Kombinatorikus optimalizálás jegyzet TARTALOM

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kombinatorikus optimalizálás jegyzet TARTALOM"

Átírás

1 Kmbatrkus ptmalzálás egyzet az elıadás és a kadtt szakrdalm alapá Készítette: Schmdt Péter Alk. Mat., II. évf TARTALOM KOMBINATORIKUS OPTIMALIZÁLÁS... HALMAZOK... Halmaz lefedése... Sperer-redszerek... Egzakt fedés...7 PÁROSÍTÁSOK...0 KLIKKEK... Klkk-keresés prblémák mdellezése 0- prgramzás feladatkét... Mamáls klkk méretéek felsı és alsó becslése mhó szíezéssel... Mt mátrk geerálása klkk-kereséssel...8 Paklás prblémák mdellezése...0 Klkk-keresés prblémák mdellezése kvadratkus ptmalzálás feladatkét... Klkk-keresés prblémák méretkrláts, szmmetrkus átfgalmazása...9 Klkk-keresés prekdcálása dmaca-vzsgálatkkal... BINÁRIS FÁK... FESZÍTİFÁK... Mmáls súlyú feszítıfa... FOLYAMOK... Mmáls költségő flyam... Szállítás feladat...9 Nem klasszkus szállítás feladat... Hzzáredelés feladat... Termeléstervezés (készletezés) feladat Többperódusú termeléstervezés prbléma... Mamáls flyam prbléma...8 UTAK...0 Legrövdebb út prbléma...0 Az utazó ügyök prblémáa (Travellg salesma s prblem)...0 malt:

2 Kmbatrkus ptmalzálás Halmazk Halmaz lefedése Egész értékő prblémák megldásáhz gyakra felhaszálhatók a feladatk kmbatrkus tuladsága, amelyek esetekét az általás egészértékő prgramzás módszerekél hatékyabb elárásk felépítését teszk lehetıvé. A kmbatrkus ptmalzálás témaköré belül ezért módszerta megközelítésbe tárgyaluk az általás egész értékő prblémák és a specálsa kmbatrka (fıképpe gráfelmélet) ellegő ptmalzálás feladatk megldhatóságát és megldását. A kmbatrka prblémák alapkérdése: Egy véges struktúráak adtt tuladságú része vagy elredezése ) létezk-e; ) háy va; ) melyk a legbb; ) hgya található meg a leggyrsabba? Pl. órared összeállítása, személyzet besztása áratkhz, stb. Feladat Egy alaphalmaz bzys részhalmazahz költségeket redelük. Fedük le az alaphalmazt a lehetı legksebb költséggel! Példa Feladat Alaphalmaz: U = {,,,,,,7 } Fedıhalmazk és költségek: A = {,,} c = A = {,,,} c = A = {,,} c =

3 A = {,7} c = A = {,,7} c = A = {,,7} c = LP-mdell Az alaphalmaz elemeek és a fedıhalmazkak az cdeca-mátra U A A A A A A 7 Vezessük be a következı bárs váltzókat:, ha A része a fedések = 0, egyébkét A fedés feladat lehetséges megldásaak k kell elégíteük azt a feltételt, hgy az alaphalmaz mde egyes eleme le legye fedve. Ezeket a feltételeket az cdeca-mátr traszpálta segítségével lehet szemléletese felír: U 7 Vegyük észre, hgy a másdk feltétel balldalá csak egyetle váltzó szerepel, am azt elet, hgy a váltzóhz tartzó fedıhalmaz mde lehetséges megldásak eleme lesz, mert az alaphalmaz másdk elemét egyedül ı fed. A legksebb költség elérése érdekébe a c célfüggvéyt mmalzál kell. A halmazfedés feladathz tartzó LP-mdell tehát a következı: =

4 {0,},,,,, m Sperer-redszerek A Sperer-redszerek specáls tuladságú etremáls halmazredszerek, amelyeke értelmezett egy rrefleív, szmmetrkus relácó. Legye alaphalmazuk egy tetszıleges, elemő véges halmaz hatváyhalmaza. Az alaphalmaz elemeek az általásság megszrítása élkül megfeleltethetük az ıket meghatárzó kválasztás függvéyeket vagy karaktersztkus függvéyeket, ezáltal halmazk helyett az dmezós Hammg-tér vektraval dlgzhatuk. Részbe redezés Értelmezzük az dmezós Hammg-tér vektra a kakus részbe redezést: y akkr és csak akkr, ha a relácó a vektrk megfelelı kmpesere párkét feáll. Összehaslíthatatlaság Defícó szert és y összehaslíthatatlak, ha sem y, sem y em áll fe. Megegyzések Az összehaslíthatatlaság egy rrefleív, szmmetrkus relácó. A halmazk yelvére vsszavetítve az összehaslíthatatlaság azt elet, hgy egyk halmaz sem tartalmazza a máskat, más szóval a Hasse-dagramba cs az egykbıl a máskba vezetı út.

5 Sperer-redszer Az dmezós Hammg-tér egy K része Sperer-redszer, ha abba bármely két elem összehaslíthatatla. Megegyzés Az üres halmaz és az egyelemő halmazk megállapdás szert Sperer-redszerek. Példa { 00,00, 00,00} K = egy Sperer-redszer. Sperer-lemma Ha Bzyítás K } {0, egy Sperer-redszer, akkr K A lemmáál erısebb állítást bzyítuk, evezetese azt, hgy ha K {0, } egy Sperer-redszer, akkr, ahl az vektr Hammg-súlya. K Ugyas akkr mamáls, ha =, tehát az elızı összeg alulról becsülhetı a következıképpe: K, ebbıl pedg K átszrzással következk a Sperer-lemma. Az erısebb állítás bzyításáhz tektsük egy tetszıleges mamáls utat a { 0,} tér Hasse-dagramáak az alától a teteég: Vegyük észre a következıket: ) y = 0 y y L y = = 0 )! számú külöbözı mamáls út létezk. ) Rögzített K eseté! ( )! lya mamáls út létezk, amelye rata va.

6 ) Tetszıleges u, v K eseté em lehet a Sperer-redszer mdkét eleme rata egy mamáls út, hsze az út pta összehaslíthatók. A fetekbıl következk, hgy mde mamáls út a Sperer-redszerek legfelebb egy elemét tartalmazhata, és a Sperer-redszer egy K eleme összese! ( )! külöbözı út szerepelhet. A Sperer-redszer összes elemére tehát felírható, hgy! ( )!! következk. Megegyzés K, ambıl az erısebb állítás A Strlg-frmula felhaszálásával belátható, hgy lm = 0, tehát a Sperer-redszerek méretövekedése epecáls alatt marad. Telített Sperer-redszer Tétel Egy Sperer-redszer telített, ha ahhz a Hammg-térek már em lehet több elemét hzzáad. Egy Tétel elemő halmaz részhalmazaból álló mamáls mérető Sperer-redszer eleme az elemő részhalmazk. Legye K = { {0,} A = b} és = { {0,} A = 0} Ha H = {0}, akkr K egy Sperer-redszer. H. Bzyítás Idrekt út, tegyük fel, hgy H = {0} és K em Sperer-redszer, azaz létezek u, v K, amelyek összehaslíthatók, például u v. K defícóa matt Au = Av = b, ezért A ( u v) = 0, tehát 0 u v H, am elletmd a H = {0} feltevések. Következméy Egzakt fedés prbléma lehetséges megldása Sperer-redszerek.

