KEZELÉSE ÉS ÉRTÉKELÉSE

Átírás

1 MÉRÉSI ADATOK KEZELÉSE ÉS ÉRTÉKELÉSE

2 Köryezettudomáy alapo taöyvsorozat A öryezetta alapja A öryezetvédelem alapja Köryezetfza Köryezet áramláso Köryezet ásváyta Köryezet mtavételezés Köryezetéma Köryezettudomáy terepgyaorlat Mérése tervezése és értéelése Talajta öryezettaosoa Evrometal Physcs Methods Laboratory Practces

3 Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kar MÉRÉSI ADATOK KEZELÉSE ÉS ÉRTÉKELÉSE Írta: Havacsá Károly egyetem doces, Fza Itézet Letorálta: Kardo Béla 0

4 COPYRIGHT: 0-07, Dr. Havacsá Károly, Eötvös Lorád Tudomáyegyetem, Természettudomáy Kar Letorálta: Dr. Kardo Béla Creatve Commos NoCommercal-NoDervs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0) másolható, ISBN KÉSZÜLT: a Typote Kadó godozásába Votsy Zsuzsa TÁMOGATÁS: Készült a TÁMOP //A/KMR számú, Köryeze KULCSSZAVAK: ácó, slés módszere, ombatora, halmazelmélet ÖSSZEFOGLALÁS: Ebbe a taöyvbe a véletle jelesége ezelésée alapjaval smeredhet meg érés adato leíró jellemzése a leíró statszta -számítás eredméyee alalmazása a mérés adato tulajdoságaa mélyebb megértése érdeébe, a matemata statszta módszeree segítségével, agyszámú soaság jellemzése sebb számú mérés adat felhaszálásával. Az ayag feldolgozása sorá a halmazelmélet és a ombatora fogalmara és összefüggésere s szüség va, ezért a függelébe e ét témaör legfotosabb smerete s megtalálható. A taayag feldolgozása sorá mdg az alalmazhatóság e- elhaszálja a matemata jól bevált jelölésredszerét, töresz a szabatos fogalmazásra, és az esete többségébe az állításo (tétele) bzoyítását s megadja.

5 TARTALOMJEGYZÉK A TANKÖNYV TARTALMÁRÓL...8 Bevezetés... 8 Törtéelm áttetés... 9 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.... A mérés adato ezelése..... Mérés adato megjeleítése..... Hsztogram Kumulatív gyaorság Relatív gyaorság eloszláso Számta özép A mérta özép Harmous özép Medá Az eloszlás módusza és terjedelme Emprus szóráségyzet és szórás Összefüggése az smérve özött Potdagram Leárs regresszó A legsebb égyzete módszere Leárs orrelácó Nemleárs regresszó II. -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Az alapfogalma bevezetése Gyaorság, relatív gyaorság, emprus agy számo törvéye Az aómá övetezméye Geo Szorzás szabály Bayes tétele Eseméye függetlesége A Beroull-ísérletsorozat Havacsá Károly, ELTE TTK

6 6 Tartalom Az eloszlásfüggvéy tulajdosága Várható érté dszrét esetbe A várható érté folytoos esetbe A várható érté tulajdosága Szórás Szóráségyzet és szórás dszrét esetbe Szóráségyzet és szórás folytoos esetbe A szórás tulajdosága Peremeloszláso dszrét esetbe Feltételes eloszláso dszrét esetbe Együttes Korrelácó Kovaraca Korrelácós együttható Leárs regresszó Nevezetes eloszláso Az dátorváltozó eloszlása Az egyeletes eloszlás A Beroull-eloszlás A Posso-eloszlás A geometra eloszlás Az epoecáls eloszlás A ormáls eloszlás (Gauss-eloszlás) A stadard ormáls eloszlás Függetle ormáls eloszláso össze Logartmus ormáls eloszlás Származtatott eloszláso A -eloszlás A -eloszlás A Studet-eloszlás Az F-eloszlás A agy számo törvéye A agy számo törvéye (Beroull-törvéye) A özpot határeloszlás tétel Havacsá Károly, ELTE TTK

7 Tartalom 7 0. A matemata statszta eleme Statszta mtavétel Emprus eloszlásfüggvéy Emprus várható érté Emprus szóráségyzet és s eloszlása ormáls eloszlás eseté A becsléselmélet eleme A mometumo módszere A mamum lelhood módszer Itervallumbecslés Statszta hpotézse vzsgálata A regresszós egyees becslése FÜGGELÉK A ombatora alapja Permutácó (sorba raás) Ismétléses permutácó Kombácó (választás, sorred élül) Ismétléses ombácó Varácó Ismétléses varácó A bomáls tétel és a bomáls együttható A bomáls együttható éháy tulajdosága Halmazelmélet alapfogalma A halmazo defícója Halmazo összege Halmazo szorzata Halmazo ülöbsége Az. fejezethez A. fejezethez A 3. fejezethez A 4. fejezethez Az 5. fejezethez A 7. fejezethez A. fejezethez Táblázato A Posso-eloszlás táblázatáa haszálata A Posso-eloszlás táblázata A stadard ormáls eloszlás táblázat haszálata A stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéyée táblázata A Studet-eloszlás táblázatáa haszálata A Studet-eloszlás táblázata eloszlás táblázatáa haszálata eloszlás táblázata Az F-eloszlás táblázatáa haszálata F-eloszlás táblázato... 3 Havacsá Károly, ELTE TTK

8 A TANKÖNYV TARTALMÁRÓL Bevezetés A lasszus fza és egyéb lasszus tudomáyo taulmáyozása sorá hozzászou ahhoz, hogy a jelesége valamlye meghatározó o hatása alatt álla, és ezért a folya- determsztus (meghatározott) folyamatoa evezzü. Ha a determsztus folyamattal apcsolatos ísérletet végzü, aor a folyamat mdg azoos módo megy végbe, és a ísérlet végeredméye mdg azoos lesz. Klasszus példa az lye folyamatora a szabadesés, lye esetebe s vaa zavaró örülméye, a lasszus fzáa azoba az a módszere, csa ssé befolyásoljá az eredméyt. Mdazoáltal em mde folyamat lye. Vaa olya folyamato, amelyee végeredméye em egyetle meghatározott állapot, haem több, esetleg végtele so lehetséges meetel özül az egy. Az lye folyamatora mde által smert példa a szabályos játéoca dobása, melye hat lehetséges meetele va. Valaháyszor fel- ocadobást ísérlete tetjü, aor azt modhatju, hogy a ísérlete hat lehetséges meetele va. Az lye ísérleteet, amelyee több lehetséges meetele va, és a ísérlet sorá eze özül az egy valósul meg, véletle (vagy sztochasztus) ísérlete evezzü. A ocadobáso ívül számos más példa s hozható a véletle ísérletre. Ha egy érmét feldobu, aor az eredméy vagy fej, vagy írás lesz, azaz ee a ísérlete ét lehetséges meetele va. Ha 90 szám özül ötöt húzu (lottósorsolás), aor a lehetséges meetele száma rrel számolható. Az eddg említett véletle ísérletebe a végeredméy egy dszrét soaság értée özül az egy. Ha azoba például a límaváltozás hatására vagyu ívácsa, és mérjü a ap ö- e- értée. M a ülöbség a determsztus és a véletle folyamato özött? A véletle ísérlet megevezés semm esetre sem jeleet azt, hogy a véletle folyamatoa e lee oa. Azoba, míg a determsztus folyamato eseté va egy meghatározó o, am megszabja a folyamat lefolyását, addg a véletle folyamato eseté több, so esetbe agyo eseméy. A determsztus folyamatra már említett példa a szabadesés, vagy a Föld ergése a a- el Havacsá Károly, ELTE TTK

9 A TANKÖNYV TARTALMÁRÓL 9 Amor a fetebe azt állítottu, hogy léteze determsztus ísérlete, aor a tettü. Az elmélet megfotoláso sorá az elhayagoláso helyévalóa, és agyo serese vezete az alapjelesége leíró egyelete megtalálásához. Amor azoba méréseet végzü, aor természetese a csy hatáso s jele vaa, ame eredméyeéppe a determsztusa evezett ísérlete eredméye, ha smértébe s, de változó lesz. Ezt a jeleséget véletle (statsztus) mérés hbáa evezzü, és mde mérés meghatá- - Még ább lye a helyzet az atomo, elem részecsé vlágába, ahol a vatummechaa törvéye írjá le a jelesége lefolyását. A vatummechaa törvéye való- smételt mérése sorá más-más eredméyt apu. A vatumtörvéye léyegüél A fet godolatmeet sorá valam olyasmre jutottu, hogy a determsztus folyamato tulajdoéppe csa elmélet ostrucó, és valójába, ha méréseet végzü, aor lye vagy olya oo matt, de mdg véletle ísérlettel va dolgu. A véletle -számítás foglaloz. A fet beve- ísérlete tervezése és az eredméye értéelése sorá. Ebbe a taöyvbe a véletle jelesége ezelésée alapjaval fogu megsmer- a mérés adato leíró jellemzése a leíró statszta módszere- -számítás eredméyee alalmazása a mérés adato tulajdoságaa mélyebb megértésére, a matemata statszta módszeree segítségével agyszámú soaság jellemzése sebb számú mérés felhaszálásával. Mthogy az ayag feldolgozása sorá haszálju a halmazelmélet és a ombatora fogalmat és összefüggéset, ezért a függelébe e ét témaör legfotosabb smeretet s összefoglalju. A taayag feldolgozása sorá e taöyv öryezettudomáy szaos hallgatóa észül, a a statsztáa em m áról va szó, tehát felhaszálju a matemata jól bevált jelölésredszerét, töreszü a szabatos fogalmazásra, és az esete többségébe az állításo (tétele) bzoyítását s megadju. Törtéelm áttetés A leíró statszta tulajdoéppe régóta haszálatos eszöz agyszámú adat tömörítésére -egy brodalom ezel. A statszta szó s a lat status (állam, állapot) szavaból gelmélet (sztochaszta) absztrat matemata ezelésével foglalozó tudomáyág. A sztochaszta szó görög ere- Havacsá Károly, ELTE TTK

10 0 A TANKÖNYV TARTALMÁRÓL latos matemata megfotolásoal a 5 6. századba ta- ajátéoal apcsolatos, eseteét fogós érdéseel a or smert matematusahoz fordulta. Úgy tartjá, hogy a -számítás egyes érdésere Pascal fgyelmét egy híres szerecsejátéos, de Méré lovag hozzá tézett érdése fordította. A érdés úgy hatost dobu, mt ét ocával 4-szer dobva legalább egyszer dupla hatost dob? Pa- hatos dobása, és a 4 éppe a 4 hatszorosa! A problémával Pascal (63 66) és Fermat ( ) egya é- Pascal és Fermat eredmé 695) s foglal- 705) foglalta össze Ars Cojectad (A számítás már a gazdaság életbe s fotos szerepet játszott. Életjáradéoal és bztosítással apcsolatos érdésebe alalmaztá az eredméyet. A tudomáyba eor dolgoztá a statszt haszáltá fel. A legfotosabb eredméye Laplace (749 85), Posso (78 840), Bayes (70 76) és Gauss (777 hbaszámítás elméletée dolgozásával. 894), Marov (856 9), Ljapuov (857 -számítás a- jeletette. Az atomelmélet, a vatummechaa, a telefoözpoto fejlesztése, a épesedés problémá, a geeta ered- -számítás új alapora helyezése elerülhetetleé vált. Ezt a muát Kolmogorov, orosz matematus (903 d- o- domáyo redívül haszos eszözévé válhatott. Havacsá Károly, ELTE TTK

11 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE

12 . A MÉRÉSI ADATOK KEZELÉSE.. Mérés adato megjeleítése Olya jeleségeel foglalozu tehát, amelyeel apcsolatba, ha méréseet végzü, y- -e ez a helyzet? A érdés jogos, ugyaaor va olya tapasztalat, am reméyel tölthet el beüet. Ha a véletle jeleségeel apcsolatba em egy, haem több mérést végzü, aor felf- ére. Lássu egy ülethet: fej vagy írás. Az lye ísérletbe hallgatólagosa mdg feltesszü, hogy az érme szabályos, tehát a ísérlet sorá egyforma eséllyel lehet fej vagy írás a végeredméy. Nézzü meg, hogy soszor elvégezve a ísérletet, mt tapasztalu? Legye a ísérlete száma. Az ísérlet sorá a feje száma legye fej, az írásoé írás, eze az ísérlet sorá az adott eseméy gyaorságát mutató értée. Az érmés ísérletbe természetese fej. A tapasztalat az, hogy ha elég agyszámú ísérletet végzü, aor az íráso és a feje gyaorsága özel azoos lesz, vagys rás fej írás. A agyszámú ísérlet sorá szerzett ísérlet tapasztalatot ssé alaposabba s megvzsgálju. Ha a több ísérlet sorá a gyaorság vseledését aarju taulmáyoz, cél- g az ú. relatív gyaorság vzsgálata, ahol a lehetséges végeredméye özül az egy. A relatív gyaorság azt mutatja meg, hogy az, 0 ; és 0. (...) Havacsá Károly, ELTE TTK

13 . A mérés adato ezelése 3 Az.. ábrá érmés ísérlet sorá a fej relatív gyaorságáa változást látju a ísérletszám függvéyébe, egésze =000 ísérletg. Az ábrá az látsz, hogy ameddg a ísérlete száma cs, addg a relatív gyaorság 0 és özött aármlye értéet felvehet. oz, és agy értéere álladó érté felé tart, am jele esetbe /. Tehát, ahogya a ísérlete érté mellett a relatív gyaorság stabltást mutat. Más véletle ísérlet apcsá s hasoló stabltást tapasztalá, esetleg más érté örül. Ez a tapasztalat a ísérlet agy számo törvéye. Erre a ísérlet tapasztalatra alapo- -.. ábra: Érmedobáso sorá a fej relatív gyaorságáa változása a ísérletszám függvéyébe Foglalozzu most azzal a érdéssel, hogy mérés adataat hogya rögzítsü, és hogya végez. Általába több, soszor agyo so adattal va dolgu. Ezeet az adatoat cél- 0 adatból álló adatsort látu az.. táblázat: Kocadobás eredméye =0 ísérlet sorá, ahol a ocadobáso sorá rögzítettü a apott eredméyeet, és gyaorság táblázatot észítettü. lehetséges meet gyaorság fej relatív gyaorság fej/0 0,0 0,30 0,5 0,05 0,0 0,0.. táblázat: Kocadobás eredméye =0 ísérlet sorá Az adatoat ábrá s szemléltethetjü. Az.. ábra a táblázat relatív gyaorság adatat mutatja. A vízsztes tegelyre a lehetséges meete dszrét értéet rajzoltu. A függ leges tegelye pedg a relatív gyaorság értéeet tütettü fel. Amor a véletle ísérlet lehetséges meetele dszrét értée, aor az eredméyeet gyara lye, ú. pálcaábrá szemléltetjü, ahol a pálca hossza az adott meetel relatív gyaorságát mutatja. Havacsá Károly, ELTE TTK

14 4 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.. ábra: Kocadobás relatív gyaorsága 0 ísérlet sorá Kssé más a helyzet, amor a lehetséges eredméye folytoos számhalmaz eleme lehete. Ilye adatoat tartalmaz az.. táblázat:, ahol 0 sorszám magasságadato [cm] redezett magasságadato [cm] táblázat: Magasságadato sorredbe szed az adatoat. A táblá- a adato, amelye többször szerepele. Havacsá Károly, ELTE TTK

15 . A mérés adato ezelése 5 Próbálju meg pálcaábrá ábrázol az adatoat! Ezt mutatja az.3. ábra. Az ábra -egy magasság érté gyaorsága szerepel..3. ábra: Magasságadato gyaorsága Mvel a magasságadato folytoosa helyezede el a számegyeese, ezért gyaor az, hogy egy érté csa egyszer, vagy csa éháyszor szerepel. Ezért a gyaorság soszor csa, és a gyaorság ábra lye formába em túl formatív. Az formácót ább az.. Hsztogram jelölt magasságtartomáyt tervallumora osztju, és megszámolju az tervallumoba jutó magasságadato számát (gyaorságát). 00 magasságadatot tartalmazó osztályora osztott adatsort tartalmaz az.3. táblázat:. sorszámát jelöl. A táblázat másod oszlopa az osztályhatároat ( ; + ), a harmad oszlop az osztályhatáro számta özepét, az ú. osztályözepet ( ( + + )/ számát, azaz a gyaorságot ( ) mutatja. Megállapodhatu abba, hogy ha egy adat az osztályhatárra es, aor a agyobb osztályba sorolju. Az lye táblázat adatat általába oszlopdagrammal ábrázolju, ahogya ez a.4. ábrá látsz. Az oszlopdagram hézagmetese egymás mellé helyezett téglalapoból áll. A téglalapo szélessége megegyez az osztályo szélességével, magassága pedg a gyaorság, vagy a relatív gyaorság értéével. A téglalap özépvoala az osztályözép értéével es egybe. A statsztába az oszlopdagramot hsztograma evez. Havacsá Károly, ELTE TTK

16 6 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE sorszám ( ; +) osztályhatáro [cm] ( + +)/ osztályözép [cm] gyaorság relatív gyaorság relatív gyaorság [/cm] j umulatív relatív gyaorság [/cm] (5; 5) 0 0,005 0,0005 0,0005 5; 35) ,05 0,005 3 (35; 45) ,05 0,005 4 (45; 55) ,085 0, (55; 65) ,35 0,035 6 (65; 75) ,30 0,030 7 (75; 85) ,05 0,005 8 (85; 95) ,080 0, (95; 05) ,030 0, (05; 5) 0 0,005 0,0005 (5; 5) 0 0,005 0,0005 (5; 35) ,000 0,0000 0,0030 0,0045 0,030 0,0365 0,0675 0,0880 0,0960 0,0990 0,0995 0,000 0, táblázat: Osztályoba redezett magasságadato bba modotta értelmébe: g, =0,,...m, (...) ahol az összes mért adato száma, m pedg az osztályo száma. Természetese gaz az, hogy... m adja. m, Havacsá Károly, ELTE TTK

17 . A mérés adato ezelése 7.4. ábra: 00 mérés adatot tartalmazó hsztogram Az.4- értéét, vagy a értéét rajzolju, vagys az tervallum hosszával elosztju a gyaorság, vagy a relatív gyaorság értéét. Tehát gyaorság eseté a h értée: h, =0,,...m, (...) a relatív gyaorság eseté pedg a f értée: f, =0,,...m. (..3.) Látsz, hogy lye esetbe a gyaorság, lletve a relatív gyaorság értéét em az oszlop magassága, haem az oszlop területe jellemz, hsze (...) átredezésével: lletve (..3.) átredezésével gyaorság=oszlopmagasság osztályszélesség, relatív gyaorság=oszlopmagasság osztályszélesség. Ezebe az esetebe látu a.5. ábrá, ahol az.4a- most em egyformá. ahol evesebb az adato száma. Havacsá Károly, ELTE TTK

18 8 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE Köye belátható, hogy a relatív gyaorság hsztogram görbe alatt területe egységy..5. ábra: 00 ember magasságeloszlását ábrázoló hsztogram.3. Kumulatív gyaorság A statsztába gyaorta az a érdés, hogy adott értéél sebb adato mlye gyaor- umulatív adatoról. A umulatív gyaorság (relatív gyaorság) görbét úgy szeresztjü meg, hogy adott osztályözép fölé olya magas téglalapot rajzolu, hogy magassága ágáa) összegével. A orább példába a.3. táblázat: utolsó oszlopa tartalmazza a relatív gyaorságo umulatív értéét. A relatív gyaorságo umulatív értée eseté a téglalapo magassága 0-ról mooto övesz, ameddg el em ér az értéet..6. ábra: A magasságadato umulatív relatív gyaorság görbéje Havacsá Károly, ELTE TTK

19 . A mérés adato ezelése 9 o.. Lássu be, hogy valamey gram téglalapja területée összegzését, eredméyül -et apu. Ez azt jelet, hogy a összefüggést ell gazol. m.. Lássu be, hogy az m. (jele esetbe az utolsó) osztály elérése eseté a umulatív rela- -el!.4. Relatív gyaorság eloszláso Már az.. ábrá láttu, hogy a ísérlet agy számo törvéye értelmébe agyszámú eredméyét dszrét eloszlás eseté, pálcaábráo rajzolju fel, aor láthatju, hogy a relatív gyaorság értée hogya oszlaa meg a lehetséges ísérlet meetele özött. A.7. ábrá 000 ocadobás eseté a relatív gyaorságo eloszlását rajzoltu fel. (Ilye ísérletet számítógépes szmulácóval bár öye elvégezhet.) Az ábrá az látsz, hogy szembe az.. ábrá lehetséges meetele relatív gyaorsága egyeletese oszlaa el. A váraozásu s ez, hsze ha a oca szabályos, egy oldal scs tütetve..7. ábra: Kocadobás relatív gyaorságáa eloszlása 000 dobás eseté ség hsztogramo. Nézzü meg, hogya változ meg az.4. ábrá látható hsztogram jellege, ha em 00, haem amot. Az.8. ábrára rajzoltu ezt a hsztogramot. Határozott tedecát fgyelhetü meg az eloszlás meetébe. Harag alaú eloszlást apu, amelyre aár folytoos függvéyala- Havacsá Károly, ELTE TTK

20 0 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE ot s lleszthetü. Ha tovább öveljü a mérése számát, a görbe már csa smértébe változ, am a relatív gyaorság stabltásáa övetezméye. Az ábrá látható folyto- -görbée e- -görbe matemata alaját s megadju majd..8. ábra: m, és az llesztett folytoos görbe Tulajdoéppe már evesebb számú mérés eseté s felfedezhetjü a Gauss-alaú eloszlást. Lássu egy egésze másfajta adatsort. Fzatörtéet érdeessége va Mchelso (85 93) 879-be végzett féysebességmérésée. Mchelso 00 mérést végzett. Adatat agyság szert sorredbe a.4. táblázat:táblázat tartalmazza, ahol helytaaréosság matt az adatoa csa a m/s felett részét tütettü fel és a m/s sebesség felett értéeet mutatjá Havacsá Károly, ELTE TTK

21 . A mérés adato ezelése (700; 750), (750; 800), (800; 850), (850; 900), (900; 950), (950; 000), (000; 050), (050, 00), ahol csa a m/s felett részt írtu. Mchelso osztályoba sorolt adataa gyaorság értéet a.5. táblázat:táblázat mutatja. osztályözép [m/s] gyaorság táblázat: Mchelso adataa osztályba sorolása A gyaorság hsztogramot a.9. ábra mutatja. A vízsztes tegelyre most s csa a felett részt írtu..9. ábra: Mchelso féysebesség mérésée adataból szeresztett gyaorság hsztogram Ha a mérés abszolút potosságú lee (lye persze em létez) aor mde egyes mérés adata azoosa ellee lee. Az adato azoba szóra, és ez a szórás a mérés á- tá. Bár 00 mé- Havacsá Károly, ELTE TTK

22 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE rés em túl so, de a hsztogramo már elég jól rajzolód, hogy a hbával terhelt adato eloszlása a fetebe megsmert Gauss-alaú görbéhez özelít. A Gauss- ee oát az elmélet tárgyalás sorá majd elemezzü. Nézzü még egy példát, ahol a hsztogram alaja em harag alaú görbe. Egy hva- 00 ügyfél esetébe az ügytézés dejét. Az adatoat táblázatba redezzü, és osztályoba sorolju. Legye az osztályszélesség m. Az.0. ábrá a mérés eredméye látsz relatív gyaorság hsztogram formájába..0. ábra: Az ügyfélszám relatív gyaorság ügytézés dejée függvéyébe 00 ügyfél eseté mérve olyamato gyaorta lye ú. epoecáls jzolható, és tapasztalhatju, hogy elég agy mérésszám eseté már léyegese em változ a görbe jellege. *.5. m- mlye reprezetatív számértéet válasszu az adatsor jellemzésére, a statszta egy fotos érdése. * azt mutatja, hogy ocadobás eseté a relatív gyaorság, a relatív gyaorságo eloszlása és a umulatív relatív gyaorság hogya változ, mözbe a mérése száma övesz. Havacsá Károly, ELTE TTK

23 . A mérés adato ezelése 3 vagy átlagot. Többféle özépérté létez: számta özép, mérta özép, harmous özép, égyzetes özép, medá, módusz. A feladat jellege döt el, hogy mely özépérté jellemz legjobba az adatsort. Az alábbaba a özépértée haszálatával smeredü meg..6. Számta özép Leggyarabba talá a számta özepet haszálju. Defícó. Legye darab mérés eredméyü:.,, 3,..., Az mérés eredméy számta özepé (.6..) A defícóból leolvasható, hogy a számta özép az a szám, amellyel ha az átlagoladó értéeet helyettesítjü, aor az összegü változatla marad. 5; 5; 3 6; 4 ; 5 ; 6 ; 7 4; 8 5; 9 ; 0 Az adato számta özepe: ,3. (.6..) 0 Mvel egy--es, három darab -es stb.), az átlagot máséppe s számíthatju: ; ,3 Általáosíthatju s ezt a felsmerést. Ha az azoos mérés eredméye gyaorságát most s -N-el, aor az átlagszámolás éplete az alább lesz: Havacsá Károly, ELTE TTK

24 4 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE Havacsá Károly, ELTE TTK N N N N (.6.3.) Az lye átlagszámítást súlyozott átlaga, a gyaorság értéeet pedg súlyfatora evezzü. Az (.6.3) összefüggés alapjá egy más épletre s juthatu. Mvel N a mérése száma, am a méréssorozat eseté álladó, ezért felírható az alább összefüggés s: N N N N 3 g..., (.6.4.) ahol g most s a relatív gyaorságot jelöl. Természetese a számta özép értée a számolás módjától függetle. A számta özepet a statsztába emprus várható értée s szoás evez. A számta özép tulajdosága. A számta özép defícójából özvetleül adód az alább tulajdoság: 0, ) ( (.6.5.) hsze 0 ) (. Az így apott összefüggést átredezve éppe a számta özép defícójára jutu. Ez l- ez.. Ha az átlagoladó értée mdegyéhez hozzáadu egy álladó számot, aor az átlag ezzel az álladó értéel változ meg: c c ) (. (.6.6.) Ez a tulajdoság az összegzés elvégzésével azoal adód. Az (.6.6.) fejezés természetese voás eseté s gaz.

