I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok"

Átírás

1 Soozato 5 I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK I.. Soozato A legtöbb embe szóicsébe szeepel a soozat szó. Ez azt jeleti, hog edelezi valamile soozatfogalommal. Megéti, ha a miet sújtó atasztófasoozatól mesélü, vag az Euópa Kiadó soozatába megjelet legújabb övet dicséjü. Mi több, ha tault má a π számól, ao is fog étei beüet, ha a π számjegeie soozatáól beszélü. So itelligeciateszt ee az ituitív soozatfogaloma épít. Gaoia a Foltasd a övetező soozatot! típusú felszólításo. Vegü a övetező soozatoat:. jauá, febuá, mácius, ápilis,. Pete Roma, Teodo Stoloja, Nicolae Văcăoiu,.,,,, 5, 6, 7, 8,.,, 9, 6, 5, 6, 9, 5.,, 5, 7, 9,, 6.,,, 5, 0,,,, 6, 7.,, 5, 6, 677, A legtöbbe azoal látjá, hog a övetező elem az. soozatba a május (az év hóapjait soolju fel); a. soozatba Victo Ciobea (a 90 utái omá miiszteelöö eveit soolju fel); a. soozatba a 9 (a temészetes számoat soolju övevő soedbe); a. soozatba a 6 (a temészetes számo égzeteit soolju övevő soedbe); az 5. soozatba a (a páatla temészetes számoat soolju fel); a 6. soozatba a 7 (ha az első taghoz eget hozzáadu, megapju a másodi tagot, ha ezt ettővel szoozzu, megapju a hamadi tagot, majd felváltva ismételjü ezt a ét műveletet); a 7. soozatba a (a másodi tagtól ezdődőe midegi potosa eggel agobb, mit az előtte álló égzete). Temészetese a felszólításba ejtőzi az az előfeltételezés, hog a soozat tagjait valamile jól meghatáozott szabál szeit ítu fel, és ee a szabála á is lehet jöi. So esetbe ez a szabál em egételmű. Vizsgálju meg a övetező példát: 8. 0,,, 7, 5, A számo özti ülöbség ede,, és 8, íg ésszeű azt állítai, hog a övetező tag 56. Másészt a számo számjegösszege szité,, és 8 (az utolsóa 7). Íg az is lehetséges, hog az egmás utái tago ülöbsége a isebb tag számjegeie összegével egelő. Ee alapjá a övetező elem 57. Ahhoz, hog a soozatoat matematiai vizsgálódása vethessü alá, mideeelőtt a soozat fogalmáa potos matematiai ételmezésée va szüségü. Észe ell veü, hog a felsoolt példába étféle soozattal találoztu. Az egi típus véges számú tagot tatalmaz (pl. az év hóapjaia

2 6 Soozato soozata) a mási végtele soat (pl. a temészetes számo soozata). Eszeit véges és végtele soozatoól fogu beszéli. I... Véges soozato... Ételmezés. Ha N * eg szám és E eg halmaz, ao az f :{,,,, } E függvét az E halmaz elemeiből alotott (vag egszeűe E-beli) véges soozata evezzü.... Példá. Az f:{,,,, 5, 6, 7} {a, o,, s, t, z} függvét a övetező táblázattal ételmezzü: f() s o o z a t Máséppe: f(i) a soozat szó i-edi betűje.. Az f : {,,,..., 90} N, f ( ) 9 függvé a étjegű temészetes számo soozatát adja.... Megjegzése. Ha az... ételmezésbe szeeplő E számhalmaz, ao számsoozatól beszélü: ER eseté valós számsoozatól, EQ eseté acioális számsoozatól, EZ eseté egész számsoozatól és EN eseté temészetes számsoozatól.. A soozat tagjai: f(), f(), f(),, f(), egszeűbbe jelölve:,,,,,,, a soozat -adi tagja tehát f(), {,,,, }. Az... paagafus. példájába a soozat tagjai: s, o,, o, 5 z, 6 a és 7 t.. Mivel véges halmazo ételmezett függvét megszeeszthetü az eges eleme épeie egeéti megadásával is (lásd../-es példát) a soozat elemei lehete egmástól függetlee is. Ebből is látszi, hog a bevezetőbe említett Foltasd a soozatot! felszólítás meie potatla. Tulajdoéppe azt a épzési szabált ell megtalálu, amele segítségével a soozat má meglevő elemeit geeáltu, majd e szabál segítségével megszeeszthetjü a övetező elemet. Köe épezhetü ola soozatot, amele elemei özött ics ile összefüggés. Godolju csa a lottóhúzás eedméeie, vag eg Las Vegas-i aszió etes ulett-számaia. I... Végtele soozato... Ételmezés. Ha E eg halmaz, ao az f:n E függvét az E halmaz elemeiből alotott (vag egszeűe E-beli) soozata evezzü.... Megjegzése. A végtele soozato tagjait is általába íg jelöljü:,,,,,, a soozat -adi tagja tehát f(), N *. A soozatoat övide íg jelöljü: ( ) vag, és íg olvassu: az általáos tagú soozat. N ( )

3 Soozato 7. Az f függvé tulajdoságai szeit beszélhetü övevő soozatól (ha f övevő, vagis ha, eseté), csöeő soozatól (ha f csöeő, vagis ha, eseté) vag peiodius soozatól (ha f peiodius, azaz ha létezi ola m temészetes szám, amele m, eseté).. Hasolóa a véges soozatohoz a végtele soozato eseté is beszélhetü temészetes, valós, egész, acioális stb. soozatól, az E halmaz elemeie temészete szeit.... Példá. Az f : N N, f( ) függvé az I.. paagafus hamadi soozatát számaztatja (szimbólumoal). A soozat általáos tagját a továbbiaba íg jelöljü:, N. ). Az f : N N, f ( függvé az I.. paagafus egedi soozatát ételmezi, tehát, N. :. Az f N N, f ( ) függvé az I.. paagafus ötödi soozatát íja le, tehát, N.. Az I.. paagafus hatodi példájába szeeplő soozat épzési szabála szeit:,,,, általába, illetve 5, N 00. Az előbbi összefüggése alapjá a soozat bámel tagja iszámolható, de az iszámításához i ellee számolu a soozat első 000 elemét. Ezt eleülhetjü, ha előbb megtalálju azt az f függvét, amel a soozat elemeit számaztatja (az ételmezés szeit). 5. Az I.. paagafus hetedi példájába a soozat eges tagjait (a másoditól ezdődőe) úg aptu, hog az előtte álló tag égzetéhez hozzáadtu -et. Ezt matematiailag az, egelőség fejezi i. Ez az egelőség ömagába még em hatáozza meg a soozat mide tagját. Ha viszot ismejü az első tagot is (az -et), ao a soozat mide tagja iszámítható.... Megjegzés. Ha az ( ) N soozat tagjait függvéébe adju meg, ao azt modju, hog ismejü a soozat általáos tagjáa épletét (vag egszeűe az általáos tagot). Ha a soozat tagjait az őet megelőző eg vag több tag függvéébe adju meg, ao a soozatot euzíva evezzü, és a tagoat geeáló összefüggést euzióa (vag euecia-elációa) evezzü. Valamel, euzióval adott soozat tagjait csa a euzió alapjá általába em tudju meghatáozi, szüségü va a tago további tulajdoságaia, vag (esetleg) a soozat éhá tagjáa potos ismeetée. Az előbbi öt példába az első háom soozat esetébe ismejü az általáos tagot, míg az utolsó ettő eseté eg-eg euziót ismeü. A függvé megadása em jelet föltétleül épletet. A pímszámo soozata is eg helese ételmezett soozat aa elleée, hog sem az -edi pímet megadó általáos épletet, sem pedig a píme özötti euecia-elációt em ismeü.

