1. gyakorlat. 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12?

Átírás

1 1. gyakorlat 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12? 2. Egy urnában 3 lap van, az egyikre 1, a másikra 2, a harmadikra 3 van ráírva; egyet kihúzunk és azt visszatesszük. Négyszer ismételve ezt, mekkora a valószínűsége annak, hogy a kihúzott számok összege páros? 3. Van három szabályos kockánk, melyek közül az elsőn a , a másodikon a , a harmadikon pedig a számok vannak. Az A játékos választ egy kockát, majd a B egy másikat. Ezután feldobják kockáikat, és az nyer, aki nagyobbat dobott. Kinek előnyös ez a játék? 4. János és Gábor a következő játékot játsszák: János kihúz egy lapot a 32 lapos magyar kártyából. Gábornak a kihúzott lap színét kell megtippelnie. Ha eltalálja, nyer 2 forintot Jánostól, ha nem, ad neki 1 forintot. Mielőtt tippelne, megnevezhet négy lapot, és Jánosnak meg kell mondania, hogy a kihúzott lap köztük van-e. Hogyan válassza ki Gábor a négy lapot, hogy várható nyereménye a lehető legnagyobb legyen? Igazságos-e a játék? 5. n-szer dobunk egy kockával, mennyi az esélye annak, hogy a dobott számok összege osztható hattal? 6. Mekkora a valószínűsége, hogy kockával hatszor dobva mind a hat szám előfordul? Mekkora annak a valószínűsége, hogy tizenkétszer dobva mindegyik szám kétszer fordul elő? 7. Kovácsék vacsorát adnak, amelyen velük együtt 5 házaspár vesz részt. Egy 10 személyes kerek asztal körül foglalnak helyet véletlenszerűen. Mennyi a valószínűsége, hogy a Kovács házaspár egymás mellé kerül? Mennyi a valószínűsége, hogy az asztal körül a férfiak és a nők felváltva ülnek? 8. Az 52 lapos kártyapaklit véletlenszerűen sorbarakjuk. Mennyi a valószínűsége, hogy nem kerül egymás mellé két (vagy több) ász? 9. Egy darab lottószelvénnyel játszva mennyi az esélye annak, hogy telitalálatunk lesz, négy, három ill. két találatot érünk el? 10. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy héten a lottón kihúzott öt szám közti páronkénti különbségek mindegyike legalább öt? 11. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott lottószámok mindegyike páros? Hogy több köztük a páros mint a páratlan? Hogy a kihúzott számok a húzás sorrendjében növekvőek? 12. Mutassuk meg, hogy tetszőleges A, B eseményekre P (A B) P (A)P (B) 1/ Határozzuk meg, hogy milyen A, B eseményekre teljesülhetnek a következők: A B = A, A B = A,A B = A B, A (B A) = B, A B = B C. 14. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges két eseményre P 2 (A B) + P 2 (A B) = P 2 (A) + P 2 (B) + 2P (A B)P (A B). 15. Mutassuk meg, hogy tetszőleges A, B, C, D, E eseményekre P (A B C D E) P (A) + P (B) + P (C) + P (D) + P (E) 4. Hogyan általánosítható ez az összefüggés 5 helyett n eseményre?

2 2. gyakorlat 1. Pistinek mind a 15 barátja a nyolcféle kutyás bélyegsorozat egyikét küldi születésnapjára ajándékba (egymástól függgetlenül, bármelyiket 1/8-ad valószínűséggel választják). (a) Mennyi a valószínűsége, hogy Pisti mind a 8 sorozatból kap? (b) Mennyi a valószínűsége, hogy csak az utolsó boríték tartalmával együtt válik teljessé a gyűjteménye? 2. Egy adventi naptárnak 24 ajtócskája van. Mindegyik ajtócska mögé 10 féle édesség valamelyike van elrejtve (véletlenszerűen). Írjuk fel annak a valószínűségét, hogy az egész naptárban pontosan m-féle édesség fordul elő (m = 1, 2,..., 10)! 3. Kulcscsomómon kilenc kulcs van. Minden reggel úgy nyitom ki a szobám ajtaját, hogy egymás után találomra próbálgatom a kulcsokat, azaz minden kísérlethez 1/9-1/9 valószínűséggel választok minden egyes kulcsot. Ma reggel a 20. kísérletre nyílt ki az ajtó. Mennyi a valószínűsége, hogy közben minden kulcsot legalább egyszer kipróbáltam (a kilenc kulcs közül csak egy nyitja az ajtót)? 4. A 1, A 2,..., A n tetszőleges események, S k = i 1 <i 2 <...<i k P (A i1... A ik ). Mutassuk meg, hogy P (A 1 A 2 A n ) = S 1 2S 2 + 4S 3 + ( 2) n 1 S n, ahol A B a két esemény szimmetrikus differenciáját jelöli, vagyis az (A \ B) (B \ A) eseményt. 5. Mutassuk meg, hogy tetszőleges A 1, A 2,..., A n eseményekre 2k j=1 ha 2k ill. 2k + 1 n. ( 1) j 1 S j P (A 1 A 2... A n ) 2k+1 6. Egy 20 tagú társaság tagjai kihúzzák egymás nevét egy kalapból. (a) Mekkora a valószínűsége, hogy senki sem húzza saját magát? j=1 ( 1) j 1 S j, (b) Mekkora a valószínűsége, hogy pontosan k olyan pár van, akik egymást húzzák? 7. Legyenek A 1,..., A n események. Jelölje B s azt az eseményt amikor pontosan s db. következik be az A 1,..., A n események közül, C s pedig azt amikor legalább s db. Mutassuk meg, hogy ( ) ( ) n s j + s n s P (B s ) = ( 1) j j + s 1 S j+s és P (C s ) = ( 1) j S j+s j j j=0 j=0

3 3. gyakorlat 1. Dobjunk fel egy kockát kétszer, és tekintsük a következő eseményeket. A : az első dobás páros, B : a második dobás páratlan, C : a két dobás összege páros. Függetlenek-e ezek az események? 2. Egy dobozban két selejtes és négy jó csavar van. Visszatevés nélkül veszünk ki négy csavart. A: az elsőnek kihúzott csavar jó, B: az utolsónak kihúzott csavar jó. Független-e ez a két esemény? 3. Egy k gyerekes család (k 1) esetében tekintsük a következő eseményeket: A(k): a családban legfeljebb egy lány van; B(k): minden gyerek egyforma nemű; C(k): legalább egy gyerek fiú. (a) Milyen k-ra lesz A(k) és B(k) független? (b) Milyen k-ra lesz C(k) és B(k) független? 4. János bácsi 1/2 valószínűséggel otthon van, 1/2 valószínűséggel pedig kocsmában. Ha kocsmában van, akkor egyforma valószínűséggel van a falu öt kocsmájának bármelyikében. Tegyük fel, hogy az első négy kocsmában már kerestük János bácsit, de nem találtuk. Mennyi a valószínűsége, hogy az ötödik kocsmában van? 5. Legyen X az a valószínűségi változó, mely azt adja meg, hogy n kockadobásból mi volt a legnagyobb szám. Adjuk meg X eloszlását! 6. Van egy csomag virágmagom, amelyről azt tudom, hogy elültetve őket, mindegyik egymástól függetlenül 0, 1 valószínűséggel kikel, 0, 9 valószínűséggel pedig nem. Hány magot ültessek a cserépbe, ha azt szeretném, hogy pontosan egy virágmag keljen ki? 7. Egy szabálytalan érmén a fej valószínűsége p. Ezt az érmét dobálva, írjuk fel az első, illetve a második futam hosszának az eloszlását! 8. Minden nap 1/3 valószínűséggel kapunk levelet, 2/3 valószínűséggel nem. Mennyi a valószínűsége, hogy a 15. napon fogjuk megkapni az ötödik levelet? 9. Véletlenországban a halálraítéltek kegyelmi kérvény helyett sorsot húznak. Két urnát használnak erre, mindegyikben 25 fehér és 25 fekete golyó van. Az elítélt szemét bekötik, így választ egy urnát majd abból húz egy golyót. Ha az fehér, kegyelmet kap. Egy elítélt utolsó kívánságában azt kérte, hogy a golyókat tetszés szerint átrendezhesse az urnák között. Kérését teljesítették. Hogyan célszerű átrendezni a golyókat? 10. Eszter és Anna három érmével játszanak. Felváltva dobják fel a náluk lévő összes érmét, és a fejre esett érméket átadják társuknak. Az nyer, akinek először elfogynak az érméi. Mekkora valószínűséggel nyer Eszter, ha eredetileg nála van az összes érme, és ő kezd?

4 4. gyakorlat 1. Döntsük el, hogy a következő véletlen jelenségek leírása melyik eloszláshoz vezet az alábbiak közül: binomiális, hipergeometriai, geometriai, negatív binomiális, Poisson! (a) Mi a valószínűsége, hogy egy 20 fős évfolyamból legalább hárman születtek decemberben? (b) Egy könyvben hány sajtóhiba van a legnagyobb valószínűséggel, ha tudjuk, hogy az átlagos hibaszám 25? (c) Minden héten lottózunk. Mennyi a valószínűsége, hogy legalább 10 hetet kell várnunk az első találatunkra? (d) Egy 35 fős osztályba 20 fiú és 15 lány jár. Találomra hívunk ki 4 felelőt. Mennyi a valószínűsége, hogy 2 fiú és 2 lány lesz a felelők között? (e) Minden müzlisdobozban 1/10 valószínűséggel találunk nyereménykupont, 9/10 valószínűséggel nem. 5 kupont be lehet váltani egy receptkönyvre. Mennyi a valószínűsége, hogy pont a 20. doboz kibontása után gyűlik össze egy receptkönyvnyi kuponunk? (f) Egy alkatrészhalmazból 6 elemű mintát vettünk visszatevéssel. Annak a valószínűsége, hogy a minta 3 selejtet tartalmaz, 4/25. Mekkora a selejtarány? 2. Egy dobozban 9 cédula van, rajtuk a 11, 12, 12, 22, 23, 23, 31, 31, 33 számok. Találomra kihúzunk egy cédulát, X jelentse az első, Y a második számjegyet. Mutassuk meg, hogy (a) X és Y nem függetlenek, (b) E(XY ) = E(X)E(Y ). 3. Egy autótelepen 10 autó van, melyek közül 3 motor- 2 pedig fékhibás. 2 autót kiválasztva X jelöli a motor-, Y pedig a fékhibásak számát. Adjuk meg X és Y együttes eloszlását. 4. Két tetraéder alakú kockát feldobunk (a lapok 1-től 4-ig vannak megszámozva). Jelölje X a kisebb, Y pedig a nagyobb dobás eredményét. Adjuk meg X és Y együttes eloszlását és a peremeloszlásokat! Számítsuk ki X és Y várható értékét! 5. Egy szabályos érmével addig dobunk amíg két azonos eredményt nem kapunk egymás után. Mennyi az ehhez szükséges dobások számának várható értéke? 6. Öt szabályos kockát feldobunk, ezek egy részével (vagy akár mindegyikkel) újra dobhatunk, majd ezek közül egy újabb csoporttal még egyszer dobhatunk. Így minden egyes kockával egyszer, kétszer vagy háromszor dobtunk. Minden kockánál az utolsó dobott érték számít. Ezek összegét X jelöli. Milyen stratégia mellett lesz X várható értéke maximális és mennyi ez a várható érték?

5 5. gyakorlat 1. Egy szabályos érmével addig dobunk amíg két azonos eredményt nem kapunk egymás után. Mennyi az ehhez szükséges dobások számának várható értéke? 2. Egy szabályos kockával addig dobunk, amíg két szomszédos dobás különbségének abszolút értéke legalább 3 nem lesz (pl jó). Átlagosan hányat kell dobnunk? 3. Egy dobozban az 1,2,4,4 feliratú négy cédula van. Visszatevéssel húzunk, amíg 4-es nem kerül a kezünkbe. Határozzuk meg a kihúzott számok összegének illetve szorzatának várható értékét! 4. A következő feladatokban használjuk a várható érték linearitását! (a) Találomra választunk egy háromjegyű számot. Mennyi a számjegyek összegének várható értéke? (b) Levelet írtunk tíz barátunknak és a leveleket a megcímzett borítékokba véletlenszerűen tettük bele. Várhatóan hány levél kerül ahhoz, akinek szántuk? (c) Várhatóan hány lesz hárommal osztható a lottó nyerőszámai közül? (d) Egy kalapban 10 piros és 6 kék golyó van. Visszatevés nélkül kihúzunk négy golyót. Átlagosan hány pirosat húzunk? És ha visszatevéssel húzunk? 5. A fogorvosnál egy tömés átlagosan 15, egy húzás átlagosan 3 percet vesz igénybe. A Pista bácsi előtt várakozók mindegyikének 1/5 valószínűséggel kihúzzák, 4/5 valószínűséggel betömik a fogát. A várakozók száma Poisson(6) eloszlású. Várhatóan mennyi ideig kell Pista bácsinak várakoznia? És ha a várakozók száma Geo(1/6) eloszlású? 6. Szabályos érmével addig dobunk, amíg az első FFI sorozat meg nem jelenik. Átlagosan hány dobásra van szükség? 7. Oldjuk meg az alábbi feladatokat a nevezetes eloszlások segítségével! (a) Péter egy 8 fiókos íróasztal valamelyik fiókjába rakta az útlevelét. Az utazás előtti kapkodásban keresgélni kezdi. Találomra húzogatja ki a fiókokat de csak 3/4 valószínűséggel veszi észre az útlevelét, ha az a kihúzott fiókban van. Várhatóan hanyadik kísérletre fogja megtalálni az iratot? (b) Egy rossz, de néha működő kapcsoló átlagosan a 12. próbálkozásra gyújtja fel a villanyt. Mennyi a valószínűsége, hogy a harmadik kisérletre gyullad fel a villany? (c) Egy szövegben átlagosan 15 hiba van. A szerkesztő átolvassa, és minden hibát 4/5 valószínűséggel észrevesz és kijavít, 1/5 valószínűséggel pedig nem veszi észre a hibát. Átlagosan hány hiba marad a szövegben? 8. Banach professzor szenvedélyes dohányos volt; hogy ne kelljen sokat keresgélnie gyufa után, mindig két doboz gyufát tartott magánál; egyet a jobb zsebében; egyet pedig a bal zsebében. Amikor rá akart gyújtani, hol a bal, hol pedig a jobb zsebéből vette elő a gyufát, 1/2, 1/2 valószínűséggel. Egyik nap egy egy tele doboz gyufát tett a zsebeibe, mindkettőben n szál gyufa volt. Előbb-utóbb persze valamelyik doboz kiürült. Jelölje X a másik dobozban megmaradt gyufák számát. P k = P (X = k) =?, milyen k-ra lesz P k maximális, E(X) =?

6 6. gyakorlat 1. Legyenek X 1 és X 2 független binomiális eloszlású valószínűségi változók, X 1 1/6 paraméterű és 10 rendű, X 2 1/2 paraméterű és 5 rendű. Számítsuk ki X 1 + X 1 X 2 várható értékét és szórását! 2. Legyenek X 1, X 2,..., X n független azonos eloszlású valószínűségi változók, mégpedig X i egyenletes eloszlású a 0,1,2 számokon. Határozzuk meg az Y = X 1 X 2... X n valószínűségi változó eloszlását, várható értékét és szórását! 3. Van három dobozunk. Az elsőben 9 fehér, 1 piros, a másodikban 5 fehér, 5 piros, a harmadikban pedig 2 fehér és 8 piros golyó van. 10-szer húzunk golyót úgy, hogy minden alkalommal (a korábbiaktól függetlenül) újra választunk (találomra) egy dobozt és abból húzunk, majd visszatesszük. Mennyi a kihúzott fehér golyók számának a várható értéke és szórásnégyzete? 4. Egy kalapban 10 piros és 6 kék golyó van. Visszatevés nélkül kihúzunk négy golyót. Mennyi a húzott piros golyók számának szórása? Kisebb vagy nagyobb lesz a szórás, ha visszatevéssel húzunk? 5. Legyen π : {1,..., n} {1,..., n} egy permutáció. π inverzióinak száma azon i < j párok száma amelyekre π(i) > π(j), azaz azon párok száma amelyek sorrendjét π megfordítja. Jelölje X az inverziók számát egy véletlen permutációban! E(X) =?, D 2 (X) =? 6. Egy dobozban 3 cédula van, rajtuk az 1, 1/2, 1/4 számok. Addig húzunk visszatevéssel a dobozból, amíg 1-est nem kapunk. Határozzuk meg a húzott számok szorzatának várható értékét és szórásnégyzetét! 7. Kockával n-szer dobunk. Jelölje X a dobott hatosok, Y pedig a dobott páratlan számok számát. E(XY ) =? 8. Egy harminckét lapos magyar kártyacsomagból a 4 ász és a 4 király van a kezünkben. Ebből választunk 2 lapot visszatevés nélkül. Jelölje X a kapott pirosak, Y pedig a királyok számát. Számítsuk ki X és Y várható értékét, szórását és az R(X, Y ) korrelációs együtthatót. Mennyi lenne a korrelációs együttható, ha visszatevéssel húznánk?

7 7. gyakorlat 1. Egy szabályos dobókockával dobunk. Jelölje X a dobott számot, Y pedig azt, hogy a dobott szám hárommal osztva milyen maradékot ad. Számoljuk ki X és Y korrelációs együtthatóját! 2. Egy tétova hangya bóklászik a számegyenesen. Minden lépéssel egy mmt tesz meg, de minden lépése előtt újragondolja, merre menjen tovább. 1/2 valószínűséggel lép jobbra, 1/2 valószínűséggel pedig balra, a korábbi lépésektől függetlenül. Tudjuk, hogy hangyánk 2n lépés után ismét az origóban van. Mi annak az esélye, hogy a hangya bolyongása során elérte a P pontot? P az origótól jobbra, attól k mm-re található. 3. Egy mozijegy 500 forintba kerül. Összesen k ember áll sorban mozijegyért. Közülük l van aki 500-assal fizet, a többieknek 1000Ft-osuk van. Mi az esélye, hogy a jegyeladás során nincs fennakadás, ha kezdetben a kassza üres, és a vásárlók bármely sorrendje ugyanolyan valószínű? 4. Egy szabálytalan érmével addig dobunk, amíg először fordul elő, hogy a dobott fejek száma pontosan kettővel haladja meg a dobott írások számát. Számítsuk ki a szükséges dobásszám eloszlását, ha a fejdobás valószínűsége p. 5. Egy szabályos érmét addig dobálunk, míg vagy két egymás utáni fejet, vagy három egymás utáni írást találunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a fejeket kapjuk meg előbb? 6. Becsüljük meg annak a valószínűségét Markov-, illetve Csebisev-egyenlőtlenséggel, hogy 100 kockadobás összege több, mint Legyen X n a fejek száma n pénzdobásból. Milyen nagyságrendű becslés adódik a P (X n /n > 0.6) valószínűségre a Csebisev egyenlőtlenségből, ill. abból, hogy P (X n > 0.6n) = P ( (3/2) X n > (3/2) 0.6n)? 8. X-ről és Y -ról a következőket tudjuk: R(X, Y ) = 0, 75, EX = 4, EY = 6, D(X) = D(Y ) = 1/ 2. Igaz-e, hogy P (8 < X + Y < 12) > 15/16? 9. A véletlenszám táblázatból (amelyben 0-tól 9-ig szerepelnek számjegyek) kiválasztjuk azokat a számokat, amelyek hárommal oszthatók, mindad-

8 dig, amíg 100 ilyen számot nem találunk. Becsüljük annak a valószínűségét Markov-, illetve Csebisev-egyenlőtlenséggel, hogy ehhez legalább 1000 számot tartalmazó táblázatra van szükségünk!