I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok"

Átírás

1 Soozato 5 I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK I.. Soozato A legtöbb embe szóicsébe szeepel a soozat szó. Ez azt jeleti, hog edelezi valamile soozatfogalommal. Megéti, ha a miet sújtó atasztófasoozatól mesélü, vag az Euópa Kiadó soozatába megjelet legújabb övet dicséjü. Mi több, ha tault má a π számól, ao is fog étei beüet, ha a π számjegeie soozatáól beszélü. So itelligeciateszt ee az ituitív soozatfogaloma épít. Gaoia a Foltasd a övetező soozatot! típusú felszólításo. Vegü a övetező soozatoat:. jauá, febuá, mácius, ápilis,. Pete Roma, Teodo Stoloja, Nicolae Văcăoiu,.,,,, 5, 6, 7, 8,.,, 9, 6, 5, 6, 9, 5.,, 5, 7, 9,, 6.,,, 5, 0,,,, 6, 7.,, 5, 6, 677, A legtöbbe azoal látjá, hog a övetező elem az. soozatba a május (az év hóapjait soolju fel); a. soozatba Victo Ciobea (a 90 utái omá miiszteelöö eveit soolju fel); a. soozatba a 9 (a temészetes számoat soolju övevő soedbe); a. soozatba a 6 (a temészetes számo égzeteit soolju övevő soedbe); az 5. soozatba a (a páatla temészetes számoat soolju fel); a 6. soozatba a 7 (ha az első taghoz eget hozzáadu, megapju a másodi tagot, ha ezt ettővel szoozzu, megapju a hamadi tagot, majd felváltva ismételjü ezt a ét műveletet); a 7. soozatba a (a másodi tagtól ezdődőe midegi potosa eggel agobb, mit az előtte álló égzete). Temészetese a felszólításba ejtőzi az az előfeltételezés, hog a soozat tagjait valamile jól meghatáozott szabál szeit ítu fel, és ee a szabála á is lehet jöi. So esetbe ez a szabál em egételmű. Vizsgálju meg a övetező példát: 8. 0,,, 7, 5, A számo özti ülöbség ede,, és 8, íg ésszeű azt állítai, hog a övetező tag 56. Másészt a számo számjegösszege szité,, és 8 (az utolsóa 7). Íg az is lehetséges, hog az egmás utái tago ülöbsége a isebb tag számjegeie összegével egelő. Ee alapjá a övetező elem 57. Ahhoz, hog a soozatoat matematiai vizsgálódása vethessü alá, mideeelőtt a soozat fogalmáa potos matematiai ételmezésée va szüségü. Észe ell veü, hog a felsoolt példába étféle soozattal találoztu. Az egi típus véges számú tagot tatalmaz (pl. az év hóapjaia

2 6 Soozato soozata) a mási végtele soat (pl. a temészetes számo soozata). Eszeit véges és végtele soozatoól fogu beszéli. I... Véges soozato... Ételmezés. Ha N * eg szám és E eg halmaz, ao az f :{,,,, } E függvét az E halmaz elemeiből alotott (vag egszeűe E-beli) véges soozata evezzü.... Példá. Az f:{,,,, 5, 6, 7} {a, o,, s, t, z} függvét a övetező táblázattal ételmezzü: f() s o o z a t Máséppe: f(i) a soozat szó i-edi betűje.. Az f : {,,,..., 90} N, f ( ) 9 függvé a étjegű temészetes számo soozatát adja.... Megjegzése. Ha az... ételmezésbe szeeplő E számhalmaz, ao számsoozatól beszélü: ER eseté valós számsoozatól, EQ eseté acioális számsoozatól, EZ eseté egész számsoozatól és EN eseté temészetes számsoozatól.. A soozat tagjai: f(), f(), f(),, f(), egszeűbbe jelölve:,,,,,,, a soozat -adi tagja tehát f(), {,,,, }. Az... paagafus. példájába a soozat tagjai: s, o,, o, 5 z, 6 a és 7 t.. Mivel véges halmazo ételmezett függvét megszeeszthetü az eges eleme épeie egeéti megadásával is (lásd../-es példát) a soozat elemei lehete egmástól függetlee is. Ebből is látszi, hog a bevezetőbe említett Foltasd a soozatot! felszólítás meie potatla. Tulajdoéppe azt a épzési szabált ell megtalálu, amele segítségével a soozat má meglevő elemeit geeáltu, majd e szabál segítségével megszeeszthetjü a övetező elemet. Köe épezhetü ola soozatot, amele elemei özött ics ile összefüggés. Godolju csa a lottóhúzás eedméeie, vag eg Las Vegas-i aszió etes ulett-számaia. I... Végtele soozato... Ételmezés. Ha E eg halmaz, ao az f:n E függvét az E halmaz elemeiből alotott (vag egszeűe E-beli) soozata evezzü.... Megjegzése. A végtele soozato tagjait is általába íg jelöljü:,,,,,, a soozat -adi tagja tehát f(), N *. A soozatoat övide íg jelöljü: ( ) vag, és íg olvassu: az általáos tagú soozat. N ( )

3 Soozato 7. Az f függvé tulajdoságai szeit beszélhetü övevő soozatól (ha f övevő, vagis ha, eseté), csöeő soozatól (ha f csöeő, vagis ha, eseté) vag peiodius soozatól (ha f peiodius, azaz ha létezi ola m temészetes szám, amele m, eseté).. Hasolóa a véges soozatohoz a végtele soozato eseté is beszélhetü temészetes, valós, egész, acioális stb. soozatól, az E halmaz elemeie temészete szeit.... Példá. Az f : N N, f( ) függvé az I.. paagafus hamadi soozatát számaztatja (szimbólumoal). A soozat általáos tagját a továbbiaba íg jelöljü:, N. ). Az f : N N, f ( függvé az I.. paagafus egedi soozatát ételmezi, tehát, N. :. Az f N N, f ( ) függvé az I.. paagafus ötödi soozatát íja le, tehát, N.. Az I.. paagafus hatodi példájába szeeplő soozat épzési szabála szeit:,,,, általába, illetve 5, N 00. Az előbbi összefüggése alapjá a soozat bámel tagja iszámolható, de az iszámításához i ellee számolu a soozat első 000 elemét. Ezt eleülhetjü, ha előbb megtalálju azt az f függvét, amel a soozat elemeit számaztatja (az ételmezés szeit). 5. Az I.. paagafus hetedi példájába a soozat eges tagjait (a másoditól ezdődőe) úg aptu, hog az előtte álló tag égzetéhez hozzáadtu -et. Ezt matematiailag az, egelőség fejezi i. Ez az egelőség ömagába még em hatáozza meg a soozat mide tagját. Ha viszot ismejü az első tagot is (az -et), ao a soozat mide tagja iszámítható.... Megjegzés. Ha az ( ) N soozat tagjait függvéébe adju meg, ao azt modju, hog ismejü a soozat általáos tagjáa épletét (vag egszeűe az általáos tagot). Ha a soozat tagjait az őet megelőző eg vag több tag függvéébe adju meg, ao a soozatot euzíva evezzü, és a tagoat geeáló összefüggést euzióa (vag euecia-elációa) evezzü. Valamel, euzióval adott soozat tagjait csa a euzió alapjá általába em tudju meghatáozi, szüségü va a tago további tulajdoságaia, vag (esetleg) a soozat éhá tagjáa potos ismeetée. Az előbbi öt példába az első háom soozat esetébe ismejü az általáos tagot, míg az utolsó ettő eseté eg-eg euziót ismeü. A függvé megadása em jelet föltétleül épletet. A pímszámo soozata is eg helese ételmezett soozat aa elleée, hog sem az -edi pímet megadó általáos épletet, sem pedig a píme özötti euecia-elációt em ismeü.