4 8 Soozato..5. Példá. Az, általáos tagú soozat első hat eleme, 0, 5 7, 6 8., 0,. Jelöljü -el az szám másodi tizedes jegét. Ha az első tizeét tagot iszámítju a övetező étée adóda: 0, 0,, 5, 5 0, 6 6, 7, 8, 9, 0 0, 9, 8. A soozat általáos tagja a övetező éplettel adható meg: 0 00 N 0, (az összefüggés em szüséges a soozat ételmezéséhez, de megöítheti a dolguat, ha az -edi tagot eg számítógépes pogam segítségével szeeté iszámítai, vag ha további számításoat ell végezü vele).. Az, N, összefüggéseel ételmezett euzív soozat első öt elemét iszámíthatju, ha a euzióba behelettesítjü ede az,, és számoat. Íg a övetező étéehez jutu:, 7, 0, 5. Észevehetjü, hog eze éppe a alaú számo. A soozat tagjait a övetező alaba íhatju: 0,,, és. Az általáos taga voatozóa ialaulhat a övetező sejtés: Ezt a matematiai idució segítségével igazolju. 5 ( ), N. {,,,, 5 } eseté az összefüggés igaz. Feltételezzü, hog sejtésü igaz -a, és iszámítju az -et. ( ) (( ) ), tehát sejtésü igaz ()-e is. Íg a matematiai idució elve alapjá, sejtésü bámel temészetes szám eseté igaz, tehát a soozat általáos tagja: ( ), N...6. Megoldott feladato ( ). Az N soozatot az,, 8 euziós elációval ételmeztü. Hatáozzu meg a soozat általáos tagjáa épletét! Megoldás. Kiszámítju a soozat első éhá tagját:, 8, (8 ), ( 8) 6, 5 (6 ) 60, 6 (60 6) 8, 7 (8 60) 896. Téezőe botju, és táblázatba foglalju a apott étéeet:

5 Soozato 9 A, 5 és 7 eseté a apott étée bizoos szabálszeűséget sugalla. Az alaa gaaszu. Megpóbálju,, és 6 eseté is hasoló fomába felíi a soozat tagjait., 8, 6 6 6, tehát megfogalmazhatju a sejtésüet, amel szeit,. Ezt a matematiai idució segítségével igazolju. Mivel emcsa -től függ, iduciós állításu a övetező: P( ) :,. Ez az állítás {,,,, 5, 6, 7} és 6 8 eseté igaz. Ha feltételezzü, hog sejtésü -e igaz, ao bizoítau ell, hog ( ( ) ( ). Másészt ( ) ) ( ) ( ), tehát a matematiai idució elve alapjá,.. Adott az, általáos tagú soozat. Hatáozzu meg eg euziót a soozat tagjaia! Megoldás. Felíju az adott összefüggést -e és ( )-e, majd iüszöböljü a hatváait: ( ), () Az íg apott összefüggésből iüszöbölhetjü az ( )-et is : 5 ( ) ( ) A () összefüggésből iüszöböljü a -et: 5 5 ( ) 5 A () összefüggés alapjá évées a övetező euzió: 5 N ( ),.. Az N soozatot az 5, N,, 0 és összefüggéseel ételmezzü. Bizoítsd be, hog, N, ahol, a. feladatba szeeplő soozat. Megoldás. Kiszámítju az, és étéeit:, 0 és. Tehát a ét soozata özös az első háom tagja, és a tago ugaazt a euziót teljesíti (lásd a () összefüggést). Mivel ez a () () A apott összefüggés is eg euzió. A további számolásoat azét végezzü el, hog bemutassu, hoga lehet iüszöböli eg -be poliomiális tagot a euzióból.

6 0 Soozato ég összefüggés egételműe meghatáozza a soozatot, felíhatju, hog,.. Eg üdülőtáboba tíz háziót építette. A házióat ée vag zölde festi, de ét egmás utái számmal edelező ház em lehet é. Háféleéppe lehet lefestei a házaat? 5 Megoldás. Póbálju egszeűbb eseteet megvizsgáli. Ha csa eg ház lee a táboba, ao étféleéppe lehete lefestei (ée vag zölde). Ha ét ház vola a táboba, azt háomféleéppe lehete lefestei (a ég lehetséges szíezés özül em felel meg az, amio midét ház ée va festve). A továbbiaba házió eseté jelöljü a -el a megegedett festése a 6 festhetjü le. Tehát a a a,. Ha ezt az összefüggést haszálju ede a övetező étéeet apju: a a a 5, a a a 5 8, a a a, 6 a5 a a9 a számát. Láttu, hog a és a. Póbálju meg ifejezi a -et az őt megelőző tago függvéébe. Ha az első háziót zölde festjü, ao a maadé háziót ülöböző módo festhetjü le. Ha az első háziót ée festjü, ao a másodiat ötelező módo zölde ell festei, a többi háziót módo festhetjü le. Íg az háziót összese a 8, a7 a6 a5, a8 a7 a6 55, a és a 0 a9 a Tehát a tíz házat a feladat feltételeie megfelelőe ülöböző módo lehet lefestei. 55a 8b 7 6a 55b a 7b azoosság alapjá, ha az (a, b) számpá megoldása az egelete, ao az (55a8b, 6a55b) számpá is megoldása. Szeesszü meg a övetező, euzióval ételmezett soozatoat:, 55 8 és () a ülöböző a a ülöböző módo 5 5. a) Bizoítsu be a ( ) ( ) 55a 8b 7 6a 55b a 7b azoosságot! b) Bizoítsu be, hog a 7 0 egelete végtele so megoldása va a temészetes számo halmazába! Megoldás. A ( ) ( )

7 Soozato Az előbbi észevételü alapjá az (, ) számpá megoldása az egelete bámel eseté. A () összefüggés biztosítja, hog > 0 és tehát az ( ) és ( ) soozato pozitív tagú és szigoúa övevő soozato. Sieült tehát megszeeszteü a vizsgált egelet végtele so, ülöböző megoldását...7. Gaolato és feladato > 0, N,. Vajo mile tövészeűség alapjá épeztü az alábbi soozatoat? Az általad talált szabálszeűség alapjá íd fel a övetező ét elemet! a) szé, szilícium, gemáium, ó, b),, 6, 56, c),,,, 5, 8, d),, 6, 8,,, 6, e) 9, 7, 5, 90, 5, 89, f),, 6, 5, 5,,, g) 90, 9, 6, 66,,, 8, 0, h),, 6, 0, 5,, 8, i) 6, 80,, 6, 8, j),, 7, 50, 5, 9, ),,, 7, 8,,,, 6, 9,. Számítsd i a övetező soozato első hat elemét, ha az általáos tag éplete: a), ; b), ; c) ma{ 6, 5 }, ; cos( π ) d), ; e),.. Keesd meg a páját! Az első oszlopbeli épleteel ételmezett soozato midegiée va eg pája a másodi oszlopba (a ét soozat megfelelő tagjai egelő). Bizoítsd is be, hog a megfelelő soozato tagjai egelő! si π a), ; ) a,, a a ; 5b b, b) z, ; ) b, b és b 5 ; u c), ; ) c, ahol v u u u, u, u, v v v v és v.,

8 Soozato. Számítsd i a övetező euzióal adott soozato első hat tagját: a),, ; b),,, ; c),, ; d),,, ; 0,,,, e) Az előbbi soozato eseté, a iszámított tago alapjá, póbáld meghatáozi az általáos tagot! Sejtésedet bizoítsd is! Vizsgáld meg a soozato mootoitását! Va-e özöttü peiodius soozat? 6. Bizoítsd be, hog az I.. paagafus hatodi példájába szeeplő soozat általáos tagját a övetező egelősége számaztatjá:, ha., ha 7. Az A N halmazól tudju, hog a) A ; b) A A ; c) A A. Igaz-e, hog 8 A? 8. Hatáozd meg azoat az ( ) számsoozatoat, amele teljesíti az N (... ) 9. Bizoítsd be, hog ha az ( a ) N a a a... egelőséget N eseté! pozitív tagú számsoozat teljesíti az egelőtleséget N eseté, ao, N! a 0. Bizoítsd be, hog ha az euziót teljesítő soozat első tagja és özött va, ao <, N,!. Bizoítsd be, hog létezi ola ( ) számsoozat, amele {, }, és az.... Bizoítsd be, hog egetle ola ( ) teljesíti a övetező feltételeet: a) 5 ; N ( ) N szám osztható -el, N! számsoozat létezi, amel b) bámel... -be végződő szám égzete is... -be végződi, N.. Bizoítsd be, hog az soozato peiodiusa! N, euziót teljesítő ( )

9 Számtai haladváo I.. Számtai haladváo I... A számtai haladvá fogalma Mi lehet az alábbi soozato épzési szabála? Íd fel a soozat övetező ét tagját!. 5, 8,,, 7,. 5,,,,,. 6 0,,,,, Mi a özös a megadott soozato épzési szabálába? Íjál te is ét ola soozatot, amelet hasoló szabállal szeesztettél! a... a a... a... a... a... b... b b... b... b... b... ( ) a... Ételmezés. Az számsoozatot számtai haladváa (vag N számtai soozata) evezzü, ha létezi ola R szám, amele a a,.... Jelölés. Azt, hog az ( a ) N övetezőéppe jelöljü: a, a,..., a,.... soozat számtai haladvá, a... Megjegzése. A euzióba szeeplő számot a soozat álladó ülöbségée evezzü. A feti példába az első tag, illetve az álladó ülöbség étée:. a 5 és ;. a és ;. a és.. Az ( a ), véges soozatot ao evezzü számtai haladváa (vag számtai soozata), ha létezi ola R szám, amele a a,,. Ha a számo em soozat fomájába adotta, csa ao modhatju, hog számtai haladvát alota, ha valamile soedbe teljesíti az előbbi ételmezés feltételeit.. Az a a, euzió em hatáozza meg egételműe az ( a ) számtai soozatot, csa azt biztosítja, hog a soozat számtai haladvá lege. Ahhoz, hog a soozat tagjait meghatáozhassu, további ifomáció szüségese (például eg meghatáozott soszámú tag és az álladó ülöbség elégséges). A omple számo bevezetése utá még visszatéü ee az ételmezése.

10 Számtai haladváo... Feladat. Keessü összefüggést eg számtai haladvá háom egmás utái tagja özt! Megoldás. Ha az ( ) soozat számtai haladvá, ao létezi ola valós szám, amele a a N a és a a. Midét összefüggésből ifejezzü a soozat álladó ülöbségét, és íhatju, hog: a a a a. Tehát a a a,. A apott összefüggés azt fejezi i, hog a soozat mide tagja (a másoditól ezdődőe) a ét szomszédos tag számtai özépaáosa. Ezt a tulajdoságot gaa haszálju, ezét ülö is megfogalmazzu...5. Tulajdoság. Az ( ) a számtai haladvá mide tagja (a másoditól ezdődőe) a ét szomszédos tag számtai özépaáosa. N..6. Megjegzése. A..5. tulajdoság idoolja az ile típusú soozato megevezését.. A..5. tulajdoság fodítottja is eg igaz ijeletés. Azo a soozato, a amele teljesíti az a a euziót mide ettőél em isebb temészetes étée, számtai haladváo. a a Valóba, ha a,, ao a a a,, és íg a a a a,. Jelöljü -el az a a ülöbséget. Az előbbie alapjá a a a a a a... a a, tehát az ( a ) soozat számtai haladvá. N. Igazolju a övetező általáosabb tulajdoságot is: a a a,. I... A számtai haladvá általáos tagjáa éplete Póbálju megeesi az alábbi számtai haladváo általáos tagjáa épletét!. a a, és a ;. a a a,, a 5 és a 0. I. póbálozás Számítsu i a soozat első öt tagját! a a, a a, 5 a 5 a a a, és a, tehát,, a a és a 5. Ee alapjá sejthető, hog a ( ),. A matematiai idució segítségével sejtésü azoal igazolható.

11 Számtai haladváo 5 {,,,, 5 } eseté az eddigi számolásai szeit sejtésü igaz. Ha feltételezzü, hog a ( ) valamile étée, ao a euzió alapjá a ( ). Tehát a matematiai idució elve a a ( ), alapjá. II. póbálozás Íju fel az a a egelőséget, ha ede felveszi az,,,, - étéeet, majd adju össze a apott egelősége megfelelő oldalait. A bal oldalo az a és a ivételével mide tag étsze jelei meg. Egsze egatív előjellel és egsze pozitív előjellel, tehát a bal oldalo az összegzés eedmée a a. A jobb oldalo összese (-) daab -es va, tehát az összeg ( ). Midezt a övetező séma szemlélteti: a a a a a a a a 5 a a... a a a a a a ( ) Az utolsó egelőség alapjá ( ), a. A másodi soozattal póbálozz egedül! Töltsd i az üese hagott heleet az odaillő számoal! a... a... a 5... a 6... és a... Belátható, hog az előbbi godolatsoo bámelie az általáos esetbe is eedméhez vezet. Évées tehát a övetező tétel :... Tétel. Az a a, euzióval ételmezett számtai haladvá általáos tagjáa éplete: a a,. ( ) Bizoítás. Jelöljü P()-el az a a ( ) ijeletést. A P() igaz állítás met a a. Ha feltételezzü, hog P() igaz, ao íhatju, hog a a ( ) a, amel éppe azt fejezi i, hog P() a is igaz. A matematiai idució elve szeit P() igaz állítás mide N eseté, tehát a a, ( ). A teljesség edvéét bizoítju is a tételt.

12 6 Számtai haladváo... Feladat. Eg muahele háom fiatalembe pálázi. A cégvezető a övetezőt modja: A ezdő fizetés havi lej, amit félhavi észletebe fizetü. Ha muáju megfelel, fizetésüet mide hóapba emeljü. Két lehetőség özül választhata: havota lejjel, vag félhavota 5000 lejjel emeljü a fizetésüet. Meli lehetőséget választjá? Két pálázó az első lehetőséget választotta, míg a hamadi is godolodás utá a másodi mellett dötött. A cégvezető őt vette fel. Miét? Megoldás. Vizsgálju meg, hog meoa fizetést apáa a ét ülöböző módo dötő embee! A jobb átteithetőség edvéét eedméeiet a övetező táblázatba foglaltu: I. hóap II. hóap III. hóap I. lehetőség II. lehetőség Jelöljü a -val az első, illetve b -val a másodi lehetőség szeit a -adi hóapba apott fizetést. A övetező étéeet apju: a , a 05000, a 00000, a 05000, a ; b , b 05000, b 05000, b , b Látható, hog a másodi lehetőség má az első hóapba edvezőbb, mit az első, és a ét fizetés özítti ülöbség mide hóapba 5000 lejjel öveszi. Világos, hog ai az első ajálatot választottá, em godoltá végig a lehetőségeet, ezét alalmazta a cégvezető a hamadi pálázót. A továbbiaba azt fogju vizsgáli, hog tulajdoéppe mitől (és hoga) függ az, hog meli lehetőség a edvezőbb. Jelöljü -gel és -vel a havi, illetve a félhavi fizetésemelés agságát valamit a-val a ezdő fizetés agságát. A feladat jelöléseit megőizve a övetező táblázathoz jutu: I. hóap II. hóap III. hóap IV. hóap V. hóap I. lehetőség a a a a a II. lehetőség a a 5 a 9 a a 7 A táblázat alapjá látható, hog a havi fizetése midét esetbe számtai haladvát alota. Az első lehetőség eseté az álladó ülöbség, míg a másodi lehetőség eseté. Az általáos taga voatozó tétel ételmébe a a ( ) és b a ( ). Tehát, ha, ao a másodi lehetőség, ha <, ao az első lehetőség a edvezőbb.... Feladat. Ha a, a,..., a,..., a a a) bizoítsd be, hog a, ; b) számítsd i az a alaú összegeet, ha észlelsz? a {,,..., }! Mit

13 Számtai haladváo 7 Megoldás a) Az általáos tag épletét haszálju: a a ( ) és a a (. Tehát a a a ( ) a. ) b) Szité az általáos tag épletét haszálju: a a ( ) és a a ( ), tehát a a a ( ). Mivel az összege voatozó ifejezés em tatalmazza a változót, függetle -tól és mide eseté a a -el egelő. I... A számtai haladvá első tagjáa összege A övetezőbe iszámítju az első temészetes szám összegét.. módsze. Az S... ( ) ( ) ( ) összeg tagjait íju fodított soedbe, majd adju hozzá az eedeti összeghez. Az ( ) egelőség alapjá az összegbe megjeleő tagot daab csopotba lehet osztai úg, hog az eges csopotoo belül a számo összege lege. Íg íhatju, hog S ( ) ( ), tehát S. Jobba átteithetjü az előbbi számolásoat, ha a ét összeget egmás alá íju és oszlopoét adju össze. S (-) S N (-) (-) () () () () () S Mivel a jobb oldalo -sze szeepel az, íhatju, hog ( ) S.. módsze. Az ( ) azoosságba ede helettesítsü az,,, és étéeet, majd a apott egelősége megfelelő oldalait adju össze. ( ) (( ) ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( )... ( ) S

14 8 Számtai haladváo Az utolsó egelőségből ifejezzü az S -et: ( ) ( ) S.. módsze. Vizsgálju meg a melléelt ábáat! Az első soba eg oog, a másodiba ettő, a hamadiba pedig háom helezedi el. Íg a voal fölött látható oogo száma éppe. Ha ezt iegészítjü az összeggel, amele megfelelő oogo a voal alatt helezede el, 9 oogot apu. A oogo eg csúcsáa állított égzetet hatáoza meg. A apott összefüggés alapjá S S vag S. A másodi ába alapjá vag S. S S ( ) Ha oogot teitü, ao a ( ) összefüggéshez jutu. Ebből ifejezzü az S -et: S ( ) ( ) S. ( )... Megjegzés. Az alaú számoat háomszögszámoa evezzü. A megevezést az előbbi ábá idooljá.... Feladat. Számítsu i az első páatla temészetes szám összegét legalább háom ülöböző módo! Az előbb haszált háom módszet póbálju most is alalmazi.. módsze. Jelöljü S -el az első páatla temészetes szám összegét. Az összeg tagjait fodított soedbe íju, majd a megfelelő tagoat az alábbia szeit csopotosítju. S S S Tehát ( ) S.. módsze. Az ( ) azoosságba ede behelettesítjü az,,, és étéeet, majd a apott egelősége megfelelő oldalait összeadju.

15 Számtai haladváo 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 5)... 5 ( ) Az utolsó egelőségből ifejezzü az S -et, és apju, hog S ( ) S.. módsze. Vizsgálju meg az alábbi ábát! Mide voala azoa a oogoa a számát ítu, amele a voal fölött vag tőle bala vaa, de az az előtti voal alatt vag tőle jobba helezede el. Például az 5-ös a fehé oogoa voatozi. Látható, hog (a oogo eg -es égzetbe edezhető); 5 (a oogo eg -as égzetbe edezhető); 5 7 (a oogo eg -es égzetbe edezhető); ( 5 5-ös égzetbe edezhető); ( 6 6-os égzetbe edezhető). Ha figelembe vesszü, hog az ( ) ( ) -es égzetet az -es égzetből potosa oog hozzáadásával szeesztjü, állíthatju, hog.. módsze. S iszámítását vezessü vissza az első temészetes szám összegée voatozó összefüggése: ( ) ( ) S. S

16 0 Számtai haladváo A... feladat b) potjáa eedméei biztosítjá, hog az. módsze alalmazható bámel számtai haladvá első tagjáa az összege eseté. Az ( ) azoosság alapjá a. módsze segítségével is i tudju számítai eg tetszőleges számtai haladvá első tagjáa összegét. Sajos a. módsze em alalmas az általáos eset tágalásáa (hisz mide haladváa valami más epezetációt ellee italáli, és ee szemléltetését Z eseté más alapoa ell helezi). A. módszet ago so összeg iszámításáa lehet alalmazi, hisz alapgodolata az, hog a iszámítadó összeget egszeűbb összeg(e)e botju. Vizsgálju meg az általáos esetet! Számítsu i az számtai haladvá első tagjáa összegét! Jelöljü a a... S a összege voatozó tételt: ( a ) N -el ezt az összeget: a a. A potosság edvéét előbb ijeletjü az... Tétel. Az ( a ) N számtai haladvá első tagjáa az összege ( a a ). bizoítás S S,. a ( a ) ) a ) S ( ( ) a ( Másészt a ( a a ( ) ) állítása igaz. ( ). ( a ) a, tehát a tétel. bizoítás. Az összeg tagjait fodított soedbe íju, majd a megfelelő tagoat az alábbia szeit csopotosítju, és haszálju a... feladat b) potjáa eedméét: Tehát S a a a a S a a a a S ( a a ) ( a a ) ( a a ) a a S ( a a ). ( )

17 Métai haladváo I.. Métai haladváo I... A métai haladvá fogalma Mi lehet az alábbi soozato épzési szabála? Íd fel a soozat övetező ét tagját!., 6, 8, 5, 6, 86,., 6,,, 8, 96,. 7, 9,,,, 9,.,,,,, 5.,,,,,,, Mi a özös a megadott soozato épzési szabálába? Íj te is ét ola soozatot, amelet hasoló szabállal szeesztettél! b... b b... b... b... b... b... b b... b... b... b... ( ) b... Ételmezés. A számsoozatot métai haladváa (vag N métai soozata) evezzü, ha létezi ola q R szám, amele b b q,.... Jelölés. Azt, hog a ( b ) N soozat métai haladvá az b, b,..., b,... szimbólummal jelöljü.... Megjegzése. A euzióba szeeplő q számot a soozat álladó háadosáa (vag vóciesée) evezzü. A feti példába az első tag, illetve az álladó háados étée:. b és q ;. b és q ;. b 7 és q ;. b és q ; b,. A ( ) 5. b és q. véges soozatot ao evezzü métai haladváa (vag métai soozata), ha létezi ola q R szám, amele b b q,,. Ha a számo em soozat fomájába adotta, csa ao modju, hog métai haladvát alota, ha valamile soedbe teljesíti az előbbi ételmezés feltételeit. A omple számo bevezetése utá még visszatéü ee az ételmezése.

18 Métai haladváo... Feladat. Keessü összefüggést valamel métai haladvá háom egmás utái tagja özt! b Ha a ( ) soozat métai haladvá, ao létezi ola q valós szám, amele: b N b q és b b q. Szoozzu meg -gel az első összefüggést: b b b q b b q b. Tehát b b, b. Ha a soozat pozitív tagú, az előbbi összefüggés midét oldalából égzetgööt vohatu, íg a b b b, összefüggéshez jutu. Ez azt fejezi i, hog a soozat mide tagja (a másoditól ezdve) a ét szomszédos tag métai özépaáosa. Az előbbi ét tulajdosággal gaa találozhatu, ezét ülö is megfogalmazzu...5. Tulajdoság a) A ( b ) N métai haladvá tagjai teljesíti a b b b egelőséget, temészetes száma. b) Pozitív tagú métai haladvá mide tagja (a másoditól ezdve) a ét szomszédos tag métai özépaáosa...6. Megjegzése b. A..5. tulajdoság idoolja az ile típusú soozato megevezését.. A..5. tulajdoság fodított állításai is igaz állításo (lásd a... megoldott feladatot).. Aácsa a számtai haladváo eseté, itt is évées eg általáosabb összefüggés: b b b,, ahol ögzített temészetes szám. I... A métai haladvá általáos tagjáa éplete Póbálju megeesi az alábbi métai haladváo általáos tagjáa épletét!. b, és b ; b b,. b és b 5. I. póbálozás Számítsu i a soozat első öt tagját! b b, b b b b, és b 5 b. Ésszeűe tűi azt állítai, hog a soozat tagjai a hatváaia háomszoosai, vagis b,. ( b ) N A matematiai idució segítségével sejtésü azoal igazolható:,,,, 5 eseté az eddigi számolásai szeit sejtésü igaz. Ha feltételezzü, hog b valamile étée, ao a euzió alapjá. Tehát a matematiai idució elve alapjá,. b { } b b,

19 Métai haladváo II. póbálozás Íju fel a b b egelőséget, ha ede felveszi az,,,, étéeet, majd szoozzu össze a apott egelősége megfelelő oldalait. Mivel a soozata sem a vóciese, sem az első tagja em ulla, a soozat egetle tagja sem ulla. A b és b ivételével mide tag étsze jelei meg, egsze a bal oldalo és egsze a jobb oldalo, ezét ezeel egszeűsíthetü. Íg a összefüggéshez jutu. Midezt az alábbi séma szemlélteti: b b b b b b b5 b... b b b b b b b b b b Az utolsó egelőség alapjá b,. III. póbálozás Íju az előbbi egelőségeet fodított soedbe, majd szoozzu a másodiat -vel, a hamadiat -el és általába a -adiat -el, majd adju össze az íg apott egelőségeet. b b b b b b... b b b b b b b b Tehát b, eseté. A másodi soozattal póbálozz egedül! Töltsd i az üese hagott heleet az odaillő számoal! b... b... b... b 5... és b... Belátható, hog az előbbi godolatsoo bámelie az általáos esetbe is eedméhez vezet. Évées tehát a övetező tétel:

