Járatszerkesztési feladatok

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Járatszerkesztési feladatok"

Átírás

1 Járatszeresztési feladato 1 Járatszeresztési feladato DR. BENKŐJÁNOS Agrártudomáyi Egyetem GödöllőMezőgazdasági Géptai Itézet A járat alatt a logisztiába általába a járműve meghatározott több állomást éritőútvoalát értjü ami lehet meetredszerűvagy eseti. A járato tervezésére iráyuló tevéeységet pedig járatszeresztése evezzü. A járatszeresztés célját és megoldási módját teitve a orét feladattól függőe agyo soféle lehet. Egyes esetebe az útvoala adotta és a meetred összeállítása a feladat más esetebe csa alalmi optimális útvoalaat ell meghatározi de gyara fordul előa ét alapeset ombiációja is. A járatszeresztésre ezért egységes megoldási módszer em adható. Midig a orét feladat ismeretébe ell megeresi vagy ifejlesztei azt az eljárást amelytől megoldást remélhetü. E taulmáyba ét gyara előforduló problémával foglalozu. Az egyi a szállítójárműve targocá stb. üres futásáa miimalizálása a mási a özpoti telephelyről idított orlátozott számú és apacitású járműve útvoaláa optimalizálása. Járatszeresztés az üres meete öltségée miimalizálásával Az üres meete miimalizálásá alapuló járatszeresztési probléma modelljét és algoritmusát az ATUKI megbízásából Kreó Béla és Szátó Emil dolgozta i [4]. E helye az algoritmus továbbfejlesztett változatát mutatju be [1]. Ez a sajátos probléma általába több telephellyel redelezőüzembe merülhet fel amior olya járatoat ell tervezi amelye a telephelyeet a szüséges gyaorisággal ériti és egyúttal a legrövidebbe is. A gyaorlatba soféle módo megfogalmazható feladat alapmodellje a övetező: Adott számú állomás A 1 A 2... A. Az állomáso egyidejűleg egyarát lehete feladó és megredelő. A j-edi állomás mit megredelőy számú raomáyt igéyel az i-edi feladótól. Ezeívül ismeretes az állomáso özötti szállítási távolság vagy a fajlagos szállítási öltség (c ). A cél olya útvoal megtervezése amely a lehetőlegevesebb üres futás mellett biztosítja hogy a feladó állomásoról az áru a megredelőállomásora erüljö. Köye belátható hogy a itűzött célt aor érjü el ha az üres meeteet úgy osztju el az egyes szállítási viszoylatora hogy az x üres meete száma és a c fajlagos szállítási öltsége szorzataia összege miimális azaz i 1 j 1 c mi. x Az elmodottaból az is iderül hogy ha valameyi állomáso azoos a megredelt és feladott raomáyo száma aor ics üres meet és a feladata ics értelme. A legedvezőtleebb esetbe viszot mide raott meetet üres meet övet. A feladat ma már lassziusa teithetőmegoldása ét lépésből áll. A feladatot szállítási problémaét ezelve az elsőlépésbe az üres meeteet programozzu. A másodi lépés a járatapcsolás vagyis az üres és a raott meete valamilye előírás szeriti összeötése. A lasszius módszer szerit az elsőlépésbe egy olya szállítási feladatot ell megoldai amelybe a észlete a feladóhelyeről idított az igéye pedig a megredelőhelyere ére-

2 2 Logisztiai Évöyv 94 MLE zőjáratoa felele meg. A öltségmátrix főátlójába csa 0 eleme szerepele így a megoldás sorá a raott meete a főátlóra erüle. A főátló ívüli relációra programozott meete az üres meete számát adjá amelye a mátrix traszpoálásával erüle a téyleges helyüre. Ezutá a járatapcsoláshoz szüséges ú. muamátrixot a raott és az üres meete mátrixáa egymásra illesztésével apju meg. A továbbiaba az ismertetett eljáráshoz hasoló de evesebb számítást igéylőalgoritmust mutatu be [1]. Teitsü először az algoritmust: (1) y 0 x 0 i j (2) d y y (3) (4) j 1 j i 1 d ha d 0 r 0 ha d 0 d ha d 0 t 0 ha d 0 (5) x j t j 1 (6) x i r i 1 (7) c M ha i j (8) c mi i 1 j 1 x i ahol: az állomáso száma y a raott meete száma az relációba x az üres meete száma az relációba d a -adi állomásról idított és a -adi állomásra érezőraott meete számáa a ülöbsége t a -adi állomásról idított üres meete száma r a -adi állomásra érezőüres meete száma a fajlagos szállítási öltség. c Az algoritmust összehasolítva az eredeti eljárással az alapvetőülöbség az üres meete számáa meghatározásába mutatozi és mit láti fogju ez léyegese egyszerűsíti azo elosztását is. Az algoritmus szerit először a (2) (3) (4) összefüggéseel iszámítju az üres meete számát. A raott meete Y mátrixát soroét és oszlopoét összegezzü majd a -adi sorösszegből levoju a -adi oszlop összegét. A d differeciá előjele a (3) és (4) feltételee megfelelőe megmutatja hogy az üres meetet a -adi állomásról ell-e idítai vagy a -adi állomásra ell teljesítei. A d >0 azt jeleti hogy a -adi állomásról több raott meetet idítaa mit ameyi oda érezi. Értelemszerűe ezért a -adi állomásra r =d alalommal ell ürese mei. Ha a d <0 aor fordított a helyzet és a -adi állomásról t =d alalommal ürese ell idítaia járatot. A d =0 esetbe magától értetődőe ics üres járat vagyis r =t =0.