4 8 Soozato..5. Példá. Az, általáos tagú soozat első hat eleme, 0, 5 7, 6 8., 0,. Jelöljü -el az szám másodi tizedes jegét. Ha az első tizeét tagot iszámítju a övetező étée adóda: 0, 0,, 5, 5 0, 6 6, 7, 8, 9, 0 0, 9, 8. A soozat általáos tagja a övetező éplettel adható meg: 0 00 N 0, (az összefüggés em szüséges a soozat ételmezéséhez, de megöítheti a dolguat, ha az -edi tagot eg számítógépes pogam segítségével szeeté iszámítai, vag ha további számításoat ell végezü vele).. Az, N, összefüggéseel ételmezett euzív soozat első öt elemét iszámíthatju, ha a euzióba behelettesítjü ede az,, és számoat. Íg a övetező étéehez jutu:, 7, 0, 5. Észevehetjü, hog eze éppe a alaú számo. A soozat tagjait a övetező alaba íhatju: 0,,, és. Az általáos taga voatozóa ialaulhat a övetező sejtés: Ezt a matematiai idució segítségével igazolju. 5 ( ), N. {,,,, 5 } eseté az összefüggés igaz. Feltételezzü, hog sejtésü igaz -a, és iszámítju az -et. ( ) (( ) ), tehát sejtésü igaz ()-e is. Íg a matematiai idució elve alapjá, sejtésü bámel temészetes szám eseté igaz, tehát a soozat általáos tagja: ( ), N...6. Megoldott feladato ( ). Az N soozatot az,, 8 euziós elációval ételmeztü. Hatáozzu meg a soozat általáos tagjáa épletét! Megoldás. Kiszámítju a soozat első éhá tagját:, 8, (8 ), ( 8) 6, 5 (6 ) 60, 6 (60 6) 8, 7 (8 60) 896. Téezőe botju, és táblázatba foglalju a apott étéeet:

5 Soozato 9 A, 5 és 7 eseté a apott étée bizoos szabálszeűséget sugalla. Az alaa gaaszu. Megpóbálju,, és 6 eseté is hasoló fomába felíi a soozat tagjait., 8, 6 6 6, tehát megfogalmazhatju a sejtésüet, amel szeit,. Ezt a matematiai idució segítségével igazolju. Mivel emcsa -től függ, iduciós állításu a övetező: P( ) :,. Ez az állítás {,,,, 5, 6, 7} és 6 8 eseté igaz. Ha feltételezzü, hog sejtésü -e igaz, ao bizoítau ell, hog ( ( ) ( ). Másészt ( ) ) ( ) ( ), tehát a matematiai idució elve alapjá,.. Adott az, általáos tagú soozat. Hatáozzu meg eg euziót a soozat tagjaia! Megoldás. Felíju az adott összefüggést -e és ( )-e, majd iüszöböljü a hatváait: ( ), () Az íg apott összefüggésből iüszöbölhetjü az ( )-et is : 5 ( ) ( ) A () összefüggésből iüszöböljü a -et: 5 5 ( ) 5 A () összefüggés alapjá évées a övetező euzió: 5 N ( ),.. Az N soozatot az 5, N,, 0 és összefüggéseel ételmezzü. Bizoítsd be, hog, N, ahol, a. feladatba szeeplő soozat. Megoldás. Kiszámítju az, és étéeit:, 0 és. Tehát a ét soozata özös az első háom tagja, és a tago ugaazt a euziót teljesíti (lásd a () összefüggést). Mivel ez a () () A apott összefüggés is eg euzió. A további számolásoat azét végezzü el, hog bemutassu, hoga lehet iüszöböli eg -be poliomiális tagot a euzióból.

6 0 Soozato ég összefüggés egételműe meghatáozza a soozatot, felíhatju, hog,.. Eg üdülőtáboba tíz háziót építette. A házióat ée vag zölde festi, de ét egmás utái számmal edelező ház em lehet é. Háféleéppe lehet lefestei a házaat? 5 Megoldás. Póbálju egszeűbb eseteet megvizsgáli. Ha csa eg ház lee a táboba, ao étféleéppe lehete lefestei (ée vag zölde). Ha ét ház vola a táboba, azt háomféleéppe lehete lefestei (a ég lehetséges szíezés özül em felel meg az, amio midét ház ée va festve). A továbbiaba házió eseté jelöljü a -el a megegedett festése a 6 festhetjü le. Tehát a a a,. Ha ezt az összefüggést haszálju ede a övetező étéeet apju: a a a 5, a a a 5 8, a a a, 6 a5 a a9 a számát. Láttu, hog a és a. Póbálju meg ifejezi a -et az őt megelőző tago függvéébe. Ha az első háziót zölde festjü, ao a maadé háziót ülöböző módo festhetjü le. Ha az első háziót ée festjü, ao a másodiat ötelező módo zölde ell festei, a többi háziót módo festhetjü le. Íg az háziót összese a 8, a7 a6 a5, a8 a7 a6 55, a és a 0 a9 a Tehát a tíz házat a feladat feltételeie megfelelőe ülöböző módo lehet lefestei. 55a 8b 7 6a 55b a 7b azoosság alapjá, ha az (a, b) számpá megoldása az egelete, ao az (55a8b, 6a55b) számpá is megoldása. Szeesszü meg a övetező, euzióval ételmezett soozatoat:, 55 8 és () a ülöböző a a ülöböző módo 5 5. a) Bizoítsu be a ( ) ( ) 55a 8b 7 6a 55b a 7b azoosságot! b) Bizoítsu be, hog a 7 0 egelete végtele so megoldása va a temészetes számo halmazába! Megoldás. A ( ) ( )

