6. Buffon problémája: egy egységnyi hosszú tűt véletlenszerűen ledobunk a síkra, ahol a szomszédaiktól

Átírás

1 Klasszikus valószínűségi mező Valószínűségszámítás feladatok 1. Mekkora a valószínűsége, hogy kockával hatszor dobva mind a 6 szám előfordul? Mekkora a valószínűsége, hogy 12-szer dobva mind a 6 szám pontosan kétszer fordul elő? 2. Egy fiókban 10 egyforma pár kesztyű van. Találomra kiveszünk 4 darabot. Mekkora a valószínűsége, hogy lesz köztük egy pár? És ha a párok különbözőek? 3. Egyes vidékeken a következő népszokás járja: az eladósorban levő lányok kimennek a rétre, egyikük 6 fűszálat vesz a kezébe, úgy, hogy alul-felül csak a fűszálak végei látszanak. Egy társa alul-felül párosával összeköti a végeket. Ha ezáltal egy összefüggő lánc keletkezik, a hiedelem szerint a lány még abban az évben férjhez megy. Mekkora ennek a valószínűsége? 4. Két kockával dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy az összeg 7? 5. De Méré lovag feladata: mi a valószínűbb, hogy egy kockával 4-szer dobva legalább egyszer dobunk hatost, vagy hogy két kockával 24-szer dobva legalább egyszer dupla hatost? Geometriai valószínűség 6. Buffon problémája: egy egységnyi hosszú tűt véletlenszerűen ledobunk a síkra, ahol a szomszédaiktól egységnyi távolságra levő párhuzamos egyenesekből álló rács van. Mekkora a valószínűsége, hogy a tű egyetlen vonalat sem metsz? 7. Négyzethálós papírra a négyzetek oldalával megegyező hosszúságú tűt dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy a tű egyetlen vonalat sem metsz? 8. Bertrand-paradoxon: Mekkora a valószínűsége, hogy ha egy körben véletlenszerűen választunk egy húrt, az nagyobb lesz, mint a körbe írható szabályos háromszög oldala? ( véletlenszerűen a húrt jellemezhetjük a középpontjával, egyik végpontjával, ill. a kör középpontjától való távolságával.) 9. A (0; 1) intervallumból három számot választunk véletlenszerűen. Mekkora a valószínűsége, hogy ezek egy háromszög oldalhosszai? 10. Egy pálcát véletlenszerűen, két töréssel három részre törünk. Mi annak a valószínűsége, hogy a darabokból háromszöget lehet összeállítani? 11. * Egy pálcát véletlenszerűen kettétörünk, aztán a hosszabbik részt ismét kettétörjük. Mekkora valószínűsége, hogy a darabokból háromszöget lehet összeállítani? 12. Egy 2 oldalhosszúságú négyzetben véletlenszerűen választunk egy pontot. Mekkora a valószínűsége, hogy az oldalaktól mért távolságainak négyzetösszege kisebb, mint 6? 13. Egy körön véletlenszerűen választunk három pontot. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az általuk meghatározott háromszög tartalmazza a kör középpontját? 14. * Egy körön véletlenszerűen választunk n pontot (n 3) pontot. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az általuk meghatározott n-szög tartalmazza a kör középpontját? 15. ** Most a kör belsejében választunk n pontot. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a konvex burok tartalmazza a kör középpontját? 16. d hosszúságú szakaszt véletlenszerűen ledobunk a síkra. Mekkora az x-tengelyre eső vetületének a várható értéke? 17. a, b oldalú téglalapot dobunk. Mekkora a vetület hosszának a várható értéke? 18. * Konvex idomot dobunk. Mekkora a vetület hosszának a várható értéke? 19. * Egy körben felveszünk két pontot véletlenszerűen, majd a szakasz, mint átmérő fölé kört emelünk. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a két körvonal nem metszi egymást? 20. Egy háromszög oldalai a, b és c. Mekkora a valószínűsége, hogy egy találomra választott pontnak az oldalaktól mért távolságaiból háromszög alkotható? Mekkora ez szabályos háromszög esetén? Milyen háromszögre lesz ez a legnagyobb? 21. A gömbfelületen véletlenszerűen választott pontot levetítjük az egyik átmérőre. Milyen eloszlású a vetület? 1

2 22. Három számot veszünk véletlenszerűen a (0, 1) intervallumból. Mekkora a valószínűsége, hogy ezek egy hegyesszögű háromszög oldalai? Lottóval kapcsolatos feladatok. 23. Ugyanazokkal a számokkal játszunk minden héten. Melyiknek nagyobb a valószínűsége: első héten legalább kettesünk lesz, vagy három évig nem nyerünk semmit? 24. Mi a találatok számának eloszlása? 25. Mi a legkisebb/legnagyobb/nagyság szerint középső lottószám eloszlása? 26. Mi a range (max min) eloszlása? 27. Addig lottózunk ugyanazzal az öt számmal, amíg ötösünk nem lesz. Mi a legvalószínűbb, hogy ez hányadik héten következik be? Alapok. 28. Fejezzük ki az A 1, A 2,..., A n események segítségével azt az eseményt, hogy közülük pontosan k (legalább k) következik be. 29. Számítsuk ki P (A B) P (A)P (B) minimális és maximális értékét, ahol A és B tetszőleges események lehetnek. 30. * Számítsuk ki P (A 1... A n ) P (A 1 ) P (A n ) minimális és maximális értékét, ahol A 1,..., A n tetszőleges események lehetnek. 31. Legyen A B az az esemény, hogy A és B közül pontosan egy következik be. a) Bizonyítsuk be, hogy ez a művelet asszociatív. b) Mi a szemléletes jelentése A 1 A 2 A n -nek? c) Bizonyítsuk be, hogy P (A 1 A 2 A n ) = S 1 2S 2 + 4S ( 2) n 1 S n, ahol S k = P (A i1... A ik ). 1 i 1 <...<i k n 32. * Legyenek A 1,..., A n tetszőleges, pozitív valószínűségű események. Mutassuk meg, hogy n 1 n P (A i A j ) 1. n P (A i )P (A j ) Szita-formulák i=1 j=1 33. Legyenek A 1,..., A n tetszőleges események, jelölje N, hogy hány teljesül közülük. Mutassuk meg, hogy n k ( ) i + k 1 P (N k) = ( 1) i S k+i. i i=0 34. Mutassuk meg, hogy az előző feladatban a jobb oldalon álló szumma részletösszegei felváltva alsó, ill. felső becslést adnak, aszerint, hogy az utolsó tag előjele negatív vagy pozitív. 35. Rényi-féle gráf-szita. Legyenek A 1,..., A n tetszőleges események, és legyen G az {1, 2,..., n} pontokon megadott egyszerű gráf. Jelölje Sk, ill. S k az S k összeg olyan módosításait, hogy csak azokat a P (A i1... A ik ) tagokat adjuk össze, amelyekre {i 1,..., i k } nem tartalmazza a G gráf egy élét sem (Sk ), ill. legfeljebb egy élt tartalmaz (S k ). Mutassuk meg, hogy 1 S1 + S2 S3 + S4... S2k 1 P (N = 0) 1 S1 + S2 S S2k. 36. Legyenek A 1,..., A n tetszőleges események. Mutassuk meg, hogy az S k / ( n k), k = 0, 1,..., n sorozat monoton fogyó és konvex. 37. Egy urnában n számozott cédula van. Addig húzunk visszatevéssel, amíg mindegyiket legalább egyszer nem láttuk. Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan k húzásra lesz szükség? 38. Egy csokoládégyárban minden doboz desszertbe 12 féle reklámcédula közül egyet-egyet tesznek. Aki összegyűjti és beküldi mind a 12 félét, jutalmat kap. Mennyi a valószínűsége, hogy éppen k dobozzal kell vásárolnunk ahhoz, hogy mindegyik fajta cédulából legyen legalább egy példányunk? 39. N golyót szétosztunk M urnába, mindegyiket a többitől függetlenül egyforma eséllyel tesszük bármelyik urnába. Mi az üresen maradt urnák számának eloszlása? 2

3 40. n ember között találomra kiosztjuk a névjegyeiket. Mekkora a valószínűsége, hogy pontosan k ember kapja a sajátját? Hová tart ez a valószínűség, ha k rögzített és n? 41. n elem egy véletlen permutációjában mi az m hosszúságú ciklusok számának eloszlása? Mi a határeloszlás, ha n? 42. Az 1, 2,..., n számok közül két számot választunk véletlenszerűen. Legyen p n annak a valószínűsége, hogy relatív prímek. Határozzuk meg p n határértékét, ha n. Mi a helyzet, ha k számot választunk, és p n annak a valószínűsége, hogy páronként relatív prímek? Feltételes valószínűség, teljes valószínűség tétele, Bayes-tétel 43. Három kártyalapunk van: egyiknek mindkét oldala piros, egy másiknak mindkét oldala kék, a harmadiknak pedig egyik oldala kék, a másik piros. Kihúzunk egyet közülük és valamelyik lapjával felfelé az asztalra tesszük. Piros lapot látunk. Mekkora a valószínűsége, hogy a másik lap is piros? 44. Egy fontos irat egyforma eséllyel lehet otthon és a munkahelyünkön. Utóbbi esetben az íróasztalunk 9 fiókjának valamelyikében van. Már 8 fiókot átnéztünk, azokban nem volt. Mekkora a valószínűsége, hogy az utolsó fiókban van? 45. Száz kocka közül 99 szabályos, egy pedig szabálytalan, ennek mindegyik oldalán hatos van. Találomra kiveszünk egy kockát és háromszor feldobjuk. Mindháromszor hatos jön ki. Mekkora a valószínűsége, hogy a szabálytalan kockával dobtunk? 46. A főnököt egy adott napon kereső telefonok száma λ paraméterű Poisson eloszlású. A titkárnő minden hívást a többitől függetlenül p valószínűséggel kapcsol be. Milyen az eloszlása a főnökhöz bekapcsolt hívások számának? 47. Egy berendezést sokkszerű hatások érnek, amelyek következtében előbb-utóbb tönkremegy. A tönkremenéshez vezető sokkok száma p paraméterű geometriai eloszlású. A karbantartók minden egyes sokkról csak c valószínűséggel szereznek tudomást. Ők milyennek látják a tönkremenéshez vezető sokkok számának eloszlását? 48. Egy gyárban a selejt valószínűsége minden egyes terméknél p. A minőségellenőr r valószínűséggel veszi észre a selejtet. Mekkora a valószínűsége, hogy egy termék, amely átcsúszott a minőségellenőrzésen, mégis selejtes? 49. n + 1 urnánk van, 0-tól n-ig számozva. Az i-edik urnában i piros és n i fehér golyó van. Találomra választunk egy urnát, majd abból k-szor húzunk visszatevéssel. a) Mekkora a valószínűsége, hogy mind a k kihúzott golyó piros? b) Mekkora a valószínűsége, hogy ha mind a k húzásnál piros golyót kaptunk, akkor a következő, k + 1-edik húzásra is piros golyó jön? 50. Tönkremenési feladat. Ketten fej-vagy-írást játszanak egy szabályos érmével. Ha fej, az első játékos fizet egy forintot a másiknak, ha írás jön ki, fordítva. Az első játékosnak eredetileg k, a másiknak m forintja van. Addig játszanak, amíg valamelyikük az összes pénzét el nem veszti. Mennyi a valószínűsége, hogy ez az első játékos lesz? 51. * Mekkorák a tönkremenési valószínűségek szabálytalan érme esetén (azaz amikor P (fej) = p)? 52. Egyszerű szimmetrikus bolyongásnál jelölje ξ n, hogy hányszor járunk az n pontban, mielőtt először visszatérünk az origóba. Számítsuk ki ξ n eloszlását, várható értékét és szórását. 53. Ákos és Bálint egy dobókockát dobálnak. Ha a dobás 1 vagy 2, Ákos nyer, ha 6, Bálint nyer és a játék be is fejeződik, a többi fajta dobásnál pedig folytatódik. Mekkora a valószínűsége, hogy a játék Ákos nyerésével fejeződik be? 54. Körbeverő futamok. Két fej-írás sorozat közül azt nevezzük jobbnak, amelyikre 1/2-nél nagyobb annak a valószínűsége, hogy egy szabályos érmét dobálva hamarabb következik be, mint a másik. Mutassuk meg, hogy F F I-nél jobb IF F, IF F -nél jobb IIF, IIF -nél jobb F II és végül F II-nél jobb F F I, vagyis ez a rendezés nem tranzitív. 55. Ákos és Bálint egy olyan érmét dobálnak, amelynél a fej valószínűsége 1/3. Ha előbb lesz egymás után két fej, mint két írás, Ákos nyer, ellenkező esetben Bálint. a) Mekkora valószínűséggel nyer Ákos? 3

4 b) Mekkora a játék befejeződéséhez szükséges dobások számának várható értéke? 56. Ákos és Bálint egy pénzdarabot dobálnak. Ákos a F F I, Bálint az II futamra vár. Mekkora a valószínűsége, hogy Ákos sorozata következik be előbb? (szimmetrikus érmére triviális, de oldjuk meg nem szimmetrikusra is) További elemi feladatok 57. Egy kockával addig dobunk, amíg hatost nem kapunk. a) Mekkora a valószínűsége, hogy eközben dobunk egyest? b) Mekkora a valószínűsége, hogy eközben dobunk egyest, de kettest nem? 58. Ákos feldob egy szabályos érmét n-szer, Bálint n + 1-szer. Mekkora a valószínűsége, hogy Bálint több fejet dob? 59. Osztozkodási probléma. Ketten fej-vagy-írást játszanak egy szabályos érmével. Mindketten betesznek egy bizonyos összeget és a tétet az fogja nyerni, akinek előbb lesz 10 találata. A játékot abba kell hagyniuk, amikor az első játékos 7-szer, a második pedig 8-szor talált. Milyen arányban osszák fel egymás között a tétet? 60. Banach professzor szenvedélyes dohányos volt. Mindkét zsebében egy-egy doboz gyufát tartott, amelyekben eredetileg n szál gyufa volt. Minden rágyújtásnál találomra nyúlt a bal vagy a jobb zsebébe. Mekkora a valószínűsége, hogy amikor először történt meg, hogy az elővett gyufásdoboz üres volt, a másik doboz még pontosan k szál gyufát tartalmazott? Mely k-ra maximális ez a valószínűség? 61. Feldobunk egy érmét, ha fejet kapunk, akkor még kétszer dobunk, ha pedig írást, akkor még egyszer. Mi lesz az eseménytér? Mi a dobott fejek számának eloszlása, ha az érme szabályos? 62. Pólya-féle urnamodell. Egy urnában a piros és b fehér golyó van. Minden húzás után a golyót visszatesszük és még c ugyanolyan színű golyót teszünk az urnába. Mekkora valószínűsége, hogy n húzásból k-szor kapunk piros golyót? 63. Az igazságos ítélkezés paradoxona. Egy ötfős bírói testület többségi döntéssel alkot véleményt a vádlott bűnösségéről. A bírák közül ketten 0,05-0,05 valószínűséggel, ketten 0,1-0,1 valószínűséggel tévednek, az ötödik pedig 0,2 valószínűséggel hoz rossz döntést. a) Ha egymástól függetlenül ítélkeznek, mekkora a valószínűsége, hogy a többségi döntés helyes? b) A legnagyobb valószínűséggel tévedő bíró feladja függetlenségét és ezután mindig ugyanúgy szavaz, mint az egyik legbiztosabb társa. Mennyivel nő a helyes többségi döntés valószínűsége? 64. Két lövész felváltva lő egy céltáblára. Mindketten valószínűséggel találnak. Mekkora a valószínűsége, hogy a kezdő talál először? És ha a találati valószínűségek p 1, ill. p 2? 65. Két labdarúgócsapat, A és B páros sok mérkőzést játszik egymással. Minden meccset eldöntenek (pl. tizenegyesrúgásokkal). Az A csapat nyerési valószínűsége 0,45. Az a csapat nyeri a kupát, amelyik több mérkőzést nyert meg. Hány mérkőzés esetén legnagyobb az A csapat esélye a kupa megnyerésére? Igaze, hogy mivel a játék az A csapat részére kedvezőtlen, az a legjobb neki, ha összesen csak két mérkőzést játszanak? 66. Három dobókockára a következő számok vannak írva: A: 1,4,4,4,4,4; B: 2,2,2,5,5,5; C: 3,3,3,3,3,6. Ákos választhat egy kockát, majd a maradékból Bálint is. Ezután feldobják kockáikat és az nyer, aki nagyobbat dobott. Igaz-e, hogy a játék Ákosnak kedvező, hiszen kiválaszthatja a legjobb kockát? 67. Melyik a binomiális, a Poisson, a negatív binomiális eloszlás maximális tagja? 68. A ZH-n öt feladat volt. A hallgatók minden feladatot egymástól és a többiektől függetlenül p valószínűséggel tudnak megoldani. Egyikük azonban, ha a feladatot nem tudja megoldani, puskázni kezd a két szomszédjáról. Mekkora a valószínűsége, hogy a puskázó legalább három feladatot önállóan oldott meg, ha mind az ötre adott be megoldást? 69. Egy kockát százszor feldobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy az összeg osztható hattal? 70. *,,Ki nevet a végén játékban egy számozott mezőkből álló táblán annyi mezőt lépünk előre, ahányat a dobókockával dobunk. A 0-ás mezőből indulunk. Jelölje p n annak a valószínűségét, hogy rálépünk az n-es mezőre. Számítsuk ki p n határértékét, ha n. 4

5 71. * Egy szöcske vadászterülete 10 fűszál. Minden másodpercben átugrik egy másik fűszálra, egyforma valószínűséggel választva az összes többi közül. Mekkora a valószínűsége, hogy n ugrás után ismét a kiindulási fűszálon tartózkodik? 72. Egy páros mérkőzésben az egyik játékos minden játszmában ugyanakkora valószínűséggel győzi le az ellenfelét. Összesen n játszmát játszanak, ebből k-t az egyik napon, (n k)-t a másikon (1 k n). Játékosunk különdíjat kap, ha valamlyik napon kétszer egymás után nyer. Milyen k esetén lesz a különdíj valószínűsége a legnagyobb, illetve a legkisebb? 73. Mutassuk meg, hogy az A 1, A 2,..., A n események pontosan akkor függetlenek, ha P (A ε Aεn n ) = P (A ε1 1 )... P (Aε n n ) teljesül, minden (ε 1,..., ε n ) {0, 1} n választásra, ahol A 1 = A és A 0 = A. 74. Mutassuk meg, hogy a fenti 2 n egyenlőség közül elhagyható az az n + 1, amelyben ε ε n * Próbáljuk meghatározni, melyik n + 1 egyenlőség hagyható el. 76. Az 1, 2,..., n számokat egymás után, visszatevés nélkül kihúzzuk egy kalapból. Jelölje r i az i-ediknek húzott szám relatív rangját, vagyis azt, hogy az addig kihúzottak között nagyság szerint növekvő sorrendben hányadik helyen áll. Mutassuk meg, hogy az r 1, r 2,..., r n valószínűségi változók függetlenek, és r i az 1, 2,..., i értékeket 1 i 1 i valószínűséggel veszi fel. 77. A kalifa abban a jutalomban részesíti Szindbádot, hogy választhat egyet az uralkodó n szebbnél szebb hölgyet tartalmazó háreméből. A hölgyek véletlenszerű sorrendben, egyesével vonulnak el Szindbád előtt, aki bármikor kiválaszthatja az éppen érkezőt, de ha egy hölgy már elment, nem lehet visszahívni. (Tegyük fel, hogy Szindbád egyértelmű szépségsorrendet tud megállapítani a már látott hölgyek között.) Szindbád azt a stratégiét választja, hogy először elenged k hölgyet, majd az ezután érkezők közül azt választja, amelyik szebb az összes korábbiaknál. a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy ilyen módon sikerül a legszebbet választania? b) Mely k-ra a legnagyobb ez a valószínűség? 78. * Mi az optimális stratégia? 79. * Egyszerű szimmetrikus bolyongásban mi lesz az első 2n lépése során a pozitív oldalon töltött idő eloszlása, ha azzal a feltétellel nézzük, hogy a 2n-edik lépésben visszatérünk az origóba? 80. n elem véletlen permutációjában írjuk fel az inverziók számának a generátorfüggvényét. Várható érték, szórásnégyzet 81. Egy dobókockát százszor feldobunk. Számítsuk ki a páros dobások összegének várható értékét és szórásnégyzetét. 82. Egy urnában 6 cédula van. Két cédulán 0, két másikon 1, az utolsó kettőn pedig 5 áll. 10-szer húzunk visszatevéssel. Jelölje X a kihúzott cédulákon álló számok szorzatát. Adjuk meg X várható értékét. Kiszámíthatjuk X eloszlását is. 83. n urnánk van, 1-től n-ig számozva. Az i-edik urnában i piros és n + 1 i fehér golyó van. Találomra választunk egy urnát, majd abból addig húzunk visszatevéssel, amíg piros golyót nem kapunk. Mekkora a szükséges húzások számának várható értéke? 84. Egy urnában n számozott cédula van. Addig húzunk visszatevéssel, amíg mindegyiket legalább egyszer nem láttuk. Mekkora a szükséges húzások számának várható értéke? 85. Egy csokoládégyárban minden doboz desszertbe 20 féle reklámcédula közül egyet-egyet tesznek. 20 dobozzal vásárolunk. Mekkora a bennük talált különböző fajta cédulák számának várható értéke és szórásnégyzete? 86. N golyót szétosztunk M urnába, mindegyiket a többitől függetlenül egyforma eséllyel tesszük bármelyik urnába. Mi az üresen maradt urnák számának várható értéke és szórásnégyzete? 87. n ember között találomra kiosztjuk a névjegyeiket. Mekkora a saját névjegyüket kapó emberek számának várható értéke és szórásnégyzete? 88. n elem véletlen permutációjában mekkora az m hosszúságú ciklusok számának várható értéke és szórásnégyzete? 89. n elem véletlen permutációjában mekkora az inverziók számának várható értéke és szórásnégyzete? 5

6 90. Számítsuk ki indikátorokra bontással a hipergeometrikus eloszlás várható értékét és szórásnégyzetét. 91. Egy érménél a fej valószínűsége p. Az érmével dobálva mekkora az első, ill. a második azonos jelekből álló dobássorozat (futam) hosszának a várható értéke és szórásnégyzete? 92. Két (egyenként n kártyából álló) egyforma csomag kártyát összekeverünk. Jel lje X, hogy hányszot van két egyforma kártya egymás mellett. Számítsuk ki X n várható értékét, szórásnégyzetét és generátorfüggvényét. 93. Egy kockával addig dobunk, amíg egymás után két hatost nem kapunk. Mekkora a szükséges dobások számának várható értéke? És ha k egymás utáni hatosra várunk? 94. Tönkremenési feladat. Ketten fej-vagy-írást játszanak egy szabályos pénzdarabbal. Ha fej, az első játékos fizet egy forintot a másiknak, ha írás jön ki, fordítva. Az első játékosnak eredetileg k, a másiknak m forintja volt. Addig játszanak, amíg valamelyikük az összes pénzét el nem veszíti. Mekkora az ehhez szükséges partik számának a várható értéke? 95. Fej vagy írást játszunk egy szabályos érmével: ha fejet dobunk, megnyerjük a tétet, ha írást, elveszítjük. Amikor leülünk játszani, 1 petákunk van és az a célunk, hogy 5 petákot gyűjtsünk. Merész stratégiával játszunk, azaz mindig feltesszük az összes pénzünket, kivéve, ha már kevesebb is elég lenne a célunk eléréséhez. a) Mekkora valószínűséggel érjük el a célunkat? Átlagosan hány játszmában veszünk részt? b) Válaszoljunk a kérdésekre óvatos stratégia esetén is, azaz, ha minden játszmában csak 1 petákot teszünk fel. 96. Érmével addig dobunk, amíg a F F IF sorozat meg nem jelenik. Mekkora az ehhez szükséges dobások számának várható értéke? 97. Egy urnában 9 cédula van, 1-től 9-ig megszámozva. Addig húzunk visszatevéssel, amíg 4-nél nagyobb számot nem kapunk. Határozzuk meg a kihúzott számok összegének várható értékét. 98. Egy 100 oldalas magyar nyelvű könyv lapjai összekeveredtek a 90 oldalas angol fordításáéval. Átlapozva az immár 190 oldalas könyvet, azt figyeljük meg, hogy hányszor következett angol oldal után magyar vagy magyar után angol. Legyen ez a szám X. Adjuk meg X várható értékét és szórásnégyzetét. 99. Egy gyümölcsösben rendkívül elszaporodtak a kártevők. Egy gyümölcsben levő kukacok száma Poisson eloszlású valószínűségi változónak tekinthető, a paraméter = 2. Egy permetezés során minden egyes kukac a többitől függetlenül 0,75 valószínűséggel pusztult el. A permetezés után leszedünk 5 gyümölcsöt. a) Mekkora a valószínűsége, hogy legalább 2 kukacos van köztük? b) Mennyi az öt gyümölcsben összesen levő kukacok számának várható értéke? c) Jelölje X azon gyümölcsök számát (az ötből), amelyekben van kukac. E(X) =? 100. Egy osztályban 10 tanuló egy-egy dobókockát dobál, mindegyikük addig, amíg hatost nem kap. a) Mekkora a valószínűsége, hogy mindenkinek legalább kétszer kell dobnia? b) Mennyi a tíz tanuló által összesen végzett dobások számának várható értéke? c) Jelölje X azon tanulók számát, akik elsőre dobtak hatost. E(X) =? 101. * Egy urnában a piros és b fehér golyó van. Egyesével, visszatevés nélkül kihúzzuk őket és minden húzás előtt tippelhetünk. Optimális stratégia esetén mekkora a találatok számának várható értéke? Ha általánosan nem megy, határozzuk meg a = b = 5-re Legyenek A 1, A 2,... A n független események, jelölje N, hogy hány teljesül közülük. Mutassuk meg, hogy S k = E ( N k ) Legyenek A 1, A 2,... független események, jelölje N, hogy hány teljesül közülük. Mutassuk meg, hogy N nem lehet Poisson-eloszlású Legyen minden n-re N n független indikátorok összege. Tegyük fel, hogy n esetén E(N n ) λ és D 2 (N n ) λ, ahol 0 < λ <. Mutassuk meg, hogy ekkor N n határeloszlása λ paraméterű Poisson. Együttes eloszlás, korrelációs együttható Egy harminckét lapos magyar kártyacsomagból a 4 ász és a 4 király van a kezünkben. Ebből választunk 2 lapot visszatevés nélkül. Jelölje X a kapott piros színű, Y pedig a zöld színű lapok számát. Számítsuk ki X és Y várható értékét, szórását és az R(X, Y ) korrelációs együtthatót. 6

7 106. Két kockát feldobunk. Jelölje X a kisebb, Y pedig a nagyobb dobás eredményét. a) Írjuk fel X és Y eloszlását és az együttes eloszlásukat. b) Számítsuk ki X és Y várható értékét. c) Számítsuk ki R(X, Y )-t. d) Számítsuk ki az a)-t és b)-t k kockára is X 1, X 2,... független, azonos eloszlású, véges szórású valószínűségi változók. Legyen k < m < n, számítsuk ki X X m és X k X n korrelációs együtthatóját Számítsuk ki R(I(A), I(B))-t. Mutassuk meg, hogy a két indikátor pontosan akkor korrelálatlan, ha a megfelelő események függetlenek Legyenek (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) független, azonos eloszlású, véges szórású vektorok. Jelölje S X = X X n, S Y = Y Y n. Mutassuk meg, hogy R(S X, S Y ) = R(X 1, Y 1 ) Egy kísérletnek k kimenetele van, ezek rendre p 1, p 2,..., p k valószínűségűek. A kísérletet n-szer elvégezzük, egymástól függetlenül. Jelölje az i-edik kimenetel bekövetkezéseinek a számát X i. Milyen eloszlású X i? És ( az (X 1, X 2,..., X k ) vektor? Számoljuk ki X i és X j korrelációs együtthatóját. (Útmutatás: XY = 1 2 (X + Y ) 2 X 2 Y 2), vagy pedig használjuk az előző két feladat eredményét X és Y függetlenek és λ, ill. µ paraméterű Poisson-eloszlásúak. Számítsuk ki X + Y és XY korrelációs együtthatóját Az X 1, X 2,... (végtelen sok) valószínűségi változók mindegyike 1 szórású és bármely kettőnek ugyanakkora (r) a korrelációs együtthatója. Számítsuk ki X X n szórásnégyzetét. Mutassuk meg, hogy r 0. További feladatok 113. Egyszerű szimmetrikus bolyongásban számítsuk ki a P (M 2n k S 2n = 0) feltételes valószínűséget és M 2n / 2n feltételes határeloszlását az S 2n = 0 feltétel mellett Tekintsünk olyan bolyongást, ahol P (X i = 1) = p > 1 2. Számítsuk ki az 1 pont első elérésének a várható értékét, E(ν 1 )-et Adott véletlen számú golyó, összesen X darab (X nemnegatív egész értékű valószínűségi változó). Ezeket egymástól függetlenül p valószínűséggel pirosra és q = 1 p valószínűséggel kékre színezzük. Jelölje Y és Z a kapott piros, illetve kék golyók számát. a) Tegyük fel, hogy X λ paraméterű Poisson-eloszlású. Mutassuk meg, hogy Y és Z függetlenek és eloszlásuk rendre pλ, illetve qλ paraméterű Poisson. b) Mutassuk meg, hogy ha Y és Z minden p (0, 1) esetén függetlenek, akkor X Poisson-eloszlású. c) Mutassuk meg, hogy ha Y és Z egyetlen p (0, 1) esetén is függetlenek, akkor X Poisson-eloszlású Gráfon való bolyongásnál az elnyelődéshez szükséges lépések számát jelölje N. Legyen G i (z) az N generátorfüggvénye, feltéve, hogy az i állapotból indulunk (ha i nyelő, legyen g i (z) = 1). Ekkor minden i belső állapot esetén g i (z) = j p ijg j (z)z Egy szabálytalan érmével, amellyel a fejdobás valószínűsége p, addig dobunk, amíg k egymás utáni dobás eredménye mind fej nem lesz. Írjuk fel az ehhez szükséges dobások számának generátorfüggvényét Egyszerű szimmetrikus bolyongásnál legyen T n = inf{k : S k = n}. Számítsuk ki T n generátorfüggvényét Egy szabályos érmével addig dobunk, amíg mind a fejekből, mind az írásokból legalább k darabot nem kapunk. Jelölje ν k az ehhez szükséges dobások számát. Számítsuk ki (ν k 2k)/ 2k határeloszlását, amint k Legyenek X 1, X 2,... független, azonos eloszlású, µ > 0 várható értékű és σ szórású nemnegatív valószínűségi változók. ) Legyen S n = X X n, és t > 0 esetén N(t) = max{k 0 : S k t}. Számítsuk 1 ki t (N(t) t µ határeloszlását, amint t. n n k 121. Számítsuk ki a következő határértéket: lim n e n k!. 7 k=0

8 122. Legyen X n n paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségi változó. Számítsuk ki (X n n)/ n határeloszlá sát, amint n Legyen X n n rendű, p paraméterű negatív binomiális eloszlású valószínűségi változó. Számítsuk ki px n n n(1 p) határeloszlását, amint n Legyen f : [0, 1] R korlátos függvény. Mutassuk meg valószínűségszámítási eszközökkel, hogy a p n (x) = n ( n ) ( k f k ) n x k (1 x) n k polinomsorozat f minden x folytonossági pontjában az f(x) számhoz tart. k=0 Eloszlásfüggvény, sűrűségfüggvény Írjuk fel két esemény indikátorainak együttes eloszlásfüggvényét Legyen X 1 paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Adjuk meg X 2 eloszlásfüggvényét, sűrűségfüggvényét és várható értékét. Normális eloszlás Az X valószínűségi változó N(3; 2 2 ) eloszlású. Határozzuk meg a P ( 2 < X < 1) és a P (0, 1 < X ) valószínűséget Becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy 100 kockadobás összege több, mint 400. (Markov-egyenlőtlenséggel, Csebisevvel és normális közelítéssel) 129. Becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy 1000 érmedobásból a fejek relatív gyakorisága legalább 0,6 a) Markov-egyenlőtlenséggel, b) Csebisev-egyenlőtlenséggel (szimmetriamegfontolással a felére csökkenthető a becslés). c) Számítsuk ki Binom(1000; 0,5) eloszlású X esetén az E ( (3/2) X) várható értéket, ennek alapján becsüljünk Markovval Budapesten meg akarják állapítani, hogy a dohányosok mekkora arányban fordulnak elő. Ehhez megkérdeznek n egyént úgy, hogy minden választásnál mindenki ugyanakkora eséllyel jöhet szóba (visszatevéses mintavétel). Milyen nagyra kell az n-et választani, hogy a megkérdezettek között a dohányosok aránya legalább 0,95 valószínűséggel 0,005-nél nem nagyobb hibával közelítse meg a dohányosok valódi arányát? a) Csebisev-egyenlőtlenséggel, b) normális közelítéssel Egy város napi energiafogyasztása (MWh-ban mérve) közelítőleg 500 várható értékű normális eloszlású valószínűségi változó. Az elektromos művek egy nap max. 700 MWh áramot tud szolgáltatni. Mennyi az energiafogyasztás szórása, ha 0,01 annak az esélye, hogy ez a mennyiség nem elegendő? 8