Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikai elemz szakirány

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikai elemz szakirány"

Átírás

1 Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikai elemz szakirány Játékszabályok Max gyakorlatról lehet hiányozni aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:. ZH a félév közepén 50 pont:. ZH a félév végén x pont: szorgalmi feladatok a pótzh-ig lehet beadni/beküldeni Mindkét ZH-n minimálisan 0 %-ot, azaz 5 pontot kell teljesíteni. Ha egy ZH sikertelen, nem írod meg, vagy javítani szeretnél, akkor vizsgaid szak els hetén lesz lehet ség a pótzh megírására vagy a javításra. Csak az egyik ZH anyagából javíthatsz, és a jobbik eredményt veszem gyelembe, azaz nem lehet rontani. Két sikertelen vagy meg nem írt ZH esetén gyakuv-t írsz, és maximum kettest kaphatsz. A ZH-kon használható: kell en buta, hagyományos számológép ( mobiltelefon) és egy A-es lapra (akár mindkét oldalára) KÉZZEL írott "puska". -es: 0,99 -es: 5 9,99 Osztályozás: -as: 50 6,99 -es: 65 79,99 5-ös: 80 0 Infók a gyakorlatvezet r l Név Varga László Tanszék Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék (ELTE TTK) Szoba D -09 vargal@cs.elte.hu Honlap vargal.elte.hu Ajánlott irodalom mindegyik példatár Bognárné Mogyoródi Prékopa Rényi Szász: Valószín ségszámítási feladatgy jtemény Denkinger Géza: Valószín ségszámítási gyakorlatok Arató Prokaj Zempléni: Valószín ségszámítás elektronikus jegyzet: elte.prompt.hu/sites/default/files/tananyagok/valszam/zempleni.pdf.) Egy urnában fehér, zöld és piros golyó van. Egymás után kiveszük golyót az urnából. Mik lesznek a kísérlet lehetséges kimenetelei (azaz az eseménytér elemei), ha a golyók kihúzásának sorrendjét a.) gyelembe vesszük; b.) nem vesszük gyelembe. Határozzuk meg az elemi események valószín ségét!.) számozott érmével dobunk, majd még annyi érmével, ahány fejet az els két érmével kaptunk. Mik lesznek az eseménytér elemei? Határozzuk meg az elemi események valószín ségét!.) Tegyük fel, hogy egy irodában titkárn dolgozik. Jelentse A i azt az eseményt, hogy az i-edik titkárn megbetegszik (i =,, ). Fejezzük ki az A i események segítségével a következ események valószín ségét: a.) az els titkárn megbetegszik; b.) csak az els titkárn betegszik meg; c.) mindhárom titkárn megbetegszik; d.) legalább titkárn megbetegszik; e.) legalább titkárn megbetegszik..) Aritmethiában az autók rendszámai ötjegy számok és között. Ezek közül találomra választunk egyet. Mennyi a valószín sége, hogy a.) van 6 a jegyek között; b.) minden számjegy különböz ; c.) minden számjegy egyforma; d.) csak két számjegy egyezik meg; e.) három, illetve kett számjegy megegyezik? 5.) A német labdarúgó válogatott edzésének megkezdése el tt, az edzésen résztvev 0 mez nyjátékost két csoportba osztják. Mi annak a valószín sége, ha találomra történik a szétosztás a két 0-es csoportba, hogy Schweinsteiger és Özil egymás ellen játszik? 6.) Mintavétel. Adott N különböz termék, amik között van M selejtes. Veszünk n elem mintát a.) visszatevés nélkül; b.) visszatevéssel. Mennyi a valószín sége, hogy az n termékb l pontosan k selejtest sikerült kiválasztanunk, amennyiben számít a kihúzás sorrendje? 7.) Egy magyarkártya-csomagból visszatevéssel húzunk lapot. a.) Írjuk fel az eseményteret! b.) Milyen eséllyel húzunk pontosan egy piros szín lapot? c.) Milyen eséllyel húzunk legalább egy piros szín lapot? 8.) Tekintsük egy lottóhúzás (5-ös lottó) eredményét. a.) Írjuk fel az eseményteret! b.) Milyen eséllyel lesz két találatom? c.) Milyen eséllyel lesz legalább két találatom? 9.) Adjuk meg annak a valószín ségét, hogy egy totószelvényt vaktában kitöltve, a mérk zés eredménye közül éppen -et találunk el! 0.) Bertrand-paradoxon, 889. Tekintsünk egy kört és válasszuk ki találomra az egyik húrját. Mennyi annak a valószín sége, hogy a húr hosszabb, mint a körbe írt szabályos háromszög oldala?.) Egy R sugarú körbe szabályos háromszöget írunk. Mi a valószín sége, hogy a körlapon véletlenül kiválasztva egy pontot, az a szabályos háromszög belsejébe fog esni?.) A (0, ) intervallumot felosztjuk két véletlenül rádobott pont segítségével részre. Mennyi a valószín sége, hogy a.) mindhárom szakasz hossza rövidebb -nél;