7 Soozato Az előbbi észevételü alapjá az (, ) számpá megoldása az egelete bámel eseté. A () összefüggés biztosítja, hog > 0 és tehát az ( ) és ( ) soozato pozitív tagú és szigoúa övevő soozato. Sieült tehát megszeeszteü a vizsgált egelet végtele so, ülöböző megoldását...7. Gaolato és feladato > 0, N,. Vajo mile tövészeűség alapjá épeztü az alábbi soozatoat? Az általad talált szabálszeűség alapjá íd fel a övetező ét elemet! a) szé, szilícium, gemáium, ó, b),, 6, 56, c),,,, 5, 8, d),, 6, 8,,, 6, e) 9, 7, 5, 90, 5, 89, f),, 6, 5, 5,,, g) 90, 9, 6, 66,,, 8, 0, h),, 6, 0, 5,, 8, i) 6, 80,, 6, 8, j),, 7, 50, 5, 9, ),,, 7, 8,,,, 6, 9,. Számítsd i a övetező soozato első hat elemét, ha az általáos tag éplete: a), ; b), ; c) ma{ 6, 5 }, ; cos( π ) d), ; e),.. Keesd meg a páját! Az első oszlopbeli épleteel ételmezett soozato midegiée va eg pája a másodi oszlopba (a ét soozat megfelelő tagjai egelő). Bizoítsd is be, hog a megfelelő soozato tagjai egelő! si π a), ; ) a,, a a ; 5b b, b) z, ; ) b, b és b 5 ; u c), ; ) c, ahol v u u u, u, u, v v v v és v.,

8 Soozato. Számítsd i a övetező euzióal adott soozato első hat tagját: a),, ; b),,, ; c),, ; d),,, ; 0,,,, e) Az előbbi soozato eseté, a iszámított tago alapjá, póbáld meghatáozi az általáos tagot! Sejtésedet bizoítsd is! Vizsgáld meg a soozato mootoitását! Va-e özöttü peiodius soozat? 6. Bizoítsd be, hog az I.. paagafus hatodi példájába szeeplő soozat általáos tagját a övetező egelősége számaztatjá:, ha., ha 7. Az A N halmazól tudju, hog a) A ; b) A A ; c) A A. Igaz-e, hog 8 A? 8. Hatáozd meg azoat az ( ) számsoozatoat, amele teljesíti az N (... ) 9. Bizoítsd be, hog ha az ( a ) N a a a... egelőséget N eseté! pozitív tagú számsoozat teljesíti az egelőtleséget N eseté, ao, N! a 0. Bizoítsd be, hog ha az euziót teljesítő soozat első tagja és özött va, ao <, N,!. Bizoítsd be, hog létezi ola ( ) számsoozat, amele {, }, és az.... Bizoítsd be, hog egetle ola ( ) teljesíti a övetező feltételeet: a) 5 ; N ( ) N szám osztható -el, N! számsoozat létezi, amel b) bámel... -be végződő szám égzete is... -be végződi, N.. Bizoítsd be, hog az soozato peiodiusa! N, euziót teljesítő ( )

9 Számtai haladváo I.. Számtai haladváo I... A számtai haladvá fogalma Mi lehet az alábbi soozato épzési szabála? Íd fel a soozat övetező ét tagját!. 5, 8,,, 7,. 5,,,,,. 6 0,,,,, Mi a özös a megadott soozato épzési szabálába? Íjál te is ét ola soozatot, amelet hasoló szabállal szeesztettél! a... a a... a... a... a... b... b b... b... b... b... ( ) a... Ételmezés. Az számsoozatot számtai haladváa (vag N számtai soozata) evezzü, ha létezi ola R szám, amele a a,.... Jelölés. Azt, hog az ( a ) N övetezőéppe jelöljü: a, a,..., a,.... soozat számtai haladvá, a... Megjegzése. A euzióba szeeplő számot a soozat álladó ülöbségée evezzü. A feti példába az első tag, illetve az álladó ülöbség étée:. a 5 és ;. a és ;. a és.. Az ( a ), véges soozatot ao evezzü számtai haladváa (vag számtai soozata), ha létezi ola R szám, amele a a,,. Ha a számo em soozat fomájába adotta, csa ao modhatju, hog számtai haladvát alota, ha valamile soedbe teljesíti az előbbi ételmezés feltételeit.. Az a a, euzió em hatáozza meg egételműe az ( a ) számtai soozatot, csa azt biztosítja, hog a soozat számtai haladvá lege. Ahhoz, hog a soozat tagjait meghatáozhassu, további ifomáció szüségese (például eg meghatáozott soszámú tag és az álladó ülöbség elégséges). A omple számo bevezetése utá még visszatéü ee az ételmezése.

10 Számtai haladváo... Feladat. Keessü összefüggést eg számtai haladvá háom egmás utái tagja özt! Megoldás. Ha az ( ) soozat számtai haladvá, ao létezi ola valós szám, amele a a N a és a a. Midét összefüggésből ifejezzü a soozat álladó ülöbségét, és íhatju, hog: a a a a. Tehát a a a,. A apott összefüggés azt fejezi i, hog a soozat mide tagja (a másoditól ezdődőe) a ét szomszédos tag számtai özépaáosa. Ezt a tulajdoságot gaa haszálju, ezét ülö is megfogalmazzu...5. Tulajdoság. Az ( ) a számtai haladvá mide tagja (a másoditól ezdődőe) a ét szomszédos tag számtai özépaáosa. N..6. Megjegzése. A..5. tulajdoság idoolja az ile típusú soozato megevezését.. A..5. tulajdoság fodítottja is eg igaz ijeletés. Azo a soozato, a amele teljesíti az a a euziót mide ettőél em isebb temészetes étée, számtai haladváo. a a Valóba, ha a,, ao a a a,, és íg a a a a,. Jelöljü -el az a a ülöbséget. Az előbbie alapjá a a a a a a... a a, tehát az ( a ) soozat számtai haladvá. N. Igazolju a övetező általáosabb tulajdoságot is: a a a,. I... A számtai haladvá általáos tagjáa éplete Póbálju megeesi az alábbi számtai haladváo általáos tagjáa épletét!. a a, és a ;. a a a,, a 5 és a 0. I. póbálozás Számítsu i a soozat első öt tagját! a a, a a, 5 a 5 a a a, és a, tehát,, a a és a 5. Ee alapjá sejthető, hog a ( ),. A matematiai idució segítségével sejtésü azoal igazolható.

