Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikatanári szak

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikatanári szak"

Átírás

1 Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikatanári szak Játékszabályok Max -szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap aláírást x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:. ZH a félév közepén 50 pont:. ZH a félév végén x pont: szorgalmi feladatokkal Mindkét ZH-n minimálisan teljesíteni kell a 0 %-ot, azaz a 5 pontot. Ha egy ZH sikertelen, nem írod meg, vagy javítani szeretnél, akkor vizsgaid szak els hetén lesz lehet ség a pótzh megírására vagy a javításra. Csak az egyik ZH anyagából javíthatsz, és a jobbik eredményt veszem gyelembe, azaz nem lehet rontani. Két sikertelen vagy meg nem írt ZH esetén gyakuv-t írsz, és maximum kettest kaphatsz. A ZH-kon használhatók: számológép ( mobiltelefon) és egy "hivatalos puska", azaz egy legfeljebb A-es méret lapra kézzel írott jegyzet. 0 -,9,5 57,5-6,9 5 -, 65-7, Osztályozás:,5,5-9,9,5 7,5-79, , A ZH-k alapján kapott jegy beleszámít a vizsgajegybe. Aki mesterképzésre jár, rendes gyakorlati jegyet kap, az jegyét egészre kerekítem lefelé. Infók a gyakorlatvezet r l Név Varga László Tanszék Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék (ELTE TTK) Szoba D -09 vargal@cs.elte.hu Honlap vargal.elte.hu Ajánlott irodalom mindegyik példatár Denkinger Géza: Valószín ségszámítási gyakorlatok Bognárné Mogyoródi Prékopa Rényi Szász: Valószín ségszámítási feladatgy jtemény Arató Prokaj Zempléni: Valószín ségszámítás elektronikus jegyzet (elérhet ség: valszam/zempleni.pdf).) Egy érmével dobunk. Ha az eredmény fej, akkor még egyszer dobunk, ha írás, akkor még kétszer. a.) Mik lesznek a kísérletet leíró eseménytér pontjai? b.) Mennyi a valószín sége, hogy összesen fejet dobunk?.) számozott érmével dobunk, majd még annyi érmével, ahány fejet az els két érmével kaptunk. Mik lesznek az eseménytér elemei?.) Tegyük fel, hogy egy irodában titkárn dolgozik. Jelentse A i azt az eseményt, hogy az i-edik titkárn megbetegszik (i =,, ). Fejezzük ki az A i események segítségével a következ események valószín ségét: a.) az els titkárn megbetegszik; b.) csak az els titkárn betegszik meg; c.) mindhárom titkárn megbetegszik; d.) legalább titkárn megbetegszik; e.) legalább titkárn megbetegszik..) Igaz-e, hogy P (A) < P (B) esetén A B? 5.) Mi a valószín sége, hogy egy véletlenszer en kiválasztott 6 jegy szám jegyei mind különböz ek? 6.) Aritmethiában az autók rendszámai ötjegy számok és között. Ezek közül találomra választunk egyet. Mennyi a valószín sége, hogy a.) van 6 a jegyek között; b.) minden számjegy különböz ; c.) minden számjegy egyforma; d.) csak két számjegy egyezik meg; e.) három, illetve kett számjegy megegyezik? 7.) A német labdarúgó válogatott edzésének megkezdése el tt, az edzésen résztvev 0 mez nyjátékost két csoportba osztják. Mi annak a valószín sége, ha találomra történik a szétosztás a két 0-es csoportba, hogy Schweinsteiger és Özil egymás ellen játszik? 8.) Mintavétel: Adott N különböz termék, amik között van M selejtes. Veszünk n elem mintát a.) visszatevés nélkül; b.) visszatevéssel. Mennyi a valószín sége, hogy az n termékb l pontosan k selejtest sikerült kiválasztanunk, amennyiben számít a kihúzás sorrendje? 9.) Egy magyarkártya-csomagból visszatevéssel húzunk lapot. a.) Írjuk fel az eseményteret! b.) Milyen eséllyel húzunk pontosan egy piros szín lapot? c.) Milyen eséllyel húzunk legalább egy piros szín lapot? 0.) Tekintsük egy lottóhúzás (5-ös lottó) eredményét. a.) Írjuk fel az eseményteret! b.) Milyen eséllyel lesz két találatom? c.) Milyen eséllyel lesz legalább két találatom?.) N darab molekula mindegyike egymástól függetlenül, véletlenszer en kerül az A vagy a B térrész valamelyikébe. Mennyi a valószín sége, hogy a.) ugyanannyi molekula lesz A-ban és B-ben; b.) A-ban több lesz, mint B-ben;

2 c.) mindkett ben páros számú molekula lesz? SZ.) Mutasd meg, hogy amennyiben A,..., A n tetsz leges események, akkor P ( n A i ) n P (A i ) n +. (p) i= i= SZ.) Egy sakktáblára bástyát és királyt véletlenszer en elhelyezünk. Határozd meg annak a valószín ségét, hogy egyik se üti a másikat! (p).) Mi a valószín sége, hogy egy találomra választott pozitív egész szám a.) osztható 5-tel; b.) 6-hoz viszonyítva relatív prím; c.) négyzete -re végz dik; d.) köbe -re végz dik; e.) 0. hatványa 6-ra végz dik;.) Mennyi annak a valószín sége, hogy egy héten a lottóban kihúzott öt szám közti páronkénti különbségek mindegyike legalább öt?.) 987-ben a. heti lottóhúzáson két pár egymás utáni számot is kihúztak: a (;)-t és az (50;5)-et. Mi a valószín sége, hogy egy lottóhúzás eredménye ehhez hasonlóan alakul, azaz kihúznak két szomszédos számokból álló párt, de nem húznak ki három egymás utáni számot? 5.) Egy tagú osztályban a diákok angolt, németet vagy franciát tanulhatnak. Tudjuk, hogy angolul 0-an tanulnak, németül -en, franciául pedig 9-en. Angolul és németül egyszerre 5-en, németül és franciául egyszerre -an, angolul és franciául -en, és senki nem tanulja mind a három nyelvet. Mekkora a valószín sége annak, hogy egy véletlenszer en választott tanuló legalább az egyik idegen nyelvet tanulja? 6.) Egy hattagú társaság az étteremben három pacalpörköltet, két mátrai borzas csirkemellet, és egy böllér tálat rendel. A pincér a megrendelt ételeket véletlenszer en osztja szét. Mennyi a valószín sége, hogy a.) mindenki azt kapja, amit rendelt; b.) senki sem azt kapja, amit rendelt? 7.) Mennyi a valószín sége, hogy 0 ember közül van olyan hónap, amelyikben egyikük se született? 8.) N darab molekula mindegyike egymástól függetlenül, véletlenszer en kerül N darab térrész valamelyikébe. Mennyi a valószín sége, hogy mindegyik térrészben lesz legalább egy molekula? 9.) Két kockával dobunk. Tekintsük a következ három eseményt: A: dobtunk -est; B: az összeg 7; C: dobtunk 6-ost Mely eseménypárok függetlenek? Igaz-e, hogy a három esemény teljesen független? 0.) Milyen n>-re lesz független a.) az a két esemény, hogy A: n érmedobásból van fej és írás is, valamint B: legfeljebb egy írás van. b.) az a két esemény, hogy A: n érmedobásból van fej és írás is, valamint B: az els dobás fej..) Osztozkodási probléma, 9. Hogyan osztozzon az 600 forintos téten két játékos, ha :-es állásnál félbeszakadt a k gy zelemig tartó mérk zésük? Tegyük fel, hogy az egyes játékok egymástól függetlenek, az els játékos p valószín séggel nyerhet az egyes játékoknál. Oldjuk meg a feladatot a következ esetekben: a.) k = ; p = / b.) k = ; p = / SZ.) Határozd meg annak a valószín ségét, hogy n, ahol n találomra választott pozitív egész szám, az számjeggyel kezd dik! (p) SZ.) Határozd meg annak a valószín ségét, hogy két tetsz legesen választott pozitív egész szám relatív prím! (p).) Mennyi a valószín sége, hogy két kockadobásnál mind a két dobás 6-os, azzal a feltétellel, hogy legalább az egyik dobás 6-os?.) Három különböz kockával dobunk. Mekkora a valószín sége, hogy az egyik kockával 6-ost dobunk, feltéve, hogy a dobott számok összege?.) Négyen l nek egymás után egy céltáblára. A résztvev k találati valószín ségei egymástól függetlenül, sorrendben,, és. Ketten érnek el találatot. Mi a valószín sége, hogy a második hibázta el a lövést? 5.) Egy érmével annyiszor dobunk, mint amennyi egy szabályos kockadobás eredménye. Mi a valószín sége, hogy nem kapunk fejet? 6.) 00 érme közül az egyik hamis (ennek mindkét oldalán fej van). Egy érmét kiválasztva és azzal 0-szer dobva, 0 fejet kaptunk. Ezen feltétellel mi a valószín sége, hogy a hamis érmével dobtunk? 7.) Egy diák a vizsgán p valószín séggel tudja a helyes választ. Amennyiben nem tudja, akkor tippel, és / a jó válasz esélye. Feltesszük, hogy a diák tudása biztos (azaz ha tudja a választ, akkor az jó is). Határozd meg p értékét, ha /5 annak a valószín sége, hogy amennyiben helyesen válaszolt, tudta is a helyes választ! 8.) Vándorlásai közben Odüsszeusz egy hármas útelágazáshoz ér. Az egyik út Athénbe, a másik Spártába, a harmadik Mükénébe vezet. Az athéniek keresked népség, szeretik ámítani a látogatókat, csak minden. alkalommal mondanak igazat. A mükénéiek egy fokkal jobbak: k csak minden második alkalommal hazudnak. A szigorú spártai neveltetésnek köszönhet en a spártaiak becsületesek, k mindig igazat mondanak. Odüsszeusznak fogalma sincs, melyik út merre vezet, így feldob egy kockát, egyenl esélyt adva mindegyik útnak. Megérkezve a városba, megkérdez egy embert, mennyi, mire közlik vele, hogy. Mi a valószín sége, hogy Odüsszeusz Athénba jutott? 9.) Egy játékos annyiszor l het egy léggömbre, ahány hatost dobott egymás után egy dobókockával. Például ha els re hatost, másodikra kettest dob, akkor egyszer l het. Mennyi a valószín sége, hogy szétlövi a léggömböt, ha minden lövésnél /000 valószín séggel talál?

3 SZ5.) Jelölje p n annak a valószín ségét, hogy egy családban pontosan n gyerek van, n = 0,,... és legyen p n := αρ n, n -re, és p 0 = αρ( + ρ + ρ +...), ahol ρ (0, ) és α > 0 úgy vannak megválasztva, hogy αρ < ρ. Tegyük fel, hogy amennyiben egy családban n gyerek van, akkor azok nemenkénti eloszlása egyenletes (a n lehet ség között). Mutassuk meg, hogy minden k -re annak a valószín sége, hogy egy családban pontosan k ú van,! (p) ( ρ) k+ SZ6.) Egy dobozban cédulák vannak, melyekre a,,,,,, 6, 8, 8, 9 számokat írtuk fel (minden cédulán szám található). Marcsi visszatevés nélkül kihúz két cédulát. Annyit árult el, hogy a céduláin lév számok párosak. Határozd meg annak a valószín ségét, hogy kihúzta a -est! (p) 0.) Egy érmével -szer dobunk. Ha fej jött ki, akkor még -szer, különben még egyszer dobunk. Legyen X a fejek száma. Határozzuk meg X eloszlását!.) Adjuk meg annak a valószín ségi változónak az eloszlását, ami egy hatgyermekes családban a úk számát adja meg. Tegyük fel, hogy mindig - a úk, ill. a lányok születési valószín sége, és az egyes születések függetlenek egymástól..) Jelölje p k annak a valószín ségét, hogy egy lottóhúzásnál (90/5) a legnagyobb kihúzott szám k. Számítsd ki a p k értékeket, és mutassuk meg, hogy ez valóban valószín ségi eloszlás!.) Háromszor olyan valószín, hogy egy évben két ember öli magát a Dunába, mint az, hogy öt. Mi a valószín sége, hogy egy évben legfeljebb egy ember lesz így öngyilkos?.) Egy sportlöv p valószín séggel talál el egy léggömböt. a.) Az els ; b.) az ötödik találatig l. Mi lövései számának eloszlása? 5.) Egy n, egymástól függetlenül m köd alkatrészekb l álló rendszert gyelünk meg egymás utáni id periódusokban. Az egyes alkatrészek egymástól függetlenül p valószín séggel m ködnek. Fennakadás van a rendszerben, ha legalább k alkatrész nem m ködik. Mennyi a valószín sége, hogy el ször az m-edik periódusban lesz fennakadás? 6.) Milyen eloszlásúak: a.) azon hetek száma, ameddig hetente egy szelvényt kitöltve, egymást követ en 0 találatunk van a lottón; b.) két kockadobás minimuma? 7.) Határozd meg a binomiális eloszlás maximális tagját! 8.) Egy 00 oldalas könyvben 0 sajtóliba található véletlenszer en elszórva. a.) Mennyi a valószín sége, hogy a 00. oldalon több, mint egy ajtóhiba van? b.) Hány sajtóhuba a legvalószín bb a 00. oldalon? c.) Mennyi a valószín sége, hogy a. és a. oldalon együtt több, mint két hajtóhiba van? SZ7.) Határozd meg a Poisson-eloszlás maximális és minimális tagját! (p) αρ k SZ8.) Egy szövegben a sajtóhibák száma t paraméter Poisson-eloszlású. Egy javító a hibákat egymástól függetlenül p valószín séggel kijavítja, illetve p valószín séggel nem veszi észre ket. Határozzuk meg a megmaradó hibák számának eloszlását! (p) SZ9.) Addig dobunk két kockával, amíg kétszer el nem fordul az, hogy a két kockán lév számjegyek összege. Számold ki annak a valószín sége, hogy pontosan tízszer dobunk -nél kisebb összeget, miel tt a keresett esemény bekövetkezik? (p) 9.) Számítsuk ki a kockadobás várható értékét és szórását, ha a.) a kocka szabályos; b.) a kocka szabálytalan: két -es, három -es, egy 6-os van rajta. 0.) Egy sorsjátékon darab Ft-os, 0 db Ft-os, és 00 db 000 Ft-os nyeremény van. A játékhoz db sorsjegyet adtak ki. Mennyi a sorsjegy ára, ha egy sorsjegyre a nyeremény várható értéke megegyezik a sorsjegy árával?.) Jelölje X az ötöslottón kihúzott lottószámoknál a párosak számát. Adjuk meg X várható értékét és szórását!.) Két kockával dobunk. Egy ilyen dobást sikeresnek nevezünk, ha van 6-os a kapott számok között. Várhatóan hány sikeres dobásunk lesz n próbálkozásból?.) 5-ször dobunk egy kockával. Legyen X a 6-osok száma. D(X) =?.) Legyen X binomiális eloszlású valószín ségi változó, amir l ismertek: EX = 8, DX =. Határozd meg a P (X < 6) valószín séget! 5.) Dobjunk egy érmével annyiszor, amennyit egy szabályos kockával dobtunk. Jelölje X a fejek számát. Adjuk meg X eloszlását és várható értékét! 6.) Egy tízemeletes ház földszintjén 5 ember száll be a liftbe. Mindenki a többiekt l függetlenül /0 eséllyel száll ki az egyes emeleteken. Mennyi a megállások számának várható értéke? 7.) Átlagosan hányat kell dobnunk a.) egy érmével, amíg fej és írás is lesz a dobások között? b.) egy kockával, amíg minden szám kijön? c.) egy kockával, amíg minden páros szám kijön? SZ0.) Egy hamis érmét addig dobálunk, amíg fejet nem kapunk. Annak a valószín sége, hogy páros sokszor kell dobnunk, harmad akkora, mint annak, hogy páratlan sokszor. Mekkora a fejdobás valószín sége? (p) SZ.) Legyen X diszkrét valószín ségi változó, amelynek lehetséges értékei: (k=,,...) a.) x k = q k k ; b.) x k = q k k! ; c.) x k = ( )k q k k. Az ezeknek megfelel valószín ségek: p k = 8q k. Határozd meg q értékét, majd mindhárom esetben X várható értékét! (p)

4 8.) Egy urnában 9 cédula van, -t l 9-ig megszámozva. Addig húzunk visszatevéssel, amíg -nél nagyobb számot nem kapunk. Határozzuk meg a kihúzott számok összegének várható értékét! 9.) Egy dobozban cédula van, rajtuk az,, számok. Addig húzunk visszatevéssel a dobozból, míg -est nem kapunk. Határozzuk meg a kihúzott számok szorzatának várható értékét! 50.) Egy érmével addig dobunk, amíg az FF sorozat megjelenik. Átlagosan mennyit (hány dobásnyit) kell erre várnunk? 5.) Egy érmével addig dobunk, amíg az FFI vagy az FIF sorozat megjelenik. Mennyi a valószín sége, hogy FFI jön el bb? Mennyit dobunk átlagosan? 5.) Fej vagy írást játszunk egy szabályos érmével: ha fejet dobunk, megnyerjük a tétet; ha írást, elveszítjük. Amikor leülünk játszani, petákunk van és az a célunk, hogy 5 petákot gy jtsünk. Feltesszük az összes pénzünket, illetve annyit, amennyi hiányzik a célunk eléréséhez. a.) Mekkora valószín séggel érjük el a célunkat? b.) Válaszoljunk a kérdésekre "óvatos stratégia" esetén is, azaz, ha minden játszmában csak petákot teszünk fel! 5.) Egy szabályos kockát addig dobálunk, amíg a 6 és 5 számot nem kapjuk két egymás utáni dobás eredményeként. Adjuk meg a szükséges dobások számának várható értékét! SZ.) Egy kockával addig dobunk, amíg valamelyik korábban dobott szám ismételten el fordul. Határozd meg a szükséges dobásszám várható értékét! (p) SZ.) Egy érmével addig dobunk, amíg k hosszúságú fejsorozat vagy s hosszúságú írássorozat nem adódik. Mennyit dobunk átlagosan? (p) SZ.) Egy városban az úthálózat gráfja egy ikozaéder élhálózatának gráfjával egyezik meg. Jolán háza az ikozaéder egyik csúcsában van, munkahelye pedig az ezzel szemközti csúcsban. Sötétedés után munkahelyér l hazafelé menet minden egyes csúcsba érve elbizonytalanodik, hogy merre is haladjon tovább. Tegyük fel, hogy minden csúcsban p annak a valószín sége, hogy találkozik valakivel, aki mutat neki egy olyan irányt, amerre elindulva a legkevesebb élen haladva a szállására juthat. Ellenkez esetben véletlenszer en halad tovább úgy, hogy egyik irány sincs kitüntetve, vagyis el fordulhat akár az is, hogy visszafordul. Mekkora p érték esetén lesz 50% annak a valószín sége, hogy el bb ér haza, minthogy a munkahelyére visszatalálna? (p) 5.) Az Y és X valószín ségi változók együttes eloszlását a következ táblázat mutatja. X\Y X peremeloszlása Y peremeloszlása a.) Töltsd ki a táblázatot, ha EX = 7 és EY = 5! b.) X és Y függetlenek egymástól? Amennyiben nem, határozd meg a korrelációjukat! c.) P (X < 7 Y < ) =? d.) E(Y X = 0) =? 55.) Az X és Y valószín ségi változók együttes eloszlását a következ táblázat mutatja. Y \X 0 Y peremeloszlása X peremeloszlása Határozd meg X és Y eloszlását, várható értékét, szórásnégyzetét! Függetlenek-e egymástól? Amennyiben nem, határozd meg a korrelációjukat! 56.) Egy dobozban 0 piros, 0 fehér, 0 zöld, 0 kék cédula van, mindegyik - t l 0-ig számozva. Visszatevéssel húzunk kétszer. Legyen X a pirosak száma a kihúzottak között; Y a kékek száma; Z a 0-esek száma. Határozd meg a.) X és Y ; b.) X és Z együttes eloszlását és korrelációját! 57.) Egy szabályos kockával dobunk. Jelölje X a dobott számot, Y pedig azt, hogy a dobott szám hárommal osztva milyen maradékot ad. R(X, Y ) =? 58.) Egy szabályos érmét kétszer feldobunk. Legyen X értéke, ha az els dobás fej, és 0, ha az els dobás írás. Legyen Y értéke, ha a második dobás fej, és 0, ha a második dobás írás. Mutassuk meg, hogy X + Y és X Y korrelálatlanok, de nem függetlenek! 59.) Legyen X és Y független, azonos eloszlású. Tegyük fel azt is, hogy véges szórásúak. R(X, ax + by ) =? 60.) Egy dobozban 5 piros és 5 kék golyó van. 00-szor húzunk visszatevéssel. Jelölje X az els 50, Y az els 75, Z pedig az utolsó 0 húzásból a pirosak számát. R(X + Z, Y ) =? 6.) 00-szor húzunk visszatevéssel egy olyan dobozból, amelyben piros és fehér golyó van. X jelentse a kihúzott piros golyók számát az els 50, Y pedig az els 0 kísérletben. R(X, Y ) =? 6.) Egy kockát 0-szer feldobunk. X a dobott 6-osok száma, Y a dobott páratlan számok száma. Határozzuk meg X és Y korrelációs együtthatóját! SZ5.) Legyen (X, Y ) diszkrét valószín ségi vektorváltozó, mely értéket vesz fel azonos valószín séggel: ( ; 0, 5), (0; ), (;, 5). R(X, Y ) =? Meglep -e az ered-

5 mény és miért? (p) SZ6.) Egy érmével (n + )-szer dobunk. Legyen X a fejek száma, Y pedig azon jelek száma, amelyikb l több van a sorozatban. Határozzuk meg X és Y együttes eloszlását, majd állapítsuk meg, hogy X és Y függetlenek-e! (p) 6.) Két kockával addig dobunk, amíg mindkét kockán 6-ost nem kapunk. Adjuk meg a szükséges dobások számának generátorfüggvényét! 6.) Legyenek X és Y függetlenek, p, illetve q paraméter Pascal-eloszlású valószín ségi változók. Határozzuk meg a Z = min(x, Y ) generátorfüggvényét! 65.) Az alábbi függvények egy-egy valószín ségi változó generátorfüggvényei: a.) G(u) = e u ; b.) G(u) = u +u+. Határozd meg a valószín ségi változó eloszlását, várható értékét és szórását a generátorfüggvény segítségével! 66.) Becsüljük annak a valószín ségét, hogy 00 érmedobásból a fejek száma legalább 60! 67.) Megadható-e olyan 0 várható érték és szórású valószín ségi változó, amelyre P ( X ) 0, 5? 68.) U és V valószín ségi változókról a következ ket tudjuk: R(U, V ) = 0, 75; EU = ; EV = 6; D(U) = D(V ) =. Becsüld alulról a P (7 < U + V < ) valószín séget! SZ7.) Jelölje u(n) annak a valószín ségét, hogy az A és A egymás után el ször az (n )-edik és n-edik kísérletekben következik be (P (A) = p). Írjuk fel a generátorfüggvényt, a várható értéket és a szórásnégyzetet is! (p) SZ8.) Egy kockával addig dobunk, amíg meg nem dobjuk a 6. hatost. Jelölje X a szükséges dobások számát. Határozzuk meg X generátorfüggvényét! (p) 69.) Bertrand-paradoxon, 889. Tekintsünk egy kört és válasszuk ki találomra az egyik húrját. Mennyi annak a valószín sége, hogy a húr hosszabb, mint a körbe írt szabályos háromszög oldala? 70.) Egy R sugarú körre "véletlenszer en" rádobunk egy r sugarú körlapot, r < R (az r sugarú kör középpontját egyenletes eloszlás szerint választjuk ki az R sugarú körlapon). Mennyi a valószín sége, hogy az R sugarú kör teljes egészében tartalmazza az r sugarú kört? 7.) A (0, ) intervallumot felosztjuk két véletlenül rádobott pont segítségével részre. Mennyi a valószín sége, hogy a.) mindhárom szakasz hossza > /-nél; b.) a szakaszból háromszög alkotható? 7.) Írd fel és ábrázold az eloszlásfüggvényt, ha X a.) indikátorváltozó p = / paraméterrel; b.) egy olyan kockadobás eredménye, ahol a kockán egy -es, két -es és három 5-ös van. 0 ha x 0 7.) Mely c-re lesz eloszlásfüggvény F (x) = cx ha 0 < x? ha < x P ( < X < ) =? Mely c-re létezik s r ségfüggvény? { Határozd meg! cx 7.) ha 0 < x < Legyen X s r ségfüggvénye a következ : f(x) = 0 különben a.) Határozd meg a c értékét és X eloszlásfüggvényét! b.) P (X < 0.5) =? P (X < 0.5) =? P (X <.5) =? c.) D (X) =? x ha 0 < x < 75.) Legyen X s r ségfüggvénye a következ : f(x) = 6 ha < x < c 0 különben a.) c =? F (x) =? b.) E(X) =? D(X) =? 76.) Legyen X N(, ) és X N(, ). a.) P ( X < ) =? b.) Számítsuk ki b értékét, hogy P (X b) = 0, 7 teljesüljön! c.) P ( X X > 0 ) =? 77.) Egy egységnyi hosszúságú szakaszon találomra kiválasztunk két pontot, így a szakaszt rövidebb szakaszokra bontjuk. Jelölje X a kapott szakaszok közül a legrövidebbet. Írd fel X eloszlás-, és s r ségfüggvényét, valamint számítsd ki X várható értékét! SZ9.) Adjuk meg a lottón kihúzott öt szám közül a legnagyobb eloszlásfüggvényének az értékét a 5 helyen! (p) SZ0.) Három egyforma rúd mindegyikéb l találomra letörnek egy-egy darabot. Mi a valószín sége, hogy a három szakaszból háromszöget lehet szerkeszteni? (p) SZ.) A c valós állandó mely értékére lehet az f(x) = c e x (x R) s r ségfüggvény? EX =? (p) 78.) Legyen X E(0, ). Milyen eloszlású Y =log ( X )? 79.) Legyen X olyan valószín ségi változó, melynek F (x) eloszlásfüggvénye szigorúan monoton és folytonos. Milyen eloszlású Y = F (X) (azaz az X valószín ségi változót beleírom az eloszlásfüggvényébe)? 80.) Legyen X E(, ) és Y = X. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! Igaz-e, hogy E( X ) = EX? 8.) Egy dobókockát 70-szor feldobunk. A centrális határeloszlástétel alkalmazásával határozzuk meg annak a valószín ségét, hogy a dobott 6-osok száma legalább 0, de 0-nél kisebb! 5

6 A standard normális eloszlásfüggvény táblázata x Φ(x) = x π e t dt Φ( x) = Φ(x) 8.) Egy dobozban cédula van, rajtuk a -,0,, számok. 9-szer húzunk visszatevéssel a dobozból. A centrális határeloszlástétel alkalmazásával határozzuk meg annak a valószín ségét, hogy a kihúzott számok összege legalább 08, de 6-nél kisebb! 8.) X i -k (i =,,...) független val. változók Hova konvergál és hogyan? a.) X i Ind(p) X X5 n n X +...+X n n b.) X i : az i-edik kockadobás eredménye e c.) X i Exp() (i =,,...) X +...+e Xn n 8.) Legalább hány embert kell megkérdezni egy közvéleménykutatásnál, ha egy adott párt támogatottságát (az eltérést a várható támogatottságtól) legalább 95%- os valószín séggel 0, 0nél kisebb eltéréssel szeretnénk megbecsülni? a.) Számoljunk a Csebisev-egyenl tlenséggel! b.) Számoljunk a centrális határeloszlástétellel! SZ.) Egy szabályos kockát dobálunk. Hova tart és milyen értelemben a dobott számok mértani közepe? (p) SZ.) Legyen X N(, ) és Y = X 7. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! (p) 85.) Legyen X,..., X n i.i.d. minta ismeretlen eloszlásból. a.) Torzítatlan becslés-e a várható értékre nézve az átlag? b.) Torzítatlan becslés-e a szórásnégyzetre nézve a tapasztalati szórásnégyzet? Amennyiben nem az, hogyan tudnánk torzítatlanná tenni? c.) Mikor konzisztens becslése a várható értéknek az átlag? d.) Adjunk torzítatlan és konzisztens becslést az eloszlásfüggvényre! 86.) X,..., X n Exp(λ) i.i.d. minta esetén adjunk torzítatlan becslést e λ -ra és λ -ra! 87.) X,..., X n Poi(λ) i.i.d. minta esetén adjunk torzítatlan becslést e λ -ra és λ -re! 88.) Legyen X,..., X n i.i.d. minta valamely véges szórású eloszlásból, és tekintsük a T(X)= a X a n X n alakú lineáris becsléseket, ahol a,..., a n R. Feltéve, hogy T(X) a várható érték torzítatlan becslése, mely a,..., a n számokra lesz minimális a D (T (X))? 89.) Határozzuk meg az ismeretlen paraméter(ek) maximum likelihood és momentum becslését, ha a minta a.) Exp(λ) eloszlású; b.) Poi(λ) eloszlású; c.) E(a, b) eloszlású, ahol a < b, mindkett paraméter. Torzítatlan a becslés? Ha nem az, próbáljuk meg torzítatlanná tenni! Konzisztens a becslés? 6

Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikai elemz szakirány

Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikai elemz szakirány Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikai elemz szakirány Játékszabályok Max gyakorlatról lehet hiányozni aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00 + x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:.

Részletesebben

Valószín ségszámítás 1 gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány

Valószín ségszámítás 1 gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány Valószín ségszámítás gyakorlat Alkalmazott matematikus szakirány Játékszabályok Max 3 gyakorlatról lehet hiányozni aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00 + x pontot lehet szerezni a félév során:

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Játékszabályok 0 + x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:. ZH a félév közepén 50 pont:. ZH a félév végén

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak Játékszabályok Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00 +

Részletesebben

3. Egy fiókban 10 egyforma pár kesztyű van. Találomra kiveszünk négy darabot.

3. Egy fiókban 10 egyforma pár kesztyű van. Találomra kiveszünk négy darabot. Alkalmazott matematikus bsc Valószínűségszámítás 1 2016/2017. őszi félév 1. Mennyi a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott hatjegyű szám jegyei mind különbözőek? 2. Feldobunk egy szabályos

Részletesebben

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben

2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben 1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb

Részletesebben

Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC

Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Játékszabályok Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 100 + x pontot lehet szerezni a félév

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás

Részletesebben

Házi feladatok. Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz

Házi feladatok. Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz Házi feladatok Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz A házi feladatok tartalmaznak könnyebb és nehezebb példákat is ugyanannyi pontért. A feladatokhoz készítettem

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t

Részletesebben

Valószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019.

Valószín ségszámítás. Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes 2018/2019. Valószín ségszámítás Survey statisztika mesterszak és földtudomány alapszak Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2018/2019. szi félév A valószín ségszámítás kurzus céljai a statisztika megalapozása: a véletlen

Részletesebben

A sztochasztika alapjai. Szorgalmi feladatok tavaszi szemeszter

A sztochasztika alapjai. Szorgalmi feladatok tavaszi szemeszter A sztochasztika alapjai Szorgalmi feladatok 2011. tavaszi szemeszter 1. feladat Feldobunk egy kockát és egy pénzérmét. Írjuk fel az eseményteret! 2. feladat Egy kockát ötször egymás után feldobunk. Jelöljük

Részletesebben

1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos?

1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? Valószínűségszámítás, földtudomány alapszak, 2015/2016. őszi félév 1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? 2. Két tizenhárom fős vízilabdacsapat mérkőzik

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Klasszikus valószínűségszámítás

Klasszikus valószínűségszámítás Klasszikus valószínűségi mező 1) Egy építőanyag raktárba vasúton és teherautón szállítanak árut. Legyen az A esemény az, amikor egy napon vasúti szállítás van, B esemény jelentse azt, hogy teherautón van

Részletesebben

Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel. a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel. a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Mutassuk meg, hogy tetszőleges A és B eseményekre PA B PA+PB. Mutassuk

Részletesebben

3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy

3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig

Részletesebben

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =

Részletesebben

Matematika B4 II. gyakorlat

Matematika B4 II. gyakorlat Matematika B II. gyakorlat 00. február.. Bevezető kérdések. Feldobunk egy kockát és egy érmét. Ábrázoljuk az eseményteret! Legyenek adottak az alábbi események: -ast dobunk, -est dobunk, fejet dobunk,

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 6. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. A várható érték és a szórás transzformációja 1. Ha egy valószínűségi változóhoz hozzáadunk ötöt, mínusz ötöt, egy b konstanst,

Részletesebben

Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny

Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val.

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Gazdasági matematika 2

Gazdasági matematika 2 I. Lineáris algebra 1. Az R n tér Gazdasági matematika 2 Gyakorlati feladatsor 1.1. Tekintsük az alábbi, vektorokra vonatkozó egyenletet. Mivel egyenl az (x 1, x 2, x 3 ) vektor? 3(x 1, x 2, x 3 ) + 5(

Részletesebben

a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet?

a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet? Az els gyakorlat feladatai 1. Az 1, 3, 5, 7, 8 elemekb l hány olyan 5-jegy szám képezhet, amelyeknek a harmadik számjegye 8? 2. Az 1, 2, 3, 5, 7, 8 elemekb l hány olyan 6-jegy szám képezhet, amely 123-mal

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége

Részletesebben

Gyakorlat. Szokol Patricia. September 24, 2018

Gyakorlat. Szokol Patricia. September 24, 2018 Gyakorlat (Geometriai valószínűség, feltételes valószínűség) September 24, 2018 Geometriai valószínűség 1 Az A és B helységet 5 km hosszú telefonvezeték köti össze. A vezeték valahol meghibásodik. A meghibásodás

Részletesebben

2. A ξ valószín ségi változó s r ségfüggvénye a következ : c f(x) =

2. A ξ valószín ségi változó s r ségfüggvénye a következ : c f(x) = 1 Egy dobozban hat fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd annyi piros golyót teszünk a dobozba, amennyit dobtunk Ezután véletlenszer en húzunk egy golyót a dobozból (a) Mi a valószín sége,

Részletesebben

0,9268. Valószín ségszámítás és matematikai statisztika NGB_MA001_3, NGB_MA002_3 zárthelyi dolgozat

0,9268. Valószín ségszámítás és matematikai statisztika NGB_MA001_3, NGB_MA002_3 zárthelyi dolgozat A 1. A feln ttkorú munkaképes lakosság 24%-a beszél legalább egy idegen nyelvet, 76%-a nem beszél idegen nyelven. Az idegen nyelvet beszél k 2,5%-a, az idegen nyelvet nem beszél k 10%-a munkanélküli. Véletlenszer

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

3. gyakorlat. 1. További feladatok feltételes valószínűségekkel. 2. Független események

3. gyakorlat. 1. További feladatok feltételes valószínűségekkel. 2. Független események 3. gyakorlat Matematika A4 Gyakorlatvezetők: Vetier András, Móra Péter 2007.09., 26. 1. További feladatok feltételes valószínűségekkel 1. Információink szerint az A céggel kötött üzleteink 60%-a, a B céggel

Részletesebben

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2? HIPERGEO. BINOM. POISSON 4.1. Egy üzletben 100-an vásárolnak, közülük 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.2. Egy üzletben

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,

Részletesebben

Eredmények, megoldások

Eredmények, megoldások Eredmények, megoldások 1. Eldobjuk egyszer a dobókockát. Mennyi a valószín½usége annak, hogy: (a) 4-est dobunk; (b) páratlan számot dobunk; (c) 4-nél nem dobunk nagyobbat; (d) legfeljebb 5-öst dobunk;

Részletesebben

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x = . Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem

Nagy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése. Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem agy számok törvényei Statisztikai mintavétel Várható érték becslése Dr. Berta Miklós Fizika és Kémia Tanszék Széchenyi István Egyetem A mérés mint statisztikai mintavétel A méréssel az eloszlásfüggvénnyel

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)

Részletesebben

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus.

Véletlen jelenség: okok rendszere hozza létre - nem ismerhetjük mind, ezért sztochasztikus. Valószín ségelméleti és matematikai statisztikai alapfogalmak összefoglalása (Kemény Sándor - Deák András: Mérések tervezése és eredményeik értékelése, kivonat) Véletlen jelenség: okok rendszere hozza

Részletesebben

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az 1. Név:......................... Egy ABC-ben délután (5-t½ol 9 óráig) a vásárlók száma óránként 200 várható érték½u Poisson eloszlású valószín½uségi változó. A pénztáros egy vásárlót átlag 2 perc alatt

Részletesebben

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt 1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

Programtervezı matematikus szak II. évfolyam, valószínőségszámítás 1. gyakorlat (2004. február )

Programtervezı matematikus szak II. évfolyam, valószínőségszámítás 1. gyakorlat (2004. február ) 1. gyakorlat (2004. február 16-21.) Totó 1. Tekintsük a következı játékot: Anna úgy rak le egy érmét az asztalra, hogy Bálint nem látja. Bálint megpróbálja kitalálni, hogy írás vagy fej van felül. Ha az

Részletesebben

Programtervezı matematikus szak II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. feladatsor

Programtervezı matematikus szak II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. feladatsor Programtervezı matematikus szak II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. feladatsor (Véges) valószínőségi mezı. Klasszikus eset vagy nem? Egy kísérlet lehetséges kimeneteleinek halmaza az eseménytér (jel.:

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Várható érték 1. Egy dobozban 6 cédula van, rajtuk pedig a következő számok: (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6; (b) 1, 2, 6, 6, 6, 6;

Részletesebben

1. gyakorlat. 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12?

1. gyakorlat. 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12? 1. gyakorlat 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12? 2. Egy urnában 3 lap van, az egyikre 1, a másikra 2, a harmadikra

Részletesebben

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás Matematika A I. gyakorlat megoldás 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció n! n! k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen állíthatunk sorba, ha k

Részletesebben

Számelmélet Megoldások

Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,

Részletesebben

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját! 1. Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből. Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet

Részletesebben

1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos?

1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? Valószínűségszámítás, földtudomány alapszak, 2016/2017. őszi félév 1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? 2. Két tizenhárom fős vízilabdacsapat mérkőzik

Részletesebben

Negyedik A4 gyakorlat rövid megoldási útmutató

Negyedik A4 gyakorlat rövid megoldási útmutató Negyedik A4 gyakorlat rövid megoldási útmutató 2013. október 14. 1. Feltéve, hogy a balkezesek aránya átlagosan 1%, becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy 200 véletlenszerűen kiválasztott ember között

Részletesebben

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Klasszikus valószínűségi mező megoldás

Klasszikus valószínűségi mező megoldás Klasszikus valószínűségi mező megoldás Ha egy Kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek, vagyis az elemi eseményeknek azonos a valószínűségük, akkor a kísérelttel kapcsolatos

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen

Részletesebben

6. Buffon problémája: egy egységnyi hosszú tűt véletlenszerűen ledobunk a síkra, ahol a szomszédaiktól

6. Buffon problémája: egy egységnyi hosszú tűt véletlenszerűen ledobunk a síkra, ahol a szomszédaiktól Klasszikus valószínűségi mező Valószínűségszámítás feladatok 1. Mekkora a valószínűsége, hogy kockával hatszor dobva mind a 6 szám előfordul? Mekkora a valószínűsége, hogy 12-szer dobva mind a 6 szám pontosan

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.

1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be. IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk

Részletesebben

Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1

Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG 1. Legyen P (A) = 0, 7; P (B) = 0, 6 és P (A B) = 0, 5. Határozza meg a következő valószínűségeket! (a) B,V P (A B) 0, 8333 (b) B,V P

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 4. MA3-4 modul A valószínűségi változó és jellemzői SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

13. Egy január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt:

13. Egy január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt: A 13. Egy 2000. január elsejei népesség-statisztika szerint a Magyarországon él k kor és nem szerinti megoszlása (ezer f re) kerekítve az alábbi volt: korcsoport (év) férfiak száma (ezer f ) n k száma

Részletesebben

Gazdasági matematika II. tanmenet

Gazdasági matematika II. tanmenet Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):

Részletesebben

Azaz 56 7 = 49 darab 8 jegyű szám készíthető a megadott számjegyekből.

Azaz 56 7 = 49 darab 8 jegyű szám készíthető a megadott számjegyekből. 1 Kombináció, variáció, permutáció 1. Hányféleképpen rakhatunk be 6 levelet 1 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe maximum egy levelet teszünk? Mivel egy rekeszbe legfeljebb

Részletesebben

1.5 Hányféleképpen ültethetünk egy kerek asztal köré 7 embert, ha a forgatással egymásba vihető ülésrendeket azonosnak tekintjük?

1.5 Hányféleképpen ültethetünk egy kerek asztal köré 7 embert, ha a forgatással egymásba vihető ülésrendeket azonosnak tekintjük? 1 Kombinatorika Valószínűségszámítás feladatok 2016/17 tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény, ha a 8 bástyát

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA KÖZÉPSZINT% II. ÉRETTSÉGI VIZSGA május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS május 3. 8:00. Idtartam: 135 perc

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA KÖZÉPSZINT% II. ÉRETTSÉGI VIZSGA május 3. MINISZTÉRIUM NEMZETI ERFORRÁS május 3. 8:00. Idtartam: 135 perc a feladat sorszáma maximális elért összesen II./A rész 13. 12 14. 12 15. 12 II./B rész 17 17 m nem választott feladat ÖSSZESEN 70 maximális elért I. rész 30 II. rész 70 Az írásbeli vizsgarész a 100 dátum

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

(Independence, dependence, random variables)

(Independence, dependence, random variables) Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

3. gyakorlat. 1. Független események. Matematika A4 Vetier András kurzusa február 27.

3. gyakorlat. 1. Független események. Matematika A4 Vetier András kurzusa február 27. 3. gyakorlat Matematika A4 Vetier András kurzusa 2009. február 27. 1. Független események Az A és B események akkor és csak akkor függetlenek,ha az alábbbi négy egyenlőség teljesül: P(A B) = P(A)P(B) P(A

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 9. hétre. 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy:

Feladatok és megoldások a 9. hétre. 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy: Feladatok és megoldások a 9. hétre Építőkari Matematika A3 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy: párosat dobunk? legalább 3-ast dobunk? legfeljebb

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

Matematikai statisztika szorgalmi feladatok

Matematikai statisztika szorgalmi feladatok Matematikai statisztika szorgalmi feladatok 1. Feltételes várható érték és konvolúció 1. Legyen X és Y független és azonos eloszlású valószín ségi változó véges második momentummal. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket! 1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

7! (7 2)! = 7! 5! = 7 6 5! 5 = = ből 4 elem A lehetőségek száma megegyezik az 5 elem negyedosztályú variációjának számával:

7! (7 2)! = 7! 5! = 7 6 5! 5 = = ből 4 elem A lehetőségek száma megegyezik az 5 elem negyedosztályú variációjának számával: Kombinatorika Variáció - megoldások 1. Hány kétjegyű szám képezhető a 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből. ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel? A lehetőségek száma annyi, mint amennyi 7 elem

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6 Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost

Részletesebben

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat!

1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! 1. Tekintsük a következő két halmazt: G = {1; 2; 3; 4; 6; 12} és H = {1; 2; 4; 8; 16}. Elemeik felsorolásával adja meg a G H és a H \ G halmazokat! G H = H \ G = 2. Ha 1 kg szalámi ára 2800 Ft, akkor hány

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Ismétlés nélküli kombináció

Ismétlés nélküli kombináció Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont

törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2 pont 1. Egyszerűsítse az 3 2 a + a a + 1 törtet, ha a 1. Az egyszerűsített alak: 2. Milyen számjegy állhat az X helyén, ha a négyjegyű 361 X szám 6-tal osztható? X = 3. Minden szekrény barna. Válassza ki az

Részletesebben