4. A negatív binomiális eloszlás
|
|
- Áron Juhász
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1 / :27 Virtuális laboratóriumok > 10. Bernoulli kísérletek > Alapelmélet Tételezzük fel, hogy a véletlen kísérletünk, amit végrehajtunk Bernoulli kísérleteknek egy X = (X 1, X 2,...) sorozata p ( 0, 1] paraméterrel. Emlékeztetünk arra, hogy az első n kísérletben a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési száma n Y n = i = 1 binomiális eloszlású n és p paraméterekkel. Ebben a részben tanulmányozni fogjuk azt a valószínűségi változót, amely megadja azt a számot, amikor k-adik alkalommal következik be a sikeres kimenetelű kísérlet: X i V k = min {n {1, 2,...} :Y n =k} Megjegyezzük, hogy V 1 azon kísérleteknek a száma, ahány kísérlet szükséges ahhoz, hogy az első alkalommal következzen be a sikeres kimenetelű kísérlet. Ez, mint tudjuk geometriai eloszlású az + halmazon p paraméterrel. A sűrűségfüggvény 1. Mutassuk meg, hogy V k =n akkor és csak akkor, ha X n = 1 és Y n 1 =k Az 1. gyakorlatot, a függetlenséget és a binomiális eloszlást felhasználva mutassuk meg, hogy P(V k =n) = n 1 k 1 pk (1 p) n k, n {k, k + 1, k + 2,...} A 2. gyakorlatban szereplő sűrűségfüggvény által definiált eloszlás negatív binomiális eloszlás néven ismert; két paramétere van, k a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési száma és p annak valószínűsége, hogy a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezik. 3. A negatív binomiális kísérletben, változtassuk k értékét és p értékét a görgető sáv segítségével és figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját. A kiválasztott k és p értékeire hajtsuk végre a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság függvény sűrűségfüggvényhez való nyilvánvaló konvergenciáját. 4. Mutassuk meg, hogy a binomiális és a negatív binomiális sorozat egymás inverze abban az értelemben, hogy Y n k akkor e s csak akkor, ha V k n Ez a tulajdonság V k definíciójában implicit megtalálható a fejezet elején. Konkrétan, bizonyítsuk be, hogy minden esemény, ami kifejezhető a negatív binomiális változók segítségével, az kifejezhető binomiális változók segítségével is! 5. Mutassuk meg, hogy P(V k =n) > P(V k =n 1) akkor és csak akkor, ha n < 1 + k 1. Így a sűrűségfüggvény p előszőr növekszik, majd csökken, maximális érétkét az 1 + k 1 p helyen veszi fel. Ez az érték az eloszlás módusza és ezért az eloszlás egymóduszú binomiális. A sikeres kimenetelű kísérletek között eltelt idők A következőkben definiálni fogunk egy valószínűségi változót, amely megadja az egymásután következő sikeres kimenetelű kísérletek bekövetkezése közötti kísérletek számát.. Legyen U 1 =V 1 e s U k =V k V k 1 k {2, 3,...} esete re
2 2 / :27 6. Mutassuk meg, hogy U = (U 1, U 2,...) független valószínűségi változóknak egy sorozata, mindegyik geometriai eloszlású az + halmazon, p paraméterrel. Továbbá, k V k = i = 1 Statisztikai értelemben U megfelelel egy p paraméterű, geometriai eloszlásból vett mintavételnek, úgy, hogy minden k esetén, (U 1, U 2,..., U k ) ebből az eloszlásból vett k elemű, véletlen mint A V az U sorozathoz tartozó részletösszeg folyamat, negatív binomiális eloszlású változóknak egy sorozat Statisztikai értelemben V k k az (U 1, U 2,..., U k ) véletlen mintának megfelelő mitaátlag; ez a valószínűségi változó megadja az első k sikeres kimenetelű esemény bekövetkezése közötti átlagos kísérlet számot. A részletösszeg folyamatokat általánosabban a Véletlen minták fejezetben tanulmányozzuk. 7. A következő tulajdonságok bizonyításához használjuk fel a részletösszeg reprezentációt. U i Ha j k akkor V k V j ugyanolyan eloszlású, mint V k j, nevezetesen k j és p paraméterű negatív binomiális eloszlás. Így a V folyamat stacionárius növekményű. Ha k 1 k 2 k 3 akkor V k 1, V k2 V k1, V k3 V k2,... független valószínűségi változóknak egy sorozat Így a V folymata független növekményű. Valójában minden részletösszeg folyamat megfelel egy független, azonos eloszlású sorozatnak, amely stacionárius és független növekményű lesz. Momentumok A V k várható értéke, szórásnégyzete és generátorfüggvénye könnyen következik a független, azonos, geometriai eloszlású változók részletösszeg reprezentációjából. 8. Mutassuk meg, hogy (V k ) =k 1 p. 9. Mutassuk meg, hogy var(v k ) =k 1 p p Mutassuk meg, hogy (t V k ) = p t k 1 (1 p) t t < 1 1 p esetén. 11. A negatív binomiális kísérletben változtassuk k és p értékét a görgetősávval és figyeljük meg az átlag/szórás méretét és helyzetét a grafikonon. A paraméterek kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a mintaátlag és empirikus szórás nyilvánvaló konvergenciáját az eloszlás várható értékéhez és szórásához. 12. Ellenőrizzük a 8. gyakorlat, 9. gyakorlat, és a 10. gyakorlat eredményét közvetlenük a sűrűságfüggvény használatával. Megjegyezzük, hogy ez a módszer lényegesen több munkát kíván. 13. Tételezzük fel, hogy V és W a kísérletben független valószínűségi változók, és hogy V negatív binomiális eloszlású j és p paraméterekkel, továbbá W negatív binomiális eloszlású k és p paraméterekkel. Mutassuk meg, hogy V + W negatív binomiális eloszlású k + j és p paraméterekkel. Adjunk valószínűségszámítási bizonyítást, ami a részletösszeg reprezentáción alapul. Adjunk analitikus bizonyítást, ami a sűrűségfüggvényen alapul. Adjunk analitikus bizonyítást, ami a generátorfüggvényen alapul. Normális approximáció 14. A negatív binomiális kísérletben p különböző értékeivel kezdjük és legyen k = 1. Folyamatosan növeljük k értékét 1-esével, és minden alkalommal figyeljük meg a sűrűségfüggvény alakját.
3 3 / :27 Annak ellenére, hogy a k értékének maximuma 5 lehet, láthatjuk a harang alakot. Ez a központi határeloszlás-tétel következménye, mivel a negatív binomiális valószínűségi változó felírható, mint k független, azonos eloszlású (gemetriai) valószínűségi változó összege. 15. Mutassuk meg, hogy az alább megadott standardizált változó standard normális eloszláshoz konvergál, ha k. Z k = p V k k k (1 p) Gyakorlati szempontból ez az eredmény azt jelenti, hogy ha k nagy, akkor V k eloszlása közelítőleg normális a 8. gyakorlatban megadott várható értékkel és a 9. gyakorlatban megadott szórásnégyzettel. Hogy mennyire nagynak kell lennie k-nak, az p-től függ. Emlékeztetünk arra, hogy amikor alkalmazzuk a normális megközelítést, a folytonossági korrekció használatára is szükség lehet, mivel a negatív binomiális eloszlás diszkrét. A rendstatisztikákkal való kapcsolat 16. Tételezzük fel, hogy k n. Mutassuk meg, hogy P(V 1 = j 1, V 2 = j 2,..., V k = j k Y n =k) = 1 (j n 1, j 2,..., j k ) L esete n, k ahol L = {(j 1, j 2,..., j k ) {1, 2,..., n} k : j 1 < j 2 < < j k }. Így, ha a sikeres kimenetelű kísérlet k-szor következik be az első n kísérletből, akkor a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési számának vektora egyenletes eloszlású az L halmazon. Ezzel ekvivalens módon, a sikeres kimenetelű kísérlet bekövetkezési számának vektora ugyanolyan eloszlású,mint az {1, 2,..., n} elemű halmazból véletlenszerűen, visszatevés nélkül választott k elemű mintának megfelelő rendstatisztikák vektor 17. Mutassuk meg, hogy j 1 m 1 n j k m P(V m = j Y n =k) =, j {m, m + 1,..., n + (k m)} n k Az m-edik rendtatisztikának ugyanez az eloszlása, amikor a k elemű mintát az {1, 2,..., n} populációból választjuk véletlenszerűen és visszatevés nélkül. Példák és alkalmazások 18. Egy szabályos dobókockát annyiszor dobunk fel, amig három 1-est nem kapunk. Jelölje V a dobások számát! d. Adjuk meg V sűrűségfüggvényét! Adjuk meg V várható értékét! Adjuk meg Vszórásnégyzetét! Adjuk meg annak valószínűségét, hogy legalább 20 dobás szükséges! 19. Egy pénzérmét újra meg újra feldobunk. A 10-edik fejet a 25-ödik dobásra kapjuk. Adjuk meg az 5-dik fej dobás sorszámának sűrűségfüggvényét! Adjuk meg az (a)-ban szereplő eloszlás várható értékét! Adjuk meg az (a)-ban szereplő eloszlás szórásnégyzetét! 20. Annak valószínűsége, hogy egy bizonyos típusú rakéta nem talál célba, Jelölje N a negyedik sikertelen lövés sorszámát!