11 Számtai haladváo 5 {,,,, 5 } eseté az eddigi számolásai szeit sejtésü igaz. Ha feltételezzü, hog a ( ) valamile étée, ao a euzió alapjá a ( ). Tehát a matematiai idució elve a a ( ), alapjá. II. póbálozás Íju fel az a a egelőséget, ha ede felveszi az,,,, - étéeet, majd adju össze a apott egelősége megfelelő oldalait. A bal oldalo az a és a ivételével mide tag étsze jelei meg. Egsze egatív előjellel és egsze pozitív előjellel, tehát a bal oldalo az összegzés eedmée a a. A jobb oldalo összese (-) daab -es va, tehát az összeg ( ). Midezt a övetező séma szemlélteti: a a a a a a a a 5 a a... a a a a a a ( ) Az utolsó egelőség alapjá ( ), a. A másodi soozattal póbálozz egedül! Töltsd i az üese hagott heleet az odaillő számoal! a... a... a 5... a 6... és a... Belátható, hog az előbbi godolatsoo bámelie az általáos esetbe is eedméhez vezet. Évées tehát a övetező tétel :... Tétel. Az a a, euzióval ételmezett számtai haladvá általáos tagjáa éplete: a a,. ( ) Bizoítás. Jelöljü P()-el az a a ( ) ijeletést. A P() igaz állítás met a a. Ha feltételezzü, hog P() igaz, ao íhatju, hog a a ( ) a, amel éppe azt fejezi i, hog P() a is igaz. A matematiai idució elve szeit P() igaz állítás mide N eseté, tehát a a, ( ). A teljesség edvéét bizoítju is a tételt.

12 6 Számtai haladváo... Feladat. Eg muahele háom fiatalembe pálázi. A cégvezető a övetezőt modja: A ezdő fizetés havi lej, amit félhavi észletebe fizetü. Ha muáju megfelel, fizetésüet mide hóapba emeljü. Két lehetőség özül választhata: havota lejjel, vag félhavota 5000 lejjel emeljü a fizetésüet. Meli lehetőséget választjá? Két pálázó az első lehetőséget választotta, míg a hamadi is godolodás utá a másodi mellett dötött. A cégvezető őt vette fel. Miét? Megoldás. Vizsgálju meg, hog meoa fizetést apáa a ét ülöböző módo dötő embee! A jobb átteithetőség edvéét eedméeiet a övetező táblázatba foglaltu: I. hóap II. hóap III. hóap I. lehetőség II. lehetőség Jelöljü a -val az első, illetve b -val a másodi lehetőség szeit a -adi hóapba apott fizetést. A övetező étéeet apju: a , a 05000, a 00000, a 05000, a ; b , b 05000, b 05000, b , b Látható, hog a másodi lehetőség má az első hóapba edvezőbb, mit az első, és a ét fizetés özítti ülöbség mide hóapba 5000 lejjel öveszi. Világos, hog ai az első ajálatot választottá, em godoltá végig a lehetőségeet, ezét alalmazta a cégvezető a hamadi pálázót. A továbbiaba azt fogju vizsgáli, hog tulajdoéppe mitől (és hoga) függ az, hog meli lehetőség a edvezőbb. Jelöljü -gel és -vel a havi, illetve a félhavi fizetésemelés agságát valamit a-val a ezdő fizetés agságát. A feladat jelöléseit megőizve a övetező táblázathoz jutu: I. hóap II. hóap III. hóap IV. hóap V. hóap I. lehetőség a a a a a II. lehetőség a a 5 a 9 a a 7 A táblázat alapjá látható, hog a havi fizetése midét esetbe számtai haladvát alota. Az első lehetőség eseté az álladó ülöbség, míg a másodi lehetőség eseté. Az általáos taga voatozó tétel ételmébe a a ( ) és b a ( ). Tehát, ha, ao a másodi lehetőség, ha <, ao az első lehetőség a edvezőbb.... Feladat. Ha a, a,..., a,..., a a a) bizoítsd be, hog a, ; b) számítsd i az a alaú összegeet, ha észlelsz? a {,,..., }! Mit

13 Számtai haladváo 7 Megoldás a) Az általáos tag épletét haszálju: a a ( ) és a a (. Tehát a a a ( ) a. ) b) Szité az általáos tag épletét haszálju: a a ( ) és a a ( ), tehát a a a ( ). Mivel az összege voatozó ifejezés em tatalmazza a változót, függetle -tól és mide eseté a a -el egelő. I... A számtai haladvá első tagjáa összege A övetezőbe iszámítju az első temészetes szám összegét.. módsze. Az S... ( ) ( ) ( ) összeg tagjait íju fodított soedbe, majd adju hozzá az eedeti összeghez. Az ( ) egelőség alapjá az összegbe megjeleő tagot daab csopotba lehet osztai úg, hog az eges csopotoo belül a számo összege lege. Íg íhatju, hog S ( ) ( ), tehát S. Jobba átteithetjü az előbbi számolásoat, ha a ét összeget egmás alá íju és oszlopoét adju össze. S (-) S N (-) (-) () () () () () S Mivel a jobb oldalo -sze szeepel az, íhatju, hog ( ) S.. módsze. Az ( ) azoosságba ede helettesítsü az,,, és étéeet, majd a apott egelősége megfelelő oldalait adju össze. ( ) (( ) ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( )... ( ) S

14 8 Számtai haladváo Az utolsó egelőségből ifejezzü az S -et: ( ) ( ) S.. módsze. Vizsgálju meg a melléelt ábáat! Az első soba eg oog, a másodiba ettő, a hamadiba pedig háom helezedi el. Íg a voal fölött látható oogo száma éppe. Ha ezt iegészítjü az összeggel, amele megfelelő oogo a voal alatt helezede el, 9 oogot apu. A oogo eg csúcsáa állított égzetet hatáoza meg. A apott összefüggés alapjá S S vag S. A másodi ába alapjá vag S. S S ( ) Ha oogot teitü, ao a ( ) összefüggéshez jutu. Ebből ifejezzü az S -et: S ( ) ( ) S. ( )... Megjegzés. Az alaú számoat háomszögszámoa evezzü. A megevezést az előbbi ábá idooljá.... Feladat. Számítsu i az első páatla temészetes szám összegét legalább háom ülöböző módo! Az előbb haszált háom módszet póbálju most is alalmazi.. módsze. Jelöljü S -el az első páatla temészetes szám összegét. Az összeg tagjait fodított soedbe íju, majd a megfelelő tagoat az alábbia szeit csopotosítju. S S S Tehát ( ) S.. módsze. Az ( ) azoosságba ede behelettesítjü az,,, és étéeet, majd a apott egelősége megfelelő oldalait összeadju.

