Mechanizmusok vegyes dinamikájának elemzése

Átírás

1 echanzmuso vegyes dnamáána elemzése ntonya Csaba ranslvana Egyetem, nyagsmeret Kar, Brassó. Bevezetés Komple mechanzmuso nemata és dnama mozgásvszonyana elemzése nélülözhetetlen a termétervezés első szaaszaban. ár egyszerű modelle esetében a rendszer mozgásegyenlete nagyon bonyolulta. Enne felírása és megoldása lasszus módszereel, nagyobb bonyolultságú rendszere esetén, lehetetlen. z elmúlt évtzedeben a többtest-rendszerű eláráso erülte előtérbe, amelye alalmasa olyan számítógépes ód létrehozására, amely automatusan felíra és megolda a rendszer mozgásegyenletet. Eze a többtest rendszerű programo (mnt például DS, DYES, Worng odel, DDS, esa Verde, Smpac, utosm) Lagrange, Newton- Euler, Kane vagy Hamlton egyenlete megoldására épülte. Egy vagy több szabadságfoos mechanzmuso elemzése során a övetező eseteel találozhatun: ozgástan elemzés (nemata): ebben az esetben a szabadságfoal megegyező számú rányító mozgás dőben változását forgást vagy egyenes vonalú mozgást ell megadn. mechanzmuso elemene tömegét, valamnt a ható erőet nem ell smern, csa az eleme özött csatlaozáso helyét. Dnama elemzés: a mechanzmusora ható erő eredményeént eletezett mozgásvszonyo tanulmányozására. Ebben az esetben valamenny hatóerőt smern ell, valamnt a teste tömegét és tehetetlenség nyomatéát. Fordított dnama elemzés: a nemata és dnama elemzés everée. ozgástanlag a többtest rendszer meghatározott, csa nem smerte mnd azo az erő, amelye a megadott mozgást elődéz. Ebben az esetben a ért adato: a szabadságfoona megfelelő számú (rányító) mozgás, a teste tömege és az smert hatóerő. öbb szabadságfoú mechanzmus esetén fennáll az az eset, amor nem smert az összes testre ható erő, de néhány test mozgása adott. Ezeet az elemzéseet vegyes dnama elemzésne nevezzü. E dolgozat céla a vegyes dnama elemzése egy ú partíconálás módszeréne bemutatása Newton-Euler egyenleteel, abban az esetben, ha az smert mozgáso száma megegyez az smeretlen erő számával.. Knemata elemzés mechanzmust alotó merev teste mozgásvszonyat egy ülső ponthoz ötött globáls oordnátarendszerben ell tanulmányozn. testehez rendelt loáls oordnátarendszere helyzete, sebessége és gyorsulása foga megadn a mechanzmus mozgásvszonyat. loáls oordnáta rendszer helyzeténe megválasztása tetszőleges, de dnama elemzésenél aánlott a tömegözéppontot választan. y r y'. ábra z testhez hozzárendelt oordnátarendszer az ' -y' (. ábra). ehát enne a testne a helyzetét meg foga határozn a loáls oordnátarendszer orgóána helyzetvetora, a globáls oordnátarendszerben feezve: r [, y],valamnt a loáls oordnáta rendszer dőlésszöge (φ ) a globálshoz vszonyítva. z testre ellemző általánosított oordnátána a globáls oordnátarendszerben a övetező vetor felel meg: [, y, φ] ; () Ha a mechanzmus merevtestből áll, aor az egész többtest rendszert általánosított oordnáta íra le, ahol: 3 () mechanzmusra ellemző általánosított oordnátána a övetező vetor felel meg: [,... ] (3) vel a merev teste csatlaozna egymáshoz, a oordnátá özött egyenlete írható fel. Például csulós vagy csúszós apcsolato esetén ét egyenlet, ét test özött távolság restrcó esetén egy egyenlet írható fel. z egész mechanzmusra ' φ 4 űsza Szemle 4

2 nh egyenlet írható fel, am nem függ az dőtől, feez a teste özött apcsolatot és a övetező éppen írható mátros formában: K () [ K (), K (),... K nh ()] (4) vel az általánosított oordnátá () száma nagyobb mnt az egyenlete száma (nh), az egyenletrendszert nem lehet megoldan. ettő özött ülöség ada meg a mechanzmus szabadságfoána számát, tehát az rányító mozgáso számát s. z rányító mozgásoat matematalag az általánosított oordnátá özött összefüggésént lehet felírn. Eze az egyenlete függne az dőtől, alau a övetező: D (, t) [ D (, t), D (, t)... D -nh (, t)] (5) (4) és (5) egyenletrendszer együtt, egyenletből álló, smeretlennel rendelező egyenletrendszert alot: K () D (,t) (,t) (6) Enne a rendszerne a megoldása ada meg a mechanzmus elemene helyzetvszonyát és anna dőbel változását. megoldás csa numerusan végezhető el, például a Newton- Raphson féle elárással. vel a helyzetvszonyo dőben változásána matemata formáa nem apható meg a (6)-os egyenlet megoldásával, az egyenletrendszert derváln ell a sebesség függvényében: & t (7) ahol: gyorsulás étszeres derválással számítható : & & & & (8) ( & ) ( ) t tt t tt t nh t & nh & (9) Ezen egyenlete megoldásával számítható a mechanzmus elemene mozgásvszonya. 3. Dnama elemzés z test mozgása a síban, Newton-Euler egyenlete szernt, a övetezőéppen írható: m & r F () I φ & ahol m és I az test tömege és tehetetlenség nyomatéa, F és a testre ható erő és nyomatéo a ülső, és a belső apcsolatoból származó erő és nyomatéo. ()-es egyenlet mátros formában: & Q () ahol: m m () I Q [F, F y, ] (3) [, y, φ ] (4) z test mozgásegyenlete: δ [ & Q ] (5) többtest rendszer esetén pedg: δ [ & Q ] (6) Ha a testre ható ülső erőet és nyomatéoat szétválasztu a apcsolatoból származótól, az egyenlet a övetező formában bontható szét: δ C [ & Q ] δ Q (7) ahol a Q a ülső erő és Q C pedg a apcsolatoból származóa. Newton hatás és ellenhatás törvényéből övetez, hogy a apcsolatoból származó erő mechana munáa nulla: δ Q ehát a (7)-es egyenlet felírható mnt: δ C (8) [ & Q ] (9) z egyenlet a Lagrange- együttható elméletével oldható meg. z egyenlet a övetező formában írható: [ & Q ] [ & + δ + λ λ Q δ ] δ () űsza Szemle 4 5

