Matematika BSc, elemzı szakirány, II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. gyakorlat (2008. szeptember 8.)

Átírás

1 1. gyakorlat (2008. szeptember 8.) 1. Mennyi az esélye annak, hogy az A, A, A, A, B, L, M, betőket találomra egymás mellé rakva, az ALABAMA szót kapjuk eredményül? Oldja meg ezt a feladatot a saját keresztnevével is! 2. Egy kockával dobva hány dobás esetén elınyös arra fogadni, hogy lesz legalább egy hatos? Mi a helyzet két kocka esetén a dupla hatossal? 3. Mennyi a valószínősége annak, hogy a kihúzott lottószámok mindegyike páros? Több köztük a páros mint a páratlan? A kihúzott számok a húzás sorrendjében növekvıek? 4. Van három szabályos kockánk, melyek közül az elsın a , a másodikon a , a harmadikon pedig a számok vannak. Anna választ egy kockát (nem találomra), majd Bea egy másikat. Ezután feldobják kockáikat, és az nyer, aki nagyobbat dobott. Kinek elınyös ez a játék? 5. Mennyi annak a valószínősége, hogy egy héten a lottóban kihúzott öt szám közti páronkénti különbségek mindegyike legalább öt? 6. Egy fiókban 10 egyforma pár kesztyő van. Találomra kiveszünk 4 darabot. Mennyi a valószínősége, hogy lesz köztük legalább egy pár? És ha a párok különbözıek? 7. Mekkora annak a valószínősége, hogy 5 kockával dobva a) pontosan egy, b) legalább egy hatost dobunk? 8. Egy körön találomra kiválasztunk három pontot. Mekkora annak a valószínősége, hogy az általuk meghatározott háromszög tartalmazza a kör középpontját? 9. Egy vékony fapálcát 3 részre törünk szét. Mekkora annak a valószínősége, hogy e részekbıl háromszöget alkothatunk? 10. Egy n fıs társaság karácsonyi ajándékozáshoz kihúzza egymás nevét. Mekkora az esélye, hogy senki sem húzza saját magát? 11. Egy szabályos érmét n-szer feldobva, átlagosan milyen hosszú lesz a leghosszabb futam, azaz a leghosszabb csupa írásból vagy csupa fejbıl álló blokk? 12. Válasszunk egy 4 hosszú F-I sorozatot. Átlagosan hányszor kell feldobni egy szabályos érmét ahhoz, hogy a sorozat megjelenjen? Az utolsó 3 feladatot szimulációval oldja meg, ehhez javaslom az R programot, mely letölthetı a oldalról. Elérhetıségeim: szoba, tel.: /8530, villo@ludens.elte.hu, honlap: fogadóóra: hétfı Számonkérés: a félév során két db. 90 pontos ZH lesz, és 2 db. 10 pontos beadandó HF. Így összesen 200 pontot lehet elérni. A gyakorlati jegy ponthatárai: 70, 100, 130, 160. Feltétel még, hogy mindkét ZH-n legalább 30 pontot kell elérni.

