3. Valószínűségszámítás

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "3. Valószínűségszámítás"

Átírás

1 Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció Kombiáció Biomiális együttható tulajdoságai Kísérlet és eseméy Eseméyalgebra A valószíűség fogalma Kolmogorov axiómá és övetezméyei Klasszius valószíűségi modell Feltételes valószíűség Nagyszámo gyege törvéye Függetleség Teljes valószíűség tétele Bayes tétel Valószíűségi változó jellemzése Diszrét valószíűségi változó Folytoos valószíűségi változó Valószíűségi változó várható értée Valószíűségi változó szórása Nevezetes diszrét eloszláso Nevezetes folytoos eloszláso Egyeletes eloszlás Expoeciális eloszlás Normális eloszlás Cetrális határeloszlás tétele Szabadságfo fogalma Bevezetés A valószíűségszámítás a matematiáa egy öállóa fejlődő ága és erre a fogalomredszerre épül a matematiai statisztia (biometria) is. A moder valószíűségszámítás idolgozása Kolmogorov orosz matematius evéhez fűződi, ai ebbe 930-ba fetette le a valószíűségszámítás alapjait. A valószíűségszámítás csa egy eszöz a dötéseihez. Egy olya eszöz, mely számszerűsíti egy eseméy beövetezésée az esélyét, és eze érté alapjá dötei lehet az eseméyre beövetezésére vagy be em övetezésére voatozóa. A valószíűségszámítás a övetező fogalmara épül. 3.. Kombiatoria A ombiatória (apcsolásta) az eleme csoportosításával foglalozi. Elsődleges feladata az eleme csoportjaia előállítása, valamit a csoporto számáa meghatározása. Az eleme egy elredezését omplexióa evezzü. Az eleme elredezésée három legfotosabb fogalma a permutáció, a variáció és a ombiáció témaöréhez tartozi Permutáció Ha az elredezedő ( db) eleme mid ülöböző, aor ismétlés élüli, ha az eleme özött Dr. Diya Ele

2 Biometria az orvosi gyaorlatba azoosa is vaa, aor ismétléses permutációról beszélhetü. Megegyezés szerit az azoos eleme felcserélését em teitjü ülöböző sorrede. Az ismétlés élüli permutáció száma: P = 3... =! vagy rövide P =! Jelölésbe! (ejtsd: fatoriális), ami az elem fatoriális értéét jelöli. Megállapodás szerit 0! =. Ismétléses permutáció száma: p,, 3,..., =!!,!, 3!,...,! ahol,, 3,, az egymás özt megegyező eleme számát jelöli. Példá. Háy hatjegyű szám állítható elő a 0,, 4, 5, 6, 8 számjegyeből? : P 6 - P 5 = 6! - 5! = 70-0= 600. Háy hatjegyű számot épezhetü az,, 3, 3, 3, 6 számoból? : A számo ismétléses permutáció adja a megoldást,3 6! P = = 60 6!*3! 3... Variáció Ha számú ülöböző elemből iválasztu ( ) számú elemet úgy, hogy figyelembe vesszü eze sorredjét is, aor elem ad osztályú variációjáról beszélü. Az összes variáció számát a! V = = ( ) ( ) ( 3)... ( + ) ( )! ifejezés adja. Ha az elemből úgy választu elemet tartalmazó csoportoat, hogy a csoportba egy elem többször is szerepelhet és az eleme sorredje is fotos, aor az elem ad osztályú ismétléses variációját határozzu meg: V i, = A felső idexbe az i betű jelöli az ismétléses variációt. Példá. Négy sebész ettesével, felváltva haszálja a műtőt úgy, hogy az egyiü a vezető sebész legye. Adju meg a lehetséges beosztást. Legye A, B, C, D a égy sebész. A vezető midig az első helyre erül, amire 4 lehetőség adódi. A beosztott sebészt a maradó 3 fő özül választhatju i. Így a lehetősége száma 4*3 = A páro tehát: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC. A METRO aluljárójába 4 ablaál lehet bérletet, jegyet vei. Az egyszerre odaérező 8 fő, háyféle módo ereshet ablaot magáa? Dr. Diya Ele

3 Biometria az orvosi gyaorlatba 3 Ugyaaál az ablaál való elhelyezedés is megegedett, tehát 4 elemből (ablaból) ell 8-as csoportoat épezi a sorred beszámításával. A csoporto számát az ismétléses variáció adja: Kombiáció V 8 4, i = 4 8 = Ha az számú ülöböző elemből úgy választu i ( ) számút mide lehetséges módo, hogy a iválasztás sorá a csoportoo belül az eleme sorredje em fotos, aor elem ad osztályú ombiációjáról beszélü. Az összes lehetséges iválasztás száma: C! ( ) ( ) ( 3)... ( + ) = = =!( )! ( )... Az jelölést úgy olvassu, hogy alatt a. Ha a elem özött egy elem többször is előfordulhat, aor elem ad osztályú ismétléses ombiációjáról beszélü. Az összes iválasztási lehetősége száma: C i, + = Példá 3. Az egyetemi meza ét ételiadó ablaához 6 hallgató érezi. Háyféle módo választhatjá i magu özül az első ét hallgatót? A iválasztásál a sorred em fotos. A csoporto számát a 6 fő -od osztályú ombiációja adja 6 6! C6 = = = 5!*(6 )! 4. Egy öttagú családál a telefo 4-szer szólalt meg TV ézés özbe. Egy személy 3-szor is odamehetett a észüléhez. A sorredet em figyelve, háyféle módo vehetté fel a agylót? A csoporto száma 5 elem (fő) 3-ad osztályú ismétléses ombiációja 5 6 3, + 6 *5* 4 C i 5 = = = = * * 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai Az olya ifejezéseet amelye ét tagból álla biomiális ifejezésee evezzü, pl. (a+b) vagy (a b). Vegyü az (a + b) biom hatváyait sorba egésze a 3. hatváyig ( = 0,,,3): (a + b) 0 = (a + b) = a + b (a + b) = a + ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 Ha az egyes tago együtthatóit egymás alá írju, aor az ú. Pascal háromszöget apju, ahol a ülső szára meté csa es áll. A háromszög belsejébe álló bármely szám a özvetle felette lévő és attól balra álló ét szám összege: 3 Dr. Diya Ele

