3. Valószínűségszámítás

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "3. Valószínűségszámítás"

Átírás

1 Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció Kombiáció Biomiális együttható tulajdoságai Kísérlet és eseméy Eseméyalgebra A valószíűség fogalma Kolmogorov axiómá és övetezméyei Klasszius valószíűségi modell Feltételes valószíűség Nagyszámo gyege törvéye Függetleség Teljes valószíűség tétele Bayes tétel Valószíűségi változó jellemzése Diszrét valószíűségi változó Folytoos valószíűségi változó Valószíűségi változó várható értée Valószíűségi változó szórása Nevezetes diszrét eloszláso Nevezetes folytoos eloszláso Egyeletes eloszlás Expoeciális eloszlás Normális eloszlás Cetrális határeloszlás tétele Szabadságfo fogalma Bevezetés A valószíűségszámítás a matematiáa egy öállóa fejlődő ága és erre a fogalomredszerre épül a matematiai statisztia (biometria) is. A moder valószíűségszámítás idolgozása Kolmogorov orosz matematius evéhez fűződi, ai ebbe 930-ba fetette le a valószíűségszámítás alapjait. A valószíűségszámítás csa egy eszöz a dötéseihez. Egy olya eszöz, mely számszerűsíti egy eseméy beövetezésée az esélyét, és eze érté alapjá dötei lehet az eseméyre beövetezésére vagy be em övetezésére voatozóa. A valószíűségszámítás a övetező fogalmara épül. 3.. Kombiatoria A ombiatória (apcsolásta) az eleme csoportosításával foglalozi. Elsődleges feladata az eleme csoportjaia előállítása, valamit a csoporto számáa meghatározása. Az eleme egy elredezését omplexióa evezzü. Az eleme elredezésée három legfotosabb fogalma a permutáció, a variáció és a ombiáció témaöréhez tartozi Permutáció Ha az elredezedő ( db) eleme mid ülöböző, aor ismétlés élüli, ha az eleme özött Dr. Diya Ele

2 Biometria az orvosi gyaorlatba azoosa is vaa, aor ismétléses permutációról beszélhetü. Megegyezés szerit az azoos eleme felcserélését em teitjü ülöböző sorrede. Az ismétlés élüli permutáció száma: P = 3... =! vagy rövide P =! Jelölésbe! (ejtsd: fatoriális), ami az elem fatoriális értéét jelöli. Megállapodás szerit 0! =. Ismétléses permutáció száma: p,, 3,..., =!!,!, 3!,...,! ahol,, 3,, az egymás özt megegyező eleme számát jelöli. Példá. Háy hatjegyű szám állítható elő a 0,, 4, 5, 6, 8 számjegyeből? : P 6 - P 5 = 6! - 5! = 70-0= 600. Háy hatjegyű számot épezhetü az,, 3, 3, 3, 6 számoból? : A számo ismétléses permutáció adja a megoldást,3 6! P = = 60 6!*3! 3... Variáció Ha számú ülöböző elemből iválasztu ( ) számú elemet úgy, hogy figyelembe vesszü eze sorredjét is, aor elem ad osztályú variációjáról beszélü. Az összes variáció számát a! V = = ( ) ( ) ( 3)... ( + ) ( )! ifejezés adja. Ha az elemből úgy választu elemet tartalmazó csoportoat, hogy a csoportba egy elem többször is szerepelhet és az eleme sorredje is fotos, aor az elem ad osztályú ismétléses variációját határozzu meg: V i, = A felső idexbe az i betű jelöli az ismétléses variációt. Példá. Négy sebész ettesével, felváltva haszálja a műtőt úgy, hogy az egyiü a vezető sebész legye. Adju meg a lehetséges beosztást. Legye A, B, C, D a égy sebész. A vezető midig az első helyre erül, amire 4 lehetőség adódi. A beosztott sebészt a maradó 3 fő özül választhatju i. Így a lehetősége száma 4*3 = A páro tehát: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC. A METRO aluljárójába 4 ablaál lehet bérletet, jegyet vei. Az egyszerre odaérező 8 fő, háyféle módo ereshet ablaot magáa? Dr. Diya Ele

3 Biometria az orvosi gyaorlatba 3 Ugyaaál az ablaál való elhelyezedés is megegedett, tehát 4 elemből (ablaból) ell 8-as csoportoat épezi a sorred beszámításával. A csoporto számát az ismétléses variáció adja: Kombiáció V 8 4, i = 4 8 = Ha az számú ülöböző elemből úgy választu i ( ) számút mide lehetséges módo, hogy a iválasztás sorá a csoportoo belül az eleme sorredje em fotos, aor elem ad osztályú ombiációjáról beszélü. Az összes lehetséges iválasztás száma: C! ( ) ( ) ( 3)... ( + ) = = =!( )! ( )... Az jelölést úgy olvassu, hogy alatt a. Ha a elem özött egy elem többször is előfordulhat, aor elem ad osztályú ismétléses ombiációjáról beszélü. Az összes iválasztási lehetősége száma: C i, + = Példá 3. Az egyetemi meza ét ételiadó ablaához 6 hallgató érezi. Háyféle módo választhatjá i magu özül az első ét hallgatót? A iválasztásál a sorred em fotos. A csoporto számát a 6 fő -od osztályú ombiációja adja 6 6! C6 = = = 5!*(6 )! 4. Egy öttagú családál a telefo 4-szer szólalt meg TV ézés özbe. Egy személy 3-szor is odamehetett a észüléhez. A sorredet em figyelve, háyféle módo vehetté fel a agylót? A csoporto száma 5 elem (fő) 3-ad osztályú ismétléses ombiációja 5 6 3, + 6 *5* 4 C i 5 = = = = * * 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai Az olya ifejezéseet amelye ét tagból álla biomiális ifejezésee evezzü, pl. (a+b) vagy (a b). Vegyü az (a + b) biom hatváyait sorba egésze a 3. hatváyig ( = 0,,,3): (a + b) 0 = (a + b) = a + b (a + b) = a + ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 Ha az egyes tago együtthatóit egymás alá írju, aor az ú. Pascal háromszöget apju, ahol a ülső szára meté csa es áll. A háromszög belsejébe álló bármely szám a özvetle felette lévő és attól balra álló ét szám összege: 3 Dr. Diya Ele

