a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet?
|
|
- Marika Bogdánné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Az els gyakorlat feladatai 1. Az 1, 3, 5, 7, 8 elemekb l hány olyan 5-jegy szám képezhet, amelyeknek a harmadik számjegye 8? 2. Az 1, 2, 3, 5, 7, 8 elemekb l hány olyan 6-jegy szám képezhet, amely 123-mal kezd dik? Írja fel ezeket a számokat! 3. Az 1, 2, 3, 5, 7, 8 elemekb l hány olyan 5-jegy szám képezhet, amely 123-mal kezd dik? Írja fel ezeket a számokat! 4. Hány hatjegy szám készíthet a 0, 1, 2, 3, 4, 9 számjegyekb l, ha? minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet? 5. Hány négyjegy szám készíthet a 0, 1, 2, 3, 4, 9 számjegyekb l, ha minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet? 6. Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és a három könyv sorrendje nem számít? b. a három könyv sorrendje számít? 7. Hányféleképpen ültethetünk egy kerekasztal köré 9 embert, ha a forgatással egymásba vihet ülésrendeket azonosnak tekintjük? 8. Hányféleképpen ültethetünk egy kerekasztal köré 19 embert, ha két ember mindenképpen egymás mellé szeretne kerülni és a forgatással egymásba vihet ülésrendeket azonosnak tekintjük? 9. Hányféleképpen ültethetünk egy kerekasztal köré 5 fért és 5 n t úgy, hogy két n ne kerüljön egymás mellé és a forgatással egymásba vihet ülésrendeket azonosnak tekintjük? 10. A MATEMATIKAI ALAPOK 3 szó bet inek (szóközökkel együtt) hány permutációja van? 11. Hány ötjegy szám készíthet a 0, 1, 1, 3, 3 számjegyekb l? 12. Hány nyolcjegy szám készíthet a 0, 0, 0, 3, 3, 3, 6, 6 számjegyekb l? 13. Hányféleképpen lehet kitölteni egy totószelvényt? (14 mérk zés, 3 lehetséges kimenetel (1, 2, X)) 14. Hányféleképpen lehet kitölteni egy ötöslottó szelvényt? (90 számból kell eltalálni 5-öt) 15. Hányféleképpen lehet kitölteni egy ötöslottó szelvényt úgy, hogy pontosan 3 találatunk legyen? b. egy találatunk se legyen? 16. Kiindulva az origóból írást dobva jobbra lépünk egyet, fejet pedig balr 10 dobás után hányféleképpen fordulhat el, hogy visszatérünk az origóba? 17. Adott a térben 10 pont, melyek közül semelyik 3 nem esik egy egyenesre. Hány egyenest határoznak meg az egyes pontpárok? 18. Egy iroda 4 n i és 4 fér alkalmazottat akar felvenni. A meghirdetett pozíciókra 5 fér és 8 n jelentkezett. Hányféleképpen választhatják ki a felvevend jelentkez ket? hallgató 3 csónakot bérel. A csónakok rendre 3, 4 és 5 ülésesek. Hányféleképpen ülhetnek a csónakba?
2 20. Hány olyan négyjegy, különböz számjegyekb l álló szám van, amelyben két páros és két páratlan számjegy szerepel? 21. Egy csomag francia kártyából (52 lap, 4 szín, színenként 13 lap) kihúzunk 10 lapot. Hány esetben lesz ezek között ász? b. Hány esetben lesz ezek között pontosan egy ász? c. Hány esetben lesz ezek között legfeljebb egy ász? d. Hány esetben lesz ezek között pontosan két ász? e. Hány esetben lesz ezek között legfeljebb két ász? 22. Öt ú és öt lány közül hányféleképpen választhatunk ki 4 embert, hogy legyen közöttük legalább 2 lány? 23. Egy büfében 4-féle csokiszeletet árulnak. Hányféleképpen választhatunk ki 12 darabot közülük? (Tudjuk, hogy mindegyikb l van legalább 12 darab.)
3 A második gyakorlat feladatai 1. Oldja meg az alábbi egyenleteket! ( ) x ( ) x = 2 4 ( ) x 2 b. ( ) ( ) 2x + 3 2x + 2 = 4! 2x A hatványozások és az összevonás után hány tagú lesz az alábbi kifejezés? b. (a + 3b 4c) 6 (a + 3b 4c 5d) A binomiális tétel segítségével végezzük el a következ hatványozásokat! b. c. d. (4a + 2b) 5 (2 + 5) 6 (a 2b 3 ) 4 (a 2a) 3 4. Határozza meg a (3x + z) 5 kifejtésében x 2 z 3 együtthatóját! b. az (x + y + z) 6 kifejtésében (x + z) 3 y 3 együtthatóját! 5. Bizonyítsa be, hogy fennáll a következ azonosság! ( ) ( ) n n 1 k = n k k 1 6. Határozza meg az alábbi összegek pontos értékét! b. c. 1 2 {( ) n + 1 ( ) n + 2 n k=0 ( ) ( )} n n n 1 ( ) n 3 n 2k+1 2 k ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n
4 7. A polinomiális tétel segítségével végezzük el a következ hatványozásokat! b. (a + b) 5 (a + 2b 3c) 3 8. A binomiális tétel segítségével végezzük el a következ hatványozásokat! b. c. (a + b) 5 (a + b + c) 3 (a b + 2c) 4 9. Határozza meg a (3x + z) 5 kifejtésében x 2 z 3 együtthatóját! b. az (x + y + z) 6 kifejtésében (xy 2 ) 2 + 2xzy 4 + (zy 2 ) 2 együtthatóját! c. a (3x 2 2x + 1) 8 kifejtésében a konstans tagot!