4 4 / :27 d. Adjuk meg N sűrűségfüggvényét! Adjuk meg N várható értékét! Adjuk meg N szórásnégyzetét! Adjuk meg annak valószínűségét, hogy az első 200 lövésből legalább 4 nem talál! 21. A negatív binomiális kísérletben, legyen p = 0.5 és k = 5. Végezzül el a kísérletet 1000-szer, 100-asával frissítve. Számítsuk ki és hasonlítsuk össze a következőket: P(8 V 5 15) Az {8 V 5 15} esemény relatív gyakorisága a szimulációban. P(8 V 5 15) normális approximációj 22. Egy pénzérmét addig dobálunk, amíg meg nem dobjuk az 50-edik fejet. Feltételezve, hogy a pénzérme szabályos, normális approximáció segítségével adjuk meg annak valószínűségét, hogy legalább 125-ször kell dobnunk. Tételezzük fel, hogy végrehajtotta ezt a kísérletet. Elfogadhatjuk-e, hogy a pénzérme szabályos? Banach gyufás problémája Tételezzük fel, hogy egy szórakozott professzornak (van egyáltalán másmilyen?) m gyufaszál van a jobb és m gyufaszál van a bal zsebében. Amikor rá akar gyújtani a pipájára, 1/2-1/2 valószínűséggel választ gyufaszálat valamelyik zsebéből. Ki akarjuk számolni annak a W valószínűségi változónak a sűrűségfüggvényét, amely valószínűségi változó megadja abban a zsebében lévő maradék gyufaszálak számát, amikor észreveszi, hogy a másik zsebéből kifogyott a gyuf Ez a probléma Banach féle gyufás probléma néven ismert, nevét Stefan Banach matematikusról kapta, aki tudvalevőleg a fenti módon gyújtott pipár Újrafogalmazzuk a problémát a negatív binomiális eloszlás segítségével kifejezve. Nyilvánvalóan a gyufaszál választás Benoulli kísérleteknek egy sorozatát alkotja p = 1 paraméterrel. Speciálisan, visgálhatjuk a 2 gyufaproblémát a következőképpen: ha a jobb zsebből húzunk gyufaszálat, akkor az R játékos nyer, ha a bal zsebből húzunk gyufaszálat, akkor az L játékos nyer. Kísérleteknek egy hipotetikusan végtelen sorozatában jelölje U azon kísérleteknek a számát, amelyek ahhoz szükségesek, hogy az R játékos nyerjen és m + 1 alkalommal, és V azon kísérleteknek a számát, amelyek ahhoz szükségesek, hogy az L játékos nyerjen m + 1 alkalommal. Megjegyezzük, hogy U és V mindegyike negatív binomiális eloszlású m + 1 és p paraméterekkel. 23. k {0, 1,..., m} esetén mutassuk meg, hogy az L játékos m k alkalommal nyer, az R játékos m + 1 alkalommal nyer akkor és csak akkor következik be, ha U = 2 m k + 1 {U = 2 m k + 1} ekvivalens azzal a eseménnyel, hogy a professzor első alkalommal tapasztalja, hogy a jobb zsebe üres és a bal zsebében k gyufaszál van. P(U = 2 m k + 1) = 2 m k m (1 2 )2 m k k {0, 1,..., m} esetén mutassuk meg, hogy az R m k alkalommal nyer, az L játékos m + 1 alkalommal nyer akkor és csak akkor következik be, ha V = 2 m k + 1 {V = 2 m k + 1} ekvivalens azal az eseménnyel, hogy a professzor első alkalommal tapasztalja, hogy a jobb zsebe üres és a bal zsebében k gyufaszál van.
5 5 / :27 P(V = 2 m k + 1) = 2 m k m (1 2 )2 m k Az előző két gyakorlat eredményét kombinálva követketessünk arra, hogy P(W =k) = 2 m k 2 m k 1, k {0, 1,..., m} m 2 Megoldhatjuk a nem szimmetrikus Banach gyufás problémát felhasználva a fenti módszereket. Így tételezzük fel, hogy a professzor jobb zsebébe p valószínűséggel, bal zsebébe 1 p valószínűséggel nyúl, ahol 0 < p < 1. Az elemzésben lényeges változás az, hogy U negatív binomiális eloszlású m + 1 és p paraméterekkel, míg V negatív binomiális eloszlású m + 1 és 1 p paraméterekkel. 26. Mutassuk meg, hogy Pontok problémája P(W =k) = 2 m k m (pm + 1 (1 p) m k + (1 p) m + 1 p m k ), k {0, 1,..., m} Tételezzük fel, hogy van két csapat A és B, akik Bernoulli kísérleteknek egy sorozatát játsszák, p annak valószínűsége, hogy A nyeri a játékot. Nemnegatív n és m egészek esetén jelölje A n,m (p) annak valószínűségét, hogy A n pontot nyer, mielőtt B m pontot nyer. Számítsuk ki A n,m értékét, ami történetileg egy híres probléma, a pontok problémája néven ismert, Pierre de Fermat és Blaise Pascal oldották meg. 27. Magyarázzuk meg, hogy miért állnak fenn a Bernoulli kísérlet feltételei (a kísérletek függetlensége, a sikeres kimenetel konstans valószínűsége) azokban a sportjátékokban, amikben van készséget, gyakorlatot kívánó összetevő, és véletlen összetevő is. A pont-problémának létezik egy könnyű megoldása, felhasználva a binomiális eloszlást; ez lényegében Pascal megoldás Tegyünk úgy, mintha n + m 1 kísérletet végeznénk (játszanánk) tekintet nélkül a kimenetelre és jelölje Y n +m 1 azon kísérletek számát, amikor A nyert. Definíció szerint Y n +m 1 binomiális eloszlású n +m 1 és p paraméterekkel. 28. Mutassuk meg, hogy A n játékot nyer, mielőtt B m játékot nyerne akkor és csak akkor, ha Y n +m 1 n 29. Felhasználva az előző gyakorlat eredményét, mutassuk meg, hogy n A n,m (p) = +m 1 n +m 1 k =n k pk (1 p) n +m 1 k A pont-problémának létezik egy másik könnyű megoldása, felhasználva a negatív binomiális eloszlást. Egy bizonyos értelemben ez az az eset, amikor a binomiális és negatív binomiális eloszlások között ekvivalencia van. Először tegyünk úgy, mintha vég nélkül játszanánk tekintet nélkül a kimenetre és jelölje V n a játékok számát, amelyek szükségesek ahhoz, hogy A nyerjen n játékot. Definíció szerint V n negatív binomiális eloszlású n és p paraméterekkel.!! 30. Mutassuk meg, hogy A n játékot nyer, mielőtt B m játékot nyerne akkor és csak akkor, ha V n n+m Felhasználva az előző gyakorlat eredményét mutassuk meg, hogy n +m A n,m (p) = 1 j 1 j =n n 1 pn (1 p) j n 32. Mutassuk meg, hogy fix n és m esetén, A n,m (p) 0-tól 1-ig nő, ha p 0-tól 1-ig nő! 33. Mutassuk meg, hogy
6 6 / :27 A n,m (p) csökken, ha n növekszik és m valamint p rögzített. A n,m (p) növekszik, ha m növekszik és n valamint p rögzített! 34. Mutassuk meg, hogy 1 A n,m (p) =A m,n (1 p) minden n, m és p értékére! Adjunk analitikus bizonyítást! Adjunk valószínűségszámítási bizonyítást! 35. A pont-probléma kísérletben, változtassuk n, m, és p értékét, és figyeljük meg a valószínűség változásait. A paraméterek kiválasztott értékeire végezzük el a kísérletet 1000-szer 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság valószínűséghez való nyilvánvaló konvergenciáját! 36. Az első kísérlet eredményével kapcsolatos feltétel, hogy levezessük a következő rekurzív összefüggést és korlátozó feltételeket (ez volt lényegében Fermat megoldása): A n,m (p) =p A n 1,m (p) + (1 p) A n,m 1 (p) n + esetén és m + A n, 0 (p) = 0, A 0,m (p) = 1 Tanulmányozzuk azon kísérletek számát, amelyek szükségesek a pont kísérlet problémájához! Jelölje N n,m azon kísérletek számát, amelyek szükségesek ahhoz, hogy vagy A nyerjen n pontot, vagy B nyerjen m pontot, amelyik először előfordul (bekövetkezik). N n,m eloszlásának egy könnnyű levezetését adj Képzeljük el újra, hogy a kísérletet korlátlan sokszor végezzük el. Jelölje V n a kísérletek számát, amelyek szükségesek ahhoz, hogy A n pontot nyerjen és jelölje W m azon kísérletek számát, amelyek ahhoz szükségesek, hogy B m pontot nyerjen. 37. Mutassuk meg, hogy k {min {m, n},..., n +m 1} esetén P(N n,m =k) = P(V n =k) + P(W m =k) = k 1 n 1 pn (1 p) k n + k 1 m 1 (1 p)m p k m Játékok sorozata Fontos a pont-problémának az a speciális esete, amikor m = n mert ez megfelelel annak, amikor A és B a "ki nyer többször játékot 2 n 1 játékból" játéksorozatot játssz Amelyik játékos előszőr nyer n-szer, az nyeri a sorozatot is. Ilyen sorozatokat gyakran használnak n {2, 3, 4} értékkel a körmérközéses bajnokságokban. Bevezetjük a következő jelölést: A n (p) =A n,n (p) annak a valószínűsége, hogy az A játékos nyeri a sorozatot. A pont-problémával kapcsolatos általános eredményeinkből következik, hogy 2 n 1 A n (p) = k =n 2 n 1 k pk (1 p) (2 n 1) k = j =n 2 n 1 j 1 n 1 pn (1 p) j n 38. Tételezzük fel, hogy p = 0.6. Adjuk meg explicite annak valószínűségét, hogy A nyeri a játékot a következő esetekre: A 5 játék után nyer. A 7 játék után nyer. 39. A pont-probléma kísérletekben, változtassuk n, m, és p paraméterek értékét ( n = m feltétel megőrzésével), és jegyezzük fel, hogyan változik a valószínűség. Szimuláljunk "ki nyer többet 5 játékból" sorozatot.n = m = 3, p = 0.6 választásával. Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve. Figyeljük meg a relatív gyakoriság valódi valószínűséghez történő nyilvánvaló konvergenciáját. 40. Mutassuk meg, hogy A n (1 p) = 1 A n (p) minden n és p értékére!
7 7 / :27 Mutassuk meg, hogy ez a feltétel azt jelenti, hogy A n diagramja szimmetrikus p = 1 -re vonatkozólag! 2 Mutassuk meg, hogy ez a feltétel magába foglalja azt, hogy A n ( 1 2 ) = 1 2! 41. A pont-probléma kísérletekben, változtassuk az n, m, és p paraméterek értékét ( n = m feltételek megőrzésével), és jegyezzük fel, hogyan változik a valószínűség. Szimuláljunk egy "ki nyer többet 7 játékból" sorozatot n = m = 4, p = 0.45 választásával! Végezzük el a kísérletet 1000-szer, 10-esével frissítve! Figyeljük meg a relatív gyakoriság valódi valószínűséghez történő nyilvánvaló konvergenciáját! 42. Tételezzük fel, hogy n >m! Mutassuk meg, hogy A n (p) >A m (p) akkor és csak akkor, ha p > 1 2! Értelmezzük az eredményt! 43. Jelölje N n a sorozatban a kísérletek számát. Felhasználva a 37. gyakorlatot mutassuk meg, hogy P(N n =k) = k 1 n 1 (pn (1 p) k n + (1 p) n p k n ), k {n, n + 1,..., 2 n 1} 44. Számoljuk ki egy "ki nyer többet 7 játékból" sorozatban explicit módon a játékok számának sűrűségfüggvényét, várható értékét és szórását a következő valószínűségekre: p: Osztozkodás problémája A probléma Chevalier de Mere-től ered, akit az érdekelt, hogyan osztozkodjon két játékos, ha a játék félbeszakad. Speciálisan tegyük fel, hogy az A és B játékosok mindegyike felajánl C pénzegységet és Bernoulli kísérletet játszanak addig, amíg valamelyikük egy előre definiált számú játokot nem nyer. A nyertes ekkor megkapja a teljes 2 C összeget. 45. Ha a játék megszakad, amikor a győzelemhez A-nak még n-szer kellene nyernie és B -nek még m -szer kellene nyernie, bizonyítsuk be, hogy a nyereményt A és B között a következőképpen igazságos elosztani: 2 C A n,m (p) A részére, 2 C (1 A n,m (p)) B részére. 46. Tételezzük fel, hogy az A és B játékosok mindegyike $50-ral fogad. A játékosok feldobnak egy szabályos pénzérmét, amíg az egyikük 10-szer nem nyer. A nyertes elviszi a teljes összeget. Tételezzük fel, hogy a játék akkor szakad meg (jön a szerencsejátékokat ellenőrző rendőrség), amikor A 5-ször nyert és B 3-szor nyert. Hogyan osztozkodjanak a betett összegen (a 100$-on)? Virtuális laboratóriumok > 10. Bernoulli kísérletek > Tartalom Appletek Adathalmazok Életrajzok Külső forrásmunkák Kulcsszavak Visszacsatolás
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:
Részletesebben3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy
Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig
RészletesebbenKészítette: Fegyverneki Sándor
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha
Részletesebbenx, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:
Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.
RészletesebbenStatisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1
Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában
RészletesebbenMatematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás
Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre
RészletesebbenMatematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,
RészletesebbenGyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László
Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,
RészletesebbenValószínűségszámítás összefoglaló
Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:
RészletesebbenBiomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
Részletesebben2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
Részletesebbene (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:
Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:
Részletesebbenegyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk
Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,
RészletesebbenA következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.
Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
RészletesebbenA maximum likelihood becslésről
A maximum likelihood becslésről Definíció Parametrikus becsléssel foglalkozunk. Adott egy modell, mellyel elképzeléseink szerint jól leírható a meghatározni kívánt rendszer. (A modell típusának és rendszámának
Részletesebben4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O
1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.
RészletesebbenFEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI
FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 4 IV. MINTA, ALAPsTATIsZTIKÁK 1. MATEMATIKAI statisztika A matematikai statisztika alapfeladatát nagy általánosságban a következőképpen
RészletesebbenVALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA
VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események
RészletesebbenMi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat
Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
RészletesebbenEseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.
Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:
RészletesebbenA valószínűségszámítás elemei
Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet
Részletesebben36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25
Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;
Részletesebben1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.
IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =
RészletesebbenCentrális határeloszlás-tétel
13. fejezet Centrális határeloszlás-tétel A valószínűségszámítás legfontosabb állításai azok, amelyek független valószínűségi változók normalizált összegeire vonatkoznak. A legfontosabb ilyen tételek a
RészletesebbenSTATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Matematikai statisztika. Mi a modell? Binomiális eloszlás sűrűségfüggvény. Binomiális eloszlás
ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 9. Előadás Binomiális eloszlás Egyenletes eloszlás Háromszög eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell 2/62 Matematikai statisztika
RészletesebbenMatematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 5. Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 5. : Nevezetes valószínűség-eloszlások Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb
RészletesebbenTerületi sor Kárpát medence Magyarország Nyugat-Európa
Területi sor Terület megnevezése Magyarok száma 2011.01.01. Kárpát medence 13 820 000 Magyarország 10 600 00 Nyugat-Európa 1 340 000 HIV prevalence (%) in adults in Africa, 2005 2.5 Daganatos halálozás
RészletesebbenA Statisztika alapjai
A Statisztika alapjai BME A3c Magyar Róbert 2016.05.12. Mi az a Statisztika? A statisztika a valóság számszerű információinak megfigyelésére, összegzésére, elemzésére és modellezésére irányuló gyakorlati
Részletesebbena megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli
Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =
RészletesebbenElméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz
Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenMegoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ
Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.
RészletesebbenKözlemény. Biostatisztika és informatika alapjai. Alapsokaság és minta
Közlemény Biostatisztika és informatika alajai. előadás: Az orvostudományban előforduló nevezetes eloszlások 6. szetember 9. Veres Dániel Statisztika és Informatika tankönyv (Herényi Levente) már kaható
RészletesebbenValószín ségszámítás és statisztika
Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás
Részletesebben( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!
1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló
RészletesebbenNegyedik A4 gyakorlat rövid megoldási útmutató
Negyedik A4 gyakorlat rövid megoldási útmutató 2013. október 14. 1. Feltéve, hogy a balkezesek aránya átlagosan 1%, becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy 200 véletlenszerűen kiválasztott ember között
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.
Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak
RészletesebbenNagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem
agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel
RészletesebbenOsztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 12 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Emelt
RészletesebbenStatisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.
Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,
RészletesebbenMatematikai statisztika Tómács Tibor
Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Hallgatói Információs Központ Copyright 2011, Educatio Kht., Hallgatói Információs Központ
Részletesebben1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos?
Valószínűségszámítás, földtudomány alapszak, 2015/2016. őszi félév 1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? 2. Két tizenhárom fős vízilabdacsapat mérkőzik
RészletesebbenNormális eloszlás tesztje
Valószínűség, pontbecslés, konfidenciaintervallum Normális eloszlás tesztje Kolmogorov-Szmirnov vagy Wilk-Shapiro próba. R-funkció: shapiro.test(vektor) balra ferde eloszlás jobbra ferde eloszlás balra
RészletesebbenVéletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.
Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenValószínűségszámítás és statisztika a fizikában február 16.
számítás és statisztika a fizikában 2018. február 16. Technikai információk Palla Gergely / pallag@hal.elte.hu / ELTE TTK Biológiai Fizika Tanszék, Északi Tömb, 3.90. szoba Fogadó óra: hétfő, 16-18. Az
RészletesebbenBevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár. PhD kurzus. KOKI,
Bevezetés a biometriába Dr. Dinya Elek egyetemi tanár PhD kurzus. KOKI, 2015.09.17. Mi a statisztika? A sokaság (a sok valami) feletti áttekintés megszerzése, a sokaságról való információszerzés eszköze.
RészletesebbenBiomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János
Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:
RészletesebbenValószínűségszámítás és statisztika
Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
Részletesebben1. Kombinatorikai bevezetés
1. Kombinatorikai bevezetés 1.1. Permutációk Adott n különböző elem ismétlés nélküli permutációján az elemek egy meghatározott sorrendjét értjük. Az n különböző elem összes permutációinak számát P n -nel
RészletesebbenKÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA
ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak
RészletesebbenMatematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József
Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul
RészletesebbenMiért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek
Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,
RészletesebbenKísérlettervezés alapfogalmak
Kísérlettervezés alapfogalmak Rendszermodellezés Budapest University of Technology and Economics Fault Tolerant Systems Research Group Budapest University of Technology and Economics Department of Measurement
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 7. Bevezetés a valószínűségszámításba Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Definíciók, tulajdonságok Példák Valószínűségi mező
RészletesebbenMátrixjátékok tiszta nyeregponttal
1 Mátrixjátékok tiszta nyeregponttal 1. Példa. Két játékos Aladár és Bendegúz rendelkeznek egy-egy tetraéderrel, melyek lapjaira rendre az 1, 2, 3, 4 számokat írták. Egy megadott jelre egyszerre felmutatják
RészletesebbenVéletlenszám generátorok és tesztelésük. Tossenberger Tamás
Véletlenszám generátorok és tesztelésük Tossenberger Tamás Érdekességek Pénzérme feldobó gép: $0,25-os érme 1/6000 valószínűséggel esik az élére 51% eséllyel érkezik a felfelé mutató oldalára Pörgetésnél
RészletesebbenNyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 4. MA3-4 modul A valószínűségi változó és jellemzői SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról
Részletesebben[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.29. A statisztika típusai Leíró jellegű statisztika: összegzi egy adathalmaz jellemzőit. A középértéket jelemzi (medián, módus, átlag) Az adatok változékonyságát
Részletesebben1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt
1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó
RészletesebbenValó szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny
Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val.
RészletesebbenGazdasági matematika II. Tantárgyi útmutató
Módszertani Intézeti Tanszék Gazdálkodási és menedzsment, pénzügy és számvitel szakok távoktatás tagozat Gazdasági matematika II. Tantárgyi útmutató 2016/17 tanév II. félév 1/6 A KURZUS ALAPADATAI Tárgy
Részletesebben1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.
1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét
RészletesebbenGyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel. a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli
Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Mutassuk meg, hogy tetszőleges A és B eseményekre PA B PA+PB. Mutassuk
RészletesebbenStatisztika I. 8. előadás. Előadó: Dr. Ertsey Imre
Statisztika I. 8. előadás Előadó: Dr. Ertsey Imre Minták alapján történő értékelések A statisztika foglalkozik. a tömegjelenségek vizsgálatával Bizonyos esetekben lehetetlen illetve célszerűtlen a teljes
RészletesebbenBiometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem
Biometria, haladó biostatisztika EA+GY biometub17vm Szerda 8:00-9:00, 9:00-11:00 Déli Tömb 0-804, Lóczy Lajos terem Előadások-gyakorlatok 2018-ban (13 alkalom) IX.12, 19, 26, X. 3, 10, 17, 24, XI. 7, 14,
RészletesebbenCHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.
CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés
RészletesebbenGyakorló feladatok a 2. dolgozathoz
Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:
Részletesebben3. gyakorlat. 1. Független események. Matematika A4 Vetier András kurzusa február 27.
3. gyakorlat Matematika A4 Vetier András kurzusa 2009. február 27. 1. Független események Az A és B események akkor és csak akkor függetlenek,ha az alábbbi négy egyenlőség teljesül: P(A B) = P(A)P(B) P(A
RészletesebbenValószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS
Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS 1. Kihasználva a hosszasan elhúzódó jó időt, kirándulást szeretnénk tenni az ország tíz legmagasabb csúcsa közül háromra az elkövetkezendő
RészletesebbenA sztochasztika alapjai. Szorgalmi feladatok tavaszi szemeszter
A sztochasztika alapjai Szorgalmi feladatok 2011. tavaszi szemeszter 1. feladat Egy kockával dobva mi a dobott szám eloszlásfüggvénye, várható értéke, szórása? 2. feladat Egy marketingakció keretében egy
Részletesebben1. Adatok kiértékelése. 2. A feltételek megvizsgálása. 3. A hipotézis megfogalmazása
HIPOTÉZIS VIZSGÁLAT A hipotézis feltételezés egy vagy több populációról. (pl. egy gyógyszer az esetek 90%-ában hatásos; egy kezelés jelentősen megnöveli a rákos betegek túlélését). A hipotézis vizsgálat
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét idejű felújítási paradoxon
Magda Gábor Szaller Dávid Tóvári Endre 2009. 11. 18. X 1, X 2,... független és X-szel azonos eloszlású, pozitív egész értékeket felvevő valószínűségi változó (felújítási idők) P(X M) = 1 valamilyen M N
RészletesebbenTantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2
Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős
RészletesebbenDiszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
RészletesebbenTananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
// KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
Részletesebbenvásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az
1. Név:......................... Egy ABC-ben délután (5-t½ol 9 óráig) a vásárlók száma óránként 200 várható érték½u Poisson eloszlású valószín½uségi változó. A pénztáros egy vásárlót átlag 2 perc alatt
RészletesebbenKabos: Statisztika II. t-próba 9.1. Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a
Kabos: Statisztika II. t-próba 9.1 Egymintás z-próba Ha ismert a doboz szórása de nem ismerjük a doboz várhatóértékét, akkor a H 0 : a doboz várhatóértéke = egy rögzített érték hipotézisről úgy döntünk,
Részletesebben1. elõadás: A valószínûség fogalma, kombinatorikai alapismeretek. (emlékeztetõ)
Ea1. 2002. 02. 11. 1. elõadás: A valószínûség fogalma, kombinatorikai alapismeretek Véletlen jelenség: feltételek, körülmények; ismételhetõség Megfigyelés: mi érdekel minket lehetséges kimenetelek Esemény:
RészletesebbenStatisztikai becslés
Kabos: Statisztika II. Becslés 1.1 Statisztikai becslés Freedman, D. - Pisani, R. - Purves, R.: Statisztika. Typotex, 2005. Reimann J. - Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika. Tankönyvkiadó,
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenMatematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés
Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebbenegyetemi jegyzet Meskó Balázs
egyetemi jegyzet 2011 Előszó 2. oldal Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 1.1. A matematikai statisztika céljai.............................. 4 1.2. Alapfogalmak......................................... 4 2.
RészletesebbenNemparaméteres próbák
Nemparaméteres próbák Budapesti Mőszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék 1111, Budapest, Mőegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91 http://www.vizgep.bme.hu
RészletesebbenVillamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz
Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?
RészletesebbenSTATISZTIKAI ALAPOK. Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 1
STATISZTIKAI ALAPOK Statisztikai alapok_eloszlások_becslések 1 Pulzus példa Egyetemista fiatalokból álló csoport minden tagjának (9 fő) megmérték a pulzusát (PULSE1), majd kisorsolták ki fusson és ki nem
RészletesebbenGRADUÁLIS BIOSTATISZTIKAI KURZUS február hó 22. Dr. Dinya Elek egyetemi docens
GRADUÁLIS BIOSTATISZTIKAI KURZUS 2012. február hó 22. Dr. Dinya Elek egyetemi docens Biometria fogalma The active pursuit of biological knowledge by quantitative methods Sir R. A. Fisher, 1948 BIOMETRIA
Részletesebben