3 Járatszeresztési feladato 3 Az üres meete számáa meghatározása utá valamelyi ismert algoritmussal megoldju az (5) (6) (7) feltételeet és a (8) célfüggvéyt ielégítőszállítási feladatot. A továbbfejlesztett eljárás előye itt domborodi i mivel a C öltségmátrix azo sorait illetve oszlopait ahol t =0 illetve r =0 elhagyhatju. Így az eredetiél jóval isebb méretűszállítási feladatot ell megoldai. A legedvezőtleebb esetbe is -ről /2-re csöe a öltségmátrix redje. Az ismertetett előyö szemléltetésére teitsü egy az irodalomból ismert példát [3] így az érdelődőolvasóa alalma yíli a régi és az új eljárás idő- és számításigéyée összehasolítására. Egy üzembe öt muahely... özött a szállítást targocával íváju megoldai. Az üzeme özött teljesítedőraott meete számát tartalmazó Y mátrix: H o v a H j y j o a i y i A fajlagos szállítási öltsége mátrixa legye a távolságmátrix mivel a szállítási öltség a távolság lieáris függvéye: H o v a H o a Képezzü a (2) összefüggésee megfelelőülöbségeet és határozzu meg a (6.3) (6.4) feltétele alapjá az elosztadó üres meeteet: d 1 =4 r 1 =4 t 1 =0 d 2 =0 r 2 =0 t 2 =0 d 3 =-1 r 3 =0 t 3 =1 d 4 =-3 r 4 =0 t 4 =3 d 5 =0 r 5 =0 t 5 =0 Ezutá azoat a soroat és oszlopoat elhagyva ahol t =0 illetve r =0 írju fel a szállítási feladat iduló tábláját:

4 4 Logisztiai Évöyv 94 MLE H o v a H t o a r 4 Amit látható a szállítási feladat egy 2 1-es mátrixra reduálódott amelye megoldását az iduló táblába azoal feltütettü: x 31 =1 x 41 =3. Az üres meete öltsége: i 1 j 1 c x 25 A járatapcsoláshoz szüséges muamátrixot a raott és üres meete mátrixaia összegzésével yerjü: Y'=Y+X H o v a H o a A szállítás összes öltsége: i 1 j 1 amelyből 25 egység az üres meete öltsége. c ( y x ) 255 A járatapcsolás ituitív feladat amelye sorá ülöbözőorlátozó feltételeet is figyelembe lehet vei. Például ha orlátozott a járműve által apota megtehetőtávolságegysége száma aor a szállítást több járművel ell megoldai. Esetübe egy targoca apota 54 távolságegységet épes teljesítei így a feladatot 5 targocával tudju elvégezi. H o v a H o a

5 Járatszeresztési feladato 5 Idítsu az I. jelűtargocát a üzemből a -ba ezt egy vízszites és egy függőleges szaasszal jelöljü miözbe az y' 13 értéét 3-ról 2-re csöetjü. Ezzel 1 raott meetet teljesítettü a -ből a -ba. A targoca által megtett út: s I =c 13 =10. Ezt övetőe iráyítsu a targocát a -ból -be amit ismét egy vízszites és egy függőleges szaasszal jelölü. Elvégezve az előzőműveleteet: y' 32 =4 1=3 s I =s I +c 32 =10+4= táblázat Targoca Útvoal Távolság I 51 II 51 III 54 IV 49 V 50 Összese 255 A továbbiaba a műveleteet em részletezve a bemutatott módo addig ötjü össze az üzemeet amíg a targoca által megtehető54 távolságegységet el em érjü. Ezutá elöljü a II. III. stb. targocá útvoalait. A végsőmegoldást a 1. táblázatba foglaltu össze ahol a jellel a raott a jellel pedig az üres meeteet jelöltü. Járműapacitással orlátozott egycetrumos járatszeresztés Az elosztási vagy felvásárlási tevéeységet folytató vállalatoál ratári bázisoo stb. gyaori feladat a járműve meetredjée útvoaláa elölése. A probléma agyo soféle formába jeletezhet de az egyi leggyaoribb eset az amior a vállalata egy özpoti helyről a cetrumból ell ellátia a fogyasztóat vagy megredelőet és az igéyeie ielégítésére a vállalat véges számú valamit apacitású járműparal redelezi. A feladat megoldásáa legegyszerűbb módja az hogy mide fogyasztóhoz egyedi járművel szállítju i a megredelt meyiséget. A megredelt meyisége azoba általába em öti le a járműve apacitását ami lehetővé teszi az uta összevoását ú. járato szervezését. Természetese az összevoáso csa bizoyos megszorításo mellett eszözölhető így: a megredelő igéyét a célállomásoo maradétalaul i ell elégítei a szállított meyiség em lépheti túl a járathoz redelt járműapacitását a járműáltal megtett út vagy a szállítási időem léphet túl egy előre meghatározott megegedett értéet. Teitve hogy az uta összevoására általába agyo soféle lehetőség va felvetődi a érdés található-e az ituitív dötéseél jobb az optimálishoz özel álló megoldás. A továbbiaba egy ilye ézi számolásra és programozásra egyarát alalmas algoritmusra teszü javaslatot amelye lépéseit egy mitapéldá mutatju be majd az eredméyeet általáosítva összefoglalju az eljárást [2].

