyik (azaz legalább az egyik) kék? 23.) 1 és 600 között választunk egy pozitív egész számot. Minden számot egyforma valószín séggel választunk ki. Mekkora a valószín sége, hogy a kapott szám kett, három és öt közül legalább az egyikkel osztható? 24.) Egy 32 tagú osztályban a diákok angolt, németet vagy franciát tanulhatnak. Tudjuk, hogy angolul 20-an tanulnak, németül 12-en, franciául pedig 9-en. Angolul és németül egyszerre 5-en, németül és franciául egyszerre 3- an, angolul és franciául 2-en, és senki nem tanulja mind a három nyelvet. Mekkora a valószín sége annak, hogy egy véletlenszer en választott tanuló legalább az egyik idegen nyelvet tanulja? 25.) Öt ember a színházban beadta a ruhatárba a kabátját. Azonban az el adás után a ruhatáros véletlenszer en osztotta szét köztük a kabátokat. Minden kiosztásnak egyforma volt a valószín sége. Mekkora a valószín sége, hogy senki sem kapta vissza a saját kabátját? Mi a válasz általánosan, n ember esetén? SZ6.) Mennyi a valószín sége, hogy 20 ember közül van olyan hónap, amelyikben egyikük se született? (2 26.) Három piros és két kék golyó közül kihúzunk kett t egymás után anélkül, hogy az el ször húzott golyót visszatennénk. Mekkora a valószín sége, hogy másodszorra kék golyót húzunk, ha a. az el ször kihúzott golyó kék? b. az el ször kihúzott golyó piros? 27.) Bálint egy szabályos érmével dobott háromszor egymás után, de csak annyit árult el, hogy összesen két dobás volt fej. Ennek alapján mekkora a feltételes valószín sége annak, hogy harmadszorra fejet dobott? 28.) Egy dobókockával kétszer dobtunk egymás után. Az els ként dobott számot megnéztük, és láttuk, hogy hatos. Mekkora a valószín sége, hogy a másik is hatos? 29.) Választottunk egy véletlenszer egész számot a. 1 és 54 között. b. 1 és 100 között. Észrevettük, hogy osztható 9-cel. Mekkora a valószín sége, hogy 6-tal is osztható? 30.) Van egy 52 lapos francia és egy 32 lapos magyar kártyánk. Egyforma valószín séggel kiválasztjuk az egyik paklit és húzunk egy lapot. Mennyi a valószín sége, hogy a. ászt húzunk? b. 2-est húzunk? 31.) Egy 32 f s osztályban 13-an angolul, 10-en németül és 9-en franciául tanulnak (senki sem tanul legalább két nyelven). Ha találkoznak egy külföldi emberrel, akkor az angolosok 90%, a németesek 60%, a franciák pedig 40% valószín séggel tudnak vele kommunikálni. Mekkora a valószín sége, hogy egy véletlenszer en választott tanuló tud kommunikálni a külföldivel? 32.) Két pénzérme van egy zsákban, melyek ránézésre megkülönböztethetetlenek. Az egyik szabályos, a másikkal azonban 2 3 a fej, és 1 3 az írás dobás valószín sége. Bekötött szemmel kihúzzuk az egyik érmét, és dobunk vele kétszer egymás után. Mekkora a valószín sége, hogy a szabálytalan érmét húztuk ki, ha mindkét dobás írás lett? 33.) Egy kézilabdacsapat a bajnokságban minden mérk zésén egymástól függetlenül 1 3, 1 2, illetve 3 5 valószín séggel arat gy zelmet a mérk zésein, attól függ en, hogy gyenge, átlagos, illetve kiváló edz je van. Új edz érkezik, aki egyforma valószín séggel gyenge, átlagos, illetve kiváló. Mekkora a valószín sége, hogy a csapat megnyeri az els mérk zését? Az els mérk zésen a csapat nem tudott nyerni, a másodikon azonban igen. Ennek alapján mekkora annak valószín sége, hogy az új edz kiváló képesség? És annak, hogy átlagos? 