5 A harmadik gyakorlat feladatai 1. Igazolja a De-Morgan azonosságokat, azaz, hogy b. A + B = A B AB = A + B 2. Egy érmével dobunk. Ha az esemény fej, akkor még kétszer, ha írás, akkor pedig még egyszer. Írja fel az eseményteret! 3. Jelölje A, B és C az alábbi eseményeket: A = egy dobókockával dobva páros számot dobunk B = egy dobókockával dobva 4-nél kisebb számot dobunk C = egy dobókockával dobva 2-nél nagyobb számot dobunk Mit jelentenek az alábbi események? A + B b. AB c. AC d. (AB) C e. AC + AB f. (A (BC)) + ((A B) C) 4. Mutassa meg, hogy az A, B és C eseményekre AB = A akkor és csak akkor teljesül, ha A B. b. (A + B)A = A. c. az ABC és az A + (B + C). 5. Dobjunk fel egy szabályos dobókockát! Írja fel és ábrázolja az eseményteret és a kedvez esetek halmazát! Határozza meg az alábbi események bekövetkezésének valószín ségét! A dobás eredménye 5. b. Legalább 2-t dobunk. c. Páros számot dobunk. 6. Dobjunk fel két szabályos dobókockát egyszerre! Írja fel és ábrázolja az eseményteret és a kedvez esetek halmazát! Határozza meg az alábbi események bekövetkezésének valószín ségét! Mindkét kockával 6-ost dobtunk b. A dobott számok minimuma 3. c. A dobott számok összege Dobjunk fel két érmét egyszerre. Tudjuk, hogy az egyik érme szabálytalan, ezzel az érmével a fej dobás valószín sége 2. Írja fel és ábrázolja az eseményteret és a kedvez esetek halmazát! Határozza meg az 3 alábbi események bekövetkezésének valószín ségét! Mindkét érmével fejet dobunk. b. Mindkét érmével írást dobunk. c. Fejet és írást is dobunk.
6 8. Két kockával dobunk, melyek közül az egyik szabálytalan. A szabálytalan kockával a 4-es és az az 5-ös dobás valószín sége 1, a többi dobás egyenl valószín séggel következik be. Határozza meg az alábbi 3 események bekövetkezésének valószín ségét! A két kockával azonos számokat dobunk. b. A két kockával különböz számokat dobunk. c. Mindkét kockával páros számot dobunk. 9. Egy kockát hatszor egymás után feldobunk. Mennyi annak a valószín sége, hogy az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számok mindegyike szerepelni fog? 10. Egy kockát hatszor egymás után feldobunk. Mennyi annak a valószín sége, hogy második dobás 4-es? 11. Egy szabályos dobókockát kétszer egymás után feldobunk. Mennyi annak a valószín sége, hogy az els dobás eredménye nagyobb, mint a másodiké? 12. Egy dobozban n számú golyó van, 1, 2,..., n számokkal jelölve. Egyenként kihúzzuk az összes golyót. Mennyi annak a valószín sége, hogy az els t kivéve minden alkalommal nagyobb számot húzunk, mint az el z volt? b. Mennyi annak a valószín sége, hogy a k-val jelölt golyót éppen k-adiknak húzzuk ki? c. Mennyi annak a valószín sége, hogy a k-val jelölt golyót éppen k-adiknak, az l-lel jelölt golyót pedig éppen l-ediknek húzzuk ki? 13. Egy kör alakú asztalnál 10-en vacsoráznak. Mennyi annak a valószín sége, hogy két fér és két n nem kerül egymás mellé, ha 5 fér és 5 n ül az asztalnál? 14. Egy kör alakú asztalnál 15-en vacsoráznak. Mennyi annak a valószín sége, hogy a legmagasabb és a legalacsonyabb vendég egymás mellé kerül?
7 A negyedik gyakorlat feladatai 1. A magyar kártyacsomagból (4 szín, színenként 8 lap) kihúzunk egyszerre három lapot. Határozza meg az alábbi események valószín ségét! A kihúzott lapok között nincs zöld. b. A kihúzott lapok között szerepel a makk ász. 2. A magyar kártyacsomagból (4 szín, színenként 8 lap) kihúzunk egyszerre négy lapot. Mennyi annak a valószín sége, hogy a kihúzott lapok között mind a 4 szín el fordul? 3. A magyar kártyacsomagból (4 szín, színenként 8 lap) kihúzunk egyszerre hét lapot. Mennyi annak a valószín sége, hogy a kihúzott lapok között mind a 4 szín el fordul? 4. Egy urnában 3 piros golyó van. Legalább hány fehér golyót kell hozzátenni, hogy a fehér golyó húzásának valószín sége nagyobb legyen 0.9-nél? 5. Egy urnában 6 piros, több fehér és fekete golyó van. Annak a valószín sége, hogy egy golyót kihúzva az fehér vagy fekete golyó lesz, 3. Annak a valószín sége, hogy egy golyót kihúzva az piros vagy fekete 5 golyó lesz, 2. Hány fehér és hány fekete golyó van az urnában? 3 6. Egy dobozba 20 darab törékeny tárgy van elcsomagolv A tárgyak között egyenként 5 darabnak az értéke 1000 Ft, 4 darabnak 2000 Ft, 7 darabnak 5000 Ft, 4 darabnak pedig Ft. Valaki leejti a csomagot és így 4 tárgy összetörik. Mennyi a valószín sége, hogy a kár összege Ft lesz? (Feltesszük, hogy a tárgyak egymástól függetlenül törnek össze.) 7. Mennyi annak a valószín sége, hogy egy lottószelvényt kitöltve 2 találatot érünk el? 8. Mennyi annak a valószín sége, hogy 10 kockával dobva pontosan pontosan 1 hatost dobunk? b. pontosan 5 hatost dobunk? c. legalább 1 hatost dobunk? 9. Egységnyi oldalhosszúságú négyzet alakú táblára 1 sugarú kört rajzolunk. Mennyi a valószín sége, 2 hogy véletlenszer en rál ve a céltáblára (és eltalálva azt) a találat ezen a körön kív l éri azt? 10. Egy 1 méter hosszú botot egy véletlenszer en elhelyezett csapással 2 részre törünk. Mennyi annak a valószín sége, hogy a kapott darabokból és egy fél méter hosszú botból háromszög szerkeszthet? 11. Egy 1 méter hosszú botot egy véletlenszer en elhelyezett csapással 3 részre törünk. Mennyi annak a valószín sége, hogy a kapott darabokból háromszög szerkeszthet? 12. Véletlenszer en felírunk két egynél kisebb pozitív számot. Mennyi annak a valószín sége, hogy összegük kisebb 1-nél, szorzatuk pedig kisebb 2 9 -nél? 13. Egy hétf i napon 0 óra és 24 óra között két ember érkezik véletlenszer en egy térre. Az egyik 1 órát, a másik órát tölt el ott. Mennyi annak a valószín sége, hogy elkerülik egymást?