7 Egzakt fedés Tétel Az dmezós Hammg-tér tetszıleges L } mátr és b vektr, hgy L = { {0,} A b} {0, részéhez található lya A Bzyítás Az L-hez tartzó A mátrt és b vektrt úgy kapuk meg, hgy mde L-e kívül esı z { 0,}, z L vektrra felíruk azt az egyelıtleséget, amely rata kívül a Hamlt-tér összes több elemére feáll, a következıképpe: Legye { z = } I a z vektr kmpeseek az dehalmaza, és = { z = 0} J a z vektr 0 kmpeseek az dehalmaza. = A vektrk kmpesere vatkzó következı egyelıtleség a z vektr kívül mde más vektrra gaz: I J I Példa Legye L = { 000, 000, 00, 00, 00,00,00,0,00,0, } Ekkr L = { 0000, 000, 0,000,0} Az L elemehez tartzó egyelıtleségek redre a következık: 0000 : 000 : 0: 000 : 0: A fet egyelıtleségredszerbıl közvetleül lelvasható az L-hez tartzó 0 A = és b =. 0 7

8 Az A mátrt és b vektrt ks gyakrlattal közvetleül az L elemerıl s lelvashatuk. Megegyzés A fet tétel tartalm eletése, hgy az egyelıtleségfeltételes bárs ptmalzálás prblémák bzys értelembe telese strukturálatlak. A tétel kegészítı pára Bradley tétele, amely szert az egyelıségfeltételes bárs ptmalzálás prblémák bzys értelembe tökéletese strukturáltak és meghatárzttak. Egészértékő függvéy Az f : R R függvéy egészértékő a H R halmaz, ha aak mde elemére egész értéket vesz fel: H : f ( ) Z Bradley-lemma Legye f és g két egészértékő függvéy a H R halmaz, ekkr létezek lya u és w egész számk, amelyekre ( u, w) = { H : u f ( ) + w g( ) = 0} Z a két függvéy közös zérushelyeek a halmaza. Bzyítás Legye a két függvéy közös zérushelyeek a halmaza { H : f ( ) = g( ) = 0} R = R Z( u, w) ylvávalóa tetszıleges ( u, w) számkra feáll. Azt kell bzyítauk, hgy létezek lya ( u, w) egész számk, amelyekre Z( u, w) R. Az általásság megszrítása élkül feltehetı, hgy u és w relatív prímek ( u, w 0). Adtt ( u, w) számkhz vezessük be a következı ívóhalmazkat: K = { H : sg( w) f ( ) } w K = { H : sg( w) f ( ) } w K = { H : sg( u) g( ) } u K = { H : sg( u) g( ) } u 8

9 A ívóhalmazk segítségével defáluk a következı krlátkat: I = f g( ) S = sup g( ) K K I = f g( ) S = sup g( ) K K I = f f ( ) S = sup f ( ) K K I = f f ( ) S = sup f ( ) K K A krlátk alapá tektsük a következı feltételhalmazkat: A { u < I, S < u, w < I, S < w} = B { u < I, S < u, w < I, S < w} = Tegyük fel mármst, hgy y Z( u, w), tehát u f ( y ) = w g( y) = t. Mvel u és w relatív prímek, így t = u w r, azaz f (y) = wr és g(y ) = ur. Esetvzsgálattal megmutatható, hgy az A feltételhalmaz bármely elemébıl következk r 0, és a B feltételhalmaz bármely elemébıl következk r 0. (Például u < I eseté, drekt mód, tegyük fel, hgy r < 0 f ( y) = w, w,... értékeket vehet fel. Vzsgáluk az I = f g( ) kszámíthatóságát: K, így Ha w < 0, akkr a feltevés matt f ( y ) w = w, másrészt sg( w ) =, így sg( w) f ( y ) w. Ha w < 0, akkr a feltevés matt f ( y ) w = w, másrészt sg( w ) =, így sg( w) f ( y ) w. Tehát w bármely értéke kszámíthatóvá tesz I = f g( ) -t, így tehát a feltevés K szert bármely w-re u < I = f g( ) g( y ) = ur K kell, hgy telesülö. Azba u < 0 eseté az u < ur egyelıtleségbıl r 0 adódk, am elletmd az eredet feltevések, következésképpe az u < I feltételbıl következk r 0.) 9

10 Megmutattuk tehát, hgy ha az A és B feltételhalmazk egy-egy eleme telesül, akkr abból r = 0 következk, am éppe azt elet, hgy Z( u, w) R, vagys Z ( u, w) = R. Pársításk Bradley tétele Egy A = b egészegyütthatós egyelıségfeltételes bárs ptmalzálás feladat feltételredszere mdg redukálható egyetle alkalmasa megválaszttt egyeletre. Bzyítás Ha az egyelıségfeltételek egyetle egyeletbıl állak, akkr késze vagyuk. Máskülöbe az egyelıségfeltételek közül válasszuk k kettıt tetszılegese, és a segítségükkel képezzük a következı egészértékő függvéyeket: a a = b Legye = = b f ( ) = a g( ) = a b b u és w = ma ( f ( ) + ) > 0 {0,}, ekkr ( w ) f ( ) ( w ). Vegyük észre, hgy a Bradley-lemmába meghatárztt feltételek közül ekkr S < u és u < I egyarát feáll, következésképpe a két függvéy közös zérushelyeek a halmaza éppe Z ( u, w) = { H : u f ( ) + w g( ) = 0}, vagys a kválaszttt két feltétel helyettesíthetı az egyetle, u f ( ) + w g( ) = 0 feltétellel, am szté egészegyütthatós egyelıségfeltétel. Az egyelıségfeltételek halmaza így lépésekét redukálható, végeredméybe egyetle feltételre. Következméy Bármely egzakt fedés prblémáhz létezk lya hátzsák feladat, amelyek a megldása az egzakt fedés prblémáak s megldása lesz. A pársítás egy gráf éleek lya részhalmaza, amelybe két élek cs közös pta. Egy pársítás teles, ha a gráf összes csúcsptát lefed. Egy gráf párs, ha a csúcsptk két sztályba srlhatók úgy, hgy a gráf bármely éléek a két végpta külöbözı sztályba va. Egy párs gráf teles, ha a csúcsptk két sztályáak bármely ptpára éllel va összekötve. 0

11 Mamáls élszámú pársítás keresése Feladat Egy egyszerő gráfba ) Háy elemő a mamáls élszámú pársítás? ) Hgya lehet a leggyrsabba mamáls élszámú pársítást talál? ) Háy mamáls élszámú pársítás létezk? ) Srluk fel az összes mamáls élszámú pársítást! Mdell Legye Γ ( V, E) = egyszerő gráf, V =. Vezessük be a következı bárs váltzókat:, ha az (, ) él létezk és a = 0 egyébkét pársítás eleme = = A pársítás élszáma: Mvel pársítást keresük, az egy ptra lleszkedı élek közül legfelebb egy kerülhet a pársításba: = V : = V : Az ptmalzálás prbléma mdelle: ma = = V : = V : = {0,}

