1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél

Átírás

1 Valószíűségszámítás 1 előadás al.mat BSc szaosoa 2015/ félév Zemplé Adrás zemple@ludes.elte.hu 1. előadás: Bevezetés Irodalom, övetelméye A félév célja Valószíűségszámítás tárgya Törtéet Alapfogalma Valószíűsége számítása Irodalom Hagyomáyos jegyzet: Barót-Bogáré-Fejes Tóth-Mogyoród: Valószíűségszámítás jegyzet programozó szaos hallgatóa Taöyve: Préopa: Valószíűségelmélet Solt: Valószíűségszámítás Pál: A valószíűségszámítás és a statszta alapja I-II Réy: Valószíűségszámítás Deger: Valószíűségszámítás Példatár: Bogáré-Mogyoród-Préopa-Réy-Szász: Valószíűségszámítás feladatgyűjteméy (TYPOTEX adó, 2001) Arató-Proaj-Zemplé: Valószíűségszámítás eletrous jegyzet ( e.pdf) Számoérés Gyaorlato gyaorlat jegy: csoportoét zh- alapjá Vzsga: ombált írásbel és szóbel, ésőbb egyeztetedő dőpotba Előadáso ayaga: Cél Valószíűségszámítás alapjaa megsmerése Alapfogalma észségsztű smerete Feladatmegoldás észség alaítása (elsősorba gyaorlato) Alalmazás lehetősége bemutatása Matemata statszta megalapozása Valószíűségszámítás helye a tudomáyo özött Matemata tudomáy, mert precíze megfogalmazott axómáxra épül. Gyaorlat alalmazása: statszta öveteztetése levoása (pl.: ha egy érmével 1000 dobásból 550 fej jött, aor 99.9% valószíűséggel állítható, hogy az érme em szabályos). 1

2 Törtéet áttetés 1. Első smert feladat 1494-ből: játé dő előtt abbahagyása eseté hogya osztozzaa? Helyes megoldás több, mt 100 évvel ésőbb: Pascal ( ), Fermat ( ) Köye adható szmulácós megoldás (precíz számítás a gyaorlato) Cardao (1540 örül) öyvet írt a ocajátéohoz apcsolódó valószíűségszámítás érdéseről Törtéet áttetés 2. de Mére lovag érdése: Egy ocával égyszer dobva előyös arra fogad, hogy lesz hatos, de 2 ocával 24-szer dobva már em előyös arra fogad, hogy lesz (6,6) a dobáso özött. Megoldás: Pascal, Fermat (1654) Huyges (1657): Az első valószíűségszámítás öyv de Wtt, Halley (1671): életjáradé-számítás valószíűség alapo Törtéet áttetés 3. Jacob Beroull (1713): Ars Cojectad (agy számo törvéye) XVIII-XIX. sz: Movre, Bayes, Gauss, Posso Buffo: geometra valószíűség bevezetése paradoxoo XIX.sz: Csebsev, Marov, Ljapuov Törtéet áttetés 4. Axomatzálás: Kolmogorov (1933) Moder alalmazáso: Iformácóelmélet (Shao) Játéelmélet (Neuma) Matemata statszta (Fsher) Sztochasztus folyamato Magyar tudóso: Jordá Károly ( ) Réy Alfréd ( ) Véletle ísérlete Olya ísérleteel foglalozu, amelye eredméyét em tudju előre bztosa megmoda (ocadobás, lottóhúzás, meteorológa, tőzsde eseméye stb). Az összes lehetséges eredméy: eseméytér. Alapfogalma Eseméytér Kísérlet egy lehetséges meetele: elem eseméy, jelölése ω. Elem eseméye összessége: eseméytér, Ω. Ω részhalmaza: eseméye (A,B,C,...). Eseméy aor övetez be, ha az őt alotó elem eseméye valamelye beövetez. 2