2 b.) a szakaszból háromszög alkotható; c.) a legrövidebb szakasz hossza rövidebb 5 -nél? SZ.) Egy urnában 50 cédula van, rajtuk az,,..., 50 számok. Orsi kivesz az urnából 5 cédulát. Határozd meg annak a valószín ségét, hogy a kihúzott cédulákon lév számok között legalább 5 osztható 7-tel, ha Orsi a kihúzott cédulákat minden húzás után ha Orsi a.) visszateszi; b.) nem teszi vissza. (p) SZ.) Három egyforma rúd mindegyikéb l találomra letörnek egy-egy darabot. Mi a valószín sége, hogy a három szakaszból háromszöget lehet szerkeszteni? (p).) Egy tagú osztályban a diákok angolt, németet vagy franciát tanulhatnak. Tudjuk, hogy angolul 0-an tanulnak, németül -en, franciául pedig 9-en. Angolul és németül egyszerre 5-en, németül és franciául egyszerre -an, angolul és franciául -en, és senki nem tanulja mind a három nyelvet. Mekkora a valószín sége annak, hogy egy véletlenszer en választott tanuló legalább az egyik idegen nyelvet tanulja?.) Egy hattagú társaság az étteremben három pacalpörköltet, két mátrai borzas csirkemellet, és egy böllér tálat rendel. A pincér a megrendelt ételeket véletlenszer en osztja szét. Mennyi a valószín sége, hogy a.) mindenki azt kapja, amit rendelt; b.) senki sem azt kapja, amit rendelt? 5.) Gerike a Kinder csokoládéban lév új játékokat, 'Shali baba' gurákat gy jt. 0 különböz fajta ilyen baba van, mindegyik Kinder csokoládéba a 0 gura közül véletlenszer en kerül egy. Gerike nagymamája tudja, hogy ez a gyerek álma, ezért karácsonyra a Jézuskától 0-at rendel a kisúnak. Tegyük fel, hogy Gerikének még nincs otthon Shali babája. Mennyi a valószín sége, hogy Gerike mind a 0-féle Shali babát begy jti? 6.) Mennyi a valószín sége, hogy 0 ember közül van olyan hónap, amelyikben egyikük se született? 7.) Legyen (Ω, A, P ) valószín ségi mez, ahol Ω =,,, } és A = Ω. Rendeljünk az elemi eseményekhez olyan valószín ségeket, hogy az A =, }, B =, }, C =, } események páronként függetlenek legyenek, de ne legyenek teljesen függetlenek! 8.) Egy k gyerekes családnál (k ) a ú- és lánygyerek születésének valószín sége minden gyereknél megegyezik. Tekintsük a következ eseményeket: A k : a családban legfeljebb lány van; B k : minden gyerek egyforma nem ; C k : legalább egy gyerek ú. Milyen k-ra lesz a.) A k és B k független; b.) B k és C k független; c.) A k, B k és C k teljesen független? 9.) Milyen n>-re lesz független az a két esemény, hogy a.) A: n érmedobásból van fej és írás is, valamint B: legfeljebb egy írás van; b.) A: n érmedobásból van fej és írás is, valamint B: az els dobás fej? 0.) Két kockával dobunk. Tekintsük a következ három eseményt: A: dobtunk -est; B: az összeg 7; C: dobtunk 6-ost Mely eseménypárok függetlenek? Igaz-e, hogy a három esemény teljesen független?.) Osztozkodási probléma, 9. Hogyan osztozzon az 600 forintos téten két játékos, ha :-es állásnál félbeszakadt a k gy zelemig tartó mérk zésük? Tegyük fel, hogy az egyes játékok egymástól függetlenek, az els játékos p valószín séggel nyerhet az egyes játékoknál. Oldjuk meg a feladatot a következ esetekben: a.) k = ; p = / b.) k = ; p = /.) Aladár és Béla pingpongoznak. Minden labdamenetet, egymástól függetlenül, / valószín séggel Aladár, / valószín séggel Béla nyer meg. A jelenlegi állás 0:9 Béla javára. Mennyi annak a valószín sége, hogy a meccset mégis Aladár nyeri meg? Az nyer, akinek sikerül legalább két pontos el ny mellett legalább pontot szerezni. SZ.) Pisti feldob egy (szabálytalan) érmét 0-szer egymás után, a fej valószín sége p. Nézzük a következ eseményeket: A: a dobott számok között nyolc fej van; B: a negyedik dobás eredménye írás. Van-e olyan p, amire A és B események függetlenek egymástól? (p) SZ.) Egy százszemélyes repül gépen száz ember utazik úgy, hogy mindenkinek van el re kiosztott helye. Az els utas ezzel nem tör dve véletlenszer en leül a száz közül egy helyre. Ezután minden utas a saját helyére próbál leülni, vagy ha az foglalt, véletlenszer en választ egy másikat. Mennyi a valószín sége annak, hogy a századik utas a helyére ül, ha egyszerre csak egy ember foglal helyet? (p).) Mennyi a valószín sége, hogy két kockadobásnál mind a két dobás 6-os, azzal a feltétellel, hogy legalább az egyik dobás 6-os?.) Négyen l nek egymás után egy céltáblára. A résztvev k találati valószín ségei egymástól függetlenül, sorrendben,, és. Ketten érnek el találatot. Mi a valószín sége, hogy a második hibázta el a lövést? 5.) Három különböz kockával dobunk. Mekkora a valószín sége, hogy az egyik kockával 6-ost dobunk, feltéve, hogy a dobott számok összege? 6.) Egy érmével annyiszor dobunk, mint amennyi egy szabályos kockadobás eredménye. Mi a valószín sége, hogy nem kapunk fejet? 7.) 00 érme közül 0 cinkelt, ezeknél csak / a fejdobás valószín sége. Egy érmét kiválasztva és azzal 0-szer dobva, k fejet kaptunk (k = 0,,..., 0). Ezen feltétellel mi a valószín sége, hogy a hamis érmével dobtunk? 8.) Egy diák a vizsgán p valószín séggel tudja a helyes választ. Amennyiben nem tudja, akkor tippel, és / a jó válasz esélye. Feltesszük, hogy a diák tudása biztos (azaz ha tudja a választ, akkor az jó is). Határozd meg p értékét, ha /5 annak a valószín sége, hogy amennyiben helyesen válaszolt, tudta is a helyes választ! 9.) Vándorlásai közben Odüsszeusz egy hármas útelágazáshoz ér. Az egyik út Athénbe, a másik Spártába, a harmadik Mükénébe vezet. Az athéniek keresked népség, szeretik ámítani a látogatókat, csak minden. alkalommal mondanak igazat. A mükénéiek egy fokkal jobbak: k csak minden második alkalommal hazudnak. A szigorú spártai neveltetésnek köszönhet en a spártaiak becsületesek, k mindig igazat mondanak. Odüsszeusznak fogalma sincs, melyik út merre vezet, így feldob egy kockát, egyenl esélyt adva mindegyik útnak. Megérkezve a városba, megkérdez egy embert, mennyi

3 , mire közlik vele, hogy. Mi a valószín sége, hogy Odüsszeusz Athénba jutott? 0.) Egy játékos annyiszor l het egy léggömbre, ahány hatost dobott egymás után egy dobókockával. Például ha els re hatost, másodikra kettest dob, akkor egyszer l het. Mennyi a valószín sége, hogy szétlövi a léggömböt, ha minden lövésnél /000 valószín séggel talál?.) Két érmét dobálunk egyszerre, ezt addig ismételgetjük, amíg mindkett vel fejet nem kapunk. Amennyiben tudjuk, hogy párosadik alkalomra adódott el ször a dupla fej, akkor mi a valószín sége, hogy a kísérlet befejezése el tt csupa írást kaptunk? SZ5.) Egy hamis érmét addig dobálunk, amíg fejet nem kapunk. Annak a valószín sége, hogy páros sokszor kell dobnunk, harmad akkora, mint annak, hogy páratlan sokszor. Mekkora a fejdobás valószín sége? (p) SZ6.) Egy dobozban cédulák vannak, melyekre a,,,,,, 6, 8, 8, 9 számokat írtuk fel (minden cédulán szám található). Marcsi visszatevés nélkül kihúz két cédulát. Annyit árult el, hogy a céduláin lév számok párosak. Határozd meg annak a valószín ségét, hogy kihúzta a -est! (p).) Legyen Ω = ω, ω, ω, ω } eseménytér, A =, Ω, ω }, ω, ω, ω }}. Az alábbi függvények valószín ségi változók (Ω, A)-n? a.) X(ω i }) = i + 0 (i =,,, ); b.) X(ω }) = π, X(ω }) = X(ω }) = X(ω }) = e; c.) X(ω i }) = i (i =,,, ); Amennyiben valamelyik nem valószín ségi változó, határozd meg azt a legsz kebb F σ-algebrát, hogy (Ω, F)-en már valószín ségi változó legyen!.) Legyenek A, B, C, D, egy szabályos tetraéder csúcsai. Egy légy az A csúcsból indulva sétál a tetraéder élein, mégpedig minden csúcsból véletlenszer en választva a lehetséges három irány közül. Jelölje X azt a valószín ségi változót, hogy A-ból indulva, hányadikra érünk vissza el ször A-ba. Írjuk fel X eloszlását! Mutassuk meg, hogy ez valóban valószín ségi eloszlás!.) Adjuk meg annak a valószín ségi változónak az eloszlását, ami egy hatgyermekes családban a úk számát adja meg. Tegyük fel, hogy mindig - a úk, ill. a lányok születési valószín sége, és az egyes születések függetlenek egymástól. 5.) Határozd meg X eloszlását, ha X: hagyományos lottóhúzásnál (90/5) a a.) találatok száma; b.) -mal oszthatók száma; c.) legnagyobb kihúzott szám; d.) k-adik legnagyobb kihúzott szám (k =,..., 5). Mutassuk meg, hogy ezek valóban valószín ségi eloszlások! 6.) Háromszor olyan valószín, hogy egy évben két ember öli magát a Dunába, mint az, hogy öt. Mi a valószín sége, hogy egy évben legfeljebb egy ember lesz így öngyilkos? 7.) Egy sportlöv p valószín séggel talál el egy léggömböt. Mi lövései számának eloszlása, ha az a.) els ; b.) ötödik találatig l? SZ7.) Legyen Ω = ω,..., ω n } eseménytér, A Ω σ-algebra. Mutasd meg, hogy c R esetén X(ω i }) = c (i =,..., n) valószín ségi változó (Ω, A)-n! (p) SZ8.) Egy villamosszerelvény három kocsijába utas száll fel, mindegyik találomra választott kocsiba lép be. Legyen X: az üresen maradt kocsik száma. Határozd meg X eloszlását, és mutasd meg, hogy az valóban valószín ség-eloszlás! (p) 8.) Számítsuk ki a kockadobás várható értékét és szórását, ha a.) a kocka szabályos; b.) a kocka szabálytalan: két -es, három -es, egy 6-os van rajta. 9.) Egy sorsjátékon darab Ft-os, 0 db Ft-os, és 00 db 000 Ft-os nyeremény van. A játékhoz db sorsjegyet adtak ki. Mennyi a sorsjegy ára, ha egy sorsjegyre a nyeremény várható értéke megegyezik a sorsjegy árával? 0.) Jelölje X az ötöslottón kihúzott lottószámoknál a párosak számát. Adjuk meg X várható értékét és szórását!.) Két kockával dobunk. Egy ilyen dobást sikeresnek nevezünk, ha van 6-os a kapott számok között. Várhatóan hány sikeres dobásunk lesz n próbálkozásból?.) Egy 00 oldalas könyvben 0 sajtóliba található véletlenszer en elszórva. a.) Mennyi a valószín sége, hogy a 00. oldalon több, mint egy ajtóhiba van? b.) Hány sajtóhuba a legvalószín bb a 00. oldalon? c.) Mennyi a valószín sége, hogy a. és a. oldalon együtt több, mint két hajtóhiba van?.) n darab dobókockát egyszerre feldobunk. a.) Hány dobókocka esetén lesz a legnagyobb annak a valószín sége, hogy a kapott számok között pontosan egy hatos van? b.) Várhatóan mennyi lesz a dobott számok összege?.) Átlagosan hányat kell dobnunk a.) egy érmével, amíg fej és írás is lesz a dobások között? b.) egy kockával, amíg minden szám kijön? c.) egy kockával, amíg minden páros szám kijön? 5.) Legyen X binomiális eloszlású valószín ségi változó, amir l ismertek: EX = 8, DX =. Határozd meg a P (X < 6) valószín séget! SZ9.) Egy szerencsejátékot igazságosnak hívunk, ha a nyeremény várható értéke megegyezik a játékon való részvétel árával (sorsjegy, lottószelvény stb. ára). Vizsgáld meg, vajon a magyar ötöslottó igazságos-e! Útmutatás: nézz utána (internet) az aktuális heti nyereményösszegeknek és a lottószelvény aktuális árának! (p) SZ0.) Az,,..., n} számhalmaz összes részhalmazai közül r-szer választunk találomra. A kiválasztott részhalmazokat jelölje A,..., A r. Az X valószín ségi változó r legyen A i elemszáma. EX =? (p) i= 6.) Írd fel és ábrázold az eloszlásfüggvényt, ha X a.) indikátorváltozó p = / paraméterrel; b.) egy olyan kockadobás eredménye, ahol a kockán egy -es, két -es és három 5-ös van.

4 7.) Lehetnek-e egy X valószín ségi változó eloszlásfüggvényei a következ függvények? Ha igen, akkor van X-nek s r ségfüggvénye? Jelölje [x] az x szám egészrészét. 0 ha x 0 0 ha x 0 a.) F (x) = tg x ha 0 < x π c.) F (x) = 6 ha π 6 < x ( ha < x 6 8 b.) F (x) = x) ha x > 6 d.) F (x) = 0 ha x 0 8.) Legyen F (x) = cx ha 0 < x, ahol c valós paraméter. ha < x a.) Mely c értékek esetén lesz F (x) eloszlásfüggvény? b.) P ( < X < ) =? P (X ) =? c.) Mely c-re létezik s r ségfüggvény? Határozd meg! EX =? DX =? [x] ha 0 < x exp(x ) } ha x ha < x 0 ha x 9 9.) Legyen F (x) = a x + b ha 9 < x 6, ahol a és b valós paraméterek. ha 6 < x a.) A paraméterek mely értékeire lehet F az X valószín ségi változó eloszlásfüggvénye? b.) P (8 < X < ) =? P (X < 9) =? P (X 9) =? c.) A paraméterek mely értékeire lesz F abszolút folytonos? Határozd meg ekkor a s r ségfüggvényt, valamint X várható értékét és szórását! c sin x ha x ( ) 0, 50.) π Mely c-re lesz s r ségfüggvény f(x) =? 0 egyébként cx 5.) ha 0 < x < Legyen X s r ségfüggvénye a következ : f(x) = a.) Határozd meg a c értékét és X eloszlásfüggvényét! b.) P (X < 0, 5) =? P (X < 0, 5) =? P (X <, 5) =? c.) D (X) =? x ha 0 < x < 5.) Legyen X s r ségfüggvénye a következ : f(x) = 6 ha < x < c a.) c =? F (x) =? P (X > ) =? P (X = e) =? b.) E(X) =? D(X) =? 5.) Véletlenszer en választunk egy pontot az x + y < 5 kör belsejében. Jelölje Z a távolságát a középponttól. Adjuk meg Z eloszlás- és s r ségfüggvényét, valamint várható értékét! 5.) Legyenek X N(, ) és X N(, ) függetlenek. a.) P ( X < ) =? b.) Számítsuk ki b értékét, hogy P (X b) = 0, 7 teljesüljön! c.) P ( X X > 0 ) =? 55.) Tegyük fel, hogy az egyetemisták IQ teszten elért eredménye normális eloszlású 05 várható értékkel és 0 szórással. Mi a valószín sége, hogy valaki 0-nál több pontot ér el a teszten? 56.) Mennyi garanciát adjunk, ha azt szeretnénk, hogy termékeink legfeljebb 0%-át kelljen garanciaid n belül javítani, ha a készülék élettartama 0 év várható érték és év szórású normális eloszlással közelíthet? 57.) Egy vállalatnál a szellemi foglalkozásúak teszik ki a dolgozók 60%-át, az zetésük eloszlása (ezer Ft-ban) Z + 50, ahol Z Exp ( 00) ; a zikai dolgozóé pedig Y + 00, ahol Y Exp ( 00). a.) Mi az esélye, hogy egy véletlenszer en kiválasztott szellemi foglalkozású többet keres 50 ezer Ft-nál? b.) Egy véletlenszer en kiválasztott dolgozó átlagosan mennyit keres? SZ.) Adjuk meg a lottón kihúzott öt szám közül a legnagyobb eloszlásfüggvényének az értékét a 5 helyen! (p) SZ.) A c valós állandó mely értékére lehet az f(x) = c e x (x R) s r ségfüggvény? EX =? (p) 58.) Legyen X diszkrét valószín ségi változó az alábbi eloszlással: P (X = i) = 6, ahol i =,, 0,,,. a.) Határozd meg Y = X eloszlását és várható értékét! Igaz-e, hogy E(X ) = (EX)? ) = EX? b.) Igaz-e, hogy E ( X 59.) Határozd meg Y = log(x) s r ségfüggvényét, ha X valószín ségi változó a.) exponenciális eloszlású; b.) egyenletes eloszlású az (a, b) intervallumon. 60.) Legyen X E(, ) és Y = X. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! Igaz-e, hogy E( X ) = EX? 6.) Legyen X N(, ) és Y = X 5. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! 6.) Legyen X N(0, ). Adjuk meg a.) Y = σx + m, ahol σ > 0 és m valós számok; b.) Y = X. s r ségfüggvényét és várható értékét. P (Y < ) =? 6.) Egy egységnégyzetb l válasszunk ki egy tetsz leges pontot, jelölje X és Y a kiválasztott pont két koordinátáját. a.) U = X + Y b.) U = log(xy ) Határozd meg U eloszlás-, s r ségfüggvényét és várható értékét! SZ.) Legyen X E (, ) és Y = tgx. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! (p) SZ.) Legyen X N(, ) és Y = X +X +. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! (p)

5 A standard normális eloszlásfüggvény táblázata x Φ(x) = x π e t dt Φ( x) = Φ(x) 6.) Egy dobozban az,,, feliratú cédula van. Addig húzunk visszatevéssel a dobozból, míg -es nem kerül a kezünkbe. Határozzuk meg a kihúzott számok összegének a várható értékét! 65.) Egy dobozban cédula van, rajtuk az,, számok. Addig húzunk visszatevéssel a dobozból, míg -est nem kapunk. Határozzuk meg a kihúzott számok szorzatának várható értékét! 66.) Egy bányász a bánya egyik termében rekedt, ahonnan öt út nyílik. Az egyik egy három perces út végén a szabadba vezet. A többi négy közül kett út esetén öt, másik kett esetén pedig hét percnyi séta után visszatér ugyanebbe a terembe. A bányász teljesen össze van zavarodva, minden alkalommal a többi választásától függetlenül egyenl valószín séggel választ egyet az utak közül. Legyen X a szabadba jutáshoz szükséges id. Mennyi X várható értéke? 67.) Egy szabályos kockát addig dobálunk, amíg a 6 és 5 számot nem kapjuk két egymás utáni dobás eredményeként. Adjuk meg a szükséges dobások számának várható értékét! 68.) Egy érmével addig dobunk, amíg az FF sorozat megjelenik. Átlagosan mennyit (hány dobásnyit) kell erre várnunk? 69.) Egy érmével addig dobunk, amíg az FFI vagy az FIF sorozat megjelenik. Mennyi a valószín sége, hogy FFI jön el bb? Mennyit dobunk átlagosan? SZ5.) Egy kockával addig dobunk, amíg valamelyik korábban dobott szám ismételten el fordul. Határozd meg a szükséges dobásszám várható értékét! (p) SZ6.) Egy érmével addig dobunk, amíg k hosszúságú fejsorozat vagy s hosszúságú írássorozat nem adódik. Mennyit dobunk átlagosan? (p) 70.) Az Y és X valószín ségi változók együttes eloszlását a következ táblázat mutatja. X\Y X peremeloszlása Y peremeloszlása a.) Töltsd ki a táblázatot, ha EX = 7 és EY = 5! b.) X és Y függetlenek egymástól? Amennyiben nem, határozd meg a korrelációjukat! c.) Add meg (X, Y ) T valószín ségi vektorváltozó kovariancia mátrixát és korrelációs mátrixát! d.) P (X < 7 Y < ) =? e.) E(Y X = 0) =? 7.) Az X és Y valószín ségi változók együttes eloszlását a következ táblázat mutatja. Y \X 0 Y peremeloszlása X peremeloszlása

6 Határozd meg X és Y eloszlását, várható értékét, szórásnégyzetét! Függetlenek-e egymástól? Amennyiben nem, határozd meg a korrelációjukat! 7.) Legyen X és Y független, azonos eloszlású. Tegyük fel azt is, hogy véges szórásúak. R(X, ax + by ) =? 7.) Egy dobozban 0 piros, 0 fehér, 0 zöld, 0 kék cédula van, mindegyik -t l 0-ig számozva. Visszatevéssel húzunk kétszer. Legyen X a pirosak száma a kihúzottak között; Y a kékek száma; Z a 0-esek száma. Határozd meg a.) X és Y ; b.) X és Z együttes eloszlását és korrelációját! 7.) Egy szabályos kockával dobunk. Jelölje X a dobott számot, Y pedig azt, hogy a dobott szám hárommal osztva milyen maradékot ad. R(X, Y ) =? 75.) Egy szabályos érmét kétszer feldobunk. Legyen X értéke, ha az els dobás fej, és 0, ha írás. Legyen Y értéke, ha a második dobás fej, és 0, ha írás. Mutassuk meg, hogy X + Y és X Y korrelálatlanok, de nem függetlenek! 76.) Egy dobozban 5 piros és 5 kék golyó van, amib l 00-szor húzunk visszatevéssel. Jelölje X az els 50, Y az els 75, Z pedig az utolsó 0 húzásból a pirosak számát. Határozzuk meg X + Z és Y korrelációs együtthatóját! 77.) 00-szor húzunk visszatevéssel egy olyan dobozból, amelyben piros és fehér golyó van. X jelentse a kihúzott piros golyók számát az els 50, Y pedig az els 0 kísérletben. R(X, Y ) =? 78.) Egy kockát 0-szer feldobunk. X a dobott 6-osok száma, Y a dobott páratlan számok száma. Határozzuk meg X és Y korrelációs együtthatóját! 79.) Egy tízemeletes ház földszintjén 5 ember száll be a liftbe. Mindenki a többiekt l függetlenül /0 eséllyel száll ki az egyes emeleteken. Mennyi a megállások számának várható értéke és szórása? 80.) Mely c valós paraméter esetén lesznek kétdimenziós s r ségfüggvények az alábbiak? Adjuk meg az együttes eloszlásfüggvényt, valamint a perems r ségfüggvényeket! P ( X >, Y < ) =? Független X és Y? R(X, Y ) =? cxy ha (x, y) (0, ) a.) f(x, y) = c(x + y) ha x (0, ) b.) f(x, y) = c.) f(x, y)=ce x +y, (x; y) R x d.) f(x, y) = e y < x < c és 0 < y 8.) U és V valószín ségi változókról a következ ket tudjuk: R(U, V ) = 0, 75; EU = ; EV = 6; D(U) = D(V ) =. Becsüld alulról a P (7 < U + V < ) valószín séget! 8.) Hamis érmével dobunk, a fej valószín sége 0,5. a.) Becsüljük meg a Csebisev-egyenl tlenséggel, majd a centrális határértéktétel segítségével is annak a valószín ségét, hogy 0 ezer dobásból legalább 550 fej! b.) Hányszor kell dobni, hogy a fejek relatív gyakorisága legalább 97,5 %-os valószín séggel több legyen, mint 0,505? 8.) Egy életbiztosító társaságnak 0000 biztosítottja van, tegyük fel, hogy k egyforma korúak és egészség ek. % annak a valószín sége, hogy egy ilyen személy az év folyamán meghal. Minden biztosított az év elején ezer Ft-ot zet be, halála esetén pedig hozzátartozói millió Ft-ot kapnak a biztosítótól. Mi a valószín sége, hogy a biztosító egy évben ezen biztosításra vonatkozóan nem lesz veszteséges? 85.) Legalább hány embert kell megkérdezni egy közvéleménykutatásnál, ha egy adott párt támogatottságát (az eltérést a várható támogatottságtól) legalább 95%-os valószín séggel 0,0nél kisebb eltéréssel szeretnénk megbecsülni? a.) Számoljunk a Csebisev-egyenl tlenséggel. b.) Számoljunk a normális eloszlással. 86.) Egy dobókockát 70-szor feldobunk. A centrális határeloszlástétel alkalmazásával határozzuk meg annak a valószín ségét, hogy a dobott 6-osok száma legalább 0, de 0-nél kisebb! 87.) Egy dobozban cédula van, rajtuk a -,0,, számok. 9-szer húzunk visszatevéssel a dobozból. A centrális határeloszlástétel alkalmazásával határozzuk meg annak a valószín ségét, hogy a kihúzott számok összege legalább 08, de 6-nél kisebb! 88.) X i -k (i =,,...) független val. változók Hova konvergál és hogyan? a.) X i Ind(p) X X5 n n X +...+X n n b.) X i : az i-edik kockadobás eredménye c.) X i Exp() e X +...+e Xn 89.) Számítsuk ki a következ mennyiséget: lim n n n e n k=0 SZ9.) Egy szabályos kockát dobálunk. Hova tart és milyen értelemben a dobott számok mértani közepe? (p) SZ0.) Számítsuk ki n elem találomra választott permutációjában az m hosszú ciklusok számának eloszlását! Mihez tart ez az eloszlás n esetén? (p) Útmutatás: használd a Jordán-formulát! n k k! SZ7.) Legyen (X, Y ) diszkrét valószín ségi vektorváltozó, mely értéket vesz fel azonos valószín séggel: ( ; 0, 5), (0; ), (;, 5). R(X, Y ) =? Meglep -e az eredmény és miért? (p) SZ8.) Tegyük fel, hogy X, X,... azonos eloszlásúak, R(X i, X j ) = r i j esetén. Bizonyítsuk be, hogy r 0! (p) 8.) Megadható-e olyan 0 várható érték és szórású valószín ségi változó, amelyre P ( X ) 0, 5? 6

Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikatanári szak

Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikatanári szak Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikatanári szak Játékszabályok Max -szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap aláírást. 00 + x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:. ZH a félév

Részletesebben

Valószín ségszámítás 1 gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány

Valószín ségszámítás 1 gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány Valószín ségszámítás gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány Játékszabályok Max 3 gyakorlatról lehet hiányozni aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00 + x pontot lehet szerezni a félév során:

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Játékszabályok 0 + x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:. ZH a félév közepén 50 pont:. ZH a félév végén

Részletesebben

3. Egy fiókban 10 egyforma pár kesztyű van. Találomra kiveszünk négy darabot.

3. Egy fiókban 10 egyforma pár kesztyű van. Találomra kiveszünk négy darabot. Alkalmazott matematikus bsc Valószínűségszámítás 1 2016/2017. őszi félév 1. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott hatjegyű szám jegyei mind különbözőek? 2. Feldobunk egy szabályos

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak Játékszabályok Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00 +

Részletesebben

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC

Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Játékszabályok Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 100 + x pontot lehet szerezni a félév

Részletesebben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben 1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb

Részletesebben

1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos?

1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? Valószínűségszámítás, földtudomány alapszak, 2015/2016. őszi félév 1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? 2. Két tizenhárom fős vízilabdacsapat mérkőzik

Részletesebben

Házi feladatok. Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz

Házi feladatok. Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz Házi feladatok Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz A házi feladatok tartalmaznak könnyebb és nehezebb példákat is ugyanannyi pontért. A feladatokhoz készítettem

Részletesebben

A sztochasztika alapjai. Szorgalmi feladatok tavaszi szemeszter

A sztochasztika alapjai. Szorgalmi feladatok tavaszi szemeszter A sztochasztika alapjai Szorgalmi feladatok 2011. tavaszi szemeszter 1. feladat Feldobunk egy kockát és egy pénzérmét. Írjuk fel az eseményteret! 2. feladat Egy kockát ötször egymás után feldobunk. Jelöljük

Részletesebben

Valószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019.

Valószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019. Valószín ségszámítás Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2018/2019. szi félév A valószín ségszámítás kurzus céljai a statisztika megalapozása: a véletlen

Részletesebben

Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel. a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel. a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Mutassuk meg, hogy tetszőleges A és B eseményekre PA B PA+PB. Mutassuk

Részletesebben

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =

Részletesebben

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek

Részletesebben

Matematika B4 II. gyakorlat

Matematika B4 II. gyakorlat Matematika B II. gyakorlat 00. február.. Bevezető kérdések. Feldobunk egy kockát és egy érmét. Ábrázoljuk az eseményteret! Legyenek adottak az alábbi események: -ast dobunk, -est dobunk, fejet dobunk,

Részletesebben

Klasszikus valószínűségszámítás

Klasszikus valószínűségszámítás Klasszikus valószínűségi mező 1) Egy építőanyag raktárba vasúton és teherautón szállítanak árut. Legyen az A esemény az, amikor egy napon vasúti szállítás van, B esemény jelentse azt, hogy teherautón van

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

2. A ξ valószín ségi változó s r ségfüggvénye a következ : c f(x) =

2. A ξ valószín ségi változó s r ségfüggvénye a következ : c f(x) = 1 Egy dobozban hat fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd annyi piros golyót teszünk a dobozba, amennyit dobtunk Ezután véletlenszer en húzunk egy golyót a dobozból (a) Mi a valószín sége,

Részletesebben

3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy

3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny

Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val.

Részletesebben

3. gyakorlat. 1. További feladatok feltételes valószínűségekkel. 2. Független események

3. gyakorlat. 1. További feladatok feltételes valószínűségekkel. 2. Független események 3. gyakorlat Matematika A4 Gyakorlatvezetők: Vetier András, Móra Péter 2007.09., 26. 1. További feladatok feltételes valószínűségekkel 1. Információink szerint az A céggel kötött üzleteink 60%-a, a B céggel

Részletesebben

a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet?

a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet? Az els gyakorlat feladatai 1. Az 1, 3, 5, 7, 8 elemekb l hány olyan 5-jegy szám képezhet, amelyeknek a harmadik számjegye 8? 2. Az 1, 2, 3, 5, 7, 8 elemekb l hány olyan 6-jegy szám képezhet, amely 123-mal

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

0,9268. Valószín ségszámítás és matematikai statisztika NGB_MA001_3, NGB_MA002_3 zárthelyi dolgozat

0,9268. Valószín ségszámítás és matematikai statisztika NGB_MA001_3, NGB_MA002_3 zárthelyi dolgozat A 1. A feln ttkorú munkaképes lakosság 24%-a beszél legalább egy idegen nyelvet, 76%-a nem beszél idegen nyelven. Az idegen nyelvet beszél k 2,5%-a, az idegen nyelvet nem beszél k 10%-a munkanélküli. Véletlenszer

Részletesebben

1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos?

1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? Valószínűségszámítás, földtudomány alapszak, 2016/2017. őszi félév 1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? 2. Két tizenhárom fős vízilabdacsapat mérkőzik

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége

Részletesebben

Programtervezı matematikus szak II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. feladatsor

Programtervezı matematikus szak II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. feladatsor Programtervezı matematikus szak II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. feladatsor (Véges) valószínőségi mezı. Klasszikus eset vagy nem? Egy kísérlet lehetséges kimeneteleinek halmaza az eseménytér (jel.:

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

Programtervezı matematikus szak II. évfolyam, valószínőségszámítás 1. gyakorlat (2004. február )

Programtervezı matematikus szak II. évfolyam, valószínőségszámítás 1. gyakorlat (2004. február ) 1. gyakorlat (2004. február 16-21.) Totó 1. Tekintsük a következı játékot: Anna úgy rak le egy érmét az asztalra, hogy Bálint nem látja. Bálint megpróbálja kitalálni, hogy írás vagy fej van felül. Ha az

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,

Részletesebben

Gyakorlat. Szokol Patricia. September 24, 2018

Gyakorlat. Szokol Patricia. September 24, 2018 Gyakorlat (Geometriai valószínűség, feltételes valószínűség) September 24, 2018 Geometriai valószínűség 1 Az A és B helységet 5 km hosszú telefonvezeték köti össze. A vezeték valahol meghibásodik. A meghibásodás

Részletesebben

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az 1. Név:......................... Egy ABC-ben délután (5-t½ol 9 óráig) a vásárlók száma óránként 200 várható érték½u Poisson eloszlású valószín½uségi változó. A pénztáros egy vásárlót átlag 2 perc alatt

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt 1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó

Részletesebben

Gazdasági matematika 2

Gazdasági matematika 2 I. Lineáris algebra 1. Az R n tér Gazdasági matematika 2 Gyakorlati feladatsor 1.1. Tekintsük az alábbi, vektorokra vonatkozó egyenletet. Mivel egyenl az (x 1, x 2, x 3 ) vektor? 3(x 1, x 2, x 3 ) + 5(

Részletesebben

Gazdasági matematika II. tanmenet

Gazdasági matematika II. tanmenet Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):

Részletesebben

Klasszikus valószínűségi mező megoldás

Klasszikus valószínűségi mező megoldás Klasszikus valószínűségi mező megoldás Ha egy Kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek, vagyis az elemi eseményeknek azonos a valószínűségük, akkor a kísérelttel kapcsolatos

Részletesebben

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás Matematika A I. gyakorlat megoldás 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció n! n! k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen állíthatunk sorba, ha k

Részletesebben

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2? HIPERGEO. BINOM. POISSON 4.1. Egy üzletben 100-an vásárolnak, közülük 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.2. Egy üzletben

Részletesebben

1. gyakorlat. 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12?

1. gyakorlat. 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12? 1. gyakorlat 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12? 2. Egy urnában 3 lap van, az egyikre 1, a másikra 2, a harmadikra

Részletesebben

1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.

1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be. IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Várható érték 1. Egy dobozban 6 cédula van, rajtuk pedig a következő számok: (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6; (b) 1, 2, 6, 6, 6, 6;

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját! 1. Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből. Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz

Részletesebben

Eredmények, megoldások

Eredmények, megoldások Eredmények, megoldások 1. Eldobjuk egyszer a dobókockát. Mennyi a valószín½usége annak, hogy: (a) 4-est dobunk; (b) páratlan számot dobunk; (c) 4-nél nem dobunk nagyobbat; (d) legfeljebb 5-öst dobunk;

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika

Részletesebben

Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1

Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG 1. Legyen P (A) = 0, 7; P (B) = 0, 6 és P (A B) = 0, 5. Határozza meg a következő valószínűségeket! (a) B,V P (A B) 0, 8333 (b) B,V P

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

13. Egy január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt:

13. Egy január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt: A 13. Egy 2000. január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt: korcsoport (év) férfiak száma (ezer f ) n k száma

Részletesebben

Villamosmérnök A4 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások

Villamosmérnök A4 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások Villamosmérnök A 11. hét Kétdimenziós normális eloszlás, cht - Megoldások Kétdimenziós normális összefoglalás Egy kétdimenziós X, Y valószínűségi változó kovariancia mátrixa: VarX CovX, Y CovX, Y VarY

Részletesebben

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x = . Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel

Részletesebben

7! (7 2)! = 7! 5! = 7 6 5! 5 = = ből 4 elem A lehetőségek száma megegyezik az 5 elem negyedosztályú variációjának számával:

7! (7 2)! = 7! 5! = 7 6 5! 5 = = ből 4 elem A lehetőségek száma megegyezik az 5 elem negyedosztályú variációjának számával: Kombinatorika Variáció - megoldások 1. Hány kétjegyű szám képezhető a 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből. ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel? A lehetőségek száma annyi, mint amennyi 7 elem

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6 Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost

Részletesebben

(Independence, dependence, random variables)

(Independence, dependence, random variables) Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 4. MA3-4 modul A valószínűségi változó és jellemzői SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Negyedik A4 gyakorlat rövid megoldási útmutató

Negyedik A4 gyakorlat rövid megoldási útmutató Negyedik A4 gyakorlat rövid megoldási útmutató 2013. október 14. 1. Feltéve, hogy a balkezesek aránya átlagosan 1%, becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy 200 véletlenszerűen kiválasztott ember között

Részletesebben

Azaz 56 7 = 49 darab 8 jegyű szám készíthető a megadott számjegyekből.

Azaz 56 7 = 49 darab 8 jegyű szám készíthető a megadott számjegyekből. 1 Kombináció, variáció, permutáció 1. Hányféleképpen rakhatunk be 6 levelet 1 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe maximum egy levelet teszünk? Mivel egy rekeszbe legfeljebb

Részletesebben

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

3. gyakorlat. 1. Független események. Matematika A4 Vetier András kurzusa február 27.

3. gyakorlat. 1. Független események. Matematika A4 Vetier András kurzusa február 27. 3. gyakorlat Matematika A4 Vetier András kurzusa 2009. február 27. 1. Független események Az A és B események akkor és csak akkor függetlenek,ha az alábbbi négy egyenlőség teljesül: P(A B) = P(A)P(B) P(A

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Matematika BSc, elemzı szakirány, II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. gyakorlat (2008. szeptember 8.)

Matematika BSc, elemzı szakirány, II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. gyakorlat (2008. szeptember 8.) 1. gyakorlat (2008. szeptember 8.) 1. Mennyi az esélye annak, hogy az A, A, A, A, B, L, M, betőket találomra egymás mellé rakva, az ALABAMA szót kapjuk eredményül? Oldja meg ezt a feladatot a saját keresztnevével

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 9. hétre. 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy:

Feladatok és megoldások a 9. hétre. 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy: Feladatok és megoldások a 9. hétre Építőkari Matematika A3 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy: párosat dobunk? legalább 3-ast dobunk? legfeljebb

Részletesebben

(x 5) 5 = y 5 (1) 4 x = y (2) Helyettesítsük be az els egyenletbe a második alapján y helyére 4 x-et. Így (x 5) 5 = 4 x 5 adódik.

(x 5) 5 = y 5 (1) 4 x = y (2) Helyettesítsük be az els egyenletbe a második alapján y helyére 4 x-et. Így (x 5) 5 = 4 x 5 adódik. C1. A nagymamám azt gondolja, hogy egyre atalabb, hiszen 5 éve ötször annyi id s volt, mint én akkor, most pedig csak négyszer annyi id s, mint én most. a) Hány éves a nagymamám? b) Hány év múlva lesz

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5 Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi

Részletesebben

1.5 Hányféleképpen ültethetünk egy kerek asztal köré 7 embert, ha a forgatással egymásba vihető ülésrendeket azonosnak tekintjük?

1.5 Hányféleképpen ültethetünk egy kerek asztal köré 7 embert, ha a forgatással egymásba vihető ülésrendeket azonosnak tekintjük? 1 Kombinatorika Valószínűségszámítás feladatok 2016/17 tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény, ha a 8 bástyát

Részletesebben

6. Buffon problémája: egy egységnyi hosszú tűt véletlenszerűen ledobunk a síkra, ahol a szomszédaiktól

6. Buffon problémája: egy egységnyi hosszú tűt véletlenszerűen ledobunk a síkra, ahol a szomszédaiktól Klasszikus valószínűségi mező Valószínűségszámítás feladatok 1. Mekkora a valószínűsége, hogy kockával hatszor dobva mind a 6 szám előfordul? Mekkora a valószínűsége, hogy 12-szer dobva mind a 6 szám pontosan

Részletesebben

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős

Részletesebben

Ismétlés nélküli kombináció

Ismétlés nélküli kombináció Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen

Részletesebben

A sztochasztika alapjai. Szorgalmi feladatok tavaszi szemeszter

A sztochasztika alapjai. Szorgalmi feladatok tavaszi szemeszter A sztochasztika alapjai Szorgalmi feladatok 2011. tavaszi szemeszter 1. feladat Egy kockával dobva mi a dobott szám eloszlásfüggvénye, várható értéke, szórása? 2. feladat Egy marketingakció keretében egy

Részletesebben

Számelmélet Megoldások

Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,

Részletesebben

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O 1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.

Részletesebben