15 Számtai haladváo 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 5)... 5 ( ) Az utolsó egelőségből ifejezzü az S -et, és apju, hog S ( ) S.. módsze. Vizsgálju meg az alábbi ábát! Mide voala azoa a oogoa a számát ítu, amele a voal fölött vag tőle bala vaa, de az az előtti voal alatt vag tőle jobba helezede el. Például az 5-ös a fehé oogoa voatozi. Látható, hog (a oogo eg -es égzetbe edezhető); 5 (a oogo eg -as égzetbe edezhető); 5 7 (a oogo eg -es égzetbe edezhető); ( 5 5-ös égzetbe edezhető); ( 6 6-os égzetbe edezhető). Ha figelembe vesszü, hog az ( ) ( ) -es égzetet az -es égzetből potosa oog hozzáadásával szeesztjü, állíthatju, hog.. módsze. S iszámítását vezessü vissza az első temészetes szám összegée voatozó összefüggése: ( ) ( ) S. S

16 0 Számtai haladváo A... feladat b) potjáa eedméei biztosítjá, hog az. módsze alalmazható bámel számtai haladvá első tagjáa az összege eseté. Az ( ) azoosság alapjá a. módsze segítségével is i tudju számítai eg tetszőleges számtai haladvá első tagjáa összegét. Sajos a. módsze em alalmas az általáos eset tágalásáa (hisz mide haladváa valami más epezetációt ellee italáli, és ee szemléltetését Z eseté más alapoa ell helezi). A. módszet ago so összeg iszámításáa lehet alalmazi, hisz alapgodolata az, hog a iszámítadó összeget egszeűbb összeg(e)e botju. Vizsgálju meg az általáos esetet! Számítsu i az számtai haladvá első tagjáa összegét! Jelöljü a a... S a összege voatozó tételt: ( a ) N -el ezt az összeget: a a. A potosság edvéét előbb ijeletjü az... Tétel. Az ( a ) N számtai haladvá első tagjáa az összege ( a a ). bizoítás S S,. a ( a ) ) a ) S ( ( ) a ( Másészt a ( a a ( ) ) állítása igaz. ( ). ( a ) a, tehát a tétel. bizoítás. Az összeg tagjait fodított soedbe íju, majd a megfelelő tagoat az alábbia szeit csopotosítju, és haszálju a... feladat b) potjáa eedméét: Tehát S a a a a S a a a a S ( a a ) ( a a ) ( a a ) a a S ( a a ). ( )

17 Métai haladváo I.. Métai haladváo I... A métai haladvá fogalma Mi lehet az alábbi soozato épzési szabála? Íd fel a soozat övetező ét tagját!., 6, 8, 5, 6, 86,., 6,,, 8, 96,. 7, 9,,,, 9,.,,,,, 5.,,,,,,, Mi a özös a megadott soozato épzési szabálába? Íj te is ét ola soozatot, amelet hasoló szabállal szeesztettél! b... b b... b... b... b... b... b b... b... b... b... ( ) b... Ételmezés. A számsoozatot métai haladváa (vag N métai soozata) evezzü, ha létezi ola q R szám, amele b b q,.... Jelölés. Azt, hog a ( b ) N soozat métai haladvá az b, b,..., b,... szimbólummal jelöljü.... Megjegzése. A euzióba szeeplő q számot a soozat álladó háadosáa (vag vóciesée) evezzü. A feti példába az első tag, illetve az álladó háados étée:. b és q ;. b és q ;. b 7 és q ;. b és q ; b,. A ( ) 5. b és q. véges soozatot ao evezzü métai haladváa (vag métai soozata), ha létezi ola q R szám, amele b b q,,. Ha a számo em soozat fomájába adotta, csa ao modju, hog métai haladvát alota, ha valamile soedbe teljesíti az előbbi ételmezés feltételeit. A omple számo bevezetése utá még visszatéü ee az ételmezése.

18 Métai haladváo... Feladat. Keessü összefüggést valamel métai haladvá háom egmás utái tagja özt! b Ha a ( ) soozat métai haladvá, ao létezi ola q valós szám, amele: b N b q és b b q. Szoozzu meg -gel az első összefüggést: b b b q b b q b. Tehát b b, b. Ha a soozat pozitív tagú, az előbbi összefüggés midét oldalából égzetgööt vohatu, íg a b b b, összefüggéshez jutu. Ez azt fejezi i, hog a soozat mide tagja (a másoditól ezdve) a ét szomszédos tag métai özépaáosa. Az előbbi ét tulajdosággal gaa találozhatu, ezét ülö is megfogalmazzu...5. Tulajdoság a) A ( b ) N métai haladvá tagjai teljesíti a b b b egelőséget, temészetes száma. b) Pozitív tagú métai haladvá mide tagja (a másoditól ezdve) a ét szomszédos tag métai özépaáosa...6. Megjegzése b. A..5. tulajdoság idoolja az ile típusú soozato megevezését.. A..5. tulajdoság fodított állításai is igaz állításo (lásd a... megoldott feladatot).. Aácsa a számtai haladváo eseté, itt is évées eg általáosabb összefüggés: b b b,, ahol ögzített temészetes szám. I... A métai haladvá általáos tagjáa éplete Póbálju megeesi az alábbi métai haladváo általáos tagjáa épletét!. b, és b ; b b,. b és b 5. I. póbálozás Számítsu i a soozat első öt tagját! b b, b b b b, és b 5 b. Ésszeűe tűi azt állítai, hog a soozat tagjai a hatváaia háomszoosai, vagis b,. ( b ) N A matematiai idució segítségével sejtésü azoal igazolható:,,,, 5 eseté az eddigi számolásai szeit sejtésü igaz. Ha feltételezzü, hog b valamile étée, ao a euzió alapjá. Tehát a matematiai idució elve alapjá,. b { } b b,

19 Métai haladváo II. póbálozás Íju fel a b b egelőséget, ha ede felveszi az,,,, étéeet, majd szoozzu össze a apott egelősége megfelelő oldalait. Mivel a soozata sem a vóciese, sem az első tagja em ulla, a soozat egetle tagja sem ulla. A b és b ivételével mide tag étsze jelei meg, egsze a bal oldalo és egsze a jobb oldalo, ezét ezeel egszeűsíthetü. Íg a összefüggéshez jutu. Midezt az alábbi séma szemlélteti: b b b b b b b5 b... b b b b b b b b b b Az utolsó egelőség alapjá b,. III. póbálozás Íju az előbbi egelőségeet fodított soedbe, majd szoozzu a másodiat -vel, a hamadiat -el és általába a -adiat -el, majd adju össze az íg apott egelőségeet. b b b b b b... b b b b b b b b Tehát b, eseté. A másodi soozattal póbálozz egedül! Töltsd i az üese hagott heleet az odaillő számoal! b... b... b... b 5... és b... Belátható, hog az előbbi godolatsoo bámelie az általáos esetbe is eedméhez vezet. Évées tehát a övetező tétel:

20 Métai haladváo... Tétel. A b b q, euzióval ételmezett métai haladvá általáos tagjáa éplete: b b q,. Bizoítás. Jelöljü P()-el a b b q ijeletést. P() igaz állítás, met b b q q. Ha feltételezzü, hog P() igaz, ao íhatju, hog, ami éppe azt fejezi i, hog P() is igaz. A matematiai idució elve szeit P() igaz állítás mide N eseté, tehát b b q a q,. b b q b... Feladat. Eg muahele háom fiatalembe pálázi. A cégvezető a övetezőt modja: A ezdő fizetés havi lej, amit félhavi észletebe fizetü. Ha muáju megfelel, fizetésüet mide hóapba emeljü. Két lehetőség özül választhata: havota %-al, vag félhavota 0%-al emeljü a fizetésüet. Meli lehetőséget választjá? Meli lehetőséget választaá ao, ha havota 5%-al vag félhavota 0%-al emelé a fizetésüet? Megoldás. Póbálju általáosa vizsgáli a édést, úg hog e végezzü el étsze ugaazoat a műveleteet a ét eset tágalásao. Jelöljü a-val és b-vel a havoéti, illetve félhavoéti emelése százaléaáát az emeledő fizetésehez épest és -szel a ezdeti fizetést. Vizsgálju meg, hog meoa fizetéseet apáa a ét ülöböző módo dötő embee. A jobb átteithetőség edvéét eedméeiet a övetező táblázatba foglaltu: I. hóap II. hóap III. hóap I. lehetőség ( a) ( a) II. b ( b) ( b b lehetőség ) ( ) ( b Látható, hog az első esetbe a havi fizetése összegei ( a) haladvát alota, míg a másodi esetbe a félhavi fizetése ( b) ) vóciesű métai vóciesű métai haladvát alota. Íg az -edi hóapba az első lehetőség szeit a ( a) lee a fizetés, míg a másodi lehetőség szeit b ( b) ( b) ( b) ( b). Most átéhetü a oét esete vizsgálatáa. a) a 0, és b 0, eseté a,, és b,,, met,,. Összehasolítju a ét lehetőséget, és láthatju, hog a másodi lehetőség az előösebb.

21 Métai haladváo 5 b) a 0,5 és b 0, eseté a,5, és b,,, met, a a 0,0,. Számítsu i az aát! b b,, 0,0( ) (az ( ) Beoulli-egelőtleséget haszáltu,, 0,0 és eseté). Az előbbi becslés alapjá látható, hog ha elég ag, ( 60 ), ao az első lehetőség szeit számolt fizetés agobb lesz, mit a másodi lehetőség szeit számolt összeg.... Megjegzés. Itt a havi fizetéseet vizsgáltu. Az I... paagafus utá ajálju az -edi hóapig számolt összjövedelme összehasolítását. Potosabb becslése alalmazásával biztatóbb eedméehez juthatu. Az összjövedelem ugais má másfél év utá agobb lesz az első lehetőség eseté. I... A métai haladvá első tagjáa összege... Feladat. Vizsgáld meg, hoga változa a övetező felbotásoba a másodi záójelbeli ifejezése itevői! Az észlelt szabálszeűsége alapjá póbáld iegészítei a hiáos felbotásoat! ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 5 ( )( ) ( )(...) ( )(... ) Az előbbi felbotásoat bizoítsd is!... Tétel. Ha temészetes szám, ao bámel és valós száma.. bizoítás ( ) 0 ( ) (... ) (... ). bizoítás A matematiai idució módszeét haszálju. Ha tehát feltételezhetjü, hog,, ao az egelőség igaz,. {,,,, 5 } eseté diet számolással

22 6 Métai haladváo elleőiztü (lásd a... feladatot). Ha a tétel állítása igaz eg tetszőlegese választott temészetes száma, ao íhatju, hog.... Az egelőség midét oldalátmegszoozzu -al és hozzáadu -t, íg apju, hog ( )..., vagis.... Ha az utolsó egelőséget ( -al beszoozzu, ao ) ( ) 0 adódi, tehát az állításu ()-e is igaz. A matematiai idució elve szeit a tétel állítása mide temészetes száma igaz.... Feladat. Az előbbi tétel segítségével számítsu i a övetező összegeet: a) S ;... ) ( b)... ) ( S ; c) ( ) ( ) ( )... ) ( S. Megoldás a) Az azoosságba ( ) 0 -et és -t helettesítü.. ) ( S b) Az azoosságba ( ) 0 -et és -et helettesítü. ) ( S. c) Az azoosságba ( ) 0 -et és -t helettesítü. ( ) ) ( S. Az előbbi összegeet más módszeel is iszámíthatju. Az helett iszámítju az ) ( S ) ( ) ( S S ülöbséget. Az összeg tagjai özül a legtöbb étsze jelei meg: egsze pozitív előjellel és egsze egatív előjellel. Ezt a övetező ábá szemléltetjü:

23 Métai haladváo 7 S ( ) ( ) S ( ) - - ( ) ( ) - ( ) - ( ) ( ) S ( ) ( ) ( ) Tehát S ( ).... Tétel. A b b q általáos tagú métai haladvá első tagjáa összege a övetezőéppe fejezhető i: q b,, ha q ; S q b, ha q. Bizoítás. Ha q, ao -e és q -a a... tétel alapjá q q Ha.... q q, tehát q ( q q... q ) q b b b... b b b. q q, ao a soozat ostas és mide eleme b -gel egelő, tehát az összeg b I.. Megoldott feladato. Bizoítsd be, hog ha a ( ) N b számsoozat tagjai teljesíti a b b b egelőséget mide eseté, ao a soozat métai haladvá. b Bizoítás. Ha a soozat egetle tagja sem ulla, ao a q jelölést b b b b b5 b b haszálva íhatju, hog q... (itt a -adi b b b b b b egelőséget eseté az adott összefüggés biztosítja -a). Az előbbi aáso első és utolsó tagjáa egelőségéből övetezi, hog b b,. Az ételmezés alapjá a b soozat métai haladvá. ( ) q N

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma?

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) nem vagyunk tekintettel a kiválasztott elemek sorrendjére. Mennyi a lehetőségek száma? Dr Tóth László, Kombiatoria (PTE TTK, 7 5 Kombiáció 5 Feladat Az,, 3, 4 számo özül válasszu i ettőt (ét ülöbözőt és írju fel ezeet úgy, hogy em vagyu teitettel a iválasztott eleme sorredjére Meyi a lehetősége

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

1. Komplex szám rendje

1. Komplex szám rendje 1. Komplex szám redje A hatváyo periódiusa ismétlőde. Tétel Legye 0 z C. Ha z egységgyö, aor hatváyai periódiusa ismétlőde. Ha z em egységgyö, aor bármely ét, egész itevőjű hatváya ülöböző. Tegyü föl,

Részletesebben

1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra

1. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Trigonometria, vektoralgebra SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM LKLMZOTT MECHNIK TNSZÉK. MECHNIK-STTIK GYKORLT (kidolgozta: Tiesz Péte eg. ts.; Tanai Gábo ménök taná) Tigonometia vektoalgeba Tigonometiai összefoglaló c a b b a sin = cos = c

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged

Számelméleti érdekességek dr. Kosztolányi József, Szeged Magas szitű matematiai tehetséggodozás Számelméleti érdeessége dr. Kosztoláyi József, Szeged A számelmélet bőveledi olya érdésebe, problémába, összefüggésebe, amelye elemi módszereel megözelíthető. Bizoyos

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007)

Dr. Tóth László, Kombinatorika (PTE TTK, 2007) A Fibonacci-sorozat általános tagjára vontozó éplet máséppen is levezethető A 149 Feladatbeli eljárás alalmas az x n+1 ax n + bx, n 1 másodrendű állandó együtthatós lineáris reurzióal adott sorozato n-edi

Részletesebben

Készletek - Rendelési tételnagyság számítása -1

Készletek - Rendelési tételnagyság számítása -1 Készlete - Rendelési tételnagyság számítása -1 A endelési tételnagyság meghatáozása talán a legészletesebben tágyalt édésö a észletgazdálodási szaiodalomban. Enne nagyészt az az oa, hogy mind az egyszee

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

A természetes számok halmaza (N)

A természetes számok halmaza (N) A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá

Részletesebben

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) O k t a t á s i H i v a t a l A 5/6 taévi Országos Középiskolai Taulmáyi Versey első forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató A 5 olya égyjegyű szám, amelyek számjegyei

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában

V. Oszthatóság a természetes számok halmazában V Oszthatóság a természetes számo halmazába V Általáos fogalma az oszthatósággal apcsolatba A maradéos osztás tétele Legye a és b ét természetes szám, b, és a>b Aor egyértelműe léteze q és r természetes

Részletesebben

Változók közötti kapcsolatok vizsgálata

Változók közötti kapcsolatok vizsgálata ) Eseméek függetlesége: p(ab) p(a) p(b) ) Koelácó: vö. az tutív tatalommal Változók között kapcsolatok vzsgálata Akko poztív, ha és átlagosa ugaaa az áa té el a saját váható étékétől, egatív ha elletétes

Részletesebben

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.

Részletesebben

A gyors Fourier-transzformáció (FFT)

A gyors Fourier-transzformáció (FFT) A gyors Fourier-transzformáció (FFT) Egy analóg jel spetrumát az esete döntő többségében számítástechniai eszözöel határozzu meg. A jelet mintavételezzü és elvégezzü a mintasorozat diszrét Fouriertranszformációját.

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények

90 Folytonos függvények. IV. Folytonos függvények 9 Folytoos függvéye IV Folytoos függvéye Az előző fejezetbe adott f : D függvéy viseledését a D halmaz torlódási potjáa öryezetébe vizsgáltu Az pot em feltétleül tartozott a D halmazhoz ( D ) Ebbe a fejezetbe

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy)

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12

XL. Felvidéki Magyar Matematikaverseny Oláh György Emlékverseny Galánta 2016 Megoldások 1. évfolyam. + x = x x 12 XL. Felvidéi Magyar Matematiaverseny Oláh György Emléverseny Galánta 016 Megoldáso 1. évfolyam 1. Oldju meg az egész számo halmazán az egyenletet. x 005 11 + x 004 1 = x 11 005 + x 1 004 Az egyenlet mindét

Részletesebben

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok

2. fejezet. Számsorozatok, számsorok . fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk

Részletesebben

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör Koeláció- és egesszió-aalízis Az is előfodulhat, hogy két változó között ics semmilye kapcsolat: Az X és Y véletle változók között az alábbi ábáko Az állat becsült ko pozitív összefüggés em lieáis összefüggés

Részletesebben

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI

II. FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI 44 Számlálási feladato, a ombiatoria elemei II FEJEZET SZÁMLÁLÁSI FELADATOK, A KOMBINATORIKA ELEMEI II Gyaorlato és feladato (4 oldal) Háy darab legfeljebb hatjegyű természetes szám létezi? megoldás Mide,

Részletesebben

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására

A fogótétel alkalmazása sorozatok határértékének kiszámolására A fogótétel alalmazása sorozato határértéée iszámolására Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Mide izoyal ics más olya matematiai tétel amelye olya so megevezése lee, mit az úgyevezett fogótétele, amelye gyaori

Részletesebben

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg.

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHNIK - STTIK LKLMZTT MECHNIK TNSZÉK Elmélet kérdések és válaszok egetem alapképzésbe (Sc képzésbe) résztvevő mérökhallgatók számára () Mle esetbe beszélük tartós ugalomról?

Részletesebben

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Megoldott feladatok Ijektivitás és egyéb tulajdoságok 59 ) INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK Határozd meg azt az f:r R függvéyt, amelyre f ( f ( ) x R és a g:r R g ( = x f ( függvéy

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn Feladatok közepek közötti egyelőtleségekre (megoldások, megoldási ötletek) A továbbiakba szmk=számtai-mértai közép közötti egyelőtleség, szhk=számtaiharmoikus közép közötti egyelőtleség, míg szk= számtai-égyzetes

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl.

SZÁMHALMAZOK Halmazábrán ábrázolom a valós számok halmazát és részhalmazait (néhány példával). (C) pl. 1/4; 1/2. pl. 1;2;0;-1; N pl. 0. pl. 2. tétel Számhalmazo (a valós számo halmaza és részhalmazai), oszthatósággal apcsolatos problémá, számredszere. SZÁMHALMAZOK Halmazábrá ábrázolom a valós számo halmazát és részhalmazait (éháy példával).

Részletesebben

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben

Járatszerkesztési feladatok

Járatszerkesztési feladatok Járatszeresztési feladato 1 Járatszeresztési feladato DR. BENKŐJÁNOS Agrártudomáyi Egyetem GödöllőMezőgazdasági Géptai Itézet A járat alatt a logisztiába általába a járműve meghatározott több állomást

Részletesebben

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk. NUMERIKUS SOROK II. Ebbe a részbe kizárólag a kovergecia vizsgálatával foglalkozuk. SZÜKSÉGES FELTÉTEL Ha pozitív (vagy em egatív) tagú umerikus sor, akkor a kovergecia szükséges feltétele, hogy lim a

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Bevezetés. 1 A pénz időértékének elve. Befektetés pénzáram grafikonja. 1.1. ábra - Befektetés pénzáram grafikonja

Bevezetés. 1 A pénz időértékének elve. Befektetés pénzáram grafikonja. 1.1. ábra - Befektetés pénzáram grafikonja Bevezetés A Pézügyta feladatgyűjteméy a Pézügyta tatágy gyakolataihoz készült példatá első észe. Az oktatási segédlet a pézügyi számítások világába vezeti be az olvasót. Bá az oktatási segédletbe sok képlet

Részletesebben

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK. III.1. A függvény fogalma és néhány tulajdonsága

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK. III.1. A függvény fogalma és néhány tulajdonsága Függvée és tuljdosági 67 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK III A üggvé oglm és éhá tuljdoság III A üggvé értelmezése A üggvé oglmávl z előző évee már tláloztu Eddigi ismereteitere támszodv válsszáto i z7 lái megeleltetése

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK

I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK Sorozto, számti és mérti hldváyo 5 I FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK 7 Gyorlto és feldto ( oldl) Vjo milye törvéyszerűség lpjá épeztü z lábbi soroztot? Az áltld tlált szbályszerűség

Részletesebben

Gonda János SZÁMÍTÓGÉPI MATEMATIKA

Gonda János SZÁMÍTÓGÉPI MATEMATIKA Goda Jáos SZÁMÍTÓGÉPI MATEMATIKA Budapest, 7 Letoálta: 3 TARTALOMJEGYZÉK ELİSZÓ 5 ANALÓG ÉS DIGITÁLIS SZÁMÍTÓGÉP, ALGORITMUS, NEUMANN-ELV 7 JELÁTALAKÍTÁS 9 SZÁMÁBRÁZOLÁS 9 DIGITÁLIS ARITMETIKA 49 LOGIKAI

Részletesebben

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük: 1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a raioális és a valós számok ismeretét feltételezzük: N = f1 ::: :::g Z = f::: 3 0 1 3 :::g p Q = j p q Z és q 6= 0 : q A valós szám értelmezése végtele tizedestörtkét

Részletesebben

Nevezetes sorozat-határértékek

Nevezetes sorozat-határértékek Nevezetes sorozat-határértékek. Mide pozitív racioális r szám eseté! / r 0 és! r +. Bizoyítás. Jelöljük p-vel, illetve q-val egy-egy olya pozitív egészt, melyekre p/q r, továbbá legye ε tetszőleges pozitív

Részletesebben

Kényszerrezgések, rezonancia

Kényszerrezgések, rezonancia TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 13 Kényszeezgése, ezonancia Gyaolatilag is igen fontos eset az, aio egy ezgése épes endsze ezgései valailyen ülső, peiodius hatás (énysze űödése özben zajlana le Az

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Országos Középiskolai Tanulmáni Versen / Matematika I kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások Eg papírlapra felírtuk a pozitív egész számokat n -től n -ig Azt vettük észre hog a felírt páros számok

Részletesebben

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció Regresszó és korrelácó regresso: vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás correlato: vszo, összefüggés, kölcsöösség KAD 01.11.1 1 (vsszatérés, hátrálás; vsszafordulás) Regresszó és korrelácó Gakorlat megközelítés

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében DIMENZIÓK 35 Matematikai Közlemének III. kötet, 5 doi:.3/dim.5.5 Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében Horváth-Szováti Erika NME EMK

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

2011. november 2. Dr. Vincze Szilvia

2011. november 2. Dr. Vincze Szilvia 20. novembe 2. D. Vincze Szilvia Tatalomjegyzék.) Számtani és métani soozatok Métani soozatok alkalmazásai: 2.) Kamatos kamat számítás a.) Egyszeű kamatszámítás b.) Kamatos kamat számítás c.) Kamatszámítás

Részletesebben

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3. Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

A feladatok megoldása

A feladatok megoldása A feladato megoldása A hivatozáso C jelölései a i egyenleteire utalna.. feladat A beérezési léps felszíne fölött M magasságban indul a mozgás, esési ideje t = M/g. Ezalatt a labda vízszintesen ut utat,

Részletesebben

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Surányi János VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL FAREY-TÖRTEK. Egy a alós számot racionális számoal, azaz törteel aarun megözelíteni. A törteet az alábbiaban mindig

Részletesebben

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz Szemléletes lieáis lgeb - összefoglló I. méöhllgtó Segédyg z NGB_SZ_, N_SZ5 és N_SZ tágyhoz összeállított: D. Szöéyi Milós főis. doces 8. Ttlom:. Lieáis té. Tájéozódás lieáis tébe Lieáis ombiáció Lieáis

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai

A szórások vizsgálata. Az F-próba. A döntés. Az F-próba szabadsági fokai 05..04. szórások vizsgálata z F-próba Hogya foguk hozzá? Nullhipotézis: a két szórás azoos, az eltérés véletle (mitavétel). ullhipotézishez tartozik egy ú. F-eloszlás. Szabadsági fokok: számláló: - evező:

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

Valószínûség számítás

Valószínûség számítás Valószíûség számítás Adrea Glashütter Feller Diáa Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba I. Bevezetés a pézügyi számításoba A péz időértéével apcsolatos számításo A péz időértéée számítása:

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok

Numerikus sorok, Taylor-sorok, Fourier-sorok Kidolgozott feladatok Numerius soro, Taylor-soro, Fourier-soro Kidolgozott feladato.példa: Vizsgálju meg a átalaításoal apju, hogy 5 umerius sor overgeciáját. Azoos 5 5 4 4 5 5 5 5 ; 4 4 A sor tehát szétbotható ét mértai sor

Részletesebben

Geometriai Optika. ultraibolya. látható fény. 300 THz 400 THz 750 THz. 800 nm 400 nm 100 nm

Geometriai Optika. ultraibolya. látható fény. 300 THz 400 THz 750 THz. 800 nm 400 nm 100 nm Geomeiai Opia Láhaó éy: az eleomágeses hullámaomáy egy esey észe adio hullám mico hullám (cm) láhaó éy iavöös ulaibolya Röge sugázás (0-0 m) (Hz) 300 Hz 400 Hz 750 Hz λ 800 m 400 m 00 m A láhaó éy speuma:

Részletesebben

Legfontosabb bizonyítandó tételek

Legfontosabb bizonyítandó tételek Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

6. Bizonyítási módszerek

6. Bizonyítási módszerek 6. Bizonyítási módszere I. Feladato. Egy 00 00 -as táblázat minden mezőjébe beírju az,, 3 számo valamelyiét és iszámítju soronént is, oszloponént is, és a ét átlóban is az ott lévő 00-00 szám öszszegét.

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben