Eredmények, megoldások

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Eredmények, megoldások"

Átírás

1 Eredmények, megoldások 1. Eldobjuk egyszer a dobókockát. Mennyi a valószín½usége annak, hogy: (a) 4-est dobunk; (b) páratlan számot dobunk; (c) 4-nél nem dobunk nagyobbat; (d) legfeljebb 5-öst dobunk; (e) legalább 5-öst dobunk? A valószín½uségek: (a) 4-est dobunk: 1 6 (b) páratlan számot dobunk: 3 6 (c) 4-nél nem dobunk nagyobbat: 4 6 (d) legfeljebb 5-öst dobunk: 5 6 (e) legalább 5-öst dobunk: Jelölje A azt az eseményt, hogy holnap délután szép id½o lesz. Legyen ennek valószín½usége, P (A) = 1 3. Ugyanakkor jelölje B azt az eseményt, hogy Peti biciklijét holnap délutánra a szerel½o megjavítja. Legyen ennek valószín½usége, P (B) = 1 4. (a) Mennyi a valószín½usége annak, hogy holnap délután Peti szép id½oben lesz biciklizhet? (b) Mennyi a valószín½usége annak, hogy az A és B események közül legalább az egyik bekövetkezik? (a) Az 1. ábrán megjelenítettünk két véletlen gráfot. Látható az A esemény és ennek A ellentett eseménye, azaz az az esemény, hogy holnap délután nem lesz szép id½o. Ennek valószín½usége, P (A) = 2 3. Az 1. ábrán látható a B esemény és ennek B ellentett eseménye is, melynek valószín½usége, P (B) = ábra Ezeket a gráfokat alakítottuk át a 2. ábrán úgy, hogy egyforma valószín½uség½u kimeneteleink legyenek. Itt megjegyeznénk, hogy ha a véletlen gráf valamely csúcsából induló élekre nincs szám írva, akkor azt feltételezzük, hogy a kimenetelek egyforma valószín½uség½uek.

2 2. ábra A 3. ábráról leolvashatjuk, hogy a 12 darab egyformán valószín½u kimenetel közül számunkra 1 kedvez½o. 1 Tehát 12 annak valószín½usége, hogy holnap délután szép id½o lesz és Peti mehet biciklizni. Ha jelöljük A \ B-vel azt az eseményt, amely pontosan akkor következik be, ha az A és B események közül mindkett½o bekövetkezik, akkor P (A \ B) = 1 12 : 3. ábra Ha viszont ugyanennek a véletlen gráfnak az összevont alakját tekintjük a 4. ábrán, akkor észrevehet½o, hogy az 1 12 tulajdonképpen 1 3 -nak és 1 4-nek a szorzataként áll el½o. 4. ábra (b) Most vizsgáljuk meg, hogy mennyi a valószín½usége annak, hogy az A és B események közül legalább az egyik bekövetkezik (jelölése P (A [ B)). Az 5. ábrán látható, hogy az egyenl½o valószín½uség½u kimenetelek száma 12, a kedvez½o esetek száma pedig 6, tehát P (A [ B) = 6 12 = 1 2 :

3 5. ábra Ha ugyanennek a véletlen gráfnak az összevont alakját tekintjük a 6. ábrán, akkor ismét észrevehet½o, hogy 1 2 = ábra 3. A mellékelt ábrát tekintve, az els½o zsákban van 4 piros és 1 fekete, egyforma golyó, a második zsákban pedig 2 piros és 3 fekete egyforma golyó. Dobókockával egyszer dobunk. Ha hárommal osztható szám jelenik meg, akkor az els½o dobozból húzunk ki egy golyót, ellenkez½o esetben (azaz 1, 2, 4 vagy 5 dobása esetén) pedig a második dobozból. Mennyi a fekete golyó húzásának valószín½usége? 7. ábra A 8. ábrán látható a feladat vizualizálása. Az összes lehetséges kimenetel száma 30, a nekünk kedvez½o kimenetelek száma pedig 14. Tehát a fekete golyó húzásának valószín½usége

4 8. ábra Ha a gráfot összevont alakban vizsgáljuk (9. ábra), szintén észrevehet½o, hogy = ábra 4. Az egérke egy cs½orendszer tetején áll, amib½ol sajtszag és macskaszag egyaránt árad (10. ábra). Az egérke elindul lefele a sajt után. A sajtszag-, illetve macskaszag a cs½orendszerben egyformán érz½odik mindenhol, az elágazásoknál így egyforma valószín½uséggel választ, visszafele pedig soha nem halad. Mennyi a valószín½usége annak, hogy az egérke megtalálja valamelyik sajtot? Hát annak, hogy az egérke valamelyik macskának a szájába szalad? 10. ábra

5

6 Az összevont gráfot tekintve (11. ábra), annak valószín½usége, hogy az egérke megtalálja valamelyik sajtot: 5 54 = : Annak valószín½usége pedig, hogy az egérke valamelyik macskának a szájába szalad: 6 54 = : 11. ábra 5. Egy pénzdarabot egymás után 11-szer feldobva, mind a tizenegyszer írást dobtunk. Mennyi annak a valószín½usége, hogy tizenkettedikszer is írást dobunk? A tizenkettedik dobás nem függ az el½oz½o tizenegy dobástól. Ha feldobjuk a pénzérmét (legyen az a tizenkettedik dobás vagy akárhányadik), akkor az írás dobásának valószín½usége Egy érmét kétszer feldobunk. Mekkora annak a valószín½usége, hogy legalább egy esetben írás lesz felül? A négy egyformán valószín½u esetb½ol (fej-fej, fej-írás, írás-fej, írás-írás) nekünk három kedvez, tehát a keresett valószín½uség Két csomag magyar kártyát elhelyezünk egymás mellé, és mindkett½ob½ol kihúzunk egy lapot. Mennyi a valószín½usége annak, hogy mindkét lap zöld lesz? Tulajdonképpen két egymástól független esemény együttes bekövetkezését vizsgáljuk. A keresett valószín½uség = Egy zsákban 3 piros, 1 fekete és 1 zöld, egyforma méret½u golyó található. A golyókat véletlenszer½uen kihúzzuk egymás után, és egy sorozatot készítünk bel½olük. Melyik sorrend a valószín½ubb: PPPFZ vagy ZFPPP?

7 Ennél a feladatnál merült fel el½oször az a probléma, hogy ha az egyenl½o valószín½uség½u kimenetelek száma nagy,

8 akkor a véletlen gráf teljes kirajzolása szinte lehetetlen. Ezért az összevont alakkal dolgoztunk. Tapasztalatok alapján els½o ránézésre a PPPFZ sorrend valószín½ubbnek t½unik a ZFPPP sorrendnél. A hiba valószín½uleg ott csúszik be, hogy els½o húzásra valóban nagyobb a piros golyó megjelenésének valószín½usége, mint a zöldé. Viszont az ábra alapján ezek: Tehát a két valószín½uség egyforma! P (PPPFZ) = = = 1 20 ; P (ZFPPP) = = = 1 20 : 9. Egy dobozban 10 golyó van: 6 piros, 4 fekete. Két golyót húzunk ki egymás után, visszatevés nélkül. Mennyi a valószín½usége annak, hogy (a) mindkett½o fekete; (b) mindkett½o egyforma; (c) legalább az egyik piros? (a) Hogyan teljesül az az esemény, hogy mindkét kihúzott golyó fekete? Úgy, hogy az els½o kihúzott golyó is fekete és a második kihúzott golyó is fekete. A keresett valószín½uség: = :13: (b) Hogyan teljesül az az esemény, hogy mindkét kihúzott golyó egyforma? Úgy, hogy az els½o kihúzott golyó is fekete és a második kihúzott golyó is fekete, vagy úgy, hogy az els½o kihúzott golyó is piros és a második kihúzott golyó is piros. A keresett valószín½uség: = :46: (c) A keresett valószín½uség: = :86: 10. Két dobókockával egyszerre dobunk. Mennyi a valószín½usége annak, hogy a két megjelen½o szám összege 8? Két dobókocka egyszeri eldobása esetén a különböz½o, egyenl½oen valószín½u kimenetelek száma 36. Ezek: (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)

9 Két dobókocka egyszeri eldobása esetén 5 36 annak valószín½usége, hogy a két megjelen½o szám összege 8: (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) 11. Két dobókockával dobunk. Mennyi a valószín½usége annak, hogy (a) legalább az egyik kockán 6-os jelenik meg; (b) két egyforma számot dobunk; (c) két különböz½o számot dobunk; (d) a két dobás összege 8 és az egyik pont a 6-os? (a) Két dobókocka egyszeri eldobása esetén annak valószín½usége, hogy legalább az egyik kockán 6-os jelenik meg: (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) (b) Két dobókocka egyszeri eldobása esetén 6 36 (c) Két dobókocka egyszeri eldobása esetén annak valószín½usége, hogy két egyforma számot dobunk: (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) annak valószín½usége, hogy két különböz½o számot dobunk: (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)

10 (d) Két dobókocka egyszeri eldobása esetén 2 36 annak valószín½usége, hogy a két dobás összege 8 és az egyik pont a 6-os: (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) 12. Egy dobozban 4 piros golyó van. Legalább hány fekete golyót kell a dobozban elhelyezni ahhoz, hogy egy találomra kihúzott golyó legalább 0:9 valószín½uséggel fekete legyen? Ha a dobozban x darab fekete golyót helyezünk el, akkor a fekete golyó húzásának valószín½usége: Tehát legalább 36 golyót kell a dobozban elhelyezni. x x + 4 0:9, x x + 4 9, 10x 9x + 36, x 36: Annának két piros és egy sárga cukorka van a kezében. Péternek pedig egy piros, három sárga és két zöld cukorka van a kezében. Véletlenszer½uen megmutatnak egymásnak egy-egy cukorkát. Mennyi a valószín½usége annak, hogy a ezek a cukorkák egyforma szín½uek? Hogyan teljesül az az esemény, hogy a cukorkák egyforma szín½uek? Úgy, hogy Anna pirosat mutat és Péter is pirosat mutat, vagy úgy, hogy Anna sárgát mutat és Péter is sárgát mutat. A keresett valószín½uség: = :28: 14. Egy csomag magyar kártyát megkeverünk, majd egyesével húzzuk ki a lapokat. Mennyi a valószín½usége annak, hogy a második ászt a harmadik helyen húzzuk ki? (A magyar kártyának 32 lapja van, a lapok között pedig 4 ász található.) Hogyan teljesül az az esemény, hogy a második ászt a harmadik helyen húzzuk ki? Úgy, hogy els½ore kihúzunk egy ászt és másodikra nem húzunk ászt és harmadikra ismét ászt húzunk, vagy úgy, hogy els½ore nem húzunk ászt és másodikra ászt húzunk és harmadikra ismét ászt húzunk. A keresett valószín½uség: = :02: 15. Egy út akkor engednek el játszani, ha három egymás utáni sakkparti közül legalább két egymás utánit megnyer. Játékostársai apa és nagytata, mégpedig vagy apa-nagytata-apa, vagy pedig nagytata-apa-nagytata sorrendben. Apa jobban játszik, mint nagytata. Melyik sorrend kedvez½obb a ú számára? Tételezzük fel, hogy a ú p valószín½uséggel nyer apa ellen és q valószín½uséggel nyer nagytata ellen. Mivel apa jobban játszik, mint nagytata, ezért p < q.

11 Ekkor az apa-nagytata-apa sorrend választása esetén annak valószín½usége, hogy a ú legalább két egymásutáni partit megnyer: pqp + pq (1 p) + (1 p) qp = pq (2 p) : A nagytata-apa-nagytata sorrend választása esetén annak valószín½usége, hogy a ú legalább két egymásutáni partit megnyer: qpq + qp (1 q) + (1 q) pq = pq (2 q) : Mivel p < q, ezért pq (2 p) > pq (2 q), tehát az apa-nagytata-apa sorrend választása a ú számára kedvez½obb. Megjegyzés. Az intuíció ennél a feladatnál is cserben próbál hagyni minket, nagyon sok ember, ha azonnali választ kell adni, inkább a nagytata-apa-nagytata sorrend választását javasolná a únak. 16. Minden másodpercben, függetlenül más id½oszaktól, p valószín½uséggel halad el egy autó az úton. A gyalogosnak 3 másodpercre van szüksége ahhoz, hogy átérjen az úton. Mennyi a valószín½usége annak, hogy egy átkelni szándékozó gyalogosnak: (a) nem kell várnia; (b) 1 másodpercet kell várnia; (c) 2 másodpercet kell várnia; (d) 3 másodpercet kell várnia? (a) Annak valószín½usége, hogy a gyalogosnak nem kell várnia: (1 p) (1 p) (1 p) = (1 p) 3 : (b) Annak valószín½usége, hogy a gyalogosnak 1 másodpercet kell várnia: p (1 p) 3 : (c) Annak valószín½usége, hogy a gyalogosnak 2 másodpercet kell várnia: pp (1 p) 3 + (1 p) p (1 p) 3 : (d) Annak valószín½usége, hogy a gyalogosnak 3 másodpercet kell várnia: ppp (1 p) 3 + p (1 p) p (1 p) 3 + (1 p) pp (1 p) 3 + (1 p) (1 p) p (1 p) 3 : 17. Mennyi a valószín½usége annak, hogy két egyforma kockával dobva, 25 dobásból lesz legalább egy dupla hatosunk? A feladatbeli esemény ellentett eseménye az, hogy két egyforma kockával dobva, 25 dobásból nem lesz dupla hatosunk. Ennek valószín½usége: Tehát annak valószín½usége, hogy két egyforma kockával dobva, 25 dobásból lesz legalább egy dupla hatosunk: : 21

12 18. A tegnap Csíkszeredában a Megyei Kórházban négy gyermek született. Tételezzük fel, hogy egy gyermek ugyanolyan eséllyel lehet ú vagy lány. Az alábbiak közül melyiknek van a legnagyobb esélye? (A) (B) (C) (D) (E) Mind a négyen úk. Mind a négyen lányok. Kett½o ú és kett½o lány. Három ú és egy lány vagy három lány és egy ú. A fentiek közül mindeniknek ugyanannyi az esélye. (A) Mind a négyen úk (B) Mind a négyen lányok (C) Kett½o ú és kett½o lány (D) Három ú és egy lány vagy három lány és egy ú (E) A fentiek közül mindeniknek ugyanannyi az esélye. (Nem igaz.) 19. Sa király három a: Prius, Maximus és Servus egyaránt szerelmes Matekország királylányába. Elhatározzák, hogy pisztolypárbajban döntik el, melyikük legyen a kér½o. Körbeállnak és bármelyikük l½ohet bármelyikükre. Tudják egymásról, hogy ha l½o, Prius 1, Maximus 0,8 és Servus 0,5 valószín½uséggel talál. Úriemberek lévén, abban állapodnak meg, hogy el½oször l½o Servus, utána (ha életben van) Maximus, végül Prius. Ha els½o körben nincs vége a párbajnak, akkor még egy második kört is l½onek azonos sorrendben, de többet nem. Mikor a királylány meghallotta a feltételeket, a párbaj el½otti este titokban kicserélte Servus els½o golyóját vaktöltényre. Kibe szerelmes a királylány? (Matekország királylánya természetesen nagyon okos, a király ak úgyszintén.) Ha megtörténik a csere, akkor a következ½o ábra készíthet½o:

13 A gy½ozelmi valószín½uségeket kiszámítjuk és táblázatba foglaljuk: Gy½oztes Servus els½o golyója vaktöltény Prius 0:2 0:5 = 0:1 Maximus 0:8 0:5 0:8 = 0:32 Servus 0:8 0:5 + 0:2 0:5 = 0:5 Servus és Maximus 0:8 0:5 0:2 = 0:08 És itt volt az a pont, amikor nagyon egyszer½uen le lehetett a téves következtetést vonni, azaz hogy Servusba szerelmes a királylány. Viszont ahhoz, hogy ezt el tudjuk dönteni, legalább azt feltétlenül szükséges megvizsgálni, hogy mi történt volna akkor, ha nem cserélte volna ki az els½o töltényt. Ha nem történik csere, akkor az ábra a következ½o: A gy½ozelmi esélyek táblázata pedig: A fentieket egy táblázatba írva: Gy½oztes Servus els½o golyója igazi Prius 0:5 0:1 = 0:05 Maximus 0:5 0:8 + 0:5 0:2 0:5 0:8 + 0:5 0:32 = 0:6 Servus 0:5 0:2 0:5 + 0:5 0:5 = 0:3 Servus és Maximus 0:5 0:2 0:5 0:2 + 0:5 0:08 = 0:05

14 Gy½oztes Servus els½o golyója vakt. Servus els½o golyója igazi Prius 10% 5% Maximus 32% 60% Servus 50% 30% Servus és Maximus 8% 5% És most már látjuk, hogy legalábbis a táblázatba foglaltak alapján Maximusba nem lehet szerelmes a királylány. De kibe szerelmes? Servusnak egyértelm½uen n½ottek a gy½ozelmi esélyei, így neki van hármuk közül abszolút értékben a legnagyobb esélye a gy½ozelemre, viszont Priusnak is megduplázódott gy½ozelmi esélye. De ennyi vizsgálat vajon elég ahhoz, hogy dönteni tudjunk? Nem kellett volna megvizsgálni azt is, hogy milyen meggondolásból cserélte ki a királylány pont Servusnak- és pont az els½o töltényét?

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6 Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

Ismétlés nélküli kombináció

Ismétlés nélküli kombináció Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az 1. Név:......................... Egy ABC-ben délután (5-t½ol 9 óráig) a vásárlók száma óránként 200 várható érték½u Poisson eloszlású valószín½uségi változó. A pénztáros egy vásárlót átlag 2 perc alatt

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket! 1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló

Részletesebben

3. Vírusmentes e-levelemet a kolléga számítógépe fert½ozte meg érkezéskor.

3. Vírusmentes e-levelemet a kolléga számítógépe fert½ozte meg érkezéskor. Haladvány Kiadvány 0.06.4 Számítógépes vírusok vagy ugratás valószín½uségér½ol Hujter M.. Dedikálva egy másik Hujter M. mai születésnapjára. Egy nagyon okos kollégámtól ma kaptam egy e-levelet, mert a

Részletesebben

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás Matematika A I. gyakorlat megoldás 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció n! n! k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen állíthatunk sorba, ha k

Részletesebben

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i )

P (A) = i. P (A B i )P (B i ) P (B k A) = P (A B k)p (B k ) P (A) i P (A B i)p (B i ) 6. A láncszabály, a teljes valószínűség tétele és Bayes-tétel Egy (Ω, A, P ) valószín ségi mez n értelmezett A 1,..., A n A események metszetének valószín sége felírható feltételes valószín ségek segítségével

Részletesebben

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt 1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó

Részletesebben

Házi feladatok. Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz

Házi feladatok. Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz Házi feladatok Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz A házi feladatok tartalmaznak könnyebb és nehezebb példákat is ugyanannyi pontért. A feladatokhoz készítettem

Részletesebben

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály IV. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az feleakkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödször 10 cm magasra pattant fel? 2. feladat.

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény

Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Összeállította: Kucsinka Katalin Tartalomjegyzék Előszó 4 1. Kombinatorika 5 2. Eseményalgebra 14 3. Valószínűségszámítás 21 3.1. Klasszikus valószínűség.....................

Részletesebben

A JÁTÉK CÉLJA A játékosok célja megszabadulni az összes kockájuktól. A győztes az lesz, akinek ez elsőként sikerül.

A JÁTÉK CÉLJA A játékosok célja megszabadulni az összes kockájuktól. A győztes az lesz, akinek ez elsőként sikerül. WASABI Játékszabály A JÁTÉK CÉLJA A játékosok célja megszabadulni az összes kockájuktól. A győztes az lesz, akinek ez elsőként sikerül. A JÁTÉK ELŐKÉSZÜLETEI A játék kezdetén minden játékos kap 4 kockát,

Részletesebben

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. : A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof Dr Závoti József Matematika III 3 MA3-3 modul A valószínűségszámítás elemei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

Egy kockát dobunk fel 100-szor! Határozzuk meg a következő események gyakoriságát és relatív gyakoriságát! 1: 15 2: 17 3: 15 4: 18 5: 19 6: 16

Egy kockát dobunk fel 100-szor! Határozzuk meg a következő események gyakoriságát és relatív gyakoriságát! 1: 15 2: 17 3: 15 4: 18 5: 19 6: 16 Példák Legyen egy kísérlet az, hogy dobókockával dobunk, és felírjuk a dobás értékét! Legyen az A esemény, hogy 6-ot dobunk! Ismételjük meg 100-szor a kísérletet, és összeszámoltuk, hogy 15-ször következett

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Arató Miklós, Prokaj Vilmos és Zempléni András 2013.05.07 Tartalom Tartalom 1 1. Bevezetés, véletlen kísérletek 4 1.1 Bevezetés...................................

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségszámítási alapok Bevezetés A tudományos életben vizsgálódunk pontosabb megfigyelés, elırejelzés, megértés reményében. Ha egy kísérletet végzünk, annak

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége.

gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége. Valószínűségszámítás Egy 10 Ft-os érmét 1000-szer dobtunk fel, és az alábbi táblázatba beleírtuk, hogy bizonyos dobásszámok esetén hányszor fordult elő a fej dobása. Dobások száma 100 200 300 400 500 600

Részletesebben

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály

Megoldások. I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika. 1. osztály Megoldások I. Osztályozás, rendezés, kombinatorika 1. osztály 4. Lackó kezében egy gesztenye van. 5. Kettő. 1 + 1 = 2. 6. Öt. 3 + 2 = 5. 7. Igaz állítás: A), D), E). 2. osztály 1. 6 lehetőség van. Ha ismétel,

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 4. hétre

Feladatok és megoldások a 4. hétre Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint

Részletesebben

Kombinatorika A A B C A C A C B

Kombinatorika A A B C A C A C B . Egy ló, egy tehén, egy cica, egy nyúl és egy kakas megkéri a révészt, hogy vigye át őket a túlsó partra. Hányféle sorrendben szállíthatja át őket a révész, ha egyszerre vagy egy nagy testű állatot, vagy

Részletesebben

Mozgással kapcsolatos feladatok

Mozgással kapcsolatos feladatok Mozgással kapcsolatos feladatok Olyan feladatok, amelyekben az út, id és a sebesség szerepel. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén jelölje s= a megtett utat, v= a sebességet, t= az id t. Ekkor érvényesek

Részletesebben

III. tehát feltéve, hogy P(B)>0 igazak a következők: (1) P( B)=0; (2) P(Ω B)=1; (3) ha C és D egymást kizáró események, akkor

III. tehát feltéve, hogy P(B)>0 igazak a következők: (1) P( B)=0; (2) P(Ω B)=1; (3) ha C és D egymást kizáró események, akkor (matematika I. év, napp.szoc.) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: feltételes valószínűség, Bayes-tétel, események függetlensége ; 1. oldal (4-ből) 2005. október ELMÉLET: 1.) Analógia halmazok elemszáma és események

Részletesebben

Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44.

Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44. Dr. Vincze Szilvia Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44. tétel) Környezetünkben sok olyan jelenséget

Részletesebben

8. OSZTÁLY ; ; ; 1; 3; ; ;.

8. OSZTÁLY ; ; ; 1; 3; ; ;. BEM JÓZSEF Jelszó:... VÁROSI MATEMATIKAVERSENY Teremszám:... 2010. december 7-8. Hely:... 8. OSZTÁLY Tiszta versenyidő: 90 perc. A feladatokat többször is olvasd el figyelmesen! A megoldás menetét, gondolataidat

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

Környezet statisztika

Környezet statisztika Környezet statisztika Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses)

Részletesebben

Kombinatorika gyakorló feladatok

Kombinatorika gyakorló feladatok Kombinatorika gyakorló feladatok Egyszerűbb gyakorló feladatok 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot

Részletesebben

13. Egy január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt:

13. Egy január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt: A 13. Egy 2000. január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt: korcsoport (év) férfiak száma (ezer f ) n k száma

Részletesebben

Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC

Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Játékszabályok Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 100 + x pontot lehet szerezni a félév

Részletesebben

Megoldások 4. osztály

Megoldások 4. osztály Brenyó Mihály Pontszerző Matematikaverseny Megyei döntő 2015. február 14. Megoldások 4. osztály 1. Számkeresztrejtvény: Az alábbi keresztrejtvény ábra abban különbözik a hagyományos keresztrejtvényektől,

Részletesebben

Kétszemélyes négyes sor játék

Kétszemélyes négyes sor játék Kétszemélyes négyes sor játék segítségével lehetővé kell tenni, hogy két ember a kliens program egy-egy példányát használva négyes sor játékot játsszon egymással a szerveren keresztül. Játékszabályok:

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov láncok, Feladatgyűjtemény. 11. Feladatgyűjtemény

Orosz Gyula: Markov láncok, Feladatgyűjtemény. 11. Feladatgyűjtemény 11. Feladatgyűjtemény A fejezet első részében összefoglalási igénnyel felsoroljuk a cikk korábbi (kitűzött és megoldott) feladatait; a második részben néhány gyakorló feladatot tűzünk ki. Feladatok a 2.

Részletesebben

ELLENİRIZD, HOGY A MEGFELELİ ÉVFOLYAMÚ FELADATSORT KAPTAD-E!

ELLENİRIZD, HOGY A MEGFELELİ ÉVFOLYAMÚ FELADATSORT KAPTAD-E! Varga Tamás Matematikaverseny iskolai forduló 2010. 1. feladat Kata egy dobozban tárolja 20 darab dobókockáját. Mindegyik kocka egyszínő, piros, fehér, zöld vagy fekete. 17 kocka nem zöld, 12 nem fehér,

Részletesebben

Felte teles való szí nű se g

Felte teles való szí nű se g Felte teles való szí nű se g Szűk elméleti összefoglaló 1. P(A B) = P(AB) P(B) 2. 0 P(A B) 1 3. P(A A) = 1 4. P(A ) = 0 5. egymást kizáró események esetén: P( A I B) = P(A i B). A és B események függetlenek,

Részletesebben

13. a) Oldja meg a valós számok halmazán a következ egyenletet! 2

13. a) Oldja meg a valós számok halmazán a következ egyenletet! 2 A 13. a) Oldja eg a valós száok halazán a következ egyenletet! ( x ) 90 5 (0,5x 17) 3 x b) Oldja eg a valós száok halazán a egyenl tlenséget! 7x a) 5 pont b) 7 pont 1 pont írásbeli vizsga, II. összetev

Részletesebben

III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló

III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló 1. Mennyi az eredmény 15+17 15+17 15+17=? A) 28 B) 35 C) 36 D)96 2. Melyik szám van a piramis csúcsán? 42 82 38 A) 168 B) 138

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Egy fa tövétől a fára mászik fel egy csiga. Nappalonként 3 métert mászik felfelé, de éjszakánként 2 métert visszacsúszik. Az indulástól számított 10. nap délutánjáig felér a csúcsra. Milyen

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladato A FELADATOK MEGOLDÁSAI A 0. FELADAT UTÁN TALÁLHATÓK.. Egyszerre dobun fel három érmét. Mi anna a valószínűsége, hogy mindegyine ugyanaz az oldala erül felülre?. Két dobóocát

Részletesebben

a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet?

a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet? Az els gyakorlat feladatai 1. Az 1, 3, 5, 7, 8 elemekb l hány olyan 5-jegy szám képezhet, amelyeknek a harmadik számjegye 8? 2. Az 1, 2, 3, 5, 7, 8 elemekb l hány olyan 6-jegy szám képezhet, amely 123-mal

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN

0653. MODUL TÖRTEK. Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. MODUL TÖRTEK Szorzás törttel, osztás törttel KÉSZÍTETTE: BENCZÉDY LACZKA KRISZTINA, MALMOS KATALIN 06. Törtek Szorzás törttel, osztás törttel Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Ismétlés nélküli permutáció

Ismétlés nélküli permutáció Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba

Részletesebben

Szabolcs-Szatmár-Bereg megyei Ambrózy Géza Matematikaverseny 2012/2013 II. forduló 5. osztály

Szabolcs-Szatmár-Bereg megyei Ambrózy Géza Matematikaverseny 2012/2013 II. forduló 5. osztály 5. osztály 1. Hány olyan téglalap van, amelynek minden oldala centiméterben kifejezve egész szám, és a területe 60 cm 2? 2. Adott a síkon egy ABC szabályos háromszög. Keresd meg a síkon az összes olyan

Részletesebben

VALÓSZÍN SÉG-SZÁMÍTÁS

VALÓSZÍN SÉG-SZÁMÍTÁS VALÓSZÍN SÉG-SZÁMÍTÁS oktatási segédanyag Harmati István Árpád SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MATEMATIKA ÉS SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY TANSZÉK. Ez egy másik kávéház. Tartalomjegyzék. A valószín ségszámítás axiómái 5..

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2011. NOVEMBER 26.) 3. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2011. NOVEMBER 26.) 3. osztály 3. osztály Egy fa tövétől a fára mászik fel egy csiga. Nappalonként 3 métert mászik felfelé, de éjszakánként 2 métert visszacsúszik. Az indulástól számított 10. nap délutánjáig felér a csúcsra. Milyen

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Várható érték 1. Egy dobozban 6 cédula van, rajtuk pedig a következő számok: (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6; (b) 1, 2, 6, 6, 6, 6;

Részletesebben

3. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva, egyszer páros, egyszer páratlan számot dobunk?

3. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva, egyszer páros, egyszer páratlan számot dobunk? Valószínűségszámítás, gráfok, statisztika 1. Egy 660 fős iskola tanulóinak 60%-a lány. A lány tanulók 25%-a a 12. évfolyamra jár. Egy tetszőleges tanulót választva az iskola tanulói közül, mennyi a valószínűsége,

Részletesebben

Orosz Gyula Markov láncok Feladatgyűjtemény http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/orosz_gyula/mar/ 11. Feladatgyűjtemény

Orosz Gyula Markov láncok Feladatgyűjtemény http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/orosz_gyula/mar/ 11. Feladatgyűjtemény 11. Feladatgyűjtemény A fejezet első részében összefoglalási igénnyel felsoroljuk a cikk korábbi (kitűzött és megoldott) feladatait; a második részben néhány gyakorló feladatot tűzünk ki. Feladatok a 2.

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Kaland és blöff a bányában

Kaland és blöff a bányában 3 8 Játékos részére 8 éves kortól Szerz k: Alan R. Moon & Bruno Faidutti Kaland és blöff a bányában Tartalom 1 játéktér az alaptáborral és 5 bányabejárattal 30 bányakártya: 15 drágak kártya: 1, 2, 3, 4,

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 0893. MODUL VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA Felmérés Készítette: Pintér Klára Matematika A 8. évfolyam 0892. modul: Valószínűség, statisztika Felmérés 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

I. Egységtörtek. Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér.

I. Egységtörtek. Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér. Tudnivaló I. Egységtörtek Ha az egységet nyolc egyenlő részre vágjuk, akkor ebből egy rész 1-nyolcadot ér. Ezt röviden így írhatjuk: A nevező megmutatja, hogy az egységet hány egyenlő részre vágjuk. A

Részletesebben

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas)

A két csapatra osztás leggyakoribb megvalósításai: Lyukas teli (vagy sima vagy nem lyukas) Eredeti forrás: Pintér Klára: Játsszunk Dienes Zoltán Pál logikai készletével! http://www.jgypk.u-szeged.hu/methodus/pinter-klara-jatsszunk-logikat-logikai-keszlettel/ A logikai készlet lapjaival kapcsolatos

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6

7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 7. évfolyam I. félév, 2. feladatsor 1/6 6. Egy kocka élei 2 cm hosszúak. A kocka fehér, de rendelkezésünkre áll sok a) 1cm 3cm-es b) 1cm 4cm-es c) 1cm 5cm-es d) 1cm 6cm-es piros papírszalag, amelyeket

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 9. hétre. 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy:

Feladatok és megoldások a 9. hétre. 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy: Feladatok és megoldások a 9. hétre Építőkari Matematika A3 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy: párosat dobunk? legalább 3-ast dobunk? legfeljebb

Részletesebben

2013. május 16. MINIVERSENY Csapatnév:

2013. május 16. MINIVERSENY Csapatnév: 1. Az ábrán látható ötszög belsejében helyezzetek el 3 pontot úgy, hogy az ötszög bármely három csúcsa által meghatározott háromszög belsejébe pontosan egy pont kerüljön! El lehet-e helyezni 4 pontot ugyanígy?

Részletesebben

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

Valószínűség-számítás II.

Valószínűség-számítás II. Valószínűség-számítás II. Geometriai valószínűség: Ha egy valószínűségi kísérletben az események valamilyen geometriai alakzat részhalmazainak felelnek meg úgy, hogy az egyes események valószínűsége az

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 3. évfolyam Diák mérőlapok A kiadvány KHF/3992-8/2008. engedélyszámon 2008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul

közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Matematika A 4. évfolyam MŰVELETi tulajdonságok, a műveletek közti kapcsolatok, Ellenőrzés, Játék 21. modul Készítette: KONRÁD ÁGNES matematika A 4. ÉVFOLYAM 21. modul Műveleti tulajdonságok, a műveletek

Részletesebben

1. Mennyi a dobókockák nem látható lapjain levő pontok ( számok ) összege? A ) 14 B ) 20 C ) 21 D ) 24

1. Mennyi a dobókockák nem látható lapjain levő pontok ( számok ) összege? A ) 14 B ) 20 C ) 21 D ) 24 . Mennyi a dobókockák nem látható lapjain levő pontok ( számok ) összege? A ) 4 B ) 20 C ) 2 D ) 24 2. Mennyi az alábbi művelet eredménye? 2 + 2 =? 5 6 A ) B ) C ) D ) 0. Egy könyvszekrénynek három polca

Részletesebben

MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS?

MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS? MATEMATIKA C 8. évfolyam 10. modul ÁTLAGOS? Készítette: Surányi Szabolcs MATEMATIKA C 8. ÉVFOLYAM 10. MODUL: ÁTLAGOS? TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

KockaKobak Országos Matematikaverseny osztály

KockaKobak Országos Matematikaverseny osztály KockaKobak Országos Matematikaverseny 9-10. osztály 015. november 6. A feladatsort készítette: RÓKA SÁNDOR Lektorálta: DR. KISS GÉZA www.kockakobak.hu A válaszlapról másold ide az azonosítódat az eredmény

Részletesebben

A játék célja A játék végére gyűjts annyi boldog tehenet a farmodra, amennyit csak lehetséges.

A játék célja A játék végére gyűjts annyi boldog tehenet a farmodra, amennyit csak lehetséges. Szomorú ez a nap a tehenek számára... A farmer épp üzle úton van. Mr. T-Bone, a farm nagymenője, nem mutat túl nagy érdeklődést a tehenek iránt. És persze a friss széna is elfogyo. Elég volt a felkérődzö

Részletesebben

A 5-ös szorzó- és bennfoglalótábla

A 5-ös szorzó- és bennfoglalótábla A 5-ös szorzó- és bennfoglalótábla 1. Játsszátok el, amit a képen láttok! Hány ujj van a magasban, ha 1 kezet 3 kezet 4 kezet 0 kezet 6 kezet 8 kezet látsz? 1 @ 5 = 3 @ 5 = 4 @ 5 = 0 @ 5 = 0 2. Építsd

Részletesebben

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =

Részletesebben

T Y R O S by Martin Wallace

T Y R O S by Martin Wallace 3-4 játékos számára 10 év felett T Y R O S by Martin Wallace A Tyros egy, a Földközi-tenger területén játszódó kereskedő és gyarmatosító játék. A játékosok egy-egy ókori főníciai kereskedő családot képviselnek.

Részletesebben

::JÁTÉKLAP:: Társasjáték Portál. Coloretto

::JÁTÉKLAP:: Társasjáték Portál. Coloretto Coloretto Tervezte: Michael Schacht Kiadja: ABACUSSPIELE Verlags GmbH & Co. KG, 63303 Dreieich info@abacusspiele.de www.abacusspiele.de 3-5 játékos részére, 8 éves kortól, játékidő kb. 30 perc Összefoglaló

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika handoutok Kende, Gábor Németh, Renáta

Valószínűségszámítás és statisztika handoutok Kende, Gábor Németh, Renáta Valószínűségszámítás és statisztika handoutok Kende, Gábor Németh, Renáta Valószínűségszámítás és statisztika handoutok írta Kende, Gábor és Németh, Renáta Publication date 2011. Tartalom Bevezetés...

Részletesebben

GYORS TÉNYKÉP BUDAPEST KIEMELT KÖZÉPTÁVÚ FEJLESZTÉSI CÉLJAI SCHNELLER ISTVÁN

GYORS TÉNYKÉP BUDAPEST KIEMELT KÖZÉPTÁVÚ FEJLESZTÉSI CÉLJAI SCHNELLER ISTVÁN Tér és Társadalom 6. 1992.3-4: 265-278 GYORS TÉNYKÉP BUDAPEST KIEMELT KÖZÉPTÁVÚ FEJLESZTÉSI CÉLJAI SCHNELLER ISTVÁN Budapest egyszerre közigazgatási központ, idegenforgalmi célpont, beruházások székhelye,

Részletesebben

1. gyakorlat. 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12?

1. gyakorlat. 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12? 1. gyakorlat 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12? 2. Egy urnában 3 lap van, az egyikre 1, a másikra 2, a harmadikra

Részletesebben

DÖNTŐ MEGOLDÁSOK 5. OSZTÁLY

DÖNTŐ MEGOLDÁSOK 5. OSZTÁLY 5. OSZTÁLY 1.) A páratlan számjegyek száma 5, közülük 1 db, illetve 3 db lehet a háromjegyű számunkban. Ha mindhárom számjegy páratlan, akkor az 5 lehetőségből választhatunk mindhárom helyiértékre. Így

Részletesebben

Days of Wonder Colosseum Wolfgang Kramer & Markus Lübke

Days of Wonder Colosseum Wolfgang Kramer & Markus Lübke Amint az a császár megparancsolta, a Róma történetének legnagyobb ünnepe változatlanul folytatódott 99 napon át. Róma népe tanúja volt a leghatalmasabb látványosságnak, amit a birodalom valaha is látott.

Részletesebben

Valószín ségszámítás közgazdászoknak

Valószín ségszámítás közgazdászoknak Valószín ségszámítás közgazdászoknak Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet 2015. szi félév Bevezetés Tudnivalók a kurzusról Tudnivalók a kurzusról Az el adás és a gyakorlat külön kreditelt,

Részletesebben

835 + 835 + 835 + 835 + 835 5

835 + 835 + 835 + 835 + 835 5 Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 20/20 II. forduló. A macska és az egér jobbra indulnak el. Ha az egér négyzetet ugrik, akkor a macska 2 négyzetet lép előre. Melyik négyzetnél éri utol a macska az

Részletesebben

Megoldások 11. osztály

Megoldások 11. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 016. március 1115. Megoldások 11. osztály 1. feladat Egy háromszög három oldalának mér száma, a, b, c ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást

Részletesebben

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben

Részletesebben