20 Métai haladváo... Tétel. A b b q, euzióval ételmezett métai haladvá általáos tagjáa éplete: b b q,. Bizoítás. Jelöljü P()-el a b b q ijeletést. P() igaz állítás, met b b q q. Ha feltételezzü, hog P() igaz, ao íhatju, hog, ami éppe azt fejezi i, hog P() is igaz. A matematiai idució elve szeit P() igaz állítás mide N eseté, tehát b b q a q,. b b q b... Feladat. Eg muahele háom fiatalembe pálázi. A cégvezető a övetezőt modja: A ezdő fizetés havi lej, amit félhavi észletebe fizetü. Ha muáju megfelel, fizetésüet mide hóapba emeljü. Két lehetőség özül választhata: havota %-al, vag félhavota 0%-al emeljü a fizetésüet. Meli lehetőséget választjá? Meli lehetőséget választaá ao, ha havota 5%-al vag félhavota 0%-al emelé a fizetésüet? Megoldás. Póbálju általáosa vizsgáli a édést, úg hog e végezzü el étsze ugaazoat a műveleteet a ét eset tágalásao. Jelöljü a-val és b-vel a havoéti, illetve félhavoéti emelése százaléaáát az emeledő fizetésehez épest és -szel a ezdeti fizetést. Vizsgálju meg, hog meoa fizetéseet apáa a ét ülöböző módo dötő embee. A jobb átteithetőség edvéét eedméeiet a övetező táblázatba foglaltu: I. hóap II. hóap III. hóap I. lehetőség ( a) ( a) II. b ( b) ( b b lehetőség ) ( ) ( b Látható, hog az első esetbe a havi fizetése összegei ( a) haladvát alota, míg a másodi esetbe a félhavi fizetése ( b) ) vóciesű métai vóciesű métai haladvát alota. Íg az -edi hóapba az első lehetőség szeit a ( a) lee a fizetés, míg a másodi lehetőség szeit b ( b) ( b) ( b) ( b). Most átéhetü a oét esete vizsgálatáa. a) a 0, és b 0, eseté a,, és b,,, met,,. Összehasolítju a ét lehetőséget, és láthatju, hog a másodi lehetőség az előösebb.

21 Métai haladváo 5 b) a 0,5 és b 0, eseté a,5, és b,,, met, a a 0,0,. Számítsu i az aát! b b,, 0,0( ) (az ( ) Beoulli-egelőtleséget haszáltu,, 0,0 és eseté). Az előbbi becslés alapjá látható, hog ha elég ag, ( 60 ), ao az első lehetőség szeit számolt fizetés agobb lesz, mit a másodi lehetőség szeit számolt összeg.... Megjegzés. Itt a havi fizetéseet vizsgáltu. Az I... paagafus utá ajálju az -edi hóapig számolt összjövedelme összehasolítását. Potosabb becslése alalmazásával biztatóbb eedméehez juthatu. Az összjövedelem ugais má másfél év utá agobb lesz az első lehetőség eseté. I... A métai haladvá első tagjáa összege... Feladat. Vizsgáld meg, hoga változa a övetező felbotásoba a másodi záójelbeli ifejezése itevői! Az észlelt szabálszeűsége alapjá póbáld iegészítei a hiáos felbotásoat! ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 5 ( )( ) ( )(...) ( )(... ) Az előbbi felbotásoat bizoítsd is!... Tétel. Ha temészetes szám, ao bámel és valós száma.. bizoítás ( ) 0 ( ) (... ) (... ). bizoítás A matematiai idució módszeét haszálju. Ha tehát feltételezhetjü, hog,, ao az egelőség igaz,. {,,,, 5 } eseté diet számolással

22 6 Métai haladváo elleőiztü (lásd a... feladatot). Ha a tétel állítása igaz eg tetszőlegese választott temészetes száma, ao íhatju, hog.... Az egelőség midét oldalátmegszoozzu -al és hozzáadu -t, íg apju, hog ( )..., vagis.... Ha az utolsó egelőséget ( -al beszoozzu, ao ) ( ) 0 adódi, tehát az állításu ()-e is igaz. A matematiai idució elve szeit a tétel állítása mide temészetes száma igaz.... Feladat. Az előbbi tétel segítségével számítsu i a övetező összegeet: a) S ;... ) ( b)... ) ( S ; c) ( ) ( ) ( )... ) ( S. Megoldás a) Az azoosságba ( ) 0 -et és -t helettesítü.. ) ( S b) Az azoosságba ( ) 0 -et és -et helettesítü. ) ( S. c) Az azoosságba ( ) 0 -et és -t helettesítü. ( ) ) ( S. Az előbbi összegeet más módszeel is iszámíthatju. Az helett iszámítju az ) ( S ) ( ) ( S S ülöbséget. Az összeg tagjai özül a legtöbb étsze jelei meg: egsze pozitív előjellel és egsze egatív előjellel. Ezt a övetező ábá szemléltetjü:

23 Métai haladváo 7 S ( ) ( ) S ( ) - - ( ) ( ) - ( ) - ( ) ( ) S ( ) ( ) ( ) Tehát S ( ).... Tétel. A b b q általáos tagú métai haladvá első tagjáa összege a övetezőéppe fejezhető i: q b,, ha q ; S q b, ha q. Bizoítás. Ha q, ao -e és q -a a... tétel alapjá q q Ha.... q q, tehát q ( q q... q ) q b b b... b b b. q q, ao a soozat ostas és mide eleme b -gel egelő, tehát az összeg b I.. Megoldott feladato. Bizoítsd be, hog ha a ( ) N b számsoozat tagjai teljesíti a b b b egelőséget mide eseté, ao a soozat métai haladvá. b Bizoítás. Ha a soozat egetle tagja sem ulla, ao a q jelölést b b b b b5 b b haszálva íhatju, hog q... (itt a -adi b b b b b b egelőséget eseté az adott összefüggés biztosítja -a). Az előbbi aáso első és utolsó tagjáa egelőségéből övetezi, hog b b,. Az ételmezés alapjá a b soozat métai haladvá. ( ) q N

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben

A természetes számok halmaza (N)

A természetes számok halmaza (N) A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

Készletek - Rendelési tételnagyság számítása -1

Készletek - Rendelési tételnagyság számítása -1 Készlete - Rendelési tételnagyság számítása -1 A endelési tételnagyság meghatáozása talán a legészletesebben tágyalt édésö a észletgazdálodási szaiodalomban. Enne nagyészt az az oa, hogy mind az egyszee

Részletesebben

Járatszerkesztési feladatok

Járatszerkesztési feladatok Járatszeresztési feladato 1 Járatszeresztési feladato DR. BENKŐJÁNOS Agrártudomáyi Egyetem GödöllőMezőgazdasági Géptai Itézet A járat alatt a logisztiába általába a járműve meghatározott több állomást

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Bevezetés. 1 A pénz időértékének elve. Befektetés pénzáram grafikonja. 1.1. ábra - Befektetés pénzáram grafikonja

Bevezetés. 1 A pénz időértékének elve. Befektetés pénzáram grafikonja. 1.1. ábra - Befektetés pénzáram grafikonja Bevezetés A Pézügyta feladatgyűjteméy a Pézügyta tatágy gyakolataihoz készült példatá első észe. Az oktatási segédlet a pézügyi számítások világába vezeti be az olvasót. Bá az oktatási segédletbe sok képlet

Részletesebben

Gonda János SZÁMÍTÓGÉPI MATEMATIKA

Gonda János SZÁMÍTÓGÉPI MATEMATIKA Goda Jáos SZÁMÍTÓGÉPI MATEMATIKA Budapest, 7 Letoálta: 3 TARTALOMJEGYZÉK ELİSZÓ 5 ANALÓG ÉS DIGITÁLIS SZÁMÍTÓGÉP, ALGORITMUS, NEUMANN-ELV 7 JELÁTALAKÍTÁS 9 SZÁMÁBRÁZOLÁS 9 DIGITÁLIS ARITMETIKA 49 LOGIKAI

Részletesebben

Kényszerrezgések, rezonancia

Kényszerrezgések, rezonancia TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 13 Kényszeezgése, ezonancia Gyaolatilag is igen fontos eset az, aio egy ezgése épes endsze ezgései valailyen ülső, peiodius hatás (énysze űödése özben zajlana le Az

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

Valószínûség számítás

Valószínûség számítás Valószíûség számítás Adrea Glashütter Feller Diáa Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba I. Bevezetés a pézügyi számításoba A péz időértéével apcsolatos számításo A péz időértéée számítása:

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként. A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább

Részletesebben

1. Az Általános Szerződési Feltételek hatálya

1. Az Általános Szerződési Feltételek hatálya A PANNONLÍZING PÉNZÜGYI SZOLGÁLTATÓ RT. ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEI FORINT (HUF ALAPON KAMATOZÓ KÖLCSÖNSZERZŐDÉSEKHEZ ÉRVÉNYES A 2002. MÁRCIUS 18-TÓL A VISSZAVONÁSÁIG KÖTÖTT SZERZŐDÉSEKRE A Paolízig

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

MATEMATIKA 11. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 11. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai D Geőcs László Számadó László MATEMATIKA A tankönv feladatai és a feladatk megldásai A megldásk lvasásáhz Acbat Reade pgam szükséges, amel ingenesen letölthető az intenetől (például: adbelahu webldalól)

Részletesebben

ő ü ő ľ ü Ü Ü ľ ź ő ľ ľ ő ő ü ľ ő ö ü ľ ő ő ü ú ź ö ö ö Ĺ ő ö ľő ő ú ű ö ö ľ ü Ę ú ő ü ö ľ ź ő ľ ů ö ľ ź ő ľ ő ö ö ľ ľő ľ Í ő ľ ő ľü ľ ő ľ ľ ź ľ ö ü ú ű ź ő ľ ľ ľ ľ ú ú ľ Á ľ Í ő ö ü ő ź ź Í ö ľ ő ľ ő

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek

Általános Szerződési Feltételek Általáos Szerződési Feltétele 2010. júius 11-től ötött Pézügyi Lízigszerződésehez (Személygépjármű, Kishaszogépjármű, Motorerépár fiaszírozásához) Érvéyes pézügyi lízig szerződésere 2011. március 1. apjától,

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

1. feladat. 2. feladat

1. feladat. 2. feladat 1. felada Írja á az alábbi függvénee úg, hog azoban ne az eredei válozó, hanem az eredei válozó haéonsági egsére juó érée szerepeljen (azaz például az Y hele az szerepeljen, ahol = Y E L. Legen a munaerőállomán

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag

Numerikus sorok. Kónya Ilona. VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (1) Oktatási segédanyag VIK, Műszaki Iformatika ANALÍZIS Numerikus sorok Oktatási segédayag A Villamosméröki és Iformatikai Kar műszaki iformatikus hallgatóiak tartott előadásai alapjá összeállította: Fritz Józsefé dr. Kóya Iloa

Részletesebben

SPORTPÉNZÜGYEK. r m. A pénz időértéke.

SPORTPÉNZÜGYEK. r m. A pénz időértéke. SPORTPÉNZÜGYEK A péz időétéke. A ai pézösszeg azét étékesebb, it egy későbbi időpotba esedékes pézösszeg, et a befektető eek évé jövedelee, kaata tehet szet Kaat: A péz áa Haszálója azét fizet, et a pézt

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita

A Venn-Euler- diagram és a logikai szita A Ve-Euler- diagram és a logikai szita Ebbe a részbe a Ve-Euler diagramról, a logikai szitáról, és a két témakör kapcsolatáról íruk, számos jellemző, megoldott feladattal szemléltetve a leírtakat. Az ábrákak

Részletesebben

A pénzügyi számítások alapjai II. Az értékpapírok csoportosítása. Az értékpapírok csoportosítása. értékpapírok

A pénzügyi számítások alapjai II. Az értékpapírok csoportosítása. Az értékpapírok csoportosítása. értékpapírok A pénzügyi számítások alapjai II. étékpapíok Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi Ka Pénzügyi Tanszék Galbács Péte doktoandusz Az étékpapíok csopotosítása Tulajdonosi jogot (észesedési viszonyt) megtestesítő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2011. május 3. KÖZÉPSZINT MATMATIKA ÉRTTSÉGI 011. május 3. KÖZÉPSZINT 1) gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6 b b 36 6 I. Az egyszerűsítés utáni alak: b 6 Összesen: pont ) A, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

Lehetséges minimumkérdések Méréstechnika tárgyból 2015.

Lehetséges minimumkérdések Méréstechnika tárgyból 2015. Lehetséges minimumkédések Mééstechnika tágyból 015. (A válaszokat póbálja lényege töően megogalmazni, az ábáknál töekedjen a pontosan elidézni, a képletek esetén töekedjen a képletben szeeplő betűk megadásáa.)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek

Részletesebben

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported

Részletesebben

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.1. Valószínűségszámítási feladatok

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.1. Valószínűségszámítási feladatok 6 Szálálási feldto. A oitori eleei II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK. A KOMBINATORIKA ELEMEI II.. Vlószíűségszáítási feldto A lsszius vlószíűségszáítás éháy lpfoglát ár VI. osztály tultáto. Eszerit, h K

Részletesebben

STATISZTIKAI MÓDSZEREK

STATISZTIKAI MÓDSZEREK HAJTMAN BÉLA STATISZTIKAI MÓDSZEREK Egetem egzet Pázmá Péter Katolkus Egetem, Bölcsészettudomá Kar Plscsaba, 0. Bevezetés Az első félévbe (Bostatsztka) a statsztka alapat smertük meg. Természetese ez

Részletesebben

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL

2.2.36. AZ IONKONCENTRÁCIÓ POTENCIOMETRIÁS MEGHATÁROZÁSA IONSZELEKTÍV ELEKTRÓDOK ALKALMAZÁSÁVAL 01/2008:20236 javított 8.3 2.2.36. AZ IONKONCENRÁCIÓ POENCIOMERIÁ MEGHAÁROZÁA IONZELEKÍ ELEKRÓDOK ALKALMAZÁÁAL Az onszeletív eletród potencálja (E) és a megfelelő on atvtásána (a ) logartmusa özött deáls

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma

194 Műveletek II. MŰVELETEK. 2.1. A művelet fogalma 94 Műveletek II MŰVELETEK A művelet fogalma Az elmúlt éveke már regeteg művelettel találkoztatok matematikai taulmáyaitok sorá Először a természetes számok összeadásával találkozhattatok, már I első osztálya,

Részletesebben

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projet eretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszéén az ELTE Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok...

Tartalomjegyzék. 2. Probléma megfogalmazása...8. 3. Informatikai módszer...8 3.1. Alkalmazás bemutatása...8. 4. Eredmények...12. 5. További célok... Tartalomjegyzék 1. Bevezető... 1.1. A Fiboacci számok és az araymetszési álladó... 1.. Biet-formula...3 1.3. Az araymetszési álladó a geometriába...5. Probléma megfogalmazása...8 3. Iformatikai módszer...8

Részletesebben

Települési szilárd hulladékok vizsgálata. A minta előkészítése, az anyagi összetétel meghatározása anyagfajtákra történő válogatás útján.

Települési szilárd hulladékok vizsgálata. A minta előkészítése, az anyagi összetétel meghatározása anyagfajtákra történő válogatás útján. Kiadás elte MAGYAR SZABVÁY MSZ 21976-2 Települési szilárd hulladéo vizsgálata. A minta előészítése, az anyagi összetétel meghatározása anyagfajtára történő válogatás útján. Investigation of municipal wastes,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet

Bruttó kereslet Nettó kereslet (1) 5. elıadás: Vétel és eladás indulókészlettel; Intertemporális választások. Indulókészlet (C http://kgt.be.hu/ 5. elıadás: Vétel és eladás idulókészlettel; Itetepoális választások uttó keeslet ettó keeslet ( uttó keeslet: ait a fogyasztó téylegese elfogyaszt (hazavisz a piacól ( ( Jele:, vagy,

Részletesebben

a! "a# $%& $'()&,! -. / a 0!o" "a#,2& 7o8a59a: = D= A > F7 > G7 IC59< A TM JK [\]\^ [ _\ c [ _ph $%+ $*+ a 2007-es új Országos épzési jzé szeriti oduláris szaépzéshez: a teljes szaépesítés es öveteléyoduljaia

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2011. május 3. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o)

Ismérvek közötti kapcsolatok szorosságának vizsgálata. 1. Egy kis ismétlés: mérési skálák (Hunyadi-Vita: Statisztika I. 25-26. o) Ismérvek között kapcsolatok szorosságáak vzsgálata 1. Egy ks smétlés: mérés skálák (Huyad-Vta: Statsztka I. 5-6. o) A külöböző smérveket, eltérő mérés sztekkel (skálákkal) ellemezhetük. a. évleges (omáls)

Részletesebben

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón

Részletesebben

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges.

Izolált rendszer falai: sem munkavégzés, sem a rendszer állapotának munkavégzés nélküli megváltoztatása nem lehetséges. ERMODINMIK I. FÉELE els eergia: megmaraó meyiség egy izolált reszerbe (eergiamegmaraás törvéye) mikroszkóikus kifejezését láttuk Izolált reszer falai: sem mukavégzés sem a reszer állaotáak mukavégzés élküli

Részletesebben

Csernicskó István Hires Kornélia A kárpátaljai magyarok lokális, regionális és nemzeti identitásáról

Csernicskó István Hires Kornélia A kárpátaljai magyarok lokális, regionális és nemzeti identitásáról 8 Sztakó Péter 00 Eticitás Körösszakálo. Szakdolgozat. DENIA (Debrecei Néprajzi Itézet Adattára) Vermeule, Has Govers, Cora (ed.) 99 The Atropology of Ethicity. Beyod Ethic Groups ad Boudaries. Amsterdam:

Részletesebben

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria

Projektív ábrázoló geometria, centrálaxonometria Projektív ábráoló geometria, centrálaonometria Ennél a leképeésnél a projektív teret seretnénk úg megjeleníteni eg képsíkon, hog a aonometrikus leképeést (paralel aonometriát) speciális esetként megkaphassuk.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot

5. modul: Szilárdságtani Állapotok. 5.3. lecke: A feszültségi állapot 5 modul: Silárdságtai Állapotok 53 lck: A fsültségi állapot A lck célja: A taaag flhasálója mgismrj a fsültségi állapot fogalmait valamit mg tudja határoi g lmi pot körték fsültségi állapotát Kövtlmék:

Részletesebben

1. FEJEZET AZ ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK HULLÁM-RÉSZECSKE KETTŐSSÉGÉHEZ ELVEZETŐ KÍSÉRLETI EREDMÉNYEK... 13

1. FEJEZET AZ ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK HULLÁM-RÉSZECSKE KETTŐSSÉGÉHEZ ELVEZETŐ KÍSÉRLETI EREDMÉNYEK... 13 Ttlom BEVEZETŐ... 9 A FEJEZETEK RÖVID ISMERTETÉSE.... FEJEZET AZ ELEKTROMÁGNESES HULLÁMOK HULLÁM-RÉSZECSKE KETTŐSSÉGÉHEZ ELVEZETŐ KÍSÉRLETI EREDMÉNYEK... 3. A féy temészetée votozó elézelése övd tötéelm

Részletesebben

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer!

MATEMATIKA C 12. évfolyam 4. modul Még egyszer! MATEMATIKA C 1. évfolyam 4. modul Még egyszer! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 1. évfolyam 4. modul: Még eygszer! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz

Feladatok és megoldások a 11. heti gyakorlathoz Feladatok és megoldások a. het gyakorlathoz dszkrét várható érték Építőkar Matematka A. Egy verseye öt ő és öt férf verseyző dul. Tegyük fel, hogy cs két azoos eredméy, és md a 0! sorred egyformá valószíű.

Részletesebben

KORSZERŐ GEOINFORMATIKAI MÓDSZEREK AZ ERDÉSZETBEN Egy geoinformációs rendszer fejlesztésének tudományos eredményei. DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS

KORSZERŐ GEOINFORMATIKAI MÓDSZEREK AZ ERDÉSZETBEN Egy geoinformációs rendszer fejlesztésének tudományos eredményei. DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS KORSZERŐ GEOINFORMATIKAI MÓDSZEREK AZ ERDÉSZETBEN Eg geoiformáiós redszer fejlesztéséek tudomáos eredméei DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS Czimber Korél Nugat-Magarországi Egetem Erdıméröki Kar, Sopro Erdészeti

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI

1/12. 3. gyakorlat. Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel. Pécsi Tudományegyetem PTI / Operációkutatás. gyakorlat Lineáris Programozási feladatok megoldása szimplex módszerrel Pécsi Tudományegyetem PTI Normál feladatok megoldása szimplex módszerrel / / Normál feladatok megoldása szimplex

Részletesebben

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és

fogalmazva a nagy számok törvénye azt mondja ki, hogy ha vesszük n független és A Valószíűségszámítás II. előadássorozat egyedik témája. A NAGY SZÁMOK TÖRVÉNYE Eze előadás témája a agy számok erős és gyege törvéye. Kissé leegyszerűsítve fogalmazva a agy számok törvéye azt modja ki,

Részletesebben

Finanszírozás, garanciák

Finanszírozás, garanciák 29..9. Fiaszíozás, gaaciák D. Fakas Szilvesze egyeemi doces SZE Gazdálkodásudomáyi Taszék fakassz@sze.hu hp://d.fakasszilvesze.hu/ Fiaszíozás émaköei. A péz idıééke, jövıéék és jeleéék, speciális pézáamlások

Részletesebben

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL x 1-2x 2 6 -x 1-3x 3 = -7 x 1 - x 2-3x 3-2 3x 1-2x 2-2x 3 4 4x 1-2x 2 + x 3 max Alapfogalmak: feltételrendszer (narancs színnel jelölve), célfüggvény

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 080 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május 5. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

:.::-r:,: DlMENZI0l szoc!0toolnl ránsnnat0m A HELYI,:.:l:. * [:inln.itri lú.6lrl ri:rnl:iilki t*kill[mnt.ml Kilírirlrln K!.,,o,.r*,u, é é é ő é é é ő é ő ő ú í í é é é ő é í é ű é é ő ő é ü é é é í é ő

Részletesebben

Ü Éü É ü í í Í ö Ü Ú ú Ó í ő í Ö ű ö Ó ú Ű ü í Ó ö Ó Ü Ó Ó í í ú í Ü Ü ő Ú Ó Ó í ú É ÉÉ É Á Ü Ü Ü Ú ő í Ő Ó Ü ő ö ü ő ü ö ú ő ő ő ü ö ő ű ö ő ü ő ő ü ú ü ő ü ü Í ü Í Á Ö Í É Ú ö Í Á Ö í É ö í ő ő í ö ü

Részletesebben

ó ó ú ú ó ó ó ü ó ü Á Á ü É ó ü ü ü ú ü ó ó ü ó ü ó ó ú ú ú ü Ü ú ú ó ó ü ó ü ü Ü ü ú ó Ü ü ű ű ü ó ü ű ü ó ú ó ú ú ú ó ú ü ü ű ó ú ó ó ü ó ó ó ó ú ó ü ó ó ü ü ó ü ü Ü ü ó ü ü ü ó Ü ó ű ü ó ü ü ü ú ó ü

Részletesebben

Á ű ő ö Í é é ő Ö Ö é ő Ö ő ö é é Ö ü é ó Ő é é ó é ó é é é é Ö ó ó ő é Ü é ó ö ó ö é é Ő ú é é é é ő Ú é ó Ő ö Ő é é é é ű ö é Ö é é ó ű ö é ő é é é é é é é é é Ö é Ö ü é é é é ö ü é ó é ó ó é ü ó é é

Részletesebben

Ü Ö Á Á Á Á Á É ű Ü Ú ű ű Á É ű Ú Ü ű Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Ü Á Ü Ü Ü Ö Ö Ú Ö Ü Ö ű ű ű ű ű Á ű Ú ű ű ű ű ű É Á Ö Ö Ö ű ű ű Á ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ü Ü Ü Ü ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű ű Ú ű ű ű ű ű ű Ü Ö Ü Ó Ö ű ű ű

Részletesebben

Ö Ó ú É ű É Ö Ö Ö Ü Ó Ú É ú É Ü Ú ú Ü ű ú Ü Ö Ö ú ű Ú ű ű ú Ö Ö Ö Ö É ú ú Ő Ö ú Ü Ó ú Ú Ü Ö ű ű ű Ö ű ú Ó ű Ö Ü ű ú ú ú ú É ú Ö ú ú Ü ú Ó ú ú ú ú ú ú ű ű ú ű ú ú ű Ö ú ú ú ű Ö ú ű ú ű Ü Ö Ü ű Ü Ö ú ú Ü

Részletesebben

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez)

iíiíi Algoritmus poligonok lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógépes adatelőkészítés pattern generátor vezérléséhez) iíiíi á HlftADÁSfCCHNIKAI TUOOHANfOS EGYíSBLIT (APJA KULCSÁR GÁBOR Híradástechikai Ipari Kutató Itézet Algoritmus poligook lefedésére téglalapokkal ETO 514.174.3:681.3.06 (Számítógép adatelőkészítés patter

Részletesebben

1. Az ezekhez tartozó. egyenlet megoldásai: k 360. forgásszögek a. Két különböz egységvektor van, amelyek els koordinátája

1. Az ezekhez tartozó. egyenlet megoldásai: k 360. forgásszögek a. Két különböz egységvektor van, amelyek els koordinátája 8. modu: EGYSERBB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK 5 III. Trigonometrius egyenete Azoat az egyeneteet és egyentenségeet, ameyeben az ismereten vaamiyen szögfüggvénye szerepe, trigonometrius

Részletesebben

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására

Általánosított mintavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Általáosított mitavételi tétel és alkalmazása kváziperiodikus jelek leírására Dr. Földvári Rudolf BME Híradástechikai Elektroika Itézet ÖSSZEFOGLALÁS Az általáosított mitavétel külöböző esteiek bemutatása

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3.

DISZKRÉT MATEMATIKA RENDEZETT HALMAZOKKAL KAPCSOLATOS PÉLDÁK. Rendezett halmaz. (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Rendezett halmaz R A x A rendezési reláció A-n, ha R Másképpen: (a, b) R a R b 1. Reflexív 2. Antiszimmetrikus 3. Tranzitív arb for (a, b) R. 1. a A ara 2. a,b A (arb bra a = b 3. a,b,c A (arb brc arc

Részletesebben

Ü Á Á ó Ü É É Ó Á É ó ó á ó á É á é é ö é é ó é é á á á úé í ú é ö é ó á á á í é ö í á á Ö é é á é ó é é é é ó é ü í í á á á ö é á é é é é é ó é Ü ő á é í ó ó ö ü í á á í ü á á ó á íí ó á ó ő á é é ö ö

Részletesebben

2. modul Gazdasági matematika

2. modul Gazdasági matematika Matematika A. évfolyam. modul Gazdasági matematika Készítette: Lövey Éva Matematika A. évfolyam. modul: GAZDASÁGI MATEMATIKA Taári útmutató A modul célja Időkeret Ajálott korosztály Modulkapcsolódási potok

Részletesebben

2D grafikai algoritmusok

2D grafikai algoritmusok D grafiai algoritmuso A quadtree/octtree algoritmus A floodfill algoritmus Belső vag ülső pont? Baricentrius oordinátá Körüljárási irán eldöntése Animáció A quadtree/octtree algoritmus Legen Ω 0 R eg négzet,

Részletesebben

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek:

festményeken és nem utolsó sorban az emberi test különböz arányaiban. A következ képek magukért beszélnek: Az araymetszés és a Fiboacci számok mideütt Tuzso Zoltá Araymetszésrl beszélük, amikor egy meyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztuk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aráylik a agyobbikhoz, mit

Részletesebben

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április

Dr. Tóth László Hány osztója van egy adott számnak? 2008. április Hány osztója van egy adott számnak? Hány osztója van egy adott számnak? Dr. Tóth László http://www.ttk.pte.hu/matek/ltoth előadásanyag, Pécsi Tudományegyetem, TTK 2008. április. Bevezetés Lehetséges válaszok:

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy a Nemzeti Fejlesztési Terv Humáerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3... közpoti program (Pedagógusok és oktatási szakértők

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika. évfolyam TANULÓK KÖNYVE A kiadváy KHF/438-3/008. egedélyszámo 008..0. időpottól taköyvi egedélyt kapott Educatio Kht. Kompeteciafejlesztő oktatási program kerettaterv

Részletesebben

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor

6. Elsőbbségi (prioritásos) sor 6. Elsőbbségi (prioritásos) sor Közapi fogalma, megjeleése: pl. sürgősségi osztályo a páciesek em a beérkezési időek megfelelőe, haem a sürgősség mértéke szerit kerülek ellátásra. Az operációs redszerekbe

Részletesebben

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

www.easymaths.hu -1 0 1 Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el. Végtele sok vlós számból álló összegeket sorokk evezzük. sorb szereplő tgokt képzeljük el úgy, mit egy bolh ugrásit számegyeese. sor összege h létezik ilye z szám hov bolh ugrási sorá eljut. Nézzük például

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.

Részletesebben

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba

1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai

Részletesebben

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Matematika középszint 091 ÉRETTSÉGI VIZSGA 011. május 3. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Fontos tudnivalók Formai előírások:

Részletesebben

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton

17. Szélsőérték-feladatok megoldása elemi úton 7. Szélsőéték-feldtok egoldás elei úton I. Eléleti összefoglló Függvény szélsőétéke Definíció: Az f: A B függvénynek x A helyen (bszolút) xiu vn, h inden x A esetén f(x) f(x ).A függvény (bszolút) xiu

Részletesebben

Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irány és fázisfront szögdiszperzió mérése

Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irány és fázisfront szögdiszperzió mérése Ultrarövid lézerimpulzusban jelenlevő terjedési irán és fázisfront szögdiszperzió mérése I. Elméleti összefoglaló Napjainkban ultrarövid, azaz femtoszekundumos nagságrendbe eső fénimpulzusokat előállító

Részletesebben

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA

KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA ÉRETTSÉGI VIZSGA 2012. május 8. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2012. május 8. 8:00 I. Időtartam: 45 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati NEMZETI ERŐFORRÁS MINISZTÉRIUM Matematika középszint

Részletesebben

ü É Í ü ü ü Í ü ű ü ü ü ű ü ű ű ű ü ü ü ű ü Í ü ű ü ü ü Ű Í É É Á Ő Á Ó Á Á Á Á É Á Á Á Á É Á Í Á Á Í Í ű Á É É Á Á Ö Í Á Á Á Á Á É Á Á Ó ű Í ü ü ü ű ű ü ü ű ü Á ü ű ü Í Í Í ü Í Í ű ű ü ü ü ü ű ü ű ü ü

Részletesebben

Í Á Á É ö ö ö ö ö ű ü ö ű ű ű ö ö ö ü ö ü í ü í í í ü í ü Á ü ö ö ü ö ü ö ö ü ö í ö ö ü ö ü í ö ü ű ö ü ö ü í ö í ö ű ű ö ö ú ö ü ö ű ű ű í ö ű í ű ö ű ü ö í ű í í ö í ö ö Ó Í ö ű ű ű ű í í ű ű í í Ü ö

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

ő ľ ľü ľ ľ ü Ü Ü ľ ő ľ Ő ń ľü ľ íľ ő ő źů ő í í ü ö ü ľ ź ő ö ü ő ľő ő ö ü źů ź ź í ö ľ ź ő ľ ü ö ö ź ő đí ź ľ ő ö ű í í ö ü ö í í ú ü í ź ő ő í ú í ő Ó ő ü ú í í ú í ú ő ú ľ ő ü ő ü ű ő ő í ü ö ő í ą

Részletesebben