6 6 Logisztiai Évöyv 94 MLE Legye adott egy debrecei széhelyűvállalat amelye Debreceből ell az ország ülöbözőpotjaira (Budapest Győr stb.) települt...p fogyasztóhoz meghatározott q 1 q 2...q meyiségűterméet eljuttatia. A fogyasztóat telephelyeiet és az igéyeiet az.2. táblázat tartalmazza. Megredelése Fogyasztó Telephely Budapest Győr Misolc Nyíregyháza Szombathely Zalaegerszeg [t] táblázat A vállalat 7 tehergépocsival redelezi a járműpar összetételét a 3. táblázatba foglaltu össze. Járműpar Teherbírás [t] Darabszám táblázat Ismeretese továbbá a cetrum és a...p célállomáso özötti legrövidebb uta c 0j c i0 és c (4. táblázat). A feladat a megredelt meyisége iszállítása a cetrumból a fogyasztóhoz a redelezésre álló járműpar felhaszálásával úgy hogy a járműve által megtett összes út a lehetőlegrövidebb legye. A járműve által megtehetőutat és a szállítási időt illetőe em élü megszorításoal ami azoba az eljárás léyegét em ériti. Az összevoáso szempotjából csa a járműve apacitása jeletse orlátot. 4. táblázat Debrece Budapest Távolsági mátrix [m] Győr Misolc Nyíregyháza Szombathely Zalaegerszeg Debrece Budapest Győr Misolc Nyíregyháza Szombathely P Zalaegerszeg A javasolt megoldás alapja az a triviális téy hogy az uta összevoása a gyaorlatba általába út megtaarítást eredméyez ami agyo egyszerűe belátható. Ha a -P i és a -P j - utaat egyesítjü -P i -P j járattá aor az elérhetőmegtaarítás: s 2 c 2 c ( c c c ) c c c. 0i 0 j 0i 0 j 0i 0 j

7 Járatszeresztési feladato 7 Az is világos hogy miél agyobb az adott járathoz redelt járműapacitása aál több út összevoására va lehetőség. Ezért a járato szervezéseor a agyobb járművee prioritást ell biztosítai. Természetese idoolta vetődhet fel a érdés hogy az útmegtaarítás mide esetbe öltségmegtaarítást jelet-e. A érdés idoa egyrészt az hogy az uta összevoása szállításimua (tm) öveedéssel járhat másrészt a agyobb apacitású járműve fajlagos üzemeltetési öltsége általába agyobb mit a isebbeé. Mégis a érdésre egyértelműigeel válaszolhatu. A szállítási muaigéy öveedése ugyais em jelet számottevőöltségöveedést mivel a terhelt és a terheletle járműöltsége özött ics léyeges ülöbség. A agyobb és a isebb teherbírású járműve fajlagos üzemeltetési öltségébe mutatozó eltérés pedig em tartozi e feladat léyegéhez teitve hogy e feladatba meglévőjárműállomáyt ell optimálisa ihaszáli. Más érdés az ha a járműállomáy összetételéről ell dötei aor magától értetődőe mérlegeli ell a fajlagos öltségeet is. A gyaorlatba előfordulhat hogy egy-egy fogyasztó megredelése meghaladja a legagyobb járműapacitását. Ebbe az esetbe a fuvart megosztju ét vagy több járműözött. Teitettel arra hogy az így telítődőjárműveél ics további lehetőség út összevoásra a telített járműveet em vizsgálju csa a megosztás utái maradéoat ezeljü megredelését. A megoldás elsőlépése az ú. megtaarítási mátrix felállítása amelye elemei az előzőe alapjá azt mutatjá hogy meyi idővagy út megtaarítás érhetőel azzal ha a -P i és a -P j utaat egyesítjü -P i -P j. A teljes megtaarítási mátrixot az 5. táblázat tartalmazza ami esetübe egy szimmetrius mátrix de ee a megoldás sorá ics jeletősége. Például a - és a - uta összevoásaor a sor és a oszlop metszéspotjába a megtaarítás: s21 c 01 c 02 c Megtaarítási mátrix [m] táblázat A továbbiaba a számításoat a szemléletesség és az érthetőség megöyítése érdeébe ét táblázatba végezzü. Az elsőtábla a megtaarítási mátrixot és a megredelt meyiségeet a másodi t 1 t 2...t l terhelhetőség szerit csöeősorba redezett a J 1 J 2...J l járműveet és m terhelésüet tartalmazza. Az iduló táblá az alábbia:

8 8 Logisztiai Évöyv 94 MLE Jármű J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 J 6 J 7 t [t] m [t] A övetezőlépését megeressü az s mátrix legagyobb elemét ezt jelöljü s xy -al azaz s max{ s i ; j }. xy A másodi táblából pedig iválasztju az elsőjárművet ee teherbírása t majd megvizsgálju hogy a járműapacitása lehetővé teszi-e a ét út összevoását azaz ha aor az uta összevoható. A példába és a q x q y t sxy s 56 max{ s i ; j } 835 q q 3 2 t vagyis a - és a - uta - - járattá egyesíthető. Az elérhetőútmegtaarítás 835 m. A és fogyasztó igéyeit ezzel ielégítette teithetjü. Az s 56 elem ismételt iválasztását és a járat záródását úgy aadályozzu meg hogy az elsőtáblába lefedjü az 5-di sort és a 6-di oszlopot valamit az s 65 elem helyére 0-t íru. Ezzel egyidejűleg a q 5 és q 6 értéét csöetsü 0-ra a másodi táblába pedig az J 1 járművet megterheljü q 5 +q 6 =5- tel. Az admiisztráció utá a táblázato: Jármű J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 J 6 J 7 t [t] m [t] Az összevoást övetőe mivel a J 1 járműmég em telített a - járatot próbálju -be meővagy -ból iduló úttal bővítei. Ezért maximális s elemet eresü a 6-di sorba és az 5-di oszlopba miözbe a lefedett elemeet figyelme ívül hagyju: Mivel s 25 >s 62 továbbá a max{ s j } s j 62 max{ s i } s 696. i5 25

9 Járatszeresztési feladato 9 q q q t ezért a - járatot elölről bővítjü. Az összevoás utá az elsőjárat állomásai lesze. Az elsőtáblába fedjü le a 2-di sort és az 5-di oszlopot valamit az s 62 elem helyére írju 0-t. Ezzel egyidejűleg a q 2 értéét csöetsü 0-ra a másodi táblába pedig az J 1 járműterhelését öveljü q 2 =3-mal Jármű J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 J 6 J 7 t [t] m [t] A övetezőlépésbe íséreljü meg a - - járatot -be meővagy -ból iduló úttal bővítei. Most maximális s elemet a 6-di sorba és a 2-di oszlopba eresü: max{ s j } s j 61 max{ s i } s 450. i 2 12 Az állomás egyarát apcsolható lee elé vagy mögé ha ezt a J 1 járműteherbírása lehetővé teé. Mivel azoba a q q q q t az összevoás em lehetséges. A - - járatot ezért lezárju amit az elsőtáblába a 6-di sor és a 2-di oszlop a másodi táblába pedig az elsőoszlop lefedésével jelzü Jármű J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 J 6 J 7 t [t] m [t] Az elsőjárat így véglegese ialault: az elért útmegtaarítás 1531 m.

10 10 Logisztiai Évöyv 94 MLE A másodi járat idításához ismét megeressü az s mátrix fedetle elemei özött a legagyobbat a másodi táblából pedig iválasztju a másodi járművet: sxy s 13 max{ s i ; j } 157 és a q q 4 4 t Elvégezzü a szoásos admiisztrációt: az elsőtáblába lefedjü az elsősort és a 3-di oszlopot az s 31 elem helyére 0-t íru a q 1 és q 3 értéét 0-ra csöetjü a másodi táblába a J 2 járműterhelését q 1 +q 3 =8-cal öveljü Jármű J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 J 6 J 7 t [t] m [t] A - járatot próbálju meg -be meővagy -ból iduló úttal bővítei. Ezért maximális s elemet eresü a 3-di sorba és az elsőoszlopba: max{ s j } s 62 Mivel s 34 >s 41 továbbá a 3 j 34 max{ s i } s 38. i 1 41 q q q t ezért a - járatot hátulról bővítjü. Az összevoás utá a másodi járat által éritett poto lesze. Az elsőtáblába lefedjü az 3-di sort és az 4-di oszlopot valamit az s 41 elem helyére 0-t íru. A q 4 értéét 0-ra csöetjü a másodi táblába pedig az J 2 járműterhelését öveljü q 4 =2-vel. Az elért útmegtaarítás 219 m Jármű J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 J 6 J 7 t [t] m [t]