8 Az ötödik gyakorlat feladatai 1. Mutassuk meg, hogy ha P(B) > 0, akkor érvényesek a következ összefüggések: P(Ā B) = 1 P(A B) b. P(A 1 A 2 B) = P(A 1 B) + P(A 2 B) P(A 1 A 2 B) 2. Legyen P(B) > 0. Mutassuk meg, hogy ekkor P(A B) = P(A), ha A B. P(B) b. P(A B) = 1, ha B A. 3. Két kockával dobunk egyszerre. Mennyi annak a valószín sége, hogy a dobott számok összege 7? b. Mennyi annak a valószín sége, hogy a dobott számok összege 7, feltéve, hogy az összeg páratlan? c. Mennyi annak a valószín sége, hogy a dobott számok összege 7, feltéve, hogy az els dobás eredménye páros? 4. Két kockával dobunk egyszerre. Mennyi annak a valószín sége, hogy legalább 1 hatost dobunk, feltéve, hogy a két dobás értéke különböz? 5. Egy kétgyermekes családnál tudjuk, hogy az egyik gyerek lány. Mennyi annak a valószín sége, hogy ú is van a családban? 6. Tudjuk, hogy 2 valószín séggel tartózkodik egy illet kocsmában. 5 kocsma bármelyikében egyenl 3 valószín séggel lehet. Négyben már megnéztük, de nem találtuk. Mi a valószín sége annak, hogy az ötödikben megtaláljuk? Valaki így gondolkodik: Az, hogy az illet t az ötödikben megtaláljuk, azt jelenti, hogy kocsmában 2 van. Annak a valószín sége pedig, hogy kocsmában van,. Tehát annak a valószín sége, hogy az 3 ötödikben megtaláljuk, 2. Helyes-e ez a gondolatmenet? 3 7. Egyetlen szelvénnyel játszunk az ötöslottón. A szelvényen megjelölt számokat nagyság szerint rendezve a harmadik szám a 40. Az alábbi három esemény közül melyiknek a bekövetkezése növeli jobban az ötös találat esélyét? 1. A sorsoláson el ször kihúzott szám a A kihúzott számok között szerepel a A kihúzott számokat nagyság szerint rendezve a harmadik szám a Egy egységnyi hosszúságú szakaszon találomra kiválasztunk két pontot. Mennyi annak a valószín sége, hogy mindkét pont a szakasznak egy el re kijelölt végpontjához van közelebb, feltéve, hogy a választott pontok távolsága kisebb, mint 1 2? 9. Egy televíziós vetélked n a játékos 3 boríték közül választhat. Az els ben 5 'Nem nyert', 3 ' Ft nyeremény' és 2 ' Ft nyeremény' feliratú cédula van. A másodikban 2 'Nem nyert', 7 ' Ft nyeremény' és 1 ' Ft nyeremény' feliratú cédula van. A harmadik boríték csupa 'Nem nyert' cédulát tartalmaz. A játékos véletlenszer en választ egy borítékot, majd húz egy cédulát. Számítsuk ki annak a valószín ségét, hogy nyer Ft-ot!
9 10. Húsz cseresznye közül 15-b l már eltávolították a magot. Egyszer csak jön egy mohó kismalac, és válogatás nélkül felfal 5 cseresznyét. Mindezek után véletlenszer en kiválasztunk egy cseresznyét. Mennyi annak a valószín sége, hogy van benne mag? b. Feltéve, hogy van benne mag, mi a valószín sége, hogy a kismalac legalább 1 magot megevett? 11. Valamely alkatrész gyártásával egy üzemben négy gép foglalkozik. Az els gép naponta 200 alkatrészt gyárt, a második 320-at, a harmadik 270-et, a negyedik 210-et. Az egyes gépeknél a selejtgyártás valószín sége rendre 2%, 5%, 3% és 1%. A kész alkatrészeket egy helyen gy jtik. A gépek napi termeléséb l kiveszünk egy alkatrészt, megvizsgáljuk és jónak találjuk. Mennyi annak a valószín sége, hogy azt a 4. gép gyártotta? 12. Egy gépesített ügyintézéssel rendelkez irodában három gép dolgozik párhuzamosan, azonos típusú ügyiratok elemzésén. Az els gép naponta 10, a második gép naponta 15, a harmadik gép naponta 25 aktával végez. Hibásan kezelt ügyirat naponta átlagosan 0.3, 0.9 illetve 0.5 darab található az egyes gépek munkájában. Az összesített napi mennyiségb l találomra kiveszünk egy példányt és azt rossznak találjuk. Mekkora a valószín sége, hogy azt az els gép készítette?
