I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK. I.1. Sorozatok"

Átírás

1 Soozato 5 I. FEJEZET SOROZATOK, SZÁMTANI ÉS MÉRTANI HALADVÁNYOK I.. Soozato A legtöbb embe szóicsébe szeepel a soozat szó. Ez azt jeleti, hog edelezi valamile soozatfogalommal. Megéti, ha a miet sújtó atasztófasoozatól mesélü, vag az Euópa Kiadó soozatába megjelet legújabb övet dicséjü. Mi több, ha tault má a π számól, ao is fog étei beüet, ha a π számjegeie soozatáól beszélü. So itelligeciateszt ee az ituitív soozatfogaloma épít. Gaoia a Foltasd a övetező soozatot! típusú felszólításo. Vegü a övetező soozatoat:. jauá, febuá, mácius, ápilis,. Pete Roma, Teodo Stoloja, Nicolae Văcăoiu,.,,,, 5, 6, 7, 8,.,, 9, 6, 5, 6, 9, 5.,, 5, 7, 9,, 6.,,, 5, 0,,,, 6, 7.,, 5, 6, 677, A legtöbbe azoal látjá, hog a övetező elem az. soozatba a május (az év hóapjait soolju fel); a. soozatba Victo Ciobea (a 90 utái omá miiszteelöö eveit soolju fel); a. soozatba a 9 (a temészetes számoat soolju övevő soedbe); a. soozatba a 6 (a temészetes számo égzeteit soolju övevő soedbe); az 5. soozatba a (a páatla temészetes számoat soolju fel); a 6. soozatba a 7 (ha az első taghoz eget hozzáadu, megapju a másodi tagot, ha ezt ettővel szoozzu, megapju a hamadi tagot, majd felváltva ismételjü ezt a ét műveletet); a 7. soozatba a (a másodi tagtól ezdődőe midegi potosa eggel agobb, mit az előtte álló égzete). Temészetese a felszólításba ejtőzi az az előfeltételezés, hog a soozat tagjait valamile jól meghatáozott szabál szeit ítu fel, és ee a szabála á is lehet jöi. So esetbe ez a szabál em egételmű. Vizsgálju meg a övetező példát: 8. 0,,, 7, 5, A számo özti ülöbség ede,, és 8, íg ésszeű azt állítai, hog a övetező tag 56. Másészt a számo számjegösszege szité,, és 8 (az utolsóa 7). Íg az is lehetséges, hog az egmás utái tago ülöbsége a isebb tag számjegeie összegével egelő. Ee alapjá a övetező elem 57. Ahhoz, hog a soozatoat matematiai vizsgálódása vethessü alá, mideeelőtt a soozat fogalmáa potos matematiai ételmezésée va szüségü. Észe ell veü, hog a felsoolt példába étféle soozattal találoztu. Az egi típus véges számú tagot tatalmaz (pl. az év hóapjaia

2 6 Soozato soozata) a mási végtele soat (pl. a temészetes számo soozata). Eszeit véges és végtele soozatoól fogu beszéli. I... Véges soozato... Ételmezés. Ha N * eg szám és E eg halmaz, ao az f :{,,,, } E függvét az E halmaz elemeiből alotott (vag egszeűe E-beli) véges soozata evezzü.... Példá. Az f:{,,,, 5, 6, 7} {a, o,, s, t, z} függvét a övetező táblázattal ételmezzü: f() s o o z a t Máséppe: f(i) a soozat szó i-edi betűje.. Az f : {,,,..., 90} N, f ( ) 9 függvé a étjegű temészetes számo soozatát adja.... Megjegzése. Ha az... ételmezésbe szeeplő E számhalmaz, ao számsoozatól beszélü: ER eseté valós számsoozatól, EQ eseté acioális számsoozatól, EZ eseté egész számsoozatól és EN eseté temészetes számsoozatól.. A soozat tagjai: f(), f(), f(),, f(), egszeűbbe jelölve:,,,,,,, a soozat -adi tagja tehát f(), {,,,, }. Az... paagafus. példájába a soozat tagjai: s, o,, o, 5 z, 6 a és 7 t.. Mivel véges halmazo ételmezett függvét megszeeszthetü az eges eleme épeie egeéti megadásával is (lásd../-es példát) a soozat elemei lehete egmástól függetlee is. Ebből is látszi, hog a bevezetőbe említett Foltasd a soozatot! felszólítás meie potatla. Tulajdoéppe azt a épzési szabált ell megtalálu, amele segítségével a soozat má meglevő elemeit geeáltu, majd e szabál segítségével megszeeszthetjü a övetező elemet. Köe épezhetü ola soozatot, amele elemei özött ics ile összefüggés. Godolju csa a lottóhúzás eedméeie, vag eg Las Vegas-i aszió etes ulett-számaia. I... Végtele soozato... Ételmezés. Ha E eg halmaz, ao az f:n E függvét az E halmaz elemeiből alotott (vag egszeűe E-beli) soozata evezzü.... Megjegzése. A végtele soozato tagjait is általába íg jelöljü:,,,,,, a soozat -adi tagja tehát f(), N *. A soozatoat övide íg jelöljü: ( ) vag, és íg olvassu: az általáos tagú soozat. N ( )

3 Soozato 7. Az f függvé tulajdoságai szeit beszélhetü övevő soozatól (ha f övevő, vagis ha, eseté), csöeő soozatól (ha f csöeő, vagis ha, eseté) vag peiodius soozatól (ha f peiodius, azaz ha létezi ola m temészetes szám, amele m, eseté).. Hasolóa a véges soozatohoz a végtele soozato eseté is beszélhetü temészetes, valós, egész, acioális stb. soozatól, az E halmaz elemeie temészete szeit.... Példá. Az f : N N, f( ) függvé az I.. paagafus hamadi soozatát számaztatja (szimbólumoal). A soozat általáos tagját a továbbiaba íg jelöljü:, N. ). Az f : N N, f ( függvé az I.. paagafus egedi soozatát ételmezi, tehát, N. :. Az f N N, f ( ) függvé az I.. paagafus ötödi soozatát íja le, tehát, N.. Az I.. paagafus hatodi példájába szeeplő soozat épzési szabála szeit:,,,, általába, illetve 5, N 00. Az előbbi összefüggése alapjá a soozat bámel tagja iszámolható, de az iszámításához i ellee számolu a soozat első 000 elemét. Ezt eleülhetjü, ha előbb megtalálju azt az f függvét, amel a soozat elemeit számaztatja (az ételmezés szeit). 5. Az I.. paagafus hetedi példájába a soozat eges tagjait (a másoditól ezdődőe) úg aptu, hog az előtte álló tag égzetéhez hozzáadtu -et. Ezt matematiailag az, egelőség fejezi i. Ez az egelőség ömagába még em hatáozza meg a soozat mide tagját. Ha viszot ismejü az első tagot is (az -et), ao a soozat mide tagja iszámítható.... Megjegzés. Ha az ( ) N soozat tagjait függvéébe adju meg, ao azt modju, hog ismejü a soozat általáos tagjáa épletét (vag egszeűe az általáos tagot). Ha a soozat tagjait az őet megelőző eg vag több tag függvéébe adju meg, ao a soozatot euzíva evezzü, és a tagoat geeáló összefüggést euzióa (vag euecia-elációa) evezzü. Valamel, euzióval adott soozat tagjait csa a euzió alapjá általába em tudju meghatáozi, szüségü va a tago további tulajdoságaia, vag (esetleg) a soozat éhá tagjáa potos ismeetée. Az előbbi öt példába az első háom soozat esetébe ismejü az általáos tagot, míg az utolsó ettő eseté eg-eg euziót ismeü. A függvé megadása em jelet föltétleül épletet. A pímszámo soozata is eg helese ételmezett soozat aa elleée, hog sem az -edi pímet megadó általáos épletet, sem pedig a píme özötti euecia-elációt em ismeü.