2 10. R-kód: velperm <- function(n){ # n hosszu veletle permutacio p <- rep(0,times=n) # a permutacio: n db. 0-bol allo vektor h <- c(1:n) # h= ( n) a valaszthato elemek vektora for (k in n:1){ # k a meg valaszthato elemek darabszama x <- trunc(runif(1,0,k))+1 # h-bol x-et valasztjuk ki p[n+1-k] <- h[x] # x-et beirjuk a p kovetkezo helyere h <- h[(1:k)!=x] # h-bol kitoroljuk x-et p # a fuggveny kimenete a p permutacio n <- 6 # a tarsasag merete ism < # hany huzast szimulalunk darab <- rep(0, times=11) # darab[m+1]: hanyszor huzta epp m ember # magat for (j in 1:ism){ p <- velperm(n) # egy veletlen permutacio m <- sum(p==(1:n)) # m a fixpontok szama if (m<=10){ darab[m+1]<-darab[m+1]+1 # darab vektor frissitese val <- darab/ism plot(0,0, xlim=c(-0.5,9.5), ylim=c(0,0.5), type="n") for (i in 1:11){ lines(c(i-1.5,i-1.5), c(0,val[i])) lines(c(i-1.5,i-0.5), c(val[i],val[i])) lines(c(i-0.5,i-0.5), c(0,val[i])) poi <- exp(-1)/ factorial(0:10) for (i in 1:11){ lines(c(i-1.5,i-1.5), c(0,poi[i]), col=2) lines(c(i-1.5,i-0.5), c(poi[i],poi[i]), col=2) lines(c(i-0.5,i-0.5), c(0,poi[i]), col=2) 12. R-kód: x <- c(1,1,1,1) # a sorozat, pl. F=1, I=0 ism < dobszam <- rep(0, times = ism) # hany dobas kellett for (j in 1:ism){ y <- runif(4,0,1)<0.5 # elso 4 dobas n <- 4 while (sum(x!=y)>0){ n<- n+1 y[1:3] <- y[2:4] y[4] <- runif(1,0,1)<0.5 dobszam[j]<-n mean(dobszam) # atlagos dobasszam br<-c(0:max(dobszam))+0.5 hist(dobszam, prob=true, breaks=br) # dobasszamok eloszlasa

3 2. gyakorlat (2008. szeptember 15.) 1. Határozzuk meg, hogy milyen A és B eseményekre teljesülhetnek a következık: a, A B = A b, A B = A c, A B = A B d, A B = C B e, A ( B A) = B 2. Legyen A, B, C három esemény. Írjuk fel a következı eseményeket k = 1, 2-re: a, A három esemény közül legalább k bekövetkezik. b, A három esemény közül legfeljebb k következik be. c, A három esemény közül pontosan k következik be. 3. Egy kockával 10-szer dobunk. Ábrázoljuk a következı három eseményt halmazokkal! A: Legalább ötször páros számot dobunk. B: Legalább négyszer hatost dobunk. C: Legalább hétszer kettest dobunk. Fogalmazzuk meg a B \ A eseményt szavakkal! 4. A Kinder-tojásokban tízféle figura rejtızhet. Mennyi a valószínősége, hogy 20 Kinder-tojásból mind a tízfélét sikerül összegyőjteni? 5. Egy szabályos kockát 30-szor feldobtunk. Mennyi a valószínősége, hogy van olyan szám, amit pontosan egyszer dobtunk? 6. Mekkora az esélye, hogy van olyan szám (1 és 90 között), melyet egy éven keresztül egyszer sem húznak ki az ötöslottóban? 7. A kihúzott lottószámokat rendezzük nagyság szerint növekvı sorrendbe! Mekkora az esélye, hogy az i-dik legkisebb éppen k? Az i-dik legkisebbnek melyik a legvalószínőbb értéke? 8. Mekkora az esélye, hogy a legnagyobb és legkisebb lottószám különbsége éppen k? Melyik k a legvalószínőbb? 9. Addig lottózunk ugyanazzal az öt számmal, amíg ötösünk nem lesz. Mi a legvalószínőbb, hogy ez hányadik héten következik be? 10. Hány dobókocka esetén a legnagyobb a valószínősége, hogy a kockákat egyszerre feldobva, a kapott számok között pontosan egy hatos lesz? 11. Egy szabálytalan érmét addig dobálunk, amíg fejet nem kapunk. Annak a valószínősége, hogy páros sokszor kell dobnunk, fele akkora, mint annak, hogy páratlan sokszor. Mekkora a fejdobás valószínősége? 12. Tíz ember társasjátékot akar játszani, és ehhez a kezdıembert ki akarják sorsolni. A házigazdát megbízzák, hogy tegyen bele egy kalapba néhány piros és néhány fehér golyót. A kalapból ciklikusan visszatevés nélkül húznak, és aki elsıként húz pirosat, az kezd. A házigazda az elsı húzó. Hogyan töltse meg a kalapot, ha nem nagyon szeretne kezdeni?