3 Példá Kocadobás: Ω={1,2,,6}. Ha az A eseméy: páros számot dobtu, aor A={2,4,6}. Érmét étszer feldobva: Ω={II,IF,FI,FF} A={II,IF} az az eseméy, hogy az első dobás írás. Érmét addg dobu, míg fejet em apu. Ω={F,IF,IIF,...,ω } ahol ω =III. (azaz mde dobás írás) Eseméye Eseméy: Ω részhalmaza Specáls eseméye: Ω (bztos eseméy) (lehetetle eseméy) Az eseméye összessége: A (halmazredszer Ω részhalmazaból) Művelete eseméyeel: szoásos loga művelete = halmazművelete Művelete eseméyeel AB: vagy A vagy B beövetez (az s lehet, hogy mdettő) AB: A és B s beövetez Tulajdoságo A\ B A B A B A B (De Morga) A eseméy elletettje: A A A Példá Kocadobás: A={páros számot dobu} B={legalább 3-ast dobu} AB={4,6} AB={2,3,4,5,6} A\B={2} A={1,3,5} Valószíűség Szemléletes megfelelője: relatív gyaorság. Ha egymástól függetleül, azoos örülméye özött végrehajtott ísérletből az adott A eseméy -szor övetezett be, aor a relatív gyaorság /. Nagy -re a relatív gyaorság egy fx szám örül gadoz: ezt evezzü az A valószíűségée.koca-ísérlet 3

4 A valószíűség Jele: A relatív gyaorság tulajdoságaból: Nemegatív: mde A-ra Egymást záró eseméyere, azaz, ha : A (addtvtás) Ω)=1 (Ω, A,P): valószíűség mező A B 0 Tulajdoságo 1. Addtvtás eseméyre: ha A 1, A 2,..., A pároét záró eseméye, aor A1 A2... A ) A1 ) A2 )... A ) Bzoyítás: ducóval. )=0. Bzoyítás: Ω= Ω felbotásból és az addtvtásból Tulajdoságo 2. A\ A Bzoyítás: A= (A (A\ felbotásból és az addtvtásból A A Bzoyítás: AB= B (A\ felbotásból, az addtvtásból és az előző tulajdoságból. Eseméytér Nem mdg lehet mde AΩ eseméy (pl. agy megszámlálhatóál agyobb Ω eseté), ezért az A eseméy-redszer strutúrája: σ-algebra. 1. Ω A 2. A A A (azaz A zárt a omplemeter-épzés műveletére) 3. A zárt a megszámlálható uó műveletére A Példá σ-algebrára A ={,Ω} A ={,A, A, Ω} Ω mde részhalmazából álló halmazredszer (hatváyhalmaz, P (Ω)) Kolmogorov-féle valószíűség mező (Ω, A,P): Kolmogorov-féle valószíűség mező, ha Ω emüres halmaz A az Ω részhalmazaa σ-algebrája P : A [0,1] halmazfüggvéy (valószíűség), melyre 1. P (Ω)=1 2. σ-addtvtás: ha A 1, A 2,..., pároét záró eseméye, aor P A A...) A ) A )... (

5 Véges valószíűség mező Ω={ω 1, ω 2,,ω }, A= P (Ω). Jelölés: p =P (ω ). p 1 1 az addtvtásból. ) ) 1 : A ) : A Azaz a p emegatív, 1 összegű számo meghatározzá a valószíűséget. p Klasszus valószíűség mező 1 p =1/ mde -re (azoos valószíűségűe az elem eseméye). Eor ahol az A elemszáma, pedg az összes esetszám. Máséppe: =edvező esete száma/ összes esetszám. Klasszus valószíűség mező 2 A lasszus valószíűség mező alalmazása előtt mdg meg ell győződ a feltételeről! Példa: születésap Soág a valószíűséget általába s így próbáltá defál, de ez em fed le mde esetet. Vsszatevéses mtavétel N termé, melyből M selejtes elemű mta vsszatevéssel A: potosa selejtes va a mtába (=0,,) M M 1 N N azaz a valószíűség fejezhető a p=m/n selejtaráy segítségével: p p 1 Mtavétel Vsszatevés élül mtavétel N termé, melyből M selejtes elemű mta vsszatevés élül A: potosa selejtes va a mtába (=0,,) Mtavétel M N M P ( N Tovább lehetősége Eletroo eerga-szte özött megoszlása, Bose-Este statszta: A lehetősége száma ( részecse, eerga-szt) 1 w(, ) 5