Mérések kiértékelése

Átírás

1 Budapest Műsza és Gazdaságtudomáy Egyetem ermészettudomáy Kar Szatmáry Zoltá Mérése értéelése Egyetem jegyzet Budapest, 00

2

3 artalomjegyzé Előszó... 7 Jelölése Bevezetés..... A rugalmasság együttható meghatározása (példa)... A probléma megfogalmazása... Feltevése... A ísérlet tervezése... Mérése... Az adato értelmezése... 4 Követeztetése levoása... 4 Egy elrotott mérés elemzése Általáos övetelméye... 6 a) A probléma megfogalmazása... 7 b) Feltevése... 8 c) ervezés... 8 d) A mérése végrehajtása... 8 e) Kértéelés... 9 f) Követeztetése Jellegzetes példá mérése értéelésére... 0 örtéelm vsszapllatás... 0 Paraméterbecslés függvéyllesztéssel... Regresszó... 3 Kegyelítés... 4 Normálás... 4 Korrecó... 6 Smítás étele leárs algebrából Sajátértée, sajátvetoro A mátrx ragja Mátrxo vertálása... 3 A probléma felvetése... 3 Geometra szemléltetés Rosszul odcoált mátrxo Algortmus Utóterácó Hpermátrxo A valószíűség-elmélet alapja Alapfogalma... 4 Eseméy és valószíűség... 4 A valószíűség defícója... 4 Függetle és egymást záró eseméye Azoos valószíűségű elem eseméye Geometra valószíűség Valószíűség változó, eloszlásfüggvéy Várható érté és szórás Magasabb mometumo... 5 öbbváltozós eloszláso... 5 Együttes eloszlásfüggvéy... 5 Várható érté és szórás Kovaraca Feltételes sűrűségfüggvéy Vetor jelölésmód raszformált változó várható értée és ovaracája Nevezetes eloszláso Egydmezós eloszláso

4 Egyeletes eloszlás Bomáls eloszlás Posso-eloszlás Gauss-eloszlás öbbdmezós Gauss-eloszlás A Gauss-eloszlásból származtatott eloszláso χ -eloszlás Studet-eloszlás Fsher-eloszlás ϕ-eloszlás *3.4. Korrelácós ellpszod Segédeszözö Matemata statsztából Alapfogalma Paraméterbecslés A becsült paramétere íváatos tulajdosága Egyetle paraméter becslése. A Cramér-Rao egyelőtleség... 7 A maxmáls valószíűség (maxmum lelhood) módszere Példa emregulárs becslés problémára *öbb smeretle paraméter esete Hpotézse vzsgálata... 8 A maxmáls valószíűség elvée heursztus levezetése A maxmáls valószíűség módszerével apott becslés tulajdosága *4.4. Kofdecaellpszod Közvetle mérése Azoos potosságú özvetle mérése Potbecslés Itervallumbecslés Posso-eloszlású mérése... 9 Csoportosított mérése A végeredméy özlése Változó potosságú özvetle mérése A súlyozott átlag optmalzálása σ becslése változó potosság esetébe Részecseszámlálás változó mérés dőel... 0 *Korrelált mérése... 0 Mért meysége egyelősége Korrecó Korrecó Nem ézbe tartott paramétere hatása Mérés hba és bzoytalaság... Mérés hba... Mérés bzoytalaság Kereítés... 3 Heursztus megfotoláso... 4 Valószíűség megfotoláso... 4 A szórás ereítése... 7 A becsült paraméter és a szórás együttes ereítése... 8 *6. A függvéyllesztés elmélete... *6.. Bevezető megjegyzése... *6.. Normálegyelete... *Az egyelete megoldása terácóval... 3 *A overgeca vzsgálata... 3 *Az terácó stablzálása... 5 *Az terácó ezdőértée... 6 *6.3. A becsült paramétere tulajdosága... 7 *Kovaracamátrx... 8 *Várható érté (torzítás)... 9 *A özvetleül mért adato várható értéée becslése *Q m statszta tulajdosága

5 *Szgulárs R mátrx esete *σ becslése *ovább összefüggése *6.4. Kofdecatervallumo *6.5. Kegyelítés *Megoldás terácóval *A becsült paramétere és a multplátoro statszta tulajdosága *Q m statszta tulajdosága... 4 *Példa *Kegyelítés a változó fejezésével *6.6. A learzálás érdése *Learzálás traszformácóval *Learzálás sorfejtéssel *6.7. A súlyozás *Posso-eloszlás *Gauss-eloszlás, de x s valószíűség változó *Számlálás holtdővel *Bomlás orrecó motorral *Bomáls eloszlás *Véges szabadság foal becsült szóráso *6.8. Az llesztés geometra szemléltetése Mérése értéelése függvéyllesztéssel Leárs regresszó Az llesztés végrehajtása Galto megfogalmazása A leárs regresszó csapdá O és oozat Az extrapolácó veszélye Kszóró poto A grafus ábrázolás hasza Nemleárs problémá learzálása Polomllesztés Defícó Numerus problémá Ortogoáls polomo Háyadfoú legye a polom? Hbaterjedés Várható érté A számított függvéy szórása Függvéye ovaracája Kofdecatervallumo Smítás és dfferecálás Smítás Dfferecálás A polomoal való egyelítés éplete Korrecó Az általáos formalzmus Függetle orrecó ezelése learzálás eseté *Korrelált orrecó Normálás Általáos formalzmus *Határozatla llesztőfüggvéye Szemelvéye a laboratórum gyaorlatoból Függvéy alajába megfogalmazott fza törvéy ísérlet gazolása Egyelőség alajába adott fza törvéy ísérlet gazolása szóró poto A probléma felvetése Általáosított Studet-próba A próba defícója

6 A traszformált Studet-törte tulajdosága... *A 8.. ÉEL levezetése... Jelölése... Segédtétele... 4 Végeredméy... 6 Az általáosított Studet-próba haszálata... 6 Gauss-próba... 6 Studet-próba... 7 Általáosított Studet-próba A szóró poto megtalálása... 9 A másodfajú hba... 0 M legye a szóró potoal? Illeszedés próbá... 6 Illeszedés próbáról általába... 6 Grafus módszer... 7 Alalmazás a t törtere... 9 *raszformálás Gauss-eloszlásra... 9 Alalmazás a orábba tárgyalt mérésre... 3 *9. Aszmptotus tartomáy eresése... 3 *9.. A probléma felvetése... 3 *9.. Defícó és jelölése *9.3. Kovaraca az l-ed és az l -ed lépés özött *9.4. p 0 becslése *9.5. χ - vagy F-próba H vzsgálatára χ -próba, amor σ smert... 4 F-próba, amor σ em smert... 4 *9.6. Próbá sorozata... 4 *9.7. ϕ-próba *9.8. A másodfajú hba Irodalom FÜGGELÉK. Metrológa fejezése F.. Metrológa sszótár F.. Metrológa és valószíűség-elmélet függelé. Statszta táblázato