12 Módszerek Mamáls élszámú pársítás keresése párs gráfba: az alteráló utak módszere Iduluk k a gráf egy tetszıleges pársításából (például egyetle élbıl), és keressük eél bb pársítást, azaz avítsuk a megldást, ameybe ez lehetséges.. Keressük az aktuáls pársításra ézve szabad csúcst, amelyre az aktuáls pársítás egyetle éle sem lleszkedk.. Építsük fel a szabad csúcsból a lehetı leghsszabb alteráló utat, amelyek ptsa mde másdk éle eleme az aktuáls pársításak.. Ha a leghsszabb alteráló út páratla hsszú, akkr ez egy avító út az aktuáls pársításra ézve, mert az útak az aktuáls pársításhz tartzó élet a pársításból elhagyva, a maradék éleket pedg a pársításhz hzzávéve, eggyel agybb élszámú pársítást kapuk. Berge tétele (97): Egy pársítás élszáma akkr és csak akkr mamáls, ha rá ézve em létezk a gráfba avító út. Mamáls élszámú pársítás keresése egyszerő gráfba: az alteráló fák módszere, Edmds algrtmusa Berge tétele tetszıleges egyszerő gráfra gaz. A kérdés: hgya keressük a gráfba avító utat, lletve hgya gyızıdük meg róla, ha lye em létezk. Javító utat úgy keresük a gráfba, hgy egy alteráló fa építésével feltáruk egy adtt ptból a lehetséges alteráló utakat, és így vagy találuk avító utat, vagy kmerítük a gráft, amvel gazluk, hgy az aktuáls pársításra ézve avító út cs, tehát az aktuáls pársítás mamáls. 0. Mde csúcspt és mde él címkézetle.. Iduluk k egy szabad csúcsptból. (Ha lye cs, akkr az aktuáls pársítás teles, így mamáls.) A szabad csúcst elölük meg a külsı címkével. Legye ez az aktuáls alteráló fa gyökere.. Keressük címkézetle élt, amely lleszkedk az aktuáls alteráló fa egy külsı, u csúcsára. (Ha lye cs, akkr em létezk az aktuáls pársításra ézve avító út, tehát az aktuáls pársítás mamáls).

13 Ha az él másk, v végpta címkézetle, akkr az ( u, v) él címkée legye ge. Ha v szabad csúcs, akkr az aktuáls alteráló fa gyökerébıl a v-hez vezetı alteráló út egy avító út az aktuáls pársításra ézve; máskülöbe létezk az aktuáls pársításak egy ( v, t) éle: a ( v, t) él címkée s legye ge, a v csúcs címkée legye belsı, a t csúcs címkée legye külsı, és smételük meg a. lépést. Ha az él másk, v végpta belsı, akkr a ( v, t) él címkée s legye em, és smételük meg a. lépést. (Eek az élek a hzzávétele párs kör kalakulását eredméyezé az aktuáls alteráló fába.) Ha az él másk, v végpta külsı, akkr álluk meg. (Eek az élek a hzzávétele páratla kör kalakulását eredméyezé az aktuáls alteráló fába.) Az alteráló fa az ge címkéő élekbıl áll. /ld. Edmds algrtmus, Imreh-Imreh: 0. ld/ Mmáls súlyú teles pársítás keresése párs gráfba Feladat Egyelı mérető sztálykból álló, élsúlyztt párs gráfba ) Va-e teles pársítás? ) M a teles pársításk mmáls súlya? ) Aduk meg egy mmáls súlyú teles pársítást! ) Háy mmáls súlyú teles pársítás va? Mdell ) Srluk fel a mmáls súlyú teles pársításkat! Legye Γ ( A B, E) = párs gráf w : E R élsúlykkal. A gráf sztályaak a mérete legye = A = B. Feltehetı, hgy az élsúlyk emegatív számk: w (, ) w 0 Vezessük be a következı bárs váltzókat: =, ha az (, ) él a = 0 egyébkét pársítás eleme A pársítás súlya: w (, ) E

14 Mvel teles pársítást keresük, az egy ptra lleszkedı élek közül ptsa egy kerülhet a pársításba: B A : = A B : = Az ptmalzálás prbléma mdelle: w m (, ) E A : = B B : = A {0,} Módsíttt mdell: hzzáredelés feladat (Assgmet Prblem) Tegyük telessé a párs gráft a háyzó élek hzzávételével úgy, hgy a háyzó élek súlyát végteleül agyra választuk. A gyakrlatba elegedı, ha a végteleül agy súly a megadtt súlyk összegéél agybb szám: Legye W > w (, ) E Legye c : A B R, c(, ) = c w, ha (,) E = W egyébkét A telessé tett gráfra vatkzó leárs ptmalzálás prbléma az A c ] hzzáredelés feladat: c m = = : = = : = = {0,} [

15 A kapcslat az eredet és a módsíttt feladat között a következı: az eredet feladatak akkr és csak akkr va megldása, ha a módsíttt feladat ptmáls megldása ksebb, mt W, és ebbe az esetbe a módsíttt feladat ptmáls megldása egybe ptmáls megldása az eredet feladatak s. A módsíttt mdell elemzése A hzzáredelés feladat lya specáls szállítás feladat, ahl mmáls költségő teles pársítást keresük egy élsúlyztt párs gráfba. A hzzáredelés feladat lehetséges megldása egy lya bárs mátr, amelyek mde srába és mde szlpába ptsa egy darab elem szerepel. Megfrdítva: mde -es bárs mátr, amelyek mde srába és szlpába ptsa egy darab elem szerepel, lehetséges megldása a feladatak. Az lye mátrk, azaz megldásk száma!. Rögzített mellett a hzzáredelés feladatt egyértelmőe meghatárzza a súlymátr vagy költségmátr. Megldás módszerek Magyar módszer Hzzáredelés feladatra a dsztrbúcós módszer em hatéky. A magyar módszer a duál feladat megldását célzza a költségmátr redukcóával. Duál feladat ma w = u + v u + v u, v c R A költségmátr redukcóa Vegyük észre, hgy a u lletve v duál váltzók értéke a C = ( ) c költségmátrról közvetleül lelvashatók: u redre az -edk sr legksebb eleme, v pedg a -edk szlp legksebb eleme! Redukáluk a költségmátrt a következıképpe:

16 . Csökketsük mde sr elemeek értékét a srba található mmáls elem ( u ) értékével.. Csökketsük mde szlp elemeek értékét az szlpba található mmáls elem ( v ) értékével. Kmplemetartás tétel A prmál feladat lehetséges megldása és a duál feladat u,v lehetséges megldása akkr és csak akkr ptmáls, ha > 0 eseté u + v = c. Vegyük észre, hgy a redukált költségmátr eleme éppe a c u v értékek, a redukált költségmátrba tehát az összes duál váltzó értéke 0. Legye = tt, ahl c u v = 0, mdeütt másutt pedg = 0. A költségmátr lefedése. Válasszuk k a költségmátrból a lehetı legtöbb függetle 0 elemet. Kıg Dées tétele, hgy egy párs gráfba a mamáls pársítás éleek a száma megegyezk a gráf élet lefgó csúcsptk mmáls számával. Kıg tétele alapá a redukált költségmátrba a függetle ullák száma megegyezk az összes ullát lefedı sr- és szlp-valak mmáls számával.. Húzzuk meg a redukált költségmátr 0 elemet lefedı sr- és szlpvalakat. A duál megldás avítása. Keressük meg a legksebb fedetle elemet, legye ez δ.. A fedetle elemekbıl vuk k δ -t.. Az egyszerese fedett elemeket hagyuk váltzatlaul.. A kétszerese fedett elemekhez aduk hzzá δ -t. Megegyzés A fet traszfrmácóval ekvvales megfgalmazás, hgy. A fedetle srk mde elemébıl vuk k δ -t.. A lefedett szlpk mde eleméhez aduk hzzá δ -t. Tvább ekvvales megfgalmazást kaphatuk, ha felcserélük a sr és szlp szavakat.