4 Biometria az orvosi gyaorlatba 4 Vezessü be az 0 =, = jelöléseet és írju fel a Newto féle biomiális tételt: ( a b) a a b a b... ab b + = = 0 = 0 a b ahol az együtthatóat biomiális együtthatóa evezzü. A tételt a ifejtett biomiális együtthatóal is felírhatju: ( ) ( a b) a a b + = + + a b x!! A tétele egy övetezméye az alábbi ifejezés: (+x) +x (x özel va a 0 hoz) 3.4. Kísérlet és eseméy Kísérlete lehet teitei egyrészt mide olya tevéeységet, amit valamilye cél érdeébe hajtu végre. A ísérlet egyes lehetséges imeeteleit elemi eseméyee evezzü. Az eseméyeet az ABC yomtatott agybetűivel jelöljü. Két eseméyt azoosa teitü, ha egy ísérlet mide lehetséges imeetelét figyelembe véve vagy midettő beövetezi, vagy egyi sem. Ha ét eseméy A és B olya apcsolatba va egymással, hogy A csa aor övetezhet be, ha B is beövetezi, aor azt modju, az A eseméy maga utá voja a B eseméyt. Az ilye eseméyeet a övetező módo jelöljü: A B Egy ísérlet összes elemi eseméyeie a halmaza az eseméytér (Ω). Az elemi eseméyeel apcsolatos három további fogalom: a) lehetetle eseméy (Ο): sohasem övetezhet be a ísérlet folyamá, b) biztos eseméy (Ι): midig beövetezi, c) elletett (omplemeter) eseméy ( A ) csa aor övetezhet be, ha az A eseméy em övetezi be Eseméyalgebra Összeadás Az A és B eseméye összege az a C eseméy, amely aor övetezi be, ha az A és B eseméye özül legalább az egyi beövetezi: A + B = C Kivoás Az A és B eseméye ülöbsége az a A B eseméy, amely aor övetezi be, amior az A eseméy teljesül, de a B eseméy em: A B = F = A B 4 Dr. Diya Ele

5 Biometria az orvosi gyaorlatba Szorzás A G és H eseméye szorzatá azt az eseméyt (jelölésbe AG) értjü, amely csa aor övetezi be, ha a G és H eseméy is beövetezi: K = GH Ha a B és C eseméyre igaz, hogy szorzatu a lehetetle eseméyt adja aor a ét eseméy izárja egymást: BC = Ο Egy A eseméyre voatozóa az alábbi művelete végezhető el: Összeadás Szorzás Komplemeter művelet A + A = A A Ο = Ο I c = Ο A + A c = I A + I = I A A = A Ο c = I A A c = Ο A + Ο = A A I = A (A c ) c = A Az eseméyeel végezhető műveleteet összefoglalóa Boole algebráa hívjá. A gyaorlatba főleg a logiai áramöröbe fotosa az ú. de Morga azoosságo ( az eseméye fölött a voás a omplemeter jele): A + B = A B és A B = A + B Eze a ifejezése több tagra is érvéyese és iterjeszthető Összetett eseméy Egy A eseméy összetett vagy felbotható eseméy, ha legalább ét, tőle ülöböző eseméy összegeét egyértelműe előállítható. K = G + H K G és K H Egy elemi eseméy em állítható elő ilye alaba Teljes eseméyredszer Az A, A, A 3,..., A eseméye teljes eseméyredszert épeze ha igaza ráju az alábbi feltétele: a) A + A + A A = I b) A i A j = O ha i j (i =,, 3,..., és j =,, 3,..., ) 3.5. A valószíűség fogalma A mideapi életbe ige gyara haszálju ezt a fogalmat, amior egy eseméy beövetezési esélyét próbálju számszerűe meghatározi. A lehetetle eseméy valószíűsége 0, a biztos eseméy valószíűsége, és a ét szélső érté özött a valószíűségi sála egyéb értéei szerepele. Miél agyobb egy eseméy beövetezésée az esélye, valószíűsége aál iább özelíti az értéet. A valószíűségi értéeet p vel jelöljü. A valószíűség mási ismert megadási módja a százaléos forma, amior pl. p = 0.5 helyett 50 % os esélyt modu egy eseméy beövetezésére. Ha magát az A eseméyt is jelöljü a valószíűségével együtt, aor a A) jelölést haszálju Kolmogorov axiómá és övetezméyei Egy eseméy valószíűségére az alábbia érvéyese: ) 0 A) 5 Dr. Diya Ele