34.) Van 5 dobozunk, az i-edikben i piros és 1 kék golyóval (tehát az els ben 1 piros és 1 kék, a másodikban 2 piros és 1 kék, stb.). Választunk véletlenszer en egy dobozt és húzunk bel le. a. Mekkora a valószín sége, hogy kék? b. Ha tudjuk, hogy kéket húztunk, mekkora valószín séggel húztunk az els b l? 35.) Egy urnából, ami 10 piros és 5 kék golyót tartalmaz, egymás után hármat húzunk. Mennyi a valószín sége, hogy sorban piros, kék és piros lesz? 3

4 SZ7.) Egy szabálytalan érmét addig dobálunk, amíg fejet nem kapunk. Annak a valószín sége, hogy páros sokszor kell dobnunk, harmad akkora, mint annak, hogy páratlan sokszor. Mekkora a fejdobás valószín sége? (2 SZ8.) Iszákos Iván a nap 2/3 részét kocsmában tölti. Mivel a faluban 5 kocsma van, és nem válogatós, azonos eséllyel tartózkodik bármelyikben. Egyszer elindulunk, hogy megkeressük. Négy kocsmát már végigjártunk, de nem találtuk. Mi a valószín sége annak, hogy az ötödikben ott lesz? (1 SZ9.) Hányszor kell két kockát feldobnunk, hogy 0,99-nél nagyobb valószín séggel legalább egyszer két hatost dobjunk? (2 SZ10.) Két doboz közül az els ben k piros és l zöld golyó van, a másodikban k zöld és l piros. Visszatevéssel húzunk az alábbi szabály szerint: ha a kihúzott golyó piros, akkor a következ húzásnál az els dobozb l; ha zöld, akkor a második dobozból húzunk. El ször az els dobozból húzunk. Mennyi a valószín sége, hogy az n. húzásál piros golyót húzunk? Mihez tart ez a valószín ség, ha n? (3 36.) Mennyi a valószín sége, hogy egy kockát hétszer feldobva pontosan háromszor lesz hatos? 37.) Egy írásbeli vizsgán, amelyen 100 hallgató vett részt, mindenki egyforma valószín séggel kaphatta az öt jegy bármelyikét. Megszámoljuk a vizsga után, hogy hány jeles született. a. Milyen eloszlású ez a szám? b. Melyik értéknek a legnagyobb a valószín sége? Mennyi ez a valószín - ség? 38.) Mennyi a valószín sége, hogy három találatunk lesz a lottón? Milyen eloszlású a találatok száma? 39.) Egy véletlenszer en választott ember 95% valószín séggel szereti a csokit. Egy közvéleménykutatás során megkérdeztünk 100 embert. Mennyi a valószín sége, hogy pontosan 4-en nem szeretik közülük a csokit? 40.) A diákcsemegében a mazsolák eloszlása 10 paraméter Poisson-eloszlású. a. Mennyi a valószín sége annak, hogy 3 mazsola van egy csomagban? b. Mennyi az esélye annak, hogy legfeljebb 3 mazsola van benne? c. És annak, hogy legalább 3? 41.) Dobunk egy kockával. Igaz-e, hogy függetlenek az alábbi eseménypárok? a. A: párost dobtunk B: hárommal oszthatót dobtunk b. A: párost dobtunk B: hárommal nem oszthatót dobtunk c. A: párost dobtunk B: páratlant dobtunk Igaz-e, hogy teljesen függetlenek az alábbi eseményrendszerek? d. A: párost dobtunk B: hárommal oszthatót dobtunk C: az 1, 5, 6 valamelyikét dobtuk e. A 1 : 1-est dobtunk A 2 : 2-est dobtunk... A 6 : 6-ost dobtunk Hatszor dobtunk a kockával. Igaz-e, hogy teljesen független az alábbi eseményrendszer? f. A 1 : az els dobás 1-es A 2 : a második dobás 1-es... A 6 : a hatodik dobás 1-es 42.) Két kockával dobunk. Tekintsük a következ három eseményt: A: dobtunk 1-est B: az összeg 7 C: dobtunk 6-ost Mely eseménypárok függetlenek? Igaz-e, hogy a három esemény teljesen független? 43.) Egy sakk-készlet 32 bábut tartalmaz, ebb l 16 gyalog. Három bábut húzunk találomra. a. Mekkora valószín séggel húzunk két fehéret? b. Mekkora valószín séggel húzunk két gyalogot? c. Független-e a fenti két esemény? 44.) Egy pénzérmét feldobunk ötször. Mennyi a valószín sége, hogy a. dobtunk legalább két írást? b. minden írás után fejet dobtunk? c. az els két és az utolsó két dobás közül ugyanannyi fej? 45.) Három kockával dobunk. Mennyi a valószín sége, hogy legalább egy teljesül a következ kb l? A: az els dobás hármas vagy négyes B: az els két dobás összege 7 C: a harmadik dobás nagyobb a másodiknál 46.) Egy csomag francia kártyából egy, két vagy három ászt kivettünk, egyforma valószín séggel. Mennyi a valószín sége, hogy királyt húzunk? Ha 10-est húzunk, mennyi a valószín sége, hogy csak egy ászt vettünk ki? SZ11.) Hány dobókocka esetén a legnagyobb annak a valószín sége, hogy a kockákat egyszerre feldobva, a kapott számok között pontosan egy hatos van? SZ12.) Piroska egy magyarkártya-csomagból húz n-szer egymás után visszatevéssel. Nézzük a következ eseményeket: 4

5 A: a másodikként kihúzott lap ász B: a kihúzott lapok között legfeljebb 5 zöld van C: pontosan 1-szer húzta ki a piros ászt a. P(A)=? P(B)=? P(C)=? b. Van-e olyan n, amire A és C események függetlenek egymástól? (3 Nevezetes diszkrét eloszlások: Eloszlás neve Jelölése Eloszlása EX D 2 X Karakterisztikus Ind(p) P (X = 1) = p p p(1 p) (indikátorvált.) P (X = 0) = 1 p Geometriai (Pascal) Geo(p) P (X = k) = p(1 p) k 1 k=1,2,... Hipergeometriai Hipgeo(N, M, n) P (X = k) = k=0,1,...,n Binomiális Bin(n, p) P (X = k) = k=0,1,...,n bino- Negatív miális NegBin(n, p) P (X = k) = k=n,n+1,... ( )( ) M N M k n k ( ) N n ( n k) p k (1 p) n k ( ) k 1 p n (1 p) k n n 1 1 p n M N n M N 1 p p 2 ( ) ( ) 1 M N 1 n 1 N 1 np np(1 p) Poisson Poi(λ) P (X = k) = λk k! e λ k=0,1,... λ λ n p n(1 p) p 2 El fordulásuk: Indikátor változó: egy p valószín ség esemény bekövetkezik-e vagy sem Geometriai: hányadikra következik be el ször egy p valószín ség esemény Hipergeometriai: visszatevés nélküli mintavétel Binomiális: visszatevéses mintavétel Negatív binomiális: hányadikra következik be n. alkalommal egy p valószín ség esemény 47.) Egy urnában 15 piros és 5 kék golyó van. Mennyi a valószín sége, hogy a negyedik húzásnál húzunk el ször kéket, ha visszatevéssel húzunk? És ha visszatevés nélkül? 48.) Egy céllöv 70% valószín séggel találja el a céltábla közepét. Mekkora a valószín sége, hogy az els három lövéssel talál? És annak, hogy a harmadik lövése talál el szörre? 49.) Az emberek 3%-a színtéveszt. Mekkora a valószín sége, hogy száz véletlenszer en választott emberb l pontosan 3 lesz színtéveszt? Oldjuk meg a feladatot közelítéssel is! 50.) Egy kalapban négy cédula van, rajtuk 1, 1, 2 és 4 áll. Kétszer húzunk visszatevéssel. Jelölje X az el ször, Y a másodszor húzott számot. Számítsuk ki a következ mennyiségeket: E(X) E(X + Y ) D(X + Y ) E(X Y ) cov(x, Y ) 51.) Öt dobókockával dobunk egyszerre. Jelölje X azt, hogy hány hatost dobtunk. a. Mennyi P (X = 3)? b. Milyen eloszlású X? c. Számítsuk ki X várható értékét és szórását! 52.) Egy társasjátékban két kockával dobnak, a dobott számok összege számít. a. Jelölje Z azt, hogy hányadik dobásnál jön ki az els hetes. Mennyi E(Z) és D(Z)? b. Oldjuk meg ugyanezt a feladatot, ha Z azt jelöli, hogy hányadik dobásnál jön ki az els hatos. 53.) Egy boltban az egy óra alatt bejöv vev k száma 10 paraméter Poissoneloszlású. Mekkora a valószín sége, hogy reggel 8 és 9 között legfeljebb ketten jönnek? Várhatóan hányan jönnek be reggel 8 és 9 között? Mennyi az ezalatt betér k számának szórása? 54.) Egy dobókockával addig dobunk, amíg a harmadik hatosunkat nem dobjuk. Várhatóan hányszor kell dobni vele? Mennyi lesz a szórása a szükséges dobások számának? 55.) Egy szabályos dobókocka oldalaira két egyes, két hármas és két négyes van írva. Kétszer dobunk egymás után, jelölje X az els dobást, Y a másodikat, és Z a két dobás közül a kisebbiket. Számoljuk ki a következ mennyiségeket: E(X) E(X + Y ) D(X + Y ) D(X Y ) E(Z) R(X, Y ) cov(x, Z) E(X 2 Y ) cov(2x + Y, Y + 5) R(2Z + 1, 3Z 4) 56.) Egy céllöv 70%-os valószín séggel találja el a céltábla közepét. Határozzuk meg, hogy 25 lövésb l mennyi a sikeres találatok számának várható értéke és szórása! 57.) Egy szabályos dobókockával dobunk. Jelölje X, hogy hányadszorra dobunk el ször egyest, és Y, hogy hányadik dobásnál jön ki a hatodik hatos. Számítsuk ki X és Y várható értékét és szórását! 58.) Két kockával dobva, mennyi a dobott számok maximumának és minimumának a várható értéke? 5

6 59.) Egy pont az x tengelyen bolyong (minden lépésben 1/2 valószín séggel jobbra lépünk egységnyit, 1/2 valószín séggel pedig balra). Jelölje X a pontnak az origótól való távolságát 4 lépés után. Mennyi X szórása? 60.) Ha X B(n, p) eloszlású, és E(X) = 12, D(X) = 2, akkor mennyi n és p? 61.) Egy 32 lapos magyar kártyából 6 lapot húzunk visszatevés nélkül. Határozzuk meg a kihúzott zöld lapok számának várható értékét és szórását! 62.) Egy évben átlagosan 3,42 alkalommal van jéges. Feltételezzük, hogy a jéges k éves száma Poisson-eloszlású. Ennek alapján határozzuk meg, hogy mennyi az egy év alatt bekövetkezett jéges k számának szórása. 63.) Egy cukrászdában kis és nagy adagban árulnak fagyit. A kis adag ára 100, a nagy adag ára 200 forint. Jelölje X az egy nap alatt eladott kis adag, Y az eladott nagy adag fagyik számát. Feltételezzük, hogy X és Y egymástól független, Poisson-eloszlású, 300 paraméterrel. Számítsuk ki az egy nap alatt fagylaltot vásárlók számának és a napi, fagylalt eladásából származó bevétel korrelációját. 64.) Becsüljük meg annak valószín ségét, hogy 100 kockadobás összege több, mint ) Becsüljük meg annak valószín ségét, hogy 1000 érmedobásból a fejek relatív gyakorisága legalább 0,6. 66.) Legyen az X valószín ségi változó várható értéke 42, szórása 5. Becsüljük meg a következ valószín ségeket: a. P ( 35 < X < 49 ) b. P ( 34 < X < 48 ) 67.) Legyen X Poisson(2007). Becsüljük meg annak a valószín ségét, hogy X > ) A táblázatban megadtuk X és Y együttes eloszlását. a. Igaz-e, hogy függetlenek? b. Számoljuk ki a két esemény kovarianciáját. c. Határozzuk meg a korrelációs együtthatót. X Y ) Választunk egy számot 1-t l 10-ig egyenletes eloszlással. Jelölje X a nála kisebb páros, Y pedig a hárommal osztható pozitív számok darabszámát. Számoljuk ki R(X, Y )-t. 70.) Hány kísérlet kell ahhoz, hogy 0,95-nél nagyobb legyen a valószín sége annak, hogy a relatív gyakoriság 0,15-nél kisebb hibával közelítse az esemény valószín ségét? 71.) Budapesten meg akarják állapítani, hogy a dohányzók mekkora arányban fordulnak el. Ehhez megkérdeznek n egyént úgy, hogy minden választásnál mindenki ugyanakkora eséllyel jöhet szóba. Milyen nagyra kell n-et választani, hogy a megkérdezettek között a dohányosok aránya legalább a. 0,9 valószín séggel 0,1-nél nem nagyobb hibával b. 0,99 valószín séggel 0,01-nél nem nagyobb hibával közelítse meg a dohányosok valódi arányát. 72.) Eloszlásfüggvények-e a következ k a (, + ) intervallumon: F (x) = e x F (x) = 0, ha x 0, F (x) = x, ha 0 < x < 1, és F (x) = 1, ha x 1 F (x) = 0, ha x 0, F (x) = x 2, ha 0 < x < 1, és F (x) = 1, ha x 1 F (x) = 0, ha x 0, F (x) = 1 2, ha 0 < x 1, F (x) = 1, ha x > 1 73.) Legyen X a [0, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószín ségi változó. Jelölje X eloszlásfüggvényét F, s r ségfüggvényét f. Határozzuk meg a következ mennyiségeket: P (X < 2 5 ) P (X 2 5 ) F ( ) 2 5 f ( ) 2 5 P ( X > 2 ) 5 P ( 1 3 < X < 2 ) 3 E(X) D(X) 74.) Legyenek X és Y független, a [ 1, 1] intervallumon egyenletes eloszlású valószín ségi változók. Jelölje X eloszlásfüggvényét F, s r ségfüggvényét f. Számoljuk ki a következ mennyiségeket: F ( 2 5 ) f(2 5 ) E(X + Y ) E(X Y ) D(X) D(X + Y ) P ((X < 2 5 ) (Y > 2 5 )) 75.) Legyen X normális eloszlású valószín ségi változó, melynek várható értéke 0, szórása 1. Jelölje X eloszlásfüggvényét F, s r ségfüggvényét f. Határozzuk meg a következ események valószín ségét: X < 2 X > 2 X < 2 2 < X < 2 Mekkora E(X 2 )? Mennyi F (2), illetve f(2) értéke? Válaszoljunk ugyanezekre a kérdésekre, ha X normális eloszlású, de 2 várható érték és 3 szórású, illetve 4 várható érték és 2 szórású. 76.) Legyen X egy 3 paraméter exponenciális eloszlású valószín ségi változó. Jelölje X eloszlásfüggvényét F, s r ségfüggvényét f. Határozzuk meg a következ mennyiségeket: P (X < 3) P (1 < X < 2) F (2) f(2) f(3) E(X) D(X) 77.) a. Az X val. változó várható értéke és szórása is 1. Becsüljük meg a 6

7 P ( X 1 2) valószín séget. b. Mennyi ez a valószín ség, ha X λ = 1 paraméter exponenciális eloszlású val. változó? Legyen X diszkrét valószín ségi változó. Deníció. X várható értéke : EX = x i P (X = x i ). i A várható érték jelentése: átlagos érték. Deníció. X 2. momentuma : EX 2 = i x 2 i P (X = x i). Deníció. X szórásnégyzete : D 2 X=E[(X-EX)] 2 = EX 2 -E 2 X. Deníció. X szórása : DX= D 2 X. A szórás jelentése: átlagos értékt l való átlagos eltérés. Állítás. Legyenek X, Y valószín ségi változók; c, a, b R. Ekkor E(X + Y ) = EX + EY ; E(cX) = cex; D 2 (ax + b) = a 2 D 2 X. Állítás. Legyenek X és Y diszkrét valószín ségi változók. Ekkor E(XY ) = x i y j P (X = x i, Y = y j ). i j Deníció. X és Y kovarianciája: Cov(X, Y ) = E [(X EX)(Y EY )]. Köv.: Cov(X, Y ) = E(XY ) EXEY. Elnevezés: ha Cov(X, Y ) = 0, akkor azt mondjuk, hogy X és Y korrelálatlanok. Állítás. X, Y függetlenek P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y) X, Y függetlenek E(XY ) = EX EY Állítás. Ha X és Y függetlenek egymástól, akkor korrelálatlanok is. Ha X és Y korrelálatlanok, akkor ebb l nem következik, hogy függetlenek is!!!!! Állítás. A kovariancia tulajdonságai: Legyenek X, Y valószín ségi változók, a, b R. Ekkor Cov(X, X) = D 2 X Cov(X, Y ) =Cov(Y, X) Cov(X, a) = 0 Cov(aX, by ) = abcov(x, Y ) D 2 (X + Y ) = D 2 X + D 2 Y + 2Cov(X, Y ) X,Y függetlenek Cov(X, Y ) = 0 Deníció. X és Y korrelációja: R(X, Y ) = Cov(X,Y ) DXDY. A korreláció két valószín ségi változó lineáris kapcsolatát méri: R > 0 pozitív a kapcsolat R < 0 negatív a kapcsolat R 2 1 er s a kapcsolat R közepes a kapcsolat R 2 0 gyenge a kapcsolat Deníció. X val.változó eloszlásfüggvénye: F X (x) = P (X < x). Amennyiben egyértelm, melyik val.változó eloszlásfüggvényér l van szó, F(x)-et írunk. Állítás. Az eloszlásfüggvény tulajdonságai: 0 F X (x) 1; monoton növ ; balról folytonos; lim F (x) = 0, lim F (x) = 1. x x Állítás. Tetsz leges X val.változó esetén P (a X < b) = F (b) F (a). Deníció. X val.változó abszolút folytonos, ha létezik olyan f(x) függvény, amelyre F (x) = f(t) dt. Ilyenkor f(x)-et x s r ségfüggvénynek hívjuk. Állítás. Legyen X abszolút folytonos eloszlású. Ekkor f(x)=f'(x); f(x) 0; f(x) dx = 1; P (X = x) = 0 x-re; 7

8 P (a < X b) = P (a X < b) = F (b) F (a). Abszolút folytonos val.változó várható értéke: EX = Abszolút folytonos val.változó l. momentuma: EX l = Nevezetes abszolút folytonos eloszlások: xf(x) dx. x l f(x) dx. Eloszlás neve Jelölése Eloszlásfüggvény S r ségfüggvény EX D 2 X 0 ha x a { 1 x a ha a < x b Egyenletes E(a, b) ha a < x b b a a+b (b a) 2 b a különben 1 ha b < x { { 1 e λx ha x 0 λe λx ha x Exponenciális Exp(λ) 0 különben 0 különben λ λ 2 Standard normális N(0, 1 2 ) Φ(x) =... Normális N(m, σ 2 )... 1 e x2 2 x R 0 1 2π 1 e (x m)2 2σ 2 x R m σ 2 2πσ Állítás. Normálás Legyen X N(m, σ 2 ). Ekkor X m σ N(0, 1). Állítás. Φ( x) = 1 Φ(x) Állítás. Φ 1 (q) = Φ 1 (1 q) 0 < q < 1 Tétel. Markov-egyenl tlenség: Legyen g : R R monoton növ függvény, X 0 val.változó, ε > 0 tetsz. Ekkor P(X ε) E[g(X)] g(ε). Spec., ha g(x) = x P(X ε) E(X) ε Tétel. Csebiseb-egyenl tlenség: P( X EX ε) D2 (X) ε 2. 8