n(n-1)...32*1 = n!

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "n*(n-1)*...*3*2*1 = n!"

Etelka Bogdán
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 KOMBIATORIKA Pemutácó: egymától ülöböző elem egy meghatáozott oedbe való eledezée az elem egy pemutácója. Az öze pemutácó ülöböző oed záma: P! 0!: *-*...*3**! Imétlée pemutácó: Ha az elem özött,, 3, l daab egyező va - azaz l ülöböző! féle elem va -, ao az elem métlée pemutácóa záma: P,, 3.. l!!...! Vaácó: ha ülöböző elemből ülöbözőt válaztu < é oedbe állítju azoat, az elem egy -ad oztályú vaácóját apju. Az így eletező öze lehetége vaácó! záma: V!! *-*-*...*-+! Imétlée vaácó: ülöböző elemből t válaztu ált., de lehet > é oedbe állítju azoat. A válaztáál métlődét megegedü, tehát ugyaazt az elemet többzö válazthatju. Az így eletező öze métlée vaácó záma:, V **..* Kombácó: Ha az ülöböző elemből -t válaztu <, de a válaztottaat em aju oedbe, az elem egy -ad oztályú ombácóját apju. A eletező öze! lehetége ombácó záma: C :!! 0 Imétlée ombácó: Ha az ülöböző elemből -t válaztu ált., de lehet >, de a válaztottaat em aju oedbe, é a válaztott elem megmétlődhet, ao a, + +! eletező métlée ombácó záma: C!! A éplet levezethető a ombácó zámáa épletéből a övetező elgodolá alapjá: az métlé öveteztébe a vett elemeet mtegy "vzahelyezzü", tehát a., 3.. elem válaztááál a telje elemhalmazból válaztu. Így olya, mtha egy +- elemzámú halmazu lee, hz mde vzahelyezéel "öveljü" az eedet elemzámot. Vzatevé pedg - daab va, mvel az utoló vétel utá em helyezü vza emmt. Tehát [ egy +- ] elemű halmazból vezü elemet métlé élül. A fejezéél a evező temézetee +!!!!. l

2 VALÓSZÍŰSÉGSZÁMÍTÁS. ESEMÉYALGEBRA - FOGALMAK ÉS ALAPOK Elem eeméye: egy véletle jeleége voatozó íélet lehetége meete, amelye egymát zájá. Eeméyté: az öze elem eeméy halmaza. Véletle eeméy eeméy: az eeméyté egy ézhalmaza tehát elem eeméye halmaza. Egy eeméy beövetezett, ha a íélet meetele olya elem eeméy, am eleme az adott eeméye. Az eeméyalgeba tehát egyeétéű egy halmazalgebával. Az eeméyalgebába é haolóa a halmazalgebába - ét műveletet defálu: özeadá é zozá; - mde eeméye va elletéte; - egyégeleme a H-t, ulleleme a -t tethetjü. Az eeméyeet ált. agybetűel jelöljü: pl. A, B, B eeméy. Két eeméy özege halmazelméletbe uója: A B az az eeméy, amely ao é ca ao övetez be, ha legalább az egy eeméy beövetez vagy A, vagy B, vagy mdettő. Jelölée A+B. Két eeméy zozata halmazelméletbe metzete: A B az az eeméy, amely ao é ca ao övetez be, ha mdét eeméy beövetez. Jelölée A B AB. Bzto eeméy maga az eeméyté az öze elem eeméyt tatalmazó halmaz, H, lehetetle eeméy pedg az üehalmaz. A eeméy elletéte omplemetee az A eeméy, amely ao é ca ao övetez be, ha A em övetez be. A bzto eeméy elletéte a lehetetle eeméy. A é B eeméye ülöbége: A - B A B. A eeméy maga utá voja B-t, ha az A eeméye megfelelő halmaz ézhalmaza B-e, vagy A B. Az A,A,...,A eeméye telje eeméyedzet alota, ha együ bztoa beövetez, vagy A H é egymát páoét zájá dzjuta, vagy A A j ha j. egyzee ca övetez be! Vagy egy telje eeméyedze H egy oztályozáa. Az eeméyté öze elem eeméye telje eeméyedzet alot.

3 . A VALÓSZÍŰSÉG Az A eeméy elatív gyaoága f A : az A eeméy beövetezéee záma, aáyítva az öze íélet zámához. Ha íéletből az A eeméy A eetbe övetez be, ao az A eeméy elatív gyaoága f A A ahol A - az A eeméy gyaoága. A Má megfogalmazába: f A, ahol A az A eeméy dátováltozója, amelye étée - ha A beövetez, é 0 - ha A em övetez be. Az A eeméy valózíűége az a zámété, amely öül az eeméy elatív gyaoága gadoz, ha egye több íéletet végzü. : lm f A tehát azt mutatja meg, hogy az A eeméy az öze íélet váhatóa átlagoa háy zázaléába övetez be. A valózíűég tulajdoága: Mde A eeméye 0 ahol A H ; H h ahol h - elem eeméye; 3 Mde A H eeméye P h h A vagy A eeméy vzg-e egyelő az elem eeméye vzg-e özegével; 4 egy eeméy elletétée vzg-e - az eeméy vzg-e; 5 ha A B, ao B ; 6 A+B + B - AB. ha dzjuta ez a tag 0 A B Ez általáoítható 3 ll. tetzőlege eeméye. 3. KLASSZIKUS VALÓSZÍŰSÉG Az elem eeméye egyfoma valózíűégűe, vagy: h ahol,,3,..., egy elem eeméy vzg-e / öze elem eeméye H záma Ilye eetbe egy elem eeméyből álló A eeméy vzg-e: A edvező _ eete _ záma H öze _ eete _ záma Vagy a halmazo zámoágával elemzámával felíható az eeméye vzg-e. pl. zeecejátéo 3

4 Feltétele vzg. A P A B feltétele valózíűég az A eeméy valózíűége feltéve azo feltétel mellett, hogy B eeméy beövetez. Ao apju meg, ha egy A eeméy vzg-t em a telje H eeméytée, haem ca azo özött az eete özött vzgálju amo B beövetezett. AB P A B feltéve, hogy B 0. B Ebből: AB P A B B. Általáoítva eeméy zozatáa: A A... A A A A... A A A A... A... A A A Ha A é B eeméy függetlee, ao gaz, hogy AB B é P A B. Azaz függetle eeméye beövetezéée vzg-e a ét eeméy zozata. Telje valózíűég tétele: Imet A eeméy vzg-e B,B,...,B feltétele mellett, ahol B,B,...,B telje eeméyedze. Eo az A eeméy valózíűége így zámítható : A B ahol B 0. B a feltétele vzg-e zoozva a feltétel vzg-ével é eze özegezve Baye-tétel: Ha mete a P A B é a B 0 vzg-, zámítható a B feltétele vzg- - a övetező alapjá: AB A B B A B B B, A B B ahol B,B,...,B eeméye telje eeméyedzet alota. 4

5 Valózíűég változó Váható été, zóá ülö fle-ba 5

6 Dzét elozláo Dzét é folytoo elozláo Dzét elozláo azo, ahol a valózíűég változó lehetége étée végee, vagy megzámlálhatóa végtelee. Mde dzét elozlát az été felvételée valózíűégével övde P, a váható étéel [M vagy má jelöléel E] é a zóáégyzettel vagy vaacával [D V] jellemzü. Egyelete elozlá M D M Bomál elozlá ahol,,3,..., A íélete lehetége meetele va. Az egyed valózíűége em változa a íélet oá vagy vzatevée mtavétele zámít ombatoalag. Ao hazálható, ha a populácó agy vagy a mtavétel vzatevée. Ilyee pl. a jelölé-vzafogáo íélete. Aa a valózíűége, hogy függetle íélet oá a p valózíűégű A eeméy -zo övetez be: p p ahol 0,,,..., Az lye elozláú változó bomál elozláú. M p p D p [ Ha a függetleég éül, a övetező ét jeleég egye fgyelhető meg: Clumpg copotoulá: az azoo típuú eeméye copotoula ha az egy beövetezett, agyobb a vzg.-e, hogy legözelebb az övetez be Repulo tazítá: ha az egy meetel beövetezett, utáa a má meetel beövetezée a valózíűbb. ] A bomál elozlá általáoítáa a POLIOMIÁLIS ELOSZLÁS. Egy íélete legye zámú meetele, az A, A, A eeméye. Aa a valózíűége, hogy függetle íélet oá a p valózíűégű A eeméy -ze, a p valózíűégű A eeméy -ze, a p valózíűégű A eeméy -ze övetezett be:! P,,..., p p... p ahol !!...! 6

7 Hpegeometu elozlá A íélete lehetége meetele va. Az egyed valózíűége változa a íélet oá vagy vzatevé élül mtavétele zámít ombatoalag. Ao hazálható, ha a populácó/ua elatíve c. Ha elég agy é c, a vzatevé élül mtavétel valózíűége jó özelítée a bomál elozlá megfelelő valózíűégée vagy a hpegeometu elozlá tat a bomálhoz. Ha daab elemből álló halmazba E elemből daab va, é elemű mtát vezü vzatevé élül, ao aa a valózíűége, hogy a vette özött db E lez, a övetező: P Az lye elozláú változó hpegeometu elozláú. Ha E elem elatív gyaoága p /, ao p p D p M A hpegeometu elozlá általáoítáa a POLIHIPERGEOMETRIKUS ELOSZLÁS. Legye a függetle, vzatevé élül mtavételél ülöböző ategóá: A, A,, A, ahol egy-egy ategóá belül ede,, elem va. Aa valózíűége, hogy az. ategóába eő özül -et, az. ategóába eő özül -et, az. ategóába eő özül -et tatalmaz az elemű mta: P,...,...,, A polomál lletve polhpegeometu elozláo alalmaa a többállapotú tulajdoágo aatee állapotaa jellemzéée. Poo elozlá A bomál elozlá, ha, p 0 a mta agy é az egy vzg. c, é p λ álladó, ao tat a Poo elozlához. A íélete tt lehetége meetele va: adott eeméy beövetez vagy em pl. a talajmtába találu moha póát vagy em találu. Az előfoduláo záma té vagy dőbel egyége voatoztatva met. Az előfoduláo egyeét véletlezeűe. A beövetezée záma megadható, de a "em beövetezée" záma em adható meg. Pl. batéumejte a mozóp látóteébe, vllámcapáo záma óáét, tb. λ λ λ! D M e P ahol 0,,,... A Poo elozlá vzoyítá alap a bológába, mvel az előfoduláo függetleégét feltételez! 7

8 Folytoo elozláo A folytoo elozláo jellemzéée az f űűégfüggvéyt, az F elozláfüggvéyt, az M váható étéet é a D zóáégyzetet hazálju. omál elozlá A temézetbe ao találozu omál elozláal, ha o, egymától függetle, egyeét hatáú téyező hatáa özeadód. Ematt a özvetleül mét, véletlezeű gadozáoat mutató adato jó özelítéel omál vagy Gau-féle elozláú oaágból vett mtáa tethető. f F e σ π M µ e σ π µ σ ζ µ σ dζ Az f egy Gau-féle haaggöbe, ld..ába. D σ Mt látható a omál elozlá ét paaméteel adható meg. A omál elozlá zoáo övd jelölée az µ, σ. Például az 5,.4 egy 5 váható étéű,.4 zóáú omál elozlát jelöl. A táblázatba foglalhatóág matt é éyelm zempotoból tütetett a µ 0 váható étéű, σ zóáú tadad omál elozlá. Ee űűég-, é elozláfüggvéye: ϕ e π ζ Φ e π dζ Eze pecál elozlá zmmetu, azaz ϕ- ϕ, lletve Φ- -Φ. Bámely µ, σ elozlá levezethető az 0, tadad omál elozlából a övetezőéppe: µ f ϕ σ σ µ F Φ σ Ezt evezzü tadadzáláa. Két vagy több függetle, omál elozláú változó özege zté omál elozláú. A váható étée é a zóáégyzete ez eetbe özeadóda.. ába: A omál elozlá űűég- f, é elozláfüggvéye F. 8

9 Egyelete elozlá az a,b tevallumo Az a,b tevallumo egyelete elozlá űűégfüggvéyée étée az a,b tevallumo álladó. f ha a < < b, ülöbe f 0, f b a 0, ha a - a b a F, ha a < b b - a, ha > b a b a + b M F b a D a b. ába: Az egyelete elozlá űűég- f, é elozláfüggvéye F. Egyelete elozlá eeté az egy-egy tevallumba eé valózíűége egyeee aáyo az tevallum hozával. Epoecál elozlá Az epoecál elozlá űűég-, é elozláfüggvéye: 0,ha 0 f λ λe, ha > 0 0, ha 0 F λ e, ha > 0 A váható été é a zóáégyzet: M D λ 3. ába: Az epoecál elozlá űűég- f, é elozláfüggvéye F. Az epoecál valózíűége gaz az "ööfjúág". Egy objetum ézece vagy élőléy populácó élettatamát epoecál elozláal modellezve gaz az, hogy ha egy objetum em halt meg deg, ao ezt övetőe a túlélé valózíűége ugya olya, mtha a folyamat az dőpotba ezdődött vola. A halál vzg-e mde dőtevallumba azoo. Jó özelítéel lye pá alacoyabb edű tege élőléy, pl. a oallpolpo élettatamáa elozláa. 9

Hasonló dokumentumok

biometria I. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Alapfogalmak

biometria I. foglalkozás előadó: Prof. Dr. Rajkó Róbert Alapfogalmak Kíérlettervezé - bometra I. oglalozá előadó: Pro. Dr. Rajó Róbert Alapogalma Véletle jeleége: mde jeleéget az oo egy bzoyo redzere hoz létre. Ha az oo mdegyét gyelembe tudá ve a jeleég leolyáa azoból egyértelműe