4 3. gyakorlat (2008. szeptember 22.) 1. Egy dobozban négy különbözı pár, azaz összesen nyolc darab fülbevaló van. Anna, Bea, Cili és Dia találomra vesznek maguknak két-két darabot. Mennyi az esélye, hogy legalább egyiküknek összeillı fülbevalók jutnak? 2. Egy buliban nyolc lány és két fiú van. Mindkét fiú, egymástól függetlenül és véletlenszerően elıre eldönti, hogy milyen sorrendben fogja felkérni a lányokat. Mennyi az esélye, hogy verekedés lesz a dologból? 3. Kettétörünk egy 1 m hosszú botot. Jelölje X a nagyobb rész hosszát és Y a rövidebbét. P(X<x)=?, P(Y<x)=? 4. Egy diák a vizsgán 1/4 valószínőséggel tudja a helyes választ. Amennyiben nem tudja, akkor tippel (1/3 az esélye, hogy jól tippel). Mekkora az esélye, hogy a diák helyesen válaszol? Feltéve, hogy helyesen válaszolt, mennyi a valószínősége, hogy tudta is a helyes választ? 5. Van három urna: az egyikben két fehér golyó van, a másodikban egy fehér és egy fekete, a harmadikban pedig két fekete. Találomra választunk egy urnát, és egymás után kétszer húzunk belıle visszatevéssel. Feltéve, hogy mind a kétszer fekete golyót húztunk, mennyi a valószínősége annak, hogy a két fekete golyót tartalmazó urnával van dolgunk? 6. Egy csomag szaloncukorban 40 darab van. Attila három csomagot vett: egy zseléset, egy marcipánost, és egy vegyeset (ebben zselés és marcipános szaloncukor van fele-fele arányban). Sajnos a zacskókon elmosódott a felirat. Attila véletlenszerően kiválasztotta az egyiket, és megevett belıle 4 darabot. Mind a négy zselés volt. Ezek után mennyi a (feltételes) valószínősége annak, hogy Attila a vegyes csomagból lakmározott? 7. Péternek 25, Tamásnak 10 forintja van. Ha két érme feldobásánál két fej jön ki, akkor Péter nyer 1 forintot Tamástól, különben fordítva. A játékot addig folytatják, amíg valamelyikıjüknek elfogy a pénze. Mennyi a valószínősége, hogy Péter veszti el összes pénzét? 8. Egy játékos annyiszor lıhet egy léggömbre, ahány páros számot dob egymás után egy dobókockával. Mennyi a valószínősége, hogy szétlövi a léggömböt, ha egy lövésnél ¼ valószínőséggel talál? 9. A kihúzott lottószámokat nagyság szerint rendezve, jelölje X i az i-edik legkisebbet. Feltéve, hogy X i = k, mi lesz X i+1 legvalószínőbb értéke?