10 A hatodik gyakorlat feladatai 1. Egy szabályos érmét feldobunk tízszer egymás után. Legyen A az az esemény, hogy van fej és írás is a dobások között, B pedig az az esemény, hogy legfeljebb egy írás van a dobások között. Független-e A és B? 2. Egy dobozban 1-t l 8-ig számozott, 8 db papírlap van. Véletlenszer en kiveszünk egy lapot. Az A, B és C események jelentése legyen: A: a kivett lapon páros szám áll; B: 4-nél nem nagyobb szám áll; C: a kihúzott szám 2, vagy 5-nél nagyobb. Mutassuk meg, hogy P(ABC) = P(A)P(B)P(C) és a három esemény mégsem független! 3. Valaki két lottószelvényt tölt ki egymástól függetlenül. Mennyi a valószín sége, hogy nyer (azaz legalább két találata van)? 4. Ketten felváltva l nek egy céltáblára az els találatig. A kezd találatának a valószín - sége 0.2, a másodiké 0.3. Mennyi a valószín sége, hogy a kezd é lesz az els találat? 5. Az alábbi számsorozatok közül melyek alkotnak valószín ségi eloszlást? 6. Két kockával dobunk egyszerre. Írja fel a dobott számok maximumának és minimumának az eloszlását! 7. Írja fel az ötös lottón kihúzott öt szám közül a legkisebb eloszlását!
11 A hetedik gyakorlat feladatai 1. Egy dobozban 1-t l 22-ig számozott, 22 darab cédulát helyezünk el. Véletlenszer en kihúzunk egy cédulát. A kihúzott szám két szempontból érdekel: a 2-vel és a 3-mal való oszthatóság szempontjából. A ξ valószín ségi változó legyen a 2-vel való osztás után kapott maradék, az η pedig a 3-mal való osztás maradék Írja fel a (ξ, η) együttes eloszlását és határozza meg a peremeloszlásokat! 2. A (ξ, η) együttes eloszlását a következ táblázat tartalmazza: Mekkora a p értéke? b. Független-e ξ és η? c. Írja fel a ξ + η és a ξ η eloszlását! (ξη) p 3p 6p Legyen (ξ, η) eloszlása az el z példában megadott eloszlás. Számítsa ki az P(η = i ξ = 1)(i = 1, 0, 1) b. P(η < 1 ξ = 1) c. P(η 0 ξ = 1) d. P(ξ = 1 η 0) valószín ségeket! 4. Két szabályos kockával dobva mennyi a dobott számok maximumának illetve minimumának várható értéke? 5. Egy érmével dobunk. Ha az eredmény fej, akkor még kétszer dobunk, ha írás, még egyszer. Mennyi az összes fej dobások számának várható értéke? 6. Egy részvény kiinduló ára egy peták. Egy év múlva vagy kétszeresére növekszik az ára, vagy felére csökken, vagy pedig változatlan marad mindegyik lehet ség egyforma valószín ség. A következ évben ugyanez történik, az el z évi változástól függetlenül. Mi két év múlva a részvényár eloszlása, mennyi a várható értéke és szórásnégyzete? 7. Négy szabályos kockával dobva mennyi a dobott számok összegének várható értéke és szórása? 8. A ξ valószín ségi változó lehetséges értékei: -1, 0, 2, 3. Az ezekhez tartozó valószín ségek rendre: 1/12, 5/12, 1/4, 1/4. Számítsuk ki ξ 2 várható értékét és szórását! 9. Egy dobozban 4 jó, 3 hibás és 3 selejtes termék van. Egymás után, visszatevés nélkül kiveszünk két terméket. Jellemezze ξ az els húzás eredményét, mégpedig ξ = 0, ha selejteset húzunk, ξ = 1, ha hibásat, ξ = 2, ha jót. Jellemezze η a második húzás eredményét ugyanúgy. Független-e ξ és η? b. Mekkora a ξ szórása? c. Határozza meg ξ és η korrelációs együtthatóját!
12 10. A (ξ, η) lehetséges értékeit a (0,0), (0,4), (4,4), (4,0) pontok által meghatározott négyzet belsejében lév egész koordinátájú pontok alkotják. A (ξ, η) ezeket a pontokat egyenl valószín séggel veszi fel a négyzet középpontja kivételével, amely négyszer akkora valószín séggel következik be, mint a többi. Számítsuk ki ξ és η kovarianciáját! b. Független-e ξ és η? c. Határozza meg ξ és η korrelációs együtthatóját! 11. Jelölje ξ és η két független kockadobás eredményét. Határozza meg ξ és ζ = max(ξ, η) korrelációs együtthatóját!
13 A nyolcadik gyakorlat feladatai 1. Dobjunk fel egy érmét. Jelölje a ξ valószín ségi változó a dobás eredményét. Írja fel és ábrázolja ξ eloszlásfüggvényét! 2. A ξ valószín ségi változó értékei: 0, 1, 2, 3. Tudjuk, hogy ξ bármely páros számot azonos valószín séggel veszi fel. Ugyanez igaz a páratlan értékekre. Az is ismert továbbá, hogy ξ 4-szer akkora valószín séggel vesz fel páros értéket, mint páratlant. Írja fel és ábrázolja ξ eloszlásfüggvényét! 3. Vizsgálja meg, az alábbi függvények közül melyik lehet eloszlásfüggvény! b. c. d. F (x) = { 0 ha x 1 2 x 1 ha x 1 x { 0 ha x 1 F (x) = x 1 x + 1 ha x 1 { 0 ha x 1 F (x) = 2x 1 x + 1 ha x 1 F (x) = 0 ha x 0 x x 3 ha x 0 4. Határozza meg a [0, 1] intervallum két véletlenszer en kiválasztott pontja távolságának eloszlásfüggvényét! Mennyi a valószín sége, hogy ez a távolság az [ 1 2, 3 4 ] intervallumba esik? 5. Válasszunk az egységnégyzetben egy pontot véletlenszer en. Jelölje ξ a pontnak a négyzet legközelebbi oldalától vett távolságát. Írja fel ξ eloszlásfüggvényét! Adja meg annak a valószín ségét, hogy a távolság legalább 1 8.
14 A kilencedik gyakorlat feladatai 1. Egy két méter hosszú botot egy véletlenszer en elhelyezett csapással két részre törünk. Határozza meg a rövidebb darab hosszának eloszlás- és s r ségfüggvényét! 2. Döntse el, az alábbi függvények közül melyek s r ségfüggvények! b. c. d. { sin x ha 0 < x < 1 f(x) = 2 0 máskor f(x) = { 1 x 2 ha x > 1 0 máskor { x ha x > 0 f(x) = x máskor f(x) = { 4x 3 e x4 ha 0 < x < 1 0 máskor 3. Egy ξ valószín ségi változó s r ségfüggvénye A ha f(x) = (1 x) 2 x 2 0 máskor Mekkora az A érték? b. Határozza meg a P(1 < ξ < 3) valószín ség értékét! c. Írja fel ξ eloszlásfüggvényét! 4. Egy ξ valószín ségi változó s r ségfüggvénye Mekkora az A érték? { 0 ha x 2 f(x) = A x 3 ha x > 2 b. Határozza meg a P(ξ > 3) valószín ség értékét! c. Írja fel ξ eloszlásfüggvényét! 5. Számítsa ki az alábbi s r ségfüggvényekkel rendelkez eloszlások várható értékét és szórását! b. f(x) = f(x) = { x ha 1 < x < 1 0 máskor { 3 x 4 ha x > 1 0 máskor
15 A tizedik gyakorlat feladatai 1. Valaki 10 lottószelvénnyel játszik. Mennyi a valószín sége, hogy 3 szelvényen lesz 2 találata, ha a szelvényeket egymástól függetlenül tölti ki? 2. Egy N 20 elem alkatrészhalmazban pontosan 5% a selejtarány. Mennyi a valószín sége, hogy a halmazbóll egy 20 elem mintát véve visszatevés nélkül, a mintában lev selejtessek száma éppen 2 lesz, ha N=20? b. N=40? 3. Annak a valószín sége, hogy egy üzemben a nyersanyagellátás zavartalana, Mekkora a valószín sége, hogy egy héten (6 napon) keresztül csak három napon át lesz a nyersanyagellátás zavartalan? b. Mennyi lesz az egy heti zavartalan ellátású napok számának várható értéke? 4. Meggyelések szerint Magyarországon 1000 újszülött közül átlagosan 516 a ú és 484 a lány. Mekkora annak a valószín sége, hogy egy 6 gyermekes családban a úk száma legalább annyi, mint a lányoké? 5. Egy augusztusi éjszakán átlag 10 percenként észlelhet csillaghullás. Mennyi annak a valószín sége, hogy egy negyedóra alatt két csillaghullást látunk? 6. Kalácssütéskor 1 kg tésztába 30 szem mazsolát tesznek. Mennyi a valószín sége, hogy egy 5 dekagrammos szeletben kett nél több mazsolaszem lesz? 7. Valaki egy sürg s telefonhívást vár. A hívás id pontja egy reggel 8 órakor kezd d, ismeretlen hosszúságú intervallumon egyenletes eloszlású valószín ségi változó. A hívást váró fél tudja, hogy a hívás 80% valószín séggel reggel 8 és 10 óra között befut. Mekkora a valószín sége, hogy a hívás reggel fél 10 és 10 óra között érkezik? b. A hívás fél 10-ig nem jött be. Mennyi a valószín sége, hogy fél 10 és 10 óra között még befut? 8. Egy repül gép pilótájával közlik a 100 m magasságú légifolyosó közepének földt l vett távolságát. A repül gép repülési magasságának ett l való eltérése egy normális eloszlású valószín ségi változó, melynek várható értéke 20 m, szórása pedig 50 m. Számítsa ki annak a valószín ségét, hogy a repül gép a légifolyosó alatt, a légifolyosóban, illetve a légifolyosó felett halad! 9. Valamely gép 15 mm átmér j alkatrészeket gyárt 0.5 mm szórással. Normális eloszlásúnak tekintve a legyártott alkatrész átmér jét, mekkora valószín séggel gyárt a gép a névleges érték 5%-ánál nagyobb eltérés alkatrészt? 10. Valamely szolgáltató vállalathoz a naponta beérkez megrendelések ξ száma normális eloszlásúnak tekinthet σ = 10 szórással. Mekkora a megrendelések várható értéke, ha tudjuk, hogy P(ξ < 20) = 0.1? 11. Annak a valószín sége, hogy egy benzinkútnál a tankolásra 6 percnél tovább kell várni a tapasztalatok szerint 0.1. Feltéve, hogy a várakozási id hossza exponenciális eloszlású, mennyi a valószín sége, hogy véletlenszer en a benzinkúthoz érkezve 3 percen belül sorra kerülünk?
16 12. Egy telefonfülke el tt állunk és várjuk, hogy az el ttünk beszél befejezze a beszélgetést. Az illet véletlent l függ ideig beszél, a percben mért beszélgetési idejének s r ségfüggvénye 1 3 e x 3, x > 0. Mennyi annak a valószín sége, hogy a beszélgetés 3 percnél tovább tart? b. Mennyi annak a valószín sége, hogy a beszélgetés további 3 percnél tovább tart, feltéve, hogy az el ttünk álló már több, mint 3 perce beszél? c. Mennyi annak a valószín sége, hogy a beszélgetés t+3 percnél tovább tart, feltéve, hogy az el ttünk álló már több, mint t percet beszélt?
17 A tizenegyedik gyakorlat feladatai 1. Egy forgalmas pályaudvaron meghatározott id ben egy újságárus által egy óra alatt eladott újságok ξ száma Poisson eloszlású λ = 64 várható értékkel. Adjon alsó becslést a valószín ségre! P(48 < ξ < 80) 2. Egy gyufagyárban a dobozokat automata gép tölti. Az egyes dobozokban lév gyufaszálak száma egy ξ valószín ségi változó, amelynek eloszlása a tapasztalatok szerint a következ : darabszám valószín ség A Csebisev egyenl tlenség segítségével adjon becslést a P(48 < ξ < 52) valószín ségre! b. Az eloszlás alapján számítsa ki a fenti valószín ség pontos értékét! 3. Egy urnában fehér és fekete golyók vannak. Annak a valószín sége, hogy fehér golyót húzunk 0.7. Mennyi a valószín sége, hogy 1000 visszatevéssel húzott golyó között a fehér golyók száma 680 és 720 közé esik? Oldja meg a feladatot normális közelítéssel is! 4. Hány dobást kell végeznünk egy kockával, hogy a 6-os dobás valószín ségét (mely nem feltétlenül 1/6) a kapott relatív gyakoriság legalább 0.9 valószín séggel 1/20-nál kisebb hibával megközelítse?
18 A tizenkettedik gyakorlat feladatai 1. Az Ezt idd teát 200 grammos dobozokban árulják. A Fogyasztóvédelmi Felügyel ség lemérte öt véletlenszer en kiválasztott teásdoboz tömegét, melyekre az alábbi grammban kifejezett értékek adódtak: 196, 202, 198, 197, 190. Határozza meg a mintaátlagot, a szórás torzítatlan becslését, valamint rajzolja fel a minta empirikus eloszlásfüggvényét! 2. Egy, a (0, 1) intervallumon egyenletes eloszlású véletlenszám generátor az alábbi 8 számot generált 0.18, 0.57, 0.82, 0.55, 0.63, 0.12, 0.91, Határozza meg a mintaátlagot, a szórás torzítatlan becslését, valamint rajzolja fel a minta empirikus eloszlásfüggvényét és a tényleges eloszlásfüggvényt! 3. Egy ötelem minta esetén a mintaelemek összege 155, a mintaelemek négyzeteinek összege Határozza meg a mintaátlagot és a szórás torzítatlan becslését! vállalat egy éves fogyasztása (GWh) az alábbi: 105, 145, 7, 10, 11, 24, 26, 50, 32, 59, 91, 7, 15, 40, 15, 57, 28, 115, 20, 19, 36, 7, 7, 11, 142, 160, 29, 15, 16, 32, 30, 57, 58, 178, 120, 76, 19, 17, 12, 12, 24, 23, 21, 30, 103, 30 Jellemezze az eloszlást középértékeivel, számítsa ki a szóródási mér számokat! Rajzolja fel a dobozábrát! Értelmezze a kapott eredményeket! 5. Adottak a következ ismérvértékek: 9.5, 2.5, 12, 10.5, 3, 10.5 Jellemezze a ferdeséget a tanult alkalmas mutatók segítségével! 6. Azonos tevékenységet végz 20 cég szeptemberi bruttó árbevétele (millió Ft) az alábbi: 107, 85, 92, 64, 82, 72, 58, 87, 81, 109, 69, 40, 54, 59, 73, 79, 89, 99, 96, 105 A fenti adatokból számított értékek a következ ek: X i = 1600, Xi 2 = Számítsa ki és értelmezze a szórást és a relatív szórást! b. Készítse el a dobozábrát, vonjon le következtetést az eloszlásra! b. Számoljon ferdeségi és csúcsossági mér számokat!
19 Irodalom [1] Baran Sándor: Valószín ségszámítás és statisztika feladatok. 2011/2012. tanév 1. félév [2] Bognár Jánosné (szerk.), Valószín ségszámítás feladatgy jtemény. Tankönyvkiadó, Budapest, [3] Denkinger Géza, Valószín ségszámítási gyakorlatok. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, [4] Fazekas István: Valószín ségszámítás. Kossuth Egyetemi Kiadó. Debrecen, [5] Ferenczy Miklós: Valószín ségszámítás és alkalmazása feladatgy jtemény. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, [6] Gy r László, Gy ri Sándor, Vajda István: Információ- és kódelmélet, TypoTeX Kiadó, [7] Hajnal Péter: Elemi kombinatorikai feladatok. Polygon, [8] Keresztély-Sugár-Szarvas: Statisztika közgazdászoknak, Példatár és feladatgy jtemény. Nemzeti tankönyvkiadó, [9] Major Péter, MTA Rényi Alfréd Kutatóintézet, major/ [10] Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika, Polygon Könyvtár, B vítés alatt... 19
Gyakorlat. Szokol Patricia. September 24, 2018
Gyakorlat (Geometriai valószínűség, feltételes valószínűség) September 24, 2018 Geometriai valószínűség 1 Az A és B helységet 5 km hosszú telefonvezeték köti össze. A vezeték valahol meghibásodik. A meghibásodás
RészletesebbenFeladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és
Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat
Részletesebben36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25
Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;
RészletesebbenGyakorló feladatok a 2. dolgozathoz
Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:
RészletesebbenGyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel. a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli
Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Mutassuk meg, hogy tetszőleges A és B eseményekre PA B PA+PB. Mutassuk
RészletesebbenKlasszikus valószínűségszámítás
Klasszikus valószínűségi mező 1) Egy építőanyag raktárba vasúton és teherautón szállítanak árut. Legyen az A esemény az, amikor egy napon vasúti szállítás van, B esemény jelentse azt, hogy teherautón van
Részletesebben0,9268. Valószín ségszámítás és matematikai statisztika NGB_MA001_3, NGB_MA002_3 zárthelyi dolgozat
A 1. A feln ttkorú munkaképes lakosság 24%-a beszél legalább egy idegen nyelvet, 76%-a nem beszél idegen nyelven. Az idegen nyelvet beszél k 2,5%-a, az idegen nyelvet nem beszél k 10%-a munkanélküli. Véletlenszer
Részletesebbena megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli
Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
RészletesebbenGyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László
Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,
RészletesebbenGazdasági matematika 2
I. Lineáris algebra 1. Az R n tér Gazdasági matematika 2 Gyakorlati feladatsor 1.1. Tekintsük az alábbi, vektorokra vonatkozó egyenletet. Mivel egyenl az (x 1, x 2, x 3 ) vektor? 3(x 1, x 2, x 3 ) + 5(
Részletesebben1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos?
