Programtervezı matematikus szak II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. feladatsor

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Programtervezı matematikus szak II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. feladatsor"

Átírás

1 Programtervezı matematikus szak II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. feladatsor (Véges) valószínőségi mezı. Klasszikus eset vagy nem? Egy kísérlet lehetséges kimeneteleinek halmaza az eseménytér (jel.: Ω). Minden ω kimenetelnek van egy p(ω) nemnegatív valószínősége. A p(ω) számok összege 1. Ha A az eseménytér egy részhalmaza, akkor annak valószínősége, hogy a kísérlet kimenetele A-beli lesz: P(A) = p( ω) Klasszikus valószínőségi mezı: ha a kimenetelek egyformán valószínőek, akkor egy A esemény valószínősége = A / Ω = (kedvezı esetek száma)/(összes eset száma). A következı példákban adjuk meg az eseményteret, és döntsük el, hogy klasszikus valószínőségi mezırıl van-e szó! Számítsuk ki a valószínőségeket is! 1. Van két szabályos kockánk, melyek közül az elsın a , a másodikon a számok vannak az oldalakra írva. Mindkét kockát feldobva, mennyi az esélye, hogy az elsı kockával dobott érték a nagyobb? 2. Három szabályos érmét egyszerre feldobunk. Mennyi az esélye, hogy egy fej és két írás lesz az eredmény? 3. Egy papírcsíkra felírjuk az ALABAMA szót, majd a papírt betőnként szétvágjuk. Az így keletkezett hét papírdarabot véletlenszerően sorbarakjuk. Mennyi az esélye, hogy az ALABAMA szót kapjuk vissza? 4. (Folyt.) Az elızı hét papírdarabot most egy sapkába tesszük, majd visszatevéssel húzunk hétszer. Most mennyi az esélye az ALABAMA szónak? Melyik szónak a legnagyobb az esélye? 5. Sakktáblán találomra elhelyezünk 8 bástyát. Mennyi az esély arra, hogy egyik sem üti a másikat? Oldjuk meg a feladatot kétféleképpen: ha egyszerre tesszük le a bástyákat, vagy ha egyenként! 6. Egy kerek asztal körül 5 házaspár tagjai véletlenszerően foglalnak helyet. Mennyi az esélye, hogy Kovács úr és Kovácsné egymás mellé kerülnek? Oldjuk meg a feladatot minél többféleképpen! 7. Egy szekrényben 20 sapka és 15 sál van. Egymás után, visszatevés nélkül veszek elı 10 ruhadarabot. Mennyi a valószínősége, hogy a 4. darab sapka? 8. A 4. feladatban számoljuk ki annak esélyét, hogy a kialakult szóban mind a négy bető elıfordul! Ellenırizzük az eredményt szimulációval! 9. Mennyi annak a valószínősége, hogy egy héten a lottóban kihúzott öt szám közti páronkénti különbségek mindegyike legalább öt? Elérhetıségeim: szoba, tel.: /8530, honlap: Számonkérés: a félév során két db. 50 pontos ZH lesz. Így összesen 100 pontot lehet elérni. A gyakorlati jegy ponthatárai: 30, 45, 60, 75. Feltétel még, hogy mindkét ZH-n legalább 15 pontot kell elérni. A ZH-k idıpontjai: március 20/29, május 15/17. Javítani, pótolni az egyik anyagrészbıl lehet. Akinek egyik ZH-ja sem lett érvényes, gyakjegyuv-t tehet. Ezek idıpontja: május 25., 10 óra. ω A