7 ELŐSZÓ A mérö-fzus hallgató már a másod szemeszterbe végeze laboratórum méréseet. Kíváatos, hogy addgra tsztába legyee a mérése értéeléséhez mmálsa szüséges smereteel. Eélül em épese a mérése orret elvégzésére, de a laborgyaorlat legfotosabb eredméyée, a mérés jegyzőöyve az elészítésére sem. A tsztába va a értéelés övetelméyevel és módszerevel, soal mélyebbe ért meg a mérés léyegét, mt az, a lyesmről még em hallott. A gyaorlatvezető számára pedg felesleges és ellemetle teher, ha ezeet az smereteet setve, a gyaorlat elvégzésére szát dő rovására ell átadu. Mutá a fzuso erüle az életbe, a mérése értéelése területé léyegese több smeretre lesz szüségü, mt amt a laborgyaorlato megövetele. Ezért a ésőbb évfolyamoo választhata egy jóval agyobb matemata felészültséget és rutt géylő előadást, amely elmélyít az alapfoú smereteet. A ét előadás tulajdoéppe ugyaarról szól, de ülöböző szte. Az alapsztű előadásba bzoyos megaluvásra va szüség, hsze a másod szemeszterbe redelezésre álló matemata tudás még háyos. A témaör megértéséhez szüséges a valószíűség-elmélet smerete. Azo belül s elegedhetetlee a matemata statszta legfotosabb tétele. Egy fzusa smere ell a matemata legtöbb területét, de megtaulásua övete ell az ayag belső logáját. Így a valószíűség-elméletre csa a egyed szemeszterbe erülhet sor. Ematt ebbe a jegyzetbe elerülhetetle a legfotosabb smerete összegzése olya szte, ahogy az első szemeszterbe tault leárs algebra és aalízs alapjá lehetséges. A dolog em megoldhatatla, de fgyelmeztetjü az Olvasót, hogy az tt taulta a ésőbbebe em met fel a valószíűség-elmélet alapos elsajátítása alól. Ném bíztatást és segítséget jeletett a valószíűség-elmélet ét agy orosz tudósáa, Gyegyeóa és Hcse az 950-es évebe írt öyvecséje [], amely ezt a feladatot remeül megoldotta. A magasabb sztű előadás már épít a fzusotól elvárható matemata smeretere, ayaga ezért túlságosa ehéz az elsőéves hallgató számára. ulajdoéppe ét jegyzetre lee szüség: az egy az elsőéves hallgató, a más pedg a felsőbbévese számára. Megpróbáltam mdettőt megír. Azt tapasztaltam, hogy az előbb hemzseg a bzoyítatla állításotól, az utóbb esetébe pedg az egyes fejezete bevezető példá megegyeze az előbbbe található példáal. Ezért célszerűbbe találtam a ét jegyzetet egyesíte, és csllaggal megjelöl azoat a részeet, amelye elolvasása em ajálható az elsőévese számára. Ez rögtö lehetővé tesz az érdelődő elsőévese számára, hogy az ayagba ayra mélyedjee el, ameyre érdelődésü szert íváa, és matemata smerete eged. Így talá serült olya jegyzetet a ezübe ad, amelyet ésőbb taulmáya, sőt utatómuáju végzése özbe s -yta majd. A mérése sofélé, és mdegy értéelésée megva a saját módja. A mérése értéelésével számos öyv [] foglaloz, mdegy tartalmaz épleteet és dolgozott példáat. A fatal fzuso muáju sorá azt fogjá tapasztal, hogy 7

8 gyara agyo eheze vagy egyáltalá em találjá meg ezebe a öyvebe az éppe végzett mérés értéelésére voatozó épleteet. A legbztosabb és a leggyorsabb lye esetebe, ha ezeet saját magu levezet. Ezért a mérése értéelésével foglalozó művee fotos része a éplete levezetése, mert ee módszerét érdemes megtaul. Így em jöhetü zavarba, ha em találju az éppe eresett formulát. A 6. fejezet (amely főleg a felsőbbévese számára észült) tartalmaz egy általáos formalzmust, amely szert elegedő az llesztőfüggvéyt felír, a mért értée szórásat meghatároz, és az általáos formalzmusból özvetleül le lehet vezet a orét probléma megoldását. Nem rtá agy tömegű mérés adatot ell értéelü. Ez csa számítógép segítségével lehetséges, amhez valamlye programra va szüségü. öbb lye program s létez, amelye a mért adato soal mélyebb és alaposabb elemzését tesz lehetővé, mt amt ézzel vagy zsebszámológéppel elvégezhetü. A jegyzetbe gyeeztem ezt a örülméyt fgyelembe ve: em csa a ézzel alalmazható, haem a számítógépre való algortmusoat s smertetem. A tapasztalat azt mutatja, hogy súlyos tévedésee va téve, a aélül alalmaz máso által írt programoat, hogy azo alapelvevel ellő mértébe tsztába lee, és alaposa smeré a programo alapjául szolgáló algortmusoat. A jegyzetbe számos példa található az előadott módszere llusztrálására. Eze egy része em valóságos mérése eredméye, haem számítógéppel szmulált méréseé. Ilyee értéeléseor előy, hogy smerjü a végeredméyt, tehát öye elleőrzhetjü az alalmazott módszere helyességét. A szmulált méréseről s úgy fogo azoba beszél, mtha téyleges mérése leée. Az. fejezet általáos smertetés a ísérletezésről, aa szaaszaról, a helyese elvégzett és értéelt méréseel szembe támasztott övetelméyeről. Ez a fejezet léyegese több problémát említ, mt ame a fejtésére egy lye jegyzetbe lehetőség va. Ha ee tartalmát a több fejezet tartalomjegyzéével összevetjü, láthatju, m mderől lehete még szó, de ülöböző megfotolásoból maradt. A jegyzet szeresztéséből övetez, hogy az ayaggal csa most smeredő hallgató folytassá a. 4. fejezeteel, majd folyamatosa olvashatjá a szöveget, de a csllaggal megjelölt fejezeteet hagyjá. A szöveg ugya hvatoz olya épletere és tételere, amelye levezetése csllagos fejezetebe található, a tétele megfogalmazása olya egyszerű, hogy ezdő s megérthet. Az 5. fejezet tartalmazza a legegyszerűbb ísérlet adato, a özvetleül mért adato értéelését. Ez az a fejezet, amelyből a legfotosabb fogalmaat meg lehet érte. A özvetett, vagys csa függvéyllesztéssel ezelhető mérése értéelésée általáos elmélete a 6. fejezetbe olvasható. A felhaszált matemata apparátusra való tetettel ez a fejezet csa a felsőbbévese számára észült. E fejezet egyes leárs algebra problémát vázolja a. fejezet. A témaörrel csa most smeredő a. és 6. fejezetet átugorva a 7. fejezetbe folytassá az olvasást. Ez ugya hvatoz a 6. fejezet éháy tételére, de léyegébe attól függetleül olvasható. A 7. fejezet elsősorba a [9] jegyzetsorozatba leírt mérése géyet gyesz elégíte, vagys olya problémáat tárgyal, amelye megoldására a hallgatóa a laboratórum gyaorlato sorá szüségü lesz. Am em ezelhető a alfejezete általáos fejtegetése alapjá, azt a 7.8. alfejezetbe ülö tárgyalom. Külö magyarázatot géyel a 8. és 9. fejezet. Az előbb a mérése értéelésée talá legább vtatott, de égető problémájával, a szóró poto megtalálásával és ezelésével foglaloz. Az utóbb olya em evésbé ehéz problémával foglaloz, amellyel csa az utolsó évfolyamoo vagy a utatómua sorá foga a 8

9 hallgató találoz, ha egyáltalá találoza. Ezért ezt az egész fejezetet yugodt szívvel láttam el csllaggal. A probléma ehézségére való tetettel legszívesebbe ezt tettem vola a 8. fejezettel s, de ez lehetetle: a szóró potoal már a ezdő ísérletező s találoza, és em egedhető meg, hogy legalább az alapvető smereteel e redelezzee. Ezért ee a fejezete azoat részet a ezdő számára s ajálom, amelye em apta csllagot. Se se számítso azoba öyű olvasmáyra! Kezdőe és haladóa egyarát fgyelmébe ajálom az. függeléet. udom, hogy soa em örüle ee, először magam s így voltam ezzel. Se sem szeret, ha szabváyoal és tlalmaal orlátozzá, mlye szavaat haszálhat és mlyeeet em. Az aráyérzé háyáról taúsoda azoba, ha ezeet a dolgoat em veé omolya. A szabváyo, a fogalma potos örülírása, a szava értelmée szűítése segít abba, hogy modata, godolatmeete mde számára érthető legyee, és mde ugyaazt értse rajtu. Bár a fetebe többször hagsúlyoztam, hogy ez a jegyzet elsősorba a fzus hallgató számára íródott, azt s remélem, hogy utató és egyetem otató s haszoal forgathatjá mt olya művet, amely gyaorlat problémáat redszerezett módo, azoos szemlélettel tárgyalja. Pályám ezdeté eem Ly öyve [] yújtotta ugyaezt, amelye megértése lehetetle lett vola Rózsa Pál tűő mátrxelmélet öyve [5] élül. Budapest, 006. szeptember. Szatmáry Zoltá 9

10 JELÖLÉSEK A jegyzet mde fejezetébe alalmazott jelölése: Jelölés M( ξ ) D ( ξ ) P{ K } PA ( ) Magyarázat A ξ valószíűség változó várható értée A ξ valószíűség változó szóráségyzete A {...} relácóval defált eseméy valószíűsége Az A eseméy valószíűsége A m, sorból és m oszlopból álló mátrx; a soro és szolopo számát csa aor jelöljü, ha elhagyásu félreértést oozhat [ A] l A rag(a) dag(x) E f x,a ( ) a Q r ξ w σ Az A mátrx (, l) eleme Az A mátrx traszpoáltja Az A mátrx ragja Olya dagoáls mátrx, amelye a főátlójába az x meysége vaa Egységmátrx Illesztőfüggvéy, amely az x függetle változó ívül az smeretle a paramétervetortól függ Paramétervetor, ompoese az a, a,..., a m paramétere A legsebb égyzete módszerébe mmalzáladó égyzetösszeg A mért értée vetora, ompoese a ξ, ξ,..., ξ valószíűség változó A ξ mért érté szóráségyzetét a D ( ξ) = σ w éplet szert meghatározó súlyfator (Általába) smeretle szorzótéyező, amely a súlyoal együtt megadja a szóráségyzeteet W, A w súlyfatoroból épzett dagoáls mátrx F m, Az llesztőfüggvéye az a, a,..., a m paramétere szert vett derváltjaból mt soroból alotott mátrx R mm, = F WF ~a Az a paraméter becsült értée ~ y Az llesztőfüggvéy becsült értée ( = f( x, ~ a )) s δa Emprus szóráségyzet (σ becslése) Az a paramétervetor becslésée a torzítása 0

11 . BEVEZEÉS A ísérletezése a moder tudomáyba alault módszertaa va, amely az alább lépése megtételét géyl:. megfogalmazzu a problémát,. modju a feltevéseet, 3. megtervezzü a ísérletet, 4. megfgyeléseet vagy méréseet végzü, 5. értelmezzü a apott adatoat, 6. levoju a öveteztetéseet. E lépéseet először egy egyszerű, evés elmélet felészültséget géylő ísérletre voatozóa beszéljü meg. Remélhetőleg ez meg fogja öyíte az általáos eszmefuttatáso megértését... A rugalmasság együttható meghatározása (példa) A probléma megfogalmazása Külső erő hatására a szlárd teste alaja megváltoz. Ha az erő em túlságosa agy, megszűte utá a test vsszayer eredet alaját. Ebbe az esetbe rugalmas alaváltozásról beszélü. Ilye esetebe az alaváltozás mértée aráyos a ható erővel. Célu az aráyosság téyező meghatározása egy rúd alaú próbatest esetébe. Feltevése Legye a vzsgált rúd hossza l, eresztmetszete A, amelyet a rúd egész hosszába egyeletese tételezü fel. A rudat egy végé rögzítjü. A más végé ható F húzó erő hatására megyúl. A mérhető l megyúlás a feszültséggel, vagys a eresztmetszet egységy területére ható húzó erővel aráyos: lf l = α, A ahol α valamlye aráyosság téyező. Helyette általába az E rugalmasság modulust vagy Youg-modulust haszálju: l lf =. (.) EA Feltételezzü, hogy a ísérletbe alalmazott F erő em mee túl a rugalmasság határá, vagys csa olya erőet alalmazu, amelyere az (.) összefüggés érvéyes. Ez azt s jelet, hogy amor a megyúlást egymás utá többször megmérjü, a

12 apott eredméy függetle az előző mérése eredméyétől. Feltesszü továbbá, hogy md az erőt, md a l megyúlást mde mérés esetébe álladó bzoytalasággal mérjü. Végül elhayagolju az l hosszúság és az A eresztmetszet mérés hbáját. Végeredméybe tehát a övetező feltevéseet tesszü: az (.) egyelet érvéyessége; az egyes mérése függetlesége; l és A mérés hbájáa elhayagolhatósága; a mérés bzoytalaság álladó értée. A ísérlet tervezése Jóllehet a mérés feladata a rugalmasság modulus értéée meghatározása, ajálatos ezt aa gazolásásával egészíte, hogy a vzsgált alaváltozáso rugalmasa. Elleező esetbe ugyas a rugalmasság modulusra torzított értéet fogu ap. Az utóbb, egészítő céltűzésből övetez, hogy az F erő mél több ülöböző értééél ell megmérü a l megyúlást, hsze csa így elleőrzhetjü az (.) szert leárs összefüggés feállását. Ehhez ügyelü ell, ehogy az F erő túlságosa agy értée forduljaa elő, ülöbe előfordulhat, hogy tartós alaváltozást dézü elő a próbateste. Ebből a szempotból a ísérlet tervezésébe agy segítséget jelethete a orább ísérlete eredméye. Ha lyee csee, ajálatos próbaméréseet végez. Az előbb, eredet céltűzés ugyaaor azt géyl, hogy az F erőe csa olya értéet válasszu, amelye bztosítjá, hogy a rugalmasság modulus értéét mél agyobb potossággal tudju meghatároz. Meg lehet mutat, hogy ehhez az F erő lehető legagyobb értéég íváatos elme. Látju tehát, hogy egymása elletmodó övetelméyeet ell elégíteü. A haszált próbatest dulás adatat (l hosszúság és A eresztmetszet) általába az a műhely szolgáltatja, ahol a próbatest észült. Ezeet évleges értéee evezzü, és mérés hbájuat általába elhayagolju, mt a fetebe s tettü. Ee elleére a tervezés sorá em erülhetjü meg az ezzel apcsolatos elemzéseet. A műhely ugyas mde esetbe megérdez, mlye tűréssel íváju a próbatestet elészíttet. Erre pedg csa aor tudu felel, ha számszerűe elemezzü a tűrése a végső mérés potosságra való hatását. Mél sebb a tűrés, aál agyobba a gyártás öltsége, tehát em bztos, hogy az az optmáls, ha a tűrése oozta bzoytalaság elhayagolhatóa cs. A mérés tervezésée fotos része azoa a ülső örülméyee a számbavétele, amelye hatással lehete a mérés eredméyere. Az adott mérés esetébe lye például a laboratórum hőmérsélete: jóllehet a rugalmasság modulust em a hőmérsélet függvéyébe íváju megmér, a hőtágulás befolyásolja a l megyúlás mért értéet. Célszerű tehát a mérést (smert) álladó hőmérsélete elvégez. Ha ez em lehetséges, ajálatos a hőmérséletet szté megmér, hogy az esetleges orrecóat el lehesse végez. Ha az alalmazott yúlásmérőt és erőmérőt m magu albrálju, az erre voatozó méréseet s meg ell tervezü. Mérése Mhelyt a mérés eljárást a fete értelmébe maghatároztu, a mérést a lehető legagyobb godossággal ell elvégezü, am emcsa azt jelet, hogy el ell e- Más szóval: a orább mérése em oozta maradadó alaváltozást. A rugalmasság határáa túllépése em mdg ooz maradadó alaváltozást, de ezt az egyszerűség edvéért fgyelme ívül hagyju.