Valószínűségszámítás, földtudomány alapszak, 2015/2016. őszi félév 1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? 2. Két tizenhárom fős vízilabdacsapat mérkőzik
Részletesebben1.5 Hányféleképpen ültethetünk egy kerek asztal köré 7 embert, ha a forgatással egymásba vihető ülésrendeket azonosnak tekintjük?
1 Kombinatorika Valószínűségszámítás feladatok 2016/17 tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény, ha a 8 bástyát
Részletesebben4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?
HIPERGEO. BINOM. POISSON 4.1. Egy üzletben 100-an vásárolnak, közülük 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.2. Egy üzletben
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás
RészletesebbenAGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?
KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel
Részletesebben1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt
1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó s r ségfüggvénye a következ : c f(x) =
1 Egy dobozban hat fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd annyi piros golyót teszünk a dobozba, amennyit dobtunk Ezután véletlenszer en húzunk egy golyót a dobozból (a) Mi a valószín sége,
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika Gyakorlat (Statisztika alapjai)
Gyakorlat (Statisztika alapjai) 2018. december 2. Statisztika alapjai 1 A mérnökinformatikus hallgatók zárthelyi dolgozatot írtak, ahol a maximális pontszám 50 pont volt. Véletlenszer en megnéztük 5 hallgató
Részletesebben1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és
Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenVALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
Részletesebbenvásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az
1. Név:......................... Egy ABC-ben délután (5-t½ol 9 óráig) a vásárlók száma óránként 200 várható érték½u Poisson eloszlású valószín½uségi változó. A pénztáros egy vásárlót átlag 2 perc alatt
RészletesebbenKlasszikus valószínűségi mező megoldás
Klasszikus valószínűségi mező megoldás Ha egy Kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek, vagyis az elemi eseményeknek azonos a valószínűségük, akkor a kísérelttel kapcsolatos
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
RészletesebbenBodó Beáta - MATEMATIKA II 1
Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG 1. Legyen P (A) = 0, 7; P (B) = 0, 6 és P (A B) = 0, 5. Határozza meg a következő valószínűségeket! (a) B,V P (A B) 0, 8333 (b) B,V P
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
RészletesebbenValószín ségszámítás példatár
Valószín ségszámítás példatár v0.01 A példatár folyamatosan b vül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a letölthet példatárak közt. Országh Tamás Budapest, 2006 1 Mottó: Ki kéne vágni
RészletesebbenVillamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz
Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?
RészletesebbenFeladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;
RészletesebbenValószínűség számítás
Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof Dr Závoti József Matematika III 3 MA3-3 modul A valószínűségszámítás elemei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999
RészletesebbenMatematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. : A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027
RészletesebbenValószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019.
Valószín ségszámítás Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2018/2019. szi félév A valószín ségszámítás kurzus céljai a statisztika megalapozása: a véletlen
RészletesebbenIsmétlés nélküli kombináció
Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen
RészletesebbenValó szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny
Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val.
RészletesebbenValószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC
Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Játékszabályok Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 100 + x pontot lehet szerezni a félév
RészletesebbenAzaz 56 7 = 49 darab 8 jegyű szám készíthető a megadott számjegyekből.
1 Kombináció, variáció, permutáció 1. Hányféleképpen rakhatunk be 6 levelet 1 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe maximum egy levelet teszünk? Mivel egy rekeszbe legfeljebb
RészletesebbenMatematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen
RészletesebbenK O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k
K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika Gyakorlat (Kétmintás próbák)
Gyakorlat (Kétmintás próbák) 2018. december 4. Kétmintás u-próba 1 Adott két független minta 0.0012 szórású normális eloszlásból. Az egyik, 9 elem minta realizációjának átlaga 0.1672, a másik 16 elem é
Részletesebben( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!
1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló
RészletesebbenValószín ségszámítás gyakorlat Matematikatanári szak
Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikatanári szak Játékszabályok Max -szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap aláírást. 00 + x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:. ZH a félév
RészletesebbenA sztochasztika alapjai. Szorgalmi feladatok tavaszi szemeszter
A sztochasztika alapjai Szorgalmi feladatok 2011. tavaszi szemeszter 1. feladat Egy kockával dobva mi a dobott szám eloszlásfüggvénye, várható értéke, szórása? 2. feladat Egy marketingakció keretében egy
RészletesebbenHázi feladatok. Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz
Házi feladatok Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz A házi feladatok tartalmaznak könnyebb és nehezebb példákat is ugyanannyi pontért. A feladatokhoz készítettem
RészletesebbenNÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2014 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 7.