25 . A mérés adato ezelése 5 3. Ha az átlagoladó értéeet egy c álladóval megszorozzu, aor az átlag s megszorzód ezzel az álladóval: c c. (.6.7.) Ez a tulajdoság az összegzés dsztrbutív tulajdoságáa övetezméye. Az (.6.6) és (.6.7) tulajdoságo a számta özép számolása eseté soszor alal- gy szorzással megapju a helyes átlagértéet. Ha például 00, 3600 és 4800 átlagát aarju számol, a- 00-zal. Haladóa egy számot, és a ülöbséget égyzetre emeljü, aor a égyzete összegée mmuma éppe az átlagértéél lesz, azaz ( ) f ( ) mmáls, ha. A tulajdoság úgy bzoyítható, ha megézzü, hogy f()-e szert derváltja mlye ahoa f ( ) ( ) és ez defícó szert éppe a számta özép. 0,, (.6.8.).6.8) fejezés valóba mmum. Képezzü f() másod der to átlagát: 400; 00; 00; 500; 00. Haszálju fel az.5. Az.4. táblázat adatat felhaszálva, alalmazva az (.6.6) és (.6.7) összefüggéseet, számítsu Mchelso féysebesség mérésee számta özepét (átlagát)! A feladat ál! Havacsá Károly, ELTE TTK

26 6 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.7. A mérta özép A számta özéppel em mdg tudju fejez, amt az átlagtól, vagy a özépérté fo- ot, a másod évbe %-ot, a harmad évbe pedg %-ot öveedett. Meora a öveedés a három év alatt? A öveedés:,,0,0,538, vagys, a öveedés a három év alatt 5,38%-os. Az átlagtól most s elvárju, hogy vele helyettesítve az átlagoladó értéeet e változzé az összes öveedés mértée. Tehát ha az átlagos éves öveedés p, aor a három év alatt öveedés: ( p ) 3,538. Megoldva p-re ezt az egyeletet, megapju az átlagos év csapadéöveedést: 3 p,538,0488. Az átlagos éves öveedés tehát 4,88%. A három öveedés számta özepe 5%, tehát a jele esetbe a számta özép helytele eredméyre vezetett vola. Defícó. Általáosítva a modottaat, ha,,..., adatlsta darab em egatív számból áll ( 0 ), aor ezee a számoa a mérta özepe: g.... (.7..) A példából jól látsz, hogy a mérta özépet aor haszálju, amor az átlagoladó számo szorzatáa va értelme. Általába, ha éves öveedés rátából számolju a öveedést (amato, épesség, árde, szeyezettségváltozás, eergaöveedés stb.), aor az átlag számításához mérta özepet haszálu..8. Harmous özép Más átlagot haszálu aor, ha például átlagsebességet ell számolu. Vegyü a ö- -es autó az s hosszúságú ört 00 m/h sebességgel tesz meg, s- molást a Havacsá Károly, ELTE TTK

27 . A mérés adato ezelése 7 v s s. t s s t v v v v A orét példába az így számolt átlagsebesség 40 m/h. A számta özép 50 m/h lett vola. Általáosítva a felsmerést, az ú. harmous özép defícója: Defícó. Az,,..., mérés adat harmous özepét a h (.8..) éplet alapjá számolju. Vegyü észre, hogy ez a éplet valójába azt jelet, hogy a.8.) s átalaításával azt apju, hogy h. A orább g- agot!). soal aarju helyettesíte, aor s az elleállásértée harmous özepe ad helyes a- Köye belátható, hogy ha a mérés adato md egyformá, aor az eddg tárgyalt özépértée megegyeze, és értéü megegyez a mérés adato értéével. Egyébét özöttü az alább agyság vszoy áll fe:. h g.6. Magyarország épessége 004-be A épesség éves csöeését az alább táblázat tartalmazza: év csöeés,897,0765,0344,06,436.. táblázat: Magyarország éveét épességcsöeése Közpot Statszta Hvatal: Havacsá Károly, ELTE TTK

28 8 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE Meora volt Magyarország laosságáa létszáma 009. év végé? Meora volt ebbe.7. Két,.8. R =00 =00 m-.9. Medá Az eddg tárgyalt özépértéee az a tulajdosága, hogy érzéeye a ugró értéere. 000 Ft, aor ezt csábítóa érezzü. Azoba, ha utáaézü a részletee, aor derül, 000 Ft, é Ft. Helyesebb lee lyeor azt moda, hogy a beosztotta átlageresete Ft és a Ft- ugró értére érzéey. Defícó. A agyság szert redezett,,..., mérés adato medájá az adato értéét. A fet fzetéses példába, ha valamey alalmazotta Ft a fzetése, aor a medá értée s 00 ícóból látsz, hogy a medá olya özépérté, amely em érzéey a ugró adatora..0. Az eloszlás módusza és terjedelme Az eloszlás helyée jellemzésére haszált paraméter a módusz. Defícó. Dszrét eloszlás eseté az eloszlás módusz érté. Más szóval, a gyaorság dagrama a móduszál va a mamuma. Folytoos eloszlás eseté a módusz aa az osztálya az osztályözepe, ahol a gyaorsága mamuma va. Példaét, az.8. ábrá a módusz értée 75 cm. A gyaorság eloszlás más fotos tulajdosága az eloszlás szélessége. A szélességet többféleéppe jellemezhetjü. Az egy lehetséges jellemzés az eloszlás terjedelmée a megadása. Havacsá Károly, ELTE TTK

29 . A mérés adato ezelése 9 Defícó. Az eloszlás terjedelmé a legagyobb és a legsebb adat ülöbségét értjü: t ma m. Köye belátható, hogy a terjedelem érzéey a ugró adatora. Ezért az mérés adato terjedelmét soszor úgy szereté jellemez, hogy fgyelembe vesszü valamey- eltérést vesszü. Mthogy azoba eze összege a (.6.5) összefüggés szert ullát ad, ezért ább az s átlagos abszolút eltérést veheté az eloszlás szélességée jellemzésére. Az abszolút értéel azoba ehézes a számé- adul. Ezért a leggyarabba az átlagos égyzetes eltérést haszálju az eloszlás szélességée a mérésére... Emprus szóráségyzet és szórás Defícó. Legyee,,..., elye számta özepe. Eor az s ( ) (...) fejezést átlagos égyzetes eltérése, vagy emprus (tapasztalat) szóráségyzete evezzü. Az emprus szóráségyzetet a statsztába emprus másod cetráls mometuma s evez. A yzetes dmezójú. Az eloszlás szélességét ezért jobba jellemz a (..) fejezés égyzetgyöe. Defícó. Az emprus szóráso az emprus szóráségyzet poztív égyzetgyöét értjü: s s ( ). (...) A égyzetgyövoása ét értée va: egy poztív és egy egatív. Mvel az emprus szórás az eloszlás szélességét jellemz, ezért a egatív megoldása tt cs értelme. Havacsá Károly, ELTE TTK

30 30 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE Havacsá Károly, ELTE TTK Az emprus szóráségyzet számolása Az emprus szóráségyzetet számolhatju a (...) éplet alapjá, de a gyaorlatba Tétel. Legyee az adatlsta eleme az,,..., valós számo. Számta özepü:. A szóráségyzetre gaz az, hogy s. (..3.) Bzoyítás. ) ( ) ( s, vagys az adato égyzetée átlagából vova az adato átlagáa égyzetét megapju az emprus szóráségyzetet..9. Az.6. alfejezetbe számoltu 0 ocadobás számta özepét és 3 3, értéet aptu. Számolju a 0 adat emprus szóráségyzetét és emprus szórását. Az adatlsta:. ; 5; 4; ; ; ; 6; 5; 5; Az adatlsta eleme az,,..., valós számo. Számta özepü:. Készítsü gyaorság táblázatot az adatoból! Mthogy az adato özött vaa azoosa s, a táblázat eleme legyee a, a,..., a m, ahol. Az a értée gyaorsága, relatív gyaorsága g. Lássu be az alább összefüggéseet: m a s, m a g s. Az összefüggése alapjá számolju smét az.9 feladatba 0 ocadobás sorá az emprus szóráségyzet értéét.

31 . ÖSSZEFÜGGÉSEK AZ ISMÉRVEK KÖZÖTT A statsztába azt a redszert, amt vzsgálu, amelye méréseet végzü, statszta soasága evezzü. A orább fejezetbe a soasáa csa egyetle smérvét tetettü, és vzsgáltu ee az smérve a gyaorság eloszlását. Példaét vzsgáltu az embere egy csoportja magasságáa gyaorság eloszlását. A példába a soaság az embere csoportja, az smérv pedg a magasság. A soasága azoba em csa egy smérve lehet. A fet példába például a magasság mellett valamlye mutatószám alapjá vzsgálható az embere öbzalma, mt a soaság más smérve. Értelmes felvet azt a érdést, hogy vajo függetlee-e egymástól eze az smérve, vagy va-e özöttü valamlye összefüggés? Tehát például függ-e az embere öbzalma a magasságutól? A tudomáyba gyaor az lye érdésfelvetés. Az smérve özött összefüggése taulmáyozása új felsmerése forrása lehet. Ebbe a fejezetbe a soaság ét smérve özött összefüggéseet vzsgálju. Ha az az összefüggése vzsgálatára a regresszó- és orrelácószámítás jöhet szóba... Potdagram Ha a soaság eleme mérést végzü a ét smérvvel apcsolatba, aor (,y ) adatpá- t- oordátaredszerbe ábrázolju. Mde értépár egy-rdáta-redszer síjába. Az lye ábrát potdagrama evezzü. A potdagramo so -e valamféle összefüggés az smérve özött. Ha a poto eloszlása olya, mt a.. ábrá, aor azt godolju, hogy cs összefüggés az adato özött. Ha pedg a poto eloszlása olya, hogy öréjü olya ellpszs rajzolha- tegelyhez (.. ábra), aor ez azt jelet, hogy összefüggés tapasztalható az smérve özött, azaz tedeca va a poto eloszlásába. Havacsá Károly, ELTE TTK

32 3 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.. ábra: Az smérve özött cs összefüggés é- e-.. ábra: Az smérve özött összefüggés va.. Leárs regresszó Nézz tée egy jeles ábrája. Edw Hubble és Mlto Humaso a galasoat taulmáyozta, és 99- Fö.3. ábrá látható ez a potdagram. Havacsá Károly, ELTE TTK

33 . Összefüggése az smérve özött ábra: A galaso A sebesség mértéegysége m/s, a távolság mlló (mega) parsec-be szerepel ( parsec=3,6 féyév). A orábba modotta szert a poto öré rajzolható ellpszs, tehát az smérve özött va összefüggés. Az ábrá az látsz, hogy mél távolabb va e- oóma egy alapfelsmerése. Ha leárs összefüggést feltételezü a sebesség és a távolság özött, aor felmerül a lehet, hogy szemre húzzu be a tredvoalat. Ez em rossz ötlet, soszor ezt s tesszü, amor a mérése utá gyors értéelést végzü. Hogya húzu voalzóval a potora voal alatt és felett örülbelül azoos számú pot helyezedje el. A módszer em rossz, hátráya azoba, hogy valaháyszor szemre elvégezzü az llesztést, mdayszor ssé Lehet objetívebb módszert s választa, amely tudomáyos módszerét jobba alalmazható. Meghatározhatju például a poto távolságaa összegét a lehetséges ágát, ahogya azt a.4. ábra mutatja, vagy a vízsztes távolságoat, ahogya azt a.5. ábrá látju..4 Havacsá Károly, ELTE TTK

34 34 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.5 távolsága s, azzal azoba örülméyes számol, ezért azt em szotá választa. A távolság számolásál abszolút értéeel ellee dolgozu, am matematalag örülméyes, ezért ább a Gauss által javasolt égyzetösszegeel dolgozu, ahhoz hasolóa, ahogya azt az emprus szóráségyzet esetébe tettü. A módszert legsebb égyzete módszerée evezzü..3. A legsebb égyzete módszere A legsebb égyzete Gauss által javasolt módszerébe a mérés poto egy lehetséges majd megeressü azt az egyeest, amely esetébe ez a égyzetösszeg a legsebb. Az alábbaba matematalag fogalmazzu meg az tt leírt feltételt. Defícó. A legsebb égyzete módszerével az darab (,y ) potpárra legjobba l- sége legye a, tegelymetszete b, tehát az egyees egyelete: y a b. Az mért értéhez y mért érté tartoz. Az potba a meghatározadó egyees y oordátája: y( ), ahogya azt a.6. ábrá láthatju. A mérés pot és az egyeese y y( ). A legsebb égyzete módszere szert ezee a távolságoa a égyzetösszegét ell számol: y y( ) S ( a,b ). (.3..) Havacsá Károly, ELTE TTK

35 . Összefüggése az smérve özött ábra: Magyarázó ábra a legsebb égyzete módszeréhez Úgy ell megválaszta a és b értéét, hogy a égyzetösszeg mmáls legye, vagys S( a,b ) y ( a b ) m A fet defícó alapjá a számolás az alábba szert törté. Az S( a,b ) függvéy mmumát ell megeres, am özsmert módo a derválta ullhelyee meghatározását jelet. K ell tehát számolu az alább ét parcáls dervált értéét:. S( a,b ) 0 ; a S( a,b ) 0. b y ( a b ) ( ) 0 y ( a b ) ( ) 0 Átredezve az egyeleteet (.3..)-.3.3.)-ból azt apju, hogy, (.3..). (.3.3.) y a b, (.3.4.) y a b. (.3.5.) Havacsá Károly, ELTE TTK

36 36 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE A eresett a és b, y értéeel fe- új változóat (eze léyegébe a mérés poto oordátáa számta özepe):, (.3.6.) Ezeel fejezve a ét eresett meységet: y y. (.3.7.) y y a, (.3.8.) b y a. (.3.9.) A másod derváltaal belátható, hogy az így apott a és b értéeél S( a,b ) -e mmuma va. A.4. ábrá a (.3.8.) és a (.3.9.) egyelete felhaszálásával számolt egyeest raj- go felhasz- szotá evez. Természetese a legsebb égyzete módszerével számolható a vízsztes távolsá- távolságo égyzetösszegét ell számol, és a mmumot megeres, ahol ( y ) a y b. (.3.0.) Formálsa azoal adód, hogy a változó felcserélésével a megoldás alaja: y y a, y y b a y. Havacsá Károly, ELTE TTK

37 . Összefüggése az smérve özött 37 Ha a szoásos alara aarju hoz az egyees egyeletét, aor (.3.0.) s átalaításával azt apju, hogy b y. (.3..) a a A.5. ábrára alapjá számolt egyeest másod regresszós egyeese evez. A.7. ábrára özös oordáta-.7 Általába a ét egyees ülöböz egymástól. Meél jobba lleszede a mérés poto egy egyeesre, aál özelebb es egymáshoz a ét regresszós egyees. Ha a poto potosa egy egyeesre ese, aor ylvávaló, hogy mdét regresszós egyees eze gy ulla. Ilyeor tehát a ét regresszós egyees megegyez. Meél jobba szóra a poto, aál ább ülöböz a ét regresszós egyees. A.. ábrá mutatott tred élül szóró po- es vízsztes, a másod regresszós egyees pedg.8. ábrá látható..8. ábra: Tred élül szóró poto esetébe a ét regresszós egyees Havacsá Károly, ELTE TTK

38 38 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.4. Leárs orrelácó A leárs orrelácóaalízs feladata az, hogy a orábba feltárt tulajdoságo felhaszá- a apcsolat, vagys, hogy a poto a dagramo meyre lleszede egy egyeesre. Azt ell tehát vzsgálu, hogy a ét regresszós egyees meyre tér el egymástól, azaz egye meredesége m a, a másod regresszós egyees meredesége pedg m. a A jellemzéshez haszált háyados: r m m a a aa. (.4..) Ee gyöe r aa. (.4..) Vzsgálju meg r abszolút értéée vseledését! Ha a poto potosa egy egyeesre ese, vagys töéletes a ét smérv özött a leárs apcsolat, aor a ét regresszós egyees meredesége megegyez, vagys m =m. Ilyeor tehát (.4..)-ez, hogy r. (.4.3.) A más véglet az, amor mt láttu, cs leárs apcsolat az smérve özött, és (.4..)- r 0. (.4.4.) Mde más esetbe r értée 0 és özött. Ha részletes felírju r alaját, aor az alább fejezést apju: Havacsá Károly, ELTE TTK

39 . Összefüggése az smérve özött 39 Havacsá Károly, ELTE TTK y y y y y y r. Ee égyzetgyöe: y y y y r. (.4.5.) Ha most ezt tetjü r defícójáa, aor látsz, hogy r.4.5.) fejezés részletesebb vzsgálata alapjá megmutatható, hogy r aor egatív, ha a regresszós egyees meredesége egatív, azaz az egyees lefelé halad, és aor poztív, ha az egyees meredesége poztív, vagys az egyees emeled. Az r meység elevezése emprus orrelácós együttható. A.4. ábrá mutatott adato esetébe r=0,96, am még jó leárs apcsolatot mutat. Ellebe, ha r értée például 0,4, aor gyege a leárs apcsolat a ét smérv özött, és a legsebb égyzete módszerével meghatározott egyees paramétere bzoytala for- r abszolút értée mél özelebb va -s apcsolat... Lássu be, hogy a orrelácós egyees meredeségét leíró (.3.8 mdg poztív! Azt ell tehát belát, hogy 0!.. Bzoyítsu be, hogy ha a regresszós egyees meredesége egatív (a<0), aor ez r- re s gaz, vagys lyeor 0 r..3. Igazolju, hogy az r emprus orrelácós együtthatóra talált (.4.5.) összefüggés és az alábbaba adott ala megegyez egymással: y ) y ( ) ( y ) y )( ( r. (.4.6.)

40 40 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE.5. Nemleárs regresszó Learzálás eljárás Az smérve özött soszor em leárs a apcsolat. Ez a mérés adatoat tartalmazó táblázat alapjá rtá derül, de vagy elmélet megfotolásoból tudju, vagy pedg a potdagram segítségével állapítju meg. Példaét lássu a.. táblázat:ot, amely eurázsa folyó hosszát és a hozzáju tarto folyó hossz [m] ] Ob Irts Volga Dua Dyeper Káma Dyeszter Raja Elba Vsztula Tsza Dráva Ipoly az összefüggés em leárs. Ez látható a.9. ábrá..9 Havacsá Károly, ELTE TTK

41 . Összefüggése az smérve özött 4 ága égyzetese függ a 0 m hosszúságú folyóhoz 0 m tartoz. A függvéyapcsolat jellege tehát y a alaú, ahol folyó hosszát y a gaz a feltevés, aor y-t függvéyébe ábrázolva egyeest ell apu. Ezt az ábrázolás módot mutatja a.0. ábra..0 ert leárs regresszó a legsebb égyzete módszerével. ö- a y b. Képezzü az egyelet mdét oldaláa természetes alapú logartmusát: l y lb al. ŷ l y, bˆ lb; ˆ l, aor azt apju, hogy ŷ aˆ bˆ. Havacsá Károly, ELTE TTK

42 4 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE tehát, ŷ -ot ábrázolva ˆ függvéyébe egyeest apu, amelye meredesége az sme- ároz. Ehhez ábrázol ell a folyó hosszáa logartmusát (l ületée logartmusa (l y) függvéyébe. Ez látható a.. ábrá, ahol mdét logartmus természetes alapú.. Az ábrá a legsebb égyzete módszerével a potora llesztett egyees s látsz. Az egyees meredesége: a,96, am jó özelítéssel gazolja a meredeségre tett orább elmélet feltevésüet. Gyara epoecáls fejezéssel va dolgu (például élettartamo, radoatív bom-,y y a be ; > 0 a és a b az alább. Képezzü mdét oldal természetes alapú logartmusát: Ha bevezetjü a l y lb a. ŷ l y, bˆ l b Havacsá Károly, ELTE TTK

43 . Összefüggése az smérve özött 43 új változóat, és ábrázolju ŷ -ot függvéyébe, aor egyeest apu, amelye meredesége a, tegelymetszete pedg l b. A fetebe vázolt learzálás eljárás a legtöbb függvéytípus esetébe serese alalmazható, és a gyaorlatba soszor haszálju s ezt a módszert. Haladóa Nemleárs legsebb égyzete módszere alalmazható a emleárs legsebb égyzete módszere. Az eljárást az alábbaba vázolju. Legye a ísérlete sorá apott darab (,y ) (=,,..., ) értépáru. Elmélet megfotolásoból, vagy a learzálás eljárás sorá megsmert módo tudju, hogy a poto özött y ( ;a,a potoat, ezért általába a mért y és a a éplet adta y ( ;a,a,...,am ) értée eltére egymástól: y ( ;a,a,...,am ),...,a, (=,,..., ). m ) A legsebb égyzete módszere szert a feladat az, hogy a S( összeget mmalzálju. Keressü tehát a S( a a,a,...,am ) y ( ;a,a,...,am,a,...,am ) ) függvéy mmumát az a - függvéyébe. Ameybe a függvéy az a paramétere szert dfferecálható, aor a mmum szüséges feltétele: S a 0; S a S 0;...; a m 0. Az m m darab a paraméter értée. Ezeet vsszaírva a Havacsá Károly, ELTE TTK

44 44 I. A MÉRÉSI ADATOK LEÍRÓ JELLEMZÉSE Elméletleg belátható, hogy a learzálással és a emleárs legsebb égyzete módszerével apott függvéye em azoosa. Az eltérés általába em agy, és a gyaorlat számára általába elhayagolható. Fotos megjegyzés, hogy a legsebb égyzete módszerével apott függvéyalao, bár jól lleszede a potora, de em bztos, hogy a függvéyalaa va fza jeleté- Havacsá Károly, ELTE TTK

45 II. -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Havacsá Károly, ELTE TTK

46 3. MÁNAK BEVEZETÉSE 3.. Az alapfogalma bevezetése A orább fejezetebe már láthattu, hogy a ísérlet adato ezeléséhez jól haszálható a leíró statszta módszere. Ahhoz azoba, hogy továbblépjü és mélyebbe megsmerhessü a véletle ísérlete sajátosságat, meg ell smerü a számítás alapjat. A leíró statszta sorá találoztu már a véletle ísérlet fogalmával. Defálju most szabatosa ezt a fogalmat. Defícó. Az olya ísérletet evezzü véletle ísérlete, melye végeredméyét az több, esetleg végtele so lehetséges eredméy özül az egy. rletet, amelye meetele dszrét folytoos halmaz egy eleme a végeredméy. Defícó. A véletle ísérlet lehetséges meetelet elem eseméyee evezzü. A továbbaba az elem eseméyeet -vel jelöljü, ahol az de a lehetséges eleme özül az -edet jelöl. Defícó. Az elem eseméye összességét eseméytére evezzü, és a továbbaba az eseméyteret -val jelöljü, tehát,,...., Látható, hogy az eseméytér egy halmaza fogható fel, amelye eleme az elem eseméye. A véletle eseméyeel apcsolatba más eseméye s megfogalmazható, például olyao, amelye több elem eseméyt tartalmaza. Havacsá Károly, ELTE TTK

47 47 Defícó. Az elem eseméye egy halmazát tartalmazó eseméyt véletle eseméye evezzü. A továbbaba a véletle eseméyeet A, B, C Igaz tehát az, hogy A, vagys halmazelmélet megfogalmazással, az A véletle eseméy az elem eseméye terée egy részhalmaza. Egy ísérlet sorá a véletle eseméyt aor tetjü megvalósulta, ha a megvalósuló elem eseméy része az A halmaza. Természetese s egy eseméy, és mvel az eseméytérrel apcsolatos mérés sorá bztosa beövetez, ezért ezt az eseméyt bztos eseméye evezzü. Például a ocadobás eseté az eseméytér:,, 3, 4, 5, 6. A páros számoat tartalmazó véletle eseméy:, 4, 6 A, ahol az elem eseméye =, = 3 =6. A ocadobásos ísérlet sorá az A eseméy aor valósul meg, ha valamely páros számot dobju. A, hogy az elem halmazelmélet fogalmat és jelöléset fogju haszál. Ha vala ezere em emlész, aor tt az deje a téma átézésée (lásd a Függelébe a 3. fejezetet)! Haladóa egy eseméytérrel apcsolatba háy eseméy fogalmazható! Egy urába égy golyó va,,, 3, 4 számoal ellátva:,, 3, 4. z összes lehetséges eseméyt az elem eseméyeel: 0 ; ; ; 3 ; 4 ;, ;,3 ;,4 ;,3 ;,4 ; 3,4 ;,,3 ;,,3, 4.,,4 ;,3,4 ;,3,4 ; A halmazelméletbe szoásos, hogy a ulleseméyt (jele esetbe, hogy em húzu golyót) mde halmaz részhalmazáa tetjü. Az összes véletle eseméye halmaza tehát ebbe az esetbe 6 eseméyt tartalmaz. Havacsá Károly, ELTE TTK