13 rülü az esetleges durva hbáat (téves beállításo, téves leolvasáso, a leolvasott értée hbás feljegyzése stb.), haem azt s, hogy az alapul vett feltevése teljesüljee. Külööse ügyelü ell a mérés olya ülső örülméyere, amelye ugya em épez a mérés tárgyát, de befolyásoljá aa eredméyét. Esetübe lye a ülső hőmérsélet vagy (esetleg) a mérőberedezése albrácója. A mérés végrehajtásáa alapvetőe fotos része a mérés eredméye feljegyzése vagy általáosabba doumetácója. A apott eredméyeet potosa úgy ell rögzíteü, ahogy azo megszülette. A mérés tervezéseor fel ellett mérü, melye azo a meysége, amelyeet szereté meghatározott értée tarta, de legalábbs fgyel. ehát az F erő és a l megyúlás mért értée mellett fel ell jegyezü a hőmérsélet és a műszere albrácójára voatozó adatoat s (ha a albrácót m végeztü)..a. táblázat. Rugalmasság együttható mérése (seres) F (N) l (mm) (. sorozat) l (mm) (. sorozat) l (mm) (3. sorozat) 00 0,5 0,9 0, ,34 0,83 0, ,498 0,5 0, ,646 0,74 0, ,9 0,793 0, ,974,008 0, ,80,55,47 800,7,8,80 900,397,48, ,646,599,559 Az.a. táblázat egy lye mérés eredméyét mutatja, amelyet az..a. ábrá grafusa ábrázoltu. A próbatest egy mm átmérőjű, m hosszúságú acél huzal, tehát az (.) éplet szert meysége: l = 000 mm, A = 3,4 mm. A rugalmasság modulus értée E = 0 5 N/mm (rodalm adato alapjá). A húzó erő tíz értééél három sorozatba mértü végg a l megyúlás értéet. Az ábráról úgy látsz, hogy mdhárom sorozatba a apott poto jól lleszede az (.) éplet szert várt egyeesre. A ésőbb fejezetebe tárgyalt módszereel ez a három méréssorozat az E rugalmasság modulus valóba agy potosságú meghatározását tesz lehetővé. Ez tehát seres mérés. l (mm),8,6,4, 0,8 0,6 0,4 0, F (N).a. ábra. Rugalmasság együttható mérése (seres) 3

14 A tapasztalat azt mutatja, hogy célszerű olya részleteet s feljegyezü, amelyeet a mérés végzéseor em feltétleül tartu léyegese: a haszált műszere beállítására voatozó adato, a végrehajtás geometráját jellemző mérete stb. Igaz, ezere cs szüség, ha a mérést serült redbe végrehajta, vszot lehetséges, hogy éppe eze segítee egy sertelee tűő mérés megmetésébe. Az adato értelmezése A mérés eredméye megszületését övetőe tudju a tűzött célt elér: meghatározzu az E rugalmasság modulus értéét. Ezt a műveletet a matemata statsztába paraméterbecslése evez. Ncs olya műszer, amely özvetleül méré a rugalmasság modulust, tehát em tehettü mást, mt a vele az (.) éplet szert összeapcsolható l és F meységeet mér, és eze mért értéeből öveteztet a eresett E meység értéére. Mvel az előbbeet csa adott bzoytalasággal tudju mér, az utóbbt s csa valamlye bzoytalasággal aphatju meg. Azt, hogy az (.) éplet érvéyes-e, először célszerű grafusa elleőrz, amt az.a. ábrá tettü. Ugyaerre természetese más módszereet s fogu lát. etve, hogy E becslésée alapja az (.) összefüggés, lletve a több, fet megfogalmazott feltevés, a értéelés fotos része a feltevése teljesülésée elleőrzése. Ha úgy találju, hogy eze em teljesüle maradé élül, orrecóat ell alalmaz. Gyaor, hogy a hőmérsélet megfgyelt értée () eltére a évleges hőmérsélettől ( 0 ), tehát a hőtágulás együttható (c) segítségével a megfgyelt l megyúlásoat vssza ell számolu a évleges hőmérséletre. Matematalag ezt úgy fejezhetjü, hogy l-et em (.), haem a módosított l = lf ( ) EA + cl 0 (.) éplet adja meg. Az tt szereplő c együtthatót általába az rodalomból vesszü, vagy ha rodalm adat em áll redelezésüre eü magua ell c-t megmérü. Követeztetése levoása A fetebe vázolt eljárás végé a levoható legfotosabb öveteztetés ylvávalóa az E rugalmasság modulus becsült értée, am magába foglalja a bzoytalaság mértéée és természetée a meghatározását s. Ha a mérést valamlye par megredelésre, szolgáltatáséppe végeztü, egy erről szóló jegyzőöyv tulajdoéppe elégséges (amely természetese tartalmazza a mérés örülméye és a paraméterbecslés részletee a leírását s). udomáyos célú mérés esetébe azoba célszerű az alapfeltevésere és az alalmazott mérés módszerre voatozóa s öveteztetéseet levo, esetleges továbbfejlesztés javaslatoat te. Nagyo gyaor öveteztetés, hogy a apott mérés potosság em elégséges, ezért íváatos a mérést megsmétel. Fel ell smerü az elrotott méréseet, és vagy elvégez a orrecóat, vagy ha lehetséges a mérést megsmétel és az elrotott mérést csa próbamérése tete. Egy lye esetet elemzü az alább részbe. Szlárd teste hőtágulása cs, tehát a orrecós tag várhatóa elhayagolhatóa fog bzoyul a gyaorlatba. Aa, hogy szerepeltetjü, csa módszerta jeletősége va. 4

15 3,5 l (mm),5 0, F (N).b. ábra. Rugalmasság együttható mérése (elrotott).b. táblázat. Rugalmasság együttható mérése (elrotott) F (N) l (mm) (. sorozat) l (mm) (. sorozat) l (mm) (3. sorozat) 00 0,089 0, ,33 0, ,948 0, ,64 0, ,799 0, ,99 0,78 700,087 0, ,336, ,459,7 000,558, , , , ,98 700, , ,64 50, ,87 450,85 Egy elrotott mérés elemzése Néha sajos előfordul, hogy durva hbáat övetü el, és am szté em rta ez csa a értéelés sorá derül. 3 Ilye eset látható az.b. ábrá és az.b. táblázatba. A l = f(f) függvéy mérésée másod sorozatába az F erő túllépte a rugalmas alaváltozás határát, am oa látsz, hogy a apott poto eltére az (.) éplet szert egyeestől. 4 Az E rugalmasság modulus maghatározására csa a görbe egyees szaasza alalmas, a több potot fgyelme ívül ell hagyu. A leírt módo torzított méréseet valószíűség-elmélet szgorúsággal választa a va- 3 Ha még aor sem derül, az már baj: hbás végeredméyt fogu publál, amre az sem metség, hogy jóhszeműe tesszü. 4 A gyaorlatba em tudju az ábrára berajzol az tt látható folytoos görbét, hsze ehhez smerü ellee a l = f(f) függvéy elmélet alaját. Az.b. ábrára csa azért rajzoltu be, hogy vlágosabba látsszo az egyeestől való eltérés. 5

16 lóságba em egyszerű. A ésőbb fejezetebe ezt a érdést érte fogju. A problémát magát az aszmptotus tartomáy eresése éve szotu emleget, ugyas arról va szó, hogy az (.) függvéy az F változóa em mde értéére érvéyes, haem csa a rugalmasság határá belül, aszmptotusa érvéyes. Erről szól a 9. fejezet. Az elövetett balövése azoba tovább övetezméye s vaa: a mérés utá a próbatest hossza maradadóa megváltozott, tehát l értée agyobb lett egy csvel. Az adott példába ez a maradadó megyúlás örülbelül 0, mm. A próbatest évleges hossza ezutá l = 000, mm, ame a hatása az (.) épletbe elhayagolható. A harmad sorozat méréseor azoba egy újabb hba s törtét: ezt a hosszváltozást em vettü fgyelembe a l megyúláso méréseor. Az.b. ábrá ematt erülte a harmad sorozata megfelelő háromszöge az előbb ét sorozat görbé alá. Ha a mérés eredméyeet úgy rögzítettü, ahogy megszülette, tehát vlágosa látszaa az egyes sorozato, a értéelés eretébe esetleg helyrehozhatju az elövetett hbáat. Egyrészt ell választau az egyeestől elhajló potoat, és a rugalmasság modulus becslésébe csa a többt szabad felhaszálu. Másrészt a harmad sorozatba mért megyúlásohoz egy l 0 addtív orrecót ell alalmazu, vagys (.) helyett ezere a l = lf ( ) EA + cl 0 + l 0 (.3) éplet érvéyes. Mvel a hbát csa utólag vettü észre, l 0 értéét sem smerjü. Ez azt jelet, hogy az eredetleg eresett E mellett ezt s becsülü ell. Végeredméybe tehát az elövetett hbáat redbe lehetett te, de lássu be, hogy ee az volt a feltétele, hogy a feljegyzéseből potosa látszott, hogya törtét a mérés. Nylvávaló ugyaaor, hogy az eredetleg tett alapfeltevésehez továbba járulta, hsze csa feltevésü lehet arról, m lehetett a mérés sorá elövetett hba jellege. Helyzetüet természetese öyít, ha em settü a mérés yomaa eltütetésével. Például haszos, ha utólag meg lehet vzsgál a próbatestet, valóba beövetezett-e rajta a feltételezett maradadó alaváltozás, és ha ge, aor az meora (vagys l 0 értéét utólag meg lehet mér). Befejezésül még ét hbát ell az.b. ábrá és az.b. táblázatba észreveü, amelyehez hasoló gyara előfordula, ha godatlaul mérü és redetleül dolgozu. Az adatoa a számítógépbe való bevteleor törtét ét elírás: az első sorozatba az F = 300 N-hoz tartozó megyúlás valójába 0,448; a harmad sorozatba az F = 700 N-hoz tartozó megyúlás valójába 0,864. Ha redetleül íru, a 4-est öye olvashatju 9-ese, a 8-ast 3-asa. Ezeet a hbáat azért csempésztü a szmulált mérésbe, hogy megvlágíthassu az ú. szóró poto fogalmát. Így evezzü azoat a mérés adatoat, amelyere valamlye durva mérés hba folytá em érvéyese az alapfeltevése. Azoosításu és ezelésü a matemata statszta egy ehéz problémája. Ee szeteljü a 8. fejezetet... Általáos övetelméye Az.. alfejezetbe tárgyalt példa utá az alábbaba általáosa s megfogalmazzu a mérése végzésével és értéelésével szembe támasztott övetelméyeet. Az egyes szaaszo címe tulajdoéppe azoos az előző alfejezet címevel. Nehogy ez félreértést oozzo, az alábbaba a szaaszoat betűjellel látju el. 6

17 a) A probléma megfogalmazása Ne tévesszee meg beüet a folyóratce vlágos és logus ofejtése, amelyeel témájuat bevezet. Általába regeteg ötletre és tuícóra volt szüség ahhoz, hogy egyáltalá egy tárgyalható problémát tudjaa megfogalmaz. A özépszerű és a váló tudóst többe özött az ülöböztet meg egymástól, mlye ötletese és meora épzelőerővel tűz a megoldadó problémát. A probléma tűzése többyre már előrevetít a ser vagy a udarc lehetőségét. Néháy példa probléma tűzésére: VALAMILYEN FIZIKAI MENNYISÉG MÉRÉSE. A eresett meységet éha özvetleül meg tudju mér: egy rúd hossza, egy edéy térfogata stb. A leggyaorbb azoba az, hogy a eresett meység (vagy meysége) helyett másoat tudu özvetleül megmér, amelye az előbbeel smert apcsolatba vaa. Ilye feladat a rugalmasság modulus fetebe tárgyalt mérése s. Kézefevő példa továbbá mde csllagászat mérés: az égtestee az égbolto való látszólagos helyét vagy mozgását mérjü meg, és geometra meg ég mechaa megfotolásoal tudju a özvetleül mért meységeet az égteste téyleges helyével vagy mozgásával összeapcsol. FIZIKAI ÖSSZEFÜGGÉSEK KÍSÉRLEI MEGHAÁROZÁSA. Vaa fza meysége, amelyee valamlye változótól való függését elméletleg rosszul vagy egyáltalá em tudju megjósol, így ezt ísérletleg ell meghatároz. Példá: a víz sűrűsége ülöböző hőmérséletee, szlárd teste fajhőjée a hőmérsélettől való függése, hatáseresztmetszete függése a reacót váltó részecse eergájától, a műszere albrácója stb. ELMÉLEI KIJELENÉS IGAZOLÁSA. Az elmélet jeletés általába egy meység számértée vagy fza meysége özött függvéyapcsolat alaja. A ísérlet gazolás érdeébe megmérjü a megjósolt meysége(e)t, és elleőrzzü azt a hpotézst, hogy az elmélet jeletés helyes. A végső öveteztetés eor a hpotézs elfogadása vagy elvetése. etve, hogy mde mérés eredméyét terhel valamlye bzoytalaság, az lye típusú öveteztetése sohasem lehete bztosa. Legfeljebb arról lehet szó, hogy a hpotézs helyes vagy téves voltát valamlye valószíűséggel modju. SZÁMÍÁSI MÓDSZER VALIDÁLÁSA. A orszerű számítástecha lehetővé tesz, hogy boyolult jeleségeet, például egy atomreator műödését számítógéppel szmulálju. A számítógép program számos özelítést alalmaz, továbbá agy számú magfza adatot haszál. A bztoság érdeébe meg ell övetel, hogy a számítás potosság elégítő legye. 5 Ee az utóbb övetelméye hatóság érvéyű elégítését valdálása evezzü, am azt géyl, hogy a számításo eredméyet ísérlet adatoal elleőrzzü. Ha a számításo eredméye a ísérlet adatoa elletmodaa, a valdálás feladata a számítás potosság mősítése (esetleg számszerűsítése) s. MÉRÉSI MÓDSZER BEGYAKORLÁSA. A hallgató laboratórum gyaorlato elsődleges célja, hogy a hallgató dolgozott mérésee eresztül megtauljá a ísérlet fzus mesterfogásat. Ez azt jelet, hogy a gyaorlatot előészítő taár az alábba agy részét már megtette. A hallgató feladata csa a mérés elvégzése és értéelése. 5 A mérésehez hasolóa, a számításo potossága s véges ha másért em, aor az általu felhaszált adato véges potossága matt. 7

18 b) Feltevése A mérés számára elsőét alapul vett feltevés mdeor a mérés céljából övetez. Ha a cél valamlye meység meghatározása, fel ell tételezü aa az összefüggése a helyességét, amely a özvetleül mért meységeet a eresett meységgel összeapcsolja. Hasolóa fel ell teü az gazoladó elmélet vagy a valdáladó számítógép modell helyességét. Ezt a hozzáállásuat a apott eredméye értelmezéség fe ell tartau. Elvetü csa a végső öveteztetése levoásaor szabad ha egyáltalá szüséges. etve, hogy mde mérés eredméye bzoyos mértég bzoytala, ee a bzoytalasága a természetére és mértéére szté ell feltevéseet teü. Hogy ez oréta mt jelet, arról a ésőbb fejezetebe bőve lesz szó. A mérést befolyásoló ülső feltételere voatozóa tovább feltevése szüségese. Eze szabjá majd meg az alalmazadó orrecóat. Fotosságuat mutatja, hogy emrtá dötő szerepet játszaa a végső eredméye eredő bzoytalaságába. c) ervezés A ísérlete tervezése géyl a legtöbb fatázát, és ez az a terület, amelyről a legevesebbet lehet általáosságba moda. együ fel, hogy elépzeltü a ísérlet beredezést. Méretet, tűréset, a műszerezettségére voatozó adatoat a ísérletezőe ell meghatároza aa érdeébe, hogy a megfogalmazott probléma megoldására alalmas legye. A dötő természetese a mérés potosság érdése. Erre ét példát hozu. Amor a ísérlet révé szereté ét elmélet jóslat özött választa, a mérés bzoytalasága ylvávalóa soal sebba ell lee, mt a ét jóslat özött eltérés. Számítógép programo valdálásaor pedg a mérés potossága általába jobba, de legalábbs özel azoosa ell lee, mt a számításotól elvárt potosság. Ha ezt em tudju elér, aor a ísérlete számáa a övelésével tudju a mérése potatlaságát ellesúlyoz. Md a potosság javítása, md a ísérlete számáa a övelése többletöltséggel jár. Már a ísérlete tervezéseor meg ell tehát találu a legsebb öltségere vezető optmumot. Godosa tervezedő az adato doumetálásáa a módja. Már a ísérlet megezdése előtt el ell döteü, hogya fogju az adatoat értéel, melye lesze azo a ülső befolyásoló téyező, amelyeet ézbe tartu, melye azo, amelyeet orrecóba veszü, és végül melye azo, amelye hatását elhayagolju. erv szüséges a mérőberedezés albrálására, helyes műödésée elleőrzésére, ee módjára és gyaorságára. A ísérlete tervezésée általáos tárgyalására ebbe a jegyzetbe em erülhet sor. Vaa műve [], amelye ezzel a érdéssel s foglaloza. Általáosa alalmazható recepte em születte még. Más szóval: a ísérlete tervezéséből em lehet tat a godolodást. d) A mérése végrehajtása Mutá a fetebe összegzett előészítés megtörtét, a mérése vtelezhető. A legfotosabb övetelméy a ísérlet terv lehető legagyobb godossággal való végrehajtása. Eze túlmeőe a övetezőet ajálatos szem előtt tarta: Az esetleges hbáat a legöyebbe a mérése végzése özbe hozhatju helyre. A mérése befejezése utá már algha elleőrzhetjü a leolvasáso helyességét, a műszere beállítását stb. Ezért a apott eredméye értelmezésével em 8

19 oos dolog megvár a mérése végét, haem már a részeredméyeet s célszerű elemez. Az.b. ábrá llusztrált hbá felsmerésére és helyrehozására csa a legtapasztaltabb ísérletező épese. 6 A mua özbe észített feljegyzése legyee részletese, és tartalmazzaa mde olya formácót, amely segíthet a értéelésbe. A ísérletező gyara ese abba a hbába, hogy emléezetüet végtele hosszúa tet. Arra ell számítau, hogy a fotos részlete többségére már egy hét múlva sem fogu emléez. Mde értéelés feltételezésee alapul (lásd fetebb), így érvéyét veszt, ha eze a végső öveteztetése szert helytelee bzoyula. Ilye esetebe új feltevéseet ell te, és az adatoat újra ell értéel. Ez azoba csa aor lehetséges, ha megvaa a yers mérés adato. Az a orszerű, ha tárolásu formája valamlye értéelő program által olvasható számítógépes fájl. A doumetácó legye olya, hogy máso s át tudjá tete. A erre em ügyel, leéz saját méréset, hsze fel sem tételez, hogy eredméye utá máso s érdelőd foga. A hallgató ülööse ügyeljee arra, hogy mérés jegyzőöyvüö legalább a taár el tudjo gazod. e) Kértéelés A értéelés módszereről és szabályaról a jegyzet több fejezetébe bőségese lesz szó. Három általáos megjegyzést azoba tt s teü ell: Kértéelésor megváltoz a ísérlethez való vszoyu. Az előészítésbe azzal foglaloztu, hogya tudju a ísérletet a tűzött céla legjobba megfelelő módo elvégez. Mutá a mérés lezajlott, azora az adatora ell támaszodu, amelyeet a mérésbe megaptu. Eze tartalmazhata hbáat, utólag ugyas rájöhetü, hogy valamt másépp ellett vola csálu. Kértéelésor mdeze már em tudu változtat: abból az adathalmazból ell a ívát formácót szedü, am redelezésüre áll. A ísérlet adat agy érté. Ee megfelelő tsztelettel ell báu vele. Ez ülööse a yers mérés adatora voatoz, ugyas azo jelet a ísérlet téyeet. Mde értéelt vagy orrgált eredméy már függ a tett feltevésetől, tehát csa aor ísérlet téy, ha mde feltevés helyes. A értéelése ugya része az esetleges durva hbá szűrése, de ez em vezethet a mérés adato öéyes megváltoztatására vagy hagyására, ahogy moda szoás, ozmetázására. A érdéssel a 8. fejezetbe foglalozu. f) Követeztetése Ahhoz épest, amt a végső öveteztetéseel apcsolatba az.. alfejezetbe modtu, már evés hozzátevaló marad. A legfotosabb, amt az egész műveletsor végé el ell döteü, az a övetező: serült a megfogalmazott problémát megolda? Ha erre a érdésre geel felelhetü, muáat elvégeztü, és em marad más hátra, mt a utatás jeletést vagy a tudomáyos cet megír 7. Elleező esetbe újabb ísérletet vagy értéelést ell javasolu. 6 Más érdés, hogy azo el sem övet ezeet a balövéseet. 7 Lelsmeretes tudóso mdettőt megírjá. A utatás jeletés tartalmazza a részleteet, amelye alapjá máso megsmételhet a m ísérletüet. A tudomáyos c a ísérlet eredméye, de főleg a öveteztetése elegás, léyegretörő megfogalmazása. 9

20 Hallgató labormérése esetébe a legfotosabb öveteztetés a mérés jegyzőöyv elészítése, amely em a tudomáyos c, haem a utatás jeletés rooa..3. Jellegzetes példá mérése értéelésére örtéelm vsszapllatás Abba az értelembe, ahogy azt ma értjü, a 8. század végé merülte fel mérésértéelés problémá. Nevezetes P. S. Laplace számítása (786), amellyel a Föld alaját meghatározta. Már aor tudtá, hogy a Föld em gömb alaú, haem egy forgás ellpszoddal özelíthető. Az ellpszod paraméteret méréssel határoztá meg. etsü az.. ábrát. A Föld eresztmetszetét mutatja, amely a feltevés szert ellpszs. Külöböző földrajz helyee megmérté a délör özéppot szöghöz tartozó darabjáa M hosszát. A mérés helyét az l szélesség örrel jellemezté. Geometra megfotolásoal levezetté, hogy M és l özött az (.4) éplet szert összefüggés áll fe, ahol a és b az ellpszs alajától függő smeretle álladó. 8 M o l M = a + bs l = a + bx (.4).. ábra. A Föld alaja.. táblázat. A Föld alajára voatozó mérése Földrajz hely l ( ) x = s l M (dupla öl) Peru 0,0 0,0 5538,85 Jóreméység foa 37,0093 0, ,65 Pesylvaa 43,5556 0, ,60 Olaszország 47,7963 0, ,55 Fracaország 5,337 0, ,8 Ausztra 53,096 0, ,30 Lappföld 73,7037 0, ,5 dupla öl =,949 m A mérés eredméye az.. táblázatba található. 9 Laplace a övetezőéppe oosodott. etve, hogy em lehet a és b értéét úgy megválaszta, hogy az (.4) éplet mde mérésre potosa érvéyes legye, a éplet hbáját a lehető legsebb értére próbálta leszoríta. Adott a és b mellett meghatározta az M a bs l 8 a és b em az ellpszs féltegelyee a hossza, de azoal smert összefüggésbe áll. Ha tehát meghatározzu a-t és b-t, a féltegelyeet s megapju. 9 A hosszúságot aorba dupla öl egységebe mérté. Csa az érdeesség edvéért hagytu ezt meg. A szögeet azoba átszámoltu a ma haszálatos foora, jóllehet eredetleg olya foba mérté, amely szert a teljes szög

21 hbatago maxmumát, majd megereste a és b olya értéet, amelye mellett ez a maxmum a legsebb. A moder termológa szert ezt mmax becslése evezzü. Laplace eredméye a övetező volt: a = 555, dupla öl és b = 308, dupla öl. Eredetleg A. M. Legedre javasolta a legsebb égyzete módszerét (806). Javaslatát az.. táblázatba szereplő adatora voatozóa fogalmazzu meg. Ha az egyes mérése megülöböztetésére bevezetjü az dexet, aor szerte a 7 ( ) Q = M a bx = (.5) égyzetösszeg mmumát ell eres. C. F. Gauss csllagászat és geodéza megfgyelése értéelésével foglalozott. 809-be ő vetette meg a legsebb égyzete módszerée az alapjat. Léyegébe a ma apg haszálju az általa bevezetett fogalmaat és jelöléseet. Újabb áttörést eredméyezett A. Fsher muássága a 0. század tzes évebe, ae a evéhez fűződ a maxmáls valószíűség 0 ma általáosa alalmazott módszere. Eszert a eresett paramétere becsült értéét úgy választju meg, hogy azo mellett a apott ísérlet eredméy a legvalószíűbb legye. A módszer előye, hogy matematalag jól ezelhető formulára vezet, továbbá hogy a becslése edvező matemata statszta tulajdosága vaa. A hpotézse vzsgálata elsősorba J. Neyma és K. Pearso muássága révé fejlődött a 0. század es évebe. Számos statszta próba született, amelye özül a legfotosabbaat ebbe a jegyzetbe s tárgyalju. Az 980-as éve végére újból előerülte olya becslés módszere, amelyeet a 9. század végé már alalmazta, de a maxmáls valószíűség módszere háttérbe szorította őet. Közéjü tartoz a már említett mmax módszer, továbbá a legsebb abszolút értée módszere. Az utóbb szert a 7 Q = M a bx (.6) = összeg mmumát eressü az a és b paramétere függvéyébe. Matemata szempotból ez a probléma vsszavezethető a gazdaság optmalzálás céljara dolgozott leárs programozásra. A módszer aor jött újra dvatba, amor erre özhaszú programo jelete meg. A matematuso ajáljá ee a haszálatát s, ugyas a módszer jeletős előye, hogy soal evésbé érzéey a szóró potora, mt aár a legsebb égyzete, aár a maxmáls valószíűség módszere. Úgy modju, hogy eze robusztus becslése. Részletesebb tárgyalásura sajos cs helyü ebbe a jegyzetbe. Paraméterbecslés függvéyllesztéssel Függvéyllesztésről beszélü, amor a özvetleül mért és a eresett meysége özött matematalag megfogalmazható függvéyapcsolat va. Az előbbeet ξ, ξ,..., ξ -el, a eresett meységeet pedg a, a,..., a m -mel jelöljü. Eor a apcsolatot a övetező alaba írhatju fel: 0 Egyes magyar szerző a módszer eredet agol eve utá maxmum lelhood módszerről beszéle. Gyara beszédbe ma s ezt a fejezést haszálju.

22 ( ) ξ = f x, a + ζ, =,,...,, (.7) ahol x az ú. függetle változó, a az smeretle meységeből épezett vetor, ζ a hbatag. Az utóbb azért lép fel, mert mt már többször hagsúlyoztu a mért meysége értée bzoyos mértég a véletletől függ, tehát az elméletleg levezetett összefüggés sohasem teljesül potosa. A eresett meységeet ebbe az öszszefüggésbe paraméteree szotu evez. Nos, a paraméterbecslés abba áll, hogy az a, a,..., a m meységeet úgy választju meg, hogy a hbatago valamlye értelembe a lehető legsebbe legyee. Már több, az (.7) éplete megfelelő függvéyapcsolatot s felírtu orábba. Laplace problémájába az (.7) szert függvéyapcsolat a övetező [vö. (.4) éplet]: ( ) f x, a = a + a x, ξ = M, x = s l, a = a, a = b. Az.. táblázatba a mérés poto száma = 7, a eresett paramétereé pedg m =. A rugalmasság modulus méréseor a függvéyapcsolat alaja attól függ, a felírt éplete melye alalmazadó. A legegyszerűbb az (.) éplete megfelelő eset: lx f( x, a ) = aa, ξ l =, x = F, a = E. Az (.) esetbe az smeretle paramétere száma továbbra s m =, de a függetle változó száma most ettő: x = F és y = : (, y ;a) = + ( ) f x lx aa cl y 0, x = F, y =. Mdét függvéybe l, A, c és 0 smert álladóa tetedő. Nem rta, hogy a fet esethez hasolóa egy paraméterbecslés problémáa egyél több függetle változója va. Ee elleére az egyszerűség edvéért ezt csa aor jelöljü ülö, ha feltételeül szüséges. Az (.3) éplet esetébe a paraméterbecslés tovább boyolód: ahol a lx f( x, y;a ) = + ( ) aa cl y 0 + a, 0 = az. +. sorozatba, l a 3. sorozatba. 0 A eresett paramétere száma tehát m = -re őtt, de az a paramétert csa a 3. sorozatba ell fgyelembe ve. A eresett paraméterere apott becsült értéeet az f(x,a) függvéybe vsszahelyettesítve olya értéeet apu, amelye a választott értelembe a lehető legözelebb álla a özvetleül mért adatohoz. Ilyee az.a. ábrára berajzolt egyees potja. Így az eljárást függvéyllesztése s evezzü, hsze az f(x,a) függ- Érdemes megjegyez, hogy lye típusú problémára a özhaszú számítógép programo többsége cs felészülve. A ülölegesség abba áll, hogy az f(x,a) függvéy alaja más az adato ülöböző csoportjara.

23 véy paraméteret úgy választju meg, hogy a függvéy görbéje a lehető legözelebb haladjo a mért adatoat ábrázoló potohoz. Ebbe az összefüggésbe az f(x,a) függvéyt llesztőfüggvéye evezzü. Nem túlzás azt állíta, hogy seres választása a mérés értéelésée a ulcsa. Regresszó Számos szerző mde függvéyllesztést regresszóa evez. A legegyszerűbb a leárs regresszó, mert a e megfelelő llesztőfüggvéyt a fetebe már felírt ( ) f x, a = a + a x (.8) éplet adja meg. Az llesztést zsebszámológéppel, sőt grafusa s végre lehet hajta. A gyaorlatba a legtöbb llesztés problémát gyeszü lye llesztésre vsszavezet, amt a probléma learzálásáa evezü. A dologra a ésőbb fejezetebe még vsszatérü, mert ez az eljárás em metes a csapdától (vö. 7.. alfejezet) Nem árt tud, hogy a regresszó fejezés eredetleg soal szűebb dolgot jeletett. A fogalmat Sr Fracs Galto vezette be, a az élőléye egyes mérhető tulajdoságaa az összefüggését vzsgálta a szülő és az utódo özött. Vegyü egy példát. Azt találta, hogy az átlagál magasabb szülő gyermee várhatóa szté magasabba az átlagál, de magasságu a szülő magassága és az átlag özé es. Aalóg jeletést lehet te az átlagál alacsoyabb szülő utódaról s utód magassága (cm) szülõ magassága (cm).3. ábra. A szülő és utódo magassága özött orrelácó Az ebbe a szűebb értelembe vett regresszót az.3. ábrá látható példával llusztrálju. Általáosságba megmutatju, hogy a hasoló grafooo a vzsgált meysége özött leárs apcsolata ell lee, és az egyees meredesége felvlágosítást ad a apcsolat mértééről, amt ebbe az összefüggésbe orrelácóa evezü. Ha egyáltalá cs orrelácó, a meredeség ulla. A dolgot érdemes ülö s megvzsgálu (vö. 7.. alfejezet), mert az lye grafoo haszosa, ugyaaor éha meghöető és omus félreértésere ada alapot. Számos lye példa erg a matemata statszta haszát étségbe voó rodalomba. Az elv ülöbség matt ebbe a jegyzetbe a regresszó fejezést csa ebbe a szűített értelembe haszálju. 3

24 Kegyelítés együ fel, hogy megmértü egy háromszög szöget, és a övetező eredméyt aptu (Ly []): α = 54 5 β = 50 γ = Összegü 80, vagys 80 -tól eltér. Az eltérés oa a mérés hba. Az adato ylvá em maradhata így, hsze a szögeel csa aor dolgozhatu tovább, ha összegü potosa 80. A mért szögehez tehát alalmazu ell valamlye orrecót: α = α 0 +ζ β = β 0 +ζ γ = γ 0 +ζ 3, ahol ζ + ζ + ζ 3 =. (.9) A legsebb égyzete módszere alapjá a orrecóra a övetező feltételt írhatju fel: Q = ζ + ζ + ζ 3 = mmum. (.0) Ezt a problémát egyszerű megolda. Q ugyas a övetező alaba írható át: 3 ( ) Q = ζ ζ + 3 ζ, = ahol ζ + ζ + ζ 3 ζ = = = Látható, hogy Q aor vesz fel a mmumát, amor ζ = ζ = ζ3 = ζ = 4. A eresett szöge tehát: α 0 = 54 β 0 = γ 0 = 76. A most megoldott problémát egyelítése evezzü. Általáosabba fogalmazva arról va szó, hogy a függvéyllesztés sorá a eresett paramétere értéét em választhatju meg szabado, haem értéüe ell elégíteü bzoyos összefüggéseet. A most tárgyalt problémába ez az (.9) éplet. Néha öyebb a paramétere özött összefüggéseet em explct formába felír, haem azt megövetel, hogy az llesztett függvéy görbéje egy vagy több rögzített poto átmeje. Egyees llesztéseor például megövetelhetjü, hogy az egyees meje át az orgó. Normálás Az.3. táblázat egy, az r változó függvéyébe mért függvéyt mutat, amelyet három részletbe mérte. A mérés részecseszámlálóval törtét, amelye az érzéeysége mérésről mérésre változott, így a függvéy görbéjée más a ormálása az egyes mérésebe. Az.4a. ábrá együtt mutatju a három mérésbe apott görbedaraboat. Eze em szmulált, haem téyleges mérése. 4

25 .3. táblázat. Eloszlás mérése három részletbe r (cm). mérés. mérés 3. mérés eloszlás r (cm).4a. ábra. Három részletbe mért eloszlás Ahhoz, hogy megapju a eresett ψ(r) eloszlást, a három görbedarabot össze ell ormál. Eze azt értjü, hogy mdegy darabhoz eresü ell egy ormálás téyezőt, amellyel azt elosztva olya értéeet apu, mtha a detetor érzéeysége mde mérésbe azoos lett vola. Ee a feladata a megoldása egyszerű legalábbs első látásra. A ormálás téyezőt valamely mérésre voatozóa -e választju. Legye ez a 3. mérés. Az első és másod mérés ormálás téyezőjét a özös r-eél apott értée összevetésével apju: a = = 0, 386 ; 3 5

26 a = 5 = 0, 54. Ha cs megfelelő függvéyllesztő program, a fet megoldás elfogadható, de em deáls. A ormálás problémát meg lehet ugyas függvéyllesztés feladatét s fogalmaz. A j-ed méréshez tartozó ormálás téyezőt a j -vel jelöljü (j =,, 3). Eor az llesztőfüggvéyt a övetező alaba írhatju fel: ( a r ψ) ψ( ) f x, j;, = a x, x = r. (.) j Az.3. táblázatba szereplő adatoat most ét függetle változó jellemz: a mérés sorszáma (j) és a mérés helye (r). Kétfajta paramétert ell becsülü: a ormálás téyezőet (a j ) és a ψ(r) eloszlást, amelye az értéet a r ψ vetor ompoesee tetjü. Mvel az.3. táblázatba az r változó 0 ülöböző értée szerepel, a ψtípusú paramétere száma s ey. Mvel a három özül az egy ormálás téyezőt szabado választhatju meg, a becsült paramétere teljes száma: m = 0 + =. eloszlás r (cm).4b. ábra. Az összeormált eloszlás az (.) llesztőfüggvéy szert Ha a 7.7. alfejezetbe tárgyalt módszereel a függvéyllesztést elvégezzü, a végeredméy a övetező: a = 0,386 a = 0,539. Ez léyegébe ugyaaz, mt a ézzel apott megoldás. Az (.) llesztőfüggvéy alalmazásáa számos előye va, amelyeről a ésőbb fejezetebe lesz szó. A teljes ormált görbe az.4b. ábrá látható. Korrecó Már a rugalmasság modulus becslésée alapjául szolgáló (.) és (.3) épletebe alalmaztu orrecót a hőtágulásra, lletve a próbatest maradadó megyúlására voatozóa. A gyaorlatba vételese az olya mérése, amelye értéelésébe cs szüség hasoló orrecóra. ermészetese a orrecó em mdg egy járuléos tag levoását (vagy hozzáadását) jelet. Vaa orrecós osztó- vagy szorzótéyező s, sőt eze ombácója s előfordul. A orrecó alalmazása egyszerűe tű. Valóba az s. Nem szabad azoba félvállról ve a dolgot. A orrecó hatással vaa a végeredméy eredő bzoy-

27 talaságára, ame a fgyelembevétele rejt magába csapdáat. Gyara em trváls a orrecóat potosa ott és potosa úgy alalmaz, ahogy azo a mérés adatoat befolyásoljá. Smítás Az.4b. ábrá apott függvéygörbéről elméletleg tudju, hogy az r változó özepes értéere (r < 5 cm) sma, lassa változó függvéy. Ezzel szembe az ábrá látható poto meglehetőse agy szórást mutata, am feltehetőe a mérés hba övetezméye. Ha em smerjü az elmélet görbe orét alaját, gyara smítju a görbét. Ee az a matemata alapja, hogy lassa változó függvéye aylorsorba fejthető, tehát a potora szaaszoét egymáshoz lleszedő polomoat llesztve egy sma, lassa változó függvéyt aphatu. A smított görbe jól haszálható például a mért görbe umerus derválására. A görbesmítás más alalmazása lehet az terpolácó, amor a mért függvéyre a függetle változó olya értééél va szüségü, amelyre voatozóa em törtét mérés. 7