Programtervezı matematikus szak II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. feladatsor

Átírás

1 Programtervezı matematikus szak II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. feladatsor (Véges) valószínőségi mezı. Klasszikus eset vagy nem? Egy kísérlet lehetséges kimeneteleinek halmaza az eseménytér (jel.: Ω). Minden ω kimenetelnek van egy p(ω) nemnegatív valószínősége. A p(ω) számok összege 1. Ha A az eseménytér egy részhalmaza, akkor annak valószínősége, hogy a kísérlet kimenetele A-beli lesz: P(A) = p( ω) Klasszikus valószínőségi mezı: ha a kimenetelek egyformán valószínőek, akkor egy A esemény valószínősége = A / Ω = (kedvezı esetek száma)/(összes eset száma). A következı példákban adjuk meg az eseményteret, és döntsük el, hogy klasszikus valószínőségi mezırıl van-e szó! Számítsuk ki a valószínőségeket is! 1. Van két szabályos kockánk, melyek közül az elsın a , a másodikon a számok vannak az oldalakra írva. Mindkét kockát feldobva, mennyi az esélye, hogy az elsı kockával dobott érték a nagyobb? 2. Három szabályos érmét egyszerre feldobunk. Mennyi az esélye, hogy egy fej és két írás lesz az eredmény? 3. Egy papírcsíkra felírjuk az ALABAMA szót, majd a papírt betőnként szétvágjuk. Az így keletkezett hét papírdarabot véletlenszerően sorbarakjuk. Mennyi az esélye, hogy az ALABAMA szót kapjuk vissza? 4. (Folyt.) Az elızı hét papírdarabot most egy sapkába tesszük, majd visszatevéssel húzunk hétszer. Most mennyi az esélye az ALABAMA szónak? Melyik szónak a legnagyobb az esélye? 5. Sakktáblán találomra elhelyezünk 8 bástyát. Mennyi az esély arra, hogy egyik sem üti a másikat? Oldjuk meg a feladatot kétféleképpen: ha egyszerre tesszük le a bástyákat, vagy ha egyenként! 6. Egy kerek asztal körül 5 házaspár tagjai véletlenszerően foglalnak helyet. Mennyi az esélye, hogy Kovács úr és Kovácsné egymás mellé kerülnek? Oldjuk meg a feladatot minél többféleképpen! 7. Egy szekrényben 20 sapka és 15 sál van. Egymás után, visszatevés nélkül veszek elı 10 ruhadarabot. Mennyi a valószínősége, hogy a 4. darab sapka? 8. A 4. feladatban számoljuk ki annak esélyét, hogy a kialakult szóban mind a négy bető elıfordul! Ellenırizzük az eredményt szimulációval! 9. Mennyi annak a valószínősége, hogy egy héten a lottóban kihúzott öt szám közti páronkénti különbségek mindegyike legalább öt? Elérhetıségeim: szoba, tel.: /8530, villo@ludens.elte.hu, honlap: Számonkérés: a félév során két db. 50 pontos ZH lesz. Így összesen 100 pontot lehet elérni. A gyakorlati jegy ponthatárai: 30, 45, 60, 75. Feltétel még, hogy mindkét ZH-n legalább 15 pontot kell elérni. A ZH-k idıpontjai: március 20/29, május 15/17. Javítani, pótolni az egyik anyagrészbıl lehet. Akinek egyik ZH-ja sem lett érvényes, gyakjegyuv-t tehet. Ezek idıpontja: május 25., 10 óra. ω A

2 2. feladatsor 1. Ha egy kockával négyszer dobunk, akkor elınyös arra fogadni, hogy a négy dobásból lesz legalább egy hatos. Két kockával dobva vajon hány dobás esetén elınyös arra fogadni, hogy lesz legalább egy dupla hatos? 2. Mennyi a valószínősége annak, hogy a kihúzott lottószámok mindegyike páros? Több köztük a páros mint a páratlan? 3. Határozzuk meg, hogy milyen A, B eseményekre teljesülhetnek a következık: a, A B = A b, A B = A c, A B = A B d, A B = C B e, A ( B A) = B 4. Legyenek A 1, A 2,, A n tetszıleges események, és S k a szita-formulában szereplı mennyiség. Mutassuk meg, hogy P(A 1 A 2 A n ) = S 1 2S 2 + 4S 3 + ( 2) n 1 S n, ahol A B a két esemény szimmetrikus differenciáját jelöli, vagyis az ( A \ B) ( B \ A) eseményt. 5. Egy háziasszony süteményrecepteket győjt. A sütıporos zacskókban tízféle ilyen recept van. Mennyi a valószínősége, hogy 20 sütıpor megvásárlásával mind a tízféle receptet begyőjti? 6. Egy dobozban négy különbözı pár, azaz összesen nyolc darab fülbevaló van. Anna, Bea, Cili és Dia találomra vesznek maguknak két-két darabot. Mennyi az esélye, hogy legalább egyiküknek összeillı fülbevalók jutottak? 7. Egy buliban nyolc lány és két fiú van. Mindkét fiú, egymástól függetlenül és véletlenszerően elıre eldönti, hogy milyen sorrendben fogja felkérni a lányokat. Mennyi az esélye, hogy verekedés lesz a dologból? 8. Egy körön találomra kiválasztunk három pontot. Mekkora annak a valószínősége, hogy az általuk meghatározott háromszög tartalmazza a kör középpontját? 9. Egy vékony fapálcát 3 részre törünk szét. Mekkora annak a valószínősége, hogy e részekbıl háromszöget alkothatunk?