5 4. gyakorlat (2008. szeptember 29.) 1. Egy érmét 3-szor (n-szer) feldobva, tekintsük az alábbi eseményeket: A: van fej és írás is; B: legfeljebb egy írás van. Függetlenek-e? 2. Találomra választunk egy számot 1-tıl 8-ig. Vizsgáljuk a következı három esemény függetlenségét! A: a szám páros, B: a szám ötnél kisebb, C: a szám vagy kettı, vagy ötnél nagyobb. 3. Két kockadobásból az elsı eredményét jelölje X, a másodikét Y. A következı események közül melyek függetlenek? A 1 : X osztható kettıvel, Y hárommal. A 2 : Y osztható kettıvel, X hárommal. A 3 : X osztható Y-nal. A 4 : Y osztható X-szel. A 5 : X+Y osztható kettıvel. A 6 : X+Y osztható hárommal. 4. Egy sportlövı 1/7 valószínőséggel talál el egy léggömböt. Az ötödik találatig lı. Adjuk meg a lövések számának eloszlását! 5. Egy kockát n-szer feldobunk. Adjuk meg a legnagyobb dobott érték eloszlását! Meg tudjuk-e adni a dobott értékek összegének eloszlását? 6. Egy szabálytalan érmével (p a fej valószínősége) végzett dobássorozatnál jelölje X az elsı futam hosszát, Y pedig a második futam hosszát. (Ha pl. a dobássorozat FIIIF..., akkor X = 1, Y = 3.) Adjuk meg X, Y, valamint (X, Y) eloszlását! 7. Villanyégıkbıl 6 elemő mintát veszünk visszatevéssel. Annak a valószínősége, hogy a minta 3 selejtet tartalmaz, 4/25. Mekkora a teljes sokaságban a selejtarány? 8. Kockával addig dobunk amíg valamelyik korábban dobott szám elıfordul. Határozzuk meg a dobások számának eloszlását! 9. Jelölje X, hogy az {1,2,...,n halmaz egy véletlen permutációjában milyen hosszú az 1-et tartalmazó ciklus hossza. Adjuk meg X eloszlását! 10. Kockával n-szer dobunk. Jelölje X a dobott hatosok, Y pedig a dobott páratlan számok számát. Adjuk meg X, Y, valamint (X, Y) eloszlását! 11. Számítsuk ki, hogy tetszıleges két eseményre legfeljebb mennyivel térhet el egymástól (abszolút értékben) a két esemény valószínőségének szorzata és a két esemény metszetének valószínősége! 12. Eszter és Anna három érmével játszanak. Felváltva dobják fel a náluk lévı összes érmét, és a fejre esett érméket átadják társuknak. Az nyer, akinek elıször elfogynak az érméi. Mekkora valószínőséggel nyer Eszter, ha eredetileg nála van az összes érme, és ı kezd?

6 5. gyakorlat (2008. október 6.) 13. Eszter és Anna három érmével játszanak. Felváltva dobják fel a náluk lévı összes érmét, és a fejre esett érméket átadják társuknak. Az nyer, akinek elıször elfogynak az érméi. Mekkora valószínőséggel nyer Eszter, ha eredetileg nála van az összes érme, és ı kezd? 14. Egy játékkockával addig dobunk amíg hatos nem jön ki. Mennyi annak a valószínősége, hogy közben nem dobunk ötöst? 15. P(A B) = 0.7, P(A B ) = 0.3, P(B A) = 0.6, P(A) =? 16. Oldjuk meg a következı feladatokat a nevezetes diszkrét eloszlások felhasználásával! a) Mennyi a valószínősége, hogy egy 20 fıs évfolyamból legalább hárman születtek decemberben? b) Egy könyvben átlagosan 16 hiba van (és a hibák száma Poisson eloszlású). Hány hiba van legnagyobb valószínőséggel a könyvben? Mekkora az esélye, hogy a hibák száma 13 és 19 közé esik? c) Minden héten lottózunk. Mennyi a valószínősége, hogy legalább 10 hetet kell várnunk az elsı találatunkra? d) Egy 20 fıs osztályba 15 fiú és 5 lány jár. Találomra hívunk ki 4 felelıt. Mennyi a valószínősége, hogy a felelık között éppen k lány lesz? e) Minden nap 1/3 valószínőséggel kapunk levelet. Mennyi a valószínősége, hogy a 15. napon fogjuk megkapni az ötödik levelet? f) 41 millió lottószelvényt töltenek ki egymástól függetlenül. Mennyi a valószínősége, hogy lesz legalább egy 5-ös találat? 17. A fınököt egy adott napon telefonon keresık száma Poisson eloszlású. A titkárnı minden hívást a többitıl függetlenül p valószínőséggel kapcsol be. Milyen eloszlású a bekapcsolt hívások száma? Mekkora az esélye, hogy a fınökhöz páros sok hívás érkezik? 18. Egy tóban 300 hal van, melyek közül 100 ponty. Egy bácsi addig horgászik, ameddig ki nem fog két pontyot (a kifogottakat nem engedi vissza). Adjuk meg a kifogott halak számának eloszlását! 19. Egy urnában négy cédula van, egy-egy piros, kék, fehér és sárga. Visszatevés nélkül egymás után kihúzzuk ıket. Jelölje X azt, hogy hányadiknak húztuk a pirosat, Y pedig azt, hogy hányadiknak húztuk a kéket. Számoljuk ki X és Y együttes eloszlását! 20. Legyen X és Y két kockadobás eredménye. Határozzuk meg X és Z = max(x, Y) együttes eloszlását! Adjuk meg X eloszlását a Z = k feltétel mellett! 21. Jelölje a lottóban kihúzott i. legkisebb számot X i. Adjuk meg X 2 és X 4 együttes eloszlását! Melyik számpár lesz a legvalószínőbb?

7 6. gyakorlat (2008. október 13.) 1. Mennyi a lottón kihúzott számok összegének várható értéke? 2. Számítsuk ki a kihúzott legkisebb, illetve legnagyobb lottószám várható értékét! 3. Egy kockával addig dobunk, amíg valamelyik korábban dobott szám elıfordul. Hányat dobunk várhatóan? 4. Jelölje X öt kockadobás maximumát. Mennyi X várható értéke? 5. Öt szabályos kockát feldobunk, ezek egy részével (vagy akár mindegyikkel) újra dobhatunk, majd ezek közül egy újabb csoporttal még egyszer dobhatunk. Így minden egyes kockával egyszer, kétszer vagy háromszor dobtunk. Minden kockánál az utolsó dobott érték számít. Ezek összegét X jelöli. Milyen stratégia mellett lesz X várható értéke maximális, és mennyi ez a várható érték? ember 125 esernyıjét elkeverik. Várhatóan hányan mennek haza a saját esernyıjükkel? 7. Egy csoportban 25-en tanulnak. Tegyük fel, hogy a tanulók születésnapjai függetlenek és az év tizenkét hónapjában egyenletes eloszlásúak. Számítsuk ki azon hónapok számának várható értékét, amelyekre egy születésnap sem esik. 8. Egy érmén a fej valószínősége p. Várhatóan hányszor kell az érmét feldobni ahhoz, hogy két egymás utáni fejet dobjunk? 9. Várhatóan hány r hosszú ciklus lesz egy véletlenszerően választott permutációban? 10. Egy urnában k kék és z zöld golyó van. Egymás után kihúzunk s darabot, visszatevés nélkül. Legyen X i annak az eseménynek az indikátora, hogy i-edikre kéket húzunk. Mutassuk meg, hogy X i -k egyforma eloszlásúak, sıt az (X i, X j ) párok is egyforma eloszlásúak minden i j-re. 11. Egy urnában négy cédula van, egy-egy piros, kék, fehér és sárga. Visszatevés nélkül egymás után kihúzzuk ıket. Jelölje X azt, hogy hányadiknak húztuk a pirosat, Y pedig azt, hogy hányadiknak húztuk a kéket. Számoljuk ki XY várható értékét, illetve X és Y kovarianciáját! 12. Legyen X és Y két kockadobás eredménye. Határozzuk meg X és Z = max(x, Y) kovarianciáját, illetve X 2 és Z 2 várható értékét! 13. Egy urnában k kék és z zöld golyó van. Minden lépésben kihúzunk egy golyót az urnából, majd beleteszünk egy kéket. Mennyi a valószínősége, hogy az n. lépésben kék golyót húzunk?