4 8 Soozato..5. Példá. Az, általáos tagú soozat első hat eleme, 0, 5 7, 6 8., 0,. Jelöljü -el az szám másodi tizedes jegét. Ha az első tizeét tagot iszámítju a övetező étée adóda: 0, 0,, 5, 5 0, 6 6, 7, 8, 9, 0 0, 9, 8. A soozat általáos tagja a övetező éplettel adható meg: 0 00 N 0, (az összefüggés em szüséges a soozat ételmezéséhez, de megöítheti a dolguat, ha az -edi tagot eg számítógépes pogam segítségével szeeté iszámítai, vag ha további számításoat ell végezü vele).. Az, N, összefüggéseel ételmezett euzív soozat első öt elemét iszámíthatju, ha a euzióba behelettesítjü ede az,, és számoat. Íg a övetező étéehez jutu:, 7, 0, 5. Észevehetjü, hog eze éppe a alaú számo. A soozat tagjait a övetező alaba íhatju: 0,,, és. Az általáos taga voatozóa ialaulhat a övetező sejtés: Ezt a matematiai idució segítségével igazolju. 5 ( ), N. {,,,, 5 } eseté az összefüggés igaz. Feltételezzü, hog sejtésü igaz -a, és iszámítju az -et. ( ) (( ) ), tehát sejtésü igaz ()-e is. Íg a matematiai idució elve alapjá, sejtésü bámel temészetes szám eseté igaz, tehát a soozat általáos tagja: ( ), N...6. Megoldott feladato ( ). Az N soozatot az,, 8 euziós elációval ételmeztü. Hatáozzu meg a soozat általáos tagjáa épletét! Megoldás. Kiszámítju a soozat első éhá tagját:, 8, (8 ), ( 8) 6, 5 (6 ) 60, 6 (60 6) 8, 7 (8 60) 896. Téezőe botju, és táblázatba foglalju a apott étéeet:

5 Soozato 9 A, 5 és 7 eseté a apott étée bizoos szabálszeűséget sugalla. Az alaa gaaszu. Megpóbálju,, és 6 eseté is hasoló fomába felíi a soozat tagjait., 8, 6 6 6, tehát megfogalmazhatju a sejtésüet, amel szeit,. Ezt a matematiai idució segítségével igazolju. Mivel emcsa -től függ, iduciós állításu a övetező: P( ) :,. Ez az állítás {,,,, 5, 6, 7} és 6 8 eseté igaz. Ha feltételezzü, hog sejtésü -e igaz, ao bizoítau ell, hog ( ( ) ( ). Másészt ( ) ) ( ) ( ), tehát a matematiai idució elve alapjá,.. Adott az, általáos tagú soozat. Hatáozzu meg eg euziót a soozat tagjaia! Megoldás. Felíju az adott összefüggést -e és ( )-e, majd iüszöböljü a hatváait: ( ), () Az íg apott összefüggésből iüszöbölhetjü az ( )-et is : 5 ( ) ( ) A () összefüggésből iüszöböljü a -et: 5 5 ( ) 5 A () összefüggés alapjá évées a övetező euzió: 5 N ( ),.. Az N soozatot az 5, N,, 0 és összefüggéseel ételmezzü. Bizoítsd be, hog, N, ahol, a. feladatba szeeplő soozat. Megoldás. Kiszámítju az, és étéeit:, 0 és. Tehát a ét soozata özös az első háom tagja, és a tago ugaazt a euziót teljesíti (lásd a () összefüggést). Mivel ez a () () A apott összefüggés is eg euzió. A további számolásoat azét végezzü el, hog bemutassu, hoga lehet iüszöböli eg -be poliomiális tagot a euzióból.

6 0 Soozato ég összefüggés egételműe meghatáozza a soozatot, felíhatju, hog,.. Eg üdülőtáboba tíz háziót építette. A házióat ée vag zölde festi, de ét egmás utái számmal edelező ház em lehet é. Háféleéppe lehet lefestei a házaat? 5 Megoldás. Póbálju egszeűbb eseteet megvizsgáli. Ha csa eg ház lee a táboba, ao étféleéppe lehete lefestei (ée vag zölde). Ha ét ház vola a táboba, azt háomféleéppe lehete lefestei (a ég lehetséges szíezés özül em felel meg az, amio midét ház ée va festve). A továbbiaba házió eseté jelöljü a -el a megegedett festése a 6 festhetjü le. Tehát a a a,. Ha ezt az összefüggést haszálju ede a övetező étéeet apju: a a a 5, a a a 5 8, a a a, 6 a5 a a9 a számát. Láttu, hog a és a. Póbálju meg ifejezi a -et az őt megelőző tago függvéébe. Ha az első háziót zölde festjü, ao a maadé háziót ülöböző módo festhetjü le. Ha az első háziót ée festjü, ao a másodiat ötelező módo zölde ell festei, a többi háziót módo festhetjü le. Íg az háziót összese a 8, a7 a6 a5, a8 a7 a6 55, a és a 0 a9 a Tehát a tíz házat a feladat feltételeie megfelelőe ülöböző módo lehet lefestei. 55a 8b 7 6a 55b a 7b azoosság alapjá, ha az (a, b) számpá megoldása az egelete, ao az (55a8b, 6a55b) számpá is megoldása. Szeesszü meg a övetező, euzióval ételmezett soozatoat:, 55 8 és () a ülöböző a a ülöböző módo 5 5. a) Bizoítsu be a ( ) ( ) 55a 8b 7 6a 55b a 7b azoosságot! b) Bizoítsu be, hog a 7 0 egelete végtele so megoldása va a temészetes számo halmazába! Megoldás. A ( ) ( )

7 Soozato Az előbbi észevételü alapjá az (, ) számpá megoldása az egelete bámel eseté. A () összefüggés biztosítja, hog > 0 és tehát az ( ) és ( ) soozato pozitív tagú és szigoúa övevő soozato. Sieült tehát megszeeszteü a vizsgált egelet végtele so, ülöböző megoldását...7. Gaolato és feladato > 0, N,. Vajo mile tövészeűség alapjá épeztü az alábbi soozatoat? Az általad talált szabálszeűség alapjá íd fel a övetező ét elemet! a) szé, szilícium, gemáium, ó, b),, 6, 56, c),,,, 5, 8, d),, 6, 8,,, 6, e) 9, 7, 5, 90, 5, 89, f),, 6, 5, 5,,, g) 90, 9, 6, 66,,, 8, 0, h),, 6, 0, 5,, 8, i) 6, 80,, 6, 8, j),, 7, 50, 5, 9, ),,, 7, 8,,,, 6, 9,. Számítsd i a övetező soozato első hat elemét, ha az általáos tag éplete: a), ; b), ; c) ma{ 6, 5 }, ; cos( π ) d), ; e),.. Keesd meg a páját! Az első oszlopbeli épleteel ételmezett soozato midegiée va eg pája a másodi oszlopba (a ét soozat megfelelő tagjai egelő). Bizoítsd is be, hog a megfelelő soozato tagjai egelő! si π a), ; ) a,, a a ; 5b b, b) z, ; ) b, b és b 5 ; u c), ; ) c, ahol v u u u, u, u, v v v v és v.,

8 Soozato. Számítsd i a övetező euzióal adott soozato első hat tagját: a),, ; b),,, ; c),, ; d),,, ; 0,,,, e) Az előbbi soozato eseté, a iszámított tago alapjá, póbáld meghatáozi az általáos tagot! Sejtésedet bizoítsd is! Vizsgáld meg a soozato mootoitását! Va-e özöttü peiodius soozat? 6. Bizoítsd be, hog az I.. paagafus hatodi példájába szeeplő soozat általáos tagját a övetező egelősége számaztatjá:, ha., ha 7. Az A N halmazól tudju, hog a) A ; b) A A ; c) A A. Igaz-e, hog 8 A? 8. Hatáozd meg azoat az ( ) számsoozatoat, amele teljesíti az N (... ) 9. Bizoítsd be, hog ha az ( a ) N a a a... egelőséget N eseté! pozitív tagú számsoozat teljesíti az egelőtleséget N eseté, ao, N! a 0. Bizoítsd be, hog ha az euziót teljesítő soozat első tagja és özött va, ao <, N,!. Bizoítsd be, hog létezi ola ( ) számsoozat, amele {, }, és az.... Bizoítsd be, hog egetle ola ( ) teljesíti a övetező feltételeet: a) 5 ; N ( ) N szám osztható -el, N! számsoozat létezi, amel b) bámel... -be végződő szám égzete is... -be végződi, N.. Bizoítsd be, hog az soozato peiodiusa! N, euziót teljesítő ( )