2 2. feladatsor 1. Ha egy kockával négyszer dobunk, akkor elınyös arra fogadni, hogy a négy dobásból lesz legalább egy hatos. Két kockával dobva vajon hány dobás esetén elınyös arra fogadni, hogy lesz legalább egy dupla hatos? 2. Mennyi a valószínősége annak, hogy a kihúzott lottószámok mindegyike páros? Több köztük a páros mint a páratlan? 3. Határozzuk meg, hogy milyen A, B eseményekre teljesülhetnek a következık: a, A B = A b, A B = A c, A B = A B d, A B = C B e, A ( B A) = B 4. Legyenek A 1, A 2,, A n tetszıleges események, és S k a szita-formulában szereplı mennyiség. Mutassuk meg, hogy P(A 1 A 2 A n ) = S 1 2S 2 + 4S 3 + ( 2) n 1 S n, ahol A B a két esemény szimmetrikus differenciáját jelöli, vagyis az ( A \ B) ( B \ A) eseményt. 5. Egy háziasszony süteményrecepteket győjt. A sütıporos zacskókban tízféle ilyen recept van. Mennyi a valószínősége, hogy 20 sütıpor megvásárlásával mind a tízféle receptet begyőjti? 6. Egy dobozban négy különbözı pár, azaz összesen nyolc darab fülbevaló van. Anna, Bea, Cili és Dia találomra vesznek maguknak két-két darabot. Mennyi az esélye, hogy legalább egyiküknek összeillı fülbevalók jutottak? 7. Egy buliban nyolc lány és két fiú van. Mindkét fiú, egymástól függetlenül és véletlenszerően elıre eldönti, hogy milyen sorrendben fogja felkérni a lányokat. Mennyi az esélye, hogy verekedés lesz a dologból? 8. Egy körön találomra kiválasztunk három pontot. Mekkora annak a valószínősége, hogy az általuk meghatározott háromszög tartalmazza a kör középpontját? 9. Egy vékony fapálcát 3 részre törünk szét. Mekkora annak a valószínősége, hogy e részekbıl háromszöget alkothatunk?

3 3. feladatsor 1. Mennyi a valószínősége, hogy két kockadobásnál mind a két dobás hatos, feltéve, hogy tudjuk, hogy legalább az egyik hatos? 2. Egy szekrényben 20 sapka és 15 sál van. Egymás után, visszatevés nélkül veszek elı 10 ruhadarabot. Mennyi a valószínősége, hogy a 6. darab sapka, feltéve, hogy az 5. darab is sapka volt? 3. Egy kockával addig dobunk, amíg hatost nem kapunk. Feltéve, hogy legalább kettıt kellett dobni mennyi annak a valószínősége, hogy páros sokszor dobtunk? 4. P(A B) = 0.7, P(A B ) = 0.3, P(B A) = 0.6, P(A) =? 5. A P(B A) > P(B) és P(C B) > P(C) feltételekbıl következik-e, hogy P(C A) > P(C)? 6. Véletlenországban a halálraítéltek kegyelmi kérvény helyett sorsot húznak. Két urnát használnak erre, mindegyikben 25 fehér és 25 fekete golyó van. Az elítélt szemét bekötik, így választ egy urnát majd abból húz egy golyót. Ha az fehér, kegyelmet kap. Egy elítélt utolsó kívánságában azt kérte, hogy a golyókat tetszés szerint átrendezhesse az urnák között (csak az a feltétel, hogy mindkét urnában legyen golyó). Kérését teljesítették. Hogyan célszerő átrendezni a golyókat? 7. Aladár és Béla pingpongoznak. Minden labdamenetet, egymástól függetlenül, 1/3 valószínőséggel Aladár, 2/3 valószínőséggel pedig Béla nyer meg. A jelenlegi állás 20:19 Béla javára. Mennyi annak a valószínősége, hogy a meccset mégis Aladár nyeri meg? (Az nyer, akinek sikerül legalább két pontos elıny mellett legalább 21 pontot szerezni.) 8. Eszter és Anna három érmével játszanak. Felváltva dobják fel a náluk lévı összes érmét, és a fejre esett érméket átadják társuknak. Az nyer, akinek elıször elfogynak az érméi. Mekkora valószínőséggel nyer Eszter, ha eredetileg nála van az összes érme, és ı kezd? 9. Egy játékkockával addig dobunk amíg hatos nem jön ki. Mi annak a valószínősége, hogy közben nem dobunk ötöst? 10. Egy diák a vizsgán p valószínőséggel tudja a helyes választ. Amennyiben nem tudja, akkor tippel (1/3 az esélye). Helyesen válaszolt. Mennyi a valószínősége, hogy tudta is a helyes választ? 11. Egy televíziós játékban 4 ajtó közül választhat a játékos, az egyik mögé ajándék van rejtve. A játékos választása után a mősorvezetı kinyit egy másik ajtót és mutatja, hogy ott nincs ajándék. Felajánlja a játékosnak, hogy még változtathat. A játékos vagy változtat vagy nem. Ezután a játékvezetı kinyit még egy ajtót és megint mutatja, hogy ott nincs ajándék. Újfent felajánlja a játékosnak, hogy még változtathat. Mi a játékos optimális stratégiája? 12. Egy játékos annyiszor lıhet egy léggömbre, ahány 6-ost dobott egymás után egy dobókockával /például, ha elsıre 6-ost, másodikra 2-est dob, akkor egyszer lıhet/. Mennyi a valószínősége, hogy szétlövi a léggömböt, ha egy lövésnél 1/1000 valószínőséggel talál?