17 Eredméy Ha a lefedett srk száma eredetleg eredetleg I, akkr a fet traszfrmácóval a I s, a lefedett szlpk száma pedg = + w u v célfüggvéy ( I s )δ meységgel csökket, és I δ meységgel ıtt, összességébe tehát a célfüggvéy övekméye: d = ( I ) δ I δ = ( I I )δ Ameybe az eredet pársításuk em vlt teles, úgy ( I s I ) > 0 avítással a célfüggvéy értéke ıtt. Az elárás vége s s, tehát a Ha a redukált, mad rekurzíva avíttt költségmátrból kválaszttt mamáls számú függetle 0 elemmel a mátr mde srát és szlpát le tuduk fed, akkr az ptmáls megldás a kválaszttt 0 elemekek megfelelı éleket tartalmazó teles pársítás. Megegyzés A kválasztás feltételeke szkás a következıképpe lazíta: [ 0,] Példák Mukák ptmáls ksztása Feladat Meghatárztt számú mukát kell kszta ugyaey dlgzóak úgy, hgy a mukavégzés összköltsége (pl. a ráfrdíttt dı) a lehetı legksebb legye. ) Ksztható-e mde muka, ha egy dlgzó csak egy mukát végezhet el? ) Mekkra a teles mukavégzés mmáls összköltsége? ) Aduk meg a mukák egy ptmáls ksztását. ) Háy külöbözı ptmáls ksztás létezk? ) Srluk fel az összes ptmáls mukamegsztást! 7

18 Mdell A dlgzók lletve az elvégzedı mukák számát elöle. A dlgzókat -vel, az elvégzedı mukákat -vel deelük. (, ) Jelöle w aak a költségét, hgy az dlgzó végz el a mukát. Mvel em garatált, hgy mde dlgzó mde egyes mukát képes elvégez, vagys a dlgzókat és az általuk elvégezhetı mukákat összekötve em szükségképpe utuk teles párs gráfhz, így a w költségmátrak lehetek háyzó eleme, és lehetséges, hgy a feladatak egyáltalá cs megldása. Vezessük be a következı bárs váltzókat:, ha az dlgzó kapa a mukát = 0 egyébkét Ameybe az dlgzó em végezhet el a mukát, tehát a w költség em létezk, abba az esetbe garatálta = 0. A mukavégzés összköltsége: w (, ) E A mukák ksztásáak feltétele: Mde dlgzó ptsa egy mukát kaphat: : = = = Mde muka ptsa egy dlgzóhz kerülhet: : = Az ptmalzálás mdell: w m (, ) E : = = : = = {0,} 8

19 Módsíttt mdell: hzzáredelés feladat Ahhz, hgy leárs prgramzással s kezelhetı, azaz teles költségmátrú feladatt tuduk meglda, azt az esetet, amkr egy dlgzó em képes egy adtt mukát végrehata (vagy valamlye más kból azt em kaphata meg) úgy kezelük, hgy a vatkzó költséget végteleül agyra választuk, am a gyakrlatba elegedı, ha a megadtt költségek összegéél egy agybb szám: W > w (, ) E. Ezáltal az eredet feladat módsíttt váltzatáhz utuk. A módsíttt (kegészített) ptmalzálás mdell: w m = = : = = : = = {0,} A kapcslat az eredet és a módsíttt feladat között a következı: az eredet feladatak akkr és csak akkr va megldása, ha a módsíttt feladat ptmáls megldása ksebb, mt W, és ebbe az esetbe a módsíttt feladat ptmáls megldása egybe ptmáls megldása az eredet feladatak s. Párválasztás Feladat Meghatárztt számú leáy mdegyke tetszés srredet állít fel azs számú fúról. Egy lehetséges kapcslat bldgság értékét a leáyak a fúra vatkzó tetszés dee mutata. Aduk meg azt a teles pársítást, amely a legagybb összbldgságt eredméyez. ) Mekkra az elérhetı legagybb összbldgság? ) Aduk meg a mamáls összbldgságt eredméyezı párválasztást! ) Háy külöbözı ptmáls párválasztás létezk? ) Srluk fel az ptmáls pársításkat! 9

20 Mdell A leáyk lletve fúk számát elöle. A leáykat -vel, a fúkat -vel deelük. Jelöle c az leáyak a fúra vatkzó tetszés deét. Feltehetı, hgy a tetszés de emegatív ( 0) c. Vezessük be a következı bárs váltzókat:, ha az leáy pára a fú = 0 egyébkét Az összbldgság: c = = A párválasztás feltétele: = Mde leáy ptsa egy fút választhat: : = = Mde fút ptsa egy leáy választhat: : = Az ptmalzálás mdell az A c ] hzzáredelés feladat: c ma = = : = = : = = {0,} Mmáls súlyú teles pársítás keresése tetszıleges gráfba [ Feladat Párs csúcsú élsúlyztt gráfba ) Va-e teles pársítás? ) M a teles pársításk mmáls súlya? ) Aduk meg egy mmáls súlyú teles pársítást! ) Háy mmáls súlyú teles pársítás va? ) Srluk fel a mmáls súlyú teles pársításkat! 0

21 Mdell Legye Γ ( V, E) = párs csúcsú gráf w : E R élsúlykkal. A gráf csúcsptaak a száma legye V =. Feltehetı, hgy az élsúlyk emegatív számk: w (, ) w 0 Vezessük be a következı bárs váltzókat: =, ha az (, ) él a = 0 egyébkét pársítás eleme A pársítás súlya: w (, ) E Mvel teles pársítást keresük, az egy ptra lleszkedı élek közül ptsa egy kerülhet a pársításba: B A : = A B : = Az ptmalzálás prbléma mdelle: w m (, ) E A : = B B : = A {0,} Módsíttt mdell: hzzáredelés feladat (Assgmet Prblem) Tegyük telessé a párs gráft a háyzó élek hzzávételével úgy, hgy a háyzó élek súlyát végteleül agyra választuk. A gyakrlatba elegedı, ha a végteleül agy súly a megadtt súlyk összegéél agybb szám: Legye W > w (, ) E Legye c : A B R, c(, ) = c w, ha (,) E = W egyébkét

22 A telessé tett gráfra vatkzó leárs ptmalzálás prbléma az A c ] hzzáredelés feladat: c m = = : = = : = = {0,} A kapcslat az eredet és a módsíttt feladat között a következı: az eredet feladatak akkr és csak akkr va megldása, ha a módsíttt feladat ptmáls megldása ksebb, mt W, és ebbe az esetbe a módsíttt feladat ptmáls megldása egybe ptmáls megldása az eredet feladatak s. A módsíttt mdell elemzése Példák A hzzáredelés feladat lya specáls szállítás feladat, ahl mmáls költségő teles pársítást keresük egy élsúlyztt párs gráfba. A hzzáredelés feladat lehetséges megldása egy lya bárs mátr, amelyek mde srába és mde szlpába ptsa egy darab elem szerepel. Megfrdítva: mde -es bárs mátr, amelyek mde srába és szlpába ptsa egy darab elem szerepel, lehetséges megldása a feladatak. Az lye mátrk, azaz megldásk száma!. Rögzített mellett a hzzáredelés feladatt egyértelmőe meghatárzza a súlymátr vagy költségmátr. Raktár felszámlása Feladat Egy kürítedı raktárból számú ktéert kell pársával elszállíta. A ktéerek párkét elszállítás költsége adtt. ) Küríthetı-e a raktár? ) Mekkra a raktár kürítéséek mmáls költsége? ) Aduk meg a raktárfelszámlás egy ptmáls stratégáát. ) Háy külöbözı ptmáls stratéga létezk? ) Srluk fel az összes ptmáls stratégát! [

23 Klkkek Klkk-keresés prblémák mdellezése 0- prgramzás feladatkét Prbléma Adtt egy Γ (általába egyszerő) gráf és egy. a) Dötsük el, hgy va-e a gráfba k mérető klkk.. b) Mutassuk meg egy k mérető klkket, ha va!. c) Háy külöbözı k mérető klkk va a gráfba?. d) Srluk fel az összes k mérető klkket!. a) Mekkra a gráfba a legagybb mérető klkk?. b) Mutassuk meg egy legagybb mérető klkket! k N természetes szám.. c) Háy külöbözı legagybb mérető klkk va a gráfba?. d) Srluk fel az összes legagybb mérető klkket! Példa Feladat Legye a Γ gráf adaceca-mátra a következı: Γ Mekkra a gráfba található legagybb mérető klkk? LP-mdell Vezessük be a következı bárs váltzókat:, ha az csúcs taga a klkkek = 0, egyébkét A célfüggvéyt mamalzál kell. =

24 A feltételek megfgalmazásáhz a gráf ú. at-cdeca mátrát (vagys a gráf kmplemeteréek cdeca-mátrát) érdemes felír, amelybe az éllel össze em kötött csúcskat (a be em húztt éleket ) eleítük be: Mvel a klkkbe em elehetek meg éllel össze em kötött csúcsk, ezért az at-cdeca mátr egy srába megelölt csúcsk közül legfelebb az egyk lehet taga a klkkek. Megegyzés Mvel bárs váltzókat vzsgáluk, így a valós relaálás gyrsa adhat emleges választ egy k mérető klkk keresésére. Kmbatrkus vágásk mhó szíezéssel Vágáskat azért alkalmazuk, hgy csökketsük a prbléma méretét. NP-teles prbléma eseté a méretcsökketés érdekébe pl. szubptmáls, de hatéky mhó algrtmusk s kválóa alkalmasak lehetek arra, hgy vágáskat geeráluk. Klkk-keresés prblémák eseté kmbatrkus alap s vágást geerálhatuk pl. gráfszíezéssel. A mmáls gráfszíezés maga s NP-teles feladat, de a kmbatrkus vágáshz em szükséges ptmáls szíezést megad: elegedı a ptkat mhó, az elsı lehetséges szíel kszíez. A gráfba ylvá em lehet agybb klkk, mt aháy szísztály va. Mde szísztályra megfgalmazható egy lya pótlólags feltétel, hgy a szísztály eleme közül legfelebb az egyk lehet a klkk taga. Ez a kmbatrkus vágás. Az szísztályk szert kmbatrkus vágásk, amelyek -él több csúcst tartalmazak, egymagukba s több eredet feltételt helyettesíteek, így csökketk a feltételek számát.

25 A fet feladatba például a mhó szíezés az alább eredméyhez vezet:. szí:,. szí:,,. szí: A másdk szísztályhz tartzó kmbatrkus vágás: + + Ez a vágás ömagába helyettesít a harmadk, ötödk és hetedk feltételt, és a valós relaáltról levága az = alakú megldáskat. Megegyzés Tvább vágáskat találhatuk, ha a Γ gráf kmplemeterébe köröket keresük. Ezek a körök lác-egyelıtleségeket eleteek az eredet feltételhalmazba, amelyeket összeadva egy úabb vágáshz utuk. A példafeladatba egy kör: Az ehhez tartzó vágás: Ez a vágás csak akkr telesülhet egyelıtleségre, ha a körö éppe mde másdk váltzó -es. Köyő elleırz, hgy ez a megldás megegedett-e, és ha em, akkr a vágás bb ldalá álló kapactás krlát még eggyel csökkethetı. Mamáls klkk méretéek felsı és alsó becslése mhó szíezéssel Feladat Keressük meg a legagybb mérető klkket az alább adaceca-mátrszal leírható gráfba:

26 Megldás Elsı lépéskét vessük alá a fet gráft egy gyrs spekcóak: számluk k és tütessük fel a gráf sra mellett az egyes csmóptk fkszámát: Mvel a legagybb fkszám 7, így a gráfba legfelebb 8-as mérető klkk lehet. Mvel azba 7-es fkszámú ptból csak va, így a gráfba legfelebb 7-es mérető klkk lehet. 7-es mérető klkkhez legalább fkú ptk kelleek. A legalább fkú ptk száma éppe 7, ezek azba em alktak klkket (pl. háyzk az él). A fkszámk vzsgálata alapá tehát gyrsa megállapítható, hgy a gráfba legfelebb -s mérető klkk található.

27 Szíezzük k mhó mód a gráft: Mhó mód szíel skerült a gráft kszíez, am azt elet, hgy a gráfba legfelebb -ös mérető klkket találhatuk. Mvel az utlsó szísztályak csak egyetle pta va, ez azt elet, hgy ameybe va a gráfba -ös mérető klkk, úgy aak ez a pt bztsa az eleme lesz. Flytassuk a mhó szíezést rekurzív mód, hgy megtaláluk a - es csmópt szmszéda által kfeszített részgráfba a legagybb klkket. Íruk tehát egymás alá az elızı szíezés szísztályat, és a megadtt srredbe válgassuk k az utlsó (legksebb mérető) szísztály utlsó eleméek szmszédat: Az utlsó szísztály utlsó eleméek szmszéda a fet srredbe: 9,,,,, 8 Szíezzük a kaptt részgráft mhó mód: 9 8 Íruk a kaptt szísztályk elemet függılegese az elızı mellé, és flytassuk az elárás egésze addg, amíg egyptú részgráfhz em utuk: 7

28 A fet szlpk utlsó eleme klkket alktak a gráfba, va tehát a gráfba legalább mérető klkk: {, 8,, 9} A teles gráf mhó szíezésével tehát felsı krlátt, mad a mhó szíezés rekurzív alkalmazásával alsó krlátt s találtuk a legagybb mérető klkkre. Megegyzés A mhó szíezés eredméye többféle elıkészítéssel (prekdcálással) avítható, például úgy s, hgy a csmóptkat a szíezés elıtt fkszám szert csökkeı srredbe állítuk. Mt mátrk geerálása klkk-kereséssel Defícó Egy mt mátr lya telesülek: -es számtáblázat, amelyre a következı feltételek cella feltétel: a táblázat cellá a 0,,..., N értékek egykét tartalmazzák (a 0 értéket a cella ürese hagyásával elezzük, és a több feltétel elleırzése srá fgyelme kívül hagyuk); sr feltétel: a srk (balról bbra) szgrúa mt övık; szlp feltétel: az szlpk (letrıl felfelé) szgrúa mt övık; meredekség feltétel: bármely két azs pztív számt tartalmazó cellát összekötı egyees meredeksége pztív. 8

29 Példák Megegyzés A mt mátrk elméletéek alapprblémáa az, hgy adtt mérethez megtaláluk a lehetı legbba ktöltött (legtöbb pztív cellát tartalmazó) mt mátrkat. A mamálsa ktöltött mt mátrkat ptmálsak evezzük. A defícó alapá a következı állításk egyszerőe beláthatók: Optmáls mt mátr elsı sra és szlpa ptsa egy darab -est tartalmaz, am eltlható a bal alsó sarkba. Optmáls mt mátr utlsó sra és szlpa ptsa egy darab -est tartalmaz, am eltlható a bb felsı sarkba. Mt mátrk gráf-mdelle és az alapprbléma LP-mdelle Tektsük azt az ptból álló gráft, amelyek ptat lya pztív egész (, y, z) számhármaskkal azsítuk, ahl, y, z. Egy (, y, z) csmóptt úgy terpretáluk, hgy az -es számtáblázat sráak és y szlpáak keresztezıdésébe található cella tartalma z. Kössük össze azkat a csmóptkat, amelyek kelégítk a mt mátrra vatkzó feltételeket. Az, y, ) és, y, ) csmóptk tehát akkr és ( z ( z csak akkr vaak a gráfba éllel összekötve, ha < (sr feltétel) z < z < (szlp feltétel) y y z < z y y z = z > 0 (meredekség feltétel) 9

30 A fet mód defált gráfba mde klkk egy defál. Az -es mt mátrt -es alapprbléma tehát ekvvales a mamáls klkk megkereséséek prblémáával egy megfelel egy egész értékő leárs prgramzás feladatak. mérető gráfba, am az elızıek alapá Paklás prblémák mdellezése Paklás prblémáak evezzük egy halmaz lehetı legtelesebb lefedését elıre megadtt részhalmazaak valamely részredszerével. A paklás prblémával ekvvales klkk-keresés prbléma alapgráfáak ptat az elıre megadtt részhalmazk képezk, amelyek közül a dszuktak vaak éllel összekötve. Eze a gráf mde klkk egy lehetséges paklásak felel meg. Léyeges azba, hgy em a legagybb mérető klkket keressük a gráfba. A gráf pta ugyas a ekk megfelelı részhalmazk méretével súlyzttak, és a feladat a legagybb súlyú klkk megkeresése. Abba a specáls esetbe persze, ha az eredet halmazt azs mérető részekkel kell mamálsa lefed, azaz a gráf ptaak a súlya azs, a mamáls mérető klkkek leszek egybe mamáls súlyúak s. Mart Garder egy evezetes feladata 97-bıl Kérdés Elhelyezhetı-e darab -es mérető tégla egy 777-es mérető kckába? A prbléma elemzése Mart Garder prblémáa egy lya paklás feladat, amely azs mérető részhalmazkkal célzza egy alaphalmaz mamáls fedését. Vzsgáluk meg a prblémát kmbatrka szemszögbıl. Egy ks téglát féleképpe állíthatuk be a agy kckába úgy, hgy a tégla bal alsó elsı sarka a kcka megadtt pzícóára esse. Összese tehát 777 mód lehet egy ks téglát a agy kckába elhelyez, beleszámítva azkat a szélsı helyzeteket s, amkr a tégla a kcka bb, felsı vagy hátsó lapá már klóg eél tehát kevesebb téyleges paklás lehetıségük va egyetle téglára ézve. 7 Mvel egy ks tégla térfgata 8 egység, így a agy kckába legfelebb = 8 darab ks tégla helyezhetı el. A kérdés tehát az, hgy ez a mamáls paklás megvalósítható-e. 0

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága

Azonos névleges értékű, hitelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérési bizonytalansága Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

AZ IGÉNY SZERINTI TÖMEGGYÁRTÁS KÉSZLETGAZDÁLKODÁSI PROBLÉMÁINAK MEGOLDÁSA MÓDOSÍTOTT ÚJSÁGÁRUS MODELL SEGÍTSÉGÉVEL

AZ IGÉNY SZERINTI TÖMEGGYÁRTÁS KÉSZLETGAZDÁLKODÁSI PROBLÉMÁINAK MEGOLDÁSA MÓDOSÍTOTT ÚJSÁGÁRUS MODELL SEGÍTSÉGÉVEL MAGYAR TUDOMÁNY NAPJA DOKTORANDUSZOK FÓRUMA Mskolc Egyetem, 2006. ovember 9. AZ IGÉNY SZERINTI TÖMEGGYÁRTÁS KÉSZLETGAZDÁLKODÁSI PROBLÉMÁINAK MEGOLDÁSA MÓDOSÍTOTT ÚJSÁGÁRUS MODELL SEGÍTSÉGÉVEL Mleff Péter,

Részletesebben

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN

AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN AZ OPTIMÁLIS MINTANAGYSÁG A KAPCSOLÓDÓ KÖLTSÉGEK ÉS BEVÉTELEK RELÁCIÓJÁBAN Molár László Ph.D. hallgató Mskolc Egyetem, Gazdaságelmélet Itézet 1. A MINTANAGYSÁG MEGHATÁROZÁSA EGYSZERŐ VÉLETLEN (EV) MINTA

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata

A pályázat címe: Rugalmas-képlékeny tartószerkezetek topológiai optimalizálásának néhány különleges feladata 6. év OTKA zárójeletés: Vezető kutató:kalszky Sádor OTKA ylvátartás szám T 4993 A pályázat címe: Rugalmas-képlékey tartószerkezetek topológa optmalzálásáak éháy külöleges feladata (Részletes jeletés) Az

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése

Tartalomjegyzék. 4.3 Alkalmazás: sorozatgyártású tűgörgő átmérőjének jellemzése 3 4 Tartalomegyzék. BEVEZETÉS 5. A MÉRÉS 8. A mérés mt folyamat, fogalmak 8. Fotosabb mérés- és műszertechka fogalmak 4.3 Mérés hbák 8.3. Mérés hbák csoportosítása eredetük szert 8.3. A hbák megeleítés

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 1. modul Sorban, egymás után

MATEMATIKA C 12. évfolyam 1. modul Sorban, egymás után MATEMATIKA C. évflyam. mdul Srba, egymás utá Készítette: Kvács Kárlyé Matematika C. évflyam. mdul: Srba egymás utá Taári útmutató A mdul célja Időkeret Ajáltt krsztály Mdulkapcslódási ptk Srzat fgalma,

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu

MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA. PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu MATEMATIKA I. FEKETE MÁRIA PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM POLLACK MIHÁLY MŰSZAKI KAR MATEMATIKA TANSZÉK feketemt@witch.pmmf.hu 007 PMMANB3 Matematika I. RÉSZLETES TANTÁRGYPROGRAM Hét Ea/Gyak./Lab.. 3 óra előadás

Részletesebben

1. Operáció kutatás matematikát matematikai statisztika és számítástechnika. legjobb megoldás optimum operációkutatás definíciója :

1. Operáció kutatás matematikát matematikai statisztika és számítástechnika. legjobb megoldás optimum operációkutatás definíciója : 1. Operácó kutatás Az operácó kutatás 1940 ó ta smeretes. Bár a techka felő dés, a termelés folamatok szervezése már korábba s géelte a matematka eszkö zö k felhaszálását, - amelekbe fellelhető k az operácó

Részletesebben

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

2012.03.01. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 202.03.0. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

Szoldatics József, Dunakeszi

Szoldatics József, Dunakeszi Kstérség tehetséggodozás Rekurzív soroztok Szoldtcs József, Dukesz Npjkb egyre több verseye jelek meg rekurzív sorozt. Ezek megoldásához d ötleteket ez z elődás, A feldtok csoportosítv vk megoldás módszerek

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Mérési adatok feldolgozása. 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1 Mérés adatok feldolgozása 2008.04.08. Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc Bevezetés A mérés adatok külöböző formába, általába ömlesztve jeleek meg Ezeket az adatokat külöböző szempotok szert redez kértékel

Részletesebben

PMMANB 311 segédlet a PTE PMMK építőmérnök hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése

PMMANB 311 segédlet a PTE PMMK építőmérnök hallgatói részére. Az építész- és az építőmérnök képzés szerkezeti és tartalmi fejlesztése EURÓPAI UNIÓ STRUKTURÁLIS ALAPOK M A T E M A T I K A I. PMMANB 3 segédlet a PTE PMMK építőmérök hallgatói részére Az építész- és az építőmérök képzés szerkezeti és tartalmi ejlesztése HEFOP/004/3.3./000.0

Részletesebben

. 2 pont A 2 pont nem bontható. 3 Összesen: 2 pont. Összesen: 3 pont. A valós gyökök száma: 1. Összesen: 2 pont. Összesen: 2 pont

. 2 pont A 2 pont nem bontható. 3 Összesen: 2 pont. Összesen: 3 pont. A valós gyökök száma: 1. Összesen: 2 pont. Összesen: 2 pont 1. Az egyszerűsítés után kaptt tört: I. a b. pnt A pnt nem bntható. 3 Összesen: pnt. Frgáshenger keletkezik, az alapkör sugara 5cm, magassága 1cm. V = 5π 1(cm 3 ). A frgáshenger térfgata 300π cm 3. Ha

Részletesebben

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE

MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE MINTAVÉTEL A MARKETINGKUTATÁSBAN, KÜLÖNÖS TEKINTETTEL A DIVIZÍV ÉS AZ AGGLOMERATÍV RÉTEGZÉSRE Molár László egyetem taársegéd 1. BEVEZETÉS A statsztkusok a mtaagyság meghatározására számos módszert dolgoztak

Részletesebben

HIBAJEGYZÉK az Alapvető fizikai kémiai mérések, és a kísérleti adatok feldolgozása

HIBAJEGYZÉK az Alapvető fizikai kémiai mérések, és a kísérleti adatok feldolgozása HIBAJEGYZÉK az Alapvető fzka kéma mérések, és a kísérlet adatk feldlgzása címü jegyzethez 2008-070 Általáns hba, hgy a ktevőben lévő negatív (-) előjelek mndenhnnan eltűntek a nymtatás srán!!! 2. Fejezet

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

WEBSHOP FELHASZNÁLÓI KÉZIKÖNYV

WEBSHOP FELHASZNÁLÓI KÉZIKÖNYV WEBSHOP FELHASZNÁLÓI KÉZIKÖNYV Készítette: IFSz Kft. Bevezetés Tartalm Tartalm... 2 Bevezetés... 3 Az EBT Webshp felhasználói felülete... 4 Belépés, regisztráció, adatmódsítás...4 Webshps rendelések rögzítése...8

Részletesebben

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u

A felhasznált térfogalmak: lineáris tér (vektortér), normált tér, Banach tér, euklideszi-tér, Hilbert tér. legjobban közelítõ elem, azaz v u Approxmácó Bevezetés A felhaszált térfogalmak: leárs tér (vektortér) ormált tér Baach tér eukldesz-tér Hlbert tér V ormált tér T V T kompakt halmaz Ekkor v V u ~ T legjobba közelítõ elem azaz v u ~ f {

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Rajzolja fel a helyettesítő vázlatot és határozza meg az elemek értékét, ha minden mennyiséget az N2 menetszámú, szekunder oldalra redukálunk.

Rajzolja fel a helyettesítő vázlatot és határozza meg az elemek értékét, ha minden mennyiséget az N2 menetszámú, szekunder oldalra redukálunk. Villams Gépek Gyakrlat 1. 1.S = 100 kva évleges teljesítméyű egyfázisú, köpey típusú traszfrmátr (1. ábra) feszültsége U 1 /U = 5000 / 400 V. A meetfeszültség effektív értéke U M =4,6 V, a frekvecia f=50hz.

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS

Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Hegedős Csaba NUMERIKUS ANALÍZIS Jegyzet ELE, Iformata Kar Hegedős: Numerus Aalízs ARALOM Gép szám, hbá 3 Normá, egyelıtlesége 9 3 A umerus leárs algebra egyszerő traszformácó 6 4 Mátro LU-felbotása, Gauss-Jorda

Részletesebben

Vegyipari és áramlástechnikai gépek. 7. előadás

Vegyipari és áramlástechnikai gépek. 7. előadás egyiari és áramlástechikai géek. 7. előadás Kéítette: dr. áradi Sádr Budaesti Műaki és Gazdaságtudmáyi Egyetem Gééméröki Kar Hidrdiamikai Rederek Taék, Budaest, Műegyetem rk. 3. D é. 334. Tel: 463-6-80

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy?

Miért pont úgy kombinálja kétfokozatú legkisebb négyzetek módszere (2SLS) az instrumentumokat, ahogy? Mért pot úgy kombálja kétfokozatú legksebb égyzetek módszere (2SLS az strumetumokat, ahogy? Kézrat A Huyad László 60. születésapjára készülő köyvbe Kézd Gábor 2004. júlus A Budapest Corvus Egyetem rövd

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel

25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel 5. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel Axióma: Bizonyítás: olyan állítás, amelynek igazságát bizonyítás nélkül elfogadjuk.

Részletesebben

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait.

A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. 2. VEKTORTÉR A lineáris algebrában központi szerepet betöltı vektortér fogalmát értelmezzük most, s megvizsgáljuk e struktúra legfontosabb egyszerő tulajdonságait. Legyen K egy test és V egy nem üres halmaz,

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

FIZIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Fizika középszint 0911 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2009. któber 30. FIZIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM A dlgzatkat az útmutató utasításai

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László

Valószínűségszámítás. Ketskeméty László Valószíűségszámítás Ketskeméty László Budapest, 996 Tartalomjegyzék I. fejezet VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 3. Kombatorka alapfogalmak 4 Elleőrző kérdések és gyakorló feladatok 6. A valószíűségszámítás alapfogalma

Részletesebben

Statisztikai függvények

Statisztikai függvények EXCEL FÜGGVÉNYEK 9/1 Statisztikai függvények ÁTLAG(tartomány) A tartomány terület numerikus értéket tartalmazó cellák értékének átlagát számítja ki. Ha a megadott tartományban nincs numerikus értéket tartalmazó

Részletesebben

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE

VASBETON ÉPÜLETEK MEREVÍTÉSE BUDAPET MŰZAK É GAZDAÁGTUDOMÁY EGYETEM Építőmérök Kar Hdak és zerkezetek Taszéke VABETO ÉPÜLETEK MEREVÍTÉE Oktatás segédlet v. Összeállította: Dr. Bód stvá - Dr. Farkas György Dr. Kors Kálmá Budapest,.

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus

GRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,

Részletesebben

Kényszereknek alávetett rendszerek

Kényszereknek alávetett rendszerek Kéyszerekek alávetett redszerek A koordátákak és sebességekek előírt egyeleteket kell kelégítee a mozgás olyamá. (Ezeket a eltételeket, egyeleteket s ayag kölcsöhatások bztosítják, de ezek a kölcsöhatások

Részletesebben

17. tétel: Egybevágósági transzformációk. Szimmetrikus sokszögek.

17. tétel: Egybevágósági transzformációk. Szimmetrikus sokszögek. 17. tétel: Egybevágósági transzfrmációk. Szimmetrikus skszögek. Gemetriai transzfrmáció: Olyan függvény, melynek értelmezési tartmánya és értékkészlete is egy-egy pnthalmaz (vagyis pntkhz rendel pntkat).

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra:

Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: C(T ) = (u,v) T c(u,v) Az F = (V,T) gráf minimális feszitőfája G-nek,

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet (C http://kgt.be.hu/ 5. elıadás: Vétel és eladás idulókészlettel; Itetepoális választások uttó keeslet ettó keeslet ( uttó keeslet: ait a fogyasztó téylegese elfogyaszt (hazavisz a piacól ( ( Jele:, vagy,

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

Matematikai statisztika

Matematikai statisztika Matematka statsztka 8. elıadás http://www.math.elte.hu/~arato/matstat0.htm Kétmtás eset: függetle mták + + + = + ) ( ) ( ) ( Y Y X X Y X m m m t m Ha smert a szórás: (X elemő, σ szórású, Y m elemő, σ szórású),

Részletesebben

Adatbáziskezelés alapjai. jegyzet

Adatbáziskezelés alapjai. jegyzet Juhász Adrienn Adatbáziskezelés alapja 1 Adatbáziskezelés alapjai jegyzet Készítette: Juhász Adrienn Juhász Adrienn Adatbáziskezelés alapja 2 Fogalmak: Adatbázis: logikailag összefüggı információ vagy

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

3. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK GRAFIKUS EGYSZERŰSÍTÉSE ÉS REALIZÁLÁSA

3. LOGIKAI FÜGGVÉNYEK GRAFIKUS EGYSZERŰSÍTÉSE ÉS REALIZÁLÁSA 3. LOGIKI FÜGGVÉNYEK GRFIKUS EGYSZERŰSÍTÉSE ÉS RELIZÁLÁS tananyag célja: a többváltzós lgikai függvények grafikus egyszerűsítési módszereinek gyakrlása. Elméleti ismeretanyag: r. jtnyi István: igitális

Részletesebben

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t

Ellenőrző kérdések. 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t Ellenőrző kérdések 2. Kis dolgozat kérdései 36. Ha t szintű indexet használunk, mennyi a keresési költség blokkműveletek számában mérve? (1 pont) log 2 (B(I (t) )) + t 37. Ha t szintű indexet használunk,

Részletesebben

Statisztikai módszerek

Statisztikai módszerek Statisztikai módszerek A hibaelemzı módszereknél azt néztük, vannak-e kiugró, kritikus hibák, amelyek a szabályozás kivételei. Ezekkel foglalkozni kell; minıségavító szabályozásra van szükség. A statisztikai

Részletesebben

2.10. Az elegyek termodinamikája

2.10. Az elegyek termodinamikája Kéma termodamka.1. z elegyek termodamkája fzka kéma több féle elegyekkel foglakozk, kezdve az deáls elegyektől a reáls elegyekg. Ha az deáls elegyek esetébe az alkotók közt kölcsöhatásokat elhayagoljuk,

Részletesebben

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán):

Példák ekvivalencia relációra (TÉTELként kell tudni ezeket zárthelyin, vizsgán): F NIK INÁRIS RLÁIÓK INÁRIS RLÁIÓK (és hasonló mátrxok s tt!) Defnícó: z R bnárs relácó, ha R {( a, b) a, b } nárs relácók lehetséges tuladonsága:. Reflexív ha ( x,.(a). Szmmetrkus ha ( x, y) ( y,.(b).

Részletesebben

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról

Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Egy negyedrendű rekurzív sorozatcsaládról Pethő Attla Emlékül Kss Péternek, a rekurzív sorozatok fáradhatatlan kutatójának. 1. Bevezetés Legyenek a, b Z és {1, 1} olyanok, hogy a 2 4b 2) 0, b 2 és ha 1,

Részletesebben

Hálózati folyamok. Tétel: A maximális folyam értéke megegyezik a minimális vágás értékével.

Hálózati folyamok. Tétel: A maximális folyam értéke megegyezik a minimális vágás értékével. Hálózati folyamok Definíció: Legyen G = (V,E) egy irányított gráf, adott egy c: E R + {0} ún. kapacitásfüggvény, amely minden (u,v) ε E élhez hozzárendel egy nem negatív c(u,v) kapacitást. A gráfnak van

Részletesebben

Sárospatak Város Polgármesterétıl

Sárospatak Város Polgármesterétıl Sárspatak Várs Plgármesterétıl 3950 Sárspatak, Kssuth u. 44. Tel.: 47/513-240 Fax: 47/311-404 E-mail: sarspatak@sarspatak.hu ELİTERJESZTÉS - a Képviselı-testületnek - az ÉMOP-3.1.2/D-09-2010-0009 aznsítószámú

Részletesebben

FELÜGYELT INTÉZMÉNYEKKEL VALÓ. Visszajelző anyag KAPCSOLATTARTÁSRÓL HÓDMEZŐVÁSÁRHELY POLGÁRMESTERI HIVATALÁNÁL. Visszajelző dokumentáció.

FELÜGYELT INTÉZMÉNYEKKEL VALÓ. Visszajelző anyag KAPCSOLATTARTÁSRÓL HÓDMEZŐVÁSÁRHELY POLGÁRMESTERI HIVATALÁNÁL. Visszajelző dokumentáció. Visszajelző anyag Visszajelző dkumentáció HÓDMEZŐVÁSÁRHELY POLGÁRMESTERI HIVATALÁNÁL készített FELÜGYELT INTÉZMÉNYEKKEL VALÓ KAPCSOLATTARTÁSRÓL 2009. NOVEMBER 25. 1 Visszajelző anyag (részlet) Hódmezővásárhely

Részletesebben

Programozási tételek felsorolókra

Programozási tételek felsorolókra Progrozás tételek elsorolókr Összegzés Feldt: Adott egy E-bel eleeket elsoroló t obektu és egy :E H üggvéy. A H hlzo értelezzük z összedás sszoctív bloldl ullelees űveletét. Htározzuk eg üggvéyek t eleehez

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

1.52 CS / CSK. Kulisszás hangcsillapítók. Légcsatorna rendszerek

1.52 CS / CSK. Kulisszás hangcsillapítók. Légcsatorna rendszerek 1.52 CS / Légcsatra redszerek Alkalmazás: A légcsatraredszere építve, a légcsatráka terjedõ zaj csillapítására alkalmasak. Kialakításuk a eépített csillapító testek szerit alapvetõe hárm féle lehet: A,

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu- . modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján

Arrhenius-paraméterek becslése közvetett és közvetlen mérések alapján Tudomáyos Dákkör Dolgozat SZABÓ BOTOND Arrheus-paraméterek becslése közvetett és közvetle mérések alapá Turáy Tamás. Zsély Istvá Gyula Kéma Itézet Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kar Budapest,

Részletesebben

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék

Adatfeldolgozás, adatértékelés. Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Miskolci Egyetem, Hidrogeológiai Mérnökgeológiai Tanszék Adatfeldolgozás, adatértékelés Dr. Szűcs Péter, Dr. Madarász Tamás Mskolc Egyetem, Hdrogeológa Mérökgeológa Taszék A vzsgált köryezet elemek, lletve a felszí alatt közeg megsmerése céljából számtala külöböző

Részletesebben

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:

A PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke: A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,

Részletesebben

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

PÁLYÁZATI FELHÍVÁS a Nyugat-Dunántúli Operatív Program

PÁLYÁZATI FELHÍVÁS a Nyugat-Dunántúli Operatív Program PÁLYÁZATI FELHÍVÁS a Nyugat-Dunántúli Operatív Prgram A régió történelmi és kulturális örökségének fenntartható hasznsítása és természeti értékeken alapuló aktív turisztikai prgramk fejlesztése c. pályázati

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Elektrokémiai fémleválasztás. Alapok: elektródok és csoportosításuk

Elektrokémiai fémleválasztás. Alapok: elektródok és csoportosításuk Elektrkéma fémleválasztás Alapk: elektródk és csprtsításuk Péter László Elektrkéma fémleválasztás Elektródk és csprtsításuk - 1 Elektrkéma reakcó, elektród Mely reakcókat nevezzük elektrkéma reakcóknak?

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3

Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3 Síkgráfok Kuratowski-tétel: egy gráf akkor és csak akkor síkba rajzolható gráf, ha nincs olyan részgráfja, ami a K 5 -el, vagy a K 3,3 -altopologikusan izomorf (homeomorf). Euler síkgráfokra vonatkozó

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak

Gráfelméleti alapfogalmak 1 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf (angol graph= rajz): pontokból és vonalakból álló alakzat. pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. GRÁ Irányítatlan gráf Vegyes gráf Irányított gráf G H Izolált pont

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk

MATEMATIKA C 12. évfolyam 3. modul A mi terünk MTEMTIK C 1. évflyam. mdul mi terünk Készítette: Kvács Kárlyné Matematika C 1. évflyam. mdul: mi terünk Tanári útmutató mdul célja Időkeret jánltt krsztály Mdulkapcslódási pntk térfgat- és felszínszámítási

Részletesebben