48 48 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Gyors feladat 3.. Lássu be, hogy általába gaz az, hogy ha -a elem eseméye va, aor az összes lehetséges eseméye száma:. Láttu, hogy az eseméyeéyeel, amely a halmazo özött defálva va. Tehát például a A összegeseméy az az eseméy, melye sorá legalább az egy A eseméy megvalósul. Vagy, a A szorzateseméy az az eseméy, melye sorá valamey A megvalósul. Ha A (A omplemeter eseméye) megvalósul, aor A em valósul meg stb. 3.. Legye A és B ét eseméyhalmaz. Eze olya halmazo, amelyee va özös részü, vagys AB Ø. Írju fel összegüet ét özös rész élül halmaz összegeét. (A+B) B= A. 3.. Gyaorság, relatív gyaorság, emprus agy számo törvéye A leíró statsztáról szóló fejezetbe már megsmeredtü a gyaorság és a relatív gyaorság fogalmával. Eleveítsü fel, hogy a ísérlete sorá mlye tapasztalatoat szereztü a gyaorsággal apcsolatba, és ézzü meg a gyaorságo éháy tovább tulajdoságát! Legye az eseméyterü:,,...., Láttu orábba, hogy ha véletle ísérletet végzü az eseméytére, aor a végeredméy az elem eseméye özül az egy. Egyetle ísérlet eseté eél agyobb bzoyosság cs! Azoba, ha soszor (-szer) hajtju végre a ísérletet, és ee sorá az A eseméy gyaorsága A, a B eseméy gyaorsága B, aor a ísérlet tapasztalat azt mutatja, hogy a A / B háyados, elég agy eseté, vszoylagos stabltást mutat. Ez azt jelet, hogy a gyaorságo háyadosa a ísérletszám függvéyébe már csa cst változ. Ezeet a s változásoat statsztus gadozásoa evezzü. Ez a vszoylagos stabltás az, amt emprus agy számo törvéyée eveztü. A tapasztalata alap- Havacsá Károly, ELTE TTK

49 49 já mde által öye belátható példa az érmedobás esete. Nagyszámú dobás eseté azt várju, hogy özel azoos számú fej és írás lesz a végeredméy, azaz a ét eseméy gyaorságáa háyadosa: A B fej. írás Az bztos eseméy gyaorsága megegyez a mérése számával. Ha tehát a B eseméy helyébe a bztos eseméyt tesszü, aor a háyados alaja: A A. Ezt a háyadost eveztü relatív gyaorsága. Az így apott háyados s stabltást mutat az mérésszám öveedésével. A gyaorság száma em lehet agyobb a mérése számáál. Igaz tehát az, hogy 0 A. átredezésével azt apju, hogy 0 A. (3...) A relatív gyaorság tehát 0 és özött értéet vehet fel, a határoat s beleértve. Mt tudu moda ét eseméy összegée relatív gyaorságáról? Legye a ét eseméy A és B. ísérlet sorá a gyaorságu A és B. A ét eseméy összege A+B, az összeg gyaorsága A+B. Általába gaz az, hogy A B A B, (3...) hsze A és B értéébe s beleszámítju, ugyaaor az lye eseméye A+B számolásaor csa egyszer számoladó. 3.. Példa. A ocadobás esté az A a B eseméy pedg: A,, 3, B 3,4, 5. Havacsá Károly, ELTE TTK

50 50 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Az A+B,,3,4, 5 A B. Végezzü el egy =0 dobásból álló ocadobásos ísérletet, melye sorá az alább elem eseméye öveteze be:,, 3,6, 5, 5, 3,,, 4. Számolju meg, háyszor övetezett be az A, a B és az A+B eseméy! A övetez et apju: A 6, 5, 8, B vagys valóba a (3...) fejezésbe a sebb relácó teljesül, melye az oa az, hogy a oldalá étszer számolju. Más a helyzet azoba aor, ha a ét halmaz dszjut, azaz cs özös részü ( AB Ø ). Eor és csa eor, gaz az, hogy A B A B A B. (3..3.) Ha a (3..4.) egyelet mdét oldalát osztju -el, aor a relatív gyaorságora érvéyes összefüggésre jutu: A B A B. (3..4.) Szavaba megfogalmazva: ha ét eseméye cs özös része (dszjut halmazo), aor összegü relatív gyaorsága megegyez a relatív gyaorsága összegével. Gyors feladat 3.4. Lássu be, hogy a (3..3m re a- fogalmáa defálására. Mvel a relatív gyaorság agyszámú ísérlet eseté vszoylagos stabltást mutat, az adott eseméy agyszámú ísérlet eseté relatív gyaorsága. Jelöljü az A P s (A)-val, aor Havacsá Károly, ELTE TTK

51 5 A Ps ( A ), ha agy. (3.3..) érté, azt adott ísérletbe a potosság géy szabja rtére gaz, hogy 0 Ps ( A ), (3.3..) aor egyúttal a sálát s megszabtu. Nem feltétleül ell azoba a sáláa 0 és A gyaor, hogy a sála 0 és 00 özött. Ilyeor tulajdoéppe a (3.3..) defícóval apott értéet százzal szorozzu. A defícóból az s látsz, hogy mvel ísérlet sorá a bztos eseméy -szer övetez be, ezért a bz. Eddg meggodolása ísérlet tapasztalatora voatozta. Eze a megfgyelése e megostruálható legye ómá A. N. Kolmogorov orosz matematus 933-a-. aóma. Mde A P(A) szám, amelyre gaz, hogy 0 P( A ). (3.4..) A P(A) függvéyt az eseméytér A eloszlása, vagy rövde az A. aóma., vagys P( ). (3.4..) 3. aóma. Ha A véges so, vagy megszámlálhatóa végtele so eseméy, ahol A A Ø ha j, aor j Havacsá Károly, ELTE TTK

52 5 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI P 3 3 ( A A A...) P( A ) P( A ) P( A )... Tömörebbe felírva ugyaezt: P A P( A ). (3.4.3.) A 3. aóma alaja ét eseméyre felírva: ha A A Ø, aor P ( A A ) P( A ) P( A ). - e, amelye ísérletleg bzoyítható módo a relatív gyaorságra gaza. Ha am örül agy mérésszám eseté statsztusa gadoz a relatív gyaorság, aor az aóma megfogalmazásáa újdosága abba áll, hogy feltételez ezee az összefüggésee az gazát erre az értére s. Látju tehát, hogy az aómá az A eseméyehez egy- redel hozzá. Ez az A P( A ) hozzáredelés hasoló a valós számo özébe megsmert f ( ) függvéyapcsolathoz. Az A eseméyeet és a hozzáju redelt P(A) számértéeet együttese evezzü Az aómá övetezméye Az aómából a halmazelmélet és a matemata loga segítségével olya összefüggése- - tételere rátéré, defálju egy új fogalmat. Defícó. Az A, A,, A,... eseméye redszerét teljes eseméyredszere evezzü, ha az eseméye egymást pároét zárjá, és összegü a bztos eseméyt adja. Más szóval A A... A..., A A Ø, ha. (3.5..) Megjegyzés: vegyü észre, hogy az eseméyredszer tartalmazhat véges számú eseméyt, de megszámlálhatóa végtele eleme s lehet. Havacsá Károly, ELTE TTK

53 53 Például a ocadobás eseté a páros számoat tartalmazó A eseméyhalmaz, és a páratla számoat tartalmazó B eseméyhalmaz teljes eseméyredszert alot: A, 4, 6 és, 3, 5 B. Eze utá. tétel. Ha az A, A,, A eseméye teljes eseméyredszert alota, aor gaz az, hogy: P( A ) P( A )... P( A ).... (3.5..) Bzoyítás. A teljes eseméyredszer (3.5..) defícója tartalmazza azt, hogy a redszer eleme dszjut halmazo. Ezért alalmazható a 3. aóma, vagys P A A... A... P( A ) P( A )... P( A )... P( ). A másod aóma szert vszot P( ), tehát P( és ez az, amt be ellett látu. A ) P( A )... P( A )...,. tétel. Az A eseméy A P( Bzoyítás. A valamt A ) P( A ). (3.5.3.) A A, AA Ø. Tehát, A és A teljes eseméyredszert alota! Ezért az. tétel (3.5..) állításából övetez, hogy P( A ) P( A ). Ie pedg már leolvasható a tétel állítása: Havacsá Károly, ELTE TTK

54 54 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI P( A ) P( A ). 3. tétel. Bzoyítás. tehát A. tétel felhaszálásával: P( Ø) 4. tétel. Ha B A, aor gaz az, hogy P( P(Ø) 0. (3.5.4.) Ø, P( ) P( Ø) P( ) -P( ) 0. A B ) P( A ) P( B ). (3.5.5.) Ez azt jelet, hogy ameybe B eseméy része az A eseméye, aor (és csa a- Bzoyítás. -dagramból (3.. ábra) látsz, hogy ( A B) B A, valamt, az s látsz, hogy B és A-B özös rész élül halmazo, azaz B( A B) Ø. 3.. ábra: Segédábra a 4. tétel bzoyításához Havacsá Károly, ELTE TTK

55 55 Alalmazható tehát a 3. aóma: ahoa P( P( A B ) P( B ) P( A ), A B ) P( A ) P( B ). A tétel övetezméye az, hogy ha B A, aor P( B ) P( A ), hsze P( A B ) 0, tehát ahoa az állítás már leolvasható. 0 P( A ) P( B ), 5. tétel. Ha A és B P( A B ) P( A ) P( B ) P( AB ). (3.5.6.) Bzoyítás. Ismét rajzolju fel a Ve-dagramot az általáos esetre. Ezt a 3.. ábra mutatja. 3.. ábra: Ve-dagram az 5. tétel bzoyításához Az A+B halmaz felírható ét özös rész élül halmaz összegeét, ahogy az a Vedagramo látsz: Mvel gaz az, hogy ezért alalmazható a 3. aóma: P( A B A ( B AB ). A( B AB ) Ø, A ( B AB ) P( A ) P( B AB ) A B ) P. (3.5.7.) Havacsá Károly, ELTE TTK

56 56 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Mthogy azoba AB B, ezért a 4. tétel értelmébe: P( B AB ) P( B ) P( AB ). Ha az így apott összefüggést (3.5.7.)-be beírju, aor a tétel állításához jutu: P( A B ) P( A ) P( B ) P( AB ). ére! Lássu be, hogy ha A és B P( A B ) P( A ) P( AB )! A és B eseméyhalmazo eseté gaz az, hogy P( A B ) P( A ) P( B )! - meg, amelye 3.6. Defícó. K ge. Tétel. elem eseméye va, aor eze p való- p. (3.6..) Bzoyítás.,.... A lasszus me- P( ) P( )... P( ) p. Havacsá Károly, ELTE TTK

57 57 Továbbá, mvel az elem eseméye egymást záró eseméye, vagys j =Ø, tehát alalmazható a 3. aóma: P ) P(... ) P( ) P( )... P( ) p. ( p. elem eseméyt tartalmazó A Tétel. A eseméy darab elem eseméyt tar- P( A ). (3.6..) Bzoyítás. záró eseméye, tehát alalmazható a 3. aóma. Ha az A elem eseméye az alábba: A,... aor P( A ) P(... ) P( ) P( )... P( ). A gyaorlatba, ha alalmaz aarju a (3.6..) épletet, aor természetese meg -e szó, vagys, hogy valam doolja- 3.. Példa. számot dobu. Ha a játéoca szabályos, aor egy oldala scs tütetve a máshoz épest. Ez doolj 6, és eze özött az A eseméy részeét három páratla szám szerepel. Alalmazva a (4.7) épletet azt apju, hogy a edvez elem eseméye száma 3 P ( A). az összes elem eseméy száma 6 Havacsá Károly, ELTE TTK

58 58 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI ssal felfelé ér le? 3.7. So esetbe az bztos eseméy valamlye geometra alazat (görbe, felület, térfogat, stb.). z elem eseméye az halmaz potja, eze száma pedg végtele. Az A eseméye részhalmaza ( A ). Hogya számolju az A eseméy P(A)? feltételezzü, hogy az A eseméy P(A) aráyos az A halmaz mértéével (a hosszával, a felület agyságával, a öbtartalommal), azaz: P( A ) c m( A ), (3.7..) ahol c m(a) pedg az A halmaz mértéét jelöl. Az aómá alapjá az 3.7.) összefüggésbe A helyett -t írva azt apju, hogy A. aóma szert =, tehát ahoa P( ) cm( ). cm( ), c. m( ) Végeredméyéppe tehát az A m( A ) P( A ). (3.7..) m( ) esetébe, vagys edvez eseméy mértée valószíüség. bztos eseméy mértée Havacsá Károly, ELTE TTK

59 59 Megjegyzés eseméyeometra alazat potja. Meora ezee az elem eseméyee (potoa) a valószí , hsze a számlálóba szerepel az eseméy (jele esetbe a pot) mértée. A pot mértée pedg ége a végtele so potot tartalmazó tartomáya va, am lehet hosszúság, felület vagy térfogat. 3.. Példa. R sugarú céltáblára. Feltéve, hogy a céltábr sugarú 0-es örbe találu? Megoldás: Tehát: m( A ) r, m( ) R. P( m( A ) A ) m( ) r R r R. (3.7.3.) A 8. századba Georges Buffo volt az, 3.3. Példa. h oldalhosszúságú égyzetere beosztott lapra d d < hethálót alotó voalahoz (legye ez az A eseméy)? A 3.3. ábrára a h oldalhosszúságú égyzetháló egyetle égyzetét rajzoltu fel ábra: Ábra a égyzethálós példához Havacsá Károly, ELTE TTK

60 60 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI érme özéppotja a égyzet bármely potjára eshet, tehát az összes eset mértée a égyzet területe, azaz: h. Az ábráról az s látsz, hogy az érme aor em ért a égyzetháló voalat, ha özéppotja a szaggatott voallal jelzett égyzete belül tartózod. Aa A eseméy): ( h d ) h hd d hd d P( A ). (3.7.4.) h h h Felhaszálva a P( A ) P( A ) hd d P( A ). d Megjegyzés yzetet s tetü a (3.7.4.) fejezésbe ugyaaora számmal szorozzu a számlálót és a Gyors ell 3.9. Legye a sí felosztva egymástól h síra d d < h valamelyét? (d/h). Haladóa 3.4. Példa. Buffo a feteél érdeesebb feladatot s talált és megoldott. A feladat így szól: húzzu a sío egymástól egységy távolságra párhuzamos voalaat. Ejtsü erre e va özös potja valamely voallal? Ez a probléma Buffo rodalomba. oldalról az / ávolsága a voaltól. Legye ez az változó. Az változó /-+/- szöge a voalhoz épest. A szög 0 radától radág változhat. Adott > 0 eseté az értés feltétele az, hogy Ugyaez gaz egatív -ere s. s, azaz s. (3.7.5.) / Havacsá Károly, ELTE TTK

61 ábra: Ábra a Buffo- Ee agyságát a görbe alatt terület számításával határozhatju meg: t 0 s d cos ez voalaal (A eseméy): 0. P( edvez terület A ) teljest terület 0, (3.7.6.) értéée ísérlet becslésére, hsze (3.7.6.) átalaításával azt apju, hogy. (3.7.7.) P( A ) Ha tehát ísérletleg meghatározzu P s (A) értéét, aor ( értée. Azóta többe elvégezté ezt a ísérletet, többe özött 90-be Maro Lazzar olasz matematus udta a Havacsá Károly, ELTE TTK

62 6 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI. * 3.8. á- dobu (A tudju számol: edvez eseméye száma 3 P ( A). összes eseméy száma 6 Más a helyzet azoba, ha tudju azt, hogy a dobás sorá 4-él evesebbet dobtu (B eseméy), vagy másét fogalmazva, csa az 4- Ilye feltétel mellett, m a páratla dobáso (A éye száma most 3,. Tehát, ha P( A B )-vel jelöljü az A B eseméy bztosa beövetez, aor P( A B ). (3.8..) 3 Általáosabba s felírhatju az eredméyt, ha B -vel jelöljü a B eseméy elem eseméyee számát, AB -vel pedg a B A eseméye számát, aor a fet éplet általáos megfogalmazása: AB P( A B ). B Ez a éplet em eseméye számát átvesz a B eseméy elem eseméyee száma. -el, am az eseméytér összes elem eseméyée a száma. Eor azt apju, hogy AB / P( AB ) P( A B ). / P( B ) B aem eseméye elem eseméyee száma osztva az összes elem eseméy számával. * A Buffo-amácó azt mutatja, hogy a ísérlete számáa öveedésével a meg- Havacsá Károly, ELTE TTK

63 63 Defícó. eseméytére legye ét eseméyü A és B. Az A eseméy B eseméyre voatoztatott ét plet adja meg: P( AB ) P( A B ), ahol megöveteljü, hogy P( B ) 0. (3.8..) P( B ) Haladóa Köye belátható, hogy P( A B ) -eloszlást ír le a rögzített B eseméy AB részhalmaza. P( A B ) ugyas eleget tesz az alább összefüggésee:. 0 P( A B ). Ez oa övetez, hogy AB B, ezért a 4. tétel övetezméye alapjá: P( AB ) P( B ), vagys P( AB ) P( B ) 0 P( A B ). P( B ) P( B ). P( B B ), vagys a bztos eseméy szerepét B vesz át, hsze P( B B ) 3. ( A A ) B PA B PA B P P( BB ) P( B ). P( B ) P( B ), ha az A és A eseméye zárjá egymást. Bzoyítás. A és A eseméye zárjá egymást, aor A B és A B eseméye s zárjá egymást. Felírható az alább azoosság ( A B )( A B ) B( A A )B, (3.8.3.) ahol a halmaz szorzás ommutatív és asszocatív tulajdoságat haszáltu. Mvel pedg A A Ø, ezért B( A A ) B BØB Ø. Havacsá Károly, ELTE TTK

64 64 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI P ( ( A A ) B P( B ) A A )B PA B A B P( B ) P( A B ) P( A B ) P( A B ) P( B ) P( B ) P( A B ) P( B ), P ahoa már leolvasható az állítás. om aómájával, am azt - tétele. o 3.0. A harmad állítás általáosításaét teljes ducóval lássu be, hogy ha A, A... véges számú, vagy végtele so eseméy pároét zárja egymást, aor gaz az, hogy 3.. Lássu be, hogy P A B ) P( A B )! P( A B ) P( A B )! A és A eseméyre gaz, hogy ( A A ) B P( A B ) P( A B ) P(( A A ) B ) P Példa. ó- A eseméy), ha azt tudju, hogy legalább az egy gyerme láy (B eseméy)? ff, fl, lf, ll. 3 A B P( B ) 4 hogy láy és fú s va a családba: P( AB ) 4 családba: P( P( AB ) 4 A B ). P( B ) Havacsá Károly, ELTE TTK

65 Szorzás szabály P(AB) és P(B) smeretébe meghatározzu P( A B ) Ha a (3.8. hogy P( AB ) P( A B )P( B ). (3.9..) smere- Ez a fejezés a szorzás szabály, P(B) és P( A B ) tébe számolju P(AB) értéét Példa. A 3.5. példa esetébe öye számolható özvetleül s a P( A B ) fel- 3 B 3 P( B ). Ie a szorzás szabállyal határozható meg az AB szorzateseméy valószí 4 sége: P( 3 AB ) Példa. Tegyü fel, hogy a HN tatására fejlesztee egy tesztel- teszt 80% eseté 0%-eredméyt mutat a teszt. Fordítsu le ezt a valószí- -számítás yelvére! A teszt poztív eredméye legye a T megléte pedg legye a V, aor ez a V (omplemeter) eseméy. Felírható, hogy a T eseméy étféleéppe övetezhet be: T TV TV. (3.0..) Havacsá Károly, ELTE TTK

66 66 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Mvel V és V együttese teljes eseméyredszert alota ( V V ), ezért több le dméyt ad (T eseméy): P(T ) P(TV ) P(TV ). (3.0..) A 3. aóma alalmazható, hsze V és V egymást záró eseméye, tehát TV és TV azo lásd a (3.0..) bzoyítást! Eze utá a szorzás szabály felhaszálásával apju az alább összefüggést: s P(T ) P(T V )P(V ) P(T V )P(V ). (3.0.3.) %- P(V ) 0,0, P(V ) 0, 98, P(T V ) 0, 8, P(T V ) 0,. Ie (3.0.3gét, hogy a teszt sorá poztív lesz az eredméy: P(T ) 0,8 0,0 0, 0,98 0,4. A (3.0.3rét példára. Most már megfogalmazhatju általáosa s a tételt. Tétel Legye A az B, B,..., B eseméye alossaa teljes eseméyredszert, tehát B B... B, és B B j Ø, ha j. A azt állítja, hogy lye eseméyere gaz az alább összefüggés: P( A ) P( A B Bzoyítás )P( B ) P( A B )P( B )... P( A B )P( B ) P( A B )P( B ).(3.0.4.) Abból dulu, hogy ha B és B j eseméye j eseté zárjá egymást (dszjut halmazo), aor AB és AB j s lyee lásd (3.0..). Másrészt A A A( B, (3.0.5.) B... B ) AB AB... AB Havacsá Károly, ELTE TTK

67 67 Tehát az A P( A ) P( AB ) P( AB )... P( AB ). (3.0.6.) Ie a szorzás szabály alalmazásával apju a tétel állítását: P( A ) P( A B )P( B ) P( A B )P( B )... P( A B )P( B ) P( A B )P( B ) Lássu egy más példát arra, hogy mét haszálha Példa. Három urába fehér és feete golyó vaa. fehér és 3 feete, a másod urába 3 fehér és 4 feete, a harmad urába 4 fehér és 5 feete golyó va. A ísérlet abból áll, hogy választu egy urát és a választott urából húzu golyó? Jelöljü az egyes urá választásáa eseméyet B, B, és B 3 eseméyeel. Legye az urá húzásáa egyforma a va P( B ), 3 P( B ), 3 P( B 3 ). 3 A fehér golyó húzásáa eseméyét jelöljü A-l- az egyes urából: P( A B ), 5 3 P( A B ), 7 4 P( A B3 ) ( A ) P( A B )P( B ) P( A B )P( B ) P( A B3 )P( B ) 0, P Bayes tétele A tétel bevezetéseét tt s a 3.7. példát említjü. Példába azt a érdést tárgyaltu, P(V T ) valós Havacsá Károly, ELTE TTK

68 68 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI P(V T P(T) (3.0.3.) fejezését: P(VT ) P(T V )P(V ) ) (3...) P(T ) P(T ) P(T V )P(V ) P(T V )P(V ) P(V T ). (3...) P(T ) P(T V )P(V ) P(T V )P(V ) Ez Thomas Bayes által felírt megoldása a orét feladata. A számadatoal a példa eredméye: P(V T ) 0,4... Ezutá felírhatju Bayes tételée általáos megfogalmazását. Tétel. Ha A az B, B,..., B eseméye teljes eseméyredszert alota, aor a Bayes-tétel állítása: P( A B P ( B A ). (3..3.) )P( B P( A B )P( B ) Bzoyítás. l- Ide beírva P(A) alaját (3.0.4.) alapjá: P( A B )P( B ) P( B A ). P( A ) ) P( B P( A B )P( B ) A ) P( A B )P( B ) P( A B )P( B )... P( A B )P( B ), és ez léyegébe a (3..3.) bzoyítadó ala. 3.. Eseméye függetlesége A hétözap életbe aor modju, hogy ét eseméy függetle, ha egy beövetezése t- Defícó. Az A és B eseméyeet függetlee modju, ha Havacsá Károly, ELTE TTK

69 69 P( A B ) P( A ). (3...) Vagys az A eseméye a B függ a B Az alábbaba a (3...) defícó övetezméyet tárgyalju. A defícó szert ahoa P( P( AB ) A B ) P( A ), (3...) P( B ) P( AB ) P( A )P( B ), (3..3.) vagys, ha az A eseméy függetle a B AB szorzateseméy valószí- A és B Mt tudu moda a B eseméy A - A függetle B- P( B A ) P( BA ) P( A )P( B ) P( B ). (3..4.) P( A ) P( A ) Arra jutottu, hogy ha az A eseméy függetle a B B eseméy s függetle az A Mthogy (3...) és (3..4.) egyarát a (3..3.) összefüggésre vezet, általába a függetleség feltételeét az A és B eseméyere szmmetrus (3..3.) fejezést szotu haszál. Defícó. Az ugyaazo az eseméytére értelmezett A, A,..., A eseméyeet függet- eseméyt, gaz az, hogy az ese- Példaét A, B és C három eseméy eseté a fet defícó alapjá a függetleség feltétele: P( AB ) P( A )P( B ); P( AC ) P( A )P( C ), P( BC ) P( B )P( C ) ; és P( ABC ) P( A )P( B )P( C ). Havacsá Károly, ELTE TTK

70 70 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Megjegyzése Tehát, ha AB=Ø, a ét eseméy függetle, hsze legye A és B ét olya eseméy, amelyere gaz, hogy AB=Ø, tehát P(AB)=0, de P( A ) 0 és P( B ) 0 P( AB ) 0 P( A )P( B ). Hsze eméy em függetle. A ét eseméy aor lee függetle s, ha vagy P(A)=0 vagy P(B)=0. A és A eseméye em függetlee egymástól. tehát a (3..3.) defícó alapjá em tudju eldöte a függetleség érdését. Ilyeor a s- 4. A gyaorlat életbe soszor függetlee modu ét eseméyt, amor úgy érezzü, hogy egy eseméy cs hatással a másra. Például ét egymás utá ocadobást füg- apasztalju, hogy valóba teljesül a matemata függetleség s. Ugyaaor óvatosa 5. Ha játéocával dobu, majd utáa érmét dobu fel, aor a ocadobás végeredméyée A eseméyét és az érmedobás B eredméyét olyaa godolju, amelye csee hatással egymásra. M a helyzet a ét eseméy matemata függetleségével? A re az eleme. A függetleség eddg defícó pedg ugyaazo az eseméytére értelmezett eseméyere voatozott. A probléma feloldására megtehetjü azoba azt, hogy a ét eseméyteret egyesítjü. Az egyesített eseméytére mde elem eseméye ét elem eseméyt tartalmaz. Egyet az egy, és egyet a másolda eseté tehát az egyesített tér egy elem eseméye egy 6 özött számból, és a fej vagy ée érdése. Lássu egy példá, hogy a függetleséggel apcsolatos eddgebe tault összefüggéseet hogya alalmazhatju! 3.9. Példa. Lássu be, hogy ha A és B eseméye függetlee egymástól, aor A és B eseméye s függetlee! A de Morga-azoosságo alalmazásával apju azt, hogy P( AB ) P( A B ) P( A B ) P( A ) P( B ) P( AB ). Havacsá Károly, ELTE TTK