3 ahol λ a Lagrange- együttható. hhoz, hogy ez az egyenlet gaz legyen, a δ együtthatóána az értée nulla ell legyen: & + λ Q () Ez az egyenlet, fgyelembe véve a () és a (8)- as egyenleteet, rövdebben s felírható, mnt: γ & () meghatározza a többtest rendszer mozgásvszonyat a ülső erő hatására. Ez a vegyes, dffereáls és algebra, egyenletrendszer többféle éppen oldható meg, például partíconálás módszereel. 4. Vegyes dnama elemzés Vegyes dnama elemzésre aor erül sor, amor nem smert az összes testre ható erő, de néhány test mozgása adott. Ebben az esetben a () és ()-es egyenletrendszerből nem smert teles egészében a Q - ülső erő vetora, és ahhoz, hogy az egyenletrendszer megoldható legyen, egy ú partíconálás módszerre van szüség. Feltételezve, hogy a többtest rendszer n testből áll, aor enne a rendszerne apcsolato nélül 3n szabadságfoa van. teste özött apcsolato öveteztében a szabadságfoo száma -val es. övetezőben feltételezzü, hogy + számú általánosított ülső erő smert ( számú nem smert) és számú mozgás smert. nden testre három általánosított ülső erő hat, amelye értée lehetne nullá s: rányban ható erő, rányban ható erő és egy nyomaté. z, és számo özött a övetező egyenlet írható fel: + + 3n. (3) ehát a mechanzmusna + szabadságfoa van. partíconálást a övetező épen ell elvégezn: eresn ell a számú általánosított oordnátá mellé még számú általánosított oordnátát, amelye együtt meghatározzá a mechanzmus onfgurácóát (ezelhetőe mnt vezető mozgáso), az és számú általánosított oordnátát, valamnt az ezene megfelelő elemeet a ()-es egyenletből ülön ell választan. z így apott egyenletrendszer a övetező formában írható fel: & + & Q λ Q Q (4) Ezt az egyenletrendszert három részre lehet osztan: [ ] & + [ ] λ [ Q ] & [ ] & + [ ] λ [ Q ] & & (5) (6) [ ] & + [ ] λ [ Q ] & (7) harmad egyenletből (7) feezhető a Lagrange- együttható, mvel az tt szereplő ülső erő mnd smerte: λ [ ] [ Q ] [ ] & & (8) mátr nvertálható, mvel nem szngulárs. Ezt vsszahelyettesítve az első egyenletbe (5) mvel az tt szereplő ülső erő s smerte a övetező számú egyenletet apu: ([ ] [ ] [ ] [ ]) [ Q ] + [ ] [ ] [ Q ] & & (9) (9)-es egyenlet a ()-es egyenlettel, valamnt az számú smert gyorsulással együtt 3n egyenletből álló, 3n smeretlennel rendelező egyenletrendszert alot, amelyne megoldása ada a többtest rendszer elemene gyorsulását. sebesség és helyzetvszonyo számítása numerus ntegrálással lehetséges. LB programozás nyelvben megírt számítógépes program ezeet az egyenleteet automatusan íra fel és olda meg. 5. Példa övetező példa egy mechanzmus vegyes dnama elemzését és ellenőrzését mutata be. Feltételezzü, hogy 4 merevtest (, 3, 4, 5-ös test,. ábra) egymáshoz csulós apcsolattal csatlaoz és a -es és az 5-ös test az alaphoz csulós, valamnt csúszós apcsolattal csatlaoz (. ábra). 6 űsza Szemle 4

4 Pont B C. táblázat Koordnátarendszer y Pont Koordnátarendszer y 4,5,656 D E , F 4 -,5,656 6, ovábbá feltételezzü, hogy a -es és 3-as testre egyenlő értéű (5 Nmm), de ellentétes rányítású nyomaté hat és az 5-ös testre rányba egy változó nagyságú erő hat. Ezt az erőt a övetező függvénnyel lehet leírn: F sn (π/) t. [N] (3) apcsolato leírásához 6 pontna a helyzetét ell megadn, a testehez rendelt loáls oordnátarendszereben (. táblázat): az, B, C és D ponto a csulós apcsolato estében, valamnt E és F ponto a csúszós apcsolat esetében. oordnátarendszere a teste tömegözéppontaba vanna elhelyezve. merev teste tömege és nercáa a -es táblázatban van megadva.. táblázat est ömeg [g] Inerca [Nmm ], 3, 4,, , 5.63 Dnama elemzés öveteztében, ezen erő és nyomatéo smeretében, ét másodpercny dő alatt, az 5-ös test elmozdulása a 3-as ábrán van bemutatva, a -es test elfordulása pedg a 4-as ábrán. f [rad] ábra ábra. ábra űsza Szemle 4 7

5 továbbaban feltételezzü, hogy az F erő nem smert, csa az 5-ös test elmozdulása adott, am megfelel a dnama elemzés során apott elmozdulásna. Ebben az esetben a övetező általánosított oordnátá választása aánlott: az rányú elmozdulása az 5-ös testne (mvel ez az rány felel meg az smeretlen erőne) és a 3-as test elfordulása. z 5-ös test rányú gyorsulását a dnama elemzés során apu meg és az 5-ös ábrán van bemutatva. 4. feezetben megadott egyenletrendszere megoldása ugyanazoat a mozgásvszonyoat eredményez, mnt a dnama elemzés során. z smeretlen F erőt pedg a Lagrange- együttható számítása során lehet megapn. 6-os ábra bemutata az erő változását, amely megegyez a (3)-as egyenletben leírt függvénnyel. ehát a leírt módszer alalmazható mechanzmuso vegyes dnamáána tanulmányozására. a5 [mm/s] ábra 6 F [N] ábra 8 űsza Szemle 4