1. Falióránk három mutatója közül az egyik az órát, a másik a percet, harmadik a másodpercet mutatja. Egy bolha ráugrik déli órakor a másodpercmutatóra és megkezdi egy órás körutazását. Ha fedésbe kerül
RészletesebbenValószín ségszámítás gyakorlat Matematikai elemz szakirány
Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikai elemz szakirány Játékszabályok Max gyakorlatról lehet hiányozni aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00 + x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:.
RészletesebbenMATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész
MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.
Részletesebben3. Egy fiókban 10 egyforma pár kesztyű van. Találomra kiveszünk négy darabot.
Alkalmazott matematikus bsc Valószínűségszámítás 1 2016/2017. őszi félév 1. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott hatjegyű szám jegyei mind különbözőek? 2. Feldobunk egy szabályos
RészletesebbenNEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK
Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 NEVEZETES FOLYTONOS ELOSZLÁSOK EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS 1. A ξ valószínűségi változó eponenciális eloszlású 80 várható értékkel. (a) B Adja meg és ábrázolja a valószínűségi változó
Részletesebben1. gyakorlat. 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12?
1. gyakorlat 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12? 2. Egy urnában 3 lap van, az egyikre 1, a másikra 2, a harmadikra
Részletesebben1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!
1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenDiszkrét matematika. Gyakorlati feladatsor. 1. Bevezetés: halmazok és függvények. Adjuk meg (és ábrázoljuk Venn-diagrammon) az alábbi halmazokat!
Diszkrét matematika Gyakorlati feladatsor. Bevezetés: halmazok és függvények.. Legyen A = {x N x páros}, B = {x N x > 4}, valamint C = {x N x < 6}. Adjuk meg (és ábrázoljuk Venn-diagrammon) az alábbi halmazokat!
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 4. MA3-4 modul A valószínűségi változó és jellemzői SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról
RészletesebbenEredmények, megoldások
Eredmények, megoldások 1. Eldobjuk egyszer a dobókockát. Mennyi a valószín½usége annak, hogy: (a) 4-est dobunk; (b) páratlan számot dobunk; (c) 4-nél nem dobunk nagyobbat; (d) legfeljebb 5-öst dobunk;
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
Részletesebben3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy
Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig
Részletesebben(6/1) Valószínűségszámítás
(6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor
Részletesebben1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos?
Valószínűségszámítás, földtudomány alapszak, 2016/2017. őszi félév 1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? 2. Két tizenhárom fős vízilabdacsapat mérkőzik
Részletesebben1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.
Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7
RészletesebbenValószínűségszámítás feladatok
Valószínűségszámítás feladatok Klasszikus valószínűség./ Eg csomag magar kártát jól összekeverünk. Menni annak a valószínűsége, hog a ász egmás után helezkedik el?./ 00 alma közül 0 férges. Menni a valószínűsége,
RészletesebbenValószínűségszámítás és statisztika
Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem
RészletesebbenGyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6
Gyakorló feladatok 1. Ismertesd a matematikai indukció logikai sémáját, magyarázzuk meg a bizonyítás lényegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n természetes számra 1 + 3 + + (n 1) = n.. Matematikai indukcióval
RészletesebbenAz egyszerűsítés utáni alak:
1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenTantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2
Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
Részletesebben} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =
. Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel
RészletesebbenBiometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára
Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90
Részletesebben1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.
IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk
Részletesebben1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
RészletesebbenP (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )
6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével
RészletesebbenA sztochasztika alapjai. Szorgalmi feladatok tavaszi szemeszter
A sztochasztika alapjai Szorgalmi feladatok 2011. tavaszi szemeszter 1. feladat Feldobunk egy kockát és egy pénzérmét. Írjuk fel az eseményteret! 2. feladat Egy kockát ötször egymás után feldobunk. Jelöljük
RészletesebbenMatematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 5. : Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenMatematika B4 II. gyakorlat
Matematika B II. gyakorlat 00. február.. Bevezető kérdések. Feldobunk egy kockát és egy érmét. Ábrázoljuk az eseményteret! Legyenek adottak az alábbi események: -ast dobunk, -est dobunk, fejet dobunk,
RészletesebbenGyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:
Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés
Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Játékszabályok 0 + x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:. ZH a félév közepén 50 pont:. ZH a félév végén
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.
RészletesebbenGeometriai valo szí nű se g
Geometriai valo szí nű se g Szűk elméleti áttekintő Klasszikus valószínűség: Geometriai valószínűség: - 1 dimenzióban: - dimenzióban: - + dimenzióban: jó esetek összes eset jó szakaszok teljes szakasz
RészletesebbenMegoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =
Részletesebbentörtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont
1. Egyszerűsítse az 3 2 a + a a + 1 törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2. Milyen számjegy állhat az X helyén, ha a négyjegyű 361 X szám 6-tal osztható? X = 3. Minden szekrény barna. Válassza ki az
Részletesebben13. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket!
A 13. Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) b) sin 2 x 1 2cos x a) 6 pont b) 6 pont 12 pont írásbeli vizsga, II. összetev 4 / 16 2011. október 18. 14. Egy felmérés során két korcsoportban
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet
RészletesebbenValószín ségszámítás 1 gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány
Valószín ségszámítás gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány Játékszabályok Max 3 gyakorlatról lehet hiányozni aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00 + x pontot lehet szerezni a félév során:
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Várható érték 1. Egy dobozban 6 cédula van, rajtuk pedig a következő számok: (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6; (b) 1, 2, 6, 6, 6, 6;
RészletesebbenIsmétlés nélküli permutáció
Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba
Részletesebben1. Kombinatorikai bevezetés
1. Kombinatorikai bevezetés 1.1. Permutációk Adott n különböző elem ismétlés nélküli permutációján az elemek egy meghatározott sorrendjét értjük. Az n különböző elem összes permutációinak számát P n -nel
RészletesebbenAz egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
RészletesebbenSzámelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
Részletesebben