6 Biometria az orvosi gyaorlatba 6 Egy eseméy valószíűsége csa 0 és özötti szám lehet. ) 0) = 0 A lehetetle eseméy valószíűsége 0. 3) I) = A biztos eseméy valószíűsége. 4) Ha az A és B egymást izáró eseméye (vagyis AB = 0) aor az A és B eseméyere igaz: A+B) = A) + B) Az axiómá övetezméyei: a.) Ha az A eseméy maga utá voja a B eseméyt, aor a valószíűségeire teljesül, hogy: A) B) b) Az A eseméyre és elletétjére az A ra igaz, hogy: A)+ A ) = c) Két eseméy függetle egymástól, ha szorzatura igaz, hogy A B) = A) B) d) Ha az A,A,A 3,...,A eseméye pároét izárjá egymást, aor igaz az alábbi felbotás: A + A + A A ) = A )+ A )+ A 3 )+...+A ) Ee az additivitása egy fotos esete az, ha a A + A + A A eseméye teljes eseméyredszert alota, aor: A )+ A )+ A 3 )+...+A ) = Klasszius valószíűségi modell A valószíűséget az egyes eseméye relatív gyaorisága alapjá határoztu meg, amit úgy számítu, hogy: PA ( ) = vagy A) = edvező esete száma összes eset száma Példa. Egy dobozba 5 piros, 3 fehér, é tabletta va. Mi a valószíűsége a é tabletta húzásáa? Az összes lehetősége száma = 0. A edvező lehetősége száma = A) = = = = Feltételes valószíűség Legye A és B ét eseméy és B) 0. Az A eseméye a B eseméy melletti feltételes valószíűsége az A eseméy beövetezésée a valószíűségét jeleti, ha a B eseméy mit 6 Dr. Diya Ele

7 Biometria az orvosi gyaorlatba 7 feltétele az A eseméye beövetezett: A B) = PAB ( ) PB ( ) Követezméy: AB) = A B) B) Ezt az egyelőséget felhaszálva, az A,A,A 3,...,A eseméye szorzatára apju, hogy: A A A 3... A ) = A A A A 3...A ) A A A A 3...A )... A A ) A ) Példa Meyi aa a valószíűsége, hogy egy étgyermees családba midét gyerme fiú, ha a) az idősebb gyerme fiú b) legalább az egyiü fiú (A fiú és leáy születésée valószíűsége azoos.) Legye A az az eseméy, hogy az idősebb gyerme fiú, B a fiatalabb gyerme fiú. Eor a eresett feltételes valószíűsége ABA) AB) a) AB A) = = = A) A) ABA + ABB) AB) b) AB A+B)= = = A + B) A + B) Nagyszámo gyege törvéye A ísérlet sorá az A eseméy beövetezési valószíűsége legye A) = p és az elletett eseméy ( A ) valószíűsége: A )= p= q Legye ε>0 tetszőleges valós szám, eor a agy számo gyege törvéye szerit: P N p p q ε ε N A törvéyt Beroulli féle törvéye is evezi. A törvéy azt fejezi i, hogy a ísérletszám (N) övelésével egyre isebb lesz aa valószíűsége, hogy valamely eseméy relatív gyaorisága és valószíűsége özött agy a ülöbség Függetleség AB)=A)B) Teljes valószíűség tétele Ha a B, B, B 3,..., B eseméye teljes eseméyredszert alota és igaz továbbá, hogy B i ) 0,aor tetszőleges A eseméy valószíűségére igaz az alábbi ifejezés: A) = A B ) B i= i i ) 7 Dr. Diya Ele

8 Biometria az orvosi gyaorlatba 8 vagyis az A eseméy valószíűsége a B i eseméye feltétele mellett meghatározható. Példa Az aatómia vizsgá az A csoport hallgatóia 60% -a, a B csoport hallgatóia 80%-a sierrel szerepel. Az A csoport az évfolyam 5%-át teszi i. Mi a valószíűsége aa, hogy egy véletleül iválasztott hallgató sierese vizsgázi? Eseméye: a) Legye A a vizsgált eseméy. b) Legye C az az eseméy, hogy a iválasztott egyé A csoport beli. Ee iválasztására az esély 5 C ) = = 0.5% 00 c) Legye C az az eseméy, hogy a B csoportból választottu. Erre az esély 85 C ) = = 0.85% 00 A sieres vizsgázás valószíűsége csoportoét A csoport: A C ) = 60 = 0. 6 % 00 B csoport: A C ) = 80 = 0. 8 % 00 A teljes valószíűség tétele szerit A) = A C )C ) + A C )C ) = = 0.6* *0.85 = Bayes tétel Ha a B, B, B 3,..., B eseméye teljes eseméyredszert alota és igaz továbbá, hogy B i ) 0 és egy tetszőleges A eseméyre A) 0,aor a B i eseméyere igaz az alábbi ifejezés: B A) = i = 0 A B ) B ) i A B ) B ) i Tehát a B i eseméye valószíűsége az A eseméy beövetezése eseté mit feltétel mellett a formula segítségével meghatározható. A ifejezésbe a B i ) valószíűséget priori valószíűségee evezzü. A Bayes tétel fotos alalmazási területe a szaértői redszere világa. Pl. egy diagosztius folyamat leírása eze az úto valósulhat meg. Példa Atomrobbaás öryezetébe három zóát ülöböztete meg. Ezebe a túlélő laossága 5, 40, 45 százaléa lai. Az első zóába mide túlélő sugársérülést szeved, a másodi illetve a harmadi zóába 60 illetve 5 százalé ez az aráy. Mi a valószíűsége aa, hogy véletleszerűe iválasztva egy sugársérülést szevedett egyét, az az első zóából való? Eseméye A : első zóából való A : másodi zóából való A 3 : harmadi zóából való B : az illető sugársérült Bayes tétele szerit 8 Dr. Diya Ele