4 4. feladatsor 1. Egy érmét 3-szor (n-szer) feldobva, tekintsük az alábbi eseményeket: A: van fej és írás is; B: legfeljebb egy írás van. Függetlenek-e? 2. Találomra választunk egy számot 1-tıl 8-ig. Vizsgáljuk a következı három esemény függetlenségét! A: a szám páros, B: a szám ötnél kisebb, C: a szám vagy kettı, vagy ötnél nagyobb. 3. A kihúzott lottószámokat rendezzük nagyság szerint növekvı sorrendbe! Számítsuk ki az i- dik legnagyobb eloszlását! 4. Döntsük el, hogy a következı véletlen jelenségek leírása melyik eloszláshoz vezet (binomiális, hipergeometrikus, geometriai)! a, Mennyi a valószínősége, hogy egy 20 fıs évfolyamból legalább hárman születtek decemberben? b, Minden héten lottózunk. Mennyi a valószínősége, hogy legalább 10 hetet kell várnunk az elsı találatunkra? c, Egy 35 fıs osztályba 20 fiú és 15 lány jár. Találomra hívunk ki 4 felelıt. Mennyi a valószínősége, hogy 2 fiú és 2 lány lesz a felelık között? d, Villanyégıkbıl 6 elemő mintát veszünk visszatevéssel. Annak a valószínősége, hogy a minta 3 selejtet tartalmaz, 4/25. Mekkora a selejtarány? e, Addig lottózunk ugyanazzal az öt számmal, amíg ötösünk nem lesz. Mi a legvalószínőbb, hogy ez hányadik héten következik be? f, Hány dobókocka esetén a legnagyobb a valószínősége, hogy a kockákat egyszerre feldobva, a kapott számok között pontosan egy hatos lesz? g, Egy szabálytalan érmét addig dobálunk, amíg fejet nem kapunk. Annak a valószínősége, hogy páros sokszor kell dobnunk, harmadakkora, mint annak, hogy páratlan sokszor. Mekkora a fejdobás valószínősége? 5. Tíz ember társasjátékot akar játszani, és ehhez a kezdıembert ki akarják sorsolni. A házigazdát megbízzák, hogy tegyen bele egy kalapba néhány piros és néhány fehér golyót. A kalapból ciklikusan visszatevés nélkül húznak, és aki elsıként húz pirosat, az kezd. A házigazda az elsı húzó. Hogyan töltse meg a kalapot, ha nem nagyon szeretne kezdeni? 6. Péternek 25, Tamásnak 10 forintja van. Ha két érme feldobásánál két fej jön ki, akkor Péter nyer 1 forintot, különben Tamás, és ezt addig folytatják, amíg valamelyikıjüknek marad pénze. Mennyi a valószínősége, hogy Péter veszti el összes pénzét? 7. Egy sportlövı 1/7 valószínőséggel talál el egy léggömböt. Az ötödik találatig lı. Mi lövései számának eloszlása? 8. Egy 1 méter hosszú vékony fapálcát két pontján széttörünk. Adjuk meg a középen keletkezı darab hosszának eloszlásfüggvényét!

5 5. feladatsor 1. Legyen Y valószínőségi változó, P(0<Y<3) = 1, és Y eloszlásfüggvénye a (0,3) intervallumon F(x) = cx 3. a) Mennyi c értéke? b) Számítsuk ki a P( 1 < Y < 1) valószínőséget! 2. Legyen X egyenletes eloszlású a [ 1, 2] intervallumon. Adjuk meg X, X és min(x, 1) eloszlás- és sőrőségfüggvényét (ha van). 3. Legyen X exponenciális eloszlású, a paraméterrel. Milyen eloszlású lesz Y = e X? 4. Véletlenszerően választunk egy pontot az x 2 +y 2 <1 kör belsejében. Jelölje Z a pont távolságát az origótól. Adjuk meg Z sőrőségfüggvényét! 5. Legyen X négy szabályos érmével dobott fejek száma, Y pedig a) négy másik érmén a fejek száma b) a négy eredeti érmén az írások száma c) a négy eredeti érmén a fejek száma Adjuk meg Y eloszlását, döntsük el, hogy független-e X-tıl. Adjuk meg X+Y eloszlását is! 6. Eloszlásfüggvények-e a következı függvények? a) F(x) = 1 (c/x) a, ha x > c, és 0 különben. (a és c > 0) b) F(x) = 0, ha x < 0, [x]/2, ha 0 x 2, és 1, ha x > 2. c) F(x) = 2x/(x+1), ha x > 0, és 0 különben. 7. Az Y valószínőségi változó sőrőségfüggvényét jelölje f. Határozzuk meg az ay + b és az Y 2 valószínőségi változók sőrőségfüggvényét! 8. Egy szabálytalan érmével (p a fej valószínősége) végzett dobássorozatnál jelölje X az elsı, azonosakból álló sorozat hosszát, Y pedig a második, azonosakból álló sorozat hosszát. (Ha pl. a dobássorozat FIIIF..., akkor X = 1, Y = 3.) Adjuk meg X eloszlását, X és Y együttes eloszlását, és Y eloszlását. 9. Egy dobozban 9 cédula van, rajtuk a 11, 12, 12, 22, 23, 23, 31, 31, 33 számok. Találomra kihúzunk egy cédulát, X jelentse ennek elsı, Y a második számjegyét. Független-e X és Y?