9 Számtai haladváo I.. Számtai haladváo I... A számtai haladvá fogalma Mi lehet az alábbi soozato épzési szabála? Íd fel a soozat övetező ét tagját!. 5, 8,,, 7,. 5,,,,,. 6 0,,,,, Mi a özös a megadott soozato épzési szabálába? Íjál te is ét ola soozatot, amelet hasoló szabállal szeesztettél! a... a a... a... a... a... b... b b... b... b... b... ( ) a... Ételmezés. Az számsoozatot számtai haladváa (vag N számtai soozata) evezzü, ha létezi ola R szám, amele a a,.... Jelölés. Azt, hog az ( a ) N övetezőéppe jelöljü: a, a,..., a,.... soozat számtai haladvá, a... Megjegzése. A euzióba szeeplő számot a soozat álladó ülöbségée evezzü. A feti példába az első tag, illetve az álladó ülöbség étée:. a 5 és ;. a és ;. a és.. Az ( a ), véges soozatot ao evezzü számtai haladváa (vag számtai soozata), ha létezi ola R szám, amele a a,,. Ha a számo em soozat fomájába adotta, csa ao modhatju, hog számtai haladvát alota, ha valamile soedbe teljesíti az előbbi ételmezés feltételeit.. Az a a, euzió em hatáozza meg egételműe az ( a ) számtai soozatot, csa azt biztosítja, hog a soozat számtai haladvá lege. Ahhoz, hog a soozat tagjait meghatáozhassu, további ifomáció szüségese (például eg meghatáozott soszámú tag és az álladó ülöbség elégséges). A omple számo bevezetése utá még visszatéü ee az ételmezése.

10 Számtai haladváo... Feladat. Keessü összefüggést eg számtai haladvá háom egmás utái tagja özt! Megoldás. Ha az ( ) soozat számtai haladvá, ao létezi ola valós szám, amele a a N a és a a. Midét összefüggésből ifejezzü a soozat álladó ülöbségét, és íhatju, hog: a a a a. Tehát a a a,. A apott összefüggés azt fejezi i, hog a soozat mide tagja (a másoditól ezdődőe) a ét szomszédos tag számtai özépaáosa. Ezt a tulajdoságot gaa haszálju, ezét ülö is megfogalmazzu...5. Tulajdoság. Az ( ) a számtai haladvá mide tagja (a másoditól ezdődőe) a ét szomszédos tag számtai özépaáosa. N..6. Megjegzése. A..5. tulajdoság idoolja az ile típusú soozato megevezését.. A..5. tulajdoság fodítottja is eg igaz ijeletés. Azo a soozato, a amele teljesíti az a a euziót mide ettőél em isebb temészetes étée, számtai haladváo. a a Valóba, ha a,, ao a a a,, és íg a a a a,. Jelöljü -el az a a ülöbséget. Az előbbie alapjá a a a a a a... a a, tehát az ( a ) soozat számtai haladvá. N. Igazolju a övetező általáosabb tulajdoságot is: a a a,. I... A számtai haladvá általáos tagjáa éplete Póbálju megeesi az alábbi számtai haladváo általáos tagjáa épletét!. a a, és a ;. a a a,, a 5 és a 0. I. póbálozás Számítsu i a soozat első öt tagját! a a, a a, 5 a 5 a a a, és a, tehát,, a a és a 5. Ee alapjá sejthető, hog a ( ),. A matematiai idució segítségével sejtésü azoal igazolható.

11 Számtai haladváo 5 {,,,, 5 } eseté az eddigi számolásai szeit sejtésü igaz. Ha feltételezzü, hog a ( ) valamile étée, ao a euzió alapjá a ( ). Tehát a matematiai idució elve a a ( ), alapjá. II. póbálozás Íju fel az a a egelőséget, ha ede felveszi az,,,, - étéeet, majd adju össze a apott egelősége megfelelő oldalait. A bal oldalo az a és a ivételével mide tag étsze jelei meg. Egsze egatív előjellel és egsze pozitív előjellel, tehát a bal oldalo az összegzés eedmée a a. A jobb oldalo összese (-) daab -es va, tehát az összeg ( ). Midezt a övetező séma szemlélteti: a a a a a a a a 5 a a... a a a a a a ( ) Az utolsó egelőség alapjá ( ), a. A másodi soozattal póbálozz egedül! Töltsd i az üese hagott heleet az odaillő számoal! a... a... a 5... a 6... és a... Belátható, hog az előbbi godolatsoo bámelie az általáos esetbe is eedméhez vezet. Évées tehát a övetező tétel :... Tétel. Az a a, euzióval ételmezett számtai haladvá általáos tagjáa éplete: a a,. ( ) Bizoítás. Jelöljü P()-el az a a ( ) ijeletést. A P() igaz állítás met a a. Ha feltételezzü, hog P() igaz, ao íhatju, hog a a ( ) a, amel éppe azt fejezi i, hog P() a is igaz. A matematiai idució elve szeit P() igaz állítás mide N eseté, tehát a a, ( ). A teljesség edvéét bizoítju is a tételt.

12 6 Számtai haladváo... Feladat. Eg muahele háom fiatalembe pálázi. A cégvezető a övetezőt modja: A ezdő fizetés havi lej, amit félhavi észletebe fizetü. Ha muáju megfelel, fizetésüet mide hóapba emeljü. Két lehetőség özül választhata: havota lejjel, vag félhavota 5000 lejjel emeljü a fizetésüet. Meli lehetőséget választjá? Két pálázó az első lehetőséget választotta, míg a hamadi is godolodás utá a másodi mellett dötött. A cégvezető őt vette fel. Miét? Megoldás. Vizsgálju meg, hog meoa fizetést apáa a ét ülöböző módo dötő embee! A jobb átteithetőség edvéét eedméeiet a övetező táblázatba foglaltu: I. hóap II. hóap III. hóap I. lehetőség II. lehetőség Jelöljü a -val az első, illetve b -val a másodi lehetőség szeit a -adi hóapba apott fizetést. A övetező étéeet apju: a , a 05000, a 00000, a 05000, a ; b , b 05000, b 05000, b , b Látható, hog a másodi lehetőség má az első hóapba edvezőbb, mit az első, és a ét fizetés özítti ülöbség mide hóapba 5000 lejjel öveszi. Világos, hog ai az első ajálatot választottá, em godoltá végig a lehetőségeet, ezét alalmazta a cégvezető a hamadi pálázót. A továbbiaba azt fogju vizsgáli, hog tulajdoéppe mitől (és hoga) függ az, hog meli lehetőség a edvezőbb. Jelöljü -gel és -vel a havi, illetve a félhavi fizetésemelés agságát valamit a-val a ezdő fizetés agságát. A feladat jelöléseit megőizve a övetező táblázathoz jutu: I. hóap II. hóap III. hóap IV. hóap V. hóap I. lehetőség a a a a a II. lehetőség a a 5 a 9 a a 7 A táblázat alapjá látható, hog a havi fizetése midét esetbe számtai haladvát alota. Az első lehetőség eseté az álladó ülöbség, míg a másodi lehetőség eseté. Az általáos taga voatozó tétel ételmébe a a ( ) és b a ( ). Tehát, ha, ao a másodi lehetőség, ha <, ao az első lehetőség a edvezőbb.... Feladat. Ha a, a,..., a,..., a a a) bizoítsd be, hog a, ; b) számítsd i az a alaú összegeet, ha észlelsz? a {,,..., }! Mit

13 Számtai haladváo 7 Megoldás a) Az általáos tag épletét haszálju: a a ( ) és a a (. Tehát a a a ( ) a. ) b) Szité az általáos tag épletét haszálju: a a ( ) és a a ( ), tehát a a a ( ). Mivel az összege voatozó ifejezés em tatalmazza a változót, függetle -tól és mide eseté a a -el egelő. I... A számtai haladvá első tagjáa összege A övetezőbe iszámítju az első temészetes szám összegét.. módsze. Az S... ( ) ( ) ( ) összeg tagjait íju fodított soedbe, majd adju hozzá az eedeti összeghez. Az ( ) egelőség alapjá az összegbe megjeleő tagot daab csopotba lehet osztai úg, hog az eges csopotoo belül a számo összege lege. Íg íhatju, hog S ( ) ( ), tehát S. Jobba átteithetjü az előbbi számolásoat, ha a ét összeget egmás alá íju és oszlopoét adju össze. S (-) S N (-) (-) () () () () () S Mivel a jobb oldalo -sze szeepel az, íhatju, hog ( ) S.. módsze. Az ( ) azoosságba ede helettesítsü az,,, és étéeet, majd a apott egelősége megfelelő oldalait adju össze. ( ) (( ) ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( )... ( ) S

14 8 Számtai haladváo Az utolsó egelőségből ifejezzü az S -et: ( ) ( ) S.. módsze. Vizsgálju meg a melléelt ábáat! Az első soba eg oog, a másodiba ettő, a hamadiba pedig háom helezedi el. Íg a voal fölött látható oogo száma éppe. Ha ezt iegészítjü az összeggel, amele megfelelő oogo a voal alatt helezede el, 9 oogot apu. A oogo eg csúcsáa állított égzetet hatáoza meg. A apott összefüggés alapjá S S vag S. A másodi ába alapjá vag S. S S ( ) Ha oogot teitü, ao a ( ) összefüggéshez jutu. Ebből ifejezzü az S -et: S ( ) ( ) S. ( )... Megjegzés. Az alaú számoat háomszögszámoa evezzü. A megevezést az előbbi ábá idooljá.... Feladat. Számítsu i az első páatla temészetes szám összegét legalább háom ülöböző módo! Az előbb haszált háom módszet póbálju most is alalmazi.. módsze. Jelöljü S -el az első páatla temészetes szám összegét. Az összeg tagjait fodított soedbe íju, majd a megfelelő tagoat az alábbia szeit csopotosítju. S S S Tehát ( ) S.. módsze. Az ( ) azoosságba ede behelettesítjü az,,, és étéeet, majd a apott egelősége megfelelő oldalait összeadju.

15 Számtai haladváo 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 5)... 5 ( ) Az utolsó egelőségből ifejezzü az S -et, és apju, hog S ( ) S.. módsze. Vizsgálju meg az alábbi ábát! Mide voala azoa a oogoa a számát ítu, amele a voal fölött vag tőle bala vaa, de az az előtti voal alatt vag tőle jobba helezede el. Például az 5-ös a fehé oogoa voatozi. Látható, hog (a oogo eg -es égzetbe edezhető); 5 (a oogo eg -as égzetbe edezhető); 5 7 (a oogo eg -es égzetbe edezhető); ( 5 5-ös égzetbe edezhető); ( 6 6-os égzetbe edezhető). Ha figelembe vesszü, hog az ( ) ( ) -es égzetet az -es égzetből potosa oog hozzáadásával szeesztjü, állíthatju, hog.. módsze. S iszámítását vezessü vissza az első temészetes szám összegée voatozó összefüggése: ( ) ( ) S. S

16 0 Számtai haladváo A... feladat b) potjáa eedméei biztosítjá, hog az. módsze alalmazható bámel számtai haladvá első tagjáa az összege eseté. Az ( ) azoosság alapjá a. módsze segítségével is i tudju számítai eg tetszőleges számtai haladvá első tagjáa összegét. Sajos a. módsze em alalmas az általáos eset tágalásáa (hisz mide haladváa valami más epezetációt ellee italáli, és ee szemléltetését Z eseté más alapoa ell helezi). A. módszet ago so összeg iszámításáa lehet alalmazi, hisz alapgodolata az, hog a iszámítadó összeget egszeűbb összeg(e)e botju. Vizsgálju meg az általáos esetet! Számítsu i az számtai haladvá első tagjáa összegét! Jelöljü a a... S a összege voatozó tételt: ( a ) N -el ezt az összeget: a a. A potosság edvéét előbb ijeletjü az... Tétel. Az ( a ) N számtai haladvá első tagjáa az összege ( a a ). bizoítás S S,. a ( a ) ) a ) S ( ( ) a ( Másészt a ( a a ( ) ) állítása igaz. ( ). ( a ) a, tehát a tétel. bizoítás. Az összeg tagjait fodított soedbe íju, majd a megfelelő tagoat az alábbia szeit csopotosítju, és haszálju a... feladat b) potjáa eedméét: Tehát S a a a a S a a a a S ( a a ) ( a a ) ( a a ) a a S ( a a ). ( )

17 Métai haladváo I.. Métai haladváo I... A métai haladvá fogalma Mi lehet az alábbi soozato épzési szabála? Íd fel a soozat övetező ét tagját!., 6, 8, 5, 6, 86,., 6,,, 8, 96,. 7, 9,,,, 9,.,,,,, 5.,,,,,,, Mi a özös a megadott soozato épzési szabálába? Íj te is ét ola soozatot, amelet hasoló szabállal szeesztettél! b... b b... b... b... b... b... b b... b... b... b... ( ) b... Ételmezés. A számsoozatot métai haladváa (vag N métai soozata) evezzü, ha létezi ola q R szám, amele b b q,.... Jelölés. Azt, hog a ( b ) N soozat métai haladvá az b, b,..., b,... szimbólummal jelöljü.... Megjegzése. A euzióba szeeplő q számot a soozat álladó háadosáa (vag vóciesée) evezzü. A feti példába az első tag, illetve az álladó háados étée:. b és q ;. b és q ;. b 7 és q ;. b és q ; b,. A ( ) 5. b és q. véges soozatot ao evezzü métai haladváa (vag métai soozata), ha létezi ola q R szám, amele b b q,,. Ha a számo em soozat fomájába adotta, csa ao modju, hog métai haladvát alota, ha valamile soedbe teljesíti az előbbi ételmezés feltételeit. A omple számo bevezetése utá még visszatéü ee az ételmezése.

18 Métai haladváo... Feladat. Keessü összefüggést valamel métai haladvá háom egmás utái tagja özt! b Ha a ( ) soozat métai haladvá, ao létezi ola q valós szám, amele: b N b q és b b q. Szoozzu meg -gel az első összefüggést: b b b q b b q b. Tehát b b, b. Ha a soozat pozitív tagú, az előbbi összefüggés midét oldalából égzetgööt vohatu, íg a b b b, összefüggéshez jutu. Ez azt fejezi i, hog a soozat mide tagja (a másoditól ezdve) a ét szomszédos tag métai özépaáosa. Az előbbi ét tulajdosággal gaa találozhatu, ezét ülö is megfogalmazzu...5. Tulajdoság a) A ( b ) N métai haladvá tagjai teljesíti a b b b egelőséget, temészetes száma. b) Pozitív tagú métai haladvá mide tagja (a másoditól ezdve) a ét szomszédos tag métai özépaáosa...6. Megjegzése b. A..5. tulajdoság idoolja az ile típusú soozato megevezését.. A..5. tulajdoság fodított állításai is igaz állításo (lásd a... megoldott feladatot).. Aácsa a számtai haladváo eseté, itt is évées eg általáosabb összefüggés: b b b,, ahol ögzített temészetes szám. I... A métai haladvá általáos tagjáa éplete Póbálju megeesi az alábbi métai haladváo általáos tagjáa épletét!. b, és b ; b b,. b és b 5. I. póbálozás Számítsu i a soozat első öt tagját! b b, b b b b, és b 5 b. Ésszeűe tűi azt állítai, hog a soozat tagjai a hatváaia háomszoosai, vagis b,. ( b ) N A matematiai idució segítségével sejtésü azoal igazolható:,,,, 5 eseté az eddigi számolásai szeit sejtésü igaz. Ha feltételezzü, hog b valamile étée, ao a euzió alapjá. Tehát a matematiai idució elve alapjá,. b { } b b,

19 Métai haladváo II. póbálozás Íju fel a b b egelőséget, ha ede felveszi az,,,, étéeet, majd szoozzu össze a apott egelősége megfelelő oldalait. Mivel a soozata sem a vóciese, sem az első tagja em ulla, a soozat egetle tagja sem ulla. A b és b ivételével mide tag étsze jelei meg, egsze a bal oldalo és egsze a jobb oldalo, ezét ezeel egszeűsíthetü. Íg a összefüggéshez jutu. Midezt az alábbi séma szemlélteti: b b b b b b b5 b... b b b b b b b b b b Az utolsó egelőség alapjá b,. III. póbálozás Íju az előbbi egelőségeet fodított soedbe, majd szoozzu a másodiat -vel, a hamadiat -el és általába a -adiat -el, majd adju össze az íg apott egelőségeet. b b b b b b... b b b b b b b b Tehát b, eseté. A másodi soozattal póbálozz egedül! Töltsd i az üese hagott heleet az odaillő számoal! b... b... b... b 5... és b... Belátható, hog az előbbi godolatsoo bámelie az általáos esetbe is eedméhez vezet. Évées tehát a övetező tétel:

20 Métai haladváo... Tétel. A b b q, euzióval ételmezett métai haladvá általáos tagjáa éplete: b b q,. Bizoítás. Jelöljü P()-el a b b q ijeletést. P() igaz állítás, met b b q q. Ha feltételezzü, hog P() igaz, ao íhatju, hog, ami éppe azt fejezi i, hog P() is igaz. A matematiai idució elve szeit P() igaz állítás mide N eseté, tehát b b q a q,. b b q b... Feladat. Eg muahele háom fiatalembe pálázi. A cégvezető a övetezőt modja: A ezdő fizetés havi lej, amit félhavi észletebe fizetü. Ha muáju megfelel, fizetésüet mide hóapba emeljü. Két lehetőség özül választhata: havota %-al, vag félhavota 0%-al emeljü a fizetésüet. Meli lehetőséget választjá? Meli lehetőséget választaá ao, ha havota 5%-al vag félhavota 0%-al emelé a fizetésüet? Megoldás. Póbálju általáosa vizsgáli a édést, úg hog e végezzü el étsze ugaazoat a műveleteet a ét eset tágalásao. Jelöljü a-val és b-vel a havoéti, illetve félhavoéti emelése százaléaáát az emeledő fizetésehez épest és -szel a ezdeti fizetést. Vizsgálju meg, hog meoa fizetéseet apáa a ét ülöböző módo dötő embee. A jobb átteithetőség edvéét eedméeiet a övetező táblázatba foglaltu: I. hóap II. hóap III. hóap I. lehetőség ( a) ( a) II. b ( b) ( b b lehetőség ) ( ) ( b Látható, hog az első esetbe a havi fizetése összegei ( a) haladvát alota, míg a másodi esetbe a félhavi fizetése ( b) ) vóciesű métai vóciesű métai haladvát alota. Íg az -edi hóapba az első lehetőség szeit a ( a) lee a fizetés, míg a másodi lehetőség szeit b ( b) ( b) ( b) ( b). Most átéhetü a oét esete vizsgálatáa. a) a 0, és b 0, eseté a,, és b,,, met,,. Összehasolítju a ét lehetőséget, és láthatju, hog a másodi lehetőség az előösebb.

21 Métai haladváo 5 b) a 0,5 és b 0, eseté a,5, és b,,, met, a a 0,0,. Számítsu i az aát! b b,, 0,0( ) (az ( ) Beoulli-egelőtleséget haszáltu,, 0,0 és eseté). Az előbbi becslés alapjá látható, hog ha elég ag, ( 60 ), ao az első lehetőség szeit számolt fizetés agobb lesz, mit a másodi lehetőség szeit számolt összeg.... Megjegzés. Itt a havi fizetéseet vizsgáltu. Az I... paagafus utá ajálju az -edi hóapig számolt összjövedelme összehasolítását. Potosabb becslése alalmazásával biztatóbb eedméehez juthatu. Az összjövedelem ugais má másfél év utá agobb lesz az első lehetőség eseté. I... A métai haladvá első tagjáa összege... Feladat. Vizsgáld meg, hoga változa a övetező felbotásoba a másodi záójelbeli ifejezése itevői! Az észlelt szabálszeűsége alapjá póbáld iegészítei a hiáos felbotásoat! ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 5 ( )( ) ( )(...) ( )(... ) Az előbbi felbotásoat bizoítsd is!... Tétel. Ha temészetes szám, ao bámel és valós száma.. bizoítás ( ) 0 ( ) (... ) (... ). bizoítás A matematiai idució módszeét haszálju. Ha tehát feltételezhetjü, hog,, ao az egelőség igaz,. {,,,, 5 } eseté diet számolással

22 6 Métai haladváo elleőiztü (lásd a... feladatot). Ha a tétel állítása igaz eg tetszőlegese választott temészetes száma, ao íhatju, hog.... Az egelőség midét oldalátmegszoozzu -al és hozzáadu -t, íg apju, hog ( )..., vagis.... Ha az utolsó egelőséget ( -al beszoozzu, ao ) ( ) 0 adódi, tehát az állításu ()-e is igaz. A matematiai idució elve szeit a tétel állítása mide temészetes száma igaz.... Feladat. Az előbbi tétel segítségével számítsu i a övetező összegeet: a) S ;... ) ( b)... ) ( S ; c) ( ) ( ) ( )... ) ( S. Megoldás a) Az azoosságba ( ) 0 -et és -t helettesítü.. ) ( S b) Az azoosságba ( ) 0 -et és -et helettesítü. ) ( S. c) Az azoosságba ( ) 0 -et és -t helettesítü. ( ) ) ( S. Az előbbi összegeet más módszeel is iszámíthatju. Az helett iszámítju az ) ( S ) ( ) ( S S ülöbséget. Az összeg tagjai özül a legtöbb étsze jelei meg: egsze pozitív előjellel és egsze egatív előjellel. Ezt a övetező ábá szemléltetjü:

23 Métai haladváo 7 S ( ) ( ) S ( ) - - ( ) ( ) - ( ) - ( ) ( ) S ( ) ( ) ( ) Tehát S ( ).... Tétel. A b b q általáos tagú métai haladvá első tagjáa összege a övetezőéppe fejezhető i: q b,, ha q ; S q b, ha q. Bizoítás. Ha q, ao -e és q -a a... tétel alapjá q q Ha.... q q, tehát q ( q q... q ) q b b b... b b b. q q, ao a soozat ostas és mide eleme b -gel egelő, tehát az összeg b I.. Megoldott feladato. Bizoítsd be, hog ha a ( ) N b számsoozat tagjai teljesíti a b b b egelőséget mide eseté, ao a soozat métai haladvá. b Bizoítás. Ha a soozat egetle tagja sem ulla, ao a q jelölést b b b b b5 b b haszálva íhatju, hog q... (itt a -adi b b b b b b egelőséget eseté az adott összefüggés biztosítja -a). Az előbbi aáso első és utolsó tagjáa egelőségéből övetezi, hog b b,. Az ételmezés alapjá a b soozat métai haladvá. ( ) q N

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!

n akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l! KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:

Részletesebben

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA

Diszkrét matematika KOMBINATORIKA KOMBINATORIKA A ombiatoria véges elemszámú halmazoat vizsgál. A fő érdése: a halmaz elemeit háyféleéppe lehet sorbaredezi, iválasztai özülü éháyat vagy aár midet bizoyos feltétele mellett, stb. Ezért a ombiatoria alapját

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra. 823. A prímek összege: 2+ 5+ 2= 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825. Egész kitevôjû htváok 7 8 A helese kitöltött keresztrejtvé: 8 ár 8 A rímek összege: + + 9 8 ) $ $ 8 ) $ $ 9$ $ 7 $ $ 0 c) $ ( + ) ( + ) 8 ) $ $ k ( - ) - - - ) r s - 7 m k l ( + ) 7 8 ( - ) 8 ( + ) 7 (

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei Eukldes tér, metrkus tér, ormált tér, magasabb dmeós terek vektoraak söge, eek követkemée Metrkus tér Defícó. A H halmat metrkus térek eveük, ha va ola, metrkáak eveett m: H H R {0} függvé, amelre a követkeők

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása.

A Secretary problem. Optimális választás megtalálása. A Secretary problem. Optmáls választás megtalálása. A Szdbád problémáa va egy szté lasszusa tethető talá természetesebb vszot ehezebb változata. Ez a övetező Secretary problem -a evezett érdés: Egy állásra

Részletesebben

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8 Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,

Részletesebben

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )

Részletesebben

Készletek - Rendelési tételnagyság számítása -1

Készletek - Rendelési tételnagyság számítása -1 Készlete - Rendelési tételnagyság számítása -1 A endelési tételnagyság meghatáozása talán a legészletesebben tágyalt édésö a észletgazdálodási szaiodalomban. Enne nagyészt az az oa, hogy mind az egyszee

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t. Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is

Részletesebben

A természetes számok halmaza (N)

A természetes számok halmaza (N) A természetes számo halmaza (N) A természetes számoat étféleéppe vezethetjü be: ) A Peao-féle axiómaredszerrel ) Evivalecia osztályo segítségével ) A természetes számo axiomatius értelmezése. A Peao-axiómá

Részletesebben

A figurális számokról (IV.)

A figurális számokról (IV.) A figurális számokról (IV.) Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely A továbbiakba külöféle számkombiációk és összefüggések reprezetálásáról, és bizoyos összegek kiszámolásáról íruk. Sajátos összefüggések Az elekbe

Részletesebben

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel

Orosz Gyula: Markov-láncok. 2. Sorsolások visszatevéssel Orosz Gyula: Marov-láco 2. orsoláso visszatevéssel Néháy orét feladat segítségével vezetjü be a Marov-láco fogalmát és a hozzáju acsolódó megoldási módszereet, tiius eljárásoat. Ahol lehet, több megoldást

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz

FELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33

Részletesebben

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör

Az állat becsült kor. teljes súly. teljes hossz orrtól. törzs hossza. pocak körkörös méret. hátsó láb hossza kör Koeláció- és egesszió-aalízis Az is előfodulhat, hogy két változó között ics semmilye kapcsolat: Az X és Y véletle változók között az alábbi ábáko Az állat becsült ko pozitív összefüggés em lieáis összefüggés

Részletesebben

3. Valószínűségszámítás

3. Valószínűségszámítás Biometria az orvosi gyaorlatba 3. Valószíűségszámítás 3. Valószíűségszámítás 3.. Bevezetés 3.. Kombiatoria 3... Permutáció 3... Variáció 3..3. Kombiáció 3 3.3. Biomiális együttható tulajdoságai 3 3.4.

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele soro. Bevezetés és defiíció Bevezetését próbálju meg az + + 4 + + +... végtele összege értelmet adi. Mivel végtele soszor em tudu összeadi, emiatt csa az első tagot adju össze: legye s = + +

Részletesebben

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1

Drótos G.: Fejezetek az elméleti mechanikából 4. rész 1 Drótos G.: Fejezete az elméleti mechaniából 4. rész 4. Kis rezgése 4.. gyensúlyi pont, stabilitás gyensúlyi pontna az olyan r pontoat nevezzü valamely oordináta-rendszerben, ahol a vizsgált tömegpont gyorsulása

Részletesebben

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 + . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint

Részletesebben

24. tétel Kombinatorika. Gráfok.

24. tétel Kombinatorika. Gráfok. Mgyr Eszter Emelt szitő érettségi tétele 4. tétel Komitori. Gráfo. Komitori: A mtemti zo elméleti területe, mely egy véges hlmz elemeie csoportosításávl, iválsztásávl vgy sorrederásávl fogllozi. Permutáció

Részletesebben

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha . Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,

Részletesebben

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg.

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MECHNIK - STTIK LKLMZTT MECHNIK TNSZÉK Elmélet kérdések és válaszok egetem alapképzésbe (Sc képzésbe) résztvevő mérökhallgatók számára () Mle esetbe beszélük tartós ugalomról?

Részletesebben

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása

Numerikus módszerek 2. Nemlineáris egyenletek közelítő megoldása Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer Egyelemegoldás iervallumelezéssel

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Bevezetés. 1 A pénz időértékének elve. Befektetés pénzáram grafikonja. 1.1. ábra - Befektetés pénzáram grafikonja

Bevezetés. 1 A pénz időértékének elve. Befektetés pénzáram grafikonja. 1.1. ábra - Befektetés pénzáram grafikonja Bevezetés A Pézügyta feladatgyűjteméy a Pézügyta tatágy gyakolataihoz készült példatá első észe. Az oktatási segédlet a pézügyi számítások világába vezeti be az olvasót. Bá az oktatási segédletbe sok képlet

Részletesebben

Járatszerkesztési feladatok

Járatszerkesztési feladatok Járatszeresztési feladato 1 Járatszeresztési feladato DR. BENKŐJÁNOS Agrártudomáyi Egyetem GödöllőMezőgazdasági Géptai Itézet A járat alatt a logisztiába általába a járműve meghatározott több állomást

Részletesebben

Kényszerrezgések, rezonancia

Kényszerrezgések, rezonancia TÓTH A: Rezgése/ (ibővített óavázlat 13 Kényszeezgése, ezonancia Gyaolatilag is igen fontos eset az, aio egy ezgése épes endsze ezgései valailyen ülső, peiodius hatás (énysze űödése özben zajlana le Az

Részletesebben

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Algebrai egész kifejezések (polinomok) Algebrai egész kifejezések (polinomok) Betűk használata a matematikában Feladat Mekkora a 107m 68m oldalhosszúságú téglalap alakú focipála kerülete, területe? a = 107 m b = 68 m Terület T = a b = 107m

Részletesebben

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK 18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK Kertesi Gábor Világi Balázs Varian 21. fejezete átdolgozva 18.1 Bevezető A vállalati technológiák sajátosságainak vizsgálatát eg igen fontos elemzési eszköz,

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot

Részletesebben

Gonda János SZÁMÍTÓGÉPI MATEMATIKA

Gonda János SZÁMÍTÓGÉPI MATEMATIKA Goda Jáos SZÁMÍTÓGÉPI MATEMATIKA Budapest, 7 Letoálta: 3 TARTALOMJEGYZÉK ELİSZÓ 5 ANALÓG ÉS DIGITÁLIS SZÁMÍTÓGÉP, ALGORITMUS, NEUMANN-ELV 7 JELÁTALAKÍTÁS 9 SZÁMÁBRÁZOLÁS 9 DIGITÁLIS ARITMETIKA 49 LOGIKAI

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Gyaorló feladato Eponenciális és logaritmusos ifejezése, egyenlete. Hatványozási azonosságo. Számítsd i a övetező hatványo pontos értéét! g) b) c) d) 7 e) f) 9 0, 9 h) 0, 6 i) 0,7 j), 6 ), l). A övetező

Részletesebben

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében DIMENZIÓK 35 Matematikai Közlemének III. kötet, 5 doi:.3/dim.5.5 Az alkalmazott matematika tantárg oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében Horváth-Szováti Erika NME EMK

Részletesebben

2011. november 2. Dr. Vincze Szilvia

2011. november 2. Dr. Vincze Szilvia 20. novembe 2. D. Vincze Szilvia Tatalomjegyzék.) Számtani és métani soozatok Métani soozatok alkalmazásai: 2.) Kamatos kamat számítás a.) Egyszeű kamatszámítás b.) Kamatos kamat számítás c.) Kamatszámítás

Részletesebben

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása

I. Sorozatok. I.1. Sorozatok megadása Mgyr Zsolt: Alízis özépisoláb I Sorozto oldl Def A pozitív egész számo hlmzá értelmezett számértéű függvéyeet sorozto evezzü Megjegyzés: Egyes tárgylási módob éyelmességi szempotból em N R függvéyeről,

Részletesebben

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz

Radiális szivattyú járókerék fő méreteinek meghatározása előírt Q-H üzemi ponthoz Radiális szivattyú járóeré fő méreteie meghatározása előírt - üzemi pothoz iret hajtás eseté szóa jövő asziromotor fordlatszámo % üzemi szlip feltételezésével: 90, 55, 970, 78 /mi Midegyi fordlatszámhoz

Részletesebben

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor 04 05 A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént)

Részletesebben

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE

Sokszínû matematika 12. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Sokszínû matematika. A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE Számsorozatok SOKSZÍNÛ MATEMATIKA A KITÛZÖTT FELADATOK EREDMÉNYE. A számsorozat fogalma, példák sorozatokra. A pozitív páros számok sorozatának n-edik

Részletesebben

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3.

Analízis I. jegyzet. László István. 2008. november 3. Analízis I. jegzet László István 2008. november 3. Tartalomjegzék 1. Halmazok 5 1.1. Halmaz fogalma............................ 5 1.2. Halmaz megadása........................... 6 1.2.1. Eplicit megadás.......................

Részletesebben

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel? 5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra

Részletesebben

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009

Olimpiai szakkör, Dobos Sándor 2008/2009 Olimpii ször, Dobos Sádor 008/009 008 szeptember 9 Eze szörö Cev és Meelosz tételt eleveítettü fel, több gyorló feldttl, éháy lehetséges áltláosítássl További feldto: = 6 (=,, ) Htározzu meg z összes oly

Részletesebben

A valós számok halmaza

A valós számok halmaza VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben

Részletesebben

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz

Szemléletes lineáris algebra - összefoglaló I. mérnökhallgatónak. Segédanyag az NGB_SZ003_2, N_SZ45 és N_SZ14 tárgyakhoz Szemléletes lieáis lgeb - összefoglló I. méöhllgtó Segédyg z NGB_SZ_, N_SZ5 és N_SZ tágyhoz összeállított: D. Szöéyi Milós főis. doces 8. Ttlom:. Lieáis té. Tájéozódás lieáis tébe Lieáis ombiáció Lieáis

Részletesebben

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti

Részletesebben

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL

VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL Surányi János Farey törte mate.fazeas.u Surányi János VALÓS SZÁMOK MEGKÖZELÍTÉSE TÖRTEKKEL FAREY-TÖRTEK. Egy a alós számot racionális számoal, azaz törteel aarun megözelíteni. A törteet az alábbiaban mindig

Részletesebben

Geometriai Optika. ultraibolya. látható fény. 300 THz 400 THz 750 THz. 800 nm 400 nm 100 nm

Geometriai Optika. ultraibolya. látható fény. 300 THz 400 THz 750 THz. 800 nm 400 nm 100 nm Geomeiai Opia Láhaó éy: az eleomágeses hullámaomáy egy esey észe adio hullám mico hullám (cm) láhaó éy iavöös ulaibolya Röge sugázás (0-0 m) (Hz) 300 Hz 400 Hz 750 Hz λ 800 m 400 m 00 m A láhaó éy speuma:

Részletesebben

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi

Integrált Intetnzív Matematika Érettségi tgrált ttzív Matmatika Érttségi. Adott az f : \ -, f függvéy. a) Számítsd ki az f függvéy driváltját! b) Határozd mg az f függvéy mootoitási itrvallumait! c) gazold, hogy f ( ) bármly sté!. Adott az f

Részletesebben

Kutatói pályára felkészítı modul

Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı modul Kutatói pályára felkészítı kutatási ismeretek modul Tudomáyos kutatási alapayag feldolgozása, elemzési ismeretek KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI

Részletesebben

1. feladat. 2. feladat

1. feladat. 2. feladat 1. felada Írja á az alábbi függvénee úg, hog azoban ne az eredei válozó, hanem az eredei válozó haéonsági egsére juó érée szerepeljen (azaz például az Y hele az szerepeljen, ahol = Y E L. Legen a munaerőállomán

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

Valószínûség számítás

Valószínûség számítás Valószíûség számítás Adrea Glashütter Feller Diáa Valószíűségszámítás Bevezetés a pézügyi számításoba I. Bevezetés a pézügyi számításoba A péz időértéével apcsolatos számításo A péz időértéée számítása:

Részletesebben

6. Bizonyítási módszerek

6. Bizonyítási módszerek 6. Bizonyítási módszere I. Feladato. Egy 00 00 -as táblázat minden mezőjébe beírju az,, 3 számo valamelyiét és iszámítju soronént is, oszloponént is, és a ét átlóban is az ott lévő 00-00 szám öszszegét.

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása

2.1. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása 59. Számsorozatok.. A sorozat fogalma, megadása és ábrázolása.. Defiíció. Azokat az f : N R valós függvéyeket, melyek mide természetes számhoz egy a valós számot redelek hozzá, végtele számsorozatokak,

Részletesebben

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA

9. LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKJA 9. LINÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK NORMÁLALAKA Az 5. fejezetbe már megmeredtü a leár trazformácóal mt a leár leépezée egy ülölege típuával a 6. fejezetbe pedg megvzgáltu a leár trazformácó mátr-reprezetácóját.

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

1. Lineáris leképezések

1. Lineáris leképezések Lineáris leképezések A lineáris leképezés fogalma Definíció (F5 Definíció) Legenek V és W vektorterek UGYANAZON T test fölött Az A : V W lineáris leképezés, ha összegtartó, azaz v,v 2 V esetén A(v +v 2

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Statisztika. Eloszlásjellemzők

Statisztika. Eloszlásjellemzők Statsztka Eloszlásjellemzők Statsztka adatok elemzése A sokaság jellemzése középértékekkel A sokaság jellemzéséek szempotja A sokaság jellemzéséek szempotja: A sokaság tpkus értékéek meghatározása. Az

Részletesebben

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0 Komplex számok 1 Adjuk meg az alábbi komplex számok valós, illetve képzetes részét: a + i b i c z d z i e z 5 i f z 1 A z a + bi komplex szám valós része: Rez a, képzetes része Imz b Ez alapjá a megoldások

Részletesebben

Többváltozós függvények Riemann integrálja

Többváltozós függvények Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós

Részletesebben

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika

Távközlő hálózatok és szolgáltatások Kapcsolástechnika Távözlő hálózato és szolgáltatáso Kapcsolástechia émeth Krisztiá BME TMIT 015. ot. 1-8. A tárgy felépítése 1. Bevezetés. IP hálózato elérése távözlő és ábel-tv hálózatoo 3. VoIP, beszédódoló 4. Kapcsolástechia

Részletesebben

Elektromos áramkörök és hálózatok, Kirchhoff törvényei

Elektromos áramkörök és hálózatok, Kirchhoff törvényei TÓTH : Eletroos ára/ (ibővített óravázlat) Eletroos áraörö és hálózato, Kirchhoff törvényei gyaorlatban az eletroos ára ülönböző vezetőrendszereben folyi gen fontos, hogy az áraot fenntartó telepe iseretében

Részletesebben

EGY KERESZTPOLARIZÁCIÓS JELENSÉG BEMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN

EGY KERESZTPOLARIZÁCIÓS JELENSÉG BEMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN Fiia Modern fiia GY KRSZTPOLARIZÁCIÓS JLNSÉG BMUTATÁSA FIZIKAI HALLGATÓI LABORATÓRIUMBAN DMONSTRATION OF AN OPTICAL CROSS- POLARIZATION FFCT IN A STUDNT LABORATORY Kőhái-Kis Ambrus, Nag Péter 1 Kecseméti

Részletesebben

Digitális Fourier-analizátorok (DFT - FFT)

Digitális Fourier-analizátorok (DFT - FFT) 6 Digitális Fourier-analizátoro (DFT - FFT) Eze az analizátoro digitális műödésűe és a Fourier-transzformálás elvén alapulna. A digitális Fourier analizátoro a folytonos időfüggvény mintavételezett jeleit

Részletesebben

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai

A logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai

Részletesebben

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától

Sztochasztikus tartalékolás és a tartalék függése a kifutási háromszög időperiódusától Sztochasztkus tartalékolás és a tartalék függése a kfutás háromszög dőperódusától Faluköz Tamás Vtéz Ildkó Ibola Kozules: r. Arató Mklós ELTETTK Budapest IBNR kfutás háromszög IBNR: curred but ot reported

Részletesebben

A teveszabály és alkalmazásai

A teveszabály és alkalmazásai A teveszabály és alalmazásai Tuzso Zoltá, Széelyudvarhely Godolá-e valai, hogy a matematiáa lehete-e valami öze a tevéhez? Ha em aor a továbbiaba meggyzzü errl, mégpedig arról, hogy a matematiába ige is

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Statisztikai hipotézisvizsgálatok

Statisztikai hipotézisvizsgálatok Statisztikai hipotézisvizsgálatok. Milye problémákál haszálatos? A gyakorlatba agyo gyakra szükségük lehet arra, hogy mitákból származó iformációk alapjá hozzuk sokaságra voatkozó dötéseket. Például egy

Részletesebben

Záró monitoring jelentés

Záró monitoring jelentés Záró monitoring jelentés (megfeleltetés és szinopszis) 13. számú fejlesztési t ÁROP-3.A.2-2013-2013-0017 projekthez Verziószám: 3.0 verzió Budapest, 2014. október 31. 1 Tartalom 1. Vezetői összefoglaló...

Részletesebben

1. Az Általános Szerződési Feltételek hatálya

1. Az Általános Szerződési Feltételek hatálya A PANNONLÍZING PÉNZÜGYI SZOLGÁLTATÓ RT. ÁLTALÁNOS SZERZŐDÉSI FELTÉTELEI FORINT (HUF ALAPON KAMATOZÓ KÖLCSÖNSZERZŐDÉSEKHEZ ÉRVÉNYES A 2002. MÁRCIUS 18-TÓL A VISSZAVONÁSÁIG KÖTÖTT SZERZŐDÉSEKRE A Paolízig

Részletesebben

11. KVADRATIKUS FORMÁK

11. KVADRATIKUS FORMÁK . KVDRTIKUS FORMÁK bleás leépezéseel ogllozó előző ejezet észítette elő vdtus omá vgy más elevezéssel vdtus lo vzsgáltát. vdtus omá mtemt számos teületé yee llmzást. geometáb például vdtus omá másodedű

Részletesebben

ő ü ő ľ ü Ü Ü ľ ź ő ľ ľ ő ő ü ľ ő ö ü ľ ő ő ü ú ź ö ö ö Ĺ ő ö ľő ő ú ű ö ö ľ ü Ę ú ő ü ö ľ ź ő ľ ů ö ľ ź ő ľ ő ö ö ľ ľő ľ Í ő ľ ő ľü ľ ő ľ ľ ź ľ ö ü ú ű ź ő ľ ľ ľ ľ ú ú ľ Á ľ Í ő ö ü ő ź ź Í ö ľ ő ľ ő

Részletesebben

Általános Szerződési Feltételek

Általános Szerződési Feltételek Általáos Szerződési Feltétele 2010 február 28-ig ötött Pézügyi Lízig Szerződésehez (Személygépjármű, Kishaszogépjármű, Motorerépár fiaszírozásához) Érvéyes pézügyi lízig szerződésere 2011.március 1. apjától,

Részletesebben

MATEMATIKA 11. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai

MATEMATIKA 11. A tankönyv feladatai és a feladatok megoldásai D Geőcs László Számadó László MATEMATIKA A tankönv feladatai és a feladatk megldásai A megldásk lvasásáhz Acbat Reade pgam szükséges, amel ingenesen letölthető az intenetől (például: adbelahu webldalól)

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13 Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8

Részletesebben

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok Valós számok 5 I Valós számok I Természetes, egész és racioális számok I Feladatok (8 oldal) Fogalmazz meg és bizoyíts be egy-egy oszthatósági kritériumot a -vel, -mal, 5-tel, 7-tel, 9-cel, -gyel való

Részletesebben

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása

Információk. Ismétlés II. Ismétlés. Ismétlés III. A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin. Algoritmus. Algoritmus ábrázolása 1 Információk 2 A PROGRAMOZÁS ALAPJAI 2. Készítette: Vénné Meskó Katalin Elérhetőség mesko.katalin@tfk.kefo.hu Fogadóóra: szerda 9:50-10:35 Számonkérés időpontok Április 25. 9 00 Május 17. 9 00 Június

Részletesebben

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL SZAKDOLGOZAT Készítette: Kovács Blázs Mtet BSc, tár szrá Tévezető: dr Wtsche Gergel, djutus ELTE TTK, Mtettítás és Módszert Közot Eötvös Lorád Tudoáegete Terészettudoá

Részletesebben

Furfangos fejtörők fizikából

Furfangos fejtörők fizikából Furfangos fejtörő fiziából Vigh Máté ELTE Komple Rendszere Fiziája Tanszé Az atomotól a csillagoig 03. április 5. . Fejtörő. A,,SLINKY-rugó'' egy olyan rugó, melyne nyújtatlan hossza elhanyagolhatóan icsi,

Részletesebben

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei

Általános taggal megadott sorozatok összegzési képletei Általáos taggal megadott sorozatok összegzési képletei Kéri Gerzso Ferec. Bevezetés A sorozatok éháy érdekes esetét tárgyaló el adást az alábbi botásba építem fel:. képletek,. alkalmazások, 3. bizoyítás

Részletesebben

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA

A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA A JÓLÉTI ÁLLAM KÖZGAZDASÁGTANA Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0041pályázati projet eretében Tartalomfejlesztés az ELTE TátK Közgazdaságtudományi Tanszéén az ELTE Közgazdaságtudományi

Részletesebben

Segédlet a Tengely gördülő-csapágyazása feladathoz

Segédlet a Tengely gördülő-csapágyazása feladathoz Segélet a Tengely göülő-csaágyazása felaathoz Összeállította: ihai Zoltán egyetemi ajunktus Tengely göülő-csaágyazása Aott az. ábán egy csaágyazott tengely kinematikai vázlata. A ajz szeint az A jelű csaágy

Részletesebben

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként.

A szita formula és alkalmazásai. Gyakran találkozunk az alábbi kérdéssel, sokszor egy összetett feladat részfeladataként. A szta formula és alalmazása. Gyaran találozun az alább érdéssel, soszor egy összetett feladat részfeladataént. Tentsün bzonyos A 1,...,A n eseményeet, és számítsu anna a valószínűségét, hogy legalább

Részletesebben

Mobilis robotok irányítása

Mobilis robotok irányítása Mobiis obotok iánítása. A gakoat céja Mobiis obotok kinematikai modeezése Matab/Simuink könezetben. Mobiis obotok Ponttó Pontig (PTP) iánításának teezése és megaósítása.. Eméeti beezet Mobiis obotok heátoztatása

Részletesebben