71 7 A és B függetlesége matt P( AB ) P( A )P( B ), tehát P( AB ) P( A ) P( B ) P( A )P( B ) P( A ) P( B ) PA ). Ie azt apju, hogy P( AB ) P( A ) P( B ) am éppe a feladat érdésére adott válasz. adato PA ) P( A ) P( B ) P( A )P( B ) 3.3. Ha A és B eseméye függetlee egymástól, aor lássu be, hogy A és B s függetlee! 3.4. Ha A és B eseméye függetlee egymástól, aor lássu be, hogy A és B s függetlee!, 3.3. A Beroull-ísérletsorozat Tegyü fel, hogy olya ísérletet végzü, amelye csa ét meetele va, A és A. A P(A)=p, és P( A ) p q. Ilye ísérlettel gyara találo- -et, vagy pedg em -et dobu a ocá- P( ) p ; 6 P( 5 ) q. 6 Az lye ísérletbe az eredméy gyara ser vagy udarc formájába jeletez. Ha az lye ísérletet egymásutá -szer megsmételjü úgy, hogy az egyes ísérlete függetlee egymástól, aor Beroull-ísérletsorozatról beszélü. A Beroull-ó- függetle ísérlet sorá potosa -szor övetez be az A eseméy? Ezt a feladatot gyara Beroull-problémáa evezzü. A feladat megoldása sorá ísérlet sorá éppe azt ap- ísérletbe az A - ísérletbe az A eseméy valósul meg. A függetle eseméye apcsá modott szorzás szabály alapjá az egye- P( AA...AAA...A ) P( A )P( A )...P( A )P( A )P( A )...P( A ) p q. Havacsá Károly, ELTE TTK

72 7 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Ez azoba még em a probléma megoldása, hsze az, hogy az A eseméy -szor va- pozícóból háyféleéppe lehet potosa a ombatora segítségével aphatju meg: ez éppe elem -ad osztályú ombácója,! azaz. A Beroull-probléma megoldása tehát:!( )! B (, ) p p q. (3.3..) 3.0. Példa. Tegyü fel, hogy egy urába N darab golyó va. Az N golyó özül M fehér és N M húzás sorá potosa alalommal fehér golyót húzu? A feladat csa aor oldható meg a Beroullprobléma megoldás épletével, ha bztosítju az egymás utá húzáso függetleségét. Ehhez mde húzás utá vssza ell te a húzott golyót, és alaposa össze ell ever a golyóat. Ebbe az esetbe a p p és q M p ; N N M q. N Ezutá alalmazva a Beroull-probléma (3.3..) épletét, megapju a feladat megoldását: M N M B(, ). N N 3.. Példa. Most éreztü el oda, hogy megoldhatju blémát, amelye megoldását de Méré lovag érte Pascaltól. A érdés az volt, hogy mely o- obu? A megol számol, majd azt -yszer dobva egyszer sem dobu hatost a Beroull-éplet alapjá B p ( 4,0 ): Bp( 4,0 ) 0,48..., és Bp( 4,0 ) 0, szer dobva egyszer sem dobu hatost szté a Beroull-épletet haszálva B p ( 4,0 ) : Havacsá Károly, ELTE TTK

73 Bp( 4,0 ) 0, , és Bp( 4,0 ) 0, tást logartmus segítségével végez!). Látsz, hogy a ülöbség észrevett. Havacsá Károly, ELTE TTK

74 4. Ó, VÁRHATÓ ÉRTÉK, SZÓRÁS 4.. alába a véletle eseméy egy ísérlet végeredméye. A ísérletebe pedg arra töreszü, hogy a végeredméy umerus formába jeleje meg. A véletle eseméye megvalósulásaor aa elem eseméye özül az egy jö létre. Tehát a ísérlet sorá az elem eseméyehez redelt számérté az, am a ísérlet végeredméyeét jeletez. A ocadobás eseté például az elem eseméy a oca lapjara írott szám. Persze a ocadobással apcsolatba más eseméye s megfogalmazható. Például az, hogy páros vagy páratla számot dobu. Ilyeor magu döthetjü el, hogy mlye számot redelü a páros és mlye számot a páratla eseméy beöveteztéhez; modju 0-t, ha páros, -et ha páratla a végeredméy. számoat redelhetü hozzá. vagy más szám lesz a végeredméy, ezért az elem eseméyehez így hozzáredelt számot o- (sz), e- = elése felel meg, ahol a hozzáredelés értelmezés tartomáya. Ie jól látsz, hogy véletle változó, hsze az elem eseméye s véletle eseméye. A ísérlete sorá so esetbe az elem eseméye magu s számértée, és lyeor eméyehez azoba öéyes. A ísérletez mt elem eseméyhez em ezt a számot á- éeet választa. Vaa olya feladato, amelyebe az elem eseméyehez em egy, haem több r- ehetséges értée egyetle számból áll! Havacsá Károly, ELTE TTK

75 75 oly- í- Defícó. dszréte evezzü, ha -e véges so, vagy megszámlálhatóa végtele so lehetséges értée va. A továbbaba lehetséges értéet általába az,,...,,... Defícó. Ha a folytoosa evezzü. Természetese ez az tervallum lehet a teljes számegyees s. Va olya ísérlet, amelybe csa az egy elem eseméy beövetezése, vagy be em övetezése érdeel beüet. Például a ocadobás eseté hatost dobu, vagy áltozó alalmazása. Defícó. Ameybe egy véletle ísérletbe csa ét eseméy A és A alább:, 0, ha az A eseméy övetez be ha az A eseméy övetez be, aor ezt a dátorváltozóa evezzü. 4.. Példa. A ocadobás sorá az eseméytér:,, 3, 4, 5, 6. számoat s, de mt modtu, választhatu más számoat s. Példába most ez utóbb 0-t, a páratlaohoz pedg -et. Tehát ( ) ; ( ) 0; ( 3 ) ; ( 4 ) 0; ( 5 ) ; (6 ) 0. Havacsá Károly, ELTE TTK

76 76 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Ez esetbe tulajdoéppe dátorváltozó. 4.. Példa. A céltáblás ísérletbe az elem eseméye a céltábla (,y) számpárral jellem- megadja a pota a özéppottól mért távolságát. Tehát, ha a ör alaú céltábla sugara R, aor r y ; ahol 0, R tervalluma. Ebbe az esetbe A céltábla esetébe megtehetjü azt s, hogy az R sugarú céltáblát felosztju R/0, R/0,..., 0R/0 sugarú öröel. A ges értée pedg le- =0 =9 0 = értéet redeljü hozzá! Ez a változat az, amt a gyaorlatba s alalmaz szota. Ez utóbb esetbe dszráltu. 4.. A dszrét á- Defícó. deltü, azaz P( ) P( ), re, amelyre ( ). (4...) ée együttesét a Az értelmezés tartomáy tt a valós számegyeese az a tartomáya, ahol a lehetséges zés tartomáyét az egész valós számegyeest tetjü, és azoo a helyee, ahol -e csee értée, a hogy az eseméytér szerepét most a számegyees vesz át, az értéészlet pedg a [0,] á- Havacsá Károly, ELTE TTK

77 77 hogya oszlaa meg a számegyees potja özött Példa. é- P( ) P() P( 3 ) P( 5 ) 3 6, és 3 P( ) P( ) P( 4 ) P(6 ). 6 Mde lye esetbe a valós számegyees potjahoz redelü egy-egy számot, amely számo a [0, ] tervallum potja. A 4.3. példába a 0 és az pothoz egyarát a 3/6=/ potot redeltü hozzá. Tethetjü ezt úgy s, hogy a számegyees több potjához pedg a 0 értéet redelhetjü. A példá az s látsz, hogy a hozzáredelt értée öszszege. A (4...) hozzáredelés szabályból látsz, hogy általába s gaz az, hogy a valószí-, hsze P( ) P( ) P( j ) P j P, j j ahol =+ az összes elem eseméye száma.,,...,,...; ahol :. P( ) : p( ), p( ),..., p( ),... ; ahol 0 p( ). Az értée függvéyébe ábrázolhatju a hozzáju tartozó p( ) értéeet. Dszrét esetbe ez az ábrázolás hasoló ahhoz, mt amt a dszrét relatív gyaorságo ábrázolása eseté tettü. E értée eloszlását a értée özött. Példa gyaát tetsü a Beroull-problémájaét megsmert (3.3..) fejezést Példa. Ha a (3.3..) fejezést em teljese szabályos pézérme esetére alalmazzu, p=0,4 aa, hogy =4 dobás sorá az írás =0, =,..., =4 esetbe le a dobás eredméye. Ebbe a példába a 0,,, 3, 4. A (3.3. p(0)=0,3; p()=0,346; p()=0,346, p(3)=0,54; p(4)=0,06. A 4.aábrát. Havacsá Károly, ELTE TTK

78 78 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI 4.. ábra: A Beroull-eloszlás függvéye =4 és p=0,4 értéere Tethetjü úgy ezt a függvéyt, hogy a (, ) értée. a- 4.. Dobju egyszerre ét szabályos érmével! Az eseméytér eor az alább: ff, f, f,. a feje száma, azaz ( ff ) ; ( f) ; ( f ) ; ( ) 0. Rajzolju fel a pálcaábrát! 4.3. geometra va- Havacsá Károly, ELTE TTK

79 79 00 függvéyt apá, amvel em sora meé. Ehelyett ylvávalóa más utat ell választau. Választhatju például azt az ábrázolást, amt a umulatív relatív gyaorság ameora értéél sebb! Legye az ezt megadó függvéy eve függvéy, és jelöljü ezt a függvéyt F()-el. Fogalmazzu meg mdezt matemata formába! Defícó. Az F( ) P, (4.3..) függvéyt a eloszlásfüggvéyée evezzü. A defícóból övetez, hogy 0 F( ) az egész értelmezés tartomáyo, hsze F() Folytoos esetbe az F() függvéy s folytoos Példa. R=0 cm sugarú céltábla eseté adju meg az F(r) eloszlásfüggvéyt, amely í- r sugarú, a özéppottal ocetrus örö belül va? A 3.. pél- szert P( r r R ). R Az eloszlásfüggvéy defícója alapjá tehát a teljes függvéy: 0, r F( r ) 0,, ha r 0 ha 0 r 0 ha r 0. (4.3..) A (4.3.) függvéy grafus alaja az 4.. ábrá látható. 4.. ábra: A (4.3.) eloszlásfüggvéy alaja Havacsá Károly, ELTE TTK

80 80 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI 4.4. Az eloszlásfüggvéy tulajdosága Az eloszlásfüggvéy három tulajdoságát tétele formájába fogalmazzu meg.. tétel. A F ( ) F( ), ha. (4.4..) Bzoyítás. bba bzoyítottu, hogy ha B A, aor P( B ) P( A ). Ha most a B eseméyét a relácót, az A eseméyét a relácót tetjü, aor P( B ) F( ) és ( A ) F( ) matt a tétel állítása már övetez. P A 4.. ábrára pllatva láthatju, hogy a (0,0) tartomáyo a függvéy szgorúa mooto emeled, míg az <0 és az >0. tétel. Az eloszlásfüggvéyre gaza az alább határértée: lm F( ) 0, és lm F( ). (4.4..) Bzoyítás. hsze a hsze a lm F( ) lm P( ) P( ) P( Ø) 0, eseméy a lehetetle eseméy. Hasoló módo lm F( ) lm P( ) P( ) P( ), eseméy a bztos eseméy. 3. tétel. Legye a és b ltozó az (a,b) tervallumba es, számítható az F() eloszlásfüggvéy segítségével az alább módo: P( a b ) F( b ) F( a ). (4.4.3.) Bzoyítás. A b eseméy felbotható ét özös rész élül eseméy összegére: ( a ) ( a b ) ( b ). Havacsá Károly, ELTE TTK

81 8 A 3. aóma szert: ahoa átredezéssel azt apju, hogy P( a és ezzel az állítást bebzoyítottu. P( a ) P( a b ) P( b ), b ) P( b ) P( a ) F( b ) F( a ), 4.. A 4.5. példa adatat felhaszálva számolju aaha véletle- az R=0 cm sugarú r=5 cm és az r= cm sugarú öröel határolt területre es a lövés? 4.. A számegyeese az (a,by potot. Te- a,b) szaasz valamely résztervallumára es a jelölt pot, aráyos az adott résztervallum hosszával. Írju fel a probléma való- a=, b=3! Rajzolju fel az eloszlásfüggvéy alaját! 4.5. defícó alapjá dszrét esetbe s fel tudju rajzol. Legyee a lehetséges értée agyság szert sorredbe,,...,, értée pedg p, p,..., p. Az F() függvéy (4.3.) defícója alapjá határozzu meg a függvéy alaját! Mvel < )=0, tehát F( ) 0, ha. (4.5..) Fgyelem! A (4.5.) fejezés az = sze az eloszlásfüggvéy defícója szert F( ). Ahogy átlépü az poto, mde potba, tehát F( ) p, ha. Az határra tt s érvéyes az pottal apcsolatos megjegyzés. Amor átlépjü az potot, mde 3 potba +p, tehát F( ) p p, ha 3. Havacsá Károly, ELTE TTK

82 8 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Most már látsz a ostrucó. A függvéy mde potba balról folytoos, és ezebe a potoba ugrása va a függvéye. Az ugrás agysága mde potba A függvéy alaját a 4.3. ábrá láthatju ábra: Dszrét eloszlás eloszlásfüggvéye Az > +p +...+p =, tehát az eloszlásfüggvéy értée: F()=. Látju tehát, hogy dszrét esetbe az eloszlásfüggvéy em folytoos, haem mde lehetséges értééél szaadása (ugrása) va. Az ugrás értée az potba éppe megegyez a p az eloszlásfüggvéy defícójáa az a övetezméye, hogy a függvéy mde potba balról folytoos. Az ábrá a tel örö ezt jelz. Megjegyzés Lehete az F() F( ) P( ). Ha így defálá az eloszlásfüggvéyt, aor dszrét esetbe, az ugráshelyee F() jobbról lee folytoos. Gy 4.4. Rajzolju fel az eloszlásfüggvéyt a 4.4 példába meghatározott Beroull-eloszlás esetére! Havacsá Károly, ELTE TTK

83 Defícó. Legye a folytoos F(). Az eloszlásfüggvéy derváltját a evezzü, és f()-szel jelöljü, azaz f ( ) F ( ). (4.6..). tétel. Az f() függvéyre gaz, hogy sehol em egatív, azaz f ( ) 0 ;. (4.6..) Bzoyítás. Az F() függvéye derváltja em lehet egatív, tehát ha F ( ) F( ),, aor F ( ) 0.. tétel. Az f() F() eloszlásfüggvéy, azaz F( ) f ( )d. (4.6.3.) Bzoyítás. Az tegrálás Newto Lebtz-szabályából övetez, hogy f ( )d Mvel F( ) lm F( ) 0, ezért f ( F( ) F( ). )d F( ). 3. tétel., azaz f ( )d. (4.6.4.) Havacsá Károly, ELTE TTK

84 84 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI -re ormált. Bzoyítás. f ( )d F( ) F( ) tétel. A folytoos (a,b) a-tól b- b P( a b ) f ( )d. (4.6.5.) a 4.4 Bzoyítás. A Newto Lebtz-szabályból övetez, hogy b f ( )d F( b ) F( a ). a tulajdosága apcsá beláttu lásd a (4.6.5) fejezést, hogy F( b ) F( a ) P( a b ). 0, vagys P(a)=0, tehát F( b ) F( a ) P( a b ) P( a ) P( a b ) P( a b ). Havacsá Károly, ELTE TTK

85 85 Folytoos esetbe ezzel beláttu a (4.6.5) állítás gaz voltát. Megjegyzés ütt azt s jelet, hogy az eloszlás jellemzéséhez, F()-et, vagy pedg f()-et smerü, hsze egy a más smeretébe számítható Példa. Határozzu A 4.4. példába meghatározott eloszlásfüggvéy: 0 ha r 0 r F ( r) ha 0 r 0. 0 ha r 0 Ee a függvéye a derváltja a tartomáyoo ülö-ülö létez, éspedg: ha 0 0 r r f ( ) ha 0 r ha r 0 A függvéy grafus alaja a 4.5. ábrá látsz ábra: A céltáblás Az 4.5 függvéy alatt terület egységy. Havacsá Károly, ELTE TTK

86 86 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI z 4.5. Állapítsu meg, hogy az alább függvéy gvéy: f ( ) 0 e 0 0! 4.6. Határozzu meg a 4.5. zlásfüggvéyt! 4.7. A dszrét va g- -- valós függvéyt! Ez a függvéy a értéet redel hozzá. Ez azt jelet, hogy az elem eseméyhez, most az y )) értéet redeljü hozzá. Mvel a valószí ség változó defálása sorá azt modtu, hogy a hozzáredelés öéyes, ezért -t s y, y,..., y... A érdés eze utá az, hogy ha smerjü a ) eloszlását, aor abból hogya apju meg az ) eloszlását? aor mde értéhez egyetle y Nézzü egy példát! 4.7. Példa. Legye a ) eloszlása a ; ; 0; P( ) ; P( ) ; ; P( ) 3 5 ; 4 P( 4 ) ; 3 P( 5 ). 6 Legye a traszformáló függvéy: y=+! Ie az é- y 3; y P( y ) ; 6 ; P( y y 3 ) ; ; y 4 P( y 3; 3 ) y 5 ; 4 5; P( y 4 ) ; 3 P( y 5 ). 6 Havacsá Károly, ELTE TTK

87 87 A helyzet ssé boyolód aor, ha a ) értéehez azoos y értéet redel. Ilyeor az azoos y értéhez több érté s tartoz, tehát eze való- y - Erre az esetre s ézzü egy példát! P( y. (4.7..) ) P( ) ( ) y 4.8. Példa. Legye a ) eloszlása azoos a 4.7. példába defálttal. A traszformáló függvéy most legye: y=. Ie az változó lehetséges értée: y( ) 4; y( ) ; y(0 ) 0; y() ; y( ) 4. Látju tehát, hogy az va: y =0; y =; y 3 =4. A traszformált változó eloszlása: 5 P( 0 ) ; P( ) ; P( 4 ) Haladóa 4.8. A t- változó F() eloszlásfüggvéyét, abból hogya határozzu meg az változó G(y) Tétel. Csa azzal az esettel foglalozu, amor az függvéy szgorúa mooto F(), aor az F F ( y ) ( y ) ( y ) G ha ( ) szgorúa mooto, ha ( ) szgorúa mooto csöe, (4.8..) ahol - (y) az függvéy verze. Bzoyítás. Ha aor G(y) Havacsá Károly, ELTE TTK

88 88 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI y P ( ) y P ( y ) F( ( y )) G( y ) P. Ameybe szgorúa mooto csöe, aor G( y ) P y P ( ) y P ( y ) F( ( y )) G( y ) F ( y )., tehát A most belátott éplete alapjá számíthatju az gfüggvéyét s. Tétel. Az g(y) ég válto- f(): g( y ) d ( y ) f ( y ). (4.8..) dy Bzoyítás. abálya alapjá, ha függvéy tehát - (y) s g( y ) dg( y ) dy ( y ) d ( y ) f ( y ) df d ( y ) dy d ( y ). dy Ha függvéy tehát - (y) s szgorúa mooto csöe, aor Mthogy lyeor d ( y ) g( y ) f ( y ). dy d ( y ) 0, dy tehát, az abszolút értéel felírt összefüggés mdét esetbe helyes Példa. Legye a traszformáló függvéy y=a+b alaú. Határozzu meg az valószí- g(y) f ( 0 ) e 0, 0. Havacsá Károly, ELTE TTK

89 89 Megoldás. A függvéy verze, és aa derváltja: y b, a d. dy a Ie a (4.8.) tétel alapjá: g( yb a y b y ) f e. a a a 4.9. Várható érté dszrét esetbe A ísérlet adato eloszlásáa jellemzése sorá már láttu, hogy számta özépe mlye szerepe va az eloszlás jellemzésébe. Ha az,,..., méréssorozatot egyetle számmal aarju jellemez, aor legtöbbször a mérése számta átlagát adju meg. N, (4.9..) ahol a mérés eredméye száma, N a lehetséges végeredméye száma, az összes lehetséges mérés eredméy, pedg a lehetséges meetele gyaorsága az adott méréssorozatba. A (4.9.) fejezésbe a / háyados a relatív gyaorság. A relatív gyaor- stabltást mutat. Azt s moo- trucó pedg em más, mt az a relatív gyaorság érté, amelyet végtele agy (a gyaorlatba természetese em megvalósítható) mérésszám eseté éré el a mérése sorá. lm p. A várható érté a számta özéppel roo fogalom. A fet godolatmeet utá ez a rooság látsz a várható érté alább defícójából. Defícó. Legyee a,,...,. A lehetséges p, p,..., p. Eor a valószí ség változó várható értéét M ( ) p. (4.9..) Havacsá Károly, ELTE TTK

90 90 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Ha véges so lehetséges értéü va, aor a (4.9.) összeg mdg létez. Ha megszámlálhatóa végtele so lehetséges értéü va, aor csa aor létez, ha a (4.9.. Ee feltétele az, hogy a végtele sor abszolút overges legye, vagys, hogy teljesüljö a p feltétel Példa. értéét! A értéeet a 4.. táblázat tartalmazza p /6 /6 /6 /6 /6 /6 4.. táblázat: A ocadobás lehetséges értée és a A várható érté (4.9.) alapjá: M( ) p , A példa egyúttal azt s mutatja, hogy a dszrét esetbe maga a várható érté em feltétleül szerepel a lehetséges értée özött. Megjegyzés A (4.9. súlypotját defáló éplettel, ha a tömegpoto orgótól mért távolságát, a p pedg az. tömegpot tömegée és az összes tömegpot együttes tömegée a háyadosát jelz. Az -eloszlás várható értée a -eloszlás cetruma A várható érté folytoos esetbe Havacsá Károly, ELTE TTK

91 9 Defícó. Ha a f(), aor várható M( ) f ( ) d. (4.0..) övetel az abszolút tegrálhatóságot, vagys, hogy f ( )d. Köye belátható, hogy a folytoos esetre érvéyes defícó em más, mt a dszrét eset (a,b) tervallumba es, megegyez az f() függvéy a-b határoal vett görbe alatt területével. Ha tehát a számegyeest felosztju s változó az. P( ) f ( ), ahol a 4.9.) defícó alapjá az változóra számítju a várható értéet, aor az alább fejezésre jutu: M( ) P( ) f ( ). Most ugyaúgy járhatu el, ahogya azt az tegrál bevezetéséél tettü, tehát mde határo túl fomítju a számegyees felosztását, azaz M( ) lm 0 f ( ) f ( )d. Ameybe a határérté létez, aor az f() tegrálható, tehát megadtu folytoos esetre a (4.9.) fejezés általáosítását. Fotos megjegyzés Az várható értéet a elmélet mometumáa s szoás evez. Láttu, hogy a várható érté szoros rooságba va a számta özéppel. Ha a éyee számta özepét épezzü, aor, mt már említettü, az emprus várható értéet apju meg. Az emprus várható értéet a statsztába szoás az mometuma -elmélet Havacsá Károly, ELTE TTK

92 9 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI és a statszta az elmélet és az emprus mometumo apcsolatát potosabba s megadja. 4.. Példa. A (6.3) defícó szert a várható érté folytoos esetbe: M( ) f ( )d 0 0 r r 00 dr 00 r , A várható érté tulajdosága Mvel a várható értéet a számta özép fogalmából származtattu, ezért tulajdosága s hasolóa a számta özép már megsmert tulajdoságaval. A tételeet a dszrét esetre látju be, de ahol szüséges, a tételt felírju folytoos esetre s. Mvel az tegrált összegzés határértéeét vezettü be, ezért em csoda az, hogy hasoló tulajdosága vaa, mt az összegzése.. tétel. Kostas várható értée maga a ostas, azaz M( c ) c. (4...) Bzoyítás. Ha a, a-. Tehát a várható érté (4.9.) alapjá: M( c ) c c.. tétel. A várható érté álladószorosa, azaz A tétel folytoos esetre s gaz. M( c ) cm( ). (4...) Bzoyítás. A szorzóda az álladóval, azaz lehetséges értée: c, c,..., c. Tehát a várható érté: p c p cm( ) M( c ) c. Havacsá Károly, ELTE TTK

93 93 Korábba már láttu, hogy a ég változó. Az alább tétel az 3. tétel. A,,...,, és vegye fel a változó redre p, p,..., p óa létez az várható értée. Továbbá legye tétel állítása az, hogy az traszformált változó várható értée: ( ) M( ) M ( ). (4..3.) Ha a ató értée: ( ) p M( ) M ( ) f ( ) d. (4..4.) Bzoyítás. függvéy szgorúa mooto függvéy. Ebbe az esetbe ugyas a traszformácó mde lehetséges értéhez egyetle y ) értéet redel hozzá. Mvel ez az új változó ugyaahhoz az elem eseméyhez p. Tehát várható értée: M( ) y P( y ) ( ) p. Ha a traszformáló függvéy em szgorúa mooto függvéy, aor az valószí ség változó y = ) lehetséges értée özött vaa azoosa. Ilyeor y úgy apju meg, hogy összegezzü az összes lye -hez tartozó p értéet, azaz p P( y ) p. (4..5.) ( ) y Tehát várható értée M ( ) yp( ( )) y p. (4..6.) A (4..6 y értée szerepele. Ezzel smét a (4..3) összefüggésre jutu. 4.. Példa. A 4.7. példához hasolóa legye a ) eloszlása Havacsá Károly, ELTE TTK

94 94 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI p ; ; 6 p ; ; 3 p 0; 3 ; 4 4 ; p 4 5 ; 3 p 5. 6 y=. Határozzu meg az új való- változó várható értéét! A (6.7) defícó szert a várható érté: M( ) ( )p , tétel. összege, azaz (), aor az új változó várható értée: 6 M( ) M( ) ( )p ( )p M. (4..7.) Bzoyítás. A tétel állítása a összegzés leárs tulajdoságaból övetez. Hsze ( ) ( ) p ( )p ( )p M M( ) M( ) ( )p Az tegrálás az összegzéshez hasolóa leárs operácó, tehát a bzoyítás teljese hasoló módo törtéhet folytoos esetre s... megjegyzés Az.,. és 4. tétel együttes alalmazásából övetez, hogy ha smerjü a változó várható értéét, aor az új változó várható értée: M( ) M( a b ) am( ) b. A megjegyzés tulajdoéppe a. megjegyzés 4.3. Példa. Legye a traszformáló függvéy alaú! Határozzu meg az új változó várható értéét! Havacsá Károly, ELTE TTK

95 95 Alalmazva a (4..7) fejezést és a várható érté orábba megsmert tulajdoságat M( ) M a b c M( a ) M( b ) M( c ) am( ) bm( ) c. 4.. Szórás Az.5 óráségyzet és szórás fogalmát. A szórással a ísérlet adatoa az emprus várható ér- l- eltérését jellemz. Defícó. A szóráségyzetét az alább fejezés defálja: D ( ) M M( ). (4...) A szóráségyzet poztív égyzetgyöe pedg a szórást adja, azaz D( ) M M( ). (4...) A defícóból látsz, hogy a szóráségyzet a való eltérése égyzetée a várható értée. A szóráségyzetet tehát a várható érté segítsé- redtü, tehát em lesz ehéz megsmer a szóráségyzet és a szórás tulajdoságat Szóráségyzet és szórás dszrét esetbe A szóráségyzet mt (4.. valószí 4.9. hogy dszrét esetbe a szóráségyzet orét alaja: M( ) D ( ) p. (4.3..) A szórás a (4.3.) fejezés poztív égyzetgyöe, azaz M( ) D ( ) p. (4.3..) 4.4. Szóráségyzet és szórás folytoos esetbe Havacsá Károly, ELTE TTK

96 96 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI ozó függvéyée várható értéét folytoos esetre meghatározó (4.0.5.) éplet. Ha a va- f(), aor a szóráségyzet: M( ) D ( ) f ( ) d. (4.4..) A szórás a (4.4..) fejezés poztív égyzetgyöe, azaz M( ) D ( ) f ( ) d. (4.4..) 4.4. Példa példába már számoltu a várható értéet:. Alalmazva a (4.3..) épletet: D ( ) 3,5 3,5 3 3,5 4 3, ,5 6 3,5, A szórás pedg: =, A szórás tulajdosága ságara mutat rá, amelyeet a gyaorlat számításo sorá gyara alalmazu. Tétel. D ( ) M( ) M( ) M( ) M ( ), (4.5..) vagys várható értée és a várható értée égyzetée ülöbségeét. Bzoyítás. A bzoyítás sorá a (4.3. belül elvégezzü a égyzetre emelést, és haszálju a (4..7) tulajdoságot, mszert a várható érté tagoét számolható: D ( ) M M( ) M M( ) M( ) M( ) M( )M( ) M ( ) M( ) M ( ), Havacsá Károly, ELTE TTK

97 97 és ezzel beláttu a (4.5..) fejezés gaz voltát. Az M( ) -et szoás a evez. zó leárs függvé- Tétel. Ha a leárs függvéye alaú, aor szóráségy- D ( ) a D ( ). (4.5..) Bzoyítás. A bzoyítás sorá a (4..) összefüggést és a várható érté számolásáa szabályat alalmazzu. D ( M ) D ( a b ) M a b M a b M a b am( ) b a am( ) M a M( ) a M M( ) a D ( ) Adju meg a aratersztus változó szórását! Havacsá Károly, ELTE TTK

98 5. ÁLTOZÓ EGYÜTTES ELOSZLÁSA A ísérlet adato leírása részbe már láttu, hogy gyara ugyaazo vzsgált jeleséggel Soszor a ér Egy ísérlettel apcsoleet és,,...,,..., az lehetséges értée pedg y, y,..., y,... Legye r j és y j értée egyszerre valósula meg, azaz r j r, y ) P(, y ). (5...) ( j y sío egy-egy potét ábrázolható. Ha az (,y j ) poto felett a z tegely ráyába r j hosszúsá- együttes eloszlása. Az A j =(,y j ) eseméye egymást záró eseméye, és mözbe és j véggfut az összes lehetséges értée, megvalósrtelmébe tehát, j r j rj. (5...) A grafus ábrázolás helyett soszor táblázatba jeleítjü meg a ét változó lehetséges értéet és a hozzáju tartozó eloszlást. j / y y... y m sor r r. r m p( ) r r. r m p( ) r r. r m p( ) oszlop q(y ) q(y ) q(y m ) 5.. táblázat: Havacsá Károly, ELTE TTK

99 Peremeloszláso dszrét esetbe Az 5.. táblázatba épezzü a soro összeget: m p. (5...) r j j Ez a sorösszeg az 5.. táblázatba az. sor végé szerepel. Hasoló módo a j. oszlop q. (5...) j r j Ezee az összegee öálló jeletésü s va. Az (5...) p sorösszeg például meg- éggel vesz fel az értéet, függetleül attól, hogy az változóa mlye értée valósul meg. Matemata formába ötve tehát: p m m rj P(, y j ) P( ) j j. Ezzel aalóg módo a q j oszlopösszeg megadja, hogy az változó mlye valószí séggel vesz fel az y j értéet, függetleül a q j rj P(, y j ) P( y j ). A p és q j eloszlásoat peremeloszlása evezzü. Természetese gaz az, hogy ha az összes sorösszeget (peremeloszlás a soro végé) vagy oszlopösszeget (peremeloszlás az oszlopo végé) összeadju, aor az összeg, vagys p m r j j m j P(, y ), j lletve q m r j j m j P(, y ). j Havacsá Károly, ELTE TTK

100 00 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI 5.. Példa. Háromszor dobu egymás utá egy érmével, és ezt tetjü egy eseméye. Az elem eseméye 3 darab f és - összes elem eseméyt. A lehetséges értée az elem eseméyebe a táblázat másod sora mutatja. Az ltozó értée egy, ha az íráso száma 0. = f f f, f f, f f, f f, f, f, f, = 3,,,,,,, 0 = 0, 0, 0, 0,,,, táblázat: Készítsü táblázatot a és 5.. táblázat- eseméytére 8 elem /8-é- í- és az értée egyszerre csa egyszer szere- /8. A és az háromszor redeltü hozzá elem eseméyehez, a táblázatba tehát 3/8 / 0 sor 0 /8 0 /8 0 3/8 3/8 3/8 0 3/8 3 /8 0 /8 oszlop 5/8 3/8 5.3 A soro és oszlopo végé a táblázatba szerepele a peremeloszláso s. Az valószí- 0 értéet vesz fel, azaz: P( 0 ) 5 / 8. Hasoló módo a meloszlását az utolsó oszlop értée adjá. Látsz a táblázatból az s, hogy ha a peremeloszlás soroba szerep- -et apu. Hasoló módo az utolsó sor összege s. adato 5.. A és /8 / /4 3/8 /4 3/4 Havacsá Károly, ELTE TTK

101 0 Határozzu meg a ét változó eloszlását ülö-ülö! 5.. együttes eloszlását adja meg p 3p 5p p 4p 6p Adju meg p értéét! 5.3. t- ségée feltételét defálju. Defícó. A és lehetséges értée legyee,,...,,... és y, y,..., y,... A és változóat függetlee modju, ha mde -re és j-re teljesül, hogy P(, y ) P( )P( y ), (5.3..) j j r p q. j j Köye belátható, hogy a fet defícó összhagba va az eseméye függetleségére voatozó defícóval. Ha a eseméyt A-val jelöljü, az eseméyt pedg B- vel, aor az (5.3.) összefüggés eseméyeel felírva: P(AB)=P(A)P(B). Ez pedg éppe változó függetleségére most adott defícó tehát összhagba va a orábba az eseméye függetleségre adott defícóval. -e? változó függetle-e? Havacsá Károly, ELTE TTK

102 0 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Haladóa 5.4. Feltételes eloszláso dszrét esetbe A eseméy B P( AB ) PA B. P( B ) Ezzel a efálju a feltételes eloszlás fogalmát. Defícó. A és lehetséges értée legyee,,...,,... és y, y,..., y,... A j feltételre voatozó feltételes való- -eloszlásáa evezzü az alább fejezést: P( P(, y j j y j ). (5.4..) P( y j ) q j ) r A függetleség defícójával apcsolatba modotta most s érvéyese. Látsz, hogy összhbba adott defícóval. eloszlást defál, mözbe és j az összes lehetséges értéet felvesz. 5.. Példa. -eloszlás eseté számítju az (5.4..) defícó alapjá a P( y ) eleme: j r 8 P( y ). q A táblázat másod soráa másod eleme: 3 r P( y ) 8. q Havacsá Károly, ELTE TTK

103 03 Hasoló módo számolható a több elem s. Tehát a változó -eloszlása: / 0 0 / /5 0 3 /5 0 oszlop 5.5. Ha a és Defícó. Az F(,y ) P(, y ) (5.5..) étváltozós függvéyt a és együttes eloszlásfüggvéyée evezzü. Az egydmezós eloszlásfüggvéyéhez hasolóa bebzoyítható, hogy a F(,y) étváltozós függvéyre s érvéyese az alább tulajdoságo:. A F(,y) és y y, aor. A F(,y) függvéy határértée: F (, y ) F(, y ). (5.5..) F(,y ) F(, ) 0; F(, ). (5.5.3.) számíta az eloszlásfüggvéy felhaszálásával. A étdmezós azoba az összefüggés ssé összetettebb, ezért tt ezt ülö tételét adju meg. Tétel. Ha a és F(,y), aor a Havacsá Károly, ELTE TTK

104 04 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI P( a b; c d ) F( b,d ) F( a,d ) F( b,c ) F( a,c ). (5.5.4.) Bzoyítás. A bzoyítás megöyítésére haszálju az 5.. ábrát. 5.. ábra: Ábra a étváltozós eloszlásfüggvéyel apcsolatos tétel bzoyításához Legye A eseméy az, hogy a és változó a (b,d) vaa, vagys A ( b, d ). Az eloszlásfüggvéy defícója P( b, d ) P( A ) F( b,d ). Hasoló módo az az eseméy, hogy a és változó a más három csúccsal redel- A ( a, d ); ( a, c ) ; ( b, c ). A 3 Az eseméyhalmazora gaz, hogy A 4 A A A A A A A3 Az 5.. ábrá látsz, hogy az A A 3 és az A 4 A 3 sísáva ma 3 A A P( A PA P( A) P( A A. ) P 3 3) Havacsá Károly, ELTE TTK

105 05 P( A ) P( A ) P A ) P( A P( A ) PA ) P( A P( A ) P( A ) P( A ) P( A ). 4 éppe a (5.5.4.) tétel állítására jutu Mvel A3 A és A3 A4 ezért a ó- aét defáltu. Ezzel aalóg módo defálható a é ségfüggvéy. Defícó. Ha a és együttes eloszlásfüggvéye F(,y), aor az f (,y ) F(,y ), (5.6..) y vegyes másod parcáls derváltat a és rmészetese a defícó csa aor érvéyes, ha létez ez a parcáls dervált. Megmutatható, hogy ameybe létez az f(,y) F(,y) el- y F (,y ) f (,y )ddy. (5.6..) és a ormáltság s gaz, vagys f (.y ) 0,, y, f (,y )ddy Legye a és változó együttes eloszlásfüggvéye az alább: Havacsá Károly, ELTE TTK

106 06 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI F(,y ) 0, y e e, ha 0, egyébét. y 0, és! Lássu be, hogy az 5.6. feladatba számított gfüggvéye tulajdoságaa! 5.7. F Az eseméye függetleségét a P(AB)=P(A)P(B) összefüggéssel defáltu. Ezzel teljes zó függetleségée defícója. Defícó. Az és változóat függetlee evezzü, ha az ) és a y) eseméye függetlee, azaz P(, y ) P( )P( y ). F(,y ) F( )G( y ), (5.7..) ahol F(,y) és együttes eloszlásfüggvéye, F() a változó, G(y) pedg az változó eloszlásfüggvéye. Az egy és étváltozós eloszlásfüggvéye defícót felhaszálva ez a öelet: e- Tétel. A és gvéyere feáll az alább összefüggés: f (,y ) f ( )g( y ), (5.7..) ahol f(,y) a és változó együttes sf() és g(y) pedg ülö-ülö a Bzoyítás. A tételt csa arra az esetre bzoyítju, ha a függetleség feáll, aor gaz (5.7.). F(,y ) F( )G( y ) gaz, tehát Havacsá Károly, ELTE TTK

107 07 f ( F(,y ) F( )G( y ) F( ) G( y ),y ) f ( )g( y ). y y y 5.9. Állapítsu meg, hogy az 5.5. gyors függetle valóváltozóat defál-e! 5.0. Igaz-5.7..) állítás? alfejezet- be- Dszrét változó esete Legye és,,...,,... és y, y,..., y,... lehetsé- j )=r j együttes eloszlása. Ameybe a ét változó függvéye változóa a várható értée: (,, y j M r. (5.8..) j j Folytoos változó esete Legye és f(,y). A ét változó függvéye legye most s. A (4..4) fejezést alalmazva a (, M (,y ) f (,y ) ddy. (5.8..) 5.. Számolju az 5.3. táblázatba megadott együttes eloszlás alapjá a új változó várható értéét! 5.. Számolju az 5.3. táblázatba megadott együttes eloszlás alapjá a szorzatfüggvéy várható értéét! Havacsá Károly, ELTE TTK

108 08 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI 5.9. változó függvéyée várható értéét. Az általáos éplet alapjá összeg várható értée s számolható, ahogya azt az 5.. feladatba meg s tettü. Ugyaaor, mthogy a r- Tétel. A és ég változó várható értéée összegével, azaz M( ) M( ) M( ). (5.9..) Bzoyítás. A bzoyítást csa dszrét esetre mutatju meg, folytoos esetre teljese hasoló a meete. A bzoyítást az (5.8..) fejezés alapjá végezzü. Az általáos épletbe a függvéy helyére beírju a változó összegét: M( ) ( y )r r y r. j j j j j j A másod tagba felcserélve az összegzés sorredjét, valamt felhaszálva az (5...) és (5...) azoosságoat, azt apju, hogy j j M( ) p y q j j r j j j y r j j M( ) M( ). rj y jrj j j Megjegyzés Teljes ducóval bebzoyítható, hogy ha várható értée, aor összegü várható értée: M(... ) M( ) M( )... M( ). (5.9..) 5.0. Az általáos (5.8.atáa - Havacsá Károly, ELTE TTK

109 09 Tétel. Ha a és függetlee, aor a szorzatu várható értée M( ) M( ) M( ). (5.0..) Bzoyítás. A bzoyítást most s dszrét esetre végezzü, de az tegrál és az összegzés hasoló tulajdosága matt folytoos esetre teljese hasoló a bzoyítás meete. Ismét az (5.8..) általáos éplet alapjá dulu el, tehát M( ) y r. (5.0..) j Most haszálju a változó függetleségét, tehát r j =p q j. Ezt beírva (5.0.)-be azt apju, hogy Megjegyzés M( j j j j j j ) y p q p y q M( )M( ). Teljes ducóval bebzoyítható, hogy ha és létez várható értéü, aor szorzatu várható értée: j M(... ) M( )M( )... M( ). (5.0.3.) 5.3. Az ) összefüggés alapjá s! Megyugodhatu, ha az eredméy egyez az 5.. feladat eredméyével. j 5.4. Az 5.. feladat számolását végezzü el az (5.0.) fejezés alapjá s! Az eredméy mért em azoos az 5.. feladat eredméyével? Mely a helyes eredméy? 5.. változó összegée szórása A és yye számolható. Tétel. Ha és, és létez a szórásu, aor összegü szóráségyzete megegyez a szóráségyzete összegével, azaz D ( ) D ( ) D ( ). (5...) Havacsá Károly, ELTE TTK

110 0 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Bzoyítás. és, aor M M( ) M( ) 0. (5...) A zárójel felbotásával azt apju, hogy M M( ) M( ) M M( ) M( ) M( )M( ) Khaszálva a várható érté tulajdoságat, a tagoét várható érté épzés utá adó- M( ) M( )M( ) azoosságot. Hozzáláthatu most már az eredet tétel bzoyításához! A szóráségyzet defícójából dulva: D ( ) M M ( ). Khaszálva a várható érté épzésée szabályát: majd beírva ezt a zárójelbe, azt apju, hogy M D ( M( ) M( ) M( ), ) M M( ) M( ). A szögletes zárójele belül a égyzetre emelést végrehajtva: M( ) ( M( ) M M( ) ( M( )( M( ). ( M( ) állítása matt zérus, tehát a végeredméy: M( ) M M( ) D ( ) D ( ) D ( ) M, és ez volt a bzoyítadó állítás. Megjegyzés. Az (5..éges (azaz létez más eset s, amor feáll). A fet tétel gaz voltához tehát evesebb s 5...) teljesül.. Havacsá Károly, ELTE TTK

111 . Teljes ducóval belátható, hogy az összeg szóráségyzetére voatozó (5...) tétel D (... ) D ( ) D ( )... D ( ). (5..3.) Példa. Legye vagys D ( ), =,,...,. Határozzu meg a változó összegée szóráségyzetét és szórását! Alalmazzu az (5..3.) azoosságot! Azt apju, hogy D (... ). (5..4.) Ie a szórás gyövoással apható: D(... ). (5..5.) e- Havacsá Károly, ELTE TTK

112 6. KORRELÁCIÓ 6.. Kovaraca A mérés adato özött összefüggése tárgyalásaor már bevezettü az emprus orrelá- leárs apcsolat je -számítás eddg megsmert apparátusa segítségével. 5...) segédtételére, ahol beláttu, hogy ameybe a és efüggés: M M( ) M( ) 0. Ez doolja azt, hogy a változó özött apcsolat szorosságáa mértééül más esetbe s ezt a szorzatot válasszu. Defícó. A M( ) M( ) cov(, ) M (6...) várható értéet a és ovaracájáa evezzü. Megjegyzés orosabb a apcsolat ét változó özött, vagys =, aor a ovaraca a D szóráségyzettel egyez meg. Tétel. A ovaraca számolására a defícós összefüggésél alalmasabb az alább éplet: cov(, ) M( ) M( )M( ). (6...) Bzoyítás. A bzoyítás sorá a ovaraca defícójából dulu, majd a szögletes zárójele belül felbotju a zárójeleet: M cov(, ) M M( ) M( ) M( ) M( ) M( )M( ) M( ) M( )M( ). Havacsá Károly, ELTE TTK

113 3 ég változó lehetséges értée. Ee üszöbölésére vezetjü be a orrelácós együtthatót. 6.. Korrelácós együttható Defícó. Ha a és és változó orrelácós együtthatójá a cov(, ) M( ) M( )M( ) R(, ) (6...) D( )D( ) D( )D( ) éplettel meghatározott számértéet értjü. A orrelácós együttható s a és szorosságát mér valamlye értelembe. Erre voatoza az alább tétele. Tétel. Ha és függetle, aor R=0. Bzoyítás. Az R(, ) ulla. defícójából adód, hsze függetle változó eseté a számláló Megjegyzés Az állítás em megfordítható, vagys abból, hogy R=0 em övetez a ét változó függetlesége. Ilyeor csa ayt modhatu, hogy a ét változó orrelálatla. Tétel. ltozó özött leárs a apcsolat, vagys =a+b, aor R(, ). (6...) a. Bzoyítás. A ovaraca számolás (6.. cov(, ) M( ) M( )M( ). Látsz, hogy ell számolu és értéeet, valamt meg ell adu értéét s. a b, M( a b ) am( ) bm( ), Havacsá Károly, ELTE TTK

114 4 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Tehát: cov(, ) am( ) bm( ) am M( ) am( ) b. ( ) bm( ) a Most számolju (6.. értéét: ahoa D ( ) a D ( ), D( ) a D( ). Beírva a apott értéeet (6...) fejezésbe: cov(, ) D( )D( ) R ad ( ) a D ( ) a a M( ) M ( ) ad ( ). (6..3.). Megjegyzés. A fordított állítás s gaz, vagys ha R(,)=, aor a ét változó özött leárs a apcsolat. Ezt em bzoyítju.. Belátható, hogy általába gaz az, hogy R. 3. Ha a ét változó özött em leárs a apcsolat, aor R aármlye lehet, még 0 s. A orrelácós együttható tehát em azt mutatja meg, hogy va-e valamlye függvéyapcsolat a ét változó özött, haem azt, hogy va-e leárs apcsolat, l Leárs regresszó A.. és a.. fejezetbe már láttu, hogy a mérés adato özött lehet összefüggés, és u- -elmélet eddg megsmert tétele segítségével. A probléma vzsgálatáál. Feltételezzü tehát hogy a és szszefüggés érvéyes: a b, Havacsá Károly, ELTE TTK

115 5 de em smerjü az egyees a és b paraméterée -számítás yelvére lefordítva eressü az a és b paraméteree azt az értéét amelye mellett az mmáls: M ( a b ) S( a,b ) m. A feleteet, majd tagoét épezzü a várható értéet. S( a,b ) M M a b M a b a a ab b ab b am bm am a M abm bm abm b M am bm a M abm bm b. A mmum megtalálásához épez ell a és b szert parcáls derváltaat, amelye- S( a,b ) M( ) bm( ) am( ) 0, a S( a,b ) am( ) M( ) b 0. b a és b fejezh am( ) bm( ) M( ), am( ) b M( ). M( ) M( )M( ) cov(, ) D( ) R(, ), M( ) M ( ) D ( ) D( ) (6.3..) b M( ) am( )), (6.3..) a ahol felhaszáltu a ovaraca (6..) és a orrelácós együttható (6..) épletet. Tehát, ha megbzoyosodu, hogy a és változó özött leárs a apcsolat, aor az így megtalált a és b értéeel számolt az áso, várható értée) a ét változó együttes eloszlásából számolható. Havacsá Károly, ELTE TTK

116 7. NEVEZETES ELOSZLÁSOK - Többet özülü az eddge sorá már megsmertü, most azoba redezett formába ezee s áttetjü a tulajdoságat. Amor ábrázolju s az eloszlásoat, aor a dszrét eloszlásoat pálcaábráal jeleítjü meg, a folytoos eloszlásoat pedg álgfüggvéy ábrázolásával adju meg. 7.. Az dátorváltozó eloszlása Korábba már megsmeredtü az dátorváltozóval. Most feldézzü a defícót és e A vagy A. Az A eseméy p, az A q= p. A ísérlethez redelt ég változó, az ú. dátorváltozó, amely az alább értéeet vesz fel: ha a ísérletbe A valósul meg, (7...) 0 ha a ísérletbe A valósul meg. 0 p q P p. P, Legye p=0, és q=0,8. Az eloszlás pálcaábrája a 7.. ábrá látható. 7.. ábra: A aratersztus változó pálcaábrája p=0, eseté A aratersztus változó eloszlásfüggvéyét p=0, eseté a 7.. ábrára rajzoltu. Havacsá Károly, ELTE TTK

117 7. Nevezetes eloszláso ábra: A aratersztus változó eloszlásfüggvéye p=0, eseté A aratersztus val szóráségyzete pedg: D M 0q p p, (7...) M( ) M 0q p p p p p p pq. (7..3.) 7.. Az egyeletes eloszlás Dszrét eset A egyeletes eloszlású, ha az,,,..., lehetséges érté- ó- P,,,,. (7...) Az egyeletes eloszlás várható értée és szóráségyzete: D M p, (7...) M. (7..3.) 7.. Példa. változóa egyeletes az eloszlása. Az eloszlás pálcaábráját mutatja a 7.. ábra. Havacsá Károly, ELTE TTK

118 8 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI 7.3. ábra: Az egyeletes eloszlás pálcaábrája ocadobás eseté 7.. A ocadobás esetére rajzolju fel az eloszlásfüggvéyt! 7.. A ocadobás esetére számolju a várható értéet és a szórást! Folytoos eset A folytoos egyeletes eloszlásúa evezzü az (a,b) terval- ha a b, f b a (7..4.) 0 egyébét. 7.4égfüggvéye Havacsá Károly, ELTE TTK

119 7. Nevezetes eloszláso 9 A folytoos egyeletes eloszlás eloszlásfüggvéye, a defícó alapjá: a F ( ) f ( )d d, ha a b (7..5.) a b a b a b a b a ha <a, aor F()=0, ha >a, aor F()=, ahogya azt a 7.5. ábra s mutatja ábra: A folytoos egyeletes eloszlás eloszlásfüggvéye A várható érté és a szóráségyzet folytoos esetbe: b b a M d, (7..6.) b a b a b a b a D d. (7..7.) b a a 7.3. A Beroull-eloszlás Mt a Beroull-ísérletsorozatba, a ísérlete legye ét meetele, A és A. Az A PA p, az A P( A ) p q. Végezzü el a ísérletet -szer, egymástól függetleül. Legye a az számú ísérlet özül azo száma, amelyebe A övetezett be. Korábba már lát- ísérlet sorá az A eseméy -szor övetez be: P( ) Bp(, ) p q ; 0,,,...,. (7.3..) Havacsá Károly, ELTE TTK

120 0 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Ezt az eloszlást Beroull-eloszlása, vagy soszor bomáls eloszlása evezzü, amely dszrét eloszlás. Az alábbaba az eloszlás tulajdoságat smerjü meg részletesebbe. 7.3.) fejezés értéeet -et apu. Normáltság 0 B p, p q. 0 Bzoyítás A bzoyítás sorá felhaszálju a bomáls tételt, mszert ( a b ) a b. (7.3..) 0 Ha most a (7.3.) épletbe végrehajtju az a=p és b=q helyettesítést, aor azt apju, hogy és éppe ezt aartu belát. Az eloszlás alaja p q ( p q ) ( p p ), 0 Az alább ábra p=0, és =00 eseté mutatja a Beroull-eloszlás alaját pálcaábra formájába. Havacsá Károly, ELTE TTK

121 7. Nevezetes eloszláso 7.6. ábra: A Beroull-eloszlás alaja p=0, és =00 eseté A Beroull-eloszlás tehát dszrét eloszlás, amelye eloszlásfüggvéyét a 7.7. ábra mutatja ábra: A Beroull-eloszlás eloszlásfüggvéye p=0, és =00 eseté Reurzós éplet A reurzós éplet alapjá az eloszlás -.. értée, tehát p Bp(, ) Bp(, ). (7.3.3.) p Havacsá Károly, ELTE TTK

122 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Havacsá Károly, ELTE TTK Bzoyítás p p )! )!( (! )!!(! p p p p, B, B p p ) összefüggésre jutu. A Beroull-eloszlás várható értée Tétel. A Beroull-eloszlás várható értée p ) ( M. (7.3.4.) Bzoyítás. A várható érté számítására ét módszert s megmutatu. a. A várható érté defícója alapjá a Beroull-eloszlás várható értée: 0 0 q p )!!(! q p ) ( M. Mvel =0 =- q p )! )!( ( )! ( p q p )!!(! ) ( M, ahol - -et és p-t. Vegyü észre, hogy az összegzése belül most, B q p p. Ha most bevezetjü a új változót, aor erre átírva az összegzést 0 q p )!!( )! ( p q p )! )!( ( )! ( p ) ( M p q ) p p(.

123 7. Nevezetes eloszláso 3 Itt az utolsó lépésbe alalmaztu a bomáls tételt, és azt, hogy (p+q) - =. b. A várható érté számítható az dátorváltozó segítségével s. Az mérés sorá mde egyes méréshez redeljü hozzá egy dátorváltozót, ahol =,,...,. Tehát, 0, ha ha az. ísérletbe az. ísérletbe az A A eseméy valósul valósul meg. meg, Mvel a ísérleteet egymástól függetleül végezzü, ezért az változó függetle va- éppe t ad, tehát az változó összege éppe, vagys.... Számítsu a várható értéet! M( ) M(... ) M( ) M( )... M( ). (7.3.5.) Az dátorváltozó várható értéét már orábba számítottu (7..), vagys tehát a (7.3.5) összege: M( ) p re, M( ) M( ) M( )... M( ) p. Ezzel smét a orábba apott várható értéhez jutottu. A Beroull-eloszlás szórása Tétel. A Beroull-eloszlás szórását az alább összefüggés adja: D( ) pq. (7.3.6.) Bzoyítás. Természetese most s választhatá a özvetle bzoyítást, azaz a szóráségyzet és a szórás defícója alapjá a szórás özvetle számítását. Ehelyett soal öyebbe célhoz érü az dátorváltozó segítségével. Ismét felhaszálju, hogy a fetebe defált... D ( ) D ( )... D ( ) D ( ) D. Az dátorváltozó szóráségyzetére voatozó (7..3) éplet szert D ( ) pq re, Havacsá Károly, ELTE TTK

124 4 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI tehát A szórás pedg: és ez az, amt be aartu lát. A Beroull-eloszlás módusza D ( ) D ( ) D ( )... D ( ) pq. D( ) pq, A Beroull-eloszlása ét paramétere va: és p. Adott eloszlás eseté és p orét számértée. Mözbe szee, majd csöee, ahogya azt a 7.6. ábra eseté láthatju s. Kérdés, hogy mlye addg gaz, hogy B (, ) B (, ). p B (, ) B (, ), gedett p B (, ) B (, ). A fet három összefüggés úgy s írható, hogy p p p p B (, ) B (, ) p p, am a (7.3.3) reurzós formula szert megegyez azzal, hogy Bp(, ) B (, ) p p p. (+) p. Havacsá Károly, ELTE TTK

125 7. Nevezetes eloszláso 5 A mamum ereséseor, tehát azt ell vzsgálu, hogy öveedésével mor vált a (+)p em egész szám, vagy pedg b. (+)p egész szám. Mözbe övesz, ezdetbe az (+)p> B p (,)>B p (,-) relácó teljesül. Ahogy -a, amor megfordul a B p (,)<B p (,-) relácó lesz az gaz. Ez a érté, ahol ez a váltás beövetez az (+)p ( )p. (7.3.7.) Eél a értéél lesz az eloszlása a mamuma, vagys ez a az eloszlás módusza. Tetsü a b. esetet: Ha törtéetese az (+)p érté egész szám, aor va olya teljesül, vagys ( )p. Itt mamuma lesz az eloszlása, vszot eor gaz az s, hogy B (, ) B (, ), am azt jelet, hogy ét mamáls értée s va az eloszlása a értéeél. Ilyeor bmodálsa evezzü az eloszlást. p p =(+)p és =(+)p (7.3.8.) 7.. Példa. Zárthely a hallgató tesztet oldaa meg. 5 tesztérdésre ell válaszol, mde érdésre három lehetséges megoldást íál a teszt, de eze özül csa egy a he- érdésre helyes választ ad? p=/3. Legalább három érdésre adott helyes válasz azt jelet, hogy vagy három, vagy égy, vagy md az öt érdésre helyes a válasz. A Beroull- érdésre lesz helyes a válasz: 3 5 P( 3 ) Bp( 5,3 ) , Havacsá Károly, ELTE TTK

126 6 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI 4 5 P( 4 ) Bp( 5,4 ) 0,04..., P( 5 ) Bp( 5,5 ) , Tehát, hogy legalább három feladat megoldása helyes, ee a h az összege, azaz P( 3 ) 0, elyes: álaszadás eseté egyetle feladat megoldása sem lesz helyes? (0,368) 7.4. A 7elyes? (-0,368=0,8683) 7.4. A Posso-eloszlás leírását a Posso-eloszlás adja (ejtsd Poászo!). A Posso-eloszlás dszrét eloszlás. Álta- -eloszlás írja le. A térbe lye jeleség például az erd be adott területe a fá száma, a t vérsejte száma a mroszóp látómezejébe, adott területe bzoyos övéy egyedee telefohíváso száma; adot - Müller- - Posso-folyamata evezzü. osso-eloszlása a porosz hadseregbe az egy évbe lórúgásotól meghalt atoá számáa becslése volt. Defícó. A -eloszlása =0,,,... egész számo, és a Havacsá Károly, ELTE TTK

127 7. Nevezetes eloszláso 7 Normáltság P( ) e! e! e 0 0 ahol felhaszáltu az smert hatváysor alaot:, ahol. ( 7.4..) e! e, 0 e, ha.! A Posso-eloszlás várható értée és szórása Tétel. A -eloszlás várható értée M ( ). (7.4..) Bzoyítás. M e e e, 0!!! e hsze helyettesítéssel: 0 e! Tétel. A -eloszlás szóráségyzete D ( ), (7.4.3.) és szórása D( ). (7.4.4.) Bzoyítás. D M( ) M ( ) e.,! 0 Havacsá Károly, ELTE TTK

128 8 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI 0 tehát a szórás:! 0! 0!! 0 D e e e e, D. e! e Arra jutottu tehát, hogy a Posso-eloszlás paramétere egyúttal az eloszlás várható értée és szóráségyzete s. Az eloszlás alaja A Posso-eloszlás alaja hasoló a Beroull-eloszlás alajához. Meél sebb a p és meél agyobb, mözbe, a Posso-eloszlás aál özelebb es a Beroulleloszláshoz. Ilye feltétele mellett a Posso-eloszlást a Beroull-eloszlás özelítésére s lehet haszál. A 7.8. ábrá a -eloszlás (tel voal), és a p=0,, =00 -eloszlás (potozott voal) összehasolítása látsz ábra: A Posso--eloszlás (potozott voal) p=0,, =00 paramétereel 7.3. Példa. Radoatív ayag bomlásáa méréseor a Geger Müller-számlálóval perceét átlagosa =0 ége, hogy fél perc alatt em érez beütés a számlálóba? Megoldás: fél perc alatt a beütés várható értée: =0 [/m] 0,5 [m]=5. A beütésszámra Posso-eloszlást feltételezve, aa va- 0 5 P( 0 ) e 0! 5 0, Havacsá Károly, ELTE TTK

129 7. Nevezetes eloszláso A fet példa adatat felhaszálva adju meg a beütésszám szórását! 7.6. Adju reurzós formulát a Posso-eloszlásra! 7.5. A geometra eloszlás Egy ísérlete ét meetele va A és A P( A ) p és P( A ) q p. A ísérletet egymástól függetleül soszor elvégezve, és ezt a so ísérletet tetsü egy ísérlete. A ísérletet addg végezzü, ameddg az A eseméy el ször beövetez. A ísérlet meetele tehát A -ból és A-ból álló sorozat. A valószí A eseméy. Tehát lehetséges értée:,, 3,..., vagys, hogy az A eseméy a. P P q p, ahol =,,..., ( 7.5..) Ezt az eloszlást geometra eloszlása evezzü. Normáltság p P( ) pq q p, q q ahol haszáltu a geometra sorra voatozó összegépletet: q q. (7.5..) q Az eloszlás alaja 7.9 Havacsá Károly, ELTE TTK

130 30 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI A geometra eloszlás várható értée Tétel. A geometra eloszlás várható értée: M( ). (7.5.3.) p Bzoyítás q p p, M q p ahol felhaszáltu azt a függvéysorora érvéyes szabályt, hogy f f f A geometra eloszlás szóráségyzete f. Tétel. A geometra eloszlás szóráségyzete: D q. (7.5.4.) p Bzoyítás felhaszálva, hogy D q, p p M( ) M ( ) q p M( q ) pq, ( q ) amt (7.5.) étszeres derválása utá apott ( )q, ( q ) fejezés s átalaításával yerhetü. Havacsá Károly, ELTE TTK

131 7. Nevezetes eloszláso Az epoecáls eloszlás Defícó. A ecáls eloszlású, ha f e 0, ha 0 ha 0. (7.6..) e- F( ) P( e t ) e dt (7.6..) 0, ha 0., ha 0 Az eloszlás alaja 7.0 Normáltság Az hogy a (7.6.rzésével látható be. f ( )d 0d 0 0 e 0 e d. Havacsá Károly, ELTE TTK

132 3 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI 7. Normáltság Az hogy a (7.6.rzésével látható be. f ( )d 0d 0 A epoecáls eloszlás várható értée M 0 f 0 e 0 e d. d e ahol az tegrál parcáls tegrálással számolható. Szóráségyzet és szórás D 0 d, (7.6.3.) e d Az tegrál tt s parcáls tegrálással számolható. Tehát a szórás: 0. (7.6.4.) D( ). (7.6.5.) Havacsá Károly, ELTE TTK

133 7. Nevezetes eloszláso 33 l- otg em ért véget, öröfjú tulajdosággal redelez. A fzából smeretes, hogy egy radoatív atom élettartama epoecáls eloszlású. Hasoló módo epoecáls eloszlású egy lámpa vagy egy mroprocesszor élettartama Példa. A Mössbauer-effetus mérése sorá haszált Co 57 atomo felezés deje 0,75 év (70 ap). Határozzu meg, hogy egy atom élettartamáa meora a várható értée? Megoldás: Az élettartam epoecáls eloszlást övet. Az eloszlás függvéy tehát F( ) e hogy az atom az F()=/ elboml. Tehát: ahoa e, l. feladat adataval: l 0,94. 0, 75 év év Mvel a várható érté, e a feladat megoldása, azaz egy atom élettartamáa várható értée: )=,08 év A ormáls eloszlás (Gauss-eloszlás) A statsztába az egy leggyaorbb eloszlás a ormáls eloszlás, amelyet soszor Gauss-elosz a ormáls eloszlás olya gyara. Havacsá Károly, ELTE TTK

134 34 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Defícó. A ség v f m e, ahol. (7.7..) A eloszlása ét paramétere va m és. Az m pedg poztív álladó. A ormáls eloszlás szoásos jelölése:. A ormáls eloszlás eloszlásfüggvéye apható meg: Normáltság F( ) f t dt e dt. (7.7..) t m A ormáls eloszlás folytoos eloszlás, tehát az alább tegrálról ell belát, hogy értée egységy: f d e d. m alara. Az új változó: Az új változóval fejezve az tegrált: m d u ; du. f ( )d + e u du u e du, és ez az amt be aartu lát. Itt felhaszáltu az alább evezetes tegrál értéet: e 0 d. (7.7.3.) Az eloszlás alaja Az m=5 és 7.. ábrá látható. Havacsá Károly, ELTE TTK

135 7. Nevezetes eloszláso ábra: Az Az m=5 és 7.3. ábrá látható. Várható érté 7.3. ábra: Az m=5 és Tétel. Az m és eloszlás várható értée m, vagys m M e d m. (7.7.4.) Havacsá Károly, ELTE TTK

136 36 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Bzoyítás m d u ; du, m u u M m e d ue du e du m, (7.7.5.) hsze (7.7.5)- szó az egész valós tartomáyo. A másod tegrál értée m, felhaszálva a (7.7.3) azoosságot. Ezzel beláttu, hogy gaz a várható értére voatozó tétel. Szóráségyzet Tétel D m m e d. (7.7.6.) Bzoyítás Ismét bevezetjü a fetebe már megsmert új változót: m d u ; du. Ezzel fejezve a (7.7.6) fejezés tegrálját: m u D m e d u e du. Most haszálva azt, hogy u u e ue, majd parcálsa tegrálva a apott fejezést, éppe a (7.7.6) fejezésre jutu. Havacsá Károly, ELTE TTK

137 7. Nevezetes eloszláso 37, hogy az gfüggvéyée mamuma m-él va, a függvéy fleós potja pedg az m és az potoba vaa. Az F()=/ egyelet megoldása s =m. Az m tehát emcsa az eloszlás várható értée, haem szmmetrategelye, módusza és medája s A stadard ormáls eloszlás A statsztába tütetett szerepe va aa a ormáls eloszlása, amelye paramétere: m=0 és. Az lye ormáls eloszlást stadard ormáls eloszlása evezzü és szoásos jelölése N(0,), az eloszlásfüggvéyé pedg. gfüggvéye: e, ahol. (7.8..) 7.4 ábrá látható. 7.4 A stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéye Az eloszlásfüggvéy fejezését megapju az m=0 és a paramétere beírásával a (7.7.) fejezésbe: Havacsá Károly, ELTE TTK

138 38 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI t ( ) t dt e dt. (7.8..) Az eloszlásfüggvéy alaját a 7.5 ábrára rajzoltu ábra: A stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéye A stadard ormáls eloszlás tulajdosága A stadard ormáls e függvéy, azaz Az eloszlásfüggvéyre gaz az alább azoosság: ( ) ( ), (7.8.3.) ( ) ( ), (7.8.4.) ( t )dt ( t )dt ( t )dt ( t )dt ( t )dt ( t )dt. Az tegrálo fejtésével azt apju, hogy ( ) ( ) ( ), ahoa átredezéssel adód a (7.8.4) azoosság. Havacsá Károly, ELTE TTK

139 7. Nevezetes eloszláso 39 Tétel Ha a N(0,) eloszlású, aor gaz az, hogy P( ) ( ). (7.8.5.) Bzoyítás A tétel bzoyítása a (7.8.4 P( ) A ormáls eloszlás tovább tulajdosága ( t )dt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tétel. eloszlás s m f ( ). (7.8.6.). Bzoyítás u ( u ) e, ahoa u m helyettesítéssel azt apju, hogy m e m. Ie látsz, hogy -val osztva A és függvéye értéet táblázatba szotá megad. A szmmetratulaj- 0 értéere megad a táblázatot. A stadard ormáls eloszlásra gaz az alább tétel. áls eloszlás eloszlásfüggvéyével az alább tétel szert. Havacsá Károly, ELTE TTK

140 40 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Tétel Bzoyítás m F ( ). (7.8.7.) F( ) e t m dt. Ie t m u és du dt helyettesítéssel azt apju, hogy F( ) m e u, m m du ( ) hsze orábba már beláttu, hogy ( ) 0. A fet ét tétele gyaorlat szempotból az a értée már számítható. A Függelé 4.4. fejezetébe megtalálható a stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéyée táblázta. Egy tovább fotos tételt vezetü le az eloszlásra voatozóa. Tétel Ha a, aor a várható értére szmmetrus (m Bzoyítás P( m P( m m ) ( ). (7.8.8.) m m m m m ) F( m ) F( m ) ( ) ( ) ( ), ahol haszáltu a (7.8.7) és a (7.8.4) azoosságoat. A ormáls eloszlása a statsztába özpot tárgyal fogu. Havacsá Károly, ELTE TTK

141 7. Nevezetes eloszláso 4 Gyors feladato 7.7. A stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéyée táblázata segítségével számolju eloszlású változó a várható érté örül (m tartomáyba es = és esetebe? (0,687, 0,9545, 0,9973) mlye értée mellett es a eloszlású változó a várható érté örül (m tartomáyba p=0,99 575) 7.9. Bzoyítsu be, hogy ha eloszlása, aor az m új változó eloszlása N(0,). A változót ezért stadardzált változóa evezzü. A bzoyítás sorá haszálju fel a (4.8.) és (4.8.) összefüggéseet. A továbbaba ormáls eloszlásból származtatott eloszlásoat vzsgálu Függetle ormáls eloszláso össze Tétel. Ha és g változó, eloszlása N(m, eloszlása N(m, aor a N(m +m, ) f ( ) ( m m ) ( ) e. (7.9..) ( ) Bzoyítás. Nem bzoyítju azt az állítást, hogy az eloszlás ormáls eloszlású. Vszot, ha már tudju, hogy az eloszlás ormáls, aor az általáos tétele alapjá öye - összegée várható értée: M( ) M( ) M( ) m m, yzete: D ( ) D ( ) D ( ). Ie már övetez a várható értére és a szórásra voatozó állítás. Havacsá Károly, ELTE TTK

142 4 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI 7.0. Logartmus ormáls eloszlás Defícó. A á- új változó ormáls eloszlású. l A defícó alapjá számolhatju a logormáls eloszlás eloszlásfüggvéyét. Az változó eloszlásfüggvéye ormáls, tehát tehát G( y ) P( y ) e dt. F( y ( t m ) ) P( ) P(l l ) P( y ), F( ) l e ( t m ) dt. (7.0..) Megaptu tehát a logormáls eloszlás eloszlásfüggvéyét. Ie derválással jutu a f ( (l m ) ) F ( ) e ( 0 ) (7.0..) A logormáls eloszlás várható értée és szóráségyzete D ( ) M ( ) M 0 (l m ) m M( ) e d e. (7.0.3.) ( ) e 0 (l m) d e m e m ( e ). (7.0.4.) Havacsá Károly, ELTE TTK

143 7. Nevezetes eloszláso 43 A logormáls eloszlás alaja 7.6 A logormáls rmé valamely méretée, hosszáa, térfogatáa, súlyáa eloszlása. Példaét a go- törmelé mérete stb. so esetbe logormáls eloszlást övet. Tétel. Ha a =b a változó s logormáls eloszlású. Bzoyítás. A logormáls eloszlás defícója alapjá az változó ormáls eloszlású. Ha logartmusát épezzü, aor azt apju, hogy l al lb, márpedg a ormáls eloszlás leárs traszformáltja s ormáls eloszlás, am azt jelet, hogy az leárs méret hatváyfüggvéye Ha a val eloszlású aor lássu be, hogy az +b új változó szté ormáls eloszlású m am b, a paramétereel! Haszálju a (4.8.) összefüggést! Havacsá Károly, ELTE TTK

144 8. SZÁRMAZTATOTT ELOSZLÁSOK ormáls eloszlásból származtatu. Ezeet az eloszlásoat em tárgyalju olya részletességgel, g- ltalába táblázato formájába áll redelezésre, lletve a statszta számítógépes programo s szolgáltatjá ezee a függvéyee az értéet. 8.. A -eloszlás Defícó. Legye,,..., darab függetle, N(0,) zü a, a (8...)... defícóval. A -eloszlását szabadság foú -eloszlása evezzü. ségfüggvéye a 8.. ábrá látható =5 és =5 értée mellett. A ozóa csa 0 poztív valós számo halmaza, a 0-t s beleértve. A -eloszlás várható értée M. A 8.. ábrá látsz, hogy öveedésével a görbe (és vele a várható érté s) egyre ább jobbra tolód. Mvel a függvéy em szmmetrus, ezért a várható érté és a módusz em es egybe. A -eloszlás szóráségyzete A -eloszlás szóráségyzete: D ( ). -el a függvéy egyre szélesed. A övesz, a -yre Havacsá Károly, ELTE TTK

145 8. Származtatott eloszláso A -eloszlás A -eloszlásból származtatju a -eloszlást. Defícó. A (8...)... szabadság foú -eloszlása evezzü. A -eloszlás -eloszlásé. Azt godolhatá, hogy a -eloszlás ostrucója ayra mesterélt, hogy távol áll a gyaorlat alalmazásotól. Ez em így va. Példaét megemlítjü, hogy az deáls gáz sebességeloszlását leíró Mawell-eloszlás =3 szabadság foú -eloszlás. Ebbe az esetbe a és 3 v v vz 3, v y ; ; vma vma ma és N(0,) eloszlásúa. Ha a sebességet v-vel jelöljü, aor v v v v, y z v ma pedg az a sebesség, ahol az eloszlása mamuma va. Ha bevezetjü a v v ma Havacsá Károly, ELTE TTK

146 46 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI jelölést, aor a Mawell- d f ( ) 4 e, amely megadja, hogy az összes gázatomból d-e va a dv v sebessé- (moderátorral) egye- jutó poztrooa A Studet-eloszlás Defícó. Legyee függetle, N(0,) el Ez t. (8.3..)... A t szabadság foú Studet-eloszlása evezzü. Az eloszlást éha t-eloszlása s evez. A Studet-8.. ábrá látható. 8.. ábra: Az N(0,) eloszlás (f()) és az =5 szabadság foú Studet-eloszlás A Studet-eloszlás a 0 potra szmmetrus eloszlás. Értelmezés tartomáya az egész valós számegyees. Az Studet- értéere tart a stadard hez. A 8.. ábrá a Studet-eloszlás és a sta- A Studet-eloszlás várható értée M(t)=0, de csa eseté létez. Belátható, hogy = eseté em létez a várható érté. Havacsá Károly, ELTE TTK

147 8. Származtatott eloszláso 47 A Studet-eloszlás szóráségyzete D ( t) M ( t ) M ( t) M ( t ), ha Az F-eloszlás Defícó. Legyee a m és N(0,) F defálja: F m m. (8.4..) Az F m, szabadság foú F-eloszlása evezzü. Az =5, m=5 szabadság foú F-8.3. ábrá látható. Az ábra az összehasolítás edvéért az =5 szabadság foú -gvéyét s mutatja. A függvéy értelmezés tartomáya az valós számo öre ábra: Az =5, m=5 szabadság foú F-eloszlás (g()) és az =5 szabadság foú -eloszlás Havacsá Károly, ELTE TTK

148 9. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYEI l- elvleg, md Nagy számo törvéye, mert 9.. A agy számo törvéye (Beroull-törvéy) A véletle jelesége apcsá már megsmeredtü a ísérlet agy számo törvéyével. relatív gyaorság stabltást mutat, és egy álladó érté örül egyre sebb gadozásoat mutat. A agy az érté, amhez a relatív gyaorság tart. Tétel. p, és számú függetle ísérletet végezve a ísérlete sorá az eseméy gyaorsága, aor gaz az, hogy lm P p 0. (9...) Szavaba megfogalmazva a tétel állítását, a ísérlete számáa öveedésével, ége agyobb legye mt ó- Ez a tétel a agy számo törvéyée precíz megfogalmazása. Szoás ezt rövde úgy ír, hogy p. öveedtével a relatív gyaorság 9.. övetez az, hogy lm p 0, Havacsá Károly, ELTE TTK

149 9. A agy számo törvéye 49 í Tétel. Ha,,, szórása azoos, azaz )=m, =,,,, aor... m, (9...) usa tart a özös várható értéhez. Az 5.0 )=m, =,,,, aor... M m. A (9..epée emcsa a várható értée egyez meg a özös várható értéel, haem az átlag agy valószí modó állítás, hsze orábba a várható érté apcsá már láttu, hogy a várható érté az 9.3. A özpot határeloszlás tétel elméletbe, ezért hívjá özpot határeloszlás tétele (soszor cetráls határeloszlás tétel éve szerepel). Tétel. Ha,,, rható értée és szórása azoos, azaz )=m és (=,,, ), aor... m lm P e du ( ). (9.3..) változóból épezett új ívül fotos állítást, ahol u Havacsá Károly, ELTE TTK

150 50 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI... m, =,,... (9.3..) Az állítás az, hogy az F( ) eloszlásfüggvéye sztochasztusa tart az N(0,) stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéyhez, azaz F( ) ( ). meg ssé részletesebbe a tétel állítását. A tételt ugya em bzoyítju, de azt öye beláthatju, hogy )=0 és )=, hsze M( ) M( ) M( )... M( ) m m m 0, és D ( ) D ( )... D ( )... m D ( ) D Ezzel legalább azt beláttu, hogy teljesüle az N(0,) eloszlás várható értéére és szórására voatozó értée. Az változót az... összeg stadardzáltjáa evezzü. Általába s gaz az, hogy a. M ( ) D( ) (9.3.3.) új változó a stadardzáltja, amelyre gaz az, hogy ( M ) 0, és D( ). d- változó eloszlása stadard ormáls eloszlás. Ee az állítása a övetezméye, hogy az... m N( m, ) ormáls (Gauss-) eloszlású (lásd a 7.0. gyors feladatot!). A gyaorlat azt mutatja, hogy ez az állítás már vszoylag s érté mellett s jó özelítéssel teljesül. Ezt mutatja a 9.. ábra, ahol a (,) tervallumo egyeletes eloszlású f l- Havacsá Károly, ELTE TTK

151 9. A agy számo törvéye 5 oszlású és 3 változóal épezett f és f 3 tszaa, amelye a és a 3 9. eloszlását mutatja * Látsz tehát, hogy a özpot határeloszlás tétel redívül fotos állítása az, hogy az rlatba ezért találozu olya gyara a ormáls (Gauss-) eloszlással, mert so esetbe hogy egy jeleség több folyamat összegée eredméyeéppe alaul. Tpus példája ee a mérése statsztus hbája. Már orábba volt szó arról, hogy a sta- orá a mérés adato szórását. Mchelso féysebesség mérése sorá láttu s (lásd.9. ábra), hogy 00 -eloszlás harag alaú görbéjével. ló módo a - változó összege, tehát elég agy szabadság fo eseté a - Vaa olya folyamato, ahol so véletle hatás érvéyesül, de eze a hatáso em változó logartmusára * változó összegée eloszlása hogya özelít a ormáls eloszláshoz. Havacsá Károly, ELTE TTK

152 5 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI a változó logartmus ormáls eloszlású lesz. Megjegyzés dardzált változatáa eloszlása stadard ormáls eloszlás. Egyes megfogalmazásoba az os legye. Példa. A gyaorlatba soszor felmerül az a érdés, hogy háy mérést ell végezü értéél jobba megözelítse p p egy s szám)? Tetsü a,,, ltozóa, amelye várható értée )=m, szórásu pedg (=,, ). A éplet szert defált tehát (7.8.5) szert Most azt szereté, hogy legye, ahoa P( ) ( ). ( ) p p ( ). A stadard ormáls eloszlás táblázatából a p értéée smeretébe Tehát oda jutottu, hogy... m teljesül p... m s p hogy teljesüljö a Havacsá Károly, ELTE TTK

153 9. A agy számo törvéye 53 feltétel, aor -re azt apju, hogy. Tehát, lye számú mérés eseté a mérés adato átlaga p érté özelségébe erül. Havacsá Károly, ELTE TTK

154 0. A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI -számítás öálló fejezete, amely mérése eredmé- ú. változó smeretle eloszlásfüggvéyere és eze paraméterere. A matemata statszta fejezete: a mtavétel elmélete, becsléselmélet, hpotézsvzsgálat, orrelácó- és regresszóaalízs, szóráselemzés, ísérlete tervezése, hbaszámítás. 0.. Statszta mtavétel statszta soasága evezzü. Például golyóscsapágy golyó halmaza, valamt a le so elemet. lehetséges értée a soaság elemehez redelt számértée. eloszlását a soaság eloszlásáa evezzü. A statszta vzsgálat célja az, hogy mtavétellel (ísérlete végzésével) a soaság eloszlására voatozóa formácót szerezzü. A soaságból választu, és a választo a golyóscsapágy golyó halmazából választott Legyee az ezehez tartozó számértée a választás sorredjébe:,, 3,,. Ez egy mta. Például,,,. Ematt,, 3,, mtaeleme e- Vegyü észre, hogy az jelölése ét jeletése lehet. Vagy egy egy orét elemét jelet, és lyeor egy számértéet helyettesít, vagy pedg mt való- - mdg vlágosa derül, hogy éppe mely jeletést haszálju. Választhatu vsszatevéssel vagy vsszatevés élül. Ha vsszatevéssel választu (mdg ugyaolya módo), aor az,, 3,, tozó függetlee, azoos eloszlásúa és eloszlásu megegyez a So esetbe, ha a választás vsszatevés élül, aor s teljesül a függetleség. Például ha a soaság elemee a száma olya agy, hogy evés számú elem választása az eloszlást em befolyásolja., hogy reprezetatív mta- Havacsá Károly, ELTE TTK

155 0. A matemata statszta eleme 55 mtavétel, ba a gyaorlatba godosa ell ügyel arra, hogy a reprezetatvtás bztosítva legye, és zlását szereté 300 tagjaa magasságát ell mtaelemee választa. e választottu, aor segítségüel öveteztet tudu a soaság eloszlására és az eloszlás paraméterere. 0.. Emprus eloszlásfüggvéy A soaság eloszlásfüggvéyét például özelíthetjü a mtaeleme segítségével létrehozott emprus eloszlásfüggvéyel. Defícó. Tetsü az,,, 3, F(),, 3,, a soaság elmélet eloszlásfüggvéye. Ha az poto mdegyéhez hozzáredelü / -eloszlást apu. Az ehhez tartozó eloszlásfüggvéy F () emprus eloszlásfüggvéy, amt úgy rajzolu fel, ahogy a dszrét eloszlás eseté orábba eljártu: ahol azo - száma, melyere. F, (0...) A defícóból látsz, hogy az F () emprus eloszlásfüggvéy a eseméy relatív gyaorságát adja. Korábba a mérés adato leíró jellemzése sorá már láttu, hogy a umulatív relatív gyaorsággal jellemez gelmélet smeret brtoába most még többet s állíthatu. A (0..övetez, hogy am a eseméy gyaorságát adja. F ( ), Korább smerete alapjá a eseméy P( ) F( ). Ha most - bomáls eloszlású (Beroull- p=f(). Ie a Beroull-eloszlás várható értéét felhaszálva az övetez, hogy M ( F ) F( ), Havacsá Károly, ELTE TTK

156 56 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI vagy -el elosztva az egyelet mdét oldalát F ( ) F( ) M. A agy számo Beroull- F ( ) F( ), vagys az emprus eloszlásfüggvéy sztochasztusa tart az elmélet eloszlásfüggvéyhez. Azt aptu tehát, hogy az emprus eloszlásfüggvéy olya jó tulajdoságú statszt gvéyt s. Defícó. yyel, amelyet az ú. Ismét egy,, 3,, tából dulu. Osszu fel azt az tervallumot, amelybe az értée ese so s hosszúságú szaasz összegére. A j-ed j szaasz fölé rajzolju téglalapot, amelye magassága legye: j j j re, (0.3..) ahol a mtaeleme száma, j / a j. tervallumba yy tervallum fölé emelt téglalapo együttese rajzolja az f () mot. u az.gramról az emprus eloszlásfüggvéyhez hasolóa belátható, hogy sztochasztusa tart vagys f ( ) f ( ) Emprus várható érté Az s.,,, 3, Defícó. Az elmélet várható érté özelítésére haszálatos az emprus várható érté, amelye defícója: Havacsá Károly, ELTE TTK

157 0. A matemata statszta eleme 57. (0.4..) Ezt a defícót a mérés adato leíró jellemzése sorá már láttu. Most azoba a va- -számítás megsmert módszerevel az emprus paramétere tulajdoságat mélyebbe s megsmerhetjü. Mvel,, 3,, mtaeleme u, stb.). Az emprus várható érté elmélet várható értée Tegyü fel, hogy a soasága létez az elmélet várható értée, vagys M m, amely az elmélet eloszlás várható értée. Kérdés, hogy az emprus várható érté várható értée hogya vszoyul az elmélet várható értéhez? Tétel. Az emprus várható érté várható értée megegyez az eloszlás m elmélet várható értéével. Bzoyítás. A várható érté épzésée szabályaval épezzü várható értéét. A bzoyítás sorá haszálju, hogy valamey mtaelem eloszlása azoos, és várható értéü azoos, és megegyez a soaság elmélet várható értéével, vagys M ( ) m mde értére. Tehát M M M M m m és ezzel beláttu a tétel állítását., (0.4..) Az lhatju. Az emprus várható érté elmélet szórása Tegyü fel, hogy a soasága létez a szóráségyzete, azaz meora az emprus várható érté szórása? D. Kérdés, hogy Tétel. Az emprus várható érté szórása a soaság elmélet szórása osztva -el, ahol a mtaeleme száma. Havacsá Károly, ELTE TTK

158 58 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Bzoyítás. A szóráségyzet épzés szabályat alalmazzu, és felhaszálju, hogy a mtaelem szóráségyzete azoos és megegyez a soaság szóráségyzetével, vagys D ( ), mde eseté. D D, és e gyövoással apju az emprus várható érté szórását: D. (0.4.3.) 0.5. Emprus szóráségyzet Az emprus várható értéhez hasolóa az,, 3,, mta elemee s szóráségyzet s, ahogya az már orábba láttu a mérés adato leíró jellemzése sorá. Most megsmételjü a defícót, majd a valószí ségelmélet módszerevel az emprus szóráségyzet újabb tulajdoságat mutatju meg. Defícó. Az emprus szóráségyzet jele s, és a defícója: s ( ). (0.5..) ó- Az emprus szóráségyzet elmélet várható értée Tétel. Az emprus szóráségyzet várható értée a soaság szóráségyzetée ( )/szerese, vagys ). (0.5..) M ( s Bzoyítás. Az emprus szóráségyzettel apcsolatba orábba már beláttu (..3) az alább összefüggést: s. Havacsá Károly, ELTE TTK

159 0. A matemata statszta eleme 59 z A továbbaba bevezetjü a z z m;,,,. Felhaszálva z defícóját, gaz az alább összefüggés s: Ie s z -el: z z m s z z Ie már adód a tétel bzoyítása: M m. z z s M z M z M z M z zz j j meységet, melye átlaga.. Itt haszáltu, hogy z, z j, j -t- tagjáa várható értée zérus, hsze a másod tudju, hogy függetle változó eseté értée zérus. A tétel alapjá tehát látju, hogy az emprus szóráségyzet szépséghbája, hogy. Ezért a gyaorlatba s helyett az s s (0.5.3.) ú. orrgált emprus szóráségyzettel dolgozu. Erre már teljesül, hogy s M. (0.5.4.) Látsz, hogy agy -re s és s eltérése elhayagolhatóvá vál. Megmutatható az s, hogy s s defícója alapjá övetez, hogy s, hsze határértébe s és s megegyez. Az emprus várható érté és az emprus szóráségyzet defícóhoz hasolóa az,, 3,, mta elemee felhaszálásával defálható az emprus medá, az emprus terjedelem, a. emprus mometum stb. Például a. emprus mometum defícója: Havacsá Károly, ELTE TTK

160 60 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI A. emprus cetráls mometum defícója pedg az alább:. (0.5.5.). (0.5.6.) Az emprus eloszlásfüggvéy és az emprus é- ) özelítésére haszálatos. mlye az eloszlásu. Általáosa em válaszolju meg a érdést, de a gyaorlat életbe gyaor ormáls eloszlású soaság eseté megadju és s eloszlását és s eloszlása ormáls eloszlás eseté Tétel. N(m,) eloszlású soaság eseté eloszlása: Nm,. Bzoyítás. Az függetle ormáls eloszlású, mt orábba láttu, maga s ormáls eloszlású. Korábba azt s láttu, hogy M ( ) m, D( ). Tehát eloszlása: Nm,. (0.6..) Az s eloszlásáa megeresése dju meg. Tétel. N(m,) eloszlású soaság eseté az foú eloszlású. s szabadság Megjegyzése:. Mvel s s, ezért az s s szabadság foú eloszlású való-. Belátható az s, hogy é s s csa ostasba ülöböze, ezért és s s függetlee. és s Havacsá Károly, ELTE TTK

161 . A BECSLÉSELMÉLET ELEMEI elmélet eloszlásfüggvéyée alaja smert (tudju például, hogy a soaság ormáls eloszlású), de em smerjü az eloszlás paraméteret (pl. ormáls eloszlás eseté az m és paramétereet). A becsléselmélet tárgya az smeretle paramétere becslése, amelyet a mtavétel sorá apott adato felhaszálásával végzü el. Ha az smeretle paramétert u l- Az tegyü fel, hogy az eloszlásfüggvéy csa egy paraméter függ. Ismert tehát az F(,a) eloszlásfüggvéy, de em smerjü az a paraméter értéét. az a paraméter becslésére az,,, mtaeleme aˆ aˆ(,,..., ) függvéy szolgálhat az a paraméter becslésére. gvéyeet statszta függvéyee, vagy rövde statsztáa evezzü. Mvel a sta- Kérdés azoba, hogy hogya válasszu meg a statszta függvéyt? Az a paraméter jó becsléséhez haszált ágoal ell redeleze. Hogya juthatu jó becslésehez? Az eléggé ylvávaló, hogy az â statsztát aor tetjü az a paraméter jó becslésée, ha eloszlása mél jobba ocetrálód az a paraméter valód értée örül. A potosabb fogalmazás érdeébe felhaszálju az alább defícóat. Defícó. Az a paraméter becslésére haszált â statsztát torzítatlaa evezzü, ha a-val, vagys M ( aˆ) a. Példaét, az elmélet várható értée az emprus várható érté torzítatla becslése. Az elmélet szóráségyzete az emprus szóráségyzet torzított becslése, vszot a orrgált emprus szóráségyzet már torzítatla becslés. Defícó. Két â és â statszta özül azt tetjü hatásosabba, amely szórása sebb. Tehát, ha Havacsá Károly, ELTE TTK

162 6 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI D aˆ ) D ( aˆ ), ( aor az â becslés hatásosabb, mt az â becslés. Defícó. Az a paramétere egy ha â sztochasztusa tart a-hoz, vagys: aˆ, aˆ,..., aˆ becsléssorozatát ozsztese evezzü, aˆ a. Például az emprus várható érté ozsztes becslése a várható értée, hsze m. Hasoló módo az emprus szóráségyzet, bár em torzítatla, de ozsztes becslése a szóráségyzete, hsze s. a fet tulajdoságoal, és azo özül mél többel? Több lye módszer létez, eze özül az alábbaba a mometumo módszerével és a mamum lelhood módszerrel smeredü meg... A mometumo módszere Elmélet mometumo A orábbaba defáltu már a statszta soaság elmélet és emprus mometumat. Most összefoglalju a mometumoal apcsolatos eddg smereteet. A. elmélet mometuma: M( ). (...) A. elmélet mometumot dszrét esetbe az alább éplet alapjá számolu: p, (...) ahol az értée a ó lehetséges értée, a p -számo pedg a hozzá- Folytoos esetbe az elmélet. mometum számolása az alább: f ( ) d. (..3.) változó várható értée: Havacsá Károly, ELTE TTK

163 . A becsléselmélet eleme 63 M( ). Az elmélet. cetráls mometum defícós egyelete: M M( ). (..4.) Dszrét esetbe az elmélet. cetráls mometum számolása: M( ) p. (..5.) Folytoos esetbe az elmélet. cetráls mometum számolása: M( ) f ( ) d. (..6.) ó- Gyors feladat D ( )... Mutassu meg, hogy a µ.. Mutassu meg, hogy a µ és az mometumoal! Emprus (tapasztalat) mometumo Az,, 3,, mta elemee felhaszálásával defálható az emprus mometumo s. Mt már orábba láttu a. emprus mometum defícója:. (..7.) A. emprus cetráls mometum defícója pedg az alább:. (..8.) Felhívju a fgyelmet arra, hogy az elmélet mometumo esetébe az értée a va- etumo eseté az értée az Havacsá Károly, ELTE TTK

164 64 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI A mometumo módszere Eze utá rátérhetü a mometumo módszerée tárgyalására. A módszer léyege az, hogy a eresett paraméter a mtaeleme segítségével. A mometumo módszere tehát potbecslés. Példa ( ) e m- Határozzu meg a mometumo módszerével az zett epoecáls eloszlás paraméterét. Korábba már láttu, hogy f M ( ) f ( ) d. 0 A becslésére haszált ˆ -t tehát úgy eressü meg, hogy a ˆ -pal fejezett elmélet mometumot ometummal: Tehát a ˆ paraméter ˆ. ˆ. (..9.) Példa A mometumo módszerével adju becslést a ormáls eloszlás m és paraméterére! A mometumo módszere alapjá a várható értére úgy adhatu a becslést, hogy az, és mvel ezért m becslésére a mtaeleme átlagát haszálhatju: m és, (..0.) Havacsá Károly, ELTE TTK

165 . A becsléselmélet eleme 65 mˆ. (...) A mometumo módszere alapjá a szóráségyzetre úgy adhatu becslést, hogy a Tehát. (...) Mvel, és e ˆ p s. Azt aptu tehát, hogy a mometumo módszere alapjá a szóráségyzetre az emprus szóráségyzet ad becslést... A mamum lelhood módszer A módszer eloszláso mutatju be. Legye P( ) p(, a), vagys szorítozzu egy a paraméter becslésére. Adott,,, matt: L(,,...,, a) p(, a) p(, a) p(, a). (...) Az L függvéyt lelhood függvéye evezzü. A módszer léyege az, hogy eressü az a paramétere azt az â értéét, amely mellett L-e mamuma va, vagys a fet Látsz, hogy a mamum lelhood módszer s potbecslést ad. A mamum megeresését általába a dfferecálszámítás módszere szert végezzü el. Ismeretes, hogy a mamum megereséséhez a függvéy a paraméter szert derváltját ba a (.. szorzat derváltja pedg boyolult fejezés. EL, haem ll mamumát eressü. A logartmusépzés sorá a szorzat összeggé vál, és az összeg Havacsá Károly, ELTE TTK

166 66 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI ezért a mamumhelye a logartmusépzés matt em változa, tehát ugyaott vaa, ahol az L függvéy mamuma. Ilyeor tehát az l L( â ) összeg mamumát eressü, azaz megoldju a l p(,â ) d l L( â ) 0 (...) dâ egyeletet. -e, vagys, hogy teljesül-e a megoldás helyé a feltétel. d l L( â ) 0 d â Ha az L alamey paraméter függvéyébe ell elvégezü, és lyeor a (..3) fejezésbe parcáls derválta szerepele. Példa. A Posso-eloszlás eseté adju becslést a paraméterre a mamum lelhood módszerrel. A Posso- P(, ) e! fejezés adja. Végezzü függetle ísérletet, melye sorá a változó mért értée:,,,. A lelhood függvéy tehát: L(,,...,, ˆ) A lelhood függvéy logartmusa: ˆ ˆ ˆ! e! e...! l ˆ l! ˆ l L(,,...,, ˆ). A lelhood függvéy logartmusáa derváltja: e. Havacsá Károly, ELTE TTK

167 . A becsléselmélet eleme 67 ahoa d l L(,,..., d ˆ, ˆ) ˆ ˆ. Azt aptu tehát, hogy a Posso-eloszlás paraméterére a lelhood becslés alapjá apott ˆ a mérés eredméye számta özepe, amely a várható érté torzítatla becslése. A mamum lelhood módszer folytoos esetbe Folytoos eloszlás eseté a lelhood-függvéy alaja: 0, L f, a) f (, a) f (, ). (..3.) ( a Egyébét az a paraméter becslésére haszált â megeresése ugyaúgy megy, mt dszrét esetbe. Példa. Tetsü ugyaazt a feladatot, amelyet a mometumo módszerével orábba már megoldottu. Tehát most a mamum lelhood módszerrel adju becslést az epoecáls eloszlás f ( ) e. A (..3) feje- zés alapjá a lelhood-függvéy: L ˆ) ˆ ˆ ˆ (. e e e Vesszü a lelhood függvéy természetes alapú logartmusát: l L l ˆ ˆ. Képezzü ee a függvéybe a derváltját, és tegyü l L ˆ ˆ 0. ˆ paraméter: Havacsá Károly, ELTE TTK

168 68 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Havacsá Károly, ELTE TTK ˆ. Látju, hogy ugyaarra az eredméyre jutottu, mt a mometumo módszerével. Lássu egy példát ét paraméter becslésére a mamum lelhood módszerrel. Példa. Legye a eloszlású. mérés alapjá adju becslést az m várható értére és a ) ( ) ( m e f. A lelhood-függvéy tehát ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ... ˆ ˆ ˆ) ˆ,,,...,, ( m m m e e e m L. A lelhood-függvéy logartmusa: m m L ˆ ˆ ) ( l ˆ l ˆ) ˆ,,,...,, ( l. A parcáls dervált mˆ szert: 0 ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ ˆ) ˆ,,,...,, ( l m m m m L, ahoa mˆ m ˆ. A várható értére tehát az emprus várható érté ad jó becslést a mamum lelhood módszer szert. A parcáls dervált ˆ szert:

169 . A becsléselmélet eleme 69 ahoa ˆ l L(,,..., ˆ, mˆ, ˆ) 3 ˆ ˆ ( ˆ ) m 0, ( mˆ ) ˆ s. A mamum lelhood módszer szert tehát -re a legjobb becslést az emprus szóráségyzet adja. A szórás becslése tehát: ( mˆ ) ˆ..3. Itervallumbecslés Az â statszta becslés és az elmélet a érté özött még a legjobb tulajdoságú statszt-,,, mtára támaszodva olya â és â statsztá létrehozására, amelyere teljesül, hogy az a pa- ( aˆ, ˆ a) tervallumba található. Ezzel apcsola- Defícó. Legye p,,,, mta segítségével általába létrehozható olya â és â statszta, amelyere teljesül az, hogy P( aˆ a aˆ ) p. Az ( aˆ, a ˆ ) ofdeca (megbízhatóság)- tervalluma evezzü. Az ( p)00%-ot a megbízhatóság sztjée evezzü. Az p=0,; p=0,05; p=0,0 eresztül mutatju be a ofdeca-tervallum eresésée módszeret. Kofdeca-tervallum az m várható értére N(m, ) eloszlás eseté, ha smert. Legye Az,,, mta, és vezessü be az u m m u. (.3..) Havacsá Károly, ELTE TTK

170 70 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Korább smerete alapjá egy N( m, / ) g változó. Azt s látju, hogy u stadardzál tehát u N(0,) változó. Az N(0,) eloszlás táblázata alapjá meghatározható az az u p szám, amelyre teljesül az, hogy: u p ( p u u p ) e u P u A orábba taulta alapjá p d p. (.3..) u p e u p d ( u p ) ( u p ) ( u ahoa (.3.) és (.3.3) egybevetésével azt apju, hogy p ( u p ). p ), (.3.3.) Például p=0,05 eseté az () táblázatából: u p =,96 (lásd a Függelé 5.4 fejezetét!). Mvel p u m p u p a -ülö megoldásával m-tleségere jutu:, u p m u p. (.3.4.) Ez azt jelet, hogy az m várható érté p u p, u p tervallumba va. Ez tehát m-re az ( p)00% -tervallum. p eseté meoráa ell lee a mta elemszámáa ahhoz, hogy a ofdeca tervallum félhossza legfeljebb d legye. Ilyeor a d u p Havacsá Károly, ELTE TTK

171 . A becsléselmélet eleme 7 -e agyobba lee. u p. (.3.5.) d Kofdeca-tervallum az m várható értére N(m, ) eloszlás eseté, ha em smert. Legye,,, t m t. s A t A számlálóba m t /. s m, mt láttu N(0,) / s, a orábba alapjá szabadság foú - Ie övetez, hogy t szabadság foú Studet- Az szabadság foú Studet-eloszlás F(t) eloszlásfüggvéyée smeretébe adott p-hez megadható az a t p érté, amelyre P( t t t ) F( t ) F( t ) p. p p A számoláso öyítése érdeébe általába em az F(t) eloszlásfüggvéy táblázatát szotá megad, haem olya táblázatot, amely p-hez t p -t redel hozzá. A t változó defícóját fgyelembe véve ez azt jelet, hogy a táblázatból megapju az a t p értéet, amelyre a p p m t p t p, s p m várható értéet fejezve azt apju, hogy: s s t p m t p. (.3.6.) Havacsá Károly, ELTE TTK

172 7 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Ez azt jelet, hogy az m várható érté p tervallumba, vagys s s t p, t p (.3.7.) s s P( t p m t p ) p. Kaptu tehát az m paraméterre egy ofdeca tervallumot az ( p)00% megbízhatóság szte. Kofdeca tervallum a szórásra A módszer léyege megegyez a orábbaal. Legye a soaság N(m, ) eloszlású! Legye p csy szám, és eressü a szórásra ( p)00% megbízhatóság szete ofdeca tervallumot. Legye,,, s. Korább smerete alapjá a szabadság foú eloszlású Adott p szabadság foú eloszlás eloszlásfüggvéye segítségével találhatu olya tervallumot (lye soféleéppe választható, tehát a választás em P ) F( ) F( ) p. ( A -eloszlás em szmmetrus, tehát a szoásos szmmetrus tervallumválasztás em megoldható. A szoásos tervallumválasztás az alább: p F( ), p F( ). Az lye választás teljesít azt a feltételt, hogy s ( ) F( ) F( ) p. P A szoásos táblázato a p értéhez azt a v értéet adjá meg, amelyre gaz, hogy Havacsá Károly, ELTE TTK

173 . A becsléselmélet eleme 73 P( ) p. -vel jelöljü, aor: p és. p s P s ( p p A szóráségyzet ofdeca tervalluma tehát: s s ; p p ) p. a szórás ofdeca tervalluma égyzetgyövoás utá:, s ; p s p..4. Statszta hpotézse vzsgálata ére, várható értéére, varacájára, ét változó függetleségére stb. Ezeet a feltevéseet evezzü statszta hpotézsee. A hpotézsvzsgálat a hpotézse elfogadásáa vagy elvetésée módszerevel foglaloz Eze az ú. statszta próbá. lmat. Defícó. Azt a feltevést, amelyet gaza tételezü fel, ullhpotézse evezzü, és H o -lal jelöljü. Például, ha feltesszü, hogy a m o, aor a ullhpotézs: H o o. (.4..) Havacsá Károly, ELTE TTK

174 74 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Ezzel szembe az ú. ellehpotézs, amelyet H-val jelölü: o. (.4..) A ét hpotézst mdg úgy ell megalot, hogy egymást záró feltevése legyee. A hpotézsvzsgálat meete Legye a,,,. Az a paraméter becslésére az,,, mtaeleme egy aˆ aˆ(,,..., ) statszta függvéyét haszálju. A dötés úgy törté, hogy a megadott 0<p< számhoz a statszta összefüggése segítségével olya T R elfogadás tartomáyt eresü, amelyre gaz az, hogy a H o ullhpotézs feállása eseté az â statszta függvéy értée p T tartomáyba. Abba az esetbe tehát, ha P( â T H o ) p, aor 00( p)% szgfaca szte elfogadju a H o ullhpotézst. Ha elvetjü a H o hpotézst, vagys a H ellehpotézst fogadju el. Az egymtás u-próba aˆ T, aor Adott az m -e adott m o számmal. Ismerjü (például orább statszta vzsgálatoból) értéét. Kérdés, hogy az mtaátlag meora eltérése eseté feltételezhetjü, hogy a várható érté m o? A ullhpotézs: Az ellehpotézs: H o o. o. Az u-próba meete Készítü egy próbafüggvéyt (statszta függvéyt): m u, Havacsá Károly, ELTE TTK

175 . A becsléselmélet eleme 75 u N(0,) stadard ormáls eloszlású valószí ség változó. A ofdeca tervallum apcsá beláttu, hogy az u óa p luma, azaz P( u p m u p ) p. (.4.3.) Az u p érté a stadard ormáls eloszlás eloszlásfüggvéyée táblázatából meghatározható. Ha most feltesszü, hogy gaz a ullhpotézs, vagys m=m o, aor u-ba behelyettesítve ezt az értéet, számíthatju az alább u s értéet: u s mo. A ullhpotézs gaz volta eseté (.4.3) szert fe ell álla, hogy us u p. Ebbe az esetbe tehát 00( p)% bztoság szte elfogadju a ullhpotézst. Ha azt találju, hogy us u p, aor 00( p)% bztoság szte elutasítju a ullhpotézst, vagys a H ellehpotézst fogadju el. H o gaz, de elvetjü, mert úgy találju, hogy u u. Másodfajú hbát övetü el, ha a H o hpotézs em gaz, de a véletle folytá elfogadju, mert úgy találju, hogy u u. s p s p Egymtás t-próba A gyaorlatba általába a ormáls eloszlású változóa emcsa a várható értée, haem a szórása s smeretle. Ilye esetbe tudju számíta a s ( ) orrgált szóráségyzetet. A ullhpotézs most s: H o =m o, Havacsá Károly, ELTE TTK

176 76 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI t m s próbafüggvéy haszálható. A orábba alapjá tudju, hogy t egy szabadság foú Studet--eloszlás táblázata alapjá p-hez megadható az a t p táblázat érté, amelyre gaz, hogy P( t t t ) p. p Ha most az u-próbához hasolóa behelyettesítjü a próbafüggvéybe a ullhpotézs által feltételezett m=m o értéet, aor t s próbastatsztát apu: t p m s o s, amelyre H o feállása eseté gaza ell lee, hogy t s m s o t p. (.4.4.) 00( p)% bztoság szte elfogadju a H o hpotézst. Ha (.4.4) em teljesül, vagys azt találju, hogy ts t p, aor a H o ullhpotézst elutasítju, és a H ellehpotézst fogadju el. F-próba Az F- ét ormáls eloszlású, smeretle várható -e. és. Legye eloszlása N(m ), eloszlása pedg N(m ), továbbá legye,,, a változóhoz tartózó mta, és y, y,..., y az változóhoz tartozó mta! A ét mta legye függetle egymástól! A ullhpotézs: H o : D =D (azaz, vagys = ). az változó- Jelölje s a változóhoz tartozó mta emprus szóráségyzetét, és s hoz tartozó mta emprus szóráségyzetét. A orábbaba láttu, hogy Havacsá Károly, ELTE TTK

177 . A becsléselmélet eleme 77 s szabadságfoú - s szabadságfoú -eloszlású val új F F s s s s. (.4.5.) A orább smerete alapjá az F (, ) szabadság foú F-eloszlású. Az F eloszlás alapjá meghatározható azo az F és F értée, amelyere gaz, hogy és p P( F F ), p P( F > F ). (.4.6.) Tehát az F p F, F ívül, azaz p éggel tartózod a tartomáyo belül. tartomáyo Ha most feltesszü a ullhpotézs érvéyeségét, vagys hogy, aor (.4.5) alapjá az F s próbastatszta: F s s. (.4.7.) s Általába olya táblázatu va, amvel a (.4.6) relácóhoz tartozó értéet tudju meghatároz. Ilye a Függelé 5.9. fejezetébe található táblázat s. Ha most (.4.7)- be a számlálóba tesszü a agyobb orrgált emprus szóráségyzet értéet, aor F s értée agyobb lesz -él. A táblázatból meghatározzu F értéet, és megézzü, hogy teljesül-e az F s Havacsá Károly, ELTE TTK

178 78 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI 00( p)% szgfaca szte a H o ullhpotézs elfogadásá P ( F s > F ) P. (.4.8.) Fs F Ha vszot F s -t úgy választottu, hogy F s, aor /F s. Ha megézzü az F táblázatot, aor láthatju, hogy a gyaorlatba haszálatos s p értée eseté a táblázat értée md agyobba, mt. Követezéséppe /F >, tehát (.4.8) a gyaorlat számára léyeges esetebe mdg teljesül. Az F-próbát tehát az alábba szert végezzü. F s értéét. Az F s értéét úgy ell veü, hogy a számlálóba va a agyobb s érté. Nem szabad eltéveszte a szabadság foo sorredjét. s szabadság foa, aor, sza- Ha s s és az s szabadság foa, pedg az badság foról va szó. Másod lépését az F-eloszlás táblázata alapjá meghatározzu a 00( p)% szgfaca szthez tartozó F értéet (a táblázat. soráa és. oszlopáa értéét ell ve). A harmad lépésbe összehasolítju F s és F értéét. Ha gaz az, hogy F s p, aor a H o hpotézst 00( p)% szgfaca szte elfogadju, vagys elfogadju, hogy H o hpotézst 00( p)% szgfaca szte elvetjü, azaz, mert az eltérést szgfása tetjü. Illeszedésvzsgálat -próbával származhat- statszta próbát lleszedésvzsgálata evezzü. A próba az smert eloszlás alapjá várható gyaorságo és a mta gyaorsága özött eltérés vzsgálatából áll. Legye A, A,, A r teljes eseméyredszer és vzsgáladó az, hogy gaz-e az esemé- P( A ) p, =,,, r. A ullhpotézs: Az ellehpotézs: H o : P( A ) p,,..., r. Havacsá Károly, ELTE TTK

179 . A becsléselmélet eleme 79 H :, amelyre P( A ). p Végezzü el a ísérletet -szer (tehát észítsü egy ). Az eredméy szert A -szer, A -ször... A r r -szer övetez be. Nylvá r A áls eloszlást övete. A bomáls eloszlás várható értée alapjá tehát smerjü elmélet várható értéét:. M ( ) p. az alábba szert: r ( p ). p Belátható (ezt most em tesszü meg), hogy ha a -el r szabadság foú - p mde -re). A próbát eze p szgfaca sztet és a táblázatból eressü az ehhez tartozó értéet, amelyre Ha a mtából számolt értére gaz, hogy P( p ) p. r ( p ) sz p p sz p, aor a H o a H o ullhpotézst elvetjü, és a H ellehpotézst fogadju el. Havacsá Károly, ELTE TTK

180 80 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI.5. A regresszós egyees becslése Leárs regresszó eseté a regresszós egyeesre a és b paraméterére apott értée a (6.3.) és a (6.3.) alapjá a öve M( ) M( )M( ) cov(, ) D( ) R(, ), M( ) M ( ) D ( ) D( ) (.5..) b M( ) am( )). (.5..) a ezése számolható. Soszor a mérése sorá em smert az együttes eloszlás. Ebbe az or megapju az a paraméter egy â becslését, lletve a b paraméter egy bˆ becslését. Em-.4.5) fejezést: Az emprus szóráso pedg ( )( y y ) r. (.5.3.) ( ) ( y y ) s, és s y y y. Ha most a (.5.) és a (.5. aor a apott becsült paramétere az alábba: y y â, (.5.4.) bˆ y â. (.5.5.) A statszta becslés alapjá apott paramétere becsült értée megegyeze a orábba a legsebb égyzete módszerével apott a (.3.8) és b (.3.9) értéeel. Megyugtató, hogy orább eredméyüet vsszaaptu, de a statszta segítségével a fet becslés tulajdoságaról eél többet s modhatu. Nem általáosa fogju a problémát ezel, Havacsá Károly, ELTE TTK

181 . A becsléselmélet eleme 8 haem olya esetere orlátozzu a meggodolásaat, amlyeeel a ísérlete végzése sorá gyaorta találozu. A duló feltevés az, hogy az egy változó szórása soal sebb, mt a más változóé. Legye ez a változó, és tetsü úgy, hogy ee értéet potosa smerjü. A ísérlete sorá gyaor helyzet, hogy a mérés sorá Y=a+b függést tételezü fel, az értéet beállítju (tehát potosa smerjü), és mérjü, hogy az adott érté mellett y m- statsztus hbá matt a mért y érté szórást mutat. A fetebe jellemzett helyzetet írju le a statsztába defált fogalmaal. Tehát a,,, értéet m választju meg, és potosa smerjü s ezeet az értéeet. Az y ( ) függvéy leárs, vagys: Y a b. Nem smerjü vszot az a és b paramétereet, de (.5.4) és (.5.5) alapjá már elészítettü becslésüet. Mvel az y -lmaza, ezért értéü eltér az elmélet Y a b y, Y ahol az - függetlee, és M( )=0 re. Ez úgy s írható, hogy M( y ) Y. A mérés hbá esetébe a cetráls határeloszlás tétel értelmébe általába hogy ormáls eloszlású szórással, tehát az eloszlás: N(0, ). Tegyü fel azt s, y hogy, y y re, vagys a szórás az egész tartomáyo álladó. Ha a mérés tartomáy em túl széles, aor a szórásora tett feltevés általába teljesül. y y 0 * y 6 y értée 8 y értée.. ábra: A legsebb égyzete módszerével apott regresszós egyees Havacsá Károly, ELTE TTK

182 8 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI Ilye feltevése mellett a legsebb módszereel a-ra és b-re apott â és bˆ becslése tulajdoságara voatozóa a statszta módszerevel formácót aphatu. Az â és bˆ Az â és bˆ várható értée Az â becslés várható értéée számolásához felhaszálju, hogy y és M( ) 0, Y tehát M( y ) M(Y ) M( ) a b, hsze és M( y ) í y Y, í M(Y ) Tehát az â becslés várható értée: M( â ) M( ) M(Y ) a b. í M( y ) a b a b a b a. (.5.6.) A bˆ becslés várható értée: M( bˆ ) M( y ) M( â ) a b a b. (.5.7.) Vagys â és bˆ torzítatla becslése a és b-e. Az â és bˆ szórása Ha az y értée y szóráségyzete valahoa smert (például oa, hogy egy potba soszor mértü, és az így meghatározott emprus szórást felhaszálju a szórás becslésére), és ez mde y potba ugyaaz az álladó érté, aor a szóráségyzet számolás Havacsá Károly, ELTE TTK

183 . A becsléselmélet eleme 83 szabálya alapjá (.5.4)-.5.5)- e számolhatju az â és bˆ becsült értée szóráségyzetét: D ( â ) y, (.5.8.) felhaszálva, hogy D ( y ) D D ( y ) y. y és ( y ) Továbbá D ( bˆ ) y. (.5.9.) Mvel ( ), (.5.0.) ezért látható, hogy öveedtével â és bˆ szórása ullához tart, tehát a becslés ozsztes. A (.5.8) és ( ) fgyelembe vételével az s látsz, hogy adott mérésszám eseté a szóráségyzete aál sebbe mél távolabb feszee a mérés poto az e- Megjegyzés Ha az y mérés poto y szórása em smert, aor ee jó özelítése az s r ( y ŷ ), (.5..) Havacsá Károly, ELTE TTK

184 84 II. A -SZÁMÍTÁS ALAPJAI potoba mért y étée alapjá számolt ú. rezduáls szóráségyzet. A darab ülöbségégyzet em md függetle, özöttü a (.5.4) és (.5.5) ét egyelet apcsolatot teremt. A függetle adato száma. Havacsá Károly, ELTE TTK

185 FÜGGELÉK Havacsá Károly, ELTE TTK

186 . A KOMBINATORIKA ALAPJAI A ombatora a sorba raás és választás érdésevel foglaloz... Permutácó (sorba raás) elem meghatározott sorredjét az elem egy permutácójáa evezzü. Kérdés, háyféleéppe lehet mey elem összes permutácóa P száma? Tétel: P =!, (!= 3... ( - ) ; 0!=). Bzoyítás. A bzoyítás teljes ducóval törtéhet. =, aor P =!=.. A másod lépésbe feltesszü, hogy P - =( )!. 3. A harmad lépésbe belátju, hogy P a P - -. elemet egy permutácó mde lehetséges pozícójába elhelyezzü. lye pozícó va... ábra: Ábra a permutácó számáa meghatározásához Ezt megtehetjü md az (-)! permutácó esetébe, vagys: P P ( )!! (...).. Ismétléses permutácó Ha az elem özött azoos, aor az azoos eleme egymás özött cseréje em változtat az elredezése. Ha az elem özött azoos elem va aor smétléses permutácóról ( ) beszélü, és lyeor a permutácó számát P -val jelöljü. Látsz, hogy P ( P (ha >). ) Havacsá Károly, ELTE TTK

187 . A ombatora alapja 87 Nézzü az alább példát: a a b; a b a; b a a. ( ) Az =3 P 3, és em P 3! 6, hsze például a a b em ülöböz az a a b permutácótól. Általáosa megfogalmazva az smétléses permutácóra voatozó tételt: Tétel: Ha elem özül azoos, aor az smétléses permutácó száma: ( )!. (...)! P Bzoyítás. Az smétléses esetet vsszavezetjü az smétlés élül esetre. Az azoos elemeet átmeetleg ülöböztessü meg valahogy (például sorszámozással). Eze egymás ( ) özött!-féleéppe permutálható. Tehát lyeor mde P permutácóból! permu ó számát. Tehát!, P ( ) P vagys P ( ) P!.!! ( ) Tehát a fet példába =3, =, azaz!=6,!=, tehát P 3. Ha permutácó számát az alább éplet alapjá számolju. Tétel. Ha elem özül azoos, majd a femaradó azoos, stb., aor az smétléses permutácó száma: (,,..., )! P!!...!, ahol.... (...) A bzoyítás teljes ducóval törtéhet. Havacsá Károly, ELTE TTK

188 88 FÜGGELÉK.3. Kombácó (választás, sorred élül) Ha elem özül elemet választu, azt az elem egy -ad osztályú ombácójáa evezzü. A érdés az, hogy eleme háy -ad osztályú ombácója ( C ) va? () Tétel. elem -ad osztályú ombácóa száma: C ( )!. (.3..)!( )! Bzoyítás. A bzoyítás úgy törtéhet, hogy a problémát vsszavezetjü az smétléses permutácóra. Jelölje az a a a 3 a - a - a. A választás jelölése úgy törté, hogy a választott elem alá -et íru. elem cs választva, aláju 0-t íru. a a a 3 a - a - a Mde választás megfelel az -ese és a 0- egy elredezésée (sorredjée). Ez száma megegyez elem smétléses permutácóa számával, ahol és azoos elem va. Eze száma az smétléses permutácó (..) éplete alapjá: C () P (,)!.!( )!.4. Ismétléses ombácó Az smétléses ombácó az a strutúra, amor -t választu, de () egy elem aárháyszor felhaszálható. Az smétléses ombácó jelölése: C. Például,sm az a, b, c három elem eseté a -od osztályú smétléses ombácó: a a, a b, a c, b b, b c, c c. A harmad osztályú smétléses ombácó: a a a, a a b, a a c, a b b, a b c, a c c, b b b, b b c, b c c, c c c. Kérdés, hogya adhatju meg a -ad osztályú smétléses ombácó számát? Tétel. A -ad osztályú smétléses ombácó száma: (, sm. (.4..) C ) Bzoyítás. Feltesszü, hogy a ombácóat,, 3,..., észítjü. A választott elemeet egy ombácó belül raju agyság szert sorred- Havacsá Károly, ELTE TTK

189 . A ombatora alapja 89 dju redre 0,,..., -et! Az így apott szám özött cs egyforma, és agyság szert sorba redezett. Tehát ombácót aptu, de smétlés élült. Kérdés: mely eleme ombácót? A legsebb elem: +0=, a legagyobb elem: +, és mde öz-,,..., elem smétléses ombácóhoz egyér-,,...,+ elem egy -ad osztályú smétlés élül ombácó- C (), sm ( )! ( )...( ).!( )!!.5. Varácó Varácóa evezzü azt a strutúrát, amor -t választu, de a sorredet s fgyelembe vesszü. Kérdés hogy mey a varácó száma? Tétel. elem -ad osztályú varácóa száma V () ( )...( ). (.5..) Bzoyítás. Vsszavezetjü a varácóat a ombácóra. Láttu, ha elemet választu, aor ezt C ( ) -féleéppe tehetjü. Mde ombácóhoz vegyü a elem valamey permutácóját. Ez a (..) éplet szert: P =!. A sorredet s fgye- Tehát: V ( ) ( )! C!!! ( ) ( ).!( )!.6. Ismétléses varácó Ez az eset szszatesszü, és megegedjü, hogy újból válasszu. Kérdés, hogy lye módo háyféle Tétel. elem -ad osztályú smétléses varácóa száma Havacsá Károly, ELTE TTK

190 90 FÜGGELÉK V. (.6..) (), sm Bzoyítás. Va,,...,, elem, és va,,..., pozícó. Mde pozícóba választhatju az smét, stb. Összese tehát, vagys V. (), sm.7. A bomáls tétel és a bomáls együttható ete a bomáls együttható ahol szté megjelee a bomáls együttható, és a bzoyításhoz s a választás tör- Tétel. A bomáls tétel. Ha egész szám, a és b es valós (vagy omple) számo, aor ( a b ) a b. (.7..) 0 Bzoyítás. Képezzü a P=(a+b )(a+b )...(a+b ) segédszorzatot! Felbotju a zárójeleet, és a tagoat a hatváya szert redezzü. A tago e- P P a B a Ba... B. Kérdés, hogy B b értéeet tartalmaza? B = b + b +...+b hsze darab a - -et tartalmazó tag va. B =b b +b b b b +b b b - b, ahol a-t veszü, és mde lehetséges módo ét b szorzatát.... B =b b...b, tt csa egy tag va. A érdés az, hogy B -ba háy tag va? Vegyü észre, hogy B -ba éppe ay tag va aháyféleéppe az elemet tudu választa. Tehát a tago száma: Havacsá Károly, ELTE TTK

191 . A ombatora alapja 9 Havacsá Károly, ELTE TTK C. ha most a b értéeet em ülöböztetjü meg, tehát ha b = b =...= b, aor b B. Ie övetez, hogy: 0 b a b... b a b a a 0 b ) a (. A bomáls tételhez hasolóa belátható a polomáls tétel, amely r elem összegée -d hatváyát adja meg. Tétel. A polomáls tétel szert:... r r r r r a a a!!!! ) a... a a (. (.7..) eljes ducóval..8. A bomáls együttható éháy tulajdosága Az bomáls együttható az ú. Pascal- 0. sor. sor

192 9 FÜGGELÉK Havacsá Károly, ELTE TTK ábra: A Pascal- a. Szmmetra, azaz. b. c. ével:.... d. A Pascal-háromszögbe az. sor elemee összege =. Vagys 0. Ez a bomáls tétel alapjá s azoal látsz, hsze: 0 b a b ) a (, a=b=, aor azt apju, hogy 0 ) (.

193 3. HALMAZELMÉLETI ALAPFOGALMAK Boole-algebráa evezzü, George Boole agol matematus (85 864) tszteletére. 3.. A halmazo defícója A halmazo defícója legye az alább. Defícó. Halmaza az eleme összességét tetjü. Halmazelem pedg lehet valam- e tesszü. Például ha az A halmaza az eleme a, b, c, valamt B halmaza eleme a, b, c, d, e, aor ee jelölése: továbbá A { a,b,c }, B { a,b,c,d,e }, a A, d A azt jelöl, hogy a eleme A-a, de d em eleme A-a. Az A halmaz részhalmaza B-e, azt jelet, hogy A halmaz mde eleme B halmaza s eleme (mt a fet példába). Ezt úgy jelölhetjü, hogy A B. A fet defícóa övetezméye az, hogy ha A halmaz B részhalmaza, és B halmaz a C A halmaz a C halmaza s részhalmaza. A jelöléseel ugyaez az állítás: ha A B és B C A C. 3.. Halmazo összege A halmazo összeadását az algebrába szoásos + jellel jelöljü, de felhívju a fgyelmet, hogy a halmazösszeadás tulajdosága émleg ülöböze az algebrába megszoott összeadás tulajdoságotól. Defícó. Az A+B összeghalmaz azo eleme összessége, amelye legalább A-a vagy B-e eleme. Például legye A={,}; B={, 4, 6, 8}, eor az összeghalmaz A+ B={,, 4, 6, 8}. Havacsá Károly, ELTE TTK

194 94 FÜGGELÉK A defícóból övetez, hogy a elemet em vesszü étszer az összeghalmazba! Szoás a halmazoat ábrá, az ú. Ve-dagramo megjeleíte. A halmazo összeadását Ve-dagramo a 3.. ábra mutatja. Az ábrá az összeghalmazt a vastago húzott voal mutatja. Az összeadás tulajdosága 3.. ábra: Az A+B halmaz ábrázolása Ve-dagramo A+A=A dempoteca, A+B=B+A ommutatvtás, A+(B+C)=(A+B)+C asszocatvtás. Az asszocatvtásból övetez, hogy az A+B+C árom halmaz bármlye sorredbe összeadható, az eredméyt a sorred em ért. A defícóa az s övetezméye, hogy ha A B, aor A+B=B. Ha több halmazt adu össze, aor szoásos jelölés mód az alább: A... A A A Halmazo szorzata Defícó. Az AB szorzat azo eleme összessége, melye A-a és B-e egyarát eleme (halmazo özös része). íru, ahhoz hasolóa, ahogya azt az algebrába s tesszü. Mdazoáltal a szorzás tulajdosága ülöböze az algebrába megszoott tulajdoságotól. A és B halmazo szorzatát: A={,, 3};B={, 3., 4, 5}. Havacsá Károly, ELTE TTK

195 3. Halmazelmélet alapfogalma 95 A szorzat a ét halmaz özös elem lesze, tehát AB={, 3}. Ha A és B ét halmaz szorzatát a 3.. ábra Ve-dagramjá láthatju. 3.. ábra: Az A és B halmazo szorzata Ve-dagramo ábrázolva A szorzás tulajdosága : AA=A dempoteca, AB=BA ommutatvtás, (AB)C=A(BC) asszocatvtás. A defícó övetezméye: Ha A B, aor AB=A. Az s szorzat eseté szoásos felírás: A A A... A. Az összeadás és szorzás özös tulajdosága a dsztrbutvtás: A(B+C)=AB+AC. A -dagramo (3.3. ábra) látsz, hogy a jobb és bal Több halmazra általáosítva a dsztrbutvtás szabályát: A B AB. Havacsá Károly, ELTE TTK

196 96 FÜGGELÉK 3.3. ábra: ícóval. Defícó. Üres halmaza evezzü azt a halmazt, amelye cs eleme. Az üres halmaz jele: Ø. Megállapodás szert az üres halmaz mde halmaz részhalmaza. Az üres halmaz defícójáa övetezméye: Ha A és B halmazoa cs özös eleme, aor AB=Ø. Az lye özös elem élül halmazoat dszjut halmazoa evezzü. A+Ø=A. A Ø=Ø. Defícó. Az A halmaz I evezzü azt az A halmazt, amely azo eleme összessége, amelye az I halmaza eleme, de em tartoza az A halmazhoz ábra: Az A omplemeter halmaz ábrázolása Ve-dagramo A omplemeter halmaz defícójáa övetezméye: A A I, AA Ø, I Ø, Ø I. Havacsá Károly, ELTE TTK