6 6. feladatsor 1. Határozzuk meg két független, különbözı paraméterő exponenciális eloszlású valószínőségi változó összegének eloszlását! 2. Határozzuk meg e X várható értékét, ha X standard normális eloszlású! 3. Egy ember villamossal és busszal jár egyetemre. A villamosra való X várakozási idı (percben) a [0,5] intervallumon, a buszra való Y pedig ettıl főggetlen, és a [0,10] intervallumon egyenletes eloszlású. A teljes várakozási idınek mi lesz az eloszlása és a várható értéke? 4. Számítsuk ki a kihúzott legkisebb lottószám várható értékét! 5. Legyen X illetve Y egy szabálytalan érmével (p a fej valószínősége) végzett dobássorozatnál az elsı, illetve a második azonosakból álló sorozat hossza. (Ha pl. a dobássorozat FIIIF..., akkor X = 1, Y = 3.) Számítsuk ki X és Y várható értékét! 6. Egy dobozban 9 cédula van, rajtuk a 11, 12, 12, 22, 23, 23, 31, 31, 33 számok. Találomra kihúzunk egy cédulát, X jelentse ennek elsı, Y a második számjegyét. E(X) =?, E(Y) =?, E(XY) =? 7. Egy szabályos kockát feldobunk, majd ha akarunk, újra dobhatunk, sıt ezután, ha akarunk, még egyszer dobhatunk. Így a kockával egyszer, kétszer vagy háromszor dobtunk. Az utolsó dobott érték számít, jelölje ezt X. Milyen stratégia mellett lesz X várható értéke maximális, és mennyi ez a várható érték? Programtervezı matematikus szak II. évfolyam, valószínőségszámítás 7. feladatsor 1. Véletlenszerően választunk egy pontot az x 2 +y 2 <1 kör belsejében. Jelölje Z a pont távolságát az origótól. Adjuk meg Z sőrőségfüggvényét, várható értékét és szórásnégyzetét! 2. Véletlenszerően választunk egy szót az alábbi mondatból: EGY TEVE LEGEL A KERTBEN. Feladatunk az, hogy kitaláljuk a szó hosszát úgy, hogy a tényleges és a tippelt szóhossz közötti eltérés négyzetének várható értéke minimális legyen. Hogyan tippelünk, ha valaki megsúgta a szóban szereplı e -betők számát? Hogyan tippelünk, ha valaki megsúgta a szóban szereplı e -betők számát, de ennek csak lineáris függvényét használhatjuk? 3. Legyenek X és Y függetlenek, t illetve s paraméterő Poisson eloszlásúak. Számoljuk ki X és X +Y korrelációs együtthatóját! 4. Két tetraéder alakú kockát feldobunk (a lapok 1-tıl 4-ig vannak megszámozva). Jelölje X a kisebb, Y pedig a nagyobb dobás eredményét ha mindkét dobás eredménye k, akkor legyen X = Y = k. Számítsuk ki, hogy E(XY) mennyivel tér el az E(X)E(Y) szorzattól! 5. Kockával n-szer dobunk. Jelölje X a dobott hatosok, Y pedig a dobott páratlan számok számát. Adjuk meg X és Y együttes eloszlását, és a korrelációs együtthatójukat! 6. Egy urnában négy cédula van, egy-egy piros, kék, fehér és sárga. Visszatevés nélkül egymás után kihúzzuk ıket. Jelölje X azt, hogy hányadiknak húztuk a pirosat, Y pedig azt, hogy hányadiknak húztuk a kéket. Számoljuk ki X és Y korrelációs együtthatóját! 7. A fogorvosnál egy tömés 15, egy húzás 3 percet vesz igénybe. A Pista bácsi elıtt várakozók mindegyikének 1/5 valószínőséggel kihúzzák, 4/5 valószínőséggel betömik a fogát. A várakozók száma Poisson(10) eloszlású. Várhatóan mennyi ideig kell Pista bácsinak várakoznia?

7 8. Egy dobozban az 1, 2, 3, 4 feliratú 4 cédula van. Visszatevéssel húzunk, amíg 4-es nem kerül a kezünkbe. Határozzuk meg a kihúzott számok összegének várható értékét! 9. Legyen π egy permutáció. π inverzióinak száma azon i<j párok száma, amelyek sorrendjét π megfordítja. Jelölje X az inverziók számát egy véletlen permutációban! E(X) =? 10. Egy csoportban 25-en tanulnak. Tegyük fel, hogy a tanulók születésnapjai függetlenek és az év tizenkét hónapjában egyenletes eloszlásúak. Számítsuk ki azon hónapok számának várható értékét és szórásnégyzetét, amelyekre egy születésnap sem esik. Programtervezı matematikus szak II. évfolyam, valószínőségszámítás 8. feladatsor 1. Véletlenszerően választunk egy (X,Y) pontot a (0,0), (1,0) és (0,1) csúcspontokkal megadott háromszögben. R(X,Y) =? 2. Szeretnénk X és Y normális eloszlású valószínőségi változókat elıállítani adott várható értékekkel, szórásokkal és korrelációval. Hogyan tehetjük ezt meg, ha számítógépünk csak független standard normálisokat tud generálni? 3. Legyenek az X i valószínőségi változók függetlenek és azonos eloszlásúak. Közös sőrőségfüggvényük c x, ha x [ 1/ 2,1/ 2], f ( x) = 0 egyébként. Határozzuk meg c értékét, és becsüljük meg a P(X X 100 > 15) valószínőséget a Csebisevegyenlıtlenséggel! 4. Egy termék akkor fogadható el, ha a hossza 8,8 és 9,4 közé esik. A gépünk 9,1 várható értékő termékeket gyárt (tegyük fel, hogy a hossz normális eloszlású). Mekkora lehet a szórás, ha azt akarjuk, hogy a termékek legalább 90%-a jó legyen? És ha nem tudjuk, hogy a hossz normális eloszlású? 5. Legyen X n a fejek száma egy n hosszú pénzérme dobássorozatban. Milyen nagyságrendő becslés adódik a P(X n /n > 0,6) valószínőségre a Csebisev egyenlıtlenségbıl, illetve a P(X n X n > 0,6n) = ( n 0,6 P,5 1,5 ) 1 > azonosságból és a Markov egyenlıtlenségbıl? 6. Legyenek az X i valószínőségi változók függetlenek, és 4 paraméterő Poisson eloszlásúak. Mihez konvergál (X X n )/(X X n 2 )? 7. Legyenek az X i valószínőségi változók függetlenek, és p paraméterő indikátor eloszlásúak. Mihez konvergál (X X n 5 )/n? 8. Egy szabályos dobókockát dobálva, jelölje X i az i-dik dobás eredményét. Mihez konvergál (X X n 2 )/n? Mihez tart a dobások mértani közepe? 9. Számítsuk ki a következı nevezetes eloszlások karakterisztikus függvényét: indikátor, binomiális, Poisson, egyenletes, exponenciális.

1. gyakorlat. 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12?

1. gyakorlat. 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12? 1. gyakorlat 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12? 2. Egy urnában 3 lap van, az egyikre 1, a másikra 2, a harmadikra

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6 Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost

Részletesebben

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás Matematika A I. gyakorlat megoldás 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció n! n! k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen állíthatunk sorba, ha k

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Házi feladatok. Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz

Házi feladatok. Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz Házi feladatok Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz A házi feladatok tartalmaznak könnyebb és nehezebb példákat is ugyanannyi pontért. A feladatokhoz készítettem

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

6. Buffon problémája: egy egységnyi hosszú tűt véletlenszerűen ledobunk a síkra, ahol a szomszédaiktól

6. Buffon problémája: egy egységnyi hosszú tűt véletlenszerűen ledobunk a síkra, ahol a szomszédaiktól Klasszikus valószínűségi mező Valószínűségszámítás feladatok 1. Mekkora a valószínűsége, hogy kockával hatszor dobva mind a 6 szám előfordul? Mekkora a valószínűsége, hogy 12-szer dobva mind a 6 szám pontosan

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Játékszabályok 0 + x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:. ZH a félév közepén 50 pont:. ZH a félév végén

Részletesebben

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. : A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof Dr Závoti József Matematika III 3 MA3-3 modul A valószínűségszámítás elemei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5 Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi

Részletesebben

Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC

Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Játékszabályok Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 100 + x pontot lehet szerezni a félév

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak Játékszabályok Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00 +

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

Valószínűségszámítási gyakorlatok

Valószínűségszámítási gyakorlatok Matematikai és Informatikai Intézet Valószínűségszámítási gyakorlatok Összeállította Dr. Tómács Tibor egyetemi docens Utolsó módosítás 7. március 9. Eger, 7 Tartalomjegyzék Gyakorlatok.....................................

Részletesebben

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt 1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára

Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára Biometria gyakorló feladatok BsC hallgatók számára 1. Egy üzem alkalmazottainak megoszlása az elért teljesítmény %-a szerint a következı: Norma teljesítmény % Dolgozók száma 60-80 30 81-90 70 91-100 90

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Várható érték 1. Egy dobozban 6 cédula van, rajtuk pedig a következő számok: (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6; (b) 1, 2, 6, 6, 6, 6;

Részletesebben

Kombinatorika gyakorló feladatok

Kombinatorika gyakorló feladatok Kombinatorika gyakorló feladatok Egyszerűbb gyakorló feladatok 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségszámítási alapok Bevezetés A tudományos életben vizsgálódunk pontosabb megfigyelés, elırejelzés, megértés reményében. Ha egy kísérletet végzünk, annak

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

Környezet statisztika

Környezet statisztika Környezet statisztika Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses)

Részletesebben

Felte teles való szí nű se g

Felte teles való szí nű se g Felte teles való szí nű se g Szűk elméleti összefoglaló 1. P(A B) = P(AB) P(B) 2. 0 P(A B) 1 3. P(A A) = 1 4. P(A ) = 0 5. egymást kizáró események esetén: P( A I B) = P(A i B). A és B események függetlenek,

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 4. hétre

Feladatok és megoldások a 4. hétre Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

Tartalomjegyzék Szitaformulák Példák a szitaformulára Mintavételezés Bayes-tétel... 17

Tartalomjegyzék Szitaformulák Példák a szitaformulára Mintavételezés Bayes-tétel... 17 Valószínűségszámítás Földtudomány szak, 2015/2016. tanév őszi félév Backhausz Ágnes (ELTE TTK Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék)1 Tartalomjegyzék 1. Valószínűségi mező 3 1.1. Példák valószínűségi

Részletesebben

a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet?

a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet? Az els gyakorlat feladatai 1. Az 1, 3, 5, 7, 8 elemekb l hány olyan 5-jegy szám képezhet, amelyeknek a harmadik számjegye 8? 2. Az 1, 2, 3, 5, 7, 8 elemekb l hány olyan 6-jegy szám képezhet, amely 123-mal

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2? HIPERGEO. BINOM. POISSON 4.1. Egy üzletben 100-an vásárolnak, közülük 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.2. Egy üzletben

Részletesebben

Eredmények, megoldások

Eredmények, megoldások Eredmények, megoldások 1. Eldobjuk egyszer a dobókockát. Mennyi a valószín½usége annak, hogy: (a) 4-est dobunk; (b) páratlan számot dobunk; (c) 4-nél nem dobunk nagyobbat; (d) legfeljebb 5-öst dobunk;

Részletesebben

1.5 Hányféleképpen ültethetünk egy kerek asztal köré 7 embert, ha a forgatással egymásba vihető ülésrendeket azonosnak tekintjük?

1.5 Hányféleképpen ültethetünk egy kerek asztal köré 7 embert, ha a forgatással egymásba vihető ülésrendeket azonosnak tekintjük? 1 Kombinatorika Valószínűségszámítás feladatok 2016/17 tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény, ha a 8 bástyát

Részletesebben

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket! 1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló

Részletesebben

Geometriai valo szí nű se g

Geometriai valo szí nű se g Geometriai valo szí nű se g Szűk elméleti áttekintő Klasszikus valószínűség: Geometriai valószínűség: - 1 dimenzióban: - dimenzióban: - + dimenzióban: jó esetek összes eset jó szakaszok teljes szakasz

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

8. OSZTÁLY ; ; ; 1; 3; ; ;.

8. OSZTÁLY ; ; ; 1; 3; ; ;. BEM JÓZSEF Jelszó:... VÁROSI MATEMATIKAVERSENY Teremszám:... 2010. december 7-8. Hely:... 8. OSZTÁLY Tiszta versenyidő: 90 perc. A feladatokat többször is olvasd el figyelmesen! A megoldás menetét, gondolataidat

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladatok Nagy-György Judit 2006. április 3. 1. Kombinatorikai alapok 1. Hányféleképpen állhatnak sorba egy 10 fős csoport tagjai? És körbe? 2. Hányféleképpen állhat sorba 10 nő és

Részletesebben

3. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva, egyszer páros, egyszer páratlan számot dobunk?

3. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva, egyszer páros, egyszer páratlan számot dobunk? Valószínűségszámítás, gráfok, statisztika 1. Egy 660 fős iskola tanulóinak 60%-a lány. A lány tanulók 25%-a a 12. évfolyamra jár. Egy tetszőleges tanulót választva az iskola tanulói közül, mennyi a valószínűsége,

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladato A FELADATOK MEGOLDÁSAI A 0. FELADAT UTÁN TALÁLHATÓK.. Egyszerre dobun fel három érmét. Mi anna a valószínűsége, hogy mindegyine ugyanaz az oldala erül felülre?. Két dobóocát

Részletesebben

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az 1. Név:......................... Egy ABC-ben délután (5-t½ol 9 óráig) a vásárlók száma óránként 200 várható érték½u Poisson eloszlású valószín½uségi változó. A pénztáros egy vásárlót átlag 2 perc alatt

Részletesebben

Szabolcs-Szatmár-Bereg megyei Ambrózy Géza Matematikaverseny 2012/2013 II. forduló 5. osztály

Szabolcs-Szatmár-Bereg megyei Ambrózy Géza Matematikaverseny 2012/2013 II. forduló 5. osztály 5. osztály 1. Hány olyan téglalap van, amelynek minden oldala centiméterben kifejezve egész szám, és a területe 60 cm 2? 2. Adott a síkon egy ABC szabályos háromszög. Keresd meg a síkon az összes olyan

Részletesebben

III. tehát feltéve, hogy P(B)>0 igazak a következők: (1) P( B)=0; (2) P(Ω B)=1; (3) ha C és D egymást kizáró események, akkor

III. tehát feltéve, hogy P(B)>0 igazak a következők: (1) P( B)=0; (2) P(Ω B)=1; (3) ha C és D egymást kizáró események, akkor (matematika I. év, napp.szoc.) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: feltételes valószínűség, Bayes-tétel, események függetlensége ; 1. oldal (4-ből) 2005. október ELMÉLET: 1.) Analógia halmazok elemszáma és események

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Feladatok: a huszadik vagy valamely későbbi dobásban jelenik meg. n 1 5. hatos dobás a 20. dobásban vagy azután jelenik meg egyenlő annak a

Feladatok: a huszadik vagy valamely későbbi dobásban jelenik meg. n 1 5. hatos dobás a 20. dobásban vagy azután jelenik meg egyenlő annak a Feladatok:. Dobjunk fel egy szabályos dobókockát egymás után egymástól függetlenül végtelen sokszor. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a harmadik hatos dobás vagy a huszadik vagy valamely későbbi

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Feladatok. 1. Legyen A, B I. Adja meg az összes olyan C I eseményt, melyre A C A B teljesül!

Feladatok. 1. Legyen A, B I. Adja meg az összes olyan C I eseményt, melyre A C A B teljesül! Ketskeméty-Pintér 1 Feladatok 1. első 1. Legyen A, B I. Adja meg az összes olyan C I eseményt, melyre A C A B teljesül! 2. Legyen A, B I. Adja meg az A, B-t tartalmazó legszűkebb σ algebrát! 3. Legyen

Részletesebben

Véletlen szám generálás

Véletlen szám generálás 2. elıadás Véletlen szám generálás LCG: (0 < m, 0

Részletesebben

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul

Részletesebben

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős

Részletesebben

gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége.

gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége. Valószínűségszámítás Egy 10 Ft-os érmét 1000-szer dobtunk fel, és az alábbi táblázatba beleírtuk, hogy bizonyos dobásszámok esetén hányszor fordult elő a fej dobása. Dobások száma 100 200 300 400 500 600

Részletesebben

Ismétlés nélküli kombináció

Ismétlés nélküli kombináció Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen

Részletesebben

1. elõadás: A valószínûség fogalma, kombinatorikai alapismeretek. (emlékeztetõ)

1. elõadás: A valószínûség fogalma, kombinatorikai alapismeretek. (emlékeztetõ) Ea1. 2002. 02. 11. 1. elõadás: A valószínûség fogalma, kombinatorikai alapismeretek Véletlen jelenség: feltételek, körülmények; ismételhetõség Megfigyelés: mi érdekel minket lehetséges kimenetelek Esemény:

Részletesebben

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030

Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 Valószínőségszámítás és statisztika elıadások Mérnök informatikus BSc szak MANB030, MALB030 2. téma Feltételes valószínőség, függetlenség Példák feltételes valószínőségekre. Feltételes valószínőség definíciója.

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Matematikai alapok és valószínőségszámítás Statisztikai becslés Statisztikák eloszlása Mintavétel A statisztikában a cél, hogy az érdeklõdés tárgyát képezõ populáció bizonyos paramétereit a populációból

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

3. feladat Hány olyan nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2?

3. feladat Hány olyan nél kisebb pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege 2? Varga Tamás Matematikaverseny iskolai forduló 2010. 1. feladat A tengeren léket kapott egy hajó, de ezt csak egy óra múlva vették észre. Ekkorra már 3 m 3 víz befolyt a hajóba. Rögtön mőködésbe hoztak

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 4. MA3-4 modul A valószínűségi változó és jellemzői SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

Valószínűségszámítási feladatok (emelt szint)

Valószínűségszámítási feladatok (emelt szint) Valószínűségszámítási feladatok (emelt szint) Klasszikus valószínűség 1. Véletlenszerűen felírunk egy hatjegyű számot a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek felhasználásával, melyekben minden számjegy csak egyszer

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.

Részletesebben

1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI. = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb.

1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI. = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb. 1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI Elméleti áttekintés Ismétlés nélküli variáció. Egy n elemű halmazból képezhető k elemű sorozatok száma, ha a sorozatok nem tartalmaznak ismétlődést n! (1 = n (n 1... (n k (n k

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

ELLENİRIZD, HOGY A MEGFELELİ ÉVFOLYAMÚ FELADATSORT KAPTAD-E!

ELLENİRIZD, HOGY A MEGFELELİ ÉVFOLYAMÚ FELADATSORT KAPTAD-E! Varga Tamás Matematikaverseny iskolai forduló 2010. 1. feladat Kata egy dobozban tárolja 20 darab dobókockáját. Mindegyik kocka egyszínő, piros, fehér, zöld vagy fekete. 17 kocka nem zöld, 12 nem fehér,

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA KÖZÉPSZINT% II. ÉRETTSÉGI VIZSGA május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS május 3. 8:00. Idtartam: 135 perc

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA KÖZÉPSZINT% II. ÉRETTSÉGI VIZSGA május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS május 3. 8:00. Idtartam: 135 perc a feladat sorszáma maximális elért összesen II./A rész 13. 12 14. 12 15. 12 II./B rész 17 17 m nem választott feladat ÖSSZESEN 70 maximális elért I. rész 30 II. rész 70 Az írásbeli vizsgarész a 100 dátum

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 9. KÖZÉPSZINT 1) Mely x valós számokra igaz, hogy x I. 9? x 1 3. x 3. Összesen: pont ) Egy háromszög egyik oldalának hossza 10 cm, a hozzá tartozó magasság hossza 6 cm.

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor április 09. I. RÉSZ. 1. Hány fokos az a konkáv szög, amelyiknek koszinusza: 2

Próba érettségi feladatsor április 09. I. RÉSZ. 1. Hány fokos az a konkáv szög, amelyiknek koszinusza: 2 Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 010 április 09 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti fehér hátterű

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Nevezetes diszkre t eloszlá sok

Nevezetes diszkre t eloszlá sok Nevezetes diszkre t eloszlá sok Szűk elméleti összefoglaló Binomiális eloszlás: Jelölés: X~B(n, p) vagy X B(n, p) Tipikus használata: Egy kétféle kimenetelű (valami beteljesül vagy sem) kísérletet elvégzünk

Részletesebben

A II. fejezet feladatai

A II. fejezet feladatai A II. fejezet feladatai Kulcsszavak : valószínűségi változó, eloszlásfüggvény, diszkrét eloszlás, sűrűségfüggvény, nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások, valószínűségi változók transzformációja, várható

Részletesebben