4 Biometria az orvosi gyaorlatba 4 Vezessü be az 0 =, = jelöléseet és írju fel a Newto féle biomiális tételt: ( a b) a a b a b... ab b + = = 0 = 0 a b ahol az együtthatóat biomiális együtthatóa evezzü. A tételt a ifejtett biomiális együtthatóal is felírhatju: ( ) ( a b) a a b + = + + a b x!! A tétele egy övetezméye az alábbi ifejezés: (+x) +x (x özel va a 0 hoz) 3.4. Kísérlet és eseméy Kísérlete lehet teitei egyrészt mide olya tevéeységet, amit valamilye cél érdeébe hajtu végre. A ísérlet egyes lehetséges imeeteleit elemi eseméyee evezzü. Az eseméyeet az ABC yomtatott agybetűivel jelöljü. Két eseméyt azoosa teitü, ha egy ísérlet mide lehetséges imeetelét figyelembe véve vagy midettő beövetezi, vagy egyi sem. Ha ét eseméy A és B olya apcsolatba va egymással, hogy A csa aor övetezhet be, ha B is beövetezi, aor azt modju, az A eseméy maga utá voja a B eseméyt. Az ilye eseméyeet a övetező módo jelöljü: A B Egy ísérlet összes elemi eseméyeie a halmaza az eseméytér (Ω). Az elemi eseméyeel apcsolatos három további fogalom: a) lehetetle eseméy (Ο): sohasem övetezhet be a ísérlet folyamá, b) biztos eseméy (Ι): midig beövetezi, c) elletett (omplemeter) eseméy ( A ) csa aor övetezhet be, ha az A eseméy em övetezi be Eseméyalgebra Összeadás Az A és B eseméye összege az a C eseméy, amely aor övetezi be, ha az A és B eseméye özül legalább az egyi beövetezi: A + B = C Kivoás Az A és B eseméye ülöbsége az a A B eseméy, amely aor övetezi be, amior az A eseméy teljesül, de a B eseméy em: A B = F = A B 4 Dr. Diya Ele

5 Biometria az orvosi gyaorlatba Szorzás A G és H eseméye szorzatá azt az eseméyt (jelölésbe AG) értjü, amely csa aor övetezi be, ha a G és H eseméy is beövetezi: K = GH Ha a B és C eseméyre igaz, hogy szorzatu a lehetetle eseméyt adja aor a ét eseméy izárja egymást: BC = Ο Egy A eseméyre voatozóa az alábbi művelete végezhető el: Összeadás Szorzás Komplemeter művelet A + A = A A Ο = Ο I c = Ο A + A c = I A + I = I A A = A Ο c = I A A c = Ο A + Ο = A A I = A (A c ) c = A Az eseméyeel végezhető műveleteet összefoglalóa Boole algebráa hívjá. A gyaorlatba főleg a logiai áramöröbe fotosa az ú. de Morga azoosságo ( az eseméye fölött a voás a omplemeter jele): A + B = A B és A B = A + B Eze a ifejezése több tagra is érvéyese és iterjeszthető Összetett eseméy Egy A eseméy összetett vagy felbotható eseméy, ha legalább ét, tőle ülöböző eseméy összegeét egyértelműe előállítható. K = G + H K G és K H Egy elemi eseméy em állítható elő ilye alaba Teljes eseméyredszer Az A, A, A 3,..., A eseméye teljes eseméyredszert épeze ha igaza ráju az alábbi feltétele: a) A + A + A A = I b) A i A j = O ha i j (i =,, 3,..., és j =,, 3,..., ) 3.5. A valószíűség fogalma A mideapi életbe ige gyara haszálju ezt a fogalmat, amior egy eseméy beövetezési esélyét próbálju számszerűe meghatározi. A lehetetle eseméy valószíűsége 0, a biztos eseméy valószíűsége, és a ét szélső érté özött a valószíűségi sála egyéb értéei szerepele. Miél agyobb egy eseméy beövetezésée az esélye, valószíűsége aál iább özelíti az értéet. A valószíűségi értéeet p vel jelöljü. A valószíűség mási ismert megadási módja a százaléos forma, amior pl. p = 0.5 helyett 50 % os esélyt modu egy eseméy beövetezésére. Ha magát az A eseméyt is jelöljü a valószíűségével együtt, aor a A) jelölést haszálju Kolmogorov axiómá és övetezméyei Egy eseméy valószíűségére az alábbia érvéyese: ) 0 A) 5 Dr. Diya Ele

6 Biometria az orvosi gyaorlatba 6 Egy eseméy valószíűsége csa 0 és özötti szám lehet. ) 0) = 0 A lehetetle eseméy valószíűsége 0. 3) I) = A biztos eseméy valószíűsége. 4) Ha az A és B egymást izáró eseméye (vagyis AB = 0) aor az A és B eseméyere igaz: A+B) = A) + B) Az axiómá övetezméyei: a.) Ha az A eseméy maga utá voja a B eseméyt, aor a valószíűségeire teljesül, hogy: A) B) b) Az A eseméyre és elletétjére az A ra igaz, hogy: A)+ A ) = c) Két eseméy függetle egymástól, ha szorzatura igaz, hogy A B) = A) B) d) Ha az A,A,A 3,...,A eseméye pároét izárjá egymást, aor igaz az alábbi felbotás: A + A + A A ) = A )+ A )+ A 3 )+...+A ) Ee az additivitása egy fotos esete az, ha a A + A + A A eseméye teljes eseméyredszert alota, aor: A )+ A )+ A 3 )+...+A ) = Klasszius valószíűségi modell A valószíűséget az egyes eseméye relatív gyaorisága alapjá határoztu meg, amit úgy számítu, hogy: PA ( ) = vagy A) = edvező esete száma összes eset száma Példa. Egy dobozba 5 piros, 3 fehér, é tabletta va. Mi a valószíűsége a é tabletta húzásáa? Az összes lehetősége száma = 0. A edvező lehetősége száma = A) = = = = Feltételes valószíűség Legye A és B ét eseméy és B) 0. Az A eseméye a B eseméy melletti feltételes valószíűsége az A eseméy beövetezésée a valószíűségét jeleti, ha a B eseméy mit 6 Dr. Diya Ele

7 Biometria az orvosi gyaorlatba 7 feltétele az A eseméye beövetezett: A B) = PAB ( ) PB ( ) Követezméy: AB) = A B) B) Ezt az egyelőséget felhaszálva, az A,A,A 3,...,A eseméye szorzatára apju, hogy: A A A 3... A ) = A A A A 3...A ) A A A A 3...A )... A A ) A ) Példa Meyi aa a valószíűsége, hogy egy étgyermees családba midét gyerme fiú, ha a) az idősebb gyerme fiú b) legalább az egyiü fiú (A fiú és leáy születésée valószíűsége azoos.) Legye A az az eseméy, hogy az idősebb gyerme fiú, B a fiatalabb gyerme fiú. Eor a eresett feltételes valószíűsége ABA) AB) a) AB A) = = = A) A) ABA + ABB) AB) b) AB A+B)= = = A + B) A + B) Nagyszámo gyege törvéye A ísérlet sorá az A eseméy beövetezési valószíűsége legye A) = p és az elletett eseméy ( A ) valószíűsége: A )= p= q Legye ε>0 tetszőleges valós szám, eor a agy számo gyege törvéye szerit: P N p p q ε ε N A törvéyt Beroulli féle törvéye is evezi. A törvéy azt fejezi i, hogy a ísérletszám (N) övelésével egyre isebb lesz aa valószíűsége, hogy valamely eseméy relatív gyaorisága és valószíűsége özött agy a ülöbség Függetleség AB)=A)B) Teljes valószíűség tétele Ha a B, B, B 3,..., B eseméye teljes eseméyredszert alota és igaz továbbá, hogy B i ) 0,aor tetszőleges A eseméy valószíűségére igaz az alábbi ifejezés: A) = A B ) B i= i i ) 7 Dr. Diya Ele

8 Biometria az orvosi gyaorlatba 8 vagyis az A eseméy valószíűsége a B i eseméye feltétele mellett meghatározható. Példa Az aatómia vizsgá az A csoport hallgatóia 60% -a, a B csoport hallgatóia 80%-a sierrel szerepel. Az A csoport az évfolyam 5%-át teszi i. Mi a valószíűsége aa, hogy egy véletleül iválasztott hallgató sierese vizsgázi? Eseméye: a) Legye A a vizsgált eseméy. b) Legye C az az eseméy, hogy a iválasztott egyé A csoport beli. Ee iválasztására az esély 5 C ) = = 0.5% 00 c) Legye C az az eseméy, hogy a B csoportból választottu. Erre az esély 85 C ) = = 0.85% 00 A sieres vizsgázás valószíűsége csoportoét A csoport: A C ) = 60 = 0. 6 % 00 B csoport: A C ) = 80 = 0. 8 % 00 A teljes valószíűség tétele szerit A) = A C )C ) + A C )C ) = = 0.6* *0.85 = Bayes tétel Ha a B, B, B 3,..., B eseméye teljes eseméyredszert alota és igaz továbbá, hogy B i ) 0 és egy tetszőleges A eseméyre A) 0,aor a B i eseméyere igaz az alábbi ifejezés: B A) = i = 0 A B ) B ) i A B ) B ) i Tehát a B i eseméye valószíűsége az A eseméy beövetezése eseté mit feltétel mellett a formula segítségével meghatározható. A ifejezésbe a B i ) valószíűséget priori valószíűségee evezzü. A Bayes tétel fotos alalmazási területe a szaértői redszere világa. Pl. egy diagosztius folyamat leírása eze az úto valósulhat meg. Példa Atomrobbaás öryezetébe három zóát ülöböztete meg. Ezebe a túlélő laossága 5, 40, 45 százaléa lai. Az első zóába mide túlélő sugársérülést szeved, a másodi illetve a harmadi zóába 60 illetve 5 százalé ez az aráy. Mi a valószíűsége aa, hogy véletleszerűe iválasztva egy sugársérülést szevedett egyét, az az első zóából való? Eseméye A : első zóából való A : másodi zóából való A 3 : harmadi zóából való B : az illető sugársérült Bayes tétele szerit 8 Dr. Diya Ele

9 Biometria az orvosi gyaorlatba 9 A B) = B A) A) 3 B A ) i= 3.6. Valószíűségi változó jellemzése i Ai ) = A biometriai vizsgálato sorá megfigyelt vagy mért értée véletletől függő meyisége, amelyehez számértéeet redelü. Ezeet a véletle által befolyásolt értéeet özös éve valószíűségi változóa (radom variable) evezzü. A változó év oa származi, hogy az értée megfigyelési egyedeét más és más értéet vehet fel, vagyis az érté egyedeét változi. Ezeet az értéeet bizoyos valószíűsége mellett veszi fel a változó, ezért haszálhatju a valószíűségi változó elevezést. A valószíűségi változóa ét formáját ismerjü: diszrét és folytoos valószíűségi változóat Diszrét valószíűségi változó Ha a ξ valószíűségi változó értéészlete véges vagy megszámlálhatóa végtele x számsorozat, aor magát a ξ t diszrét valószíűségi változóa evezzü. Ha az A Ω olya részhalmaz, amelye elemi eseméyeihez a ξ hozzáredeli az x számsorozat értéeit, aor az egyes eseméye valószíűségeit (p ) a: p = A ) = ξ = x ) formulával lehet megadi. Az így meghatározott valószíűségeet a ξ változó eloszlásáa evezzü. A éplet azt fejezi i, hogy a ξ valószíűségi változó az egyes x értéeet milye valószíűséggel veszi fel. Egy ξ valószíűségi változó eloszlásfüggvéyét (distributio fuctio) F(x) jelöljü és aa valószíűségét adja meg, hogy a ξ milye valószíűséggel vesz fel egy tetszőleges x értéél isebb értéet. Jelölésbe: F(x) = ξ < x) Megjegyzedő, hogy a diszrét valószíűségi változó F(x) eloszlásfüggvéye lépcsős alaú függvéy. Az F(x) eloszlásfüggvéy tulajdoságai az ábráról is leolvasható: balról folytoos, mooto öveedő, értée 0 és l özötti Folytoos valószíűségi változó A valószíűségi változó azo csoportját, amelye értéészlete véges vagy em megszámlálhatóa végtele, folytoos valószíűségi változóa evezzü. Az ilye típusú változó eloszlásfüggvéyée meghatározása éppe a végtele értéészlete miatt ehezebb mit diszrét változó esetébe. Az egyes tartomáyo (szaaszo) valószíűségée megadása ugyais özvetleül em lehetséges. Ezért erült bevezetésre a sűrűségfüggvéy (f(x)) haszálata, amelye révé mide szaasz valószíűsége megadható a szaaszhoz tartozó függvéygörbe alatti terület (itegráljáa) agyságával. Az is modható, hogy az eloszlásfüggvéy (F(x)) a sűrűségfüggvéy f(x) itegrálja. Folytoos valószíűségi változó esetébe midig létezi a ξ valószíűségi változóa sűrűségfüggvéye. A sűrűségfüggvéy tulajdosága, hogy értée 0 (hisze a valószíűség em lehet egatív értéű), a függvéy görbe alatti területe = l (a valószíűség max. értée csa lehet). 9 Dr. Diya Ele

10 Biometria az orvosi gyaorlatba 0 Némely esetbe a sűrűségfüggvéy meghatározása em egyszerű, mert ha ismerjü is, em öyű elvégezi a függvéy itegrálását. Ezért a biometriába leggyarabba haszált folytoos függvéyere mit pl.χ eloszlás, ormális eloszlás, F eloszlás, t eloszlás, stb. eloszlástáblázatoat észítette éppe a gyaorlati mua megöyítése miatt. Ezeből a táblázatoból a ívát valószíűségeet egyszerű módo i lehet olvasi Valószíűségi változó várható értée Ha egy ísérletet soszor megismétlü és midegyi ísérletet egymástól függetleül hajtju végre, aor a valószíűségi változóa az egyes ísérlete sorá felvett értéei egy jól meghatározott érté örül igadoza. Ezt az értéet várható értée evezzü. Diszrét valószíűségi változó eseté a várható érté véges eseté: M( ξ) = Folytoos eloszlású valószíűségi változó eseté az f(x) függvéy től + ig itegrálja adja a várható értéet. Ee meghatározása az esete többségébe em öyű feladat Valószíűségi változó szórása = p x Egy valószíűségi változó értéeie a várható értée örüli elhelyezedését, szóródását evezzü a változó szórásáa. Jelölve D(ξ). Ee égyzete a variacia ami a ξ változó és várható értée ülöbségée a égyzete, illetve ee várható értée: Var(ξ) = D (ξ) = M[(ξ M(ξ)) ] = M(ξ) [M(ξ) ] A szórás yilvá csa aor va értelmezve, ha a várható érté is létezi. Diszrét valószíűségi változó eseté a szóráségyzet (variacia): Var(ξ) = D (ξ) = = p x p = x Folytoos valószíűségi változó eseté a Var(ξ) étszeri itegrálással határozható meg Nevezetes diszrét eloszláso Biomiális eloszlás Végezzü el egy ísérletet szer egymástól függetleül. A ísérlet sorá egy A eseméy beövetezésée valószíűsége legye A) = p és az elletett eseméy valószíűsége pedig PA ( ) = q = p. A p ről feltesszü, hogy ostas a ísérlet folyamá. A ξ valószíűségi változó az A eseméy beövetezéseie a számát jeleti. Eor aa valószíűsége, hogy a ísérlet sorá az A eseméy szor övetezi be a övetező alaba adható meg: p = ξ = ) = p q ( = 0,,,..., ) A ξ valószíűségi változó eloszlását biomiális eloszlása evezzü, amelye várható értée: M(ξ) = p és szórása: D(ξ) = p q 0 Dr. Diya Ele

11 Biometria az orvosi gyaorlatba formába határozható meg. Példa. Egy bizoyos betegség a hagyomáyos terápiával az esete egyegyed részébe gyógyítható. Új ezelést aara bevezeti, melyet előzőleg 0 betege ipróbála. Ha legalább hete meggyógyula, aor az új ezelést bevezeti. Ha legfeljebb hárma gyógyula meg, aor az új eljárást elveti. Ha 4, 5, vagy 6 beteg gyógyul meg, aor az eljárást tovább vizsgáljá. A ezelés hatása a régi terápiás eljárással azoos. Határozzu meg a három esethez tartozó valószíűségeet. Jelöljü a vizsgált eseméyeet A, B, C betűel. Az eseméye biomiális eloszlást övete, így 0 A)= = = 7 3 B)= = = 0 C)=-(A)+B)=-( ) = Poisso eloszlás A p = ξ = ) = λ! e λ ( = 0,,,...) eloszlást a ξ valószíűségi változó Poisso eloszlásáa evezzü, ahol λ>0 egy tetszőleges valós szám. Poisso eloszlást övete pl. a alácsba egy adott területre eső mazsolá száma, a lehulló hópelyhe száma egy adott tartomáyo, batériumo, sejte száma.egy adott téfogatba, balesete száma egy időitervallumba, stb. A Poisso eloszlás és a biomiális eloszlás özött szoros a apcsolat. Ha a biomiális eloszlásba agy és a vizsgált eseméy valószíűsége a p értée 0 hoz özeli érté (az p szorzat értée < 5), ilyeor a λ = p választással a biomiális eloszlás jól özelíthető a Poisso eloszlással: pq λ! e λ A Poisso eloszlás várható értée: M(ξ) = λ szórása: D(ξ) = λ Példa Egy vizsgálat imutatta, hogy egy adott tóba a batériumo batérium/cm 3 sűrűséggel fordula elő, és Poisso-típusú eloszlást övete. Mi a valószíűsége, hogy egy cm 3 agyságú mita a) batériummetes b) legalább ét batériumot tartalmaz? Dr. Diya Ele

12 Biometria az orvosi gyaorlatba A mitába 4 batérium va, így λ=4 paraméterű Poisso-eloszlással va dolgu. a) =0)=e -4 =0.083 b) -(=0)+=))=-5e -4 = Nevezetes folytoos eloszláso Egyeletes eloszlás Az egyeletes eloszlás sűrűségfüggvéye és grafioja: Eloszlásfüggvéye: f(x) = 0 ha x a ha a < x b b a 0 ha x > b F(x) = ξ<x) = 0 ha x a x a ha a < x b b a ha x >b A várható érté és szórás: M(ξ) = a+ b és D(ξ) = b a Expoeciális eloszlás Az expoeciális eloszlás sűrűségfüggvéye: 0 ha x 0 f(x) = x λe λ ha x> 0 ahol x>0 tetszőleges pozitív szám. Az expoeciális eloszlásfüggvéy alaja F(x) = ξ<x) = 0 ha x 0 λ e x ha x> 0 A várható érté és szórás: M(ξ) = λ és D(ξ) = λ Dr. Diya Ele

13 Biometria az orvosi gyaorlatba 3 Expoeciális eloszlást övete pl. a radioatív bomlási folyamato, az alatrésze élettartamai stb. Az expoeciális eloszlás általáosított alaja a Weibull eloszlás, amelye sűrűségfüggvéye (c > 0 és α > 0 álladó): Eloszlásfüggvéye: f(x) = c α x 0 α α c x e ha ha x 0 x > 0 F(x) = e 0 α c x ha ha x 0 x < 0 A Weibull eloszlás egyi sajátságos felhaszálási területe a gyógyszerietiai vizsgálato Normális eloszlás A statisztiai vizsgálato szempotjából az egyi legfotosabb eloszlás a ormális eloszlás. Közpoti helyet foglal el a vizsgálato özött mivel számos statisztiai eljárás eze az eloszlástípuso alapszi. Maga az elevezés is arra utal, hogy a mért adataitól az várju, hogy ilye módo viseledjee, mert az a természetes, a ormális viseledése az adatoa. Az eloszlás többféle elevezéssel is haszálatos: Gauss eloszlás, harag görbe elevezése szioimái a ormális jelzőe. Egy tetszőleges ξ valószíűségi változó ormális eloszlású, ha sűrűségfüggvéyére igaz az alábbi ifejezés: f(x) = σ (x µ) σ e π A ifejezésbe a µ és σ az eloszlás ét paramétere, ahol µ tetszőleges valós szám, a σ tetszőleges pozitív szám. Ez a ét paraméter határozza meg, hogy a végtele so eloszlást tartalmazó ú. ormális eloszláscsaláda éppe melyi tagját vizsgálju. Az ilye típusú eloszláso szimmetrius, egycsúcsú eloszláso, amelye szárai a és + hez tartoza. A függvéye az X tegelyt csa aszimptótiusa özelíti, de azt soha em ériti. A görbe maximum helye az X tegelye a µ értéél va. A σ paraméter a görbe szélességét, vagyis az adato elhelyezedését határozza meg. Az eloszlás várható értée és szórása: M(ξ) = µ és D(ξ) = σ A harag görbe csúcsa az eloszlás várható értééél a µ értéél található. Bármely ormális eloszlásra igaz, hogy az adato 68 % a a várható értétől a µ σ és µ+σ távolságo belül helyezede el, vagyis az adato a várható érté örül tömörüle. További jellegzetessége az eloszlása, hogy az adato 95 % a a µ σ és µ+σ értée özt va és az adato 5 % a helyezedi el eze távolságoo ívül. Ez a rész az ú. faro rész (tail) a szigifiacia vizsgálatoba ap ige fotos szerepet. Ebbe a részbe csa is valószíűséggel ese adato, s ezt a tulajdoságot haszálju fel dötéseihez. Mivel a ormális eloszláso átszámolható az egyiből a másiba, mide eloszlás azoos alara hozható az ú. stadardizálási eljárással. Az így apott ormális eloszlást stadard ormális 3 Dr. Diya Ele

14 Biometria az orvosi gyaorlatba 4 eloszlása evezzü, és igaz rá, hogy az eloszlás várható értée a µ= 0, szórása σ =. A stadardizálási formula, amellyel bármelyi ξ ormális eloszlású változót egy új z változóba stadardizálhatju: x u z i = i σ A ifejezés azt jeleti, hogy mide mért x i értéből levoju az eredeti ormális eloszlás várható értéét és a ülöbséget osztju a szórással. Az így apott z i értée eloszlása stadard ormális eloszlású lesz. Az eljárás eredméyeéppe az eloszlás szimmetria tegelye az Y tegely lesz és a szóráso egységyi távolságba helyezede el az origó örül. A stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéye: ϕ(x) = π e X A stadard ormális eloszlás sűrűségfüggvéyére a ϕ(x), az eloszlás függvéyére a φ(x) jelöléseet haszálju. A függvéy tulajdoságai az alábbia szerit foglalható össze: a) szimmetrius függvéy az y tegelyre (az y tegely a szimmetria tegelye) ϕ(x) = ϕ( x) és φ( x) = φ(x) b) a függvéy legmagasabb potjáa oordiátái: (0, 04 π. ) értée c) a függvéy görbe alatti területe =, ami azt jeleti, hogy egy stadard ormál eloszlású valószíűségi változó értéei valószíűséggel a (, + ) tartomáyból származa f) az a) és e) poto értelmébe az y tegelytől jobbra és balra első területe agysága: g) egy tetszőleges (µ,σ) paraméterű ormális eloszlású valószíűségi változó sűrűség és eloszlásfüggvéye ifejezhető a stadard ormális eloszlás hasoló függvéyeivel: sűrűségfüggvéy: f(x) = σ ϕ x µ σ eloszlásfüggvéy: F(x) = φ x µ σ h) a biomiális eloszlás tagjait jó megözelítéssel meghatározhatju a stadard ormális eloszlás segítségével, ha az agy és a p, q értée icsee szorosa a 0 özelébe, aor: p q ϕ p q p q p a özelítés aor jó, ha az p>5 és q>5 egyelőtleség teljesül. Hasoló apcsolat va a Poisso eloszlás és stadard ormális eloszlás özött is, ha a λ elég agy, aor a Poisso eloszlás jól özelíthető a stadard ormális eloszlással: 4 Dr. Diya Ele

15 Biometria az orvosi gyaorlatba 5 λ! e λ λ ϕ x λ λ Példa. Tegyü fel, hogy a sorozáso megjeleő férfia örébe a systoles véryomásérté várható értée 30 Hgmm és a szórása Hgmm. Várhatóa a férfiaa háy % a esi a Hgmm tartomáyba, ha a véryomás értée eloszlása ormális eloszlást övet?. A feladat értelmébe a µ = 30 és a σ =. Traszformálju át az értéeet z eloszlásba, hogy a stadard ormális eloszlás táblázatát tudju haszáli. z = x µ = σ = = 083. z = x µ = σ = = 67. A eresett aráyt a z és z értée özötti terület agysága adja meg: A terület megállapításához haszálju az I. táblázatot: T = z.67 z 0.83 = = vagyis 40 x 50) = Tehát várhatóa a férfiaa 6.7 % a esi az eyhe hipertóiás ategóriába Cetrális határeloszlás tétele A statisztiába oly fotos ormális eloszlást a valószíűség számítás egyi alapvető tétele a özpoti (cetrális) határeloszlás tétele biztosítja. A tétel szerit szabad megfogalmazásba egymástól függetle so apró hatás együttes eredméyeét eletezett értée eloszlása ormális eloszlást övet függetleül az összetevő eloszlásától. Külööse fotos a tétel alalmazhatósága az élettai folyamato eseté, hisze itt egy egy jeleség számos függetle hatás eredőjeét alaul i Szabadságfo fogalma A szabadságfo fogalmát Sir R.A. Fisher vezette be. Egy statisztia szabadságfoát amelyet df el (degrees of freedom) jelölü a továbbiaba, úgy defiiálju, hogy az N mitaszámból levoju az adott statisztia iszámításhoz szüséges, az adatoból már meghatározott paramétere számát. df = N A példa edvéért az alább bemutatott statisztiá a ésőbbi fejezetebe részletese tárgyalásra erüle. Példa. Az számú mita adatból számított számtai átlag szabadságfoa, mivel az átlag iszámításához csa a mita adatoat haszálju fel, a épletbe ics olya paraméter, amit az adatoból számolá i: 5 Dr. Diya Ele

16 Biometria az orvosi gyaorlatba 6 x i = = x i = x + x + x x A számlálóba csa a mita adatai, a evezőbe a mita száma szerepel. 6 Dr. Diya Ele

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

Valószínûség számítás

Valószínûség számítás Valószíûség számítás Adrea Glashütter Feller Diáa Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba I. Bevezetés a pézügyi számításoba A péz időértéével apcsolatos számításo A péz időértéée számítása:

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések!

ORVOSI STATISZTIKA. Az orvosi statisztika helye. Egyéb példák. Példa: test hőmérséklet. Lehet kérdés? Statisztika. Élettan Anatómia Kémia. Kérdések! ORVOSI STATISZTIKA Az orvos statsztka helye Életta Aatóma Kéma Lehet kérdés?? Statsztka! Az orvos dötéseket hoz! Mkor jó egy dötés? Meyre helyes egy dötés? Mekkora a tévedés lehetősége? Példa: test hőmérséklet

Részletesebben

A valószínűségszámítás alapjai

A valószínűségszámítás alapjai A valószíűségszámítás alapjai Kombiatoria Permutáció (ismétlés élül): elem összes lehetséges sorredje: P = (-)(-) =!!- fatoriális Variáció ismétlés élül elem -ad osztályú ismétlés élüli variációja - elemből

Részletesebben

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.

Pályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov. Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó.

I. Függelék. A valószínűségszámítás alapjai. I.1. Alapfogalamak: A valószínűség fogalma: I.2. Valószínűségi változó. I. Függelék A valószíűségszámítás alapjai I.1. Alapfogalamak: Véletle jeleség: létrejöttét befolyásoló összes téyezőt em ismerjük. Tömegjeleség: a jeleség adott feltételek mellett akárháyszor megismételhető.

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

Legfontosabb bizonyítandó tételek

Legfontosabb bizonyítandó tételek Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN

KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN KÍSÉRLETTERVEZÉS ÉS ÉRTÉKELÉS A MIKROBIOLÓGIAI GYAKORLATBAN DR. REICHART OLIVÉR 005. Budapest Lektorálta: Zukál Edre Tartalom BEVEZETÉS 3. VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁSI ALAPOK 5.. Kombiatorikai alapösszefüggések

Részletesebben

Komputer statisztika

Komputer statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Iformatikai Itézet Tómács Tibor Komputer statisztika Eger, 010. október 6. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Valószíűségszámítás 7 1.1. Valószíűségi mező............................

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia

Megjegyzések. További tételek. Valódi határeloszlások. Tulajdonságok. Gyenge (eloszlásbeli) konvergencia Valószíűségszámítás és statisztika előadás ifo. BSC/B-C szakosokak 6. előadás október 5. Megjegyzések. A tétel feltételei gyegíthetőek: elég, ha a függetle, azoos eloszlású változók várható értéke véges.

Részletesebben

3.1. A Poisson-eloszlás

3.1. A Poisson-eloszlás Harmadik fejezet Nevezetes valószíűségi változók Valamely valószíűségi változóhoz kapcsolódó kérdésekre akkor tuduk potos választ adi, ha a változó eloszlása ismert, vagy megközelítőleg ismert. Ebbe a

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

A matematikai statisztika elemei

A matematikai statisztika elemei A matematikai statisztika elemei Mikó Teréz, dr. Szalkai Istvá szalkai@almos.ui-pao.hu Pao Egyetem, Veszprém 2014. március 23. 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék 3 Bevezetés................................

Részletesebben

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat

biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Hipotézisvizsgálat Kísérlettervezés - biometria III. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert u-próba Feltétel: egy ormális eloszlású sokaság σ variaciájáak számszerű értéke ismert. Hipotézis: a sokaság µ várható értéke

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél

1. előadás: Bevezetés. Számonkérés. Irodalom. Valószínűségszámítás helye a tudományok között. Cél Valószíűségszámítás előadás formata BSC/ szaosoa és matemata elemző BSC-see 2015/2016 1. félév Zemplé drás zemple@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemple/ 1. előadás: Bevezetés Irodalom, övetelméye

Részletesebben

VEKTORGEOMETRIA. Mit nevezünk null vektornak? Olyan vektort, amelynek a nagysága (abszolút értéke) 0 és az iránya tetszőleges.

VEKTORGEOMETRIA. Mit nevezünk null vektornak? Olyan vektort, amelynek a nagysága (abszolút értéke) 0 és az iránya tetszőleges. VEKTORGEOMETRIA Mt evezü vetora? Olya meységet, amelye ráya és agysága va. Mt evezü egységvetora? Olya vetort, amelye a agysága (abszolút értée). Mt evezü ull vetora? Olya vetort, amelye a agysága (abszolút

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 8. Valószíűségszámítás ESEMÉNYEK 174 Eseméyek formális leírása, műveletek 175 Feladatok 176 A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA 177 A valószíűség tulajdoságai 178 Mitapéldák 179 Feladatok 181 VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK

Részletesebben

Járatszerkesztési feladatok

Járatszerkesztési feladatok Járatszeresztési feladato 1 Járatszeresztési feladato DR. BENKŐJÁNOS Agrártudomáyi Egyetem GödöllőMezőgazdasági Géptai Itézet A járat alatt a logisztiába általába a járműve meghatározott több állomást

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal

Egy lehetséges tételsor megoldásokkal Egy lehetséges tételsor megoldásokkal A vizsgatétel I része a IX és X osztályos ayagot öleli fel, 6 külöböző fejezetből vett feladatból áll, összese potot ér A közzétett tétel-variások és az előző évekbe

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projet eretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszéén az ELTE Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

n*(n-1)*...*3*2*1 = n!

n*(n-1)*...*3*2*1 = n! Kombiatoria Permutáció: egymástól ülöböző elem egy meghatározott sorredbe való elredezése az elem egy permutációja. Az összes permutáció (ülöböző sorrede) száma: P! 0!: *(-)*...***! Ismétléses permutáció:

Részletesebben

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet

Virág Katalin. Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Függetleségvizsgálat Virág Katali Szegedi Tudomáyegyetem, Bolyai Itézet Függetleség Függetleség Két változó függetle, ha az egyik változó megfigyelése a másik változóra ézve em szolgáltat iformációt; azaz

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi

Részletesebben

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.

Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula. Kombiatorika Variáció, permutáció, kombiáció Biomiális tétel, szita formula 1 Kombiatorikai alapfeladatok A kombiatorikai alapfeladatok léyege az, hogy bizoyos elemeket sorba redezük, vagy éháyat kiválasztuk

Részletesebben

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl.

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl. 2. tétel Számhalmazo (a valós számo halmaza és részhalmazai), oszthatósággal apcsolatos problémá, számredszere. SZÁMHALMAZOK Halmazábrá ábrázolom a valós számo halmazát és részhalmazait (éháy példával).

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,

KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen, KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe

Részletesebben

? közgazdasági statisztika

? közgazdasági statisztika Valószíűségszámítás és a statsztka Valószíűség számítás Matematka statsztka Alkalmazott statsztka? közgazdaság statsztka épesség statsztka orvos statsztka Stb. Példa: vércsoportok Az eloszlás A AB B Elem

Részletesebben

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

A feladatok megoldása

A feladatok megoldása A feladato megoldása A hivatozáso C jelölései a i egyenleteire utalna.. feladat A beérezési léps felszíne fölött M magasságban indul a mozgás, esési ideje t = M/g. Ezalatt a labda vízszintesen ut utat,

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből

Kidolgozott feladatok a nemparaméteres statisztika témaköréből Kidolgozott feladatok a emparaméteres statisztika témaköréből A tájékozódást mideféle szíkódok segítik. A feladatok eredeti szövege zöld, a megoldások fekete, a figyelmeztető, magyarázó elemek piros szíűek.

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 Folytoos vlószíűségi változók Értékkészletük számegyees egy folytoos (véges vgy végtele) itervllum. Vlmeyi lehetséges érték vlószíűségű, pozitív vlószíűségek csk értéktrtomáyokhoz trtozk. Az eloszlás em

Részletesebben

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12 XL. Felvidéi Magyar Matematiaverseny Oláh György Emléverseny Galánta 016 Megoldáso 1. évfolyam 1. Oldju meg az egész számo halmazán az egyenletet. x 005 11 + x 004 1 = x 11 005 + x 1 004 Az egyenlet mindét

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

m,p) binomiális eloszlás.

m,p) binomiális eloszlás. A Valószíűségszámítás I. előadássorozat hatodi témája. Néháy fotos diszrét eloszlás. Ismertetem éháy fotos diszrét eloszlás defiicióját, és tárgyalom eze legfotosabb tulajdoságait. Az eloszláso bevezetés

Részletesebben

A statisztika részei. Példa:

A statisztika részei. Példa: STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,

Részletesebben

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok Numerius soro, Taylor-soro, Fourier-soro Kidolgozott feladato.példa: Vizsgálju meg a átalaításoal apju, hogy 5 umerius sor overgeciáját. Azoos 5 5 4 4 5 5 5 5 ; 4 4 A sor tehát szétbotható ét mértai sor

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE

UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Babeş Bolyai Tudomáyegyetem Matematia Iformatia ar Iformatia sza UJJLENYOMATOK FELISMERÉSE Uleyomatépe feldolgozása, osztályozás euroális hálóal, azoosítási célú összehasolítás Vezetőtaár: Dr. Soós Aa

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok Soozato 5 I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK I.. Soozato A legtöbb embe szóicsébe szeepel a soozat szó. Ez azt jeleti, hog edelezi valamile soozatfogalommal. Megéti, ha a miet sújtó

Részletesebben

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása

Rudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai

Részletesebben

c.) b.) FF 6/30 b.)

c.) b.) FF 6/30 b.) Valószí ségszámítás gyaorlat Megoldáso, megoldásvázlato, végeredméye Matematia alapsza, matematiai elemz szairáy Programtervez iformatius alapsza, modellez iformatius szairáy Bármilye, a segédayaggal apcsolatos

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószí ségszámítás és statisztika oktatási segédayag Kupá Pál Tartalomjegyzék fejezet Valószí ségszámítási alapfogalmak 5 Eseméyek 5 M veletek eseméyekkel 5 2 A valószí ség fogalma 7 3 Valószí ségi változók

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...!

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladato A FELADATOK MEGOLDÁSAI A 0. FELADAT UTÁN TALÁLHATÓK.. Egyszerre dobun fel három érmét. Mi anna a valószínűsége, hogy mindegyine ugyanaz az oldala erül felülre?. Két dobóocát

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add

Részletesebben

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László

PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés

Részletesebben

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló . Számelmélet I. Feladatok 1. Háy égyzetszám osztója va a 7 5 5 7 számak?. Az pozitív egész számak potosa két pozitív osztója va, az + 1-ek pedig potosa három. Háy pozitív osztója va az + 01 számak? OKTV

Részletesebben

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek? Fazakas Tüde, 05 ovember Emelt szitű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tüde; dátum: 05 ovember I rész feladat a) Egymillió forit összegű jelzálogkölcsöt veszük fel évre 5%-os

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk;

2. egy iskola tanulói, a változók: magasságuk cm-ben, súlyuk (tömegük) kilóban; 3. egy iskola tanulói, a változó: tanulmányi átlaguk; Statisztika Tegyük fel, hogy va egy halmazuk, és tekitsük egy vagy több valószíűségi változót, amelyek a halmaz mide elemé felveszek valamilye értéket. A halmazt populációak vagy sokaságak evezzük. Példák:

Részletesebben

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol

Wiener-folyamatok definiciója. A funkcionális centrális határeloszlástétel. Norbert Wienerre, a második pedig egy Brown nevű XIX. században élt angol Wieer-folyamatok defiiciója. A fukcioális cetrális határeloszlástétel. A valószíűségszámítás egyik agyo fotos fogalma a Wieer-folyamat, amelyet Browmozgásak is hívak. Az első elevezés e fogalom első matematikailag

Részletesebben

BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3

BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3 Balogh Zsuzsanna Hana László BAYES-ANALÍZIS A KOCKÁZATELEMZÉSBEN, DISZKRÉT VALÓSZÍNŰSÉG ELOSZLÁSOK ALKALMAZÁSA 3 Ebben a dolgozatban a Bayes-féle módszer alalmazási lehetőségét mutatju be a ocázatelemzés

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

A gyors Fourier-transzformáció (FFT)

A gyors Fourier-transzformáció (FFT) A gyors Fourier-transzformáció (FFT) Egy analóg jel spetrumát az esete döntő többségében számítástechniai eszözöel határozzu meg. A jelet mintavételezzü és elvégezzü a mintasorozat diszrét Fouriertranszformációját.

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2.

Intervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres. Statisztika december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Statisztika Hipotézisvizsgálat Székely Balázs 2010. december 2. Itervallum Paraméteres Hipotézisek Nemparaméteres Előadás vázlat 1 Itervallumbecslések

Részletesebben

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III.

Kombinatorika. A permutációk számának megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III. ombiatorika A kombiatorikába csak redezett halmazokkal foglalkozuk. Azt modjuk, hogy az A ( a, a,..., a ) halmaz egy redezett halmaz, ha az elemek bármely sorredcseréjére új halmazt kapuk (úgy modjuk:

Részletesebben

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY

Részletesebben