9 Biometria az orvosi gyaorlatba 9 A B) = B A) A) 3 B A ) i= 3.6. Valószíűségi változó jellemzése i Ai ) = A biometriai vizsgálato sorá megfigyelt vagy mért értée véletletől függő meyisége, amelyehez számértéeet redelü. Ezeet a véletle által befolyásolt értéeet özös éve valószíűségi változóa (radom variable) evezzü. A változó év oa származi, hogy az értée megfigyelési egyedeét más és más értéet vehet fel, vagyis az érté egyedeét változi. Ezeet az értéeet bizoyos valószíűsége mellett veszi fel a változó, ezért haszálhatju a valószíűségi változó elevezést. A valószíűségi változóa ét formáját ismerjü: diszrét és folytoos valószíűségi változóat Diszrét valószíűségi változó Ha a ξ valószíűségi változó értéészlete véges vagy megszámlálhatóa végtele x számsorozat, aor magát a ξ t diszrét valószíűségi változóa evezzü. Ha az A Ω olya részhalmaz, amelye elemi eseméyeihez a ξ hozzáredeli az x számsorozat értéeit, aor az egyes eseméye valószíűségeit (p ) a: p = A ) = ξ = x ) formulával lehet megadi. Az így meghatározott valószíűségeet a ξ változó eloszlásáa evezzü. A éplet azt fejezi i, hogy a ξ valószíűségi változó az egyes x értéeet milye valószíűséggel veszi fel. Egy ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéyét (distributio fuctio) F(x) jelöljü és aa valószíűségét adja meg, hogy a ξ milye valószíűséggel vesz fel egy tetszőleges x értéél isebb értéet. Jelölésbe: F(x) = ξ < x) Megjegyzedő, hogy a diszrét valószíűségi változó F(x) eloszlásfüggvéye lépcsős alaú függvéy. Az F(x) eloszlásfüggvéy tulajdoságai az ábráról is leolvasható: balról folytoos, mooto öveedő, értée 0 és l özötti Folytoos valószíűségi változó A valószíűségi változó azo csoportját, amelye értéészlete véges vagy em megszámlálhatóa végtele, folytoos valószíűségi változóa evezzü. Az ilye típusú változó eloszlásfüggvéyée meghatározása éppe a végtele értéészlete miatt ehezebb mit diszrét változó esetébe. Az egyes tartomáyo (szaaszo) valószíűségée megadása ugyais özvetleül em lehetséges. Ezért erült bevezetésre a sűrűségfüggvéy (f(x)) haszálata, amelye révé mide szaasz valószíűsége megadható a szaaszhoz tartozó függvéygörbe alatti terület (itegráljáa) agyságával. Az is modható, hogy az eloszlásfüggvéy (F(x)) a sűrűségfüggvéy f(x) itegrálja. Folytoos valószíűségi változó esetébe midig létezi a ξ valószíűségi változóa sűrűségfüggvéye. A sűrűségfüggvéy tulajdosága, hogy értée 0 (hisze a valószíűség em lehet egatív értéű), a függvéy görbe alatti területe = l (a valószíűség max. értée csa lehet). 9 Dr. Diya Ele

10 Biometria az orvosi gyaorlatba 0 Némely esetbe a sűrűségfüggvéy meghatározása em egyszerű, mert ha ismerjü is, em öyű elvégezi a függvéy itegrálását. Ezért a biometriába leggyarabba haszált folytoos függvéyere mit pl.χ eloszlás, ormális eloszlás, F eloszlás, t eloszlás, stb. eloszlástáblázatoat észítette éppe a gyaorlati mua megöyítése miatt. Ezeből a táblázatoból a ívát valószíűségeet egyszerű módo i lehet olvasi Valószíűségi változó várható értée Ha egy ísérletet soszor megismétlü és midegyi ísérletet egymástól függetleül hajtju végre, aor a valószíűségi változóa az egyes ísérlete sorá felvett értéei egy jól meghatározott érté örül igadoza. Ezt az értéet várható értée evezzü. Diszrét valószíűségi változó eseté a várható érté véges eseté: M( ξ) = Folytoos eloszlású valószíűségi változó eseté az f(x) függvéy től + ig itegrálja adja a várható értéet. Ee meghatározása az esete többségébe em öyű feladat Valószíűségi változó szórása = p x Egy valószíűségi változó értéeie a várható értée örüli elhelyezedését, szóródását evezzü a változó szórásáa. Jelölve D(ξ). Ee égyzete a variacia ami a ξ változó és várható értée ülöbségée a égyzete, illetve ee várható értée: Var(ξ) = D (ξ) = M[(ξ M(ξ)) ] = M(ξ) [M(ξ) ] A szórás yilvá csa aor va értelmezve, ha a várható érté is létezi. Diszrét valószíűségi változó eseté a szóráségyzet (variacia): Var(ξ) = D (ξ) = = p x p = x Folytoos valószíűségi változó eseté a Var(ξ) étszeri itegrálással határozható meg Nevezetes diszrét eloszláso Biomiális eloszlás Végezzü el egy ísérletet szer egymástól függetleül. A ísérlet sorá egy A eseméy beövetezésée valószíűsége legye A) = p és az elletett eseméy valószíűsége pedig PA ( ) = q = p. A p ről feltesszü, hogy ostas a ísérlet folyamá. A ξ valószíűségi változó az A eseméy beövetezéseie a számát jeleti. Eor aa valószíűsége, hogy a ísérlet sorá az A eseméy szor övetezi be a övetező alaba adható meg: p = ξ = ) = p q ( = 0,,,..., ) A ξ valószíűségi változó eloszlását biomiális eloszlása evezzü, amelye várható értée: M(ξ) = p és szórása: D(ξ) = p q 0 Dr. Diya Ele

11 Biometria az orvosi gyaorlatba formába határozható meg. Példa. Egy bizoyos betegség a hagyomáyos terápiával az esete egyegyed részébe gyógyítható. Új ezelést aara bevezeti, melyet előzőleg 0 betege ipróbála. Ha legalább hete meggyógyula, aor az új ezelést bevezeti. Ha legfeljebb hárma gyógyula meg, aor az új eljárást elveti. Ha 4, 5, vagy 6 beteg gyógyul meg, aor az eljárást tovább vizsgáljá. A ezelés hatása a régi terápiás eljárással azoos. Határozzu meg a három esethez tartozó valószíűségeet. Jelöljü a vizsgált eseméyeet A, B, C betűel. Az eseméye biomiális eloszlást övete, így 0 A)= = = 7 3 B)= = = 0 C)=-(A)+B)=-( ) = Poisso eloszlás A p = ξ = ) = λ! e λ ( = 0,,,...) eloszlást a ξ valószíűségi változó Poisso eloszlásáa evezzü, ahol λ>0 egy tetszőleges valós szám. Poisso eloszlást övete pl. a alácsba egy adott területre eső mazsolá száma, a lehulló hópelyhe száma egy adott tartomáyo, batériumo, sejte száma.egy adott téfogatba, balesete száma egy időitervallumba, stb. A Poisso eloszlás és a biomiális eloszlás özött szoros a apcsolat. Ha a biomiális eloszlásba agy és a vizsgált eseméy valószíűsége a p értée 0 hoz özeli érté (az p szorzat értée < 5), ilyeor a λ = p választással a biomiális eloszlás jól özelíthető a Poisso eloszlással: pq λ! e λ A Poisso eloszlás várható értée: M(ξ) = λ szórása: D(ξ) = λ Példa Egy vizsgálat imutatta, hogy egy adott tóba a batériumo batérium/cm 3 sűrűséggel fordula elő, és Poisso-típusú eloszlást övete. Mi a valószíűsége, hogy egy cm 3 agyságú mita a) batériummetes b) legalább ét batériumot tartalmaz? Dr. Diya Ele

12 Biometria az orvosi gyaorlatba A mitába 4 batérium va, így λ=4 paraméterű Poisso-eloszlással va dolgu. a) =0)=e -4 =0.083 b) -(=0)+=))=-5e -4 = Nevezetes folytoos eloszláso Egyeletes eloszlás Az egyeletes eloszlás sűrűségfüggvéye és grafioja: Eloszlásfüggvéye: f(x) = 0 ha x a ha a < x b b a 0 ha x > b F(x) = ξ<x) = 0 ha x a x a ha a < x b b a ha x >b A várható érté és szórás: M(ξ) = a+ b és D(ξ) = b a Expoeciális eloszlás Az expoeciális eloszlás sűrűségfüggvéye: 0 ha x 0 f(x) = x λe λ ha x> 0 ahol x>0 tetszőleges pozitív szám. Az expoeciális eloszlásfüggvéy alaja F(x) = ξ<x) = 0 ha x 0 λ e x ha x> 0 A várható érté és szórás: M(ξ) = λ és D(ξ) = λ Dr. Diya Ele

13 Biometria az orvosi gyaorlatba 3 Expoeciális eloszlást övete pl. a radioatív bomlási folyamato, az alatrésze élettartamai stb. Az expoeciális eloszlás általáosított alaja a Weibull eloszlás, amelye sűrűségfüggvéye (c > 0 és α > 0 álladó): Eloszlásfüggvéye: f(x) = c α x 0 α α c x e ha ha x 0 x > 0 F(x) = e 0 α c x ha ha x 0 x < 0 A Weibull eloszlás egyi sajátságos felhaszálási területe a gyógyszerietiai vizsgálato Normális eloszlás A statisztiai vizsgálato szempotjából az egyi legfotosabb eloszlás a ormális eloszlás. Közpoti helyet foglal el a vizsgálato özött mivel számos statisztiai eljárás eze az eloszlástípuso alapszi. Maga az elevezés is arra utal, hogy a mért adataitól az várju, hogy ilye módo viseledjee, mert az a természetes, a ormális viseledése az adatoa. Az eloszlás többféle elevezéssel is haszálatos: Gauss eloszlás, harag görbe elevezése szioimái a ormális jelzőe. Egy tetszőleges ξ valószíűségi változó ormális eloszlású, ha sűrűségfüggvéyére igaz az alábbi ifejezés: f(x) = σ (x µ) σ e π A ifejezésbe a µ és σ az eloszlás ét paramétere, ahol µ tetszőleges valós szám, a σ tetszőleges pozitív szám. Ez a ét paraméter határozza meg, hogy a végtele so eloszlást tartalmazó ú. ormális eloszláscsaláda éppe melyi tagját vizsgálju. Az ilye típusú eloszláso szimmetrius, egycsúcsú eloszláso, amelye szárai a és + hez tartoza. A függvéye az X tegelyt csa aszimptótiusa özelíti, de azt soha em ériti. A görbe maximum helye az X tegelye a µ értéél va. A σ paraméter a görbe szélességét, vagyis az adato elhelyezedését határozza meg. Az eloszlás várható értée és szórása: M(ξ) = µ és D(ξ) = σ A harag görbe csúcsa az eloszlás várható értééél a µ értéél található. Bármely ormális eloszlásra igaz, hogy az adato 68 % a a várható értétől a µ σ és µ+σ távolságo belül helyezede el, vagyis az adato a várható érté örül tömörüle. További jellegzetessége az eloszlása, hogy az adato 95 % a a µ σ és µ+σ értée özt va és az adato 5 % a helyezedi el eze távolságoo ívül. Ez a rész az ú. faro rész (tail) a szigifiacia vizsgálatoba ap ige fotos szerepet. Ebbe a részbe csa is valószíűséggel ese adato, s ezt a tulajdoságot haszálju fel dötéseihez. Mivel a ormális eloszláso átszámolható az egyiből a másiba, mide eloszlás azoos alara hozható az ú. stadardizálási eljárással. Az így apott ormális eloszlást stadard ormális 3 Dr. Diya Ele

14 Biometria az orvosi gyaorlatba 4 eloszlása evezzü, és igaz rá, hogy az eloszlás várható értée a µ= 0, szórása σ =. A stadardizálási formula, amellyel bármelyi ξ ormális eloszlású változót egy új z változóba stadardizálhatju: x u z i = i σ A ifejezés azt jeleti, hogy mide mért x i értéből levoju az eredeti ormális eloszlás várható értéét és a ülöbséget osztju a szórással. Az így apott z i értée eloszlása stadard ormális eloszlású lesz. Az eljárás eredméyeéppe az eloszlás szimmetria tegelye az Y tegely lesz és a szóráso egységyi távolságba helyezede el az origó örül. A stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéye: ϕ(x) = π e X A stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéyére a ϕ(x), az eloszlás függvéyére a φ(x) jelöléseet haszálju. A függvéy tulajdoságai az alábbia szerit foglalható össze: a) szimmetrius függvéy az y tegelyre (az y tegely a szimmetria tegelye) ϕ(x) = ϕ( x) és φ( x) = φ(x) b) a függvéy legmagasabb potjáa oordiátái: (0, 04 π. ) értée c) a függvéy görbe alatti területe =, ami azt jeleti, hogy egy stadard ormál eloszlású valószíűségi változó értéei valószíűséggel a (, + ) tartomáyból származa f) az a) és e) poto értelmébe az y tegelytől jobbra és balra első területe agysága: g) egy tetszőleges (µ,σ) paraméterű ormális eloszlású valószíűségi változó sűrűség és eloszlásfüggvéye ifejezhető a stadard ormális eloszlás hasoló függvéyeivel: sűrűségfüggvéy: f(x) = σ ϕ x µ σ eloszlásfüggvéy: F(x) = φ x µ σ h) a biomiális eloszlás tagjait jó megözelítéssel meghatározhatju a stadard ormális eloszlás segítségével, ha az agy és a p, q értée icsee szorosa a 0 özelébe, aor: p q ϕ p q p q p a özelítés aor jó, ha az p>5 és q>5 egyelőtleség teljesül. Hasoló apcsolat va a Poisso eloszlás és stadard ormális eloszlás özött is, ha a λ elég agy, aor a Poisso eloszlás jól özelíthető a stadard ormális eloszlással: 4 Dr. Diya Ele

15 Biometria az orvosi gyaorlatba 5 λ! e λ λ ϕ x λ λ Példa. Tegyü fel, hogy a sorozáso megjeleő férfia örébe a systoles véryomásérté várható értée 30 Hgmm és a szórása Hgmm. Várhatóa a férfiaa háy % a esi a Hgmm tartomáyba, ha a véryomás értée eloszlása ormális eloszlást övet?. A feladat értelmébe a µ = 30 és a σ =. Traszformálju át az értéeet z eloszlásba, hogy a stadard ormális eloszlás táblázatát tudju haszáli. z = x µ = σ = = 083. z = x µ = σ = = 67. A eresett aráyt a z és z értée özötti terület agysága adja meg: A terület megállapításához haszálju az I. táblázatot: T = z.67 z 0.83 = = vagyis 40 x 50) = Tehát várhatóa a férfiaa 6.7 % a esi az eyhe hipertóiás ategóriába Cetrális határeloszlás tétele A statisztiába oly fotos ormális eloszlást a valószíűség számítás egyi alapvető tétele a özpoti (cetrális) határeloszlás tétele biztosítja. A tétel szerit szabad megfogalmazásba egymástól függetle so apró hatás együttes eredméyeét eletezett értée eloszlása ormális eloszlást övet függetleül az összetevő eloszlásától. Külööse fotos a tétel alalmazhatósága az élettai folyamato eseté, hisze itt egy egy jeleség számos függetle hatás eredőjeét alaul i Szabadságfo fogalma A szabadságfo fogalmát Sir R.A. Fisher vezette be. Egy statisztia szabadságfoát amelyet df el (degrees of freedom) jelölü a továbbiaba, úgy defiiálju, hogy az N mitaszámból levoju az adott statisztia iszámításhoz szüséges, az adatoból már meghatározott paramétere számát. df = N A példa edvéért az alább bemutatott statisztiá a ésőbbi fejezetebe részletese tárgyalásra erüle. Példa. Az számú mita adatból számított számtai átlag szabadságfoa, mivel az átlag iszámításához csa a mita adatoat haszálju fel, a épletbe ics olya paraméter, amit az adatoból számolá i: 5 Dr. Diya Ele