11 Járatszeresztési feladato 11 További összevoásra már ics lehetőség. A szállítást a leggazdaságosabba a ét járattal a 10 t teherbírású járműveel lehet leboyolítai. A járato által éritett poto: A példa utá fogalmazzu meg icsit általáosabba a problémát és foglalju össze az algoritmust: A szállítási potoat (a cetrumot és a fogyasztóat) szimbolizálja a G=(PE) iráyítatla gráf amely a P szállítási poto és az E éle halmazából áll. A P halmaz elemeit jelölje p i (i=012...) az E halmaz elemeit pedig e (i=j=012...). Ha a p i össze va ötve p j -vel aor e =1 ülöbe e =0. Az e -hez redelt távolsági mátrix c elemei jeletsé a szállítási poto özötti legrövidebb utaat. Ha e =0 aor c =M ahol M végtele agy szám. A P halmaz p i elemeihez redeljü a megredelésvetor elemeit. Megállapodás szerit p 0 jeletse a cetrumot. Legye J a redelezésre álló járműve halmaza amelye mide j (=12... l) eleméhez hozzáredeljü a járműveet jellemzőt teherbírás- és az m terhelésvetoroat. 1. Redezzü a J halmazt a t teherbírás szerit csöeősorredbe. 2. A apacitásorlát miatt összevoásra alalmatla utaat a vizsgálatból ivoju. Ehhez épezzü a q ) / t háyadosoat mide i>0-ra és -ra. Ha ( u a aor a i i ( u q ) / t 1 és m 0 i ( u q 1) ( u) : q t és m : t i és vesszü a övetezőjárművet vagyis a idex értéét öveljü eggyel. Ha ( u q ) / t 1 i aor vesszü a övetezőmegredelőt azaz az i értéét öveljü eggyel. A 2. lépést addig ( u) ismételjü amíg a qi / t >1. (A felsőidexbe az u a cilusváltozó.) Végül azoat a szállítási potoat ahol =0 elhagyju illetve az elhagyott potoa megfelelősoroat és oszlopoat a c mátrixból töröljü. 3. Az új c távolsági mátrixból az s c c c ha e 0i 0 j 1 illetve az s 0 ha e 0 épleteel iszámítju az s megtaarítási mátrix elemeit. 4. Az s mátrix fedetle elemei özött megeressü a legagyobbat: s max{ s i ; j }. xy Ha találtu 0-ál agyobb elemet aor az 5. lépéssel folytatju ülöbe az eljárás befejeződött.

12 12 Logisztiai Évöyv 94 MLE A redezett J halmazból vegyü a övetezőj járművet amelyél m =0 és megvizsgálju a p 0 -p x -p 0 és a p 0 -p y -p 0 uta összevoásáa lehetőségét: Ha a q x +q y t aor az uta összevoható. Lefedjü az x-edi sort és az y-adi oszlopot majd végrehajtju a övetezőváltoztatásoat: és a 6. lépéssel folytatju. m : q x q y q : 0 q : 0 s : 0 x y yx Ha a q x +q y t aor ics lehetőség az uta összevoására. Lefedjü az y-adi oszlopot majd végrehajtju a övetezőváltoztatásoat: és visszatérü a 4. lépéshez. m : q y q y : 0 6. A p x -p y járatot megpróbálju p x -be meővagy p y -ból iduló úttal bővítei. Ezért megeressü az y-adi sor és az x-edi oszlop maximális elemeit majd eze özül először a agyobbat választju: max{ syj j } s yj * max{ six i } s. i* x Ha az syj * si * x és a t m q j * aor a járatot hátulról az y-ból iduló és a j*-ba meő úttal bővítjü. Lefedjü az y-adi sort és a j*-edi oszlopot majd és megismételjü a 6. lépést. Ha az s m m q : j* q : 0 s : 0 y: j * j* j* x yj * i * x i s és a t m q * aor a járatot elölről az i*-ból iduló és az x-be meőúttal bővítjü. Lefedjü az i*-edi sort és a x-edi oszlopot majd és megismételjü a 6. lépést. m m q : i * q : 0 s : 0 x: i * i * yi * Külöbe ics lehetőség az útösszevoásra ezért lezárju a járatot: lefedjü az y-adi sort és az x-edi oszlopot majd visszatérü a 4. lépéshez. A mitapéldába a járato szeresztéseor csa a járműve apacitásorlátait vettü figyelembe de mit utaltu rá aa sics aadálya hogy egyéb megszorításoat tegyü például hogy a járműáltal megtehetőutat vagy időt a apacitásorláthoz hasolóa az útösszevoás feltételeét vizsgálju. Az sem szorul ülöösebb magyarázatra hogy az algoritmus emcsa elosztási haem gyűjtőjárato továbbá személyszállítást végzőautóbuszo járataia szeresztésére is alalmas.

13 Járatszeresztési feladato 13 IRODALOM 1. BeőJ.: Algoritmus a járatszeresztési probléma számításigéyée csöetésére. A+CS 32. évf. 5. sz p. 2. BeőJ.: Járatszeresztés orlátozott járműapacitással. Járműve Építőipari és Mezőgazdasági Gépe 40. évf. 10. sz Felföldi L.: Ayagmozgatási éziöyv. Műszai Köyviadó Budapest Szátó E.: A örutazási és járatszeresztési modell. KÖZDOK Publiálva: Logisztiai Évöyv 94 MLE p

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. Sersámg mgépe 5. előad adás Misolc - Egyetemváros /.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. A sabályohatósági tartomáy övelésée módserei Előetes megfotoláso: S mi mi M S φ,

Részletesebben

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:

Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat: Járattípusok Kapcsolatok szerit: Sugaras, igaárat: Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determiisztikus, a beszállítási és kiszállítási időpot em kötött a

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN I FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN 1 Az alapfeladat 1 Feladat Két település közti távolság 40 km Két gyerekek ezt a távolságot kellee megteie a lehetőlegrövidebb időalattakövetkező feltételek mellett: Va egy biciklijük

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Készletek - Rendelési tételnagyság számítása -1

Készletek - Rendelési tételnagyság számítása -1 Készlete - Rendelési tételnagyság számítása -1 A endelési tételnagyság meghatáozása talán a legészletesebben tágyalt édésö a észletgazdálodási szaiodalomban. Enne nagyészt az az oa, hogy mind az egyszee

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE

UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Babeş Bolyai Tudomáyegyetem Matematia Iformatia ar Iformatia sza UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Uleyomatépe feldolgozása, osztályozás euroális hálóal, azoosítási célú összehasolítás Vezetőtaár: Dr. Soós Aa

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek

Általános Szerződési Feltételek Általáos Szerződési Feltétele 2010 február 28-ig ötött Pézügyi Lízig Szerződésehez (Személygépjármű, Kishaszogépjármű, Motorerépár fiaszírozásához) Érvéyes pézügyi lízig szerződésere 2011.március 1. apjától,

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

1. Az Általános Szerződési Feltételek hatálya

1. Az Általános Szerződési Feltételek hatálya A PANNONLÍZING PÉNZÜGYI SZOLGÁLTATÓ RT. ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEI FORINT (HUF ALAPON KAMATOZÓ KÖLCSÖNSZERZŐDÉSEKHEZ ÉRVÉNYES A 2002. MÁRCIUS 18-TÓL A VISSZAVONÁSÁIG KÖTÖTT SZERZŐDÉSEKRE A Paolízig

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben

Vác Város Önkormányzat 11 /2004. (IV.30.) számú rendelet az önkormányzati beruházások és felújítások rendjéről

Vác Város Önkormányzat 11 /2004. (IV.30.) számú rendelet az önkormányzati beruházások és felújítások rendjéről Vác Város Ökormáyzat 11 /2004. (IV.30.) számú redelet az ökormáyzati beruházások és felújítások redjéről Vác Város Képviselőtestülete az ökormáyzati beruházások és felújítások egységes szemléletű gyors

Részletesebben

Lineáris programozás

Lineáris programozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás Lieáris progrmozás 2 Péld Egy üzembe 4 féle terméket állítk elő 3 féle erőforrás felhszálásávl. Ismert z erőforrásokból redelkezésre álló meyiség (kpcitás), termékek

Részletesebben

A gyors Fourier-transzformáció (FFT)

A gyors Fourier-transzformáció (FFT) A gyors Fourier-transzformáció (FFT) Egy analóg jel spetrumát az esete döntő többségében számítástechniai eszözöel határozzu meg. A jelet mintavételezzü és elvégezzü a mintasorozat diszrét Fouriertranszformációját.

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

A természetes számok halmaza (N)

A természetes számok halmaza (N) A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá

Részletesebben

XI. FIATAL MŰSZAKIAK TUDOMÁNYOS ÜLÉSSZAKA

XI. FIATAL MŰSZAKIAK TUDOMÁNYOS ÜLÉSSZAKA XI. FIATAL ŰSZAKIAK TUDOÁNYOS ÜLÉSSZAKA Kolozsvár, 26. március 24-25. HÁLÓZATSZRŰN ŰKÖDŐ GY LOSZTÓ- RAKTÁRRAL RNDLKZŐ LOGISZTIKÁVAL INTGRÁLT ÖSSZSZRLŐ RNDSZR VÁLTOZATAINAK ÉRZÉKNYSÉGI VIZSGÁLATA Oláh Béla,

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

MISKOLCI EGYETEM GÉ PÉ SZMÉ RNÖ KI KAR Szerszámgépek Tanszéke FORGÁ CSOLÓ SZERSZÁ MGÉ PEK FOKOZATOS FŐ HAJTÓ MŰ VEI. Oktatá si segédlet

MISKOLCI EGYETEM GÉ PÉ SZMÉ RNÖ KI KAR Szerszámgépek Tanszéke FORGÁ CSOLÓ SZERSZÁ MGÉ PEK FOKOZATOS FŐ HAJTÓ MŰ VEI. Oktatá si segédlet MISKOLCI EGYETEM GÉ PÉ SZMÉ RNÖ KI KAR Sersámgépe Tasée FORGÁ CSOLÓ SZERSZÁ MGÉ PEK FOKOZATOS FŐ HAJTÓ MŰ VEI Otatá si segédlet Misolc, 00 PDF created with FiePrit pdffactory trial versio http://www.fieprit.com

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Szállításszervezési módszerek Járattípusok 1

Szállításszervezési módszerek Járattípusok 1 Járattípusok 1 A logisztikában a távolság-áthidalás tetemes költségeinek mérséklését alapvetően kétféleképpen érhetjük el: - a szükséges szállítási teljesítmény csökkentésével, - a szállítójárművek jó

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása

Az új építőipari termelőiár-index részletes módszertani leírása Az új építőipari termelőiár-idex részletes módszertai leírása. Előzméyek Az elmúlt évekbe az építőipari árstatisztikába egy új, a korábba haszálatos költségalapú áridextől eltérő termelői ár alapú idexmutató

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek

Általános Szerződési Feltételek Általáos Szerződési Feltétele 2010. júius 11-től ötött Pézügyi Lízigszerződésehez (Személygépjármű, Kishaszogépjármű, Motorerépár fiaszírozásához) Érvéyes pézügyi lízig szerződésere 2011. március 1. apjától,

Részletesebben

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai

Az iparosodás és az infrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés típusai Az iparosodás és az ifrastrukturális fejlődés kapcsolatába törtéelmileg három fejlődési típus vázolható fel: megelőző, lácszerűe együtt haladó, utólagosa

Részletesebben

Rádiókommunikációs hálózatok

Rádiókommunikációs hálózatok Rádiókommuikációs hálózatok Készült az NJSZT Számítógéphálózat modellek Tavaszi Iskola elöadás-sorozataihoz. 977-980. Gyarmati Péter IBM Research, USA; Budapest Föváros Taácsa. I this paper we show a somewhat

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL 01/2008:20236 javított 8.3 2.2.36. AZ IONKONCENRÁCIÓ POENCIOMERIÁ MEGHAÁROZÁA IONZELEKÍ ELEKRÓDOK ALKALMAZÁÁAL Az onszeletív eletród potencálja (E) és a megfelelő on atvtásána (a ) logartmusa özött deáls

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3

BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3 Balogh Zsuzsanna Hana László BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3 Ebben a dolgozatban a Bayes-féle módszer alalmazási lehetőségét mutatju be a ocázatelemzés

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

A Sturm-módszer és alkalmazása

A Sturm-módszer és alkalmazása A turm-módszer és alalmazása Tuzso Zoltá, zéelyudvarhely zámtala szélsőérté probléma megoldása, vagy egyelőtleség bzoyítása agyo gyara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölderféle

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi

Részletesebben

SZÁLLÍTÓ REPÜLŐGÉPEK GÁZTURBINÁS HAJTÓMŰVEI NYOMÁSVISZONYA NÖVELÉSÉNEK TERMIKUS PROBLÉMÁI

SZÁLLÍTÓ REPÜLŐGÉPEK GÁZTURBINÁS HAJTÓMŰVEI NYOMÁSVISZONYA NÖVELÉSÉNEK TERMIKUS PROBLÉMÁI Dr. Pásztor Endre SZÁLLÍTÓ REPÜLŐGÉPEK GÁZTURBINÁS HAJTÓMŰVEI NYOMÁSVISZONYA NÖVELÉSÉNEK TERMIKUS PROBLÉMÁI A probléma felvetése, bevezetése. Az ideális termius hatáso (η tid ) folytonosan növeszi a ompresszor

Részletesebben

KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉS-ÜZEMVITEL)

KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉS-ÜZEMVITEL) Közleeési alapismerete (özleeés-üzemvitel) özépszint 1421 ÉRETTSÉGI VIZSGA 2014. otóber 13. KÖZLEKEDÉSI ALAPISMERETEK (KÖZLEKEDÉS-ÜZEMVITEL) KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

Útvonalak száma, rekurzív számlálással

Útvonalak száma, rekurzív számlálással Útvoala száma, reurzív számlálással Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Napjaiba is gyara találozhatu olya feladatoal, ahol azt ell megszámolu, hogy adott potból, vagy potoból iidulva, adott feltétele mellett

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Surányi János VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL FAREY-TÖRTEK. Egy a alós számot racionális számoal, azaz törteel aarun megözelíteni. A törteet az alábbiaban mindig

Részletesebben

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar

Algoritmizálás. Horváth Gyula Szegedi Tudományegyetem Természettudományi és Informatikai Kar Algoritmizálás Horváth Gyula Szegedi Tudomáyegyetem Természettudomáyi és Iformatikai Kar horvath@if.u-szeged.hu. Mohó algoritmusok A mohó stratégia elemi 1. Fogalmazzuk meg az optimalizációs feladatot

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.:

16. Az AVL-fa. (Adelszon-Velszkij és Landisz, 1962) Definíció: t kiegyensúlyozott (AVL-tulajdonságú) t minden x csúcsára: Pl.: 6. Az AVL-fa Adelszo-Velszkij és Ladisz, 96 Defiíció: t kiegyesúlyozott AVL-tulajdoságú t mide x csúcsára: bal x jobb x. Pl.: A majdem teljes biáris fa AVLtulajdoságú. Az AVL-fára, mit speciális alakú

Részletesebben

Valószínûség számítás

Valószínûség számítás Valószíûség számítás Adrea Glashütter Feller Diáa Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba I. Bevezetés a pézügyi számításoba A péz időértéével apcsolatos számításo A péz időértéée számítása:

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

a legjobb kezekben K&H Csoport

a legjobb kezekben K&H Csoport a legjobb kezekbe A K&H Biztosító 1992 óta működik Magyarországo, és közel félmillió ügyfelet szolgál ki. A K&H Biztosító a magyar piac sajátosságait figyelembe véve alakította ki szolgáltatási palettáját,

Részletesebben

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok Numerius soro, Taylor-soro, Fourier-soro Kidolgozott feladato.példa: Vizsgálju meg a átalaításoal apju, hogy 5 umerius sor overgeciáját. Azoos 5 5 4 4 5 5 5 5 ; 4 4 A sor tehát szétbotható ét mértai sor

Részletesebben

A szállítási feladat. Készítette: Dr. Ábrahám István

A szállítási feladat. Készítette: Dr. Ábrahám István A szállítási feladat Készítette: Dr Ábrahám István Bevezető A személyek, termékek, nyersanyagok szállításának lehető leggazdaságosabb megszervezése fontos kérdés Célunk lehet legkisebb összköltségre törekvés,

Részletesebben

A 10/2007 (II. 27.) 1/2006 (II. 17.) OM

A 10/2007 (II. 27.) 1/2006 (II. 17.) OM A 0/2007 (II. 27.) SzMM redelettel módosított /2006 (II. 7.) OM redelet Országos Képzési Jegyzékről és az Országos Képzési Jegyzékbe törtéő felvétel és törlés eljárási redjéről alapjá. Szakképesítés, szakképesítés-elágazás,

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére.

Kétoldali hibás Monte Carlo algoritmus: mindkét válasz esetén hibázhat az algoritmus, de adott alsó korlát a hibázás valószínűségére. Véletleített algoritmusok Tegyük fel, hogy va két doboz (A,B), amely egyike 1000 Ft-ot tartalmaz, a másik üres. 500 Ft-ért választhatuk egy dobozt, amelyek a tartalmát megkapjuk. A feladat megoldására

Részletesebben

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény

1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]...

A Gauss elimináció ... ... ... ... M [ ]... A Guss elimiáció Tekitsük egy lieáris egyeletredszert, mely m egyeletet és ismeretlet trtlmz: A feti egyeletredszer együtthtómátri és kibővített mátri: A Guss elimiációs módszer tetszőleges lieáris egyeletredszer

Részletesebben

VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgakérdések (BSc. 2011. tavaszi félév)

VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgakérdések (BSc. 2011. tavaszi félév) 1 VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgaérdése (BSc. 2011. tavaszi félév) 1. Isertesse a villaoseergia-hálózat feladatr szeriti felosztását a jellegzetes feszültségsziteet és az azohoz tartozó átvihető teljesítéye

Részletesebben

Autóipari klaszter m;ködésének alapelvei Operating Principles of an Automotive Cluster

Autóipari klaszter m;ködésének alapelvei Operating Principles of an Automotive Cluster Autóipari klaszter m;ködéséek alapelvei Operatig Priciples of a Automotive Cluster ÉSZÁROS Ferec, Dr. CSELÉNYI József iskolci Egyetem Gépészméröki Kar Abstract The paper itroduces the strucure ad tasks

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Az anyagáramlás intenzitása

Az anyagáramlás intenzitása Az ayagáramlás teztása Az ayagáramlás teztása () alatt meghatározott dőegység (dőtervallum) alatt (t) mozgatott ayagmeységet (M) értü. M (g, t, E, db, stb./ dőegység) t Szaaszos műödésű ayagmozgató redszere

Részletesebben

Digitális Fourier-analizátorok (DFT - FFT)

Digitális Fourier-analizátorok (DFT - FFT) 6 Digitális Fourier-analizátoro (DFT - FFT) Eze az analizátoro digitális műödésűe és a Fourier-transzformálás elvén alapulna. A digitális Fourier analizátoro a folytonos időfüggvény mintavételezett jeleit

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez)

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez) iíiíi á HlftADÁSfCCHNIKAI TUOOHANfOS EGYíSBLIT (APJA KULCSÁR GÁBOR Híradástechikai Ipari Kutató Itézet Algoritmus poligook lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógép adatelőkészítés patter

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok, l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f

Részletesebben

7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIKÁBAN

7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIKÁBAN 7. ELŐADÁS VÍZI SZÁLLÍTÁS A GLOBÁLIS LOGISZTIÁBAN A terészetes folyai, illetve tegeri utakat igéybe vevő, csak a kikötővel redelkező helyeket felkeresi tudó szállítási ód. A vízi áruszállítást elsősorba

Részletesebben