3 3. feladatsor 1. Mennyi a valószínősége, hogy két kockadobásnál mind a két dobás hatos, feltéve, hogy tudjuk, hogy legalább az egyik hatos? 2. Egy szekrényben 20 sapka és 15 sál van. Egymás után, visszatevés nélkül veszek elı 10 ruhadarabot. Mennyi a valószínősége, hogy a 6. darab sapka, feltéve, hogy az 5. darab is sapka volt? 3. Egy kockával addig dobunk, amíg hatost nem kapunk. Feltéve, hogy legalább kettıt kellett dobni mennyi annak a valószínősége, hogy páros sokszor dobtunk? 4. P(A B) = 0.7, P(A B ) = 0.3, P(B A) = 0.6, P(A) =? 5. A P(B A) > P(B) és P(C B) > P(C) feltételekbıl következik-e, hogy P(C A) > P(C)? 6. Véletlenországban a halálraítéltek kegyelmi kérvény helyett sorsot húznak. Két urnát használnak erre, mindegyikben 25 fehér és 25 fekete golyó van. Az elítélt szemét bekötik, így választ egy urnát majd abból húz egy golyót. Ha az fehér, kegyelmet kap. Egy elítélt utolsó kívánságában azt kérte, hogy a golyókat tetszés szerint átrendezhesse az urnák között (csak az a feltétel, hogy mindkét urnában legyen golyó). Kérését teljesítették. Hogyan célszerő átrendezni a golyókat? 7. Aladár és Béla pingpongoznak. Minden labdamenetet, egymástól függetlenül, 1/3 valószínőséggel Aladár, 2/3 valószínőséggel pedig Béla nyer meg. A jelenlegi állás 20:19 Béla javára. Mennyi annak a valószínősége, hogy a meccset mégis Aladár nyeri meg? (Az nyer, akinek sikerül legalább két pontos elıny mellett legalább 21 pontot szerezni.) 8. Eszter és Anna három érmével játszanak. Felváltva dobják fel a náluk lévı összes érmét, és a fejre esett érméket átadják társuknak. Az nyer, akinek elıször elfogynak az érméi. Mekkora valószínőséggel nyer Eszter, ha eredetileg nála van az összes érme, és ı kezd? 9. Egy játékkockával addig dobunk amíg hatos nem jön ki. Mi annak a valószínősége, hogy közben nem dobunk ötöst? 10. Egy diák a vizsgán p valószínőséggel tudja a helyes választ. Amennyiben nem tudja, akkor tippel (1/3 az esélye). Helyesen válaszolt. Mennyi a valószínősége, hogy tudta is a helyes választ? 11. Egy televíziós játékban 4 ajtó közül választhat a játékos, az egyik mögé ajándék van rejtve. A játékos választása után a mősorvezetı kinyit egy másik ajtót és mutatja, hogy ott nincs ajándék. Felajánlja a játékosnak, hogy még változtathat. A játékos vagy változtat vagy nem. Ezután a játékvezetı kinyit még egy ajtót és megint mutatja, hogy ott nincs ajándék. Újfent felajánlja a játékosnak, hogy még változtathat. Mi a játékos optimális stratégiája? 12. Egy játékos annyiszor lıhet egy léggömbre, ahány 6-ost dobott egymás után egy dobókockával /például, ha elsıre 6-ost, másodikra 2-est dob, akkor egyszer lıhet/. Mennyi a valószínősége, hogy szétlövi a léggömböt, ha egy lövésnél 1/1000 valószínőséggel talál?

4 4. feladatsor 1. Egy érmét 3-szor (n-szer) feldobva, tekintsük az alábbi eseményeket: A: van fej és írás is; B: legfeljebb egy írás van. Függetlenek-e? 2. Találomra választunk egy számot 1-tıl 8-ig. Vizsgáljuk a következı három esemény függetlenségét! A: a szám páros, B: a szám ötnél kisebb, C: a szám vagy kettı, vagy ötnél nagyobb. 3. A kihúzott lottószámokat rendezzük nagyság szerint növekvı sorrendbe! Számítsuk ki az i- dik legnagyobb eloszlását! 4. Döntsük el, hogy a következı véletlen jelenségek leírása melyik eloszláshoz vezet (binomiális, hipergeometrikus, geometriai)! a, Mennyi a valószínősége, hogy egy 20 fıs évfolyamból legalább hárman születtek decemberben? b, Minden héten lottózunk. Mennyi a valószínősége, hogy legalább 10 hetet kell várnunk az elsı találatunkra? c, Egy 35 fıs osztályba 20 fiú és 15 lány jár. Találomra hívunk ki 4 felelıt. Mennyi a valószínősége, hogy 2 fiú és 2 lány lesz a felelık között? d, Villanyégıkbıl 6 elemő mintát veszünk visszatevéssel. Annak a valószínősége, hogy a minta 3 selejtet tartalmaz, 4/25. Mekkora a selejtarány? e, Addig lottózunk ugyanazzal az öt számmal, amíg ötösünk nem lesz. Mi a legvalószínőbb, hogy ez hányadik héten következik be? f, Hány dobókocka esetén a legnagyobb a valószínősége, hogy a kockákat egyszerre feldobva, a kapott számok között pontosan egy hatos lesz? g, Egy szabálytalan érmét addig dobálunk, amíg fejet nem kapunk. Annak a valószínősége, hogy páros sokszor kell dobnunk, harmadakkora, mint annak, hogy páratlan sokszor. Mekkora a fejdobás valószínősége? 5. Tíz ember társasjátékot akar játszani, és ehhez a kezdıembert ki akarják sorsolni. A házigazdát megbízzák, hogy tegyen bele egy kalapba néhány piros és néhány fehér golyót. A kalapból ciklikusan visszatevés nélkül húznak, és aki elsıként húz pirosat, az kezd. A házigazda az elsı húzó. Hogyan töltse meg a kalapot, ha nem nagyon szeretne kezdeni? 6. Péternek 25, Tamásnak 10 forintja van. Ha két érme feldobásánál két fej jön ki, akkor Péter nyer 1 forintot, különben Tamás, és ezt addig folytatják, amíg valamelyikıjüknek marad pénze. Mennyi a valószínősége, hogy Péter veszti el összes pénzét? 7. Egy sportlövı 1/7 valószínőséggel talál el egy léggömböt. Az ötödik találatig lı. Mi lövései számának eloszlása? 8. Egy 1 méter hosszú vékony fapálcát két pontján széttörünk. Adjuk meg a középen keletkezı darab hosszának eloszlásfüggvényét!

5 5. feladatsor 1. Legyen Y valószínőségi változó, P(0<Y<3) = 1, és Y eloszlásfüggvénye a (0,3) intervallumon F(x) = cx 3. a) Mennyi c értéke? b) Számítsuk ki a P( 1 < Y < 1) valószínőséget! 2. Legyen X egyenletes eloszlású a [ 1, 2] intervallumon. Adjuk meg X, X és min(x, 1) eloszlás- és sőrőségfüggvényét (ha van). 3. Legyen X exponenciális eloszlású, a paraméterrel. Milyen eloszlású lesz Y = e X? 4. Véletlenszerően választunk egy pontot az x 2 +y 2 <1 kör belsejében. Jelölje Z a pont távolságát az origótól. Adjuk meg Z sőrőségfüggvényét! 5. Legyen X négy szabályos érmével dobott fejek száma, Y pedig a) négy másik érmén a fejek száma b) a négy eredeti érmén az írások száma c) a négy eredeti érmén a fejek száma Adjuk meg Y eloszlását, döntsük el, hogy független-e X-tıl. Adjuk meg X+Y eloszlását is! 6. Eloszlásfüggvények-e a következı függvények? a) F(x) = 1 (c/x) a, ha x > c, és 0 különben. (a és c > 0) b) F(x) = 0, ha x < 0, [x]/2, ha 0 x 2, és 1, ha x > 2. c) F(x) = 2x/(x+1), ha x > 0, és 0 különben. 7. Az Y valószínőségi változó sőrőségfüggvényét jelölje f. Határozzuk meg az ay + b és az Y 2 valószínőségi változók sőrőségfüggvényét! 8. Egy szabálytalan érmével (p a fej valószínősége) végzett dobássorozatnál jelölje X az elsı, azonosakból álló sorozat hosszát, Y pedig a második, azonosakból álló sorozat hosszát. (Ha pl. a dobássorozat FIIIF..., akkor X = 1, Y = 3.) Adjuk meg X eloszlását, X és Y együttes eloszlását, és Y eloszlását. 9. Egy dobozban 9 cédula van, rajtuk a 11, 12, 12, 22, 23, 23, 31, 31, 33 számok. Találomra kihúzunk egy cédulát, X jelentse ennek elsı, Y a második számjegyét. Független-e X és Y?

6 6. feladatsor 1. Határozzuk meg két független, különbözı paraméterő exponenciális eloszlású valószínőségi változó összegének eloszlását! 2. Határozzuk meg e X várható értékét, ha X standard normális eloszlású! 3. Egy ember villamossal és busszal jár egyetemre. A villamosra való X várakozási idı (percben) a [0,5] intervallumon, a buszra való Y pedig ettıl főggetlen, és a [0,10] intervallumon egyenletes eloszlású. A teljes várakozási idınek mi lesz az eloszlása és a várható értéke? 4. Számítsuk ki a kihúzott legkisebb lottószám várható értékét! 5. Legyen X illetve Y egy szabálytalan érmével (p a fej valószínősége) végzett dobássorozatnál az elsı, illetve a második azonosakból álló sorozat hossza. (Ha pl. a dobássorozat FIIIF..., akkor X = 1, Y = 3.) Számítsuk ki X és Y várható értékét! 6. Egy dobozban 9 cédula van, rajtuk a 11, 12, 12, 22, 23, 23, 31, 31, 33 számok. Találomra kihúzunk egy cédulát, X jelentse ennek elsı, Y a második számjegyét. E(X) =?, E(Y) =?, E(XY) =? 7. Egy szabályos kockát feldobunk, majd ha akarunk, újra dobhatunk, sıt ezután, ha akarunk, még egyszer dobhatunk. Így a kockával egyszer, kétszer vagy háromszor dobtunk. Az utolsó dobott érték számít, jelölje ezt X. Milyen stratégia mellett lesz X várható értéke maximális, és mennyi ez a várható érték? Programtervezı matematikus szak II. évfolyam, valószínőségszámítás 7. feladatsor 1. Véletlenszerően választunk egy pontot az x 2 +y 2 <1 kör belsejében. Jelölje Z a pont távolságát az origótól. Adjuk meg Z sőrőségfüggvényét, várható értékét és szórásnégyzetét! 2. Véletlenszerően választunk egy szót az alábbi mondatból: EGY TEVE LEGEL A KERTBEN. Feladatunk az, hogy kitaláljuk a szó hosszát úgy, hogy a tényleges és a tippelt szóhossz közötti eltérés négyzetének várható értéke minimális legyen. Hogyan tippelünk, ha valaki megsúgta a szóban szereplı e -betők számát? Hogyan tippelünk, ha valaki megsúgta a szóban szereplı e -betők számát, de ennek csak lineáris függvényét használhatjuk? 3. Legyenek X és Y függetlenek, t illetve s paraméterő Poisson eloszlásúak. Számoljuk ki X és X +Y korrelációs együtthatóját! 4. Két tetraéder alakú kockát feldobunk (a lapok 1-tıl 4-ig vannak megszámozva). Jelölje X a kisebb, Y pedig a nagyobb dobás eredményét ha mindkét dobás eredménye k, akkor legyen X = Y = k. Számítsuk ki, hogy E(XY) mennyivel tér el az E(X)E(Y) szorzattól! 5. Kockával n-szer dobunk. Jelölje X a dobott hatosok, Y pedig a dobott páratlan számok számát. Adjuk meg X és Y együttes eloszlását, és a korrelációs együtthatójukat! 6. Egy urnában négy cédula van, egy-egy piros, kék, fehér és sárga. Visszatevés nélkül egymás után kihúzzuk ıket. Jelölje X azt, hogy hányadiknak húztuk a pirosat, Y pedig azt, hogy hányadiknak húztuk a kéket. Számoljuk ki X és Y korrelációs együtthatóját! 7. A fogorvosnál egy tömés 15, egy húzás 3 percet vesz igénybe. A Pista bácsi elıtt várakozók mindegyikének 1/5 valószínőséggel kihúzzák, 4/5 valószínőséggel betömik a fogát. A várakozók száma Poisson(10) eloszlású. Várhatóan mennyi ideig kell Pista bácsinak várakoznia?

7 8. Egy dobozban az 1, 2, 3, 4 feliratú 4 cédula van. Visszatevéssel húzunk, amíg 4-es nem kerül a kezünkbe. Határozzuk meg a kihúzott számok összegének várható értékét! 9. Legyen π egy permutáció. π inverzióinak száma azon i<j párok száma, amelyek sorrendjét π megfordítja. Jelölje X az inverziók számát egy véletlen permutációban! E(X) =? 10. Egy csoportban 25-en tanulnak. Tegyük fel, hogy a tanulók születésnapjai függetlenek és az év tizenkét hónapjában egyenletes eloszlásúak. Számítsuk ki azon hónapok számának várható értékét és szórásnégyzetét, amelyekre egy születésnap sem esik. Programtervezı matematikus szak II. évfolyam, valószínőségszámítás 8. feladatsor 1. Véletlenszerően választunk egy (X,Y) pontot a (0,0), (1,0) és (0,1) csúcspontokkal megadott háromszögben. R(X,Y) =? 2. Szeretnénk X és Y normális eloszlású valószínőségi változókat elıállítani adott várható értékekkel, szórásokkal és korrelációval. Hogyan tehetjük ezt meg, ha számítógépünk csak független standard normálisokat tud generálni? 3. Legyenek az X i valószínőségi változók függetlenek és azonos eloszlásúak. Közös sőrőségfüggvényük c x, ha x [ 1/ 2,1/ 2], f ( x) = 0 egyébként. Határozzuk meg c értékét, és becsüljük meg a P(X X 100 > 15) valószínőséget a Csebisevegyenlıtlenséggel! 4. Egy termék akkor fogadható el, ha a hossza 8,8 és 9,4 közé esik. A gépünk 9,1 várható értékő termékeket gyárt (tegyük fel, hogy a hossz normális eloszlású). Mekkora lehet a szórás, ha azt akarjuk, hogy a termékek legalább 90%-a jó legyen? És ha nem tudjuk, hogy a hossz normális eloszlású? 5. Legyen X n a fejek száma egy n hosszú pénzérme dobássorozatban. Milyen nagyságrendő becslés adódik a P(X n /n > 0,6) valószínőségre a Csebisev egyenlıtlenségbıl, illetve a P(X n X n > 0,6n) = ( n 0,6 P,5 1,5 ) 1 > azonosságból és a Markov egyenlıtlenségbıl? 6. Legyenek az X i valószínőségi változók függetlenek, és 4 paraméterő Poisson eloszlásúak. Mihez konvergál (X X n )/(X X n 2 )? 7. Legyenek az X i valószínőségi változók függetlenek, és p paraméterő indikátor eloszlásúak. Mihez konvergál (X X n 5 )/n? 8. Egy szabályos dobókockát dobálva, jelölje X i az i-dik dobás eredményét. Mihez konvergál (X X n 2 )/n? Mihez tart a dobások mértani közepe? 9. Számítsuk ki a következı nevezetes eloszlások karakterisztikus függvényét: indikátor, binomiális, Poisson, egyenletes, exponenciális.