16 Biometria az orvosi gyaorlatba 6 x i = = x i = x + x + x x A számlálóba csa a mita adatai, a evezőbe a mita száma szerepel. 6 Dr. Diya Ele

Valószínûség számítás

Valószínûség számítás Valószíûség számítás Adrea Glashütter Feller Diáa Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba I. Bevezetés a pézügyi számításoba A péz időértéével apcsolatos számításo A péz időértéée számítása:

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Járatszerkesztési feladatok

Járatszerkesztési feladatok Járatszeresztési feladato 1 Járatszeresztési feladato DR. BENKŐJÁNOS Agrártudomáyi Egyetem GödöllőMezőgazdasági Géptai Itézet A járat alatt a logisztiába általába a járműve meghatározott több állomást

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projet eretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszéén az ELTE Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok Soozato 5 I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK I.. Soozato A legtöbb embe szóicsébe szeepel a soozat szó. Ez azt jeleti, hog edelezi valamile soozatfogalommal. Megéti, ha a miet sújtó

Részletesebben

UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE

UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Babeş Bolyai Tudomáyegyetem Matematia Iformatia ar Iformatia sza UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Uleyomatépe feldolgozása, osztályozás euroális hálóal, azoosítási célú összehasolítás Vezetőtaár: Dr. Soós Aa

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladato A FELADATOK MEGOLDÁSAI A 0. FELADAT UTÁN TALÁLHATÓK.. Egyszerre dobun fel három érmét. Mi anna a valószínűsége, hogy mindegyine ugyanaz az oldala erül felülre?. Két dobóocát

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3

BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3 Balogh Zsuzsanna Hana László BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3 Ebben a dolgozatban a Bayes-féle módszer alalmazási lehetőségét mutatju be a ocázatelemzés

Részletesebben

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként. A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Szemmegoszlási jellemzők

Szemmegoszlási jellemzők Szemmegoszlási jellemzők Németül: Agolul: Charakteristike er Korgrößeverteilug Characteristics of particle size istributio Fraciául: Caractéristique e compositio graulométrique Kutatási, fejlesztési és

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés

7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés 7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben

VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgakérdések (BSc. 2011. tavaszi félév)

VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgakérdések (BSc. 2011. tavaszi félév) 1 VILLAMOS ENERGETIKA Vizsgaérdése (BSc. 2011. tavaszi félév) 1. Isertesse a villaoseergia-hálózat feladatr szeriti felosztását a jellegzetes feszültségsziteet és az azohoz tartozó átvihető teljesítéye

Részletesebben

Véges matematika 1. feladatsor megoldások

Véges matematika 1. feladatsor megoldások Véges matematika 1 feladatsor megoldások 1 Háy olya hosszúságú kockadobás-sorozat va, melybe a csak 1-es és 2-es va; Egymástól függetleül döthetük a külöböző dobások eredméyéről, így a taultak szerit a

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév

Szerszámgépek 5. előadás 2007. Március 13. Szerszámg. 5. előad. Miskolc - Egyetemváros 2006/2007 2.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. Sersámg mgépe 5. előad adás Misolc - Egyetemváros /.félév Sersámgépe 5. előadás. Márcis. A sabályohatósági tartomáy övelésée módserei Előetes megfotoláso: S mi mi M S φ,

Részletesebben

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör Koeláció- és egesszió-aalízis Az is előfodulhat, hogy két változó között ics semmilye kapcsolat: Az X és Y véletle változók között az alábbi ábáko Az állat becsült ko pozitív összefüggés em lieáis összefüggés

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest

Tanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest Tameetjavaslat az NT-11580 ratári sú Matematia 5. taöyvhöz Otatásutató és Fejlesztő Itézet, Budapest A tameetjavaslat 144 órára lebotva dolgozza fel a taayagot. Ameyibe eél több idő áll a redelezésüre,

Részletesebben

A természetes számok halmaza (N)

A természetes számok halmaza (N) A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá

Részletesebben

kritikus érték(ek) (critical value).

kritikus érték(ek) (critical value). Hipotézisvizsgálatok (hypothesis testig) A statisztikáak egyik célja lehet a populáció tulajdoságaiak, ismeretle paramétereiek a becslése. A másik tipikus cél: valamely elmélet, hipotézis empirikus bizoyítása

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

Hanka László. Fejezetek a matematikából

Hanka László. Fejezetek a matematikából Haka László Egyetemi jegyzet Budapest, 03 ÓE - BGK - 304 Szerző: Dr. Haka László adjuktus (OE BGK) Lektor: Hosszú Ferec mestertaár (OE BGK) Fiamak Boldizsárak Előszó Ez az elektroikus egyetemi jegyzet

Részletesebben

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Ingatlanfinanszírozás és befektetés Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Első rész Matematikai tréfák Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során

Elektrokémiai fémleválasztás. Felületi érdesség: definíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás során Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség: defiíciók, mérési módszerek és érdesség-változás a fémleválasztás sorá Péter László Elektrokémiai fémleválasztás Felületi érdesség fogalomköre és az érdesség

Részletesebben

Óbudai Egyetem. Doktori (PhD) értekezés. Mamdani-típusú következtetési rendszeren alapuló kockázatkiértékelő módszerek optimalizálása

Óbudai Egyetem. Doktori (PhD) értekezés. Mamdani-típusú következtetési rendszeren alapuló kockázatkiértékelő módszerek optimalizálása Óbuda Egyetem Dotor (PhD) érteezés Mamda-típusú öveteztetés redszere alapuló ocázatértéelő módszere optmalzálása Tóthé Laufer Edt Témavezető: Rudas Imre, DSc Taács Márta, PhD Alalmazott Iformata és Alalmazott

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A

EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A BELVÁROSI ÁLTALÁNOS ISKOLA ÉS GIMNÁZIUM BÉKÉSCSABA EGY ÚJ SZÁMHÁROMSZÖG A KOMBINATORIKÁBAN 0 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 3 3 0 4 9 8 6 0 5 44 45 0 0 0 6 65 64 35 40 5 0 7 854 855 94 35 70 0 8 4833 483 740 464

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

1. Az absztrakt adattípus

1. Az absztrakt adattípus . Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt,

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

Digitális Fourier-analizátorok (DFT - FFT)

Digitális Fourier-analizátorok (DFT - FFT) 6 Digitális Fourier-analizátoro (DFT - FFT) Eze az analizátoro digitális műödésűe és a Fourier-transzformálás elvén alapulna. A digitális Fourier analizátoro a folytonos időfüggvény mintavételezett jeleit

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

1. Az Általános Szerződési Feltételek hatálya

1. Az Általános Szerződési Feltételek hatálya A PANNONLÍZING PÉNZÜGYI SZOLGÁLTATÓ RT. ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEI FORINT (HUF ALAPON KAMATOZÓ KÖLCSÖNSZERZŐDÉSEKHEZ ÉRVÉNYES A 2002. MÁRCIUS 18-TÓL A VISSZAVONÁSÁIG KÖTÖTT SZERZŐDÉSEKRE A Paolízig

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek

Általános Szerződési Feltételek Általáos Szerződési Feltétele 2010 február 28-ig ötött Pézügyi Lízig Szerződésehez (Személygépjármű, Kishaszogépjármű, Motorerépár fiaszírozásához) Érvéyes pézügyi lízig szerződésere 2011.március 1. apjától,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova Matematikai játékok Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova 1. rész Matematikai tréfák A következő matematikai játékokba matematikai tréfákba a végső eredméy a játék kiidulási feltételeitől függ, és em a játékosok

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

X = 9,477 10 3 mol. ph = 4,07 [H + ] = 8,51138 10 5 mol/dm 3 Gyenge sav ph-jának a számolása (általánosan alkalmazható képlet):

X = 9,477 10 3 mol. ph = 4,07 [H + ] = 8,51138 10 5 mol/dm 3 Gyenge sav ph-jának a számolása (általánosan alkalmazható képlet): . Egy átrium-hidroxidot és átrium-acetátot tartalmazó mita 50,00 cm 3 -es részletée megmérjük a ph-t, ami,65-ek adódott. 8,65 cm 3 0, mol/dm 3 kocetrációjú sósavat adva a mitához, a mért ph 5,065. Meyi

Részletesebben

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya

2. Az együttműködő villamosenergia-rendszer teljesítmény-egyensúlya II RÉZ 2 EJEZE 2 Az együttműködő vllamoseerga-redszer teljesítméy-egyesúlya 2 A frekveca és a hatásos teljesítméy között összefüggés A fogyasztó alredszerbe a fogyasztók hatásos wattos teljesítméyt lletve

Részletesebben

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA Adva va külöböző elem Kiválasztuk k darabot Vesszük az összes elemet és sorba rakjuk A kiválasztás sorredje számít A kiválasztás sorredje em számít PERMUTÁCIÓ P matekig.hu Ha

Részletesebben

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák) Következtetı statisztika 5. Hipotézis-elleırzés (Statisztikai próbák) 1 Egymitás próbák Átlagra, aráyra, Szórásra Hipotézis-vizsgálat Áttekités Egymitás em paraméteres próbák Függetleségvizsgálat Illeszkedésvizsgálat

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek

Általános Szerződési Feltételek Általáos Szerződési Feltétele 2010. júius 11-től ötött Pézügyi Lízigszerződésehez (Személygépjármű, Kishaszogépjármű, Motorerépár fiaszírozásához) Érvéyes pézügyi lízig szerződésere 2011. március 1. apjától,

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

Elektromos áramkörök és hálózatok, Kirchhoff törvényei

Elektromos áramkörök és hálózatok, Kirchhoff törvényei TÓTH : Eletroos ára/ (ibővített óravázlat) Eletroos áraörö és hálózato, Kirchhoff törvényei gyaorlatban az eletroos ára ülönböző vezetőrendszereben folyi gen fontos, hogy az áraot fenntartó telepe iseretében

Részletesebben

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek

hogy alkalmas konstrukcióval megadható-e olyan sztochasztikus folyamat, melynek ezek Wieer folyamatok A következő két feladat azt mutatja, hogy az az eseméy, hogy egy sztochasztikus folyamat folytoos trajektóriájú-e vagy sem em határozható meg a folyamat véges dimeziós eloszlásai segítségével,

Részletesebben

1. Kombinatorikai bevezetés példákkal, (színes golyók):

1. Kombinatorikai bevezetés példákkal, (színes golyók): 1. Kombinatoriai bevezetés példáal, (színes golyó: (a ismétlés nélüli permutáció (sorba rendezés: n ülönböz szín golyót hányféleépp állíthatun sorba? 10-et? n! 10! (b ismétléses permutáció: n 1 piros,

Részletesebben

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI

A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI A MATEMATIKAI STATISZTIKA ELEMEI Az Eötvös Lórád Tudomáyegyetem Természettudomáy Kará a Fzka Kéma Taszék évek óta kéma-szakos taárhallgatókak matematka bevezetõ elõadásokat